Μη γραμμικά φαινόμενα Ι

EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Η/Υ ΦΩΤΟΝΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Μη γραμμικά φαινόμενα Ι Ηρακλής Αβραμόπουλος Photonics Communications Research Laboratory

Διάρθρωση μαθήματος Μη γραμμικό φαινόμενο Kerr Μη γραμμικός όρος πόλωσης υλικού Μη γραμμικός όρος δείκτη διάθλασης Εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ισχύ Μη γραμμικός όρος πόλωσης υλικού από την επιβολή δύο πεδίων Μη γραμμικός δείκτης διάθλασης Όρος αυτοδιαμόρφωσης φάσης Όρος ετεροδιαμόρφωσης φάσης Όρος μίξης τεσσάρων φωτονίων

Διάρθρωση μαθήματος Αυτοδιαμόρφωση φάσης Κυματοδήγηση οπτικού παλμού σε μη-γραμμική ίνα Επιπτώσεις αυτοδιαμόρφωσης φάσης Φασματική διεύρυνση οπτικού παλμού Chirp Αλληλεπίδραση αυτοδιαμόρφωσης φάσης και διασποράς ταχύτητας ομάδας Ασκήσεις στα μη γραμμικά φαινόμενα Ι

Παραμορφώσεις διάδοσης Γραμμικές διασπορά Μη γραμμικές μη γραμμικότητες Kerr αυτοδιαμόρφωση φάσης ετεροδιαμόρφωση φάσης μίξη τεσσάρων φωτονίων μη γραμμικότητες σκέδασης σκέδαση Raman σκέδαση Brillouin

μη γραμμική πόλωση υλικού Όπως είδαμε και στο ο μάθημα, τα άτομα ενός υλικού αποκρίνονται σε υπάρχον ηλεκτρικό πεδίο Ε με βάση τη σχέση της πόλωσης: P =ε 0 [ χ (1).E + χ ().E.E + χ (3).E.E.E +...] γραμμικός όρος Pockel s effect γραμμικός όρος Kerr effect όπου Ε: συνολικό ηλεκτρικό πεδίο ε 0 : διηλεκτρική σταθερά του κενού χ (n) :ο n-τάξης τανυστής διηλεκτρικής επιδεκτικότητας (ο οποίος γενικά είναι συνάρτηση της συχνότητας) Στην οπτική ίνα, όμως, χ () =0 επειδή η ίνα είναι κεντροσυμμετρικό υλικό (οπότε δεν υπάρχει το Pockel s effect),...αλλά χ (3) μη μηδενικό!

μη γραμμικότητα Kerr...η αιτία των μη γραμμικών φαινομένων στην οπτική ίνα άρα πόλωση μες στην ίνα δίνεται από: P =ε 0 [ χ (1) +χ (3).E.E+...].E γραμμικός όρος μη γραμμικός όρος λόγω Kerr effect όμως Ε.E = E είναι η ισχύς του πεδίου, οπότε... η απόκριση του υλικού σε εφαρμογή πεδίου εξαρτάται από την ισχύ του συνολικού πεδίου μέσα στην ίνα

δείκτης διάθλασης Ορισμός διηλεκτρικής μετατόπισης D: D ε D ε 0 0 Ε + όμως εξ ορισμού ε r E P = ε 0, άρα Ορισμός δείκτη διάθλασης Ε + ε ε 0 r χ 3 ε 4 ( 1) ( 3) = Ε + n = ε n + n Δn r 0 0 0 χ Ε 3 1 + χ + χ Ε 4 3 ( 1) ( 3) n 0 = 1 + χ ( 1) και Δn = 3 8 χ n (3) 0 E

δείκτης διάθλασης Οπότε 3 χ n = n + (3) 0 + Δn = n0 + E = n0 ne 8 n0 μη γραμμικός όρος δείκτη διάθλασης...δηλαδή η τρίτης τάξης μη γραμμικότητα που πηγάζει από τον παράγοντα χ (3), προκαλεί εξάρτηση του δείκτη διάθλασης που αντιλαμβάνεται το ηλεκτρικό πεδίο από την εξωτερικά επιβαλλόμενη ισχύ

Μη γραμμική πόλωση υλικού από την επιβολή δύο πεδίων έστω δύο πεδία Ε 1 =Ε 1 exp(ω 1 t) και Ε =Ε exp(ω t) το συνολικό πεδίο είναι: 1 E(r, t) = xˆ 1 [ E exp( ω t) + E exp( ω )] 1 t με αντικατάσταση στην έκφραση της πόλωσης Ρ: P NL (r, t) = (1/ ) xˆ{ P + + P P NL NL (ω ω )exp[ (ω ω ) t] + 1 (ω ω )exp[ (ω ω ) t]} + c. c. NL ( ω )exp( ω t) + P 1 1 1 NL 1 ( ω )exp( ω t) +...παίρνουμε όρους ταλάντωσης στις συχνότητες: ω 1 ω ω 1 -ω ω -ω 1, κτλ

Μη γραμμική πόλωση υλικού από την επιβολή δύο πεδίων όπου P ( ω ) = χ ( E + P NL 1 eff 1 E NL ω ) = χeff ( E + E1 ) ) E ( E 1 μη γραμμικοί όροι δείκτη διάθλασης P NL ( ω1 ω ) = P NL ( 1 ω ω ) =...... όροι μίξης τεσσάρων φωτονίων (θα ασχοληθούμε αργότερα)

μη γραμμικός δείκτης διάθλασης η απόκριση του υλικού σε κάθε συχνότητα γράφεται σαν άθροισμα γραμμικού και μη γραμμικού μέρους: P tot ( L NL ε ) + ε E ε ε E ( = ω ) = PL ( ω ) + PNL( ω ) = ε 0 0 και γράφοντας το ε ως ε L NL L = ε + ε = ( n + Δn ) προκύπτει Δn ε NL / n n E + E 3 μη γραμμικός δείκτης διάθλασης

μη γραμμικότητα στη φάση διάδοσης ο μη γραμμικός δείκτης διάθλασης εισάγει μη γραμμικότητα στη φάση διάδοσης φ NL = ω c z Δn = ω zn c E + E 3 όρος αυτοδιαμόρφωσης φάσης Η ισχύς του ίδιου του σήματος προκαλεί μη γραμμική μεταβολή του δείκτη διάθλασης και κατά συνέπεια της φάσης του σήματος όρος ετεροδιαμόρφωσης φάσης Μόνο σε περίπτωση δύο συνδιαδιδόμενων σημάτων! Η ισχύς του ενός σήματος προκαλεί μη γραμμική μεταβολή του δείκτη διάθλασης στο δεύτερο σήμα και κατά συνέπεια της φάσης αυτού

αυτοδιαμόρφωση φάσης ή Self Phase Modulation Self-phase Modulation (SPM): μόνο ένα κύμα μέσα στην ίνα εξάρτηση δείκτη διάθλασης από την οπτική ισχύ λόγω Kerr n(ω, Ε )=n(ω)+n Ε n(ω): το γραμμικό μέρος του δείκτη διάθλασης, Ε : η στιγμιαία ισχύς μέσα στην ίνα, n : ο μη γραμμικός συντελεστής του δείκτη διάθλασης οπότε η φάση ενός κύματος Ε=Ε 0 exp[-(ωt-β(ω) z)] είναι φ=β(ω) z= [ω n(ω, Ε )/c] z, ή αλλιώς: φ=[n(ω)+n Ε ] (ω/c) z = φ L +Δφ NL με Δφ NL =n Ε (ω/c) z

αυτοδιαμόρφωση φάσης Δφ NL (t)=n Ε(t) (ω/c) z P(t) Δφ NL (t)=n (ω/c) z A eff όπου A eff η διατομή της ίνας η οποία βάλλεται από οπτική ισχύ, n ω και γ = γνωστός ως παράγοντας μη γραμμικότητας ca eff Δφ NL (t) = γ P(t) z Η σημαντικότερη σχέση στην αυτοδιαμόρφωση φάσης! (όταν υποθέτουμε διάδοση χωρίς απώλειες)

κυματοδήγηση οπτικού παλμού σε μη γραμμική ίνα Αν συμπεριλάβουμε τα μη γραμμικά φαινόμενα στην κυματική εξίσωση, τότε αυτή, γιατηνπεριβάλλουσατουοπτικούσήματος Α(z,t), δίνει λύση της μορφής A z = αa + 1 β A T γ A A φαινόμενο απορρόφησης φαινόμενο διασποράς φαινόμενο αυτοδιαμόρφωσης φάσης όπου α ο συντελεστής εξασθένησης της ίνας, β η αντίστοιχη παράμετρος της σταθεράς διάδοσης και γ ο παράγοντας μη γραμμικότητας

κυματοδήγηση οπτικού παλμού σε ίνα με διασπορά Με κανονικοποίηση της περιβάλλουσας του οπτικού σήματος Α(z,t) και θεωρώντας αμελητέα την επίδραση της διασποράς, η εξίσωση γίνεται : ϑu ϑz = γp0 exp( αz) U U φαινόμενο αυτοδιαμόρφωσης φάσης όπου Ρ0 η ισχύς κορυφής του διαδιδόμενου παλμού

κυματοδήγηση οπτικού παλμού σε ίνα με διασπορά Η λύση της κυματικής εξίσωσης δίνει : U(z,T) = U(0,T)exp iφ ( ) NL (z,t) Και επειδή για τη λύση αυτή δεν αμελήσαμε τις απώλειες ισχύος στη διάδοση του σήματος, η αντίστοιχη έκφραση για τη μη γραμμική μεταβολή της φάσης προκύπτει ίση με: φnl(t) = 1 γp (t) exp( αz) α όπου α ο συντελεστής εξασθένησης της οπτικής ίνας. Όταν α τείνει στο 0, τότε η κλασματική ποσότητα τείνει στο z

αυτοδιαμόρφωση φάσης ορίζω: Μήκος μη-γραμμικότητας L NL : Το μήκος που αρχίζει να γίνεται κυρίαρχη η μη γραμμικότητα της ίνας L NL = 1 γp 0 με Ρ 0 την ισχύ κορυφής του παλμού (maximum ισχύ της κυματομορφής)

αυτοδιαμόρφωση φάσης η φάση κατά μήκος ενός οπτικού παλμού ακολουθεί την κυματομορφή της ισχύος του παλμού ισχύς ισχύς οπτικού παλμού P=P(t) φ NL ω=dφ/dt φάση οπτικού παλμού φ NL =φ NL (t) ω χρόνος στιγμιαία μεταβολή στη συχνότητα του παλμού δω = φ t NL = n ω c ( z E(t) t )

chirp λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης φάση οπτικού παλμού διαμορφώνεται από την ισχύ του φ k φ 1k στιγμιαία συχνότητα ω του παλμού μεταβάλλεται μη γραμμικά με το χρόνο (chirp) Συνέπεια: ω k Η ίδια συχνότητα ω k δημιουργείται σε περισσότερα από ένα χρονικά σημεία του παλμού, άρα έχει περισσότερες από μία φάσεις φ 1k και φ k

chirp λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης όσο περισσότερο απότομες μεταβολές έχει η χρονική κυματομορφή του παλμού, τόσο πιο έντονο γίνεται το chirping Μέγιστη μεταβολή της φάσης υφίστανται τα κεντρικά τμήματα του παλμού Μέγιστη μεταβολή της συχνότητας υφίστανται τα σημεία μέγιστης κλίσης του παλμού.

φάσμα λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης Δω max αυξάνει καθώς το σήμα διαδίδεται όταν Δω max γίνεται μεγαλύτερο του φασματικού εύρους του αρχικού παλμού, τότε: γεννιούνται νέες φασματικές συνιστώσες διεύρυνση φάσματος αρχικού παλμού φ NL ω ω k Δω max χρόνος

φάσμα λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης Γιατί το διευρυμένο φάσμα του σήματος εμφανίζεται να έχει τρύπες? συμβολή συνιστώσας ω k με φάση φ 1k και συνιστώσας ω k με φάση φ k, όπου φ 1k και φ k μεταβάλλονται καθώς το σήμα διαδίδεται δημιουργούν αυξομειώσεις στην συνολική ισχύ κάθε συχνότητας τρύπες στο φάσμα του σήματος φ k φ 1k φ NL ω φάσμα για διάφορες τιμές στροφής φάσης ω k Δω max χρόνος

Φασματική διεύρυνση οπτικού παλμού Ο προσδιορισμός της φασματικής διεύρυνσης του παλμού λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης Δωmax γίνεται από το μέγιστο της συνάρτησης δω(t) δω max = f T m 0 φ max όπου f 1 1 / m = 1 1 m exp 1 1 m Για παλμό Gauss (m=1) χωρίς αρχικό chirp δv max = 0. 8 Δωφ max

επίδραση αυτοδιαμόρφωσης φάσης η αυτοδιαμόρφωση φάσης όταν δρα μόνη της (χωρίς διασπορά) επηρεάζει ΜΟΝΟ το φάσμα παλμός φάσμα πριν μετά από SPM...άρα η αυτοδιαμόρφωση φάσης δεν υποβαθμίζει την ποιότητα του σήματος

αυτοδιαμόρφωση φάσης + διασπορά ΩΣΤΟΣΟ η αυτοδιαμόρφωση φάσης όταν δρα ΜΑΖΙ με τη διασπορά παραμορφώνει το σήμα διασπορά ps/nm/km πεδίο συχνότητας πεδίο χρόνου παλμοί με μεγάλο φασματικό εύρος παραμορφώνονται περισσότερο λόγω διασποράς

αυτοδιαμόρφωση φάσης + διασπορά ορίζω: N L D γp0t0 = L NL = β Ν<<1: Κυριαρχούν τα φαινόμενα διασποράς Ν>>1: Κυριαρχούν τα μη γραμμικά φαινόμενα Ν~1: SPM, GVD δρουν ισότιμα κατά την κυματοδήγηση

αυτοδιαμόρφωση φάσης + διασπορά χρόνος φάσμα μόνο αυτοδιαμόρφωση φάσης οπτική ίνα χρόνος φάσμα μόνο διασπορά οπτική ίνα χρόνος φάσμα αυτοδιαμόρφωση φάσης + διασπορά οπτική ίνα

αυτοδιαμόρφωση φάσης + διασπορά Περιοχή ομαλής διασποράς (β>0): Θεωρούμε Ν=1 Ταχύτερη διεύρυνση του παλμού από όταν είχαμε μόνο επίδραση διασποράς. Η αυτοδιαμόρφωση φάσης δημιουργεί νέες πλευρικές φασματικές συνιστώσες, οπότε και η επίδραση της διασποράς γίνεται πιο έντονη

αυτοδιαμόρφωση φάσης + διασπορά Περιοχή ανώμαλης διασποράς (β<0): Η διεύρυνση του παλμού είναι αρχικά πιο αργή από την περίπτωση που θα επιδρούσε μόνο η διασπορά. Παράλληλα ο παλμός στενεύει, αντί να διευρύνεται (το chirp που εισάγει το SPM είναι θετικό, οπότε και αλληλοαναιρείται με την διαμόρφωση φάσης λόγω διασποράς)

Ασκήσεις στη μη-γραμμικότητα Ι

Άσκηση 1: Περιγράψτε το φαινόμενο της αυτοδιαμόρφωσης φάσης σε οπτικές ίνες. Περιγράψτε τι θα συμβεί στις περιπτώσεις (α) ίνας με μηδενική διασπορά, (β) ίνας με θετική διασπορά, (γ) ίνας με αρνητική διασπορά και (δ) ίνας με μηδενική διασπορά, στην έξοδο της οποίας έχει τοποθετηθεί φίλτρο. Εστιάστε την περιγραφή σας στη μεταβολή του πεδίου και της φάσης του οπτικού παλμού στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας. Κάνετε χρήση διαγραμμάτων για διευκόλυνση της περιγραφής σας.

Ίνα με μηδενική διασπορά Χρονικό περιεχόμενο Φασματικό περιεχόμενο αρχικός παλμός Αυτοδιαμόρφωση φάσης παλμός στην έξοδο της ίνας Δημιουργία red-shifted συνιστωσών στο προπορευόμενο τμήμα του παλμού και blue-shifted συνιστωσών στο τμήμα που ακολουθεί.

Ίνα με θετική διασπορά Χρονικό περιεχόμενο Φασματικό περιεχόμενο αρχικός παλμός Αυτοδιαμόρφωση φάσης θετική διασπορά παλμός στην έξοδο της ίνας

Ίνα με θετική διασπορά Οι red-shifted συνιστώσες (χαμηλές συχνότητες) που παράγονται στο προπορευόμενο τμήμα του παλμού (λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης) διαδίδονται γρήγορα λόγω της θετικής διασποράς, ενώ οι blue-shifted (υψηλές συχνότητες) που βρίσκονται λόγω SPM στο πίσω μέρος διαδίδονται πιο αργά. Αρχικά αυτό έχει ως αποτέλεσμα την ισχυρότερη διασπορά του παλμού.

Ίνα με θετική διασπορά Στη συνέχεια κατάρρευση του παλμού οδηγεί σε εξασθένιση του μη γραμμικού φαινομένου, το οποίο είναι ισχυρό εκεί που ο παλμός έχει μεγάλη ισχύ ( ( z, T ) E( 0, T ) φ NL ). Άρα: Ο παλμός διευρύνεται στο χρόνο πιο ισχυρά από ότι όταν δρα μόνη της η διασπορά. Το φάσμα του παλμού στην έξοδο της ίνας είναι διευρυμένο, όχι όμως όσο στην περίπτωση που δρα μόνο η μη γραμμικότητα. Αλληλεπίδραση αυτοδιαμόρφωσης & θετικής διασποράς οδηγεί σε περιστολή διεύρυνσης φάσματος

Ίνα με αρνητική διασπορά Χρονικό περιεχόμενο Φασματικό περιεχόμενο αρχικός παλμός Αυτοδιαμόρφωση φάσης αρνητική διασπορά παλμός στην έξοδο της ίνας

Ίνα με αρνητική διασπορά Οι red-shifted συνιστώσες (χαμηλές συχνότητες) που παράγονται στο προπορευόμενο τμήμα του παλμού (λόγω αυτοδιαμόρφωσης φάσης) διαδίδονται αργά λόγω της αρνητικής διασποράς, ενώ οι blue-shifted (υψηλές συχνότητες) που βρίσκονται λόγω SPM στο πίσω μέρος διαδίδονται γρήγορα. Άρα ο ρυθμός με τον οποίο διευρύνεται ο παλμός είναι τώρα μικρότερος από ότι στην υποθετική κατάσταση που θα δρούσε μόνο η διασπορά. Έτσι σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση η μη γραμμικότητα περιορίζει το ρυθμό κατάρρευσης.

Ίνα με μηδενική διασπορά με φίλτρο στην έξοδο Χρονικό περιεχόμενο Φασματικό περιεχόμενο αρχικός παλμός Αυτοδιαμόρφωση φάσης παλμός πριν το φίλτρο φίλτρο παλμός μετά το φίλτρο

Ίνα με μηδενική διασπορά με φίλτρο στην έξοδο Η μη γραμμικότητα θα αυξήσει το φασματικό περιεχόμενο του παλμού, και οι red-shifted (χαμηλές) συχνότητες θα βρίσκονται στο μπροστά μέρος του παλμού, ενώ οι blueshifted (υψηλές) συχνότητες θα βρίσκονται στο πίσω μέρος. Το ζωνοπερατό φίλτρο θα "κόψει" τις πιο υψηλές και πιο χαμηλές συχνότητες, δηλαδή θα "κόψει" τμήματα του παλμού. Αποτέλεσμα : Εκτός από φασματικό περιορισμό θα έχουμε και χρονικό περιορισμό, με ενδεχόμενη εμφάνιση πλευρικών παλμών οι μέγιστες μεταβολές της συχνότητας από τη φέρουσα βρίσκονται στα σημεία μέγιστης κλίσης του παλμού.

Άσκηση : Είστε σχεδιαστές συστήματος μετάδοσης οπτικών ινών. Το σύστημα που πρόκειται να σχεδιάσετε θα χρησιμοποιήσει μονότροπη ίνα με συντελεστή μηγραμμικότητας γ=3 W -1 km -1, και η ζεύξη έχει μήκος 000 km. Όσον αφορά στα μη-γραμμικά φαινόμενα, εξηγείστε αν το σύστημα μπορεί να χρησιμοποιήσει πομπο-δέκτες και των 10 Gb/s και των 40 Gb/s. Υποθέστε ότι η ισχύς κορυφής του σήματος στην έξοδο του πομπού των 10 Gb/s είναι 0.1 mw και ότι οι δέκτες των 10 και 40 Gb/s χρειάζονται την ίδια ενέργεια ανά bit για λήψη χωρίς σφάλματα.

Λύση : 10 Gb/s Το μήκος ζεύξης L NL για το οποίο η μετάδοση είναι εφικτή χωρίς να περιορίζεται από τa μη-γραμμικά φαινόμενα, είναι: 1 L NL = γp όπου γ=3 W -1 km -1 και P0=0.1 mw. Οπότε : L = 1 = 3333.33 km > km NL 3W Km 0.1 10 W 000 1 1 3 Συμπέρασμα: Για τη ζεύξη που εξετάζουμε ισχύει L<LNL, οπότε τα μη γραμμικά φαινόμενα δεν επιδρούν στη μετάδοση του παλμού. Έτσι είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί ένας πομπός μετάδοσης στα 10 Gbps. 0

Λύση : 40 Gb/s Η ενέργεια/bit Ε που παρέχει ο πομπός των 10 Gb/s είναι: Σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης, οι δέκτες των 10 και 40 Gb/s χρειάζονται την ίδια ενέργεια ανά bit για λήψη χωρίς σφάλματα. Επομένως, η ισχύς κορυφής των παλμών στο σύστημα των 40 Gb/s θα πρέπει να είναι:

Λύση : 40 Gb/s Επομένως το μήκος μη γραμμικότητας LNL είναι: L = 1 = 833.33 km < NL 3W Km 0.4 10 W 000 1 1 3 km Συμπέρασμα: Για το σύστημα των 40 Gb/s ισχύει L>LNL, οπότε η ζεύξη περιορίζεται από τα μη γραμμικά φαινόμενα. Επομένως, το σύστημα δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει πομπο-δέκτες των 40 Gb/s.

Άσκηση 3: (α) Ορίζουμε σε έναν παλμό το χρονικό εύρος ημίσειας ισχύος ΔΤ 1/, ως το εύρος μέσα στο οποίο η ισχύς του παλμού πέφτει στο μισό της μέγιστης τιμής της. Ομοίως ορίζουμε το φασματικό εύρος ημίσειας ισχύος Δf 1/, ως το εύρος μέσα στο οποίο το μέτρο της φασματικής πυκνότητας ισχύος πέφτει στο μισό. Να βρεθεί το γινόμενο ΔΤ 1/ Δf 1/ για παλμό Gauss E( T) = exp To T

Άσκηση 3: (β) Ένας παλμός για τον οποίο ισχύει ΔΤ 1/ Δf 1/ = min. ονομάζεται περιορισμένου μετασχηματισμού (transform limited). Αναφέρετε ένα παράδειγμα όπου ένας παλμός δεν είναι transform limited, δηλαδή ΔΤ 1/ Δf 1/ >min; (γ) Υποθέστε ότι ο παλμός της περίπτωσης (α) υφίσταται αυτοδιαμόρφωση φάσης μετά τη διάδοση σε ίνα. Εξακολουθεί να είναι transform limited; Γιατί; Πώς μπορεί να αντισταθμιστεί η επίδραση της αυτοδιαμόρφωσης φάσης;

Άσκηση 3: (δ) Θέλουμε να συμπιέσουμε τον παλμό. Περιγράψτε τι θα συμβεί αν ο παλμός: 1.Διαδοθεί πρώτα σε ίνα που προκαλεί διασπορά και μετά σε ίνα που εισάγει αυτοδιαμόρφωση φάσης..διαδοθεί πρώτα σε ίνα που προκαλεί αυτοδιαμόρφωση φάσης και μετά σε ίνα που εισάγει διασπορά. Δείξτε ότι μόνο στη δεύτερη υποπερίπτωση είναι δυνατόν να συμπιεστεί ο παλμός. Ποιο είναι το πρόσημο της διασποράς που πρέπει να έχει η ίνα ώστε να συμπιεστεί ο παλμός;

Λύση 3: (α) Το πεδίο είναι: P P ( ) () 0 T = ( ) = exp To E T και κατά συνέπεια η ισχύς του δίνεται από τη σχέση: P T ( T) = exp To Για να υπολογίσουμε το χρονικό εύρος ημίσειας ισχύος βρίσκουμε πότε η ισχύς πέφτει στο μισό της μέγιστης τιμής της: T 1 1 1 exp = T1/ = T o T o T ln Άρα: Δt 1 = T1 / = To ln

Λύση 3: Επιπλέον χρειαζόμαστε τον μετασχηματισμό Fourier του πεδίου. Με βάση τις γνωστές ιδιότητες: { ( )} ( exp π t = exp π f ) I και I g( a T) υπολογίζουμε για 1 a = π T o ότι: 1 { } ( ) = G f a a I exp T T o = π T o exp ( π T f ) o Άρα η πυκνότητα φάσματος ισχύος είναι: S ( f ) π exp( π T f ) = π Τ exp( 4 π T f ) = T o o o o

Λύση 3: Όμοια με το χρονικό εύρος ημίσειας ισχύος, θα πρέπει να ισχύει για το φασματικό εύρος: X X (0) ( f ) = exp( 4 π T f ) 1 o 1 = 1 f 1/ = ln π T o Άρα: Δf 1 / = f 1 / = ln π T o και ΔT 1 Δf 1 = ln π

Λύση 3: (β) Οι λόγοι για τους οποίους μπορεί να ισχύει ΔΤ 1/ Δf 1/ > min οπότε ένας παλμός δεν είναι transform limited, είναι η χρονική διεύρυνση (ΔΤ 1/ > ΔΤ min 1/ ) και/ή ηφασματικήδιεύρυνση(δf 1/ > Δf min 1/ ). Χρονική διεύρυνση έχουμε σε περίπτωση διασποράς. Φασματική διεύρυνση έχουμε σε περίπτωση αυτοδιαμόρφωσης ή ετεροδιαμόρφωσης φάσης SPM/XPM. Χρονική και φασματική διεύρυνση έχουμε σε περίπτωση συνδυασμένης δράσης SPM/XPM και ομαλής διασποράς.

Λύση 3: (γ) Σε περίπτωση αυτοδιαμόρφωσης φάσης ισχύει Δf 1/ > Δf min 1/, άρα ο παλμός δεν είναι transform limited. Σε αντίθεση όμως με την περίπτωση της διασποράς, η αυτοδιαμόρφωση φάσης είναι μη αναστρέψιμη από τη στιγμή που έχει συντελεστή (δεν είναι δυνατόν οι φασματικές συνιστώσες που γεννά το μη γραμμικό φαινόμενο να αναιρεθούν ). Ο τρόπος περιστολής της αυτοδιαμόρφωσης είναι με την εξισορρόπηση της με κατάλληλη επιλογή διασποράς (αρνητική διασπορά, περίπτωση μη-γραμμικής μετάδοσης και σολιτονίων).

Λύση 3: (δ) Μιλάμε πάντα για ίνα με αρνητική (ανώμαλη) διασπορά, ώστε η διεύρυνση φάσματος από αυτοδιαμόρφωση να μπορεί να οδηγήσει σε συμπίεση μέσω διασποράς. Αν ο παλμός περάσει μέσα από ίνα με διασπορά τότε θα διευρυνθεί χρονικά και θα έχουμε μείωση στην ισχύ κορυφής. Κατά συνέπεια η μη-γραμμικότητα θα διεγερθεί περιορισμένα στη δεύτερη ίνα. Η τάση θα είναι να μην αναιρεθεί η αρχική διεύρυνση του παλμού λόγω διασποράς στη πρώτη ίνα. Ουσιαστικά μετά την πρώτη ίνα θα ισχύει ΔT 1/ > ΔT min 1/ καιμετάτηδεύτερηίναθαισχύουνδt 1/ > ΔT min 1/, Δf 1/ > Δf min 1/.

Λύση 3: Αντίθετα, αν ο παλμός περάσει πρώτα από τη μη γραμμικότητα, τότε θα ισχύει Δf 1/ > Δf min 1/. Αν βρεθεί διάταξη που να μετατρέψει τον παλμό εξόδου σε transform limited, τότε αυτόματα θα επιτευχθεί συμπίεση, καθώς θα πρέπει αναγκαστικά να ισχύει ΔT 1/ < ΔT min 1/. Η διάταξη αυτή είναι μια ίνα με αρνητική διασπορά. Με αυτή την ίνα οι red-shifted συνιστώσες (που γεννήθηκαν από τη μη γραμμικότητα) στο εμπρός μέρος του non-transform limited παλμού θα διαδίδονται με μικρότερη ταχύτητα από τις blue-shifted στο πίσω μέρος. Έτσι επιτυγχάνεται συμπίεση.