Λίγα λόγια για τον συγγραφέα

Λίγα λόγια για τον συγγραφέα Ο Δρ. Λεωνίδας Θ. Σταυρίδης είναι απόφοιτος της Σχολής Πολιτικών Μηχανικών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και μεταπτυχιακός απόφοιτος του Ο- μοσπονδιακού Πολυτεχνείου (ΕΤΗ) της Ζυρίχης στον Τομέα Στατικής και Κατασκευών. Έχει διδάξει επί μία 30ετία τα μαθήματα της κλασικής Στατικής στο ΕΜΠ, ενώ παράλληλα έχει ασχοληθεί μέσω του ιδιωτικού του Γραφείου με τη Στατική Μελέτη σοβαρών δομικών έργων. Διδάσκει από 15ετίας στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα του Δομοστατικού Σχεδιασμού και Ανάλυσης Κατασκευών του ΕΜΠ το μάθημα του Σχεδιασμού των Τεχνικών Έργων και, από 10ετίας, το μάθημα της Στατικής λειτουργίας και Σχεδιασμού των Δομικών Φορέων. Οι δημοσιεύσεις του στα πλέον έγκριτα Γερμανικά, Αγγλικά και Αμερικανικά επιστημονικά τεχνικά περιοδικά καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα της Στατικής και Δυναμικής των Κατασκευών. Το 2011 εξελέγη Τακτικός Καθηγητής της Στατικής στο ΕΜΠ.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...13 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...19 10. Εσχάρες...21 Γενικότητες...21 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας...22 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών...32 11. Πλάκες...35 Γενικότητες...35 11.1 Η βασική εξίσωση της πλάκας σαν απόρροια της φέρουσας λειτουργίας της...36 11.2 Ορθογωνικές πλάκες...45 11.2.1 Διέρειστες πλάκες...46 11.2.1.1 Εντατική κατάσταση...46 11.2.1.2 Διαστασιολόγηση...47 Προένταση...48 11.2.2 Πλάκες πρόβολοι...52 11.2.2.1 Εντατική κατάσταση...52 11.2.2.2 Διαστασιολόγηση...54 11.2.3 Τετραέρειστες πλάκες...55 11.2.3.1 Εντατική κατάσταση...55 11.2.3.2 Διαστασιολόγηση...60 11.2.4 Πλάκες με νευρώσεις...61 11.3 Κυκλικές πλάκες...66 11.4 Λοξές πλάκες...67 7

8 Περιεχόμενα 11.5 Πλάκες επί υποστηλωμάτων...71 11.5.1 Εντατική κατάσταση...71 11.5.2 Διαστασιολόγηση...76 11.5.3 Προένταση...79 11.6 Πτυχωτές πλάκες...82 12. Κελύφη...89 Γενικότητες...89 12.1 Η μεμβρανική λειτουργία σαν βασική σχεδιαστική θεώρηση...90 12.2 Κυλινδρικά κελύφη...97 12.2.1 To κυλινδρικό κέλυφος με σταθερή εσωτερική πίεση...97 12.2.2 Κυλινδρικές δεξαμενές...100 12.2.3 Σιλό...104 12.2.4 Κυλινδρικοί θόλοι...104 12.3 Σφαιρικά κελύφη...114 12.3.1 Κελύφη με κανονικό ύψος...114 12.3.2 Χαμηλά κελύφη...124 12.4 Υπερβολικά παραβολοειδή κελύφη...128 12.4.1 Αντίληψη της γεωμετρίας...129 12.4.2 Θεωρήσεις ισορροπίας...133 12.4.3 Κελύφη με ευθύγραμμα σύνορα...138 12.4.4 Ελαστική ευστάθεια...145 12.5 Κωνοειδή κελύφη...146 13. Λεπτότοιχες δοκοί...149 13.1 Γενικά χαρακτηριστικά...149 13.2 Η βασική παραδοχή του απαραμόρφωτου της διατομής...155 13.3 Κέντρο διατμήσεως...156 13.4 Η στρέβλωση της λεπτότοιχης δοκού και η ένταση λόγω του εμποδισμού της...159 13.4.1 Ανοικτές διατομές...159 13.4.2 Κλειστές διατομές...162 13.4.3 Ανάλυση της στρεβλώσεως...164 13.4.4 Διαμήκεις τάσεις λόγω εμποδισμού της στρεβλώσεως...167 13.5 Γύρω από την φυσική έννοια της διρροπής...169 13.6 Δύο θεωρήματα αναφορικά με τη διρροπή...171 13.7 Διατμητικές τάσεις από στρέβλωση...173

Περιεχόμενα 9 13.8 Η εξίσωση της στρεπτικής εντάσεως της λεπτότοιχης δοκού και η πρακτική αντιμετώπισή της...173 13.9 Παραδείγματα...178 Παράδειγμα 1...178 Παράδειγμα 2...178 14. Κιβωτιοειδείς δοκοί...181 Γενικότητες...181 14.1 Ευθύγραμμες δοκοί...181 14.1.1 Γενική θεώρηση φορτίσεως...181 14.1.2 Ενταση λόγω παραμορφωσιμότητας της διατομής...186 14.1.3 Αριθμητικό παράδειγμα...196 14.1.4 Ανακεφαλαίωση...198 14.2 Καμπύλες δοκοί...199 Γενικότητες...199 14.2.1 Καθορισμός της έντασης του ραβδωτού φορέα...200 Αξιολόγηση των εξισώσεων ισορροπίας...200 Ανακεφαλαιώνοντας...202 Παραδείγματα εφαρμογής...202 14.2.2 Η καταπόνηση των τοιχωμάτων της διατομής...207 14.2.3 Η επιρροή της προέντασης στις καμπύλες δοκούς...211 14.2.4 Η εξουδετέρωση της στρέψεως μέσω της προέντασης...216 14.2.5 Παραδείγματα ανακεφαλαίωσης...220 15. Πλευρική καταπόνηση πολυωρόφων συστημάτων...227 Γενικότητες...227 15.1 Διαμόρφωση του συστήματος...227 15.2 Οριζόντια καταπόνηση...231 15.2.1 Αντιμετώπιση της φέρουσας λειτουργίας...231 15.2.2 Απόκριση επιπέδου στοιχείου...233 15.2.3 Γενική διάταξη...235 15.2.4 Ορθογωνική διάταξη...237 15.3 Θερμοκρασιακή επιρροή...241 15.3.1 Αντιμετώπιση της φέρουσας λειτουργίας...241 15.3.2 Γενική διάταξη...243 15.3.3 Ορθογωνική διάταξη...244

10 Περιεχόμενα 16. Η δυναμική συμπεριφορά των διακριτών συστηματων...247 Εισαγωγή...247 16.1 Μονοβάθμια συστήματα...250 16.1.1 Δυναμική ισορροπία...250 16.1.2 Ελεύθερη ταλάντωση...251 16.1.2.1 Ταλάντωση χωρίς απόσβεση...251 16.1.2.2 Ταλάντωση με απόσβεση...256 16.1.3 Εξηναγκασμένη ταλάντωση...258 16.1.4 Περιοδική ημιτονοειδής επιβολή δυνάμεως...261 16.2 Σεισμική συμπεριφορά μονοβαθμίων συστημάτων...264 16.2.1 Σεισμική απόκριση ελαστικών συστημάτων...264 16.2.2 Επιρροή της πλαστικής συμπεριφοράς στη σεισμική απόκριση...272 16.2.3 Η πλαστιμότητα και o αντισεισμικός σχεδιασμός...274 16.2.3.1 Χαρακτηριστικά της πλαστικής καμπτικής παραμόρφωσης...274 16.2.3.2 Η έννοια και ο ρόλος της πλαστιμότητας στον αντισεισμικό σχεδιασμό...278 16.2.3.3 Σχεδιαστική πρακτική...280 16.3 Πολυβάθμια συστήματα...282 16.3.1 Η χρήση του μητρώου ακαμψίας...282 16.3.1.1 Η έννοια του μητρώου ακαμψίας...282 16.3.1.2 Μητρωικές πράξεις...284 16.3.1.3 Συσχέτιση φορτίσεως και μετατοπίσεων...286 16.3.1.4 Πολυώροφα συστήματα...287 16.3.2 Ελεύθερη ταλάντωση...291 16.3.2.1 Επίπεδα συστήματα...291 16.3.2.2 Πολυώροφο χωρικό σύστημα...297 Παράδειγμα...298 16.3.3 Εξηναγκασμένη ταλάντωση...300 16. 4 Σεισμική απόκριση πολυβαθμίων συστημάτων...301 16.4.1 Δυναμική ανάλυση...301 16.4.2 Ισοδύναμα στατικά φορτία...305 16.4.3 Η θεώρηση της πλαστικής συμπεριφοράς στον αντισεισμικό έλεγχο και σχεδιασμό...310 16.4.3.1 Εισαγωγή...310 16.4.3.2 Ισοδύναμη στατική φόρτιση Θεώρηση διαδοχικής πλαστικοποίησης (push-over)...310 16.4.3.3 Μόρφωση και σχεδιαστική αξιοποίηση της καμπύλης push-over...314 16.4.3.4 Επεξεργασία του ελαστικού φάσματος σχεδιασμού...316

Περιεχόμενα 11 16.4.3.5 Σχεδιασμός μέσω της προσαρμογής του ελαστικού φάσματος και της καμπύλης push-over...318 16.4.3.6 Ανακεφαλαίωση της διαδικασίας του αντισεισμικού ελέγχου...322 16.4.3.7 Παράδειγμα...324 16.5 Προσεγγιστική αντιμετώπιση συνεχών συστημάτων...326 16.6 Σχεδιασμός για αποφυγή ενοχλητικων ταλαντώσεων...330 16.6.1 Ανθρώπινες δραστηριότητες...330 16.6.2 Λειτουργία μηχανών...332 17. Η στήριξη των δομικών φορέων στο έδαφος...339 Γενικότητες...339 17.1 Γενικά μηχανικά χαρακτηριστικά των εδαφών...340 17.1.1 Μη συνεκτικά εδάφη...340 17.1.2 Συνεκτικά εδάφη...342 17.2 Επιφανειακές θεμελιώσεις...345 17.2.1 Η παραμόρφωσιακή συμπεριφορά του εδάφους κάτω από κατακόρυφα φορτία...346 17.2.2 Μεμονωμένα πέδιλα...351 17.2.2.1 Τάσεις εδάφους - Καθιζήσεις...352 17.2.2.2 Εδραση επί ελαστικής βάσεως...356 17.2.2.3 Διαστασιολόγηση...363 17.2.3 Θεμελιοδοκοί...364 17.2.3.1 Προσομοίωση εδάφους κατά Winkler...366 17.2.3.2 Προσομοίωση εδάφους σαν ελαστικού μέσου...369 Παράδειγμα...373 17.3 Βαθείες θεμελιώσεις (Πάσσαλοι)...375 Γενικότητες...375 17.3.1 Κατακόρυφα φορτία...377 17.3.2 Οριζόντια φορτία...378 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΜΕΡΟΥΣ B'...381 ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΥΣ Α'...385

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1ης έκδοσης Είναι γεγονός ότι με τον όρο «Στατική των Κατασκευών» ένας τεχνικός σήμερα (μηχανικός, αρχιτέκτονας ή κατασκευαστής), εννοεί ενδόμυχα αυτό που θα εννοούσε και ένας ομόλογός του πριν από 500 χρόνια, δηλαδή τις γνώσεις εκείνες χάρις στις οποίες οι κατασκευές «στέκονται» και δεν «πέφτουν» κάτω από τις οποιεσδήποτε εξωτερικές επιδράσεις που θα δεχτούν κατά τη διάρκεια της ζωής τους. Αυτό βέβαια που άλλαξε με τα χρόνια και που έβγαλε την έτσι εννοούμενη «Στατική» από τη σφαίρα της εμπειρίας και της διαίσθησης, ήταν η εισαγωγή της μαθηματικής επεξεργασίας της φέρουσας συμπεριφοράς των κατασκευών και η ανάδειξή της σαν κλάδου της Μηχανικής, σε μία εφηρμοσμένη επιστήμη. Η εξέλιξη μάλιστα των υπολογιστικών μεθόδων που βασίζονται στη χρήση του Η/Υ, εδραίωσε ακόμα περισσότερο την α- ντίληψη αυτή. Η Στατική των κατασκευών θεωρείται σήμερα γενικά ένα απαιτητικό αντικείμενο όχι μόνο από πλευράς αναλυτικής επεξεργασίας αλλά και από πλευράς αξιολόγησης και εφαρμογής της στην Πράξη. Οι δύο αυτές κατευθύνσεις έχουν σαφώς διακεκριμένα χαρακτηριστικά. Η αναλυτική επεξεργασία θέτει πάντα το ερώτημα: «Δίδεται ο φορέας μαζί με την επιβαλλόμενη φόρτιση και ζητείται ο καθορισμός της έντασης και της παραμόρφωσής του». Πρόκειται για ένα πρόβλημα με αυστηρές μαθηματικές απαιτήσεις που καθιερώνει την αντιμετώπιση της Στατικής ως επιστήμης, δημιουργώντας όμως αναπόφευκτα και την ψευδαίσθηση ότι η Στατική είναι αυτοσκοπός. Οπωσδήποτε, την άμεση απάντηση στο εν λόγω ερώτημα εξασφαλίζει σήμερα η παντοδυναμία των σύγχρονων αριθμητικών μεθόδων, χάρις στην προσιτότητα του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Η Πράξη από την άλλη μεριά, απαιτεί έμφαση στην εφαρμογή της αντίληψης της φέρουσας συμπεριφοράς στη σύλληψη και σχεδιασμό των φορέων θέτοντας το ουσιαστικό ερώτημα «Δίδεται το φυσικό περιβάλλον, καθώς και οι συγκεκριμένες λειτουργικές απαιτήσεις και ζητείται η κατάλληλη κατασκευή με τα κατάλληλα υλικά, που να προσαρμόζεται στις φέρουσες ανάγκες της». Το ερώτημα βέβαια αυτό αποτελεί όντως αυτοσκοπό. Στην πράξη, οι λεπτομέρειες της αναλυτικής επεξεργασίας δεν ενδιαφέρουν τον εργοδότη ή το κοινωνικό σύνολο, για τον απλούστατο λόγο ότι αυτές θεωρούνται ήδη κατά κάποιο τρόπο αντιμετωπίσιμες, ιδιαίτερα μάλιστα με τις σημερινές δυνατότητες του Η/Υ. Το ζητούμενο, γενικά και απλά, είναι η ασφαλής, η λειτουργική και η οικονομική (ίσως και αισθητικά ικανοποιητική) κατασκευή. Τίποτε άλλο. 13

14 Στατική των Δομικών Φορέων Είναι γεγονός βέβαια ότι σήμερα στην εκπαιδευτική διαδικασία, στο θέμα «Στατική» έχει υπερισχύσει η πρώτη εκδοχή για πολλούς λόγους, που όλοι σχεδόν ανάγονται στο ότι αυτή μόνο εξασφαλίζει τον «επιστημονικό» της χαρακτήρα. Η δεύτερη εκδοχή αν και ρεαλιστικά εγγύτερη, σπάνια απολαμβάνει της δέουσας προσοχής στα εκπαιδευτικά προγράμματα της Στατικής, κάτι που ο σπουδαστής το αντιλαμβάνεται, προς μεγάλη απογοήτευσή του βέβαια, εκ των υστέρων. Πράγματι, ο αποκλειστικός περιορισμός στην υπολογιστική αντίληψη της Στατικής στερεί τον αρχάριο μηχανικό κατά έναν αξιοσημείωτο τρόπο, από τη φυσική αντίληψη των φερόντων χαρακτηριστικών μιας κατασκευής που δεν οφείλεται μόνο στην εκ των πραγμάτων έλλειψη πείρας, αλλά στο ότι, έχοντας συνηθίσει από τις σπουδές του να κινείται σε περίπλοκα υπολογιστικά σενάρια, δεν έχει την νοητική εκείνη «καθαρότητα» που του επιτρέπει μια «ταχύτητα» στη στατική αντίληψη, όπως αυτή θα του ζητηθεί ενδεχόμενα από τον αρχιτέκτονα ή τον κατασκευαστή. Στην πορεία που ακολουθείται στο βιβλίο αυτό, αναγνωρίζεται κατ αρχήν ότι η λεπτομερής υπολογιστική διαδικασία θα πρέπει να αναληφθεί αναγκαστικά από τα κατάλληλα λογισμικά Η/Υ. Όμως, προϋπόθεση για την επιτυχή αντιμετώπιση ενός στατικού θέματος αποτελεί η καλλιέργεια της αντίληψης για τη φέρουσα λειτουργία και το σχεδιασμό, που επιτρέπει την προδιαστασιολόγηση του φορέα, έστω και με «προσεγγιστικά» αριθμητικά αποτελέσματα. Αυτός ακριβώς είναι και ο στόχος του βιβλίου. Έτσι, μέσα από τη μελέτη των βασικών στοιχείων της φέρουσας συμπεριφοράς τυπικών φορέων όπως είναι η αμφιέρειστη και η συνεχής δοκός, τα πλαίσια, οι εσχάρες, οι πλάκες, τα κελύφη, οι λεπτότοιχες δοκοί, καθώς και τα πολυώροφα συστήματα, καταβλήθηκε προσπάθεια να έλθουν στην επιφάνεια τα χαρακτηριστικά εκείνα της φέρουσας λειτουργίας που είναι σημαντικά και απαραίτητα για τον σχεδιασμό και την προμελέτη τους και που μπορεί ίσως να μένουν κρυμμένα στη σκιά της αυστηρής «αναλυτικής» μελέτης. Για τον σχεδιασμό των φορέων δόθηκε ιδιαίτερη βαρύτητα στη χρήση του οπλισμένου σκυροδέματος, της προεντάσεως, καθώς και των συμμίκτων κατασκευών. Θεωρήθηκε βέβαια απαραίτητο, πάντα μέσα στο ίδιο πρακτικό πνεύμα, αφενός να προηγηθεί σε δύο κεφάλαια η εξέταση των βασικών αρχών και των «χειρισμών» που διέπουν την ανάλυση των επίπεδων ραβδωτών φορέων, ισοστατικών και υπερστατικών, α- φετέρου δε να εξετασθεί στο τελευταίο κεφάλαιο και η δυναμική συμπεριφορά των φορέων με διακριτές μάζες, όπου συμπεριλήφθηκε όχι μόνο η απόκριση σε σεισμό, αλλά και η προσεγγιστική δυναμική απόκριση δοκών και πλακών με συνεχή κατανομή μάζας, έναντι δυναμικών δράσεων από ανθρώπινες δραστηριότητες, καθώς και από τη λειτουργία μηχανών. Η ολοκληρωμένη αντίληψη της φέρουσας συμπεριφοράς και του σχεδιασμού των φορέων πρέπει φυσικά να περιλαμβάνει και τη θεμελίωσή τους. Έτσι λοιπόν το προτελευταίο κεφάλαιο αφιερώθηκε στην εξέταση της στατικής λειτουργίας των επιφανειακών σε μεγαλύτερη έκταση, και των βαθέων θεμελιώσεων σε μικρότερη.

Πρόλογος 15 Το βιβλίο ακολουθεί μία εποικοδομητική πορεία. Καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια το περιεχόμενό του να κτίζεται μόνο σε προηγουμένως σχολιασμένα θέματα. Έτσι λοιπόν, ενώ βασικά θα συνίστατο η μελέτη των κεφαλαίων «κατ αύξοντα αριθμό», για τον εμπειρότερο αναγνώστη θα ήταν απόλυτα κατανοητό το διάβασμα ενός κεφαλαίου να γίνει ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα, μολονότι συχνά υπάρχουν αναφορές και σε παραγράφους προηγουμένων κεφαλαίων. Ο διαχωρισμός του βιβλίου σε δύο μέρη έγινε μάλλον για λόγους ευχρηστότερης προσαρμογής στις ανάγκες του αναγνώστη. Με την ελπίδα να φανεί χρήσιμο για τους τεθέντες στόχους του, το βιβλίο απευθύνεται τόσο σε σπουδαστές Ανωτάτων Ιδρυμάτων (προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς), όσο και σε νέους μηχανικούς της πράξεως που θα ήθελαν μία έκθεση των βασικών προβληματισμών που αφορούν ένα σχετικά εκτεταμένο φάσμα δομοστατικών θεμάτων, με ε- φαρμογή στα κτιριακά έργα, τη γεφυροποιία, καθώς και την κάλυψη μεγάλων χώρων. Θα ήθελα και από τη θέση αυτή να απευθύνω ιδιαίτερες ευχαριστίες καθώς και την ε- κτίμησή μου προς τον εκδοτικό οίκο «Κλειδάριθμος», για την άψογη συνεργασία μας και την τεχνική επιδεξιότητα που επέδειξε το προσωπικό του στη στοιχειοθέτηση του βιβλίου. Αθήνα, Ιανουάριος 2006 Λ. Θ. Σταυρίδης

ΠΡΟΛΟΓΟΣ 2ης έκδοσης Η συνεχιζόμενη εμπειρία του συγγραφέα από την επαφή του με νέους μηχανικούς κατά τα τελευταία 10 χρόνια που μεσολάβησαν από την πρώτη εμφάνιση του βιβλίου, δείχνει ότι αποτελεί πάντα ζητούμενο η καλλιέργεια της φυσικής αντίληψης της φέρουσας συμπεριφοράς έναντι της απόλυτης εξάρτησης από τη χρήση του Η/Υ αφενός, και των Δομικών Κανονισμών αφετέρου, που υποχρεώνουν αναγκαστικά σε εκπλήρωση ελέγχων (υπολογιστικών ή κατασκευαστικών) χωρίς να είναι ξεκάθαρο το μηχανικό ή φυσικό περιεχόμενό τους. Έτσι οι στόχοι που ήδη τέθηκαν από την πρώτη έκδοση παραμένουν πάντα οι ίδιοι. Στη 2η έκδοση του παρόντος Β! Μέρους, πέρα από κάποιες σποραδικές διορθώσεις στα πρώτα 6 κεφάλαια, έγιναν ουσιώδεις διορθώσεις, συμπληρώσεις και τροποποιήσεις στα δύο τελευταία κεφάλαια. Σχετικά με τη δυναμική συμπεριφορά, και καθ όσον αφορά τον αντισεισμικό σχεδιασμό, αφιερώθηκε ιδιαίτερα μεγάλος χώρος για την κατανόηση του ρόλου καθώς και του τρόπου αποτίμησης της επιρροής της πλαστικής συμπεριφοράς στα μονοβάθμια και τα πολυβάθμια πλαισιωτά συστήματα. Αυτό κρίθηκε αναγκαίο γιατί η χρήση των σχετικών Κανονισμών γίνεται τις περισσότερες φορές μηχανικά, χωρίς να προϋπάρχει η ουσιαστική α- ντίληψη για βασικά θέματα και έννοιες που αφορούν τον συντελεστή συμπεριφοράς, την πλαστιμότητα, την υπερωθητική ανάλυση (push-over) κ.λπ. Έτσι, καταβλήθηκε προσπάθεια να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στη καλλιέργεια της φυσικής και πρακτικής αντίληψης για τα διάφορα υπεισερχόμενα θέματα, σύμφωνα πάντα με το πνεύμα του όλου βιβλίου. Κρίθηκε τέλος σκόπιμο, το κεφάλαιο με τα θέματα της στήριξης των φορέων πάνω στο έδαφος να ακολουθήσει μετά την εξέταση της δυναμικής συμπεριφοράς. Στο τελευταίο αυτό κεφάλαιο, έγινε μία ουσιώδης αναθεώρηση της παρουσίασης της λύσης του προβλήματος της αλληλεπίδρασης πλαισίου με θεμελιοδοκό και ελαστικού ημιχώρου όπου αυτό εδράζεται. Για την αισθητή αναμόρφωση της προκείμενης 2ης έκδοσης που αφορούσε και τη χρωματική επεξεργασία όλων των σχημάτων, θέλω να απευθύνω ιδιαίτερες ευχαριστίες προς τον εκδοτικό οίκο «Κλειδάριθμος» για την όπως πάντα άψογη συνεργασία μας, χάρις και στις ιδιαίτερες τεχνικές δεξιότητες του προσωπικού του. Αθήνα, Μάιος 2016 Λ. Θ. Σταυρίδης Εmail: stavrel@central.ntua.gr 17

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το βιβλίο αυτό έχει στόχο να καλλιεργήσει τις βασικές εκείνες μηχανικές γνώσεις και έννοιες που αφορούν τον σχεδιασμό και την αντίληψη της φέρουσας συμπεριφοράς ενός δομικού έργου. Τα δομικά έργα είναι βασικό στοιχείο του πολιτισμού οποιουδήποτε επιπέδου και εξυπηρετούν το καθένα μία συγκεκριμένη κοινωνική ανάγκη. Στην προκείμενη εξέταση το ενδιαφέρον στρέφεται στα βασικά θέματα που αφορούν τα κτιριακά έργα, τις γέφυρες, τις καλύψεις μεγάλων χώρων και τα πολυώροφα δομήματα, καθώς και τη θεμελίωσή τους. Είναι αυτονόητο ότι ο παράγων «υλικό κατασκευής» παίζει θεμελιακό ρόλο και γι αυτό, η παρουσίαση των διαφόρων εννοιών και προβληματισμών θα είναι στο βιβλίο αυτό άμεσα συνδεδεμένη με τον χάλυβα και το σκυρόδεμα στα οποία και θα περιοριστεί, συμπεριλαμβάνοντας τους όποιους συνδυασμούς τους, όπως οπλισμένο και προεντεταμένο σκυρόδεμα, σύμμικτες κατασκευές κ.λ.π., αγνοώντας έτσι το ξύλο, τα πλαστικά, καθώς και τα σύνθετα υλικά. Στόχος του βιβλίου δεν είναι καταρχήν η παρουσίαση μεθόδων για την συστηματική ανάλυση των κατασκευών. Οι εν λόγω μέθοδοι με κατάλληλη επεξεργασία οδηγούν στη σύνταξη προγραμμάτων Η/Υ που επιτρέπουν την εισαγωγή δεδομένων για την αυτόματη λεπτομερή ποσοτική ανάλυση και διαστασιολόγηση ενός επιλεγμένου μοντέλου. Η χρήση τέτοιων προγραμμάτων θεωρείται πάντως σε κάθε περίπτωση αυτονόητη. Πέρα από την εξέταση σε δύο αντίστοιχα κεφάλαια των θεμάτων που αφορούν το χειρισμό της ισορροπίας και της παραμορφωσιμότητας των επίπεδων ραβδωτών φορέων (ισοστατικών και υπερστατικών) και που αποσκοπούν στην εξοικείωση με τις βασικές έννοιες και τα εργαλεία της κλασσικής στατικής, στόχος του βιβλίου είναι να βοηθήσει στην κατανόηση: 1) Της στατικής λειτουργίας και συμπεριφοράς των τυπικών φερόντων συστημάτων όπως είναι οι δοκοί ενός και περισσοτέρων ανοιγμάτων, τα επίπεδα πλαίσια, τα τόξα, οι καλωδιωτοί φορείς, οι εσχάρες, οι επίπεδοι επιφανειακοί φορείς (πλάκες), τα κελύφη, οι λεπτότοιχες δοκοί, οι ευθύγραμμες και καμπύλες κιβωτιοειδείς δοκοί, καθώς και κάθε ενδεχόμενοι συνδυασμοί τους. 2) Της πλαστικής συμπεριφοράς και σχεδιασμού, της ελαστικής ευστάθειας και της συμπεριφοράς ραβδωτών συστημάτων μη αμελητέας λυγηρότητας, καθώς και στην κατανόηση των βασικών στοιχείων δυναμικής συμπεριφοράς και σχεδιασμού των διακριτών μοντέλων, συμπεριλαμβανόμενης και της σεισμικής αποκρίσεως των πολυωρόφων συστημάτων. 19

20 Στατική των Δομικών Φορέων 3) Των ιδιαιτεροτήτων στη φέρουσα συμπεριφορά και την σχεδιαστική αντιμετώπιση των φορέων από οπλισμένο και προεντεταμένο σκυρόδεμα, των συμμίκτων δοκών, καθώς και των χαλυβδίνων στοιχείων. 4) Της δυναμικής απόκρισης, συμπεριφοράς και αντίστοιχου σχεδιασμού των κατασκευών τόσο σε επιβολή ταλαντώσεων προερχόμενες από τη χρήση τους, όσο ιδιαίτερα και σε επιβολή σεισμικής καταπόνησης. και 5) Της στατικής λειτουργίας και συμπεριφοράς των μέσων στηρίξεως των φορέων στο έδαφος (θεμελιώσεων), καθώς και της αλληλεπίδρασής τους μέσω του εδάφους με την ανωδομή. Ελπίζεται έτσι ότι μέσα από μία στοιχειώδη ανάλυση των παραπάνω θεμάτων, θα καλλιεργηθούν εκείνα τα βασικά στοιχεία της φέρουσας αντίληψης των δομικών έργων που επιτρέπουν καταρχήν την ασφαλή προμελέτη και προδιαστασιολόγησή τους, κατ επέκταση δε και την κατάλληλη προσομοίωσή τους για τη χρήση των διατιθέμενων υπολογιστικών προγραμμάτων, τέλος δε να επιτρέπουν την συνειδητή αποδοχή ή όχι των παραγομένων αποτελεσμάτων του Η/Υ, πράγμα που χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή. Οπωσδήποτε δεν θα πρέπει να λησμονείται το γεγονός ότι το τελικό προϊόν της όλης παραγωγικής διαδικασίας της μελέτης ενός δομικού φορέα, δεν μπορεί να είναι άλλο από τα οριστικά σχέδια που θα αποδίδουν την κατασκευαστική του διαμόρφωση καθώς και τον τρόπο κατασκευής του. Η επιτυχημένη σύλληψη ενός δομικού έργου βασίζεται όπως έχει εξάλλου επισημανθεί πρώτα από τον Βιτρούβιο (1 ος αιώνας μ.χ.) στην ικανοποίηση των τεσσάρων χαρακτηριστικών κριτηρίων που είναι η τεχνική ασφάλεια, η λειτουργικότητα, η οικονομικότητα και η αισθητική. Προκειμένου για δομικούς φορείς, «τεχνική ασφάλεια» σημαίνει οι διατιθέμενες α- ντοχές να είναι μεγαλύτερες από τα αναπτυσσόμενα εντατικά μεγέθη, «λειτουργικότητα» σημαίνει έλεγχο διαφόρων χαρακτηριστικών παραμορφωσιμότητας ή και ενδεχόμενα ε- νοχλητικών ταλαντώσεων κατά τη χρήση, «οικονομικότητα» σημαίνει επιτυχή επιλογή του φορέα, του τρόπου θεμελίωσής του, καθώς και του τρόπου κατασκευής και τέλος «αισθητική» σημαίνει επίτευξη δομικής κομψότητας. Ενώ τα δύο πρώτα κριτήρια ελέγχονται από την εμπεριστατωμένη τεχνική ανάλυση, η επιτυχής αντιμετώπιση των δύο τελευταίων απαιτεί από τον μηχανικό επινοητικότητα, δημιουργικότητα και αισθητική καλλιέργεια, ιδιότητες που δεν αποκτώνται βέβαια απλά με την σωστή κατανόηση και εφαρμογή των θεμελιωδών επιστημονικών αρχών, εν τούτοις όμως την προϋποθέτουν. Έτσι, παρόλο ότι η επιτυχημένη μόρφωση ενός δομικού έργου βασίζεται περισσότερο στo τεχνικό και αισθητικό ταλέντο του μελετητή, η γνώση των θεμελιωδών επιστημοτεχνικών αρχών που φιλοδοξεί να παρουσιάσει το βιβλίο αυτό, αποτελεί βασικό κεφάλαιο εκκίνησης για κάθε τέτοια δραστηριότητα.

10. Εσχάρες Γενικότητες Εσχάρα ονομάζεται ένας επίπεδος σχηματισμός συνδεομένων (πρακτικά διασταυρούμενων) μεταξύ τους δοκών με σκοπό την παραλαβή φορτίων κάθετα προς το επίπεδο και την μεταφορά τους σε δύο ή και περισσότερες διευθύνσεις. Παρά το γεγονός ότι σχεδόν πάντοτε οι κόμβοι των εσχαρών κατασκευάζονται μονολιθικοί, είναι χρήσιμη και η θεώρηση της περιπτώσεως όπου οι διασταυρούμενες δοκοί εδράζονται η μία στην άλλη, μεταφέροντας απλά μεταξύ τους μία εσωτερική κατακόρυφη δύναμη. Στην περίπτωση των μονολιθικών κόμβων, οι δοκοί της εσχάρας αναπτύσσουν, σύμφωνα με την 2.6.1, τριών ειδών εντατικά μεγέθη: μία καμπτική ροπή (διάνυσμα οριζόντιο κάθετο στη δοκό), μία στρεπτική ροπή (διάνυσμα κατά τον άξονα της δοκού) και μία τέμνουσα δύναμη (με διάνυσμα κατακόρυφο). Οι κόμβοι της αναπτύσσουν μία μετατατόπιση κατακόρυφη και μία στροφή της οποίας το διάνυσμα είναι οριζόντιο (Σχήμα 10.1). Στην περίπτωση των εδραζομένων κόμβων οι δοκοί αναπτύσσουν μόνο κάμψη και διάτμηση. 21

22 10. Εσχάρες Υπενθυμίζεται εν προκειμένω ότι οποιοδήποτε τμήμα της εσχάρας θα πρέπει να ικανοποιεί τρείς συνθήκες ισορροπίας και συγκεκριμένα: Ισορροπία των κατακόρυφων δυνάμεων, καθώς και ισορροπία των προβολών των διανυσμάτων των ασκουμένων ροπών πάνω σε δύο αυθαίρετους οριζόντιους άξονες του επιπέδου της (πρβλ. 2.6.1). Είναι ευνόητο ότι οι εσχάρες αποτελούν υπερστατικούς φορείς μεγάλου βαθμού αοριστίας και η ανάλυσή τους απαιτεί σχεδόν πάντοτε την εφαρμογή κατάλληλων προγραμμάτων Η/Υ. Παρά ταύτα είναι σκόπιμη η εξέταση ορισμένων βασικών χαρακτηριστικών της φέρουσας συμπεριφοράς τους. 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας Για την εξέταση της κύριας λειτουργίας της εσχάρας, την μεταφορά δηλαδή ενός κατακόρυφου φορτίου σε δύο οριζόντιες διευθύνσεις, χρησιμεύει το απλό μοντέλο του Σχήματος 10.2, όπου ένα κατακόρυφο φορτίο μεταφέρεται σε δύο διευθύνσεις μέσω δύο διασταυρούμενων δοκών. Η υφιστάμενη συμμετρία και κατά τις δύο έννοιες συνεπάγεται την ανάπτυξη στον κόμβο μόνο μιας (κατακόρυφης) μετατοπίσεως. Είναι αντιληπτό ότι η μετατόπιση αυτή είναι κοινή και για τις δύο δοκούς, η προκαλούμενη όμως καμπυλότητα (1/r) δεν είναι ίδια. Η κοντύτερη δοκός θα καμπυλωθεί περισσότερο από την μακρύτερη Μεγέθη εντάσεως Μεγέθη παραμορφώσεως Σχήμα 10.1 Μεγέθη εντάσεως και παραμορφώσεως της εσχάρας

10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας 23 και κατά συνέπεια της σχέσεως Μ = EI/r, θα αναπτύξει μεγαλύτερη καμπτική ένταση εφόσον το (ΕΙ) των δοκών είναι το ίδιο. Όπως έχει καθοριστεί σε προηγούμενο κεφάλαιο (πρβλ. 2.3.7), η καμπτική στιβαρότητα ή η «ακαμψία» μιας αμφιέρειστης δοκού σχετικά με την βύθιση στο μέσο της, δηλαδή η δύναμη που απαιτείται για να προκαλέσει μοναδιαία βύθιση, είναι 48 ΕΙ/L 3. Ο συντελεστής 48 γίνεται 192 όταν η δοκός είναι αμφίπακτη. Φαίνεται έτσι ότι ο διπλασιασμός π.χ. του μήκους μιας δοκού μειώνει την συγκεκριμένη ακαμψία της 8 φορές, ενώ αυτή είναι ανάλογη με το (ΕΙ) Αναλύοντας το απλό αυτό σύστημα (είτε με την μέθοδο των δυνάμεων, είτε με την μέθοδο των παραμορφώσεων), προκύπτει το σημαντικό συμπέρασμα πως αν με 1 και 2 χαρακτηρισθούν οι δυνάμεις που παραλαμβάνονται από τις δοκούς (1) και (2) αντίστοιχα στο μέσον τους, θα είναι: 1 ( ακαμψια) 1 = (πρβλ. 3.2.10) 2 ( ακαμψια) 2 Διαπιστώνεται εύκολα ότι αν η δοκός (2) είναι διπλάσια της δοκού (1), τότε το φορτίο που παραλαμβάνεται από αυτήν είναι το 1/9 του ασκουμένου φορτίου, η δε μέγιστη ροπή της δοκού (1) είναι τετραπλάσια εκείνης της δοκού (2). Αν η δοκός (2) γίνει ακόμη μεγαλύτερη, είναι σαφές ότι η συμμετοχή της στην παραλαβή του κατακόρυφου φορτίου θα είναι ασήμαντη. (2) (1) Κοινή μετατόπιση δ 1 2 (ακαμψία) = (ακαμψία) 1 2 (2) 2 Η δοκός (1) αναπτύσσει μεγαλύτερη καμπυλότητα άρα και καμπτική ένταση 1 (1) Σχήμα 10.2 Κατανομή του φορτίου ανάλογα με την ακαμψία

24 10. Εσχάρες Είναι αντιληπτό βέβαια ότι και σε περίπτωση δοκών διαφορετικών μηκών, είναι δυνατόν βάσει της παραπάνω σχέσεως να επιτευχθεί η ισοκατανομή του φορτίου, διαστασιολογώντας κατά τέτοιο τρόπο τις δοκούς των δύο διευθύνσεων ώστε να είναι: (ακαμψια) 1 = ) 2 (ακαμψια Τα συμπεράσματα αυτά που προκύπτουν από την εξέταση του παραπάνω απλού μοντέλου ισχύουν και για τις κανονικές εσχάρες που καλύπτουν ορθογωνικές κατόψεις. Με δοκούς ιδίων αδρανειακών χαρακτηριστικών εντείνονται περισσότερο οι δοκοί της βραχύτερης έννοιας, ενώ για λόγο πλευρών μεγαλύτερο του 1.50, οι δοκοί της διαμήκους έννοιας σαφώς υπολειτουργούν (Σχήμα 10.3). Η παραπάνω σχέση ισχύει προφανώς το ίδιο και όταν η γωνία διασταυρώσεως των δύο δοκών δεν είναι ορθή (σχήμα). Με βάση αυτό το γεγονός γίνεται κατανοητό ότι για την κάλυψη μιας επιμήκους κατόψεως (ασχέτως λόγου πλευρών), η υιοθέτηση μιας λοξής διάταξης των δοκών εξασφαλίζει πρακτικά την ίδια ένταση για κάθε ομάδα δοκών, δεδομένου ότι κάθε ομάδα δοκών παρουσιάζει το ίδιο μήκος. Η παραλαβή έτσι του φορτίου Το φορτίο φέρεται κυρίως από την κοντή δοκό Το κατακόρυφο φορτίο εντείνει καμπτικά σχεδόν μόνο τις δοκούς της μικρής διάστασης Κάτοψη Το φορτίο φέρεται εξίσου από τις δύο δοκούς Μικρότερη καμπτική ένταση στις δοκούς Μικρότερες παραμορφώσεις Σχήμα 10.3 Επιρροή της διαμορφώσεως της εσχάρας στην παραλαβή του φορτίου

10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας 25 εξίσου από τις δύο ομάδες δοκών, συνεπάγεται πρώτον, σαφώς μικρότερες καμπτικές εντάσεις (μικρότερα ύψη δοκών) και δεύτερον, μικρότερες παραμορφώσεις (βυθίσεις) απ ό,τι με την ορθογωνική διάταξη. Μάλιστα η παρουσία δοκών μικρού μήκους άρα μεγάλης ακαμψίας κοντά στις γωνίες, δημιουργεί συνθήκες πακτώσεως για τις διαγώνιες μεγάλου μήκους δοκούς, που ευνοεί τόσο την καμπτική ένταση όσο και τις παραμορφώσεις. Το παραπάνω μοντέλο που εξετάστηκε δείχνει το πώς πραγματοποιείται η συμμετοχή των διασταυρουμένων δοκών στην παραλαβή του φορτίου. Ένα πρόσθετο χαρακτηριστικό της φέρουσας λειτουργίας της εσχάρας αποτελεί η δυνατότητα της συμμετοχής στην παραλαβή ενός φορτίου που ασκείται σε μία δοκό και άλλων γειτονικών, παράλληλων με αυτήν. Συγκεκριμένα, αν εφαρμοσθεί ένα φορτίο στην μεσαία από τις τρεις διαμήκεις δοκούς σε παράλληλη διάταξη που φαίνονται στο Σχήμα 10.4, οι δύο ακραίες δοκοί θα παραμείνουν προφανώς αμέτοχες, ενώ η παρουσία μιας εγκάρσιας δοκού συνδεδεμένης με αυτές θα μεταφέρει το φορτίο και στις υπόλοιπες, ανακουφίζοντας την μεσαία. Για την μελέτη του ρόλου της εγκάρσιας αυτής δοκού, θεωρείται η ίδια σαν συνεχής δοκός δύο ανοιγμάτων που εδράζεται σε τρεις ελαστικές στηρίξεις, με ακαμψία ελατηρίου k s = 48 ΕΙ 1 /L 1 3, σύμφωνα με τα προηγούμενα (πρβλ. 2.3.6). Υπό την επιρροή του 1 1 [M] 1 L 1 [M] Εγκάρσια δοκός L L ks v ks Δ v ks Η υποχώρηση των ελατηρίων είναι ανάλογη με την καμπτική ένταση των διαμήκων δοκών L L Ασκούνται με αντίθετη φορά στις διαμήκεις δοκούς Αύξηση του (ΕΙ) τείνει να εξισώσει τις υποχωρήσεις Σχήμα 10.4 Ρόλος της εγκάρσιας δοκού στη διανομή του μεμονωμένου φορτίου

26 10. Εσχάρες ασκούμενου συγκεντρωμένου φορτίου η μεσαία διαμήκης δοκός βεβαίως υποχωρεί κατά Δ, συμπαρασύροντας στην ίδια βύθιση και την μεσαία στήριξη της εγκάρσιας. Είναι α- ντιληπτό ότι στις ακραίες στηρίξεις θα αναπτυχθούν στην εγκάρσια δοκό αντιδράσεις προς τα άνω που θα σημαίνουν δράσεις προς τα κάτω επί των διαμήκων (Σχήμα 10.4). Από την ανάλυση της εγκάρσιας δοκού (βλ. κεφάλαιο 3) προκύπτει ότι η βύθιση v των άκρων είναι: Δ v = 3 ks L 1 + 3 EI Είναι αντιληπτό ότι η ένταση κάθε διαμήκους δοκού εξαρτάται αποκλειστικά από την βύθιση του μέσου της. Από την παραπάνω σχέση φαίνεται ο ρόλος του (ΕΙ) στην παραμόρφωση (άρα και την ένταση) των δύο ακραίων δοκών. Μικρή τιμή του (ΕΙ) προκαλεί μικρό v, ενώ με αύξηση της τιμής (ΕΙ) αρχίζει το v να πλησιάζει την τιμή του Δ, δηλαδή οι εντάσεις των τριών διαμήκων δοκών να είναι συγκρίσιμες, πράγμα που σημαίνει ότι το φορτίο κατανέμεται και στις δύο ακραίες δοκούς χάρις στην ακαμψία της εγκάρσιας. Η χρησιμοποίηση μάλιστα μιας ιδιαίτερα άκαμπτης δοκού, εξασφαλίζει πρακτικά την ισοκατανομή του φορτίου στις τρεις παράλληλες δοκούς. Μετά από αυτό το συμπέρασμα γίνεται κατανοητό ότι σε επιμήκεις κατόψεις με ορθογωνική διάταξη, που όπως εξετάστηκε προηγουμένως μόνο οι δοκοί της βραχύτερης διεύθυνσης ουσιαστικά συμμετέχουν στην παραλαβή των φορτίων, οι επιμήκεις δοκοί παρά το γεγονός ότι για τα μόνιμα φορτία υπολειτουργούν, θα πρέπει εν τούτοις να υ- πάρχουν ώστε να εξασφαλίζουν μέσω της ακαμψίας τους την κατανομή τυχόν συγκεντρωμένων φορτίων και σε γειτονικές κύριες δοκούς. Οι παραπάνω θεωρήσεις έγιναν με την υπόθεση ότι οι διασταυρούμενες δοκοί της εσχάρας εδράζονται με απλό τρόπο μεταξύ τους μεταφέροντας μόνο την αμοιβαία δύναμη στηρίξεως. Στην πράξη η σύνδεση των δοκών μεταξύ τους δεν γίνεται συνήθως κατ αυτόν τον τρόπο αλλά είναι μονολιθική, που σημαίνει την ανάπτυξη επί πλέον και στρεπτικής εντάσεως στις δοκούς, πράγμα που δεν τροποποιεί κατ αρχήν καθόλου τα παραπάνω συμπεράσματα, ενώ συμβάλλει στην ευνοικώτερη λειτουργία της εσχάρας από πλευράς καμπτικής εντάσεως και παραμορφώσεως. Η ευνοική αυτή επίπτωση της στρεπτικής εντάσεως στην φέρουσα λειτουργία της εσχάρας εξηγείται αμέσως παρακάτω. Θεωρείται το συμμετρικό μοντέλο του Σχήματος 10.5, όπου οι δοκοί είναι μονολιθικά συνδεδεμένες μεταξύ τους. Η εγκάρσια δοκός είναι ελεύθερα εδραζόμενη στα ά- κρα της, ενώ οι δύο διαμήκεις δοκοί είναι στηριγμένες έτσι ώστε να μπορούν να παραλάβουν ροπές στρέψεως. Το μοντέλο δέχεται δύο ίσες δυνάμεις στους εσωτερικούς κόμβους του. Είναι ήδη σαφές από τα προηγούμενα, ότι οι διαμήκεις δοκοί προσφέρουν στην εγκάρσια, ελαστική στήριξη στους αντίστοιχους κόμβους με ακαμψία ελατηρίου ίση με

10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας 27 k s = 48 ΕΙ/L 1 3. Είναι επίσης σαφές ότι με την επερχόμενη υποχώρηση στα σημεία στηρίξεως θα υπάρξει και μία στροφή φ στα σημεία αυτά της εγκάρσιας δοκού, η οποία θα α- ναπτυχθεί μεν ανεμπόδιστα εφόσον οι δοκοί συνδέονται με απλή έδραση, όχι όμως αν αυτές συνδέονται μονολιθικά. Ο λόγος είναι ότι στην τελευταία περίπτωση η στροφή αυτή θα αναπτυχθεί αναγκαστικά και στην διαμήκη δοκό, η οποία έχοντας τις ακραίες διατομές της άστρεπτες θα αναπτύξει στρεπτική ένταση (σχήμα), ασκώντας ταυτόχρονα πάνω στην εγκάρσια μία καμπτική ροπή που αντιτίθεται στην φορά της στροφής της. Είναι σαφές ότι η ροπή αυτή θα μειώσει την καμπτική ένταση και κατά συνέπεια και την παραμόρφωση της εγκάρσιας δοκού (Σχήμα 10.5). L 1 1 M T (GI ) T M T 1 M T φ (GI ) T φ Εγκάρσια δοκός 2L (GI ) T L M T = φ* k φ (GI ) T M T L (l) M B M T (r) M B M T Ισορροπία ροπών στον κόμβο M T Η άσκηση των στρεπτικών ροπών στο κόμβο μετριάζει την καμπτική ένταση της άλλης διεύθυνσης M T (l) M B M B (r) M T M T Σχήμα 10.5 Ανακουφιστική επιρροή της στρεπτικής έντασης στην κάμψη και την παραμόρφωση

28 10. Εσχάρες Πιο συγκεκριμένα, η διαμήκης δοκός προκειμένου να υποστεί στον θεωρούμενο ε- σωτερικό κόμβο της μία μοναδιαία στροφή χρειάζεται ή αλλιώς διατυπωμένο αντιτάσσει στο μέσον εκείνο που της επιβάλλει την στροφή μία συγκεκριμένη ροπή k φ που ονομάζεται στρεπτική στιβαρότητα. Ετσι η επιβολή σε αυτήν μιας στροφής φ απαιτεί την άσκηση πάνω της μίας στρεπτικής ροπής (k φ φ), η οποία φυσικά ασκείται ταυτόχρονα με αντίθετη φορά και στο μέσον που επιβάλλει την στροφή αυτή, δηλαδή στην εγκάρσια δοκό. Η εγκάρσια δοκός λοιπόν στους δύο εσωτερικούς κόμβους της δεν έχει μόνο τα μετατοπισιακά ελατήρια k s, αλλά έχει και τα στροφικά ελατήρια k φ που αντιτίθενται στην στροφή των κόμβων της (Σχήμα 10.6). Είναι βέβαια σύμφωνα με την 2.6.2: k 4 GI T ϕ =. L1 Για τα ασκούμενα φορτία και με άμεση εφαρμογή της μεθόδου των παραμορφώσεων (βλ. κεφάλαιο 3) βρίσκεται ότι στις συγκεκριμένες θέσεις των εσωτερικών κόμβων που φαίνονται στο σχήμα, η αναπτυσσόμενη κατακόρυφη μετατόπιση δ προκύπτει από τη σχέση: 3 L 1 δ = 3 3EI 3 ks L 1 + 4 + k L /( EI) 3EI ϕ Από την σχέση αυτή προκύπτει το συμπέρασμα ότι η ύπαρξη στρεπτικής στιβαρότητας στις διαμήκεις δοκούς που εκφράζεται με την παρουσία του στροφικού ελατηρίου k φ προκαλεί μείωση της αναπτυσσόμενης υποχώρησης δ των στηρίξεων της εγκάρσιας δοκού απ ό,τι αν η στρεπτική αυτή στιβαρότητα δεν υπήρχε (k φ = 0). Με άλλα λόγια καθώς είναι ευνόητο ότι το φορτίο που δέχονται οι εγκάρσιες δοκοί είναι (k s δ) η αναπτυσσόμενη στρέψη των διαμήκων δοκών μειώνει την καμπτική ένταση τόσο της εγκάρ- Εγκάρσια δοκός k φ kφ ks δ δ ks L 2L L Η παρουσία των στροφικών ελατηρίων περιορίζει το δ [M ] B Σχήμα 10.6 Αιτιολόγηση της ανακουφιστικής επιρροής της στρέψης

10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας 29 σιας όσο και των διαμήκων δοκών, δεδομένου επί πλέον και του ότι ή μείωση του δ συνεπάγεται και μειωμένες αντίστοιχες καμπυλότητες (Σχήμα 10.5). Το σύστημα με τους μονολιθικούς κόμβους αποκτά έτσι μεγαλύτερη στιβαρότητα. Αυτό γίνεται βέβαια με την «δαπάνη» της στρεπτικής εντάσεως που σημαίνει επιπρόσθετες διατμητικές τάσεις. Είναι σαφές ότι τα συμπεράσματα αυτά εφαρμόζονται το ίδιο και σε κανονικές πλήρεις εσχάρες: Η ύπαρξη μονολιθικότητας στους κόμβους συνεπάγεται την ανάπτυξη στρεπτικής εντάσεως η οποία περιορίζει την καμπτική ένταση των δοκών και αυξάνει την στιβαρότητα σε κατακόρυφα φορτία. Είναι σκόπιμο να επιβεβαιωθεί το συμπέρασμα αυτό και στη περίπτωση που στο θεωρούμενο μοντέλο ασκείται ένα μόνο «έκκεντρο» φορτίο σύμφωνα με το Σχήμα 10.7 Ειδικά για την επιλεγμένη αναλογία διαστάσεων, δεδομένης της συμμετρίας του μοντέλου, αν αναλυθεί το φορτίο σε συμμετρικό και αντισυμμετρικό τμήμα όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.8, διαπιστώνεται ότι η αντισυμμετρική φόρτιση (± /2) λόγω της συμμετρίας του «μισού φορέα» (πρβλ. 2.4.2), αναπτύσσει την ίδια δύναμη ελατηρίου ασχέτως υπάρξεως ή μή της στρεπτικής στιβαρότητας k φ. Η μεγαλύτερη στιβαρότητα του συστήματος και η μικρότερη καμπτική ένταση των διαμήκων δοκών του μοντέλου στην περίπτωση παρουσίας της στρεπτικής στιβαρότητας k φ, προκύπτει άμεσα από την συμμετρική φόρτιση με /2, που σύμφωνα με τα προηγούμενα προκαλεί μικρότερη βράχυνση άρα και δύναμη των ελατηρίων (Σχήμα 10.7). Η εν λόγω «βοήθεια» που προσφέρει η στρέψη καθώς και το ίδιο της το μέγεθος εξαρτάται άμεσα από την στρεπτική στιβαρότητα των δοκών, δηλαδή (όπως φαίνεται από την παραπάνω έκφραση του k φ ) από την τιμή της στρεπτικής αδράνειας Ι Τ. Ετσι σε εσχάρες με δοκούς διατομής διπλού ταύ οι αναπτυσσόμενες στρεπτικές ροπές είναι πολύ 1 L 1 1 (GI ) T Εγκάρσια δοκός 2L (GI ) T L L Σχήμα 10.7 Διάταξη εσχάρας

30 10. Εσχάρες Μονολιθικοί κόμβοι Αναπτύσσεται μικρότερη βράχυνση (δύναμη) στα ελατήρια Μη μονολιθικοί κόμβοι L 2L L L 2L L /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 Αναπτύσσεται μεγαλύτερη βράχυνση (δύναμη) στα ελατήρια Αναπτύσσεται η ίδια βράχυνση (μήκυνση) των ελατηρίων Η παρουσία των στροφικών ελατηρίων είναι αδιάφορη /2 /2 /2 /2 Μεγαλύτερη στιβαρότητα Μικρότερη στιβαρότητα Σχήμα 10.8 Ανάλυση της επιρροής της αστρεψίας σε συγκεκριμένη διάταξη εσχάρας μικρότερες απ ό,τι π.χ. σε εσχάρες ίδιων διαστάσεων με κοιλοδοκούς ίδιας ροπής αδρανείας, με συνέπεια η απομειωτική επιρροή της στρέψης στην κάμψη να είναι εντονώτερη στις κοιλοδοκούς. Γίνεται κατανοητό ότι η καθεαυτού λειτουργία των εσχαρών αποτελεί μία αλληλεπίδραση της στρεπτικής και της καμπτικής στιβαρότητας, βασίζεται δε γενικά στον λόγο κ των μεγεθών αυτών, δηλαδή κ = (GI T /EI). Αύξηση του λόγου κ σημαίνει οπωσδήποτε αυξημένη συμμετοχή της στρέψεως και αντίστοιχο περιορισμό της κάμψεως στην παραλαβή των φορτίων. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να επισημανθεί ότι η παρουσία της στρέψεως στις εσχάρες δεν είναι απαραίτητη για την ισορροπία, όπως έχει φανεί σε όλα τα μοντέλα που εξετάστηκαν παραπάνω. Δηλαδή η ισορροπία του γενικού κόμβου εσχάρας που φαίνεται στο Σχήμα 10.9, μπορεί να εξασφαλισθεί πέραν της απαιτήσεως της κατακόρυφης

10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας 31 Θεώρηση στρεπτικής στιβαρότητας Αγνόηση στρεπτικής στιβαρότητας [M ] T [M B] [M B] Ισορροπία κόμβου Ισορροπία κόμβου Η ισορροπία μπορεί να τηρείται και χωρίς τη θεώρηση της στρεπτικής στιβαρότητας Σχήμα 10.9 Παραλαβή της φόρτισης με ή χωρίς την ανάπτυξη τη στρέψεως ισορροπίας μόνο με την παρουσία των καμπτικών ροπών. Η παρουσία και στρεπτικών ροπών λειτουργεί διανυσματικά απλώς υποβοηθητικά στην ισορροπία κάθε κατεύθυνσης και εμφανίζεται λόγω των απαιτήσεων του συμβιβαστού των παραμορφώσεων. Αυτό έχει άμεση επίπτωση στην σχεδιαστική προσέγγιση μιάς εσχάρας από πλευράς οριακής καταστάσεως αστοχίας. Συγκεκριμένα, προκειμένου για ορθογωνικές δοκούς από οπλισμένο σκυρόδεμα, η επερχόμενη ρηγμάτωση απομειώνει πολύ περισσότερο την στρεπτική παρά την καμπτική στιβαρότητά τους, με αποτέλεσμα να υποχωρούν οι στρεπτικές ροπές και να αυξάνονται οι καμπτικές. Η οριακή βέβαια κατάσταση είναι η παντελής αγνόηση της στρεπτικής στιβαρότητας η οποία θα δώσει την μέγιστη δυνατή κάμψη. Οπωσδήποτε, σύμφωνα με το στατικό θεώρημα της θεωρίας της πλαστικότητας (βλ. 6.5.2), εφόσον τηρούνται οι συν-