Κριτικές επισηµάνσεις για τη χρήση των συνόλων στο νηπιαγωγείο και στις µικρές τάξεις του δηµοτικού σχολείου. Καλαβάσης Φραγκίσκος 1, Σκουµπουρδή Χρυσάνθη 2 Ο όρος σύνολο είναι ένας από τους πιο σπουδαίους και βασικούς όρους των Μαθηµατικών και έχει διεισδύσει στη διδασκαλία σε όλες τις βαθµίδες της εκπαίδευσης από τη δεκαετία του 60. Η Θεωρία Συνόλων 3 αποτελεί σήµερα για πολλούς, το θεµέλιο των Μαθηµατικών. Με τη συµβολή της επιτεύχθηκε ο ορισµός µε σαφήνεια και συντοµία πολλών µαθηµατικών εννοιών, ενώ η χρήση του συµβολισµού της και οι γραφικές αναπαραστάσεις των συνόλων επεκτάθηκαν σε όλες τις µαθηµατικές θεωρίες. Επίσης, έπαιξε πρωτεύοντα ρόλο στη δηµιουργία και ανάπτυξη των «Νέων Μαθηµατικών» και στην αντίστοιχη εκπαιδευτική µεταρρύθµιση. Όταν τα Μαθηµατικά αυτά µπήκαν στα σχολεία της πρωτοβάθµιας και δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης, η έννοια του συνόλου έγινε βασική και κυρίαρχη κι ο ενθουσιασµός 1 Καλαβάσης Φραγκίσκος: Καθηγητής Πανεπιστηµίου Αιγαίου Τµήµατος Επιστηµών Προσχολικής Αγωγής και Εκπαίδευσης 2 Σκουµπουρδή Χρυσάνθη: ασκάλα, Υποψήφια ιδάκτορας ΤΕΠΑΕ 3 υο Λόγια για τη Μαθηµατική Θεωρία Συνόλων Υπάρχουν κάποιες αλήθειες που φαίνονται ακλόνητες, όπως ότι το µέρος είναι πάντα µικρότερο του όλου. Κι όµως όταν τα µεγέθη αγγίζουν το άπειρο, αυτή η εκτίµηση δεν είναι πάντα αποδεκτή. Για τους µαθηµατικούς του 19ου αιώνα ήταν παράδοξο το ότι όλα τα στοιχεία ενός απειροσυνόλου ήταν δυνατό να αντιστοιχιστούν αµφιµονοσήµαντα µε τα στοιχεία ενός γνήσιου υποσυνόλου του και ότι µπορούσαν να υπάρχουν δύο απειροσύνολα που τα στοιχεία τους να µην αντιστοιχίζονται αµφιµονοσήµαντα. Τα παράδοξα αυτά οδήγησαν στην ανάπτυξη της Θεωρίας Συνόλων η οποία µε τη σειρά της επέδρασε καίρια στη φιλοσοφία της επιστήµης. Η θεωρία συνόλων αποτελεί σήµερα για πολλούς, το θεµέλιο των Μαθηµατικών, γιατί µε τη συµβολή της και την ορολογία της επιτεύχθηκε ο ορισµός και η γενίκευση πολλών µαθηµατικών εννοιών µε σαφήνεια και συντοµία. εν είναι δυνατόν να καταγράψουµε ένα προς ένα τα στοιχεία ενός άπειρου συνόλου. Ούτε είναι πρακτικό να καταγράφουµε τα στοιχεία ενός πολύ µεγάλου συνόλου. Για να περιγράψουµε τα σύνολα αυτού του είδους, επισηµαίνουµε µια ιδιότητα κοινή για όλα τα στοιχεία του συνόλου, την οποία όµως δεν πρέπει να έχει οποιοδήποτε στοιχείο δεν ανήκει στο συγκεκριµένο σύνολο. Η εν λόγω ιδιότητα των στοιχείων ενός συνόλου ονοµάζεται χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου. Για παράδειγµα, µια χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου των «πρώτων» αριθµών του συνόλου των φυσικών αριθµών είναι ότι όλα τα στοιχεία του έχουν µόνο δύο διαιρέτες (τον εαυτό τους και τη µονάδα). Χρησιµοποιώντας αυτή την ιδιότητα µπορούµε να διακρίνουµε αµέσως ότι ούτε ο 1, ούτε ο 18, ούτε ο 2/3 είναι πρώτοι αριθµοί. Πράγµατι, ο 1 έχει µόνο ένα διαιρέτη, ο 18 έχει έξι (1, 2, 3, 6, 9, 18), ενώ ο 2/3 δεν είναι φυσικός αριθµός. Αντίθετα ο 7 είναι πρώτος αριθµός, διότι έχει µόνο δύο διαιρέτες, τον 1 και τον 7. Ο όρος «σύνολο» είναι αρχική έννοια (έννοια που τη δεχόµαστε χωρίς απόδειξη) και ως τέτοια δεν επιδέχεται αυστηρό µαθηµατικό ορισµό. Σύνολο λέµε συνήθως µια συλλογή πραγµάτων, εννοιών κ.τ.ο. που έχουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά στοιχεία. Ο G. Cantor, εισήγαγε πρώτος, περίπου το 1874, τη µαθηµατική έννοια του συνόλου και την περιέγραψε ως εξής: «Σύνολο είναι κάθε συλλογή από αντικείµενα που παίρνονται από τον κόσµο της εµπειρίας ή από τον κόσµο της σκέψης µας, είναι ορισµένα και διακεκριµένα µεταξύ τους και θεωρούνται συγκεντρωµένα σε µια ολότητα». Σύµφωνα µ αυτή την περιγραφή, για να θεωρείται µαθηµατική έννοια ένα σύνολο πρέπει να ικανοποιούνται τα εξής δύο κριτήρια: 1. Για οποιοδήποτε στοιχείο, να µπορούµε να αποφανθούµε αν το στοιχείο αυτό ανήκει ή δεν ανήκει στο συγκεκριµένο σύνολο και 2. Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία του συνόλου, να µπορούµε να τα ξεχωρίσουµε. Να είναι δηλαδή διακεκριµένα µεταξύ τους. Ένα σύνολο χαρακτηρίζεται από τρεις ιδιότητες: Περιέχει όλα τα αντικείµενα που έχουν µια συγκεκριµένη ιδιότητα. Κάθε αντικείµενο που στερείται αυτή την ιδιότητα δεν ανήκει στο σύνολο. Κάθε αντικείµενο που ανήκει στο σύνολο µπορεί να αναγνωριστεί ως αυτό καθεαυτό και ως διαφορετικό από τα άλλα αντικείµενα του συνόλου (κάθε αντικείµενο του συνόλου έχει µια αναγνωρίσιµη ατοµικότητα). Η θεωρία των συνόλων που αναπτύχθηκε µε βάση τον καθορισµό της έννοιας του συνόλου όπως την έδωσε ο G. Cantor είναι γνωστή ως ενορατική θεωρία συνόλων, γιατί στηριζόταν στην ελεύθερη χρήση της διαίσθησης για το τι είναι σύνολο. Στην τυπική µαθηµατική γλώσσα, κάθε σύνολο µπορεί να περιγραφεί µε προσδιορισµό της ορίζουσας ιδιότητας που έχουν τα στοιχεία του Α={x x πολλαπλάσιο του 2}
που προκάλεσε η εισαγωγή της στα σχολικά βιβλία ήταν τέτοιος, που σε πολλές περιπτώσεις οδήγησε σε υπερβολές. Π.χ. σε κατάχρηση συµβολισµών, σε σφάλµατα κατά τη χρήση και εφαρµογή της θεωρίας συνόλων κ.α. Τέτοια φαινόµενα είχαν ως αποτέλεσµα να εµφανιστούν πολέµιοι της θεωρίας των συνόλων, οι οποίοι έφτασαν στο άλλο άκρο: θεώρησαν ως υπεύθυνη για όλα τα σφάλµατα τη θεωρία αυτή και γι αυτό, κατά τη γνώµη τους, έπρεπε να εξαλειφθεί αµέσως από τα σχολικά προγράµµατα. Σήµερα στις περισσότερες χώρες, στις µικρές σχολικές τάξεις (νηπιαγωγείο, Α, Β και Γ ηµοτικού) δεν υπάρχει άµεση διδασκαλία των συνόλων, αλλά οι έννοιες και οι τεχνικές της θεωρίας αυτής διατρέχουν µε έµµεσο τρόπο τη σχολική ύλη. Η Ελλάδα εξακολουθεί να έχει στην ύλη των µικρών τάξεων του δηµοτικού µεγάλες ενότητες αφιερωµένες στη συγκεκριµένη έννοια. Στο άρθρο αυτό µεταφέρουµε µερικά στοιχεία από την κριτική που ασκήθηκε στη χρησιµοποίηση των εννοιών των συνόλων και ιδιαίτερα των συµβολισµών και των αναπαραστάσεών τους στα σχολικά βιβλία και στη διδασκαλία στο νηπιαγωγείο και στο δηµοτικό σχολείο. Θα εστιάσουµε κυρίως στις απόψεις του Hans Freudenthal ενός έγκυρου µαθηµατικού που υπήρξε από τους πρωτεργάτες της ιδακτικής των Μαθηµατικών. Ο Freudenthal ανέπτυξε δηµόσιο διάλογο για αυτό το θέµα µε τον Piaget καθώς πολλές παιδαγωγικές υπερβολές των αναπαραστάσεων της Θεωρίας Συνόλων στηρίχθηκαν σε ερµηνείες των θεωρητικών απόψεων του σηµαντικού αυτού γνωστικού ψυχολόγου. Η πρώτη επισήµανση του Freudenthal είναι το ότι: τι είναι σύνολο, κατά τη γνώµη των δασκάλων και των βιβλίων διαφέρει από αυτό που εννοούν οι µαθηµατικοί. Οι δάσκαλοι έχουν ακούσει αρκετά θεωρητικά στοιχεία σχετικά µε τα σύνολα, αλλά τίποτα σχετικό µε το τι κάνεις µε τα σύνολα. Έτσι οι δάσκαλοι για να απαντήσουν στα παιδιά πρέπει να αυτοσχεδιάσουν (Freudenthal, 1973 pp.333). Σύµφωνα µε το Freudenthal, οι αναφορές στη Θεωρία Συνόλων, από τα διάφορα βιβλία, κινούνται µεταξύ δύο άκρων: Το πρώτο είναι ο τυπικός ορισµός του τι είναι σύνολο και το δεύτερο είναι η αναπαράσταση του συνόλου µε τα διαγράµµατα του Venn. Πράγµατι αυτό συµβαίνει και µε τα σχολικά µας βιβλία. Ο τυπικός ορισµός παρουσιάζεται στα βιβλία για το δάσκαλο ενώ στο βιβλίο του µαθητή η παρουσίαση γίνεται µε τα διαγράµµατα του Venn. Συγκεκριµένα ο τυπικός ορισµός όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο για το δάσκαλο της πρώτης τάξης του δηµοτικού (σελ. 39) έχει ως εξής: «Η βασικότερη έννοια στα νέα µαθηµατικά είναι η έννοια του συνόλου. Αντικείµενα υλικά ή της σκέψης, διακεκριµένα και σαφώς καθορισµένα που µπορούν µε κάποιο τρόπο να ξεχωριστούν, να συγκεντρωθούν σε µια ολότητα, σε ένα καινούριο όλο, αποτελούν ένα σύνολο. Ο κάποιος τρόπος είναι ιδιότητα ή ιδιότητες που µπορούµε να αποδώσουµε σε διαφορετικά µεταξύ τους αντικείµενα και που εξαιτίας τους αυτά τα αντικείµενα ξεχωρίζονται, οµαδοποιούνται σ ένα καινούριο και συγκεκριµένο ολόκληρο, στο σύνολό τους. Το κάθε αντικείµενο ενός συνόλου ονοµάζεται στοιχείο του και η ιδιότητα, που του αποδώσαµε είναι ο τρόπος, µε τον οποίο κατατάσσεται το σύνολο Τα αντικείµενα που αποτελούν ένα σύνολο πρέπει όπως είπαµε να τα διακρίνει ένα γενικό γνώρισµα ή µια φανερή ιδιότητα, για να µπορούν οι µαθητές µας κάθε φορά να δηλώνουν, αν ένα οποιοδήποτε αντικείµενο εντάσσεται ή όχι στο συγκεκριµένο σύνολο» συνεχίζουµε µε την αναφορά στα σύνολα όπως παρουσιάζεται στο βιβλίο για το δάσκαλο της τρίτης τάξης του δηµοτικού (σελ.12): «Στα µαθηµατικά όταν θέλουµε να αντιµετωπίσουµε ένα πλήθος διαφορετικών και σαφώς
καθορισµένων αντικειµένων σαν µια ολότητα, χρησιµοποιούµε τη λέξη Σύνολο. Τα αντικείµενα που ανήκουν σ ένα σύνολο λέγονται στοιχεία του συνόλου». Οι περίπλοκοι αυτοί ορισµοί, όπου υπάρχουν, περισσότερο µπερδεύουν παρά διευκολύνουν την κατανόηση της έννοιας. Η έννοια του συνόλου είναι µια αρχική έννοια και σύµφωνα µε το Freudenthal πρέπει να εισάγεται µε τον ίδιο τρόπο που εισάγονται οι αριθµοί, το σηµείο, η ευθεία και τα γεωµετρικά σχήµατα. «Τόσα λίγα πράγµατα όσα χρειάζονται για να εξηγήσουµε τι είναι ένας αριθµός και τι είναι ο αριθµός δύο, τόσα λίγα όσα χρειάζονται να σχηµατίσουµε στο µαυροπίνακα για να εξηγήσουµε τι είναι ένα σηµείο, τόσα λίγα χρειάζονται να ορίσουµε τι είναι σύνολο.» Η έµφαση στους τυπικούς ορισµούς είναι στοιχείο µεθοδολογίας της εκπαιδευτικής µεταρρύθµισης των µοντέρνων µαθηµατικών, που πλέον έχει ξεπεραστεί γιατί δε λειτούργησε σύµφωνα µε τις προσδοκίες των εµπνευστών της. Στα βιβλία του µαθητή επιλέγεται η παρουσία του συνόλου µε τα διαγράµµατα του Venn. Οι οδηγίες προς το δάσκαλο στο βιβλίο της τρίτης δηµοτικού (σελ. 13) αναφέρουν: «Χαράσσουµε µια κλειστή καµπύλη γραµµή, την οποία θα ονοµάζουµε στο εξής π ε ρ ί γ ρ α µ µ α και σηµειώνουµε στο εσωτερικό της, µε εικόνες ή ονόµατα ή γράµµατα ή αριθµητικά σύµβολα, τα στοιχεία του συνόλου Στο βιβλίο του µαθητή θα χρησιµοποιούµε την παράσταση συνόλων µε διαγράµµατα που ονοµάζονται Βένεια διαγράµµατα, από το όνοµα του Άγγλου µαθηµατικού J.Venn, ο οποίος καθιέρωσε αυτόν τον τρόπο παρουσίασης των συνόλων». Παρακάτω παρουσιάζουµε µερικά παραδείγµατα: Σχήµα 1: ιάγραµµα του Venn µε γλωσσικές εκφράσεις Από το βιβλίο του δασκάλου της Β τάξης σελ.21, 117, 120 3 διαγράµµατα Σχήµα 2: ιάγραµµα του Venn µε αριθµητικά σύµβολα και κουκίδες Από το βιβλίο του δασκάλου της Β τάξης σελ. 57 1 διάγραµµα Σχήµα 3: ιάγραµµα του Venn µε εικόνες και γλωσσικές εκφράσεις Από το βιβλίο του δασκάλου της Β τάξης σελ.64, 303 3 διαγράµµατα Σχήµα 4: ιάγραµµα του Venn µε γλωσσικές εκφράσεις Από το πρώτο µέρος του σχολικού βιβλίου της Β τάξης σελ. 44 Από το πρώτο µέρος του σχολικού βιβλίου της Γ τάξης σελ. 12,35 3 διάγραµµα Σχήµα 5: ιαγράµµατα του Venn µε αριθµητικά σύµβολα ή γράµµατα και κουκίδες Από το δεύτερο µέρος του σχολικού βιβλίου της Β τάξης σελ. 83 Από το πρώτο µέρος του σχολικού βιβλίου της Γ τάξης σελ. 35 6 διαγράµµατα Σχήµα 6: ιαγράµµατα του Venn µε εικόνες και αρίθµηση
Από το δεύτερο µέρος του βιβλίου της Β τάξης σελ. 110 2 διαγράµµατα Σχήµα 7: ιαγράµµατα του Venn µε όχι ξεκάθαρη παρουσίαση των συνόλων Από το πρώτο µέρος του βιβλίου της Α τάξης σελ. 118 Από το δεύτερο µέρος του βιβλίου της Α τάξης σελ. 6,7 Από το δεύτερο µέρος του βιβλίο της Β τάξης σελ. 21 Από το πρώτο µέρος του σχολικού βιβλίου της Γ τάξης σελ. 12 4 διαγράµµατα Όλα αυτά τα σχήµατα αποδείχθηκαν λανθασµένα, ως καταχρηστικά, διότι δηµιουργούν σύγχυση για την έννοια του «ανήκειν», µε ποιον τρόπο δηλαδή µπορούµε να είµαστε σίγουροι ποιο ακριβώς είναι το στοιχείο που απεικονίζεται στο συγκεκριµένο σύνολο (η κουκίδα, οι λέξεις, τα γράµµατα, οι αριθµοί, οι εικόνες). Σε αντίθεση µε το τι αναφέρεται στο βιβλίο για το δάσκαλο, ο Freudenthal θεωρεί απαράδεκτο το να χρησιµοποιούµε λέξεις και ονόµατα µέσα σε διάγραµµα του Venn. Τα στοιχεία του διαγράµµατος του Venn πρέπει να είναι εικόνες. Οι γλωσσικές εκφράσεις, αν υπάρχουν, πρέπει να χρησιµοποιούνται µόνο ως εξηγήσεις (σχήµα 8). Τα διαγράµµατα του Venn δεν είναι ένα γλωσσικό φαινόµενο, αλλά µια εικόνα που παριστά ένα αντικείµενο. Οι εικόνες πρέπει να παριστούν κάτι έστω και αν είναι της φαντασίας. Το διάγραµµα του Venn είναι απεικόνιση του συνόλου και πρέπει ως τέτοιο: 1. να απεικονίζει κάτι 2. εύκολα και χωρίς πολλές εξηγήσεις να µπορεί ο αναγνώστης να αναγνωρίζει τι σκοπεύει να απεικονίσει (η απεικόνιση από µόνη της είναι καθαρή και εύκολη γνώση). Κατά συνέπεια το διάγραµµα του Venn πρέπει να είναι η απεικόνιση ενός συνόλου µε εικόνες οι οποίες θα βρίσκονται στο εσωτερικό του και δε θα ακουµπούν πάνω στα σύνορα του διαγράµµατος. Τέτοια παραδείγµατα είναι: Σχήµα 8: ιαγράµµατα του Venn µε εικόνες και γλωσσικές εκφράσεις ως εξήγηση Από το βιβλίο δραστηριοτήτων για το νηπιαγωγείο σελ.274 Από το πρώτο µέρος του βιβλίου της Β τάξης σελ. 5,19 14 διαγράµµατα Σχήµα 9: ιαγράµµατα του Venn µε ίδιες εικόνες χωρίς εξήγηση Από το πρώτο µέρος του βιβλίου της Α τάξης σελ.44-46 15 διαγράµµατα Με τα διαγράµµατα του Venn στα κλασσικά µαθηµατικά ή όπως τα ονοµάζει ο Freudenthal Νatural Venn Diagrams εννοούµε την εικόνα του εσωτερικού µιας απλής κλειστής επίπεδης καµπύλης που επιτυγχάνεται ζωγραφίζοντας το είδωλο αυτής της επίπεδης καµπύλης και ίσως µε τι µοιάζει στο χαρτί το εσωτερικό της. Με
αυτό τον τρόπο τα διαγράµµατα του Venn χρησιµοποιούνται στα µαθηµατικά. Με χρήση τέτοιων οβάλ απεικονίζεται, συχνά, η τοµή και η ένωση συνόλων όπως και το συµπλήρωµα (σχήµα 10). Σχήµα 10: ιαγράµµατα του Venn και σχέσεις µεταξύ των συνόλων Από το βιβλίο του Θ. Εξαρχάκου ιδακτική των Μαθηµατικών 6 διαγράµµατα Με τα διαγράµµατα του Venn δεν µπορούν να παρασταθούν ορισµένες κρίσιµες σχέσεις όπως ένα σύνολο να είναι στοιχείο ενός άλλου συνόλου ή οι ιδιότητες ενός συνόλου, όπως αν είναι πεπερασµένο ή άπειρο ή αν έχει συγκεκριµένο αριθµό στοιχείων, απλά γιατί αυτά τα διαγράµµατα δεν µπορούν να το κάνουν. Ούτε παλιότερα τα διαγράµµατα του Venn χρησιµοποιούνταν για να παραστήσουν το είδος των στοιχείων του συνόλου. Τα αυθεντικά Νatural Venn Diagrams τα συναντάµε σπάνια στα σχολικά βιβλία (καθόλου στα βιβλία του δηµοτικού) όµως ακόµη και στα διαγράµµατα που χρησιµοποιούνται υπάρχει οµοφωνία στη διατήρηση µιας βασικής ιδιότητας, της κλειστής καµπύλης. Αυτό είναι ένα κοµµάτι του διαγράµµατος του Venn που αναγνωρίζεται από τους περισσότερους χρήστες του. Το νόηµα της καµπύλης στο διάγραµµα του Venn, των σχολικών βιβλίων, δεν είναι κατανοητό και δεν είναι ξεκάθαρο τι απεικονίζει. Υπάρχει η αίσθηση ότι κανένας δεν το έχει πραγµατικά σκεφτεί. Απλά έχει αντιγραφεί από τα παλιού στυλ διαγράµµατα του Venn που πραγµατικά εννοούσαν καµπύλη και τώρα συνεχίζεται από παράδοση. Η καµπύλη των σχολικών βιβλίων προσφέρεται µόνο για να κρατήσει µαζί πράγµατα άσχετα µεταξύ τους. Ζωγραφίζουµε στο χαρτί µια συλλογή από σχήµατα και για να ουδετεροποιήσουµε αυτή την ετερογένεια, ζωγραφίζουµε µια καµπύλη γύρω τους. Υπάρχει µια αιτία για την αρχή της ετερογένειας και αυτή η αιτία οφείλεται στη µη κατανόηση της µαθηµατικής έννοιας του συνόλου. Θεωρείται, κακώς, ότι η αναπαράσταση του συνόλου στο διάγραµµα του Venn πρέπει να αποτελείται ολοφάνερα από διαφορετικά στοιχεία. Αλλά γιατί πρέπει να γίνεται αυτό; εν υπάρχει κανένας λόγος τα σύνολα να αποτελούνται αποκλειστικά από ετερογενή στοιχεία. Ίσα ίσα τέτοιου τύπου σύνολα είναι αρκετά πολύπλοκο να οριστούν στα µαθηµατικά. Η κλειστή καµπύλη στα σχολικά βιβλία χρησιµοποιείται όµως συνήθως για να συλλέξει τα ετερογενή στοιχεία. Σχήµα 11: ιαγράµµατα του Venn µε ετερογενή στοιχεία Από το πρώτο µέρος του βιβλίου της Α τάξης σελ. 33 Από το πρώτο µέρος του βιβλίου της Β τάξης σελ. 25 Από το πρώτο µέρος του σχολικού βιβλίου της Γ τάξης σελ. 10,11,12 15 διαγράµµατα Αφού λοιπόν η ετερογένεια δε θεωρείται απαραίτητο χαρακτηριστικό των διαγραµµάτων του Venn δεν έχει αποµείνει λόγος για τη χρήση της καµπύλης του διαγράµµατος του Venn στις µικρές τάξεις για µικρά σύνολα, διότι αυτό µπορεί να οδηγήσει σε συγχύσεις νοηµάτων. Εναλλακτικά µπορούµε να προτείνουµε σύµφωνα µε το Freudenthal άλλους τρόπους για την εικονική αναπαράσταση των συνόλων. Αυτοί οι τρόποι ίσως να είναι
καλύτεροι από ότι η αναπαράσταση των συνόλων µε το διάγραµµα του Venn. Συγκεκριµένα: Ένα σύνολο από µήλα µπορεί να παρασταθεί σαν ένας σωρός σε πυραµίδα από κύκλους ή όπως είναι τα µήλα όταν τα προσφέρουµε σε ένα πιάτο. Σχήµα 12: Εναλλακτικοί τρόποι παρουσίασης ενός συνόλου από µήλα Από το δεύτερο µέρος του βιβλίου της Α τάξης σελ. 25 5 εικόνες Έχουµε ένα τραπέζι στρωµένο µε τα σερβίτσια του πρωινού. Τα υποσύνολα των φλιτζανιών ή των πιάτων ή των φαγώσιµων ειδών µπορούν να φτιαχτούν µε τα ίδια τα αντικείµενα Είναι χωρίς νόηµα η οριοθέτηση ενός υποσυνόλου βάζοντας ένα σπάγκο στο τραπέζι, όπως γίνεται συνήθως στα σχολεία. Ένα σύνολο από τούβλα µπορεί να παρασταθεί σαν ένας πύργος ή σαν ένας τοίχος ή σαν ένα κτίριο. ύο πύργοι δίπλα δίπλα οδηγούν αυτόµατα σε σύγκριση της πληθικότητας, Αν χρησιµοποιήσουµε τούβλα διαφορετικών χρωµάτων δηµιουργούµε τα υποσύνολα. Ένα θρανίο µε παιδιά, ή ένα τραπέζι µε παιδιά γύρω απ αυτό είναι από µόνο του µια εικόνα ενός συνόλου παιδιών, από το οποίο µπορούν να δηµιουργηθούν όλα τα είδη των υποσυνόλων. Ένα σύνολο βιβλίων παριστάνεται στο ράφι, όπου µπορούµε να ξεχωρίσουµε τα µεγάλα από τα µικρά βιβλία, τα κίτρινα από τα κόκκινα, τα βιβλία µε κείµενο από εκείνα µε εικόνες κ.λ.π. Σχήµα 13: Εναλλακτικός τρόπος παρουσίασης ενός συνόλου από βιβλία Από το δεύτερο µέρος του βιβλίου της Β τάξης σελ.88 1 διάγραµµα Λουλούδια διαφόρων ειδών και χρωµάτων µπορούν να δηµιουργήσουν διαφορετικές ανθοδέσµες. Σχήµα 14: Εναλλακτικός τρόπος παρουσίασης ενός συνόλου λουλουδιών Από το δεύτερο µέρος του βιβλίου της Β τάξης σελ. 91 1 σχήµα Σχήµα 15: Εναλλακτικοί τρόποι παρουσίασης συνόλων Από το δεύτερο µέρος του βιβλίου της Β τάξης σελ. 91,129 Από το πρώτο µέρος του βιβλίου της Β τάξης σελ. 118 4 σχήµατα Η χωρίς σηµασία καµπύλη σχεδόν πάντα δείχνει ότι ο σχεδιαστής (ή ο συγγραφέας) δεν προσπάθησε να σκεφτεί πώς θα παραστήσει µε πρωτότυπο τρόπο, τα στοιχεία που αποτελούν ένα σύνολο. Τα διαγράµµατα του Venn εποµένως χρησιµοποιούνται συχνά, στα σχολικά βιβλία, για στόχους για τους οποίους είναι τελείως ακατάλληλα. Αν ο σκοπός µας δεν είναι οι σχέσεις ένωσης και τοµής, αλλά απλά η εικονογράφηση των συνόλων, θα πρέπει να αναρωτηθούµε αρχικά τι θέλουµε να πετύχουµε µε την εικόνα και µε ποιο τρόπο θα το πετύχουµε καλύτερα. Το να εφαρµόζουµε µια χρήσιµη µέθοδο σε όλα τα είδη των καταστάσεων χωρίς να
ελέγχουµε την καταλληλότητά τους, είναι υπερβολή και δεν είναι συνήθης στα µαθηµατικά. Το ίδιο συµβαίνει και µε την εισαγωγή των φυσικών αριθµών µε τη Θεωρία Συνόλων. Πολλές φορές αφού εισαχθούν τα σύνολα, χρησιµοποιούνται για να εισάγουν τους φυσικούς αριθµούς ή (σε υψηλότερα επίπεδα) για να γίνει ανασκόπηση των φυσικών αριθµών. Τα σύνολα όµως δεν αρκούν για να εξυπηρετήσουν αυτό το σκοπό και η έννοια του συνόλου χάνει τη λειτουργικότητά της (Freudenthal, 1973). Σχήµα 16: Εισαγωγή των φυσικών αριθµών µε τα σύνολα Από το βιβλίο για το δάσκαλο της Α τάξης σελ. 146 Από το πρώτο µέρος του βιβλίου της Α τάξης σελ. 47 Από το πρώτο µέρος του σχολικού βιβλίου της Γ τάξης σελ. 13 3 διαγράµµατα Με τα παραπάνω σχήµατα καταλαβαίνουµε ότι επικρατεί σύγχυση. ε γίνεται ξεκάθαρο για το αν οι κουκίδες µέσα σε αυτά τα σύνολα είναι η ίδια κουκίδα που επαναλαµβάνεται ή είναι πολλές διαφορετικές. Με αυτό τον τρόπο παρουσιάζεται το υποσύνολο ταυτόχρονα µέσα και έξω από το σύνολο. Ο «Μικρός Κόσµος» του Freudenthal. Ο Freudenthal (1973), για δραστηριότητες µε παιδιά προσχολικής ηλικίας, προτείνει ένα είδος συνόλου αναφοράς που το ονοµάζει «Μικρό Κόσµο» και περιλαµβάνει κάτι σαν αυτό που περιέχει ένα κουτί µε παιχνίδια. Ο «Μικρός Κόσµος» µπορεί να ταξινοµηθεί σύµφωνα µε το χρώµα, το σχήµα, το µέγεθος και τη συνάρτηση (κινητό ή ακίνητο, εννοώντας οχήµατα, αυτοκίνητα, κούκλες, κοµµάτια), δηλαδή, τα παιδιά πρέπει να ταξινοµήσουν το «Μικρό Κόσµο». Μπορούν να εξασκηθούν µε το να καθορίζουν και να κατεργάζονται τη δοµή, να χαρακτηρίζουν αντικείµενα και είδη αντικειµένων µε απαραίτητα και ικανά κριτήρια. Σ αυτόν το «Μικρό Κόσµο» µπορούν επίσης να µάθουν τι είναι απαραίτητο και τι είναι τυχαίο: αν κατά τύχη στο Μικρό Κόσµο όλα τα κόκκινα κινούµενα πράγµατα είναι αυτοκίνητα, τότε αυτό το γεγονός µπορεί να αναγνωριστεί σαν θεώρηµα του Μικρού Κόσµου, το οποίο σε κάποια άλλη περίπτωση δεν είναι αληθές. Σε ένα καλά οργανωµένο λογικό σύνολο από πράγµατα, όλα τα κριτήρια είναι ανεξάρτητα. Αν τα κριτήρια είναι: κόκκινο µπλε, µε γωνίες στρογγυλό, µακρύ κοντό, χοντρό λεπτό, τότε όλοι οι συνδυασµοί, (π.χ. όπως κόκκινο µε γωνίες µακρύ χοντρό κ.λ.π.), παριστάνονται και ίσως µόνο µια φορά. Στο κουτί µε τα παιχνίδια τα κριτήρια δε χρειάζεται να είναι ανεξάρτητα. Μπορεί όλα τα κόκκινα κινητά αντικείµενα να είναι αυτοκίνητα, ενώ από την άλλη µεριά δε χρειάζεται όλα τα αυτοκίνητα να είναι κόκκινα. Υπάρχει φυσικός πλούτος συνδυασµών. Ο Freudenthal αναφέρει το «Μικρό Κόσµο» σα λογική και συνολοθεωρητική άσκηση για την ηλικία του νηπιαγωγείου ή των πρώτων τάξεων του δηµοτικού. Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι η σηµασία του υλικού να γίνει αρκετά γνωστή και να γίνει φανερό τι µπορεί να επιτευχθεί µε αυτό, πέραν της επιτυχίας της τοπικής διδασκαλίας, στη σφαιρική συγκρότηση της διδασκαλίας των µαθηµατικών. Οι λειτουργίες της θεωρίας συνόλων στα συγκροτηµένα σύνολα αναφοράς οδηγεί σε µια πιο ουσιαστική χρήση των συνόλων. Ο µικρός κόσµος του Freudenthal θα µπορούµε να εµπλουτίσει και να νοηµατοδοτήσει τις προτάσεις του βιβλίου δραστηριοτήτων για το Νηπιαγωγείο στο
τέταρτο µέρος, στο κεφάλαιο ηµιουργικότητα και νοητική ανάπτυξη του νηπίου, «οµαδοποιήσεις ταξινοµήσεις» (σελ. 233), όπου αναφέρεται ότι «η ζωή στο νηπιαγωγείο και το ποικίλο υλικό προσφέρουν στα νήπια πολλές δυνατότητες για συσχετίσεις, οµαδοποιήσεις και ταξινοµήσεις, µερικές και ολικές. Π.χ. οι µαρκαδόροι, οι κηροµπογιές, οι ξυλοµπογιές (στη γωνιά της ζωγραφικής), οι συλλογές από κουκουνάρια, ξηρούς καρπούς, πώµατα, µανταλάκια, καραµελόχαρτα (στη γωνιά της χειροτεχνίας), το οικοδοµικό υλικό, τα γεωµετρικά σχήµατα, οι χάντρες κ.λ.π. προκαλούν τα νήπια να κάνουν ελεύθερες οµαδοποιήσεις µε δικά τους κριτήρια, ώσπου να φτάσουν µόνα τους στις ταξινοµήσεις µε βάση: α) τα χαρακτηριστικά τους γνωρίσµατα (χρώµα, µέγεθος, σχήµα, βάρος, υλικό κατασκευής, υφή επιφανειών, παραγόµενοι ήχοι). β) τη λειτουργικότητα (κόβει, µεταφέρει, καθαρίζει κ.λ.π.) γ) τη χρήση - ωφέλεια (φοριέται, τρώγεται, πίνεται κ.λ.π.)». Ο εµπλουτισµός των τρόπων απεικόνισης των µικρών συνόλων στις µικρές τάξεις και η ένταξη στις διδακτικές δραστηριότητες πραγµατικών αντικειµένων, όπως «ο Μικρός Κόσµος του Freudenthal», διορθώνουν τις συγχύσεις που προκαλούνται από την κατάχρηση των διαγραµµάτων τύπου Venn και διευρύνουν την αντίληψη επεξεργασίας υλικού και ταξινοµήσεων πέρα από τα δοµηµένα υλικά τύπου Dienes. Αναφορές Εξαρχάκος Θ. (1991). Εισαγωγή στα Μαθηµατικά Εκδ. Αθανασόπουλος Παπαδάµης και Σια Αθήνα Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (1994). Βιβλίο ραστηριοτήτων για το Νηπιαγωγείο. Ο.Ε..Β. Αθήνα. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (1994) Μαθηµατικά πρώτης δηµοτικού βιβλίο για το δάσκαλο Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (1994) Μαθηµατικά δευτέρας δηµοτικού βιβλίο για το δάσκαλο Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (1994) Μαθηµατικά τρίτης δηµοτικού βιβλίο για το δάσκαλο Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (1998) Τα µαθηµατικά µου Α τάξη δηµοτικού πρώτο µέρος Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (1994) Τα µαθηµατικά µου Α τάξη δηµοτικού δεύτερο µέρος Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (2000) Τα µαθηµατικά µου Β τάξη δηµοτικού πρώτο µέρος Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (2000) Τα µαθηµατικά µου Β τάξη δηµοτικού δεύτερο µέρος Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (2000) Τα µαθηµατικά µου Γ τάξη δηµοτικού πρώτο µέρος Ο.Ε..Β. Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων Παιδαγωγικό Ινστιτούτο (2000) Τα µαθηµατικά µου Γ τάξη δηµοτικού δεύτερο µέρος Ο.Ε..Β. Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an Educational Task, D. Reidel Publishing Company / Dordrecht Holland.