ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙ ΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για αποκλειστική χρήση από τους φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα «Αντοχή Πλοίου», που διδάσκεται στο 5 ο εξάμηνο της Σχολής Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών. Ο διδάσκων Μ.Σ.ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Φορτηγίδα μήκους L έχει ορθογωνική διατομή καθ όλο το μήκος της, μεταβλητού πλάτους. Η ίσαλος της φορτηγίδας είναι συμμετρική ως προς τη μέση τομή της και το πλάτος της δίνεται από τη σχέση 2 x x B x Bm f Bm 1 4 4, L L όπου B m το πλάτος της ισάλου στη μέση τομή, f παράμετρος για την οποία ισχύει 0<f<1 και x η απόσταση από το πρυμναίο άκρο της φορτηγίδας. Εστω ότι η φορτηγίδα είναι φορτωμένη με τέτοιο τρόπο, ώστε η καμπύλη βάρους της να έχει σταθερή τιμή σε όλο το μήκος της και το εκτόπισμα της να ισούται με W. 1. Να προσδιοριστεί η σχέση που δίνει την καμπτική ροπή κατά μήκος της φορτηγίδας και να γίνει γραφική παράσταση της. 2. Να δειχθεί ότι η καμπτική ροπή στη μέση τομή της φορτηγίδας ισούται με f 1 W L 2 W L f M m 1. Η ροπή στη μέση τομή θλίβει το κατάστρωμα (sag) ή τον 8 f 16 3 f 1 3 πυθμένα (hog); Πως εξηγείται το αποτέλεσμα που δίνει η παραπάνω σχέση για f=0; 3. Στη φορτηγίδα προστίθενται δύο σημειακά φορτία P σε απόσταση y πρύμνηθεν και πρώραθεν του μέσου νομέα αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι η ροπή στη μέση τομή ισούται με f 1 W L W 2 P L M1 P y 2. Να γίνει γραφική παράσταση της ροπής στη μέση τομή 8 8 f 1 3 ως συνάρτηση της απόστασης y για L=120 m, W= 9200 t, P= 10 t και f=0,12.

ΑΣΚΗΣΗ 2 η ίνεται ποταμόπολοιο μήκους 72 m. Το πλάτος της ισάλου και η διατομή του μπορεί να θεωρηθεί σταθερή καθόλο το μήκος του και η κατανομή βαρών έχει ως ακολούθως (κάθε βάρος θεωρείται ότι εφαρμόζεται ομοιόμορφα κατά μήκος): Περιγραφή βάρους Θέση εφαρμογής ομοιόμορφου φορτίου Απόσταση από after end (AE) σε m Ομοιόμορφο φορτίο σε t/m από έως Αφορτο πλοίο 0 72 7,00 Φορτίο Α 0 12 9,00 Φορτίο Β 12 36 6,75 Λέβητες 36 48 6,00 Φορτίο Γ 48 60 8,00 Μηχανές 60 72 10,00 Επιπλέον των βαρών που προαναφέρθησαν, στο πρυμναίο άκρο και σε απόσταση 5 m πίσω από αυτό στηρίζεται ο πρυμναίος τροχός κίνησης, που έχει βάρος 14 t. Στην κατάσταση αυτή το συνολικό βάρος του ποταμόπολοιου ισούται με 1076 t και το κέντρο βάρους βρίσκεται στο μέσο νομέα. ΠΡΥΜΝΑΙΟΣ ΤΡΟΧΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Σχήμα 1: Ποταμόπολοιο με πρυμναίο τροχό κίνησης. Α) Να προσδιοριστούν και σχεδιαστούν η καμπύλη φόρτισης, και η καμπύλη διατμητικών δυνάμεων. Β) Να προσδιοριστούν η θέση και τιμή των ακρότατων καμπτικών ροπών. Ποια η καταπόνηση των ελασμάτων του καταστρώματος (εφελκυσμός ή θλίψη); Γ) Από το ποταμόπλοιο απομακρύνεται ο τροχός και το φορτίο Γ μειούται κατά τρόπο, ώστε το κέντρο βάρους να παραμείνει στη μέση τομή. Να προσδιορίσετε και σχεδιάσετε τη καμπύλη διατμητικών δυνάμεων στην περίπτωση αυτή.

) Ποιά η μεταβολή της τιμής της καμπτικής ροπής στη μέση τομή και που εμφανίζεται η μέγιστη ροπή στην περίπτωση του ερωτήματος Γ); ΑΣΚΗΣΗ 3 η Α) Στο σχήμα α. δίνεται η συμμετρική διατομή φορτηγίδας, που καταπονείται σε κάμψη στο κατακόρυφο επίπεδο. Να σχεδιάσετε την κατανομή των ορθών τάσεων σε όλα τα ελάσματα, και να υπολογίσετε τη σχέση που συνδέει τη μέγιστη τάση στο κατάστρωμα με την εφαρμοζόμενη ροπή (στοιχεία της κατασκευής δίνονται στο σχήμα). Β) Να σχεδιαστούν οι κατανομές διατμητικής ροής στη διατομή του σχήματος β. όταν η διατμητική δύναμη που προκαλείται από κάμψη έχει διεύθυνση α) κατακόρυφη, και β) οριζόντια ροπή (στοιχεία της κατασκευής δίνονται στο σχήμα). Σχήμα α Πλάτος: B Κοίλο: D Πάχος ελασμάτων καταστρώματος και πυθμένα: 2t Πάχος πλευρικών ελασμάτων και διαμήκων φρακτών: t Υλικό ελασμάτων εκτός φρακτών: Ναυπηγικός χάλυβας Υλικό διαμήκων φρακτών: Αλουμίνιο Σχήμα β Πλάτος: 4L Κοίλο: 2L Ανοιγμα στομίου κύτους: 2L Πάχος ελασμάτων εκτός καταστρώματος: t Πάχος ελασμάτων καταστρώματος: 2t Υλικό κατασκευής: Ναυπηγικός χάλυβας

ΑΣΚΗΣΗ 4 η Η κατανομή των καμπτικών ροπών σε φορτηγίδα με μήκος 100m, πλάτος 20m και κοίλο 10m είναι η: 2 3 15 x 0,2 x 0 x 83,33 2 3 250.000 3.000 x 15 x 0,2 x 83,33 x 100 όταν η φορτηγίδα έχει εκτόπισμα 15.000 tonnes και η διαμήκης θέση του κέντρου βάρους βρίσκεται σε απόσταση 53,33m από το πρυμναίο άκρο. α) Αν τα βάρη που φέρει η φορτηγίδα είναι κατανεμημένα και η καμπύλη βάρους της φορτηγίδας είναι γραμμική να προσδιοριστεί η καμπύλη άντωσης. β) Σχολιάσατε την κατάσταση στην οποία βρίσκεται η φορτηγίδα. Από την κατάσταση που βρίσκεται η φορτηγίδα αφαιρείται φορτίο και η καινούργια κατανομή των καμπτικών ροπών είναι η 2 3 15 x 0,2 x 0 x 66,67 2 3 200.000 6.000 x 60 x 0,2 x 66,67 x 100 γ) Τί βάρος και από που αφαιρέθηκε; δ) Τι επιτεύχθηκε με την αφαίρεση του βάρους;

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ίνεται πλωτή κατασκευή διαμήκους μορφής, μήκους 100 m και εκτοπίσματος 7.200 tonnes. Η καμπύλη άντωσης της κατασκευής είναι τριγωνικής μορφής και έχει μέγιστη τιμή στο μέσο αυτής ενώ μηδενίζεται στα άκρα. Αν x η απόσταση από το μέσο νομέα σε m η καμπύλη καμπτικών ροπών M(x) δίνεται σε tonnes-m από το σχήμα και τη σχέση: 32000 28000 καμπτική ροπή σε tonnes-m 24000 20000 16000 12000 8000 4000 M(x) 0-50 -40-30 -20-10 0 10 20 30 40 50 απόσταση από AE 3 2 3 2 0, 48 x 47 x 1.100 x 2.500 50 x 25 0, 48 x 47 x 30.000 25 x 0 0 x 25 25 x 50 3 2 0, 48 x 47 x 30.000 3 2 0, 48 x 47 x 1.100 x 2.500 Να προσδιοριστούν τα βάρη που φέρει η κατασκευή. Ποιά η μεταβολή της καμπτικής ροπής στο μέσο νομέα αν μετατεθεί ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο 500 tonnes από τη θέση Α στη θέση Β, ως φαίνεται στο σχήμα; Θεωρήσατε οτι α) η διατομή σε κάθε θέση είναι ορθογωνική, β) η κατασκευή πλέει ισοβύθιστη, και γ) το πλάτος στη μέση τομή ισούται με 15 m. 50m 10m 30m A B AE

ΑΣΚΗΣΗ 6 η ίνεται φορτηγίδα μήκους 120 m, χωρισμένη σε 3 αποθηκευτικούς χώρους μήκους 40 m έκαστος. Το συνολικό βάρος στο μεσαίο διαμέρισμα είναι 4000 t και στα ακριανά διαμερίσματα 8000 t σε κάθε ένα. Όλα τα βάρη θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένα σε κάθε αποθηκευτικό χώρο. Έστω ότι η καμπύλη άντωσης της φορτηγίδας είναι β βαθμού με τιμή στα άκρα της φορτηγίδας μισή της τιμής στο μέσο. Να υπολογίσετε α) τις τιμές της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής στα σημεία ασυνέχειας των αντίστοιχων διαγραμμάτων, και β) Τις μέγιστες τιμές της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής και τα σημεία που εμφανίζονται οι μέγιστες τιμές. Να προσδιορίσετε και να σχεδιάσετε τα διαγράμματα βάρους, άντωσης, διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να δείξετε ότι για συνήθεις τύπους πλοίων, η καμπτική ροπή σχεδίασης λόγω κυματισμού σε κατάσταση sagging, είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη σε κατάσταση hogging. Οι ροπές σχεδίασης να ληφθούν σύμφωνα με τον IACS. ΑΣΚΗΣΗ 8 η Έλασμα πυθμένα είναι ενισχυμένο με διαμήκη ενισχυτικά. Ποιες οι μορφές καταπόνησης που προκαλούν ορθές τάσεις στα ελάσματα, κατά το διάμηκες; Περιγράψτε πως μπορείτε να προσδιορίσετε τις φορτίσεις που προκαλούν κάθε μορφή καταπόνησης και τη μεθοδολογία προσδιορισμού των αντίστοιχων τάσεων.

ΑΣΚΗΣΗ 9 η ίνεται δοκάρι με τη σταθερή διατομή του σχήματος. Αν στη διατομή επιβληθεί καμπτική ροπή 80000 t m, που κάμπτει το δοκάρι στο επίπεδο συμμετρίας του και διατμητική δύναμη 2000 t κατά τον άξονα συμμετρίας της διατομής, να προσδιοριστούν οι ορθές και διατμητικές τάσεις σε MPa, στα σημεία A, B, C, D, E, F, G και στα σημεία που ο ουδέτερος άξονας τέμνει τα πλευρικά ελάσματα. ΑΣΚΗΣΗ 10 η Να προσδιορίσετε τα μητρώα ακαμψίας των επίπεδων φορέων των σχημάτων που ακολουθούν. Στα σχήματα σημειώνονται οι βαθμοί ελευθερίας που μπορείτε να υποθέσετε και το γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων.

ΑΣΚΗΣΗ 11 η ίνεται πλοίο μήκους 132 m, με την κατάσταση φόρτωσης του σχήματος (το πλοίο είναι χωρισμένο με πέντε εγκάρσιες φρακτές σε έξι διαμερίσματα μήκους 32 m το πρώτο και 20 m τα υπόλοιπα. ίνονται επίσης ότι i) η καμπύλη άντωσης στην κατάσταση φόρτωσης που δίνεται είναι 2ου βαθμού, ii) η καμπύλη Bonjean της μέσης τομής δίνεται από τη σχέση το A[m 2 ] 5,367 T 3/2 [m], όπου A η επιφάνεια σε m 2 και T to βύθισμα σε m, και iii) το βύθισμα της μέσης τομής είναι 5 m. 1920 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes AE 1320 tonnes FE 1. Να δειχθεί οτι η καμπύλη φόρτισης του πλοίου σε tonnes/m είναι η 2 0,0051 x 0,5 x 19,2 0 x 32m 2 0,0051 x 0,5 x 1,8 32m x 132m όπου x η απόσταση από το πρυμναίο άκρο σε m. 2. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των διατμητικών δυνάμεων. 3. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των καμπτικών ροπών. 4. Να υπολογιστεί η θέση και η τιμή των μέγιστων τιμών της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής. Στα δύο μεσαία κύτη γίνεται μεταβολή του φορτίου. Το φορτίο σε κάθε κύτος, μετά τη μεταφόρτωση κατανέμεται ομοιόμορφα, αλλά το συνολικό φορτίο σε κάθε ένα από τα δύο κύτη είναι διαφορετικό. Μετά τη μεταβολή του φορτίου τα βυθίσματα στο πρυμναίο και πρωραίο άκρο μεταβάλονται κατά +1 m και +50 cm αντίστοιχα σε σχέση με τα αρχικά. Επίσης, ας υποτεθεί ότι το πλάτος της ισάλου στην περιοχή αλλαγής των βυθισμάτων είναι ίσο με αυτό της αρχικής ισάλου για όλες τις τομές (διαφορετικό για κάθε τομή), και ότι η καμπύλη άντωσης στη νέα θέση παραμένει δευτέρου βαθμού. Για τις τομές στα πρυμναίο και πρωραίο άκρα, το εν λόγω πλάτος είναι 12,0 m και 2,5 m αντίστοιχα. 5. Να προσδιοριστεί η καμπύλη φόρτισης σε ήρεμο νερό στη νέα κατάσταση φόρτωσης. 6. Να προσδιοριστεί η κατανομή διατμητικών δυνάμεων στη νέα κατάσταση φόρτωσης. 7. Να προσδιοριστεί η μέγιστη καμπτική ροπή και η καμπτική ροπή στη μέση τομή στη νέα κατάσταση φόρτωσης.

ΑΣΚΗΣΗ 12 η ίνεται δοκάρι με τη λεπτότοιχη σταθερή διατομή του σχήματος. Να υπολογιστεί η διατμητική ροή σε κάθε μία από τις δύο παρακάτω περιπτώσεις: Α) H διατομή υπόκειται σε διατμητική δύναμη Q λόγω κάμψης του δοκαριού, που ενεργεί κατά έναν άξονα συμμετρίας της. B) το δοκάρι υπόκειται σε καθαρή στρέψη και η ροπή στρέψης ισούται με M. Στην περίπτωση αυτή να υπολογιστεί και η στροφή των διατομών ανά μονάδα μήκους. Η διατομή του δοκαριού είναι τετραγωνική με πλευρά 2a και τα εσωτερικά χωρίσματα συμπίπτουν με τα επίπεδα συμμετρίας του δοκαριού. Το πάχος όλων των ελασμάτων είναι t.