Διερεύνηση κινηματικών χαρακτηριστικών των διασπάσεων top squark σε συγκρούσεις πρωτονίων με το πείραμα CMS στον επιταχυντή LHC

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πτυχιακή Εργασία Διερεύνηση κινηματικών χαρακτηριστικών των διασπάσεων top squark σε συγκρούσεις πρωτονίων με το πείραμα CMS στον επιταχυντή LHC Εμμανουήλ Βουρλιώτης AM: 1110 2012 00026 Επιβλέπων: Παρασκευάς Σφήκας Καθηγητής Αθήνα 2016

Περιεχόμενα 1 Θεωρητικό Υπόβαθρο 4 1.1 Το Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model)... 4 1.1.1 Τα σωματίδια του Καθιερωμένου Προτύπου... 5 1.1.2 Οι Αλληλεπιδράσεις του Καθιερωμένου Προτύπου... 6 1.1.2.1 Ηλεκτρομαγνητικές Αλληλεπιδράσεις... 8 1.1.2.2 Ισχυρές Αλληλεπιδράσεις... 9 1.1.2.3 Μηχανισμός Brout-Englert-Higgs... 9 1.1.2.4 Ηλεκτρασθενείς Αλληλεπιδράσεις... 11 1.1.3 Επιτυχίες και Ελλείψεις του Καθιερωμένου Προτύπου... 15 1.2 Υπερσυμμετρία (SUSY)... 19 1.2.1 Κίνητρο... 19 1.2.2 Βασικές Αρχές Υπερσυμμετρίας και Συμβολισμοί... 21 1.2.3 Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM)... 26 1.2.4 Η Φαινομενολογία της Υπερσυμμετρίας... 27 1.2.4.1 Το Φάσμα Μαζών των Υπερσυμμετρικών Σωματιδίων... 27 1.2.4.2 Διασπάσεις Υπερσυμμετρικών Σωματιδίων... 28 2 Φυσική Ανιχνευτών και Επιταχυντών 31 2.1 Ο Ανιχνευτής CMS στο LHC του CERN... 31 2.1.1 Το Σύστημα Μαγνητών... 32 2

2.1.2 Το Σύστημα Ανίχνευσης Τροχιών... 33 2.1.3 Το Ηλεκτρομαγνητικό Καλορίμετρο... 33 2.1.4 Το Αδρονικό Καλορίμετρο... 33 2.1.5 Οι Εμπρόσθιοι Ανιχνευτές... 33 2.1.6 Ο Ανιχνευτής Μιονίων... 33 2.1.7 Σκανδαλισμός (Triggering)... 34 2.2 Χρήσιμα Μεγέθη της Φυσικής των Επιταχυντών... 35 2.2.1 Φωτεινότητα... 35 2.2.2 Εγκάρσια Μεγέθη... 35 2.2.3 Άλλα Χρήσιμα Μεγέθη... 37 3 Ανάλυση και Αποτελέσματα 38 3.1 Οι Μέθοδοι Monte Carlo... 38 3.2 Το σήμα: Άμεση παραγωγή ζεύγους top squark (stop) σωματιδίων... 39 3.2.1 Αρχικά (Preselection) cuts... 42 3.3 Μελέτη του υποβάθρου... 43 3.3.1 W + Jets... 43 3.3.2 tt1l... 49 3.3.3 tt2l... 51 3.4 Εύρεση μεταβλητών για διαχωρισμό σήματος και υποβάθρου... 56 4 Σύνοψη και Συμπεράσματα 66 3

Κεφάλαιο 1 Θεωρητικό Υπόβαθρο Η Φυσική Υψηλών Ενεργειών είναι ο τομέας της Φυσικής που μελετά τα στοιχειώδη σωμάτια τα οποία αποτελούν τη συνηθισμένη ύλη ή είναι οι φορείς των θεμελιωδών δυνάμεων (ηλεκτρομαγνητική, ασθενή, ισχυρή και βαρυτική). Η κυρίαρχη θεωρία στον τομέα είναι το Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model), το οποίο περιγράφει όλα τα σωματίδια της ύλης και τις αλληλεπιδράσεις τους. Παρακάτω, θα κάνουμε μια σύντομη ανασκόπηση των βασικών αρχών του Καθιερωμένου Προτύπου και των επιτυχιών του. Στη συνέχεια, θα δούμε πώς οι αδυναμίες του Καθιερωμένου Προτύπου μας οδηγούν σε επεκτάσεις του και θα επικεντρώσουμε το ενδιαφέρον μας στην Υπερσυμμετρία, συνοψίζοντας ποιοτικά τις βασικές αρχές της. Τέλος, μελετώντας τη φαινομενολογία της Υπερσυμμετρίας, θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στις προσπάθειες για την πειραματική της επιβεβαίωση. 1.1 Το Καθιερωμένο Πρότυπο (Standard Model) Πρόκειται για ένα σύνολο θεωριών, οι οποίες αναπτύχθηκαν καθ όλη τη διάρκεια του 20ου αιώνα, συνδυάστηκαν και πλέον αποτελούν την πληρέστερη εικόνα της Φυσικής για τη θεμελιώδη δομή του Κόσμου. Ενώ θα μπορούσε να βρει κάποιος τις ρίζες της Κβαντικής Μηχανικής ήδη από τα πρώτα χρόνια του 20ου αιωνα, η Κβαντική Θεωρία Πεδίου, πάνω στηn οποία βασίζεται το Καθιερωμένο Πρότυπο, ξεκινά στο τέλος της δεκαετίας του 1920. Τότε, ο Paul Dirac έκανε τις πρώτες προσπάθειες για την κβάντωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Οι κυριότερες εξελίξεις συνέβησαν τις δεκαετίες του 1940 και 1950, όταν διατυπώθηκε η Κβαντική Ηλεκτροδυναμική (Quantum Electrodynamics - QED). Η QED αποτέλεσε το παράδειγμα για κάθε άλλη κβαντική θεωρία. Τη δεκαετία του 1960, χτίστηκε η Κβαντική Χρωμοδυναμική (Quantum Chromodynamics - QCD), η θεωρία που περιγράφει την ισχυρή αλληλεπίδραση, ενώ προτάθηκε και ο μηχανισμός για την απόδοση μάζας σε φορείς αλληλεπιδράσεων. Ο μηχανισμός αυτός (Μηχανισμός Brout-Englert-Higgs, όπως ονομάστηκε) οδήγησε στην ενοποίηση της ηλεκτρομαγνητικής με την ασθενή αλληλεπίδραση στα τελη της ίδιας δεκαετίας. Έκτοτε, ακολουθεί η συνεχής επιβεβαίωση των προβλέψεων του Καθιερωμένου με αποκορύφωμα την ανακάλυψη του σωματιδίου Higgs το καλοκαίρι του 2012. Ανάμεσα σε όλες τις επιτυχίες, προέκυψαν και μια σειρά από αναπάντητα ερωτήματα, τα οποία θα αναλύσουμε παρακάτω. 4

1.1.1 Τα σωματίδια του Καθιερωμένου Προτύπου Στο Καθιερωμένο Πρότυπο υπάρχουν δύο κατηγορίες σωματιδίων, τα μποζόνια και τα φερμιόνια. Η κατηγοριοποίηση γίνεται με βάση το spin των σωματιδίων: Τα μποζόνια έχουν ακέραιο spin (0 ή ћ), ενώ τα φερμιόνια έχουν ημιακέραιο spin (συγκεκριμένα ћ/2). Τα μποζόνια είναι οι φορείς των τριών θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων και υπακούουν στη στατιστική Bose-Einstein. Το φωτόνιο είναι ο φορέας της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης. Έχει μηδενικό φορτίο και μηδενική μάζα. Το γλουόνιο είναι ο φορέας της ισχυρής αλληλεπίδρασης έχει τις ίδιες ιδιότητες με το φωτόνιο, μόνο που διαθέτει χρωματικό φορτίο (δηλαδή το φορτίο της ισχυρής αλληλεπίδρασης). Η τελευταία ιδιότητα του γλουονίου κάνει την ισχυρή αλληλεπίδραση σημαντικά πιο πολύπλοκη σε σχέση με την ηλεκτρομαγνητική. Οι φορείς της ασθενούς αλληλεπίδρασης είναι τρεις: Το μποζόνιο Z είναι ουδέτερο με μάζα 91.2 GeV, ενώ τα μποζόνια W + και W είναι φορτισμένα και έχουν μάζα 80.4 GeV. Ενώ όλα τα προηγούμενα μποζόνια έχουν spin ћ, το μποζόνιο H έχει spin 0, μηδενικό φορτίο, μάζα 125.7 GeV και είναι το κβάντο του πεδίου που δίνει μάζα ηρεμίας στους φορείς της ασθενούς αλληλεπίδρασης. Τα φερμιόνια είναι τα σωματίδια που απαρτίζουν την ύλη. Εξαιτίας του ημιακέραιου spin τους, υπακούουν στη στατιστική Fermi-Dirac, η οποία τους επιβάλλει την Απαγορευτική Αρχή του Pauli, σύμφωνα με την οποία δύο φερμιόνια δε μπορούν να έχουν ακριβώς τους ίδιους κβαντικούς αριθμούς. Η αρχή αυτή προέρχεται από το γεγονός ότι η κυματοσυνάρτηση δύο φερμιονίων είναι αντισυμμετρική ως προς την εναλλαγή τους, με αποτέλεσμα το σχετικό - πρόσημο να μηδενίζει την κυματοσυνάρτηση, αν τα σωματίδια έχουν κάθε κβαντικό αριθμό ίδιο. Τα φερμιόνια χωρίζονται και αυτά σε δύο κατηγορίες, τα λεπτόνια και τα quarks. Από νωρίς υπήρχαν ενδείξεις ότι τα λεπτόνια, δηλαδή το ηλεκτρόνιο (e), το μιόνιο (μ) και το ταυ (τ) καθώς και τα αντίστοιχα νετρίνα (ν e,ν µ,ν τ ), είναι στοιχειώδη σωμάτια χωρίς εσωτερική δομή. Αντίθετα, τα quarks, δηλαδή το up (u), το down (d), το strange (s), το charm (c), το bottom (b) και το top (t), υποτέθηκαν ως θεμελιώδεις λίθοι της Φύσης τη δεκαετία του 1960, όταν η πληθώρα των αδρονίων (μεσόνια και βαρυόνια) ανάγκασε τους επιστήμονες της εποχής να θεωρήσουν ότι αυτά έχουν εσωτερική δομή. Το πείραμα έχει δείξει ότι αυτά που ονομάζουμε μεσόνια αποτελούνται από ζεύγος quark-antiquark, ενώ αυτά που ονομάζουμε βαρυόνια αποτελούνται από μία τριάδα quarks. Όσον αφορά τα quarks, αξίζει να αναφέρουμε ότι αυτά έχουν κλασματικό φορτίο (σε μονάδες φορτίου ηλεκτρονίου), καθώς κι ότι η συμπεριφορά τους καθορίζεται από την ασυμπτωτική ελευθερία (ελεύθερα σωματίδια σε πολύ μεγάλες ενέργειες/μικρές αποστάσεις) και τον περιορισμό (αδυναμία να παρατηρηθούν μεμονωμένα). Τα βασικά χαρακτηριστικά των σωματιδίων του Καθιερωμένου Προτύπου συνοψίζονται στα σχήματα 1.1 και 1.2: Σχήμα 1.1: Τα χαρακτηριστικά των μποζονίων [24, σελ. 6] 5

Σχήμα 1.2: Τα χαρακτηριστικά των φερμιονίων και σύγκριση των μαζών τους με βάση τον όγκο που αποδίδεται σε κάθε σωματίδιο [24, σελ. 3] 1.1.2 Οι Αλληλεπιδράσεις του Καθιερωμένου Προτύπου Σε αντίθεση με την κλασική εικόνα, στην οποία οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ σωματιδίων περιγράφονται με βάση δυναμικά, στην εικόνα της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου, κάθε αλληλεπίδραση αποδίδεται στην ανταλλαγή μποζονίων μεταξύ των αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Τα μποζόνια αυτά ονομάζονται δυνητικά, επειδή το τετράγωνο της τετραορμής τους δεν ισούται με τη μάζα ηρεμίας τους. Παραπάνω αναφέραμε τα μποζόνια που είναι φορείς κάθε αλληλεπίδρασης. Ενδιαφέρον παρουσιαζει επίσης η ισχύς των θεμελιωδών δυνάμεων, που φαίνεται στο σχήμα 1.3. Σχήμα 1.3: Η σχετική ισχύς των θεμελιωδών δυνάμεων [24, σελ. 6] Όπως φαίνεται, η ισχυρή αλληλεπίδραση έχει τη μεγαλύτερη σταθερά σύζευξης, αν και ασκείται μόνο σε σωματίδια με χρώμα. Η ηλεκτρομαγνητική δύναμη είναι δεύτερη σε σειρά ισχύος και παίζει σημαντικό ρόλο στις αλληλεπιδράσεις μεταξύ σωματιδίων, αρκεί αυτά να είναι ηλεκτρικά φορτισμένα. Η ασθενής αλληλεπίδραση έχει αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερη ισχύ, ενώ η βαρυτική αλληλεπίδραση έχει πραγματικά ασήμαντη επίδραση, γι αυτό και παραλείπεται από τους υπολογισμούς. 6

Συνοψίζουμε τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων του Καθιερωμένου Προτύπου στο σχήμα 1.4. Σχήμα 1.4: Οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματιδίων του Καθιερωμένου Προτύπου [1] Οι παραπάνω αλληλεπιδράσεις προκύπτουν από την ερμηνεία όρων σε λαγκραντζιανές πυκνότητες (στο εξής θα τις ονομάζουμε απλά λανγκραντζιανές ), οι οποίες περιλαμβάνουν όλες τις εξισώσεις που περιγράφουν το φυσικό σύστημα. Προτού δούμε τη λανγκραντζιανή κάθε τομέα του Καθιερωμένου Προτύπου, παραθέτουμε τις βασικές λανγκραντζιανές που μας οδηγούν στην εξίσωση Klein- Gordon και Dirac αντίστοιχα. Για πραγματικό πεδίο σωματιδίου μάζας m και spin 0, η λανγκραντζιανή γράφεται: L = 1 2 [ ( µ φ)( µ φ) m 2 φ 2] (1.1) Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις Euler-Lagrange, η παραπάνω λανγκραντζιανή δίνει την εξίσωση Klein-Gordon: ( µ µ + m 2) φ =0 (1.2) Γενικεύοντας σε μιγαδικό πεδίο, η λαγκαντζιανή γράφεται: L = 1 2 [ ( µ φ) ( µ φ) m 2 φ φ ] (1.3) Για φερμιόνιο μάζας m και spin /2, η λαγκραντζιανή γράφεται: L = ψ (iγ µ µ m) ψ (1.4) Εφαρμόζοντας τις εξισώσεις Euler-Lagrange, η παραπάνω λανγκραντζιανή δίνει την εξίσωση Dirac: (iγ µ µ m) ψ =0 (1.5) Τονίζουμε ότι οι παραπάνω λαγκραντζιανές είναι αναλλοίωτες κάτω από τον ολικό μετασχηματισμό ia, όπου a είναι οποιαδήποτε σταθερά, που αντιστοιχεί σε αλλαγή της φάσης σε κάθε σημείο του χώρου. Από το θεώρημα της Nöther, η συμμετρία αυτή αντιστοιχεί στη διατήρηση του ολικού φορτίου. 7

1.1.2.1 Ηλεκτρομαγνητικές Αλληλεπιδράσεις Η λαγκραντζιανή για τον ηλεκτρομαγνητικό τομέα του Καθιερωμένου Προτύπου προκύπτει φυσικά αν επιβάλλουμε αναλλοιώτητα της λαγκραντζιανής (1.4) σε U(1) τοπικό μετασχηματισμό βαθμίδας ψ(x) ψ (x) = ia(x) ψ(x), όπου το a(x) μπορεί πλέον να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο του χωροχρόνου. Τότε έχουμε: µ ψ ia(x) µ ψ + i ia(x) ψ( µ a) (1.6) Η παραπάνω απαίτηση εισέρχεται φυσιολογικά στη θεωρία, μιας και ισοδυναμεί με την απαίτηση της τοπικής διατήρησης του φορτίου σε κάθε περιοχή του χώρου. Η αναλλοιώτητα στον τοπικό μετασχηματισμό συνεχίζει να ισχύει μόνο αν μεταβάλουμε με κατάλληλο τρόπο την παράγωγο, εισάγοντας ένα επιπλέον πεδίο A µ, το οποίο μετασχηματίζεται με συγκεκριμένο τρόπο όταν εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό, έτσι ώστε D µ ia(x) D µ ψ. Η νέα παράγωγος D µ, η οποία ονομάζεται συναλλοίωτη παράγωγος, είναι: D µ µ iea µ με A µ A µ + 1 e µa (1.7) Με βάση τις παραπάνω αλλαγές, η λαγκραντζιανή (1.4) γίνεται: L = ψ (iγ µ µ m) ψ + e ψγ µ ψa µ (1.8) Το ρεύμα j µ = ψγ µ ψ συζεύγνυται με το πεδίο A µ ακριβώς με τη μορφή της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης. Μπορούμε να θεωρήσουμε το A µ ως το το πεδίο φωτονίων, αρκεί να προσθέσουμε έναν κινητικό όρο, ο οποίος αναγκαστικά περιέχει την ορμή του φωτονίου, δηλαδή όρους της μορφής µ A ν. Ο ζητούμενος όρος [D µ,d ν ]= ief µν, όπου F µν = µ A ν ν A µ πρέπει να παραμένει και αναλλοίωτος σε τοπικό μετασχηματισμό βαθμίδας. Η τελική λαγκραντζιανή είναι: L = ψ (iγ µ µ m) ψ + e ψγ µ ψa µ 1 4 F µνf µν (1.9) Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η αναλλοιώτητα σε τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας αποκλείει όρους της μορφής 1 2 m2 A µ A µ, οι οποίοι δεν είναι αναλλοίωτοι στο μετασχηματισμό (1.6). Επομένως, το κβάντο του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι άμαζο. Αν γράψουμε συμβολικά τη μορφή των όρων, τότε μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τους όρους στη λαγκραντζιανή με κόμβους και γραμμές στα διαγράμματα Feynman και να αναγνωρίσουμε αλληλεπιδράσεις. Ο πρώτος όρος ψ / ψ περιγράφει την ελεύθερη διάδοση φερμιονίου, ο δεύτερος όρος ψψa µ περιγράφει την αλληλεπίδραση φερμιονίου-φωτονίου, ενώ ο τελευταίος όρος A µ A ν περιγράφει την ελεύθερη διάδοση φωτονίου. Η (1.9) αποτελεί τη λαγκραντζιανή της QED. 8

1.1.2.2 Ισχυρές Αλληλεπιδράσεις Με τρόπο παρόμοιο με την ηλεκτρομαγνητική αλληλεπίδραση, η ισχυρή αλληλεπίδραση προκύπτει από την απαίτηση αναλλοιώτητας σε μετασχηματισμό βαθμίδας, αυτή τη φορά της ομάδας SU(3). Η αρχική λαγκραντζιανή είναι: L q = q ȷ (iγ µ µ m) q ȷ, (1.10) όπου ο δείκτης ȷ τρέχει στα 3 χρώματα της QCD. Για απλότητα, δείχνουμε μόνο τη μία γεύση και οι υπόλοιπες έχουν την ίδια μορφή. Χρησιμοποιούμε τη σύμβαση Einstein, δηλαδή η ύπαρξη κοινού δείκτη υπονοεί άθροιση. Ο μετασχηματισμός της SU(3) που επιβάλλουμε είναι της μορφής: q(x) ia a(x)t a q(x) (1.11) όπου T είναι 8 γραμμικώς ανεξάρτητοι, άιχνοι πίνακες της SU(3) για τους οποίους ισχύει [T a,t b ]= if abc T c με f abc πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι ονομάζονται παράγοντες δομής της ομάδας. Με παρόμοιο τρόπο με την περίπτωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, αλλά με λίγο πιο περίπλοκη άλγεβρα λόγω της μη αβελιανότητας της SU(3), η αναλλοιώτητα σε τοπικούς μετασχηματισμούς βαθμίδας, μας οδηγεί στην λαγκραντζιανή: L = q (iγ µ µ m) q g ( qγ µ T a q) G a µ 1 4 Ga µνg µν a, (1.12) όπου G a µ το γλουονικό πεδίο και G a µν = µ G a ν ν G a µ gf abc G b µg c ν και q είναι άνυσμα στο χώρο του χρώματος. Και στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι όροι μάζας του γλουονικού πεδίου αποκλείονται λόγω της απαίτησης αναλλοιώτητας στον τοπικό μετασχηματισμό βαθμίδας, επομένως προκύπτει ότι και τα γλουόνια έχουν μηδενική μάζα. Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχει μόνο μία σταθερά σύζευξης g. Εκτός από τον πρώτο όρο qq, το δεύτερο όρο qqg a µ και ένα μέρος του τελευταίου όρου G a µg ν a, οι οποίοι έχουν ανάλογα στην QED και αντίστοιχη ερμηνεία, ο τελευταίος όρος της λαγκραντζιανής περιλαμβάνει όρους µ G a νf abc G b µg ν c και f abc G b µg c νf aeh G e µg h ν. Αυτοί οι όροι αντιστοιχούν σε κόμβο τριών και τεσσάρων γλουονίων αντίστοιχα και δείχνουν ότι τα γλουόνια έχουν χρωματικό φορτίο και έτσι αλληλεπιδρούν με τον εαυτό τους. Αυτοί οι όροι κάνουν την QCD σημαντικά πιο περίπλοκη από την QED και προκύπτουν ευθέως λόγω της μη αβελιανότητας του μετασχηματισμού βαθμίδας της SU(3). 1.1.2.3 Μηχανισμός Brout-Englert-Higgs Ο μηχανισμός Brout-Englert-Higgs (BEH) εισήχθη έτσι ώστε να συμφιλιώσει δύο φυσικές απαιτήσεις που αρχικά φαίνονταν αντιφατικές: Τη δυνατότητα επανακανονικοποίησης των θεωριών, δηλαδή 9

τη δυνατότητα εξάλειψης των απειρισμών στους υπολογισμούς, όταν αυτοί προκύπτουν, και το γεγονός ότι οι φορείς της ασθενούς αλληλεπίδρασης έχουν μη μηδενική μάζα [13], [18]. Από τη μία πλευρά, είδαμε στο παράδειγμα της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης ότι η συμμετρία στο μετασχηματισμό βαθμίδας αποκλείει την ύπαρξη μποζονίων με μη μηδενικές μάζες. Από την άλλη πλευρά, όταν η συμμετρία βαθμίδας είναι απούσα, η θεωρία παρουσιάζει απειρισμούς, με αποτέλεσμα να μην είναι φυσικά αποδεκτή. Η λύση που σκέφτηκαν οι Brout-Englert αφ ενός και ο Higgs αφ ετέρου είναι να ξεκινήσουν από μία λαγκραντζιανή η οποία είναι συμμετρική στους μετασχηματισμούς βαθμίδας και να προσπαθήσουν να χρησιμοποιήσουν ένα δυναμικό του οποίου η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας να σπάει αυτή τη συμμετρία. Θα εφαρμόσουμε το μηχανισμό Higgs, όπως ονομάστηκε η μέθοδός τους, στη σχετικά απλή περίπτωση της τοπικής συμμετρίας βαθμίδας U(1). Σχήμα 1.5: Το δυναμικό του μηχανισμού Higgs: V (φ) =µ 2 φ φ + λ (φ φ) 2 [15, σελ. 325] Ας υποθέσουμε την ύπαρξη ενός μιγαδικού πεδίου, το οποίο βρίσκεται σε δυναμικό όπως αυτό της εικόνας 1.5. Η λαγκραντζιανή του είναι: L = T V = 1 2 ( µ + iea µ ) φ ( µ iea µ ) φ 1 4 F µνf µν µ 2 φ φ λ (φ φ) 2 (1.13) Για να έχουμε το δυναμικό με τις ζητούμενες ιδιότητες (ύπαρξη τοπικού μεγίστου στο (0, 0) και συμμετρικό στην περιστροφή στο επίπεδο(φ 1,φ 2 ), θα πρέπει να θέσουμε λ>0 & µ 2 < 0. Παρατηρούμε ότι η λαγκραντζιανή είναι αναλλοίωτη στο μετασχηματισμό φ ia(x) φ. Με απλές παραγωγίσεις μπορεί να δειχθεί ότι το δυναμικό παρουσιάζει ολικό ελάχιστο πάνω στον κύκλο φ 2 1 + φ 2 2 = v 2 = µ2. Επομένως, ακόμη κι αν το πεδίο ξεκίνησε από το τοπικό ελάχιστο λ στο (0,0), μια οποιαδήποτε μικρή διαταραχή θα το οδηγήσει στον παραπάνω κύκλο. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, παίρνουμε ως σημείο ελάχιστης ενέργειας το φ 1 = v & φ 2 =0, αφού οποιαδήποτε άλλη επιλογή μπορεί να καταλήξει στην παραπάνω με απλή περιστροφή του συστήματος, η οποία όμως δεν αλλάζει τίποτα στις φυσικές του ιδιότητες. Με την επιλογή αυτή, το πεδίο αναπτύσσεται σε 1 πεδία η & ξ ως φ = (v + η(x)+iξ(x)) και η λαγκραντζιανή (1.13) γίνεται: 2 10

L = 1 2 ( µξ) 2 + 1 2 ( µη) 2 v 2 λη 2 + 1 2 e2 v 2 A µ A µ eva µ µ ξ 1 4 F µνf µν + interaction terms (1.14) Σε αυτό το σημείο δεν μπορούμε ακόμα να ερμηνεύσουμε τους όρους της λαγκραντζιανής, μιας και υπάρχει ο μη διαγώνιος όρος eva µ µ ξ. Όντως, η λαγκραντζιανή (1.14) δεν μπορεί να είναι σωστή αφού έχει έναν παραπάνω βαθμό ελευθερίας από την αρχική: Έχει όλα τα πεδία της αρχικής και τη διαμήκη πόλωση του πεδίου B µ, επειδή αυτό έχει πλέον μάζα, λόγω του όρου 1 2 e2 v 2 A µ A µ. Το παραπάνω όμως δεν είναι δυνατόν, επειδή μια αλλαγή μεταβλητών (όπως αυτή που πραγματοποιήθηκε παραπάνω), δεν μπορεί να αλλάζει τους βαθμούς ελευθερίας ενός συστήματος. Έτσι, θα πρέπει να υπάρχει κάποιος τρόπος να απορροφηθεί ο περισσευούμενος βαθμός ελευθερίας. Παρατηρώντας ότι 1 φ = (v + η(x)+iξ(x)) iξ(x) 1 (v + η(x)) v σε κατώτερη τάξη ως προς ξ, διαπιστώνουμε 2 2 ότι το πεδίο ξ μπορεί να απορροφηθεί στο μετασχηματισμό βαθμίδας. Με αυτή την παρατήρηση, χρησιμοποιούμε ένα διαφορετικό σύνολο πραγματικών μεταβλητών B µ, h, θ για να εκφράσουμε το μετασχηματισμό βαθμίδας: 1 iθ(x) φ (v + h(x)) v 2 B µ B µ + 1 ev µθ(x) (1.15) Με τη νέα επιλογή, η αρχική λαγκραντζιανή (1.13) γίνεται: L = 1 2 ( µh) 2 λv 2 h 2 + 1 2 e2 v 2 B 2 µ λvh 3 1 4 λh4 + + 1 2 e2 B 2 µh 2 + ve 2 B 2 µh 1 4 F µνf µν (1.16) Πλέον, το άμαζο μποζόνιο ξ που εμφανιζόταν στην λαγκραντζιανή (1.14), το οποίο ονομάζεται μποζόνιο Goldstone, επειδή προκύπτει από το σπάσιμο της συμμετρίας, έχει εξαφανιστεί για την ακρίβεια, έχει μετατραπεί στην επιπλέον πόλωση του, πλέον έμμαζου, διανυσματικού πεδίου B µ. Έτσι, η θεωρία περιλαμβάνει δύο μποζόνια, το αρχικό διανυσματικό πεδίο B µ και ένα καινούργιο, βαθμωτό πεδίο h (πεδίο Higgs), και τα δύο με μη μηδενική μάζα λόγω των όρων (+ 1 2 e2 v 2 Bµ) 2 & ( λv 2 h 2 ) αντίστοιχα. Επίσης, έχουν εμφανιστεί αλληλεπιδράσεις μεταξύ του διανυσματικού και του βαθμωτού πεδίου, λόγω των όρων 1 2 e2 Bµh 2 2 & ve 2 Bµh, 2 αλλά και αλληλεπιδράσεις του βαθμωτού πεδίου με τον εαυτό του, λόγω των όρων λvh 3 & 1 4 λh4. Οι παραπάνω αλληλεπιδράσεις φαίνονται σχηματικά στα διαγράμματα Feynman της εικόνας 1.6. Το σημαντικό όμως είναι ότι, όπως απέδειξε ο G. t Hooft τo 1971 [23], η θεωρία παραμένει επανακανονικοποιήσιμη κάτω από ένα τέτοιο σπάσιμο της συμμετρίας και ο παραπάνω μηχανισμός καταφέρνει την απόδοση μάζας σε μποζόνια χωρίς να αφαιρεί από τη θεωρία το φυσικό της νόημα. 1.1.2.4 Ηλεκτρασθενείς Αλληλεπιδράσεις Οι αρχικές μελέτες, για να δημιουργηθεί ομάδα συμμετρίας από τα ρεύματα της ασθενούς αλληλεπίδρασης, υπέδειξαν ότι μπορεί να δημιουργηθεί μία ομάδα SU(2) με αυτά. Επειδή όμως τα φορτισμένα 11

Σχήμα 1.6: Οι αλληλεπιδράσεις του πεδίου Higgs με το διανυσματικό πεδίο B µ και τον εαυτό του [24, σελ. 479] ρεύματα της ασθενούς αλληλεπίδρασης περιλαμβάνουν μόνο αριστερόστροφες συνιστώσες (λύσεις της εξίσωσης Dirac με δεδομένη χειραλικότητα), το ουδέτερο ρεύμα της ασθενούς αλληλεπίδρασης, το οποίο έχει και δεξιόστροφο κομμάτι, μπορεί να κατασκευαστεί μόνο αν συμπεριληφθεί και το ρεύμα της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης στην ομάδα, αφού αυτό περιλαμβάνει δεξιόστροφες συνιστώσες. Η συμπερίληψη των ηλεκτρομαγνητικών αλληλεπιδράσεων οδηγεί στην επέκταση της ομάδας SU(2) L (όπου το L υπονοεί το χωρισμό σε διπλέτες και απλέτες των σωματιδίων ανάλογα με τις χεραλικότητές τους) στην ομάδα SU(2) L U(1) Y, όπου ο δείκτης Y υπονοεί το υπερφορτίο, το οποίο ορίζεται ως Q = T 3 + Y, αφού προήλθε από το γραμμικό συνδυασμό του ηλεκτρομαγνητικού 2 ρεύματος και της τρίτης συνιστώσας των ρευμάτων της SU(2) L. Τα παραπάνω υπήρξαν οι πρώτες ενδείξεις για την ενοποίηση της ασθενούς και της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης. Στο σχήμα 1.7, παραθέτουμε την ταξινόμηση των λεπτονίων και των quarks σε διπλέτες και απλέτες της SU(2) L, καθώς και τους κβαντικούς αριθμούς της τρίτης προβολής του ισοσπίν, του υπερφορτίου και του φορτίου κάθε σωματιδίου: I =1/2: ( νe e ), L ( u d ), L ( νµ µ ), L ( c s ), L ( ντ τ ), L ( t b ), L I =0: e R,u R,d R, µ R,c R,s R, τ R,t R,b R Σχήμα 1.7: Οι κβαντικοί αριθμοί λεπτονίων και quarks [8, σελ. 7] Το πρόβλημα με τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις είναι ότι τα μποζόνια W & Z, ποy είναι οι φορείς της ασθενούς αλληλεπίδρασης, έχουν μη μηδενική μάζα. Οι Salam και Weinberg επιχείρησαν να εξαγάγουν τις ηλεκτρασθενείς αλληλεπιδράσεις εφαρμόζοντας ένα σπάσιμο συμμετρίας στην ομάδα SU(2) L U(1) Y. Το κομμάτι της λαγκραντζιανής της SU(2) L U(1) Y που αφορά το ζεύγος ηλεκτρόνιο-νετρίνο καθώς και τους κινητικούς όρους των διανυσματικών πεδίων είναι: 12

( L = χ L γ µ i µ g 1 ( 2 τ W µ g 1 ) ) B µ χ L 2 +ē R γ µ (i µ g ( 1) B µ ) e R 1 4 W µν W µν 1 (1.17) 4 B µνb µν όπου χ L = ( νe e ). L Ομοίως υπάρχουν όροι και για τα υπόλοιπα ζεύγη λεπτονίων και για τα quarks (up-down, strangecharm, top-bottom). Όπως και στην προηγούμενη ανάλυση, η αναλλοιώτητα σε μετασχηματισμούς βαθμίδας δεν επιτρέπει την ύπαρξη όρων μάζας. Για να πάρουμε όρους μάζας, προσθέτουμε στην (1.17) τη λαγκραντζιανή του βαθμωτού πεδίου Higgs: ( L = i µ gτ W µ g Y ) 2 B µ φ 2 µ 2 φ φ λ ( φ φ ) 2 (1.18) όπου... 2 =(...) (...). Εφαρμόζοντας το μηχανισμό ( Higgs ) στη λαγκραντζιανή (1.18) με το δυναμικό της εικόνας 1.5 φ + και ένα πεδίο της μορφής φ = φ 0 με τα φ + & φ 0 να είναι βαθμωτά μιγαδικά πεδία. Με την ( ) 1 0 επιλογή για το ελάχιστο να είναι φ 0 =, ο πρώτος όρος της (1.18) δίνει: 2 v ( ) 2 1 2 vg W + W + 1 = 1 8 v2 (g 2 + g 2 ) ( 8 v2 g ( 2 Wµ) 3 2 2gg WµB 3 µ + g 2 Bµ 2 ( g Wµ 3 + gb µ ( gw 3 µ g B µ g2 + g 2 ) 2 +0 ) = g2 + g 2 ) 2 (1.19) Επομένως, ο πρώτος όρος αποτελεί τη μάζα του σωματιδίου W, αφού W ± =(W 1 iw 2 )/ 2. Ο δεύτερος όρος αποτελεί τη μάζα του σωματιδίου Z, ενώ ο τελευταίος όρος προστέθηκε ώστε να δειχθεί ότι υπάρχει ένα ακόμη σωματίδιο, το οποίο ταυτίζουμε με το φωτόνιο, αφού έχει μηδενική μάζα ηρεμίας. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για το πεδίο του σωματιδίου Z και του φωτονίου ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις: Z µ = gw 3 µ g B µ g2 + g 2, A µ = g W 3 µ + gb µ g2 + g 2 (1.20) Αν θεωρήσουμε ότι η μίξη των καταστάσεων W 3 µ και B µ μπορεί να γίνει μέσω μιας γωνίας θ W (γωνία Weinberg), τα φυσικά πεδία γράφονται ως: A µ = cos θ W B µ + sin θ W Wµ 3 (Πεδίο φωτονίου) Z µ = sin θ W B µ + cos θ W Wµ 3 (Πεδίο Z) (1.21) 13

Από τα παραπάνω, σε συνδυασμό με τη σχέση ορισμού του υπερφορτίου, προκύπτει η σχέση μεταξύ των μαζών των W &Z: Με το ανάπτυγμα φ = ( 1 2 0 v + h(x) M W M Z = cos θ W (1.22) ), ο δεύτερος όρος της (1.18) δίνει: V (φ) = λv 2 h 2 λvh 3 1 4 λh4 (1.23) Ο πρώτος όρος δίνει τη μάζα του πεδίου Higgs m 2 h =2v2 λ και οι υπόλοιποι όροι δίνουν την αλληλεπίδραση του πεδίου Higgs με τον εαυτό του. Όμως το αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας της SU(2) L U(1) Y δίνει μάζα και στα φερμιόνια. Βεβαίως, πρέπει να εισαγάγουμε αλληλεπίδραση της διπλέττας του φ με τα φερμιονικά πεδία. Η λαγκραντζιανή: L = G e ( ( ν e, ē) L ( φ + φ 0 ) ( e R +ē R (φ, φ 0 νe ) e ) L ), (1.24) όπου φ 0 = φ 0 & φ = φ +, είναι αναλλοίωτη στη συμμετρία βαθμίδας και μπορεί να προστεθεί ( ) 1 0 στην (1.17). Με την επιλογή φ =,η(1.24) γίνεται: 2 v + h(x) L = G e 2 v(ē L e R +ē R e L ) G e 2 (ē L e R +ē R e L )h (1.25) όπου αναγνωρίζουμε τον όρο μάζας και έναν όρο αλληλεπίδρασης του φερμιονίου με το πεδίο Higgs. Για τη μάζα των quarks, προσθέτουμε στην (1.17) την αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς βαθμίδας λαγκραντζιανή: L = G d (ū, d) L ( φ + φ 0 ) d R G u (ū, d) L ( φ0 φ = m d dd mu ūu m d v ddh m u v ūuh ) u R + hermitian conjugate (1.26) Οι παραπάνω όροι έχουν την ίδια ερμηνεία όπως και αυτοί των λεπτονίων. Παραπάνω δείξαμε τους όρους μάζας για το ζεύγος e ν e και up - down quark. Οι ίδιες ακριβώς σχέσεις αλλά με άλλες σταθερές συζεύξεις G (άρα και διαφορετικές τελικές μάζες) δίνουν τις μάζες και των υπόλοιπων λεπτονίων και quark. 14

Σχήμα 1.8: Η πλήρης λαγκραντζιανή της ηλεκτρασθενούς αλληλεπίδρασης για ένα ζεύγος λεπτονίων και ένα ζεύγος quarks [15, σελ. 341] 1.1.3 Επιτυχίες και Ελλείψεις του Καθιερωμένου Προτύπου Από την παραπάνω θεωρητική θεμελίωση, προκύπτουν πολλές προβλέψεις του Καθιερωμένου Προτύπου, οι οποίες επαληθεύτηκαν τις προηγούμενες δεκαετίες και επαληθεύονται μέχρι σήμερα. Το αποκορύφωμα αυτής της επιτυχίας ήταν η ανακάλυψη του σωματιδίου Higgs το καλοκαίρι του 2012. Χωρίς να αναφερθούμε λεπτομερώς στα τεστ που έχουν επαληθεύσει το Καθιερωμένο Πρότυπο, παραθέτουμε το σχήμα (1.9), το οποίο παρουσιάζει τη συμφωνία των προβλέψεων του Καθιερωμένου Προτύπου για μετρήσεις διαφόρων φυσικών διαδικασιών σε συγκρούσεις πρωτονίων με εξαρετικά υψηλές ενέργειες στον επιταχυντή LHC σε ένα μεγάλο εύρος ενεργών διατομών ( 7 τάξεις μεγέθους). Εκτός όμως από τις επιτυχίες του, το Καθιερωμένο Πρότυπο έχει αφήσει και ένα πλήθος αναπάντητων ερωτημάτων, τα οποία συζητάμε σύντομα παρακάτω: 1. Σκοτεινή Ύλη και Σκοτεινή Ενέργεια Ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της σύγχρονης Φυσικής είναι η εξήγηση της φύσης της Σκοτεινής Ύλης και της Σκοτεινής Ενέργειας. Σκοτεινή ύλη είναι μορφή ύλης η οποία φαίνεται να μην αλληλεπιδρά ή να αλληλεπιδρά πολύ ασθενικά με τις τρεις αλληλεπιδράσεις του Καθιερωμένου Προτύπου αλλά να ασκεί βαρυτική δύναμη ακριβώς όπως η συνηθισμένη ύλη. Από την άλλη πλευρά, Σκοτεινή Ενέργεια ονομάζεται η αιτία της επιταχυνόμενης διαστολής του Σύμπαντος, η οποία δε μπορεί να αποδοθεί σε ήδη γνωστά φαινόμενα. Τόσο η Σκοτεινή Ύλη όσο και η Σκοτεινή Ενέργεια δεν έχουν επεξηγηθεί στα πλαίσια του Καθιερωμένου Προτύπου. 15

Σχήμα 1.9: Σύγκριση προβλέψεων θεωρίας και μετρήσεων του Καθιερωμένου Προτύπου για διάφορες διαδικασίες [2] 2. Πρόβλημα της Ιεραρχίας Κάθε κομμάτι του Καθιερωμένου Προτύπου πρέπει να είναι επανακανονικοποιήσιμο, δηλαδή οι διορθώσεις σε όλα τα ανώτερης τάξης διαγράμματα Feynman να δίνουν πεπερασμένες συνεισφορές στους υπολογισμούς, ακόμη κι αν τα ολοκληρώματα στους βρόχους εκτείνονται μέχρι το άπειρο. Βέβαια, υποπτευόμαστε ότι Νέα Φυσική θα πρέπει να ληφθεί υπόψη όταν προσεγγίζουμε τη κλίμακα μάζας του Planck ( 10 18 GeV), επομένως οι υπολογισμοί του Καθιερωμένου Προτύπου δεν μπορούν να γίνουν μέχρι το άπειρο αλλά μέχρι μια σταθερά αποκοπής Λ. Αν προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε τη διόρθωση ανώτερης τάξης στις μάζες των φερμιονίων, τότε βρίσκουμε ότι: δm 2 f m f Λ 0 ( ) 1 Λ k 4 d4 k m f ln m f Από την άλλη πλευρά, οι διορθώσεις στη μάζα του σωματιδίου Higgs προκύπτουν να είναι: δm 2 h Λ 0 (1.27) 1 k 2 d4 k Λ 2 (1.28) Αν θεωρήσουμε ότι η σταθερά αποκοπής είναι της τάξης της μάζας Planck και λάβουμε υπόψη ότι η μάζα του σωματιδίου Higgs μετρήθηκε να είναι 125 GeV, διαπιστώνουμε ότι οι διορθώσεις στη μάζα του Higgs προκύπτουν να είναι 30 τάξεις μεγέθους μεγαλύτερες από τη φυσική μάζα του σωματιδίου. Αυτό υπονοεί ότι θα πρέπει να συμβαίνουν αφύσικες απαλοιφές στους 16

όρους διορθώσεων, δηλαδή οι διορθώσεις έχουν σύμπτωση 30 ψηφίων. Γι αυτό και το πρόβλημα της ιεραρχίας ονομάζεται και πρόβλημα φυσικότητας ( naturalness problem). Αντίθετα, βλέπουμε ότι δεν προκύπτει αντίστοιχο πρόβλημα με τις μάζες των φερμιονίων, λόγω της λογαριθμικής συμπεριφοράς που έχουν οι διορθώσεις ως προς Λ σε αυτές. 3. Πλήθος παραμέτρων Το Καθιερωμένο Πρότυπο περιλαμβάνει μια μεγάλη συλλογή από παραμέτρους των οποίων την τιμή δεν προβλέπει η θεωρία αλλά πρέπει να προσδιοριστούν με το πείραμα. Έτσι, από μία οπτική, η επιτυχία του Καθιερωμένου Πρότυπου είναι πλαστή, μιας και οι σταθερές του έχουν προσδιοριστεί έτσι ώστε αυτό να συμφωνεί με τις παρατηρήσεις. Στο σύνολό τους, οι ελεύθερες παράμετροι του Καθιερωμένου Προτύπου είναι 26: Οι μάζες των 12 φερμιονίων: m ν1,m ν2,m ν3,m e,m µ,m τ,m d,m s,m b,m u,m c,m t Οι σταθερές σύζευξης των 3 αλληλεπιδράσεων: α, G F,α S Οι 2 παράμετροι του δυναμικού Higgs: Η αναμενόμενη τιμή του πεδίου για το κενό και η μάζα του σωματιδίου: v, m H Οι 8 γωνίες μίξης των πινάκων PMNS και CKM, οι οποίες περιγράφουν τις παρατηρούμενες καταστάσεις νετρίνων και quarks, αντίστοιχα, συναρτήσει των ιδιοκαταστάσεων μάζας: θ 12,θ 13,θ 23,δ& λ, A, ρ, η Η φάση του QCD κομματιού του Καθιερωμένου Προτύπου που οδηγεί στην παραβίαση της CP συμμετρίας: θ CP 0 4. Μεγάλη Ενοποιημένη Θεωρία Οι σταθερές σύζευξης των τριών αλληλεπιδράσεων μεταβάλλουν τις τιμές τους καθώς αλλάζει η ενέργεια. Μάλιστα, η μεταβολή αυτή είναι τέτοια που τείνει να φέρει τις σταθερές σε μεγάλες τιμές της ενέργειας. Έτσι, τη δεκαετία του 1970 προτάθηκε ότι οι τρεις διαφορετικές αλληλεπιδράσεις είναι στην πραγματικότητα μία αλληλεπίδραση, η οποία περιλαμβάνει τις συμμετρίες του Καθιερωμένου Προτύπου U(1), SU(2) και SU(3) σε μια συμμετρία βαθμίδας SU(5). Η παραπάνω θεωρία ονομάζεται Μεγάλη Ενοποιημένη Θεωρία. Παρ όλα αυτά, στα πλαίσια του Καθιερωμένου Προτύπου, η ενοποίηση των τριών δυνάμεων της Φύσης δεν είναι ακριβής, μιας και η εξέλιξη των σταθερών σύζευξης δεν τις φέρνει σε μία κοινή τιμή. Συνεπώς, διαφαίνεται η ανάγκη να υπάρξει κάποια επέκταση του Καθιερωμένου Προτύπου που να τροποποιεί την εξέλιξη των σταθερών σύζευξης με την ενέργεια, ώστε η ενοποίηση να επιτυγχάνεται ακριβώς (εικόνα 1.10). 5. Κβαντική Βαρύτητα Παρ όλη την επιτυχία του στην περιγραφή της ισχυρής, της ασθενούς και της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης, το Καθιερωμένο Πρότυπο φαίνεται να μην καταφέρνει να συμπεριλάβει την Κβαντική Βαρύτητα στο φορμαλισμό του. 17

Σχήμα 1.10: Η σύγκλιση της ισχύος των θεμελιωδών δυνάμεων σε υψηλές ενέργειες [15, σελ. 346] 6. Μάζες νετρίνων Το Καθιερωμένο Πρότυπο προβλέπει η μάζα των νετρίνων να είναι μηδέν. Εντούτοις, τόσο πειράματα που σχετίζονται με αστρονομικά φαινόμενα όσο και πειράματα σε επιταχυντές έχουν υποδείξει ότι τα νετρίνα μπορούν να ταλαντώνονται, δηλαδή να αλλάζουν γεύση. Μια τέτοια ταλάντωση μπορεί να επιτευχθεί μόνο αν τα νετρίνα έχουν μη μηδενική μάζα. Συνεπώς, το Καθιερωμένο Πρότυπο θα πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να λαμβάνει υπόψη τη, μικρή μεν, αλλά μη μηδενική μάζα των νετρίνων. 7. Ασυμμετρία ύλης και αντιύλης Είναι λογικό να περιμένουμε ότι το Σύμπαν δημιουργήθηκε με ίσες ποσότητες ύλης και αντιύλης. Αν ίσχυε η συμμετρία CP, όπου C ο τελεστής που μετατρέπει ένα σωματίδιο στο αντισωματίδιό του και αντιστρόφως και P ο τελεστής της κατοπτρικής συμμετρίας, το Σύμπαν θα έπρεπε να διατηρήσει αυτή την ίση κατανομή ύλης και αντιύλης, η οποία, εξαϋλωνόμενη να δίνει ένα Σύμπαν γεμάτο φωτόνια. Στην πραγματικότητα, αυτό που παρατηρούμε είναι ένα Σύμπαν που κυριαρχείται από ύλη. Η παραβίαση της συμμετρίας CP έχει ήδη ανιχνευτεί στον πίνακα CKM αλλά αποτελεί ένα μικρό ποσοστό της ζητούμενης για να δικαιολογηθεί η παρούσα ασυμμετρία. Άλλες πηγές παραβίασης CP αποτελούν εν γένει η ισχυρή αλληλεπίδραση, κάτι το οποίο δεν έχει επιβεβαιωθεί πειραματικά, αφού δεν έχει παρατηρηθεί ηλεκτρική διπολική ροπή στο νετρόνιο, και ο πίνακας PMNS, ο οποίος είναι δύσκολο να εξετασθεί, μιας και τα υπάρχοντα πειράματα δεν έχουν την απαιτούμενη ευαισθησία ακόμα. Αν, τελικά, το πείραμα δείξει ότι η παραβίαση CP που προέρχεται από το Καθιερωμένο Πρότυπο δεν είναι ικανή για να εξηγήσει την ασυμμετρία ύλης-αντιύλης, η εξήγησή της θα πρέπει να αναζητηθεί σε Φυσική πέραν αυτού. 18

1.2 Υπερσυμμετρία (SUSY) Η Υπερσυμμετρία είναι μια θεωρία η οποία έχει προταθεί ως επέκταση του Καθιερωμένου Προτύπου, προκειμένου να καλύψει κάποιες τουλάχιστον από τις ελλείψεις του. Σύμφωνα με την Υπερσυμμετρία, κάθε σωματίδιο του Καθιερωμένου Προτύπου έχει το αντίστοιχο υπερσυμμετρικό σωματίδιό του. Αυτό θα έχει όλους τους κβαντικούς αριθμούς ίδιους, εκτός από το spin, το οποίο διαφέρει κατά 1/2 και τη μάζα του, η οποία είναι άγνωστη (αλλά μεγαλύτερη, δεδομένου του ότι δεν έχουν ανακαλυφθεί ακόμα υπερσυμμετρικά σωματίδια). Δεδομένου του ότι η διαφορά κατά 1/2 στο spin μεταξύ των σωματιδίων του Καθιερωμένου Προτύπου και των υπερσυμμετρικών σωματιδίων κάνει το spin τους από ακέραιο ημιακέραιο και αντιστρόφως, το θεώρημα spin-στατιστικής επιβάλλει κάθε φερμιόνιο να αντιστοιχεί σε ένα υπερσυμμετρικό μποζόνιο και κάθε μποζόνιο να αντιστοιχεί σε ένα υπερσυμμετρικό φερμιόνιο. Με την εισαγωγή της Υπερσυμμετρίας, ορίζεται ο κβαντικός αριθμός της R p -ομοτιμίας. Σε κάθε σωματίδιο του Καθιερωμένου Προτύπου αντιστοιχίζεται R p =+1και σε κάθε υπερσυμμετρικό σωματίδιο αντιστοιχίζεται R p = 1. Η διατήρηση της R p εισήχθη για να εξηγήσει τη μη διάσπαση του πρωτονίου. Αλλά και με παραβίαση της R p, και πολύ μικρές σταθερές σύζευξης, επιτυγχάνονται μεγάλες τιμές του χρόνου ημιζωής του πρωτονίου που συμβιβάζονται με τις παρατηρήσεις. Υποθέτουμε ότι η R p διατηρείται, γεγονός που έχει σημαντικές φαινομενολογικές συνέπειες. Λόγω της διατήρησης του R p, τα υπερσυμμετρικά σωματίδια πρέπει να παράγονται σε ζεύγη σωματιδίων - αντισωματιδίων. Σε έναν επιταχυντή, όπου την αρχική κατάσταση έχουν μόνο πρωτόνια, η R p έχει τιμή 1. Αν στην τελική κατάσταση έχουμε υπερσυμμετρικά σωματίδια, τότε ο αριθμός τους θα είναι άρτιος, ώστε η ολική R p να είναι R p =( 1) 2n =1και να διατηρείται. Έπειτα, η διατήρηση της R p συνεπάγεται και τη σταθερότητα των ελαφρύτερου υπερσυμμετρικού σωματιδίου, αφού αυτό δε μπορεί να διασπαστεί μόνο σε σωμάτια με R p +1. Παρακάτω, θα δούμε πώς η Υπερσυμμετρία καλύπτει κάποια από τα κενά που αφήνει το Καθιερωμένο Πρότυπο και τις βασικές της αρχές. Από τα διάφορα μοντέλα της Υπερσυμμετρίας που υπάρχουν, παρουσιάζουμε σύντομα το πιο απλό και κοντινό στο Καθιερωμένο Πρότυπο, το Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM). Τέλος, επικεντρωνόμαστε στη φαινομενολογία της Υπερσυμμετρίας, αναφέροντας το φάσμα μαζών της Υπερσυμμετρίας, τις διασπάσεις που αναμένονται και πώς τα σωματίδιά του μπορούν να ανιχνευτούν. 1.2.1 Κίνητρο Το κύριο κίνητρο δημιουργίας της Υπερσυμμετρίας είναι η εξάλειψη του προβλήματος της ιεραρχίας του Καθιερωμένου Προτύπου που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα. Εκτός όμως από αυτό, η Υπερσυμμετρία δίνει εξήγηση για περισσότερες από τις ελλείψεις του Καθιερωμένου Προτύπου: 1. Πρόβλημα της Ιεραρχίας Όσον αφορά το πρόβλημα της Ιεραρχίας, αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί αποτελεσματικά αν αξιοποιηθεί η διαφορά προσήμου που έχουν στις κβαντικές διορθώσεις τα μποζόνια και τα φερμιόνια. Η διόρθωση που υπεισέρχεται στους υπολογισμούς λόγω του μποζονικού βρόχου στο σχήμα 1.11(Α) είναι: 19

δm 2 h = λ S 16π 2 Λ2 +... (1.29) όπου τα αποσιωπητικά υπονοούν όρους που αυξάνονται το πολύ με λογαριθμική εξάρτηση και επομένως δε συνεισφέρουν σημαντικά. Από την άλλη πλευρά, η διόρθωση από το βρόχο του φερμιονίου στο σχήμα 1.11(B) θα είναι: δm 2 h = λ f 2 8π 2 Λ2 +... (1.30) Παρατηρούμε ότι αν υπάρχουν 2 μιγαδικά βαθμωτά μποζόνια για κάθε ένα φερμιόνιο και αντιστρόφως, οι διορθώσεις που περιγράψαμε παραπάνω εξουδετερώνουν η μία την άλλη. Για να λυθεί συνολικά το πρόβλημα της Ιεραρχίας, θα πρέπει η παραπάνω εξουδετέρωση να συμβαίνει σε κάθε τάξης διάγραμμα Feynman, όπως για παράδειγμα σε αυτά που απεικονίζονται στα σχήματα 1.11(C) και 1.11(D) και αυτό ακριβώς είναι που επιτυγχάνεται με την Υπερσυμμετρία. Σχήμα 1.11: Διορθώσεις στη μάζα του σωματιδίου Higgs. (A): Διάγραμμα διόρθωση από ένα βρόχο βαθμωτού, (B): Διόρθωση από ένα βρόχο φερμιονίου, (C) και (D): Διορθώσεις από δύο βρόχους που συζεύγνυνται με διανυσματικά μποζόνια και δημιουργούν ένα βρόχο φερμιονίου [20, σελ. 3 4] 2. Μεγάλη Ενοποιημένη Θεωρία Η επέκταση στην Υπερσυμμετρία τροποποιεί με τέτοιο τρόπο την εξέλιξη των σταθερών σύζευξης των αλληλεπιδράσεων ώστε αυτές να συναντώνται σε μία κοινή τιμή. Εκτός όμως από αυτό, στο MSSM, και οι μάζες των βαθμωτών και των διανυσματικών σωματιδίων συναντώνται και αποκτούν κοινή τιμή και μάλιστα στην ενέργεια που συναντώνται και οι σταθερές σύζευξης. Όλα τα παραπάνω απεικονίζονται στο σχήμα 1.12. Σχήμα 1.12: Αριστερά: Η εξέλιξη των σταθερών σύζευξης των τριών θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων στα πλαίσια του Καθιερωμένου Προτύπου (διαστιγμένη γραμμή) και του MSSM (συμπαγής γραμμή). Κέντρο: Σχηματική αναπαράσταση της εξέλιξης των τεσσάρων δυνάμεων. Δεξιά: Η εξέλιξη των μαζών διαφόρων σωματιδίων στα πλαίσια του cmssm. [8, σελ. 23] 3. Σκοτεινή Ύλη Δεδομένου του ότι θεωρούμε ότι η R p -ομοτιμία διατηρείται, το ελαφρύτερο υπερσυμμετρικό 20

σωματίδιο (Lightest Supersymetric Particle - LSP) θα πρέπει να είναι ουδέτερο και σταθερό. Αν δεν ήταν ουδέτερο, τότε θα μπορούσε εύκολα να ανιχνευτεί μέσω των ηλεκτρομαγνητικών του αλληλεπιδράσεων. Αν δεν ήταν σταθερό, σημαίνει ότι θα έπρεπε να υπάρχει και ελαφρύτερο υπερσυμμετρικό σωματίδιο στο οποίο να διασπάται. Μιας και το LSP δεν αλληλεπιδρά ούτε ηλεκτρομαγνητικά ούτε ισχυρά, ενώ ταυτόχρονα έχει μεγάλη μάζα, είναι υποψήφιο να αποτελεί τα σωματίδια της Σκοτεινής Ύλης. 1.2.2 Βασικές Αρχές Υπερσυμμετρίας και Συμβολισμοί Μπορούμε να κάνουμε μια εισαγωγή στη βασική κβαντομηχανική της Υπερσυμμετρίας, χρησιμοποιώντας ένα σύστημα κβαντικού ταλαντωτή ενός μποζονίου και ενός φερμιονίου. Η Χαμιλτονιανή ενός αρμονικού ταλαντωτή γράφεται: Ĥ = 1 2m ˆp2 + 1 2 mω2ˆx 2 = 1 2 ω ( ˆP 2 + ˆX 2 ) (1.31) όπου θέσαμε ˆP 1 ˆp & mω ˆX mω ˆx. Αν θεωρήσουμε σχέση μετάθεσης ( ) 1 2 ˆX + i ˆP, ισχύουν οι σχέσεις: [ ˆX, ˆP ] ( ) = i και θέσουμε â = 1 2 ˆX i ˆP & â = ( Ĥ = ω â â + 1 ) 2 [â, ] â =1 (1.32) Όπως είναι γνωστό, οι ιδιοτιμές της ενέργειας για ένα τέτοιο σύστημα είναι: ( E n = ω n + 1 ) 2 (1.33) Το παραπάνω μοντέλο αποτελεί τον αρμονικό ταλαντωτή για μποζόνια, αφού για τους τελεστές αναβίβασης â και καταβίβασης â ισχύουν οι σχέσεις: â n = n +1 n +1, â n = n n 1, â 0 =0 (1.34) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει εύκολα ότι â â n = n n και ( â ) n 0 n. Δηλαδή το παραπάνω σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει το άπειρο πλήθος μποζονίων που μπορούν να συνυπάρχουν σε μια δεδομένη κατάσταση ενέργειας. 21

{ } Αν τώρα θεωρήσουμε σχέση αντιμετάθεσης ˆX, ˆP ( 1 2 ˆX + i ˆP ), ισχύουν οι σχέσεις: = i και θέσουμε ˆb ( ) = 1 2 ˆX i ˆP & ˆb = ( ) 1 Ĥ = ω ˆb ˆb + 2 {ˆb, ˆb } E n = ω =1 ( m + 1 ) 2 (1.35) Το παραπάνω μοντέλο αποτελεί τον αρμονικό ταλαντωτή για φερμιόνια, αφού για τους τελεστές αναβίβασης ˆb και καταβίβασης ˆb ισχύουν οι σχέσεις: (ˆb ) 2 =0 (ˆb) 2 =0 (1.36) ˆb 0 =0 Οι παραπάνω σχέσεις υπονοούν ότι οι δυνατές καταστάσεις του συστήματος είναι μόνο δύο, η 0 και η 1, οι οποίες σχετίζονται ως εξής: 1 = ˆb 0 0 = ˆb 1 (1.37) Δηλαδή το παραπάνω σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει το ένα ή κανένα φερμιόνιο που μπορεί να υπάρχει σε μια δεδομένη κατάσταση ενέργειας. Θεωρούμε τώρα ένα σύστημα αρμονικού ταλαντωτή και για μποζόνια και για φερμιόνια. Για αυτό το σύστημα, έχουμε: Ĥ = ω(â â + ˆb ˆb) = ω(â ˆb + ˆb â) (1.38) 2 Για να μεταβούμε από την πρώτη γραμμή στη δεύτερη, έχουμε θεωρήσει τις μεταθετικές και αντιμεταθετικές σχέσεις των τελεστών και επιπλέον το γεγονός ότι οι τελεστές που δρουν σε διαφορετικούς χώρους αντιμετατίθενται μεταξύ τους. Η λύση της παραπάνω Χαμιλτονιανής είναι: E nm = ω(n + m) n, m = n b m f (1.39) όπου ο δείκτης b συμβολίζει μποζονικές καταστάσεις και ο δείκτης f συμβολίζει φερμιονικές καταστάσεις. 22

Θέτοντας επίσης ˆQ 2 ωâ ˆb & ˆQ 2 ωˆb â, η Χαμιλτονιανή γίνεται: Ĥ = 1 ( ˆQ 2 ˆQ + ˆQ ) ˆQ = 1 { ˆQ, ˆQ } 2 (1.40) Οι τελεστές ˆQ & ˆQ έχουν τις ιδιότητες: ˆQ 2 =(ˆQ ) 2 =0 { ˆQ, ˆQ } =2Ĥ [ [ ˆQ, Ĥ] Ĥ] = ˆQ, =0 (1.41) Η δράση των τελεστών ˆQ & ˆQ δίνεται παρακάτω: ˆQ n, 0 =0 ˆQ n, 1 = n +1, 0 ˆQ n, 0 = n 1, 1 ˆQ n, 1 =0 (1.42) Επομένως, ο τελεστής ˆQ καταστρέφει ένα φερμιόνιο και δημιουργεί ένα μποζόνιο, ενώ ο τελεστής ˆQ καταστρέφει ένα μποζόνιο και δημιουργεί ένα φερμιόνιο. Επομένως, οι τελεστές αυτοί αλλάζουν το spin ενός σωματιδίου αλλά διατηρούν το συνολικό αριθμό σωματιδίων σταθερό. Τα παραπάνω υποδεικνύουν ότι υπάρχει εκφυλισμός στις ενέργειες μεταξύ των καταστάσεων n, 1 & n +1, 0. Ως τελευταίο σχόλιο, αξίζει να σημειώσουμε ότι οι παραπάνω σχέσεις συνεπάγονται: ˆQ 0, 0 = ˆQ 0, 0 =0 (1.43) Επομένως, αν η (υπερ)συμμετρία μεταξύ μποζονίων και φερμιονίων δεν είναι παραβιασμένη, δηλαδή έχει μέση ενέργεια του κενού ίση με το μηδέν, τότε δεν μπορούμε να παράγουμε σωματίδια. Αν η συγκεκριμένη συμμετρία παραβιαστεί, η δημιουργία σωματιδίων είναι επιτρεπτή. Είδαμε ότι οι παραπάνω τελεστές έχουν την ιδιότητα να μετατρέπουν φερμιονικές καταστάσεις σε μποζονικές, (π.χ. ο Q εξαλείφει το φερμιόνιο (m :1 0) και δημιουργεί ένα μποζόνιο (n n +1)) και αντιστρόφως. Τέτοιοι ακριβώς είναι και οι τελεστές που παίζουν κυρίαρχο ρόλο στην Υπερσυμμετρία. Με έναν πιο συμβολικό τρόπο, μπορούμε να γράψουμε: ˆQ boson = fermion ˆQ fermion = boson (1.44) Σύμφωνα με το θεώρημα Coleman-Mandula [12], δεν μπορούμε να βρούμε επιπλέον τελεστές με μη τετριμμένο μετασχηματισμό (δηλαδή όχι βαθμωτά υπό τους μετασχηματισμούς Lorentz) που να διατηρούνται, πέραν της ορμής P µ και της στροφορμής M µν. Παρ όλα αυτά, το παραπάνω θεώρημα 23

δεν εφαρμόζεται σε περιπτώσεις που το μετασχηματιζόμενο αντικείμενο είναι σπίνορας. Έτσι, ενώ τελεστές που δρουν ως Q µν p =(αp µ p ν +βg µν ) p δεν μπορούν να μας δώσουν συμμετρία, τελεστές της μορφής ˆQ a J = J ± 1/2, όπου ο δείκτης αναφέρεται στη συνιστώσα του σπίνορα, μπορούν να δώσουν νέα συμμετρία. Αυτή ακριβώς είναι η δράση και των τελεστών της Υπερσυμμετρίας. Για να δίνουν οι τελεστές ˆQ a συμμετρία, θα αντιμετατίθενται με την Χαμιλτονιανή: [ Ĥ] ˆQa, =0 [{ ˆQa, ˆQ } ] b, Ĥ =0 (1.45) Όπως υποδείχτηκε από το παράδειγμα με τους αρμονικούς ταλαντωτές, οι τελεστές θα πρέπει να ικανοποιούν σχέσεις αντιμετάθεσης και όχι μετάθεσης. Μάλιστα, ο τελεστής ˆQ a θα πρέπει να έχει ημιακέραιο spin (στην πιο απλή περίπτωση, η οποία ισχύει κιόλας, γι αυτό και θα ασχοληθούμε με αυτή, ο ˆQ a έχει spin 1/2), { ώστε να μετατρέπει τα μποζόνια σε φερμιόνια και αντιστρόφως. Επομένως, το γινόμενο της μορφής ˆQa, ˆQ } b = ˆQ a ˆQb + ˆQ b ˆQa θα πρέπει να μετασχηματίζεται ως ένα αντικείμενο με spin 1 (όπως ένα συμμετρικό σύστημα δύο φερμιονίων). Επομένως, το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένα { τετράνυσμα, το οποίο, επιπλέον, διατηρείται, σύμφωνα με την (1.45). Έτσι, θα πρέπει να ισχύει ˆQa, ˆQ } b P µ. Η τελευταία σχέση δεν είναι ακριβής, μιας και είναι προφανής η ασυμφωνία των δεικτών στα δυο μέλη. Πιο προσεκτικός υπολογισμός δίνει: { ˆQa, ˆQ } b = 2(σ µ ) ab P µ (1.46) όπου οι δείκτες a & b αναφέρονται στα στοιχεία πίνακα του διανύσματος σ µ, για το οποίο ισχύει: ( ) 1 0 σ 0 = 0 1 ( ) 0 i σ 2 = i 0 ( ) 0 1 σ 1 = 1 0 ( ) (1.47) 1 0 σ 3 = 0 1 Η σχέση (1.46) δείχνει ότι αν εφαρμόσουμε δύο μετασχηματισμούς υπερσυμμετρίας, παίρνουμε τον τελεστή της ορμής, δηλαδή μια χωροχρονική μετάθεση, μια παράγωγο. Αντιστρέφοντας το επιχείρημα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι τελεστές ˆQ είναι οι τετρα-τετραγωνικές ρίζες των παραγώγων, υπό την ίδια έννοια που η εξίσωση Dirac είναι η τετραγωνική ρίζα της εξίσωσης Klein- Gordon. Όμως οι τετραπαράγωγοι ανήκουν στον τετραδιάστατο χώρο. Το να πάρουμε τις ρίζες τους είναι παρόμοια διαδικασία με το να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του 1: Ο χώρος θα πρέπει να επεκταθεί ώστε να περιλαμβάνει τους επιπλέον βαθμούς ελευθερίας. Αυτοί οι βαθμοί ελευθερίας ονομάζονται φερμιονικοί και ο επεκτεταμένος χώρος ονομάζεται υπερχώρος (superspace) και αποτελεί μία από τις βασικές αρχές της Υπερσυμμετρίας. Επιπλέον σχέσεις που ισχύουν για τους τελεστές ˆQ της Υπερσυμμετρίας είναι: 24

{ ˆQa, ˆQ } { b = ˆQ a, ˆQ } b =0 [ ] [ ] ˆQa,P µ = ˆQ a,p µ =0 (1.48) Οι καταστάσεις ενός σωματιδίου στην Υπερσυμμετρία εντάσσονται σε πολλαπλέτες της υπερσυμμετρικής άλγεβρας, οι οποίες ονομάζονται υπερπολλαπλέτες. Αυτές περιλαμβάνουν τόσο φερμιόνια όσο και μποζόνια, τα οποία ονομάζονται υπερσυμμετρικοί εταίροι το ένα του άλλου. Τα μέλη μιας υπερπολλαπλέτας αποτελούν το ένα γραμμικό συνδυασμό των άλλων με τη δράση των τελεστών ˆQ & ˆQ με διαφορά το πολύ μιας χωροχρονικής μετάθεσης ή περιστροφής. Όμως, λόγω της σχέσης μετάθεσης των ˆQ με το P µ (1.48) και της μεταθετικότητας του P 2 με τους τελεστές της χωροχρονικής μετάθεσης και περιστροφής, ο τελεστής P 2 μετατίθεται με όλα τα μέλη μιας υπερπολλαπλέτας. Έτσι, τα μέλη μιας υπερπολλαπλέτας έχουν ίδιες ιδιοτιμές του P 2, δηλαδή ίδιες μάζες. Επιπλέον, και οι κβαντικοί αριθμοί του χρώματος, του φόρτιου και του ισοσπίν είναι ίδιοι ανάμεσα σε υπερσυμμετρικούς εταίρους λόγω της μεταθεσιμότητας των αντίστοιχων τελεστών συμμετρίας). Μάλιστα, μπορεί να αποδειχτεί ότι κάθε πολλαπλέτα περιλαμβάνει τους ίδιους φερμιονικούς και μποζονικούς βαθμούς ελευθερίας, λαμβάνοντας κάθε κατάσταση ελικότητας ξεχωριστά. Στην περίπτωση που η υπερπολλαπλέτα έχει φερμιόνιο Weyl, δηλαδή φερμιόνιο με μηδενική μάζα, αυτό έχει δύο ελικότητες, επομένως δύο φερμιονικούς βαθμούς ελευθερίας. Για να έχουμε και δύο μποζονικούς βαθμούς ελευθερίας, θα πρέπει να έχουμε δυο πραγματικά βαθμωτά πεδία ή ισοδύναμα ένα μιγαδικό βαθμωτό πεδίο. Τα βαθμωτά πεδία αυτά ονομάζονται όπως ο υπερσυμμετρικός τους εταίρος αλλά με το πρόθεμα s- (από το scalar). Για παράδειγμα, ο υπερσυμμετρικός εταίρος του neutrino (νετρίνο) ονομάζεται sneutrino. Η υπερπολλαπλέτα με την παραπάνω σύνθεση ονομάζεται χειραλική ή βαθμωτή. Στην περίπτωση που η υπερπολλαπλέτα περιλαμβάνει ένα διανυσματικό μποζόνιο, το οποίο θα είναι άμαζο (τουλάχιστον πριν σπάσει η συμμετρία βαθμίδας), τότε αυτό θα έχει επίσης δύο δυνατότητες ελικότητας. Οι δύο μποζονικοί βαθμοί ελευθερίας που προκύπτουν απαιτούν δύο φερμιονικούς βαθμούς ελευθερίας, οι οποίοι μπορούν να αντισταθμιστούν από την ύπαρξη ενός Weyl φερμιονίου. Τα φερμιόνια αυτά έχουν το ίδιο όνομα με τους υπερσυμμετρικούς τους εταίρους αλλά με την κατάληξη -ino, π.χ. το photon (φωτόνιο) έχει υπερσυμμετρικό εταίρο το photino. Μια υπερπολλαπλέτα που απαρτίζεται από τα σωματίδια που περιγράψαμε παραπάνω ονομάζεται υπερπολλαπλέτα βαθμίδας ή διανυσματική υπερπολλαπλέτα. Αν περιλάβουμε και το γκραβιτόνιο, το οποίο έχει spin 2 και 5 διαφορετικές καταστάσεις ελικότητας, τότε ο υπερσυμμετρικός του εταίρος έχει spin 3/2 και είναι άμαζος. Τα υπερσυμμετρικά σωματίδια συμβολίζονται με μια περισπωμένη ( ) πάνω από το γράμμα που αντιπροσωπεύει το σωματίδιο. Σε κάθε περίπτωση, όπου υπάρχουν διαφορετικές καταστάσεις ελικότητας, αυτές συμβολίζονται με έναν δείκτη L για αριστερόστροφα σωματίδια και R για δεξιόστροφα σωματίδια. Τονιζουμε ότι ο δείκτης αναφέρεται πάντα στην ελικότητα του αντίστοιχου σωματιδίου του Καθιερωμένου Προτύπου. Ως τελευταίο σημείο, αξίζει να επισημάνουμε ότι σύμφωνα με ό,τι έχει ειπωθεί παραπάνω, τα υπερσυμμετρικά σωματίδια θα πρέπει να έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τα σωματίδια του Καθιερωμένου Προτύπου. Έτσι, για παράδειγμα, το photino θα έπρεπε να έχει μηδενική μάζα και θα ήταν πολύ εύκολο να παραχθεί και να ανιχνευτεί. Αναγκαζόμαστε συνεπώς να υποθέσουμε ότι η Υπερσυμμετρία είναι μια παραβιασμένη συμμετρία της Φύσης, έτσι ώστε τα υπερσυμμετρικά σωματίδια να έχουν 25

μεγάλες μάζες και να εξηγείται το γεγονός ότι δεν έχουν ανιχνευτεί ακόμα. 1.2.3 Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM) Το Minimal Supersymmetric Standard Model (στο εξής MSSM) είναι το υπερσυμμετρικό μοντέλο που έχει τα περισσότερα κοινά με το Καθιερωμένο Πρότυπο. Το MSSM έχει τις ίδιες συζεύξεις αλληλεπίδρασης με το Καθιερωμένο Πρότυπο, ενώ σέβεται και τις συμμετρίες βαθμίδας SU(3) SU(2) L U(1) Y. Παρακάτω θα ταξινομήσουμε τα σωματίδια της Υπερσυμμετρίας σε υπερπολλαπλότητες, όπως επιβάλλει το MSSM. Επειδή τα υπερσυμμετρικά σωματίδια πρέπει να έχουν τις ίδιες ιδιότητες με τα αντίστοιχα του Καθιερωμένου Προτύπου, τα λεπτόνια, τα quarks, τα σωματίδια Higgs (η Υπερσυμμετρία απαιτεί την ύπαρξη δύο σωματιδίων Higgs), καθώς και οι διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις βαθμίδας των διανυσματικών μποζονίων θα πρέπει να βρίσκονται σε διαφορετικές υπερπολλαπλέτες. Οι υπερπολλαπλέτες του MSSM συνοψίζονται στους πίνακες του σχήματος 1.13 και 1.14. Σχήμα 1.13: Οι χειραλικές υπερπολλαπλότητες του MSSM [20, σελ. 9] Σχήμα 1.14: Οι υπερπολλαπλότητες βαθμίδας του MSSM [20, σελ. 9] Στην τελευταία στήλη των πινάκων συνοψίζονται οι ιδιότητες μετασχηματισμού των σωματιδίων σε κάθε μία απο τις ομάδες συμμετρίας βαθμίδας του Καθιερωμένου Προτύπου. Παρατηρούμε την ύπαρξη δύο σωματιδίων Higgs και την ονομασία Higgsino στους υπερσυμμετρικούς τους εταίρους, κάτι που είναι αντίθετο με την ονοματολογία που παραθέσαμε στην προηγούμενη υποενότητα. Τέλος, σημειώνουμε την απουσία του zino ( Z) και του photino ( γ), κάτι, όμως, που δε θα έπρεπε να μας παραξενεύει. Όπως τα φυσικά πεδία Z και γ είναι γραμμικοί συνδυασμοί των ιδιοκαταστάσεων βαθμίδας W 3 µ και B µ, έτσι και τα φυσικά υπερσυμμετρικά πεδία Z και γ είναι γραμμικοί συνδυασμοί των W 0 και B 0. Έτσι, διαπιστώνουμε ότι οι ιδιοκαταστάσεις βαθμίδας που περιέχονται στους παραπάνω πίνακες πολλές φορές αναμειγνύονται για να δώσουν τις ιδιοκαταστάσεις μάζας, τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε. Το σχήμα 1.15 συνοψίζει τις ιδιοκαταστάσεις μάζας. 26

Σχήμα 1.15: Τα μη ανακαλυφθέντα σωματίδια του MSSM [20, σελ. 104] 1.2.4 Η Φαινομενολογία της Υπερσυμμετρίας Παρακάτω θα κάνουμε μια σύντομη επισκόπηση της φαινομενολογίας της Υπερσυμμετρίας, δηλαδή τους τρόπους που μπορούμε να ανιχνεύσουμε κάποιο από τα σωματίδια που προβλέπει η Υπερσυμμετρία και να την επιβεβαιώσουμε ως θεωρία. 1.2.4.1 Το Φάσμα Μαζών των Υπερσυμμετρικών Σωματιδίων Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η Υπερσυμμετρία προβλέπει σε πρώτη φάση όλα τα σωματίδια της να έχουν την ίδια μάζα με τα αντίστοιχα του Καθιερωμένου Προτύπου. Κάτι τέτοιο δεν παρατηρείται και επομένως η Υπερσυμμετρία θα πρέπει να είναι μια παραβιασμένη συμμετρία της Φύσης. Μελετώντας το Μηχανισμό BEH, διαπιστώσαμε ότι το αυθόρμητο σπάσιμο μιας συμμετρίας εισάγει στη θεωρία ελεύθερες παραμέτρους. Στην περίπτωση του σπασίματος της Υπερσυμμετρίας, το MSSM έχει 105 ελεύθερες παραμέτρους. Προκειμένου να μειωθεί ο αριθμός των ελεύθερων παραμέτρων της Υπερσυμμετρίας, έχουν αναπτυχθεί διάφορα μοντέλα. Ένα από τα πιο γνωστά μοντέλα είναι το msugra, το οποίο σχετίζεται με την Υπερβαρύτητα. Στο μοντέλο msugra, ο αριθμός των ελεύθερων παραμέτρων είναι πέντε: 1. m 0 : Η κοινή μάζα όλων των sparticle στις ενέργειες της Μεγάλης Ενοποίησης 2. m 1/2 : Η κοινή μάζα όλων των gauginos στις ενέργειες της Μεγάλης Ενοποίησης 3. A 0 : Η κοινή τριγραμμική σταθερά σύζευξης στις ενέργειες της Μεγάλης Ενοποίησης 4. tan(β): Ο λόγος των αναμενόμενων τιμών κενού των πεδίων Higgs v u /v d 5. sign(µ): Το πρόσημο της παραμέτρου µ που υπεισέρχεται στη μάζα του Higgsino 27

Από τις παραπάνω παραμέτρους, κυρίως οι δύο πρώτες έχουν δραστική επίδραση στο φάσμα μαζών των σωματιδίων της Υπερσυμμετρίας. Γι αυτό το λόγο, στις μελέτες συνήθως οι δύο πρώτες παράμετροι μεταβάλλονται και οι υπόλοιπες μένουν (σχετικά) σταθερές. Αρχικά, αναφέρουμε κάποια γενικά στοιχεία σχετικά με τις μάζες των υπερσυμμετρικών σωματιδίων: Το LSP είναι κατά πάσα πιθανότητα το ελαφρύτερο neutralino Ñ1, εκτός κι αν το gravitino είναι ελαφρύτερο ή η R-ομοτιμία δε διατηρείται. Το gluino θα είναι βαρύτερο από τα neutralinos και τα charginos. Τα squarks των δυο πρώτων οικογενειών (ũ, d, s, c είναι σχεδόν εκφυλισμένα και πολύ βαρύτερα από τα sleptons. Το ελαφρύτερο stop t 1 και το ελαφρύτερο sbottom b 1 είναι πιθανότατα τα ελαφρύτερα squarks. Το ελαφρύτερο slepton είναι πιθανότατα ένα stau τ 1. Το ελαφρύτερο ουδέτερο μποζόνιο Higgs h 0 πρέπει να είναι ελαφρύτερο από 150 GeV και μπορεί να είναι πολύ ελαφρύτερο από τις άλλες ιδιοκαταστάσεις μάζας των Higgs μποζονίων. Παρακάτω, στο σχήμα 1.16, παραθέτουμε δυο παραδείγματα φασμάτων μάζας για δεδομένες τιμές των παραπάνω παραμέτρων (χωρίς αυτά να έχουν απαραίτητα σχέση με την πραγματικότητα). Σχήμα 1.16: Το φάσμα μαζών για (a): m 2 0 m 2 1/2, (b): m2 0 m 1/2 [20, σελ. 106] 1.2.4.2 Διασπάσεις Υπερσυμμετρικών Σωματιδίων Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουμε μερικές από τις δυνατές διασπάσεις υπερσυμμετρικών σωματιδίων με βάση διαφορετικά σενάρια σχετικά με τις μάζες τους. 28