108/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματ

Transcript

1 8/389 Διγραμμικές αναλλοίωτες ποσότητες Είναι χρήσιμο να βρούμε όρους της μορφής ψγψ, όπου Γ γινόμενο γ πινάκων, με καθορισμένους κανόνες μετασχηματισμού κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz ώστε να φτιάξουμε αναλλοίωτες ποσότητες. Ορίζουμε γ 5 iγ γ γ 2 γ 3 και εύκολα βλέπουμε ότι γ 5 iγ 3 γ 2 γ γ i γ 3 γ 2 γ γ iγ γ γ 2 γ 3 γ 5 χρησιμοποιώντας την αντιμετάθεση των γ πινάκων. Επίσης ισχύει ότι γ 5 2 I και γ 5 γ µ + γ µ γ 5. Στην Dirac-Pauli αναπαράσταση, ο γ 5 γράφεται γ 5 I I Ολες οι δυνατές ανεξάρτητες διγραμμικές ποσότητες είναι οι ακόλουθες όπου σ µν i/2γ µ γ ν γ ν γ µ

2 9/389 Αρ. συνιστ. Χωρ. αναστρ. ψψ Βαθμωτό + ψγ µ ψ Διάνυσμα 4 Χωρικές ψσ µν ψ Τανυστής 6 ψγ 5 γ µ ψ Αξονικό διάνυσμα 4 Χωρικές + ψγ 5 ψ Ψευδοβαθμωτό Θα πρέπει να δούμε πώς μετασχηματίζεται το ψ κάτω από μετασχηματισμούς π.χ. Lorentz, χωρική αντιστροφή ώστε να παραμένει αναλλοίωτη η εξίσωση Dirac. Δηλαδή, η ψ x να υπακούει την εξίσωση iγ µ x µ m ψ x με x µ Λ µ νx ν. Το ζητούμενο είναι να βρούμε το S τέτοιο ώστε ψ x Sψx. Υπενθυμίζοντας ότι ψ e ipx up, περιμένουμε το S να είναι ανεξάρτητο από το x. Γνωρίζοντας ότι έχουμε x ν x µ x µ x ν Λν µ x ν

3 /389 iγ µ Λ ν µ x ν m S ψ x Άρα, η απαίτηση είναι Siγ µ Λ ν µs Sγ µ Λ ν µs γ ν γ µ Λ ν µ S γ ν S Άσκηση 27 Δείξτε ότι για ένα απειροστό ορθό μετασχηματισμό Lorentz, Λ µ ν δ µ ν + ɛ µ ν, η μορφή S L i 4 σ µνɛ µν πληροί την αναγκαία σχέση. Δείξτε επίσης ότι S L γ S L γ και γ 5 S L S L γ 5 x ν m ψ x Για χωρική αντιστροφή, όπου ο πίνακας Λ ν µ diag,,,, η βασική απαίτηση που θα πρέπει να πληροί ο S είναι S P γ S P γ και S P γk S P γ k, k, 2, 3. Αυτές οι σχέσεις πληρούνται με S P γ.

4 Οπότε, στην Dirac-Pauli αναπαράσταση, όπου γ diag,,,, οι τέσσερεις συνιστώσες του ψ μετασχηματίζονται, για χωρική αντιστροφή, ως /389 ψ,2 ψ,2, ψ 3,4 ψ 3,4 Δηλαδή, στο σύστημα ηρεμίας, οι θετικής και οι αρνητικής ενέργειας καταστάσεις δηλαδή το ηλεκτρόνιο και το ποζιτρόνιο έχουν αντίθετη εσωτερική ομοτιμία. Τώρα μπορούμε να ελέγξουμε τους μετασχηματισμούς των διγραμμικών ποσοτήτων. Ας δούμε πρώτα πώς μετασχηματίζεται το ψ σε μετασχηματισμό Lorentz ψ x S L ψx ψ ψ γ S L ψ γ ψ S L γ ψ γ S L ψs L Οπότε, σε μετασχηματισμό Lorentz, ψ γ µ ψ ψs L γµ S L ψ Λ µ ν ψγ ν ψ δηλαδή μετασχηματίζεται ως τετραδιάνυσμα.

5 Για χωρική αντιστροφή 2/389 ψ γ µ ψ ψ γ γ µ ψ S P ψ γ γ µ S P ψ γ ψ γ γ µ γ ψ { ψγ γ µ γ + ψγ ψ ψ, µ ψγ µ ψ, µ, 2, 3 Για το ψψ έχουμε ψ ψ ψ S γ Sψ ψ γ S Sψ ψψ για S L και S P. Φερμιόνια με μηδενική μάζα. Το νετρίνο Στην περίπτωση της μηδενικής μάζας, η εξίσωση του Dirac γίνεται Hψ a pψ Eψ Τώρα συμφέρει να χρησιμοποιήσουμε την αναπαράσταση Weyl των πινάκων a σ a σ

6 3/389 Οπότε χ a p φ E χ φ { σ pχ Eχ σ pφ Eφ Για κάθε εξίσωση ισχύει E 2 p 2 E ±p. Ας δούμε την πρώτη εξίσωση σ pχ Eχ. Για E > έχουμε σ pχp Eχ σ p χp χp σ ˆpχp χp E Άρα, το χ έχει αρνητική ελικότητα. Η ίδια πρώτη εξίσωση, για E < ως συνήθως μιλάμε για E και p, γράφεται σ pχ p Eχ σ ˆpχ p χ p Επομένως το χ p έχει θετική ελικότητα. Ακριβώς τα αντίθετα συμβαίνουν για την δεύτερη εξίσωση. Το φ για E > έχει θετική ελικότητα, ενώ για E < έχει αρνητική ελικότητα.

7 4/389 Στην αναπαράσταση Weyl, ο γ 5 diag I, I. Εύκολα φαίνεται ότι P L γ5, P 2 R + γ5 2 Οι τελεστές P L και P R είναι προβολικοί: P L + P R, P L P R και PL 2 P L, PR 2 P R. Αν ψ είναι ένας γενικός spinor, τότε το P L ψ ονομάζεται αριστερή συνιστώσα και το P R ψ δεξιά συνιστώσα του ψ. Πάντοτε μπορούμε να γράψουμε ψ P L + P R ψ P L ψ + P R ψ. Βλέπουμε ότι χ χ χ P L φ φ χ χ P R φ φ φ

8 5/389 Οπότε ένας spinor με μηδενικές τις δύο κάτω συνιστώσες είναι ιδιοκατάσταση του P L, δηλαδή είναι αριστερόστροφο χ χ χ P L χ ΔΗΛΑΔΗ: το με E >, έχει αρνητική ελικότητα και είναι αριστερόστροφο. Το ίδιο με E < είχαμε δει ότι έχει θετική ελικότητα και χ p χ p P L αλλά λόγω του p είναι δεξιόστροφο. Τα αντίθετα ισχύουν για το spinor με μηδενικές τις δύο πάνω συνιστώσες.

9 6/389 Συνοψίζουμε για m χp αριστερόστροφο με h αριστερόστροφο νετρίνο χ p δεξιόστροφο με h + δεξιόστροφο αντινετρίνο δεξιόστροφο με h + δεξιόστροφο νετρίνο φp αριστερόστροφο με h αριστερόστροφο φ p αντινετρίνο Το ηλεκτρομαγνητικό ρεύμα είναι j µ ψ e γ µ ψ e. Στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις το αντίστοιχο ρεύμα είναι 2 ψ [ e γ µ γ µ γ 5] ψ νe ψ e γ µ γ5 2 Αλλά, για άμαζο νετρίνο, η ποσότητα γ5 2 ψ νe αντιστοιχεί στο αριστερόστροφο νετρίνο ή δεξιόστροφο αντινετρίνο. Στη θεωρία των ασθενών αλληλεπιδράσεων δεν εμφανίζεται δεξιόστροφο νετρίνο ή αριστερόστροφο αντινετρίνο. ψ νe

10 7/389 Για m, το u L P L u δεν είναι ιδιοκατάσταση της ελικότητας. Χρησιμοποιώντας την Dirac-Pauli αναπαράσταση θα έχουμε P L up γ5 up σ p E+m + σ p E+m σ p E+m Εφαρμόζοντας τον τελεστή της ελικότητας έχουμε σ ˆp σ p E+m σ ˆp 2 + σ p E+m

11 8/ σ ˆp + σ ˆp p E+m p E+m βλέπουμε ότι το u L δεν είναι ιδιοκατάσταση της ελικότητας. Αν όμως m, και τότε p E, θα έχουμε σ ˆp σ ˆp σ ˆp 2 + σ ˆp σ ˆp σ ˆp σ ˆp σ ˆp

12 Παρατηρήστε ότι για m η δράση του γ 5 και του τελεστή της ελικότητας ταυτίζονται γ 5 up σ ˆp σ ˆp σ ˆp σ ˆp σ ˆp Majorana spinors Ας υποθέσουμε ότι ένα σωματίδιο, που περιγράφεται από την ψ M, συμπίπτει με το αντισωματίδιό του. Δηλαδή, ψm C ψ M. Βέβαια, ένα τέτοιο σωματίδιο θα πρέπει να είναι ηλεκτρικά αφόρτιστο. Ας δούμε ποιες σχέσεις πληρούν οι συνιστώσες του. Γνωρίζουμε ότι ψ C M Cγ ψ M iγ2 ψ M iσ2 iσ 2 ψ M 9/389

13 2/389 Γράφοντας το ψ M με δυο συνιστώσες φ και χ έχουμε ψm C ψ iσ2 φ φ M iσ 2 χ χ ή με άλλα λόγια iσ 2 χ φ Η άλλη σχέση, iσ 2 φ χ είναι ισοδύναμη μιας και σ2 σ 2 καθώς και σ 2 2. Οπότε, το ψ M γράφεται φ iσ2 χ ψ M iσ 2 φ, ή ισοδύναμα ψ M χ Μπορούμε να δείξουμε τώρα ότι αν το φ έχει αρνητική ελικότητα, δηλαδή, σ ˆpφ φ, τότε το iσ 2 φ έχει θετική ελικότητα. σ ˆp iσ 2 φ iσ σ 2 ˆp + σ 2 σ 2 ˆp 2 + σ 3 σ 2 ˆp 3 φ i σ 2 σ ˆp + σ 2 σ 2 ˆp 2 σ 2 σ 3 ˆp 3 φ i σ 2 σ ˆp σ 2 σ 2 ˆp 2 σ 2 σ 3 ˆp 3 φ iσ 2 σ ˆpφ iσ 2 φ

14 Επομένως ο ψ M Majorana spinor, μπορεί να περιγράφει με την πάνω συνιστώσα φ ένα αριστερόστροφο νετρίνο και με την κάτω συνιστώσα iσ 2 φ ένα δεξιόστροφο αντινετρίνο. 2/389