ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

Transcript

1 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά φαινόµενα Κυριαρχεί η διαπορά Κυριαρχούν τα µη γραµµικά φαινόµενα Κυριαρχούν και τα δύο φαινόµενα Κυµατοδήγηη οπτικού παλµού ε ίνα µε διαπορά ιαπλάτυνη του παλµού Chirp

2 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (υνέχεια) Ανάλυη του chirp Επίδραη chirp και διαποράς ransform limited παλµοί ιαπορά ανώτερης τάξης Επίδραη φαινοµένων διαποράς ε µια φωτονική ζεύξη Οπτικές πηγές µεγάλου φαµατικού εύρους Οπτικές πηγές µικρού φαµατικού εύρους

3 ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRİINGER Μαθηµατικό εργαλείο µελέτης µε υτηµατικό και µεθοδικό τρόπο της κυµατοδήγηης την οπτική ίνα Μελέτη της επίδραης των φαινοµένων διαποράς και της απώλειας το κυµατοδηγούµενο πεδίο Μελέτη της επίδραης των µη- γραµµικών φαινοµένων (οπτικό φαινόµενο Kerr) το κυµατοδηγούµενο πεδίο Η τρίτης τάξης µη γραµµικότητα που πηγάζει από τον παράγοντα χ (3), προκαλεί εξάρτηη του δείκτη διάθλαης από την εξωτερικά επιβαλλόµενη ιχύ: n ( ω, E ) n( ω) + n E n(ω): το γραµµικό µέρος του δείκτη διάθλαης Ε : η τιγµιαία ιχύς µέα την ίνα, n : ο µη γραµµικός υντελετής του δείκτη διάθλαης 3 n Re( χ 8n Προδιοριµός της αλληλεπίδραης των παραπάνω φαινοµένων κατά την διάδοη του οπτικού κύµατος (3) )

4 ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRİINGER (υνέχεια) Το φαινόµενο Kerr περιλαµβάνεται τον µη γραµµικό όρο της πόλωης του υλικού E c t E µ t P L +µ P t NL όπου Ηλεκτρικό πεδίο E(r,t) xˆ[e(r, t)exp( jω t) + c.c.] Γραµµικός όρος πόλωης L xˆ[p L (r, t)exp( jω t) + P c.c.] Μη γραµµικός όρος πόλωης NL xˆ[p NL (r, t)exp( jω t) + P c.c.]

5 ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRİINGER (υνέχεια) Θεωρήεις: Ο µη γραµµικός όρος της πόλωης P NL θεωρείται ως απλή διαταραχή το γραµµικό όρο P L Το οπτικό πεδίο θεωρείται ότι διατηρεί την πόλωή του κατά µήκος της ίνας Το οπτικό πεδίο θεωρείται ότι έχει το φάµα του τοποθετηµένο γύρω από µια κεντρική υχνότητα ω και µε εύρος ω, ώτε να ιχύει ω/ω <<. Αυτή η θεώρηη είναι αληθής για παλµούς χρονικού εύρους >ps ( ω< 3 s - ) Η µη γραµµική απόκριη του µέου είναι άµεη έτι, ώτε η χ (3) δίδεται από το γινόµενο τριών υναρτήεων δέλτα της µορφής δ(t-t ) Αγνοούµεµτα φαινόµενα Raman, που αντιπροωπεύουν µοριακές ταλαντώεις διπόλων (απόκριη φαινοµένων 6-7 fs για παλµούς εύρους > ps)

6 ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRİINGER (υνέχεια) Ο µη γραµµικός όρος της πόλωης προκύπτει ότι είναι: P NL (r,t) ε ε NL E(r, t) ε NL : Η µη γραµµική υνειφορά την διηλεκτρική ταθερά ε 3 χ 4 (3) NL E(r,t) Βαική εξίωη κυµατοδήγηης: όπου E ~ +ε( ω)k E ~ ε ~ k ω / c () ( ω) +χ ( ω) + ε NL Ικανοποιείται από + E ~ (r, ω ω ) E(r, t)exp[j( ω ω )t] dt

7 ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRİINGER (υνέχεια) Υπενθυµίζουµε χέη δείκτη διάθλαης, υντελετή απορρόφηης και διηλεκτρικής ταθεράς ε n + j ac ω Εξάρτηη και από ιχύ του ήµατος n n+ n E a a+ a E Με χωριµό µεταβλητών την βαική εξίωη κυµατοδήγηης καταλήγουµε την εξίωη Schrıdinger για την περιβάλλουα του οπτικού ήµατος Α(z,t) z A A A a +β + j β + A jγ t t A A γ: Ο υντελετής µη γραµµικότητας της ίνας γ n ω ca eff

8 Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Εξίωη Schrıdinger (µεταχηµατιµός Τt-z/v g ) A j z j aa + β A γ A A Φαινόµενο Απορρόφηης Φαινόµενο ιαποράς Φαινόµενο Μη γραµµικότητας Κυρίαρχα φαινόµενα η διαπορά και η µη γραµµικότητα, ανάλογα µε το αρχικό πλάτος του οπτικού παλµού Τ, και της ιχύος κορυφής P

9 Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού (υνέχεια) Τέερις δυνατές περιοχές κυµατοδήγηης:. Περιοχή Ι: Ούτε τα φαινόµενα διαποράς ούτε και τα µη γραµµικά φαινόµενα επιδρούν την κυµατοδήγηη του παλµού. Περιοχή ΙΙ: Κυριαρχία των φαινοµένων της διαποράς 3. Περιοχή ΙΙΙ: Κυριαρχούν τα µη γραµµικά φαινόµενα 4. Περιοχή ΙV: Συνυπάρχουν και επιδρούν έντονα τον παλµό τόο τα φαινόµενα διαποράς, όο και τα µη γραµµικά φαινόµενα.

10 Οριµoί: Κανονικοποιηµένο πλάτος παλµού U az A(z, τ) P exp U(z, τ) U j z sgn( β ) U exp( az) L τ L NL U U Μέτρα αλληλεπίδραης διαποράς και µη γραµµικότητας την κυµατοδήγηη Μήκος διαποράς L : Το µήκος που γίνεται κυρίαρχη η διαπορά L β Μήκος µη-γραµµικότητας L NL : Το µήκος που γίνεται κυρίαρχη η µη γραµµικότητα της ίνας L NL γp

11 Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού (υνέχεια) Περιοχή Ι Για µήκος ίνας ίο µε L: L<<L NL L<<L Η διαπορά και τα µη γραµµικά φαινόµενα δεν επιδρούν την κυµατοδήγηη του οπτικού παλµού. Οι αντίτοιχοι όροι διαποράς και µη γραµµικότητας την εξίωη Schröndiger µπορούν να αγνοηθούν Η ίνα ε αυτή την περίπτωη έχει έναν καθαρά παθητικό ρόλο χωρίς να προκαλεί παραµόρφωη την µορφή του οπτικού παλµού Περιοχή ΙΙ Η υνθήκη την περιοχή αυτή είναι L<<L NL L L Αγνοείται ο όρος της µη γραµµικότητας την εξίωη Schrödinger

12 Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού (υνέχεια) Περιοχή ΙΙΙ Το µήκος της ίνας ικανοποιεί τη χέεις L<<L L L NL Ο όρος της διαποράς είναι αµελητέος υγκρινόµενος µε τον όρο της µη γραµµικότητας. Έχουµε το φαινόµενο της αυτοδιαµόρφωης φάης (φαµατική διεύρυνη του παλµού) Επιπλέον υνθήκη L L NL γp β >> Περιοχή ΙV Συνθήκη L>>L L>>L NL

13 Κυµατοδήγηη οπτικού παλµού ε ίνα µε διαπορά Λόγω της χρωµατικής διαποράς οι διαφορετικές υνιτώες του οπτικού ήµατος κυµατοδηγούνται το µέο µε διαφορετικές ταχύτητες οµάδας. Οπότε για δεδοµένο µήκος z θα καταφθάουν µε διαφορά φάης Στο πεδίο του χρόνου υπάρχει παραµόρφωη του ήµατος. Οι παλµοί υφίτανται χρονική διαπλάτυνη και παρεµβάλλουν µεταξύ τους (διαυµβολική παρεµβολή). Βαικές παράµετροι το µήκος της ίνας και ο µέγιτος ρυθµός µετάδοης

14 Κυµατοδήγηη οπτικού παλµού ε ίνα µε διαπορά (υνέχεια) Αγνοούµε την µη γραµµικότητα της ίνας την εξίωη Schrödinger i ϑu ϑz β ϑ U ϑ + Με λύη U (z,) + U ~ (z, ω)exp( iω) dω π Στο πεδίο των υχνοτήτων i ϑu ~ ϑz β ω U ~ Με λύη i U ~ ω U ~ (z, ) (, ω)exp β ω z

15 Κυµατοδήγηη οπτικού παλµού ε ίνα µε διαπορά (υνέχεια) Η φάη κάθε φαµατικής υνιτώας του παλµού εξαρτάται από την υχνότητα και από την κυµατοδηγούµενη απόταη την ίνα Οι υψηλές υχνότητες καθυτερούν ως προς τις χαµηλές (ύπαρξη παράγοντα β >), ή αλλιώς προηγούνται (β <) Καµιά επίδραη το φάµα του ήµατος. Μεταβολή µόνο τη φάη των υχνοτήτων Λύη το πεδίο του χρόνου Μεταχηµατιµός Fourier U(z, ) + i U ~ (, ω)exp β ω z iω dω π

16 ιαπλάτυνη παλµού Gauss λόγω διαποράς Περιβάλλουα πεδίου U(, ) exp Τ : το εύρος του παλµού το ηµείο, όπου η ιχύς του έχει πέει το /e της µέγιτης ιχύος. Ορίζουµε και Τ FWHM : Το εύρος ηµίειας ιχύος (FWHM) FWHM (ln ) / Το πλάτος του παλµού ε µήκος ίνας z U(z, ) exp / ( iβ z) ( iβ z) ιατήρηη χήµατος του παλµού ιεύρυνη του παλµού κατά + z L /

17 ιαπλάτυνη παλµού Gauss λόγω διαποράς (υνέχεια) Παραβολική εξάρτηη της φάης του παλµού φ sgn( β + )(z / L + tan ( ) z / L ) z L Απόκλιη τιγµιαίας υχνότητας γύρω από τη φέρουα ω δω sgn( β )(z / L + (z / L ) φ ) Φαίνεται µια γραµµική διαµόρφωη υχνότητας κατά µήκος του παλµού (γραµµικό chirping)

18 Chirping παλµού Gauss Εκφράζει την µεταβολή της φέρουας υχνότητας του παλµού ως υνάρτηη του χρόνου Όλα τα διοδικά laser παράγουν παλµούς µε αυτή τη διαµόρφωη φάης (γραµµική-υντελετής C) U(t) Re U(, ) P (+ jc) exp ή (+ jc) t exp exp( jω t) P exp t cos ω t + C t

19 Chirping παλµού Gauss (υνέχεια) Παραβολική εξάρτηη της φάης του παλµού Γραµµική απόκλιη της τιγµιαίας υχνότητας. Η κλίη αυτής εξαρτάται από την παράµετρο του chirp Φάµα του παλµού / π ω U ~ (, ω) exp + jc (+ jc) Παλµός µε αρχικό chirp µετά από µήκος ίνας z U(z, ) exp (+ jc) [ ] [ ] jβ z(+ jc) / jβ z(+ jc) Το εύρος του παλµού αυτού + Cβ z + β z /

20 Chirping παλµού Gauss (υνέχεια) Αν β C> τότε ο παλµός θα υποτεί µόνο διαπλάτυνη Αν β C< τότε ο παλµός πριν διαπλατυνθεί θα περάει και από ένα τάδιο υµπίεης Το ελάχιτο πλάτος του παλµού για β C< είναι για µήκος Και ιούται µε z min min C + C (+ C L ) /

21 ransform limited παλµός Φαµατικό εύρος του παλµού ω( + C ) / / Όταν ο παλµός δεν έχει chirping (C) ω Τ Ο παλµός λέγεται transform-limited Αν ο παλµός είναι chirped (C ) το γινόµενο ω Τ χρηιµοποιείται για τον υπολογιµό του C Μας δίνει ένα µέτρο για το πόο µπορεί να υµπιετεί ένας παλµός

22 ransform limited παλµός (υνέχεια) Η έννοια του transform-limited παλµού πηγάζει από την αρχή της αβεβαιότητας ω ηλώνει την έννοια του αντιτρόφου ανάµεα τα πεδία της υχνότητας και του χρόνου Το χρονικό και το φαµατικό εύρος ενός παλµού δεν µπορεί να λάβει αυθαίρετα µικρές τιµές Ένας παλµός είναι transform-limited, όταν οι φάεις του τόο το πεδίο της υχνότητας, όο και του χρόνου δεν εµπεριέχουν µη γραµµική εξάρτηη από τις αντίτοιχες µεταβλητές ω και t Αυτή η αντιτοιχία χρονικού και φαµατικού περιεχοµένου είναι αµφιµονοήµαντη και καθορίζεται από τα αντίτοιχα πλάτη του παλµού το πεδίο της υχνότητας, αλλά και του χρόνου

23 Chirping παλµού Gauss- ransform limited παλµός (υνέχεια) β > β < ΟΜΑΛΗ ΙΑΣΠΟΡΑ λ<λ GV ΑΝΩΜΑΛΗ ΙΑΣΠΟΡΑ λ>λ ο GV

24 Chirping παλµού Gauss- ransform limited παλµός (υνέχεια)

25

26 ΙΑΣΠΟΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Λαµβάνονται υπόψη ε περιπτώεις όπου Η µετάδοη γίνεται το µήκος κύµατος µηδενικής διαποράς (β ) Έχουµε µετάδοη πολύ τενών παλµών (Τ <. ps) Με ανάλογη διαδικαία (αγνοούµε τη µη γραµµικότητα) προκύπτει η εξίωη Schröndiger U j z β U + j 6 β 3 3 U 3 Λύη: U(z, ) π + U ~ (, ω)exp j β ω z+ j 6 β 3 ω 3 z jω dω

27 ΙΑΣΠΟΡΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ (υνέχεια) Μήκος διαποράς ανώτερης τάξης L L 3 / β 3 Συνθήκη κάτω από την οποία τα ανώτερης τάξης φαινόµενα διαποράς παίζουν ηµαντικό ρόλο L ή L β β 3 Επίδραη διαποράς ανώτερης τάξης ε ένα παλµό Gauss Παρατήρηη: Αλλοίωη του χήµατος του παλµού.αποκτά αύµµετρη µορφή µε το ένα άκρο να ακολουθεί µια φθίνουα ταλάντωη

28 ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΦΩΤΟΝΙΚΗ ΖΕΥΞΗ Στην πράξη χρηιµοποιούνται πηγές laser που έχουν κάποιο φαµατικό εύρος ω και δεν είναι µονοχρωµατικές Θεώρηη: Φάµα µορφής Gauss µε ενεργό φαµατικό εύρος ω. Παράγοντας διεύρυνης λόγω διαποράς A A A 3 [ ] A + A + A / + Cβ L ( + 4 ) ω β ( + C + 4 ) 3 L ω β 4 L 3 Υπολογιµός του µέγιτου γινοµένου BL που µπορούµε να τείλουµε οπτικούς παλµούς λαµβάνοντας υπόψιν τους περιοριµούς λόγω διαποράς < Τ > <Τ> : RMS width n U( z, ) d n Τ U( z, ) d

29 Οπτικές πηγές µε µεγάλο φαµατικό εύρος Θεωρούµε ότι το φαµατικό εύρος της πηγής είναι πολύ µεγαλύτερο από το αντίτοιχο εύρος του οπτικού παλµού ω >> Για ήµα χωρίς αρχική διαµόρφωη φάης (C) + β L ω / + L λ / ( ) / + L όπου λ Κριτήριο µέγιτης ανεκτής διεύρυνης / 4B Για παλµό Gauss το 95% του οπτικού παλµού πρέπει να παραµένει µέα ε κάθε bit slot. Θεωρούµε >>, και L λ : BL λ / 4

30 Οπτικές πηγές µε µεγάλο φαµατικό εύρος (υνέχεια) Λαµβάνουµε υπόψη τη διαπορά ανώτερης τάξης και θεωρούµε περιοχή λειτουργίας το µήκος κύµατος µηδενικής διαποράς (β ) + β 3 L ω / + d dλ L λ / + d dλ L λ / ( + ) / όπου d dλ L λ Εφαρµόζοντας το κριτήριο για µέγιτη ανεκτή διεύρυνη d L dλ Β λ / 8

31 Οπτικές πηγές µε µικρό φαµατικό εύρος Θεωρούµε ότι το φαµατικό εύρος της πηγής είναι µικρότερο από το αντίτοιχο εύρος του οπτικού παλµού ω λ << Για ήµα χωρίς αρχική διαµόρφωη φάης (C) [ ( ) ] / + β L / ( + ) / Εξάρτηη της διαποράς από το αρχικό ενεργό πλάτος του παλµού χωρίς να έχουµε καθόλου επίδραη του φαµατικού εύρους της πηγής. Για β L / ( β L) / min. Συνθήκη µέγιτης ανεκτής διεύρυνης B β L / 4

32 Οπτικές πηγές µε µικρό φαµατικό εύρος (υνέχεια) Λαµβάνοντας υπόψη τη διαπορά ανώτερης τάξης και θεωρώντας περιοχή λειτουργίας το µήκος κύµατος µηδενικής διαποράς (β ) [ ( ) ] / + β L / 4 / ( + ) / 3 Για ( β L / ) / / ( 3 / ) ( β L / ) / 3 min 3 4 Κριτήριο µέγιτης ανεκτής διεύρυνης B / 3 ( β L). 34 3