ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 5 Ιουνίου 1 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1 η περίοδος εαρινού εξαμήνου 9-1) ΘΕΜΑ 1 ο (35%) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [] του παρακάτω πλαισίου. Επιπλέον, να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης θετικής ροπής στο ζύγωμα. kn/ m m kn/ m kn 4 kn 3 m 8 m 4 kn, 115 kn, 6 kn και 15 kn x y x y 1 / 1

2 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α Ζ Δ Ε -8 Α -115 [ N (kn) ] -15 Β x=5.75m +115 Ζ Q= max -45 Δ Ε Α -4 [ Q (kn) ] Β q /8= max = Ζ x=5.75m Δ q /8=4 Ε -18 Α [ (knm) ] Β Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) / 1

3 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α ΘΕΜΑ ο (4%) Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων (ή τη μέθοδο Cross). (α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β και. (β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, Β και του φορέα. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα. (δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης. kn/ m 8 kn 1 kn/ m 4 kn EI 8 m EI EI ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΚΑΙ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΕΛΩΝ N Q Q N 1 q Q EI EI 1, 1 6EI 6EI 1, Q 1 q, 1 q, 1 q q Q, Q 1 P 3EI 3 a b 1, Q 1 P, 16 Q 3 3EI, 3EI Q 1 11P 5P Q, Q b 1 b 1, 3 b Q 1 Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 3 / 1

4 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α Λύση: Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των παραμορφώσεων άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια στροφή (έστω αριστερής φοράς) στον κόμβο Β. Δοκός ΑΒ (αμφίπακτη): EI 8 EI EI 8 EI Δοκός Β (μονόπακτη): Η δοκός Β φορτίζεται με τη δύναμη των 8 kn, τη στροφή στον κόμβο Β και μία ροπή στον κόμβο που προέρχεται από τα φορτία του προβόλου, προβ. 4 4 (4 1) προβ. 4 knm Επομένως, 3( EI ) 38 8 ( προβ. ) EI ( 4) 3EI Ισορροπία κόμβου Β: EI 3 3EI 3 4 5EI 3 56 EI Ακραίες ροπές: Οι ακραίες ροπές υπολογίζονται με απευθείας αντικατάσταση της τιμής της στροφής του κόμβου Β στις ανωτέρω εκφράσεις knm EI knm knm 4 3 Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 4 / 1

5 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α Τέμνουσες δυνάμεις: Ισορροπία δοκού ΑΒ και ροπές στο άκρο της Β: Q 8 18 ( 64) 8 Q 88 kn 8 8 Ισορροπία δοκού ΑΒ και δυνάμεις στη κατακόρυφη διεύθυνση: Q Q Q 7 kn Ισορροπία δοκού Β και ροπές στο άκρο της : Q προβ Q 18 kn Ισορροπία δοκού Β και δυνάμεις στη κατακόρυφη διεύθυνση: Q Q Q 6 kn Ισορροπία προβόλου και δυνάμεις στη κατακόρυφη διεύθυνση: Q προβ Qπροβ. 8 kn Αντιδράσεις: Ισορροπία κατακορύφων δυνάμεων στον κόμβο Β: R Q Q 18 ( 7) R 9 kn Ισορροπία κατακορύφων δυνάμεων στον κόμβο : R Q Q R προβ. 8 ( 6) 14 kn Μέγιστη θετική ροπή: Αυτή εμφανίζεται στο άνοιγμα ΑΒ όπου μηδενίζεται η τέμνουσα δύναμη. Η θέση και τιμή της μέγιστης ροπής είναι: x Q 88 x 4. (δεξιά του κόμβου Α) 1 1 Q x max max 65.6 knm Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 5 / 1

6 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α Διαγράμματα Τεμνουσών Δυνάμεων και Καμπτικών Ροπών Α Q= Β Δ Ε max x=4.4m [ Q (kn) ] q /8= -1-1 Α q /8=16 Β Δ +8 Ε +64 x=4.4m max =+65.6 [ (knm) ] Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 6 / 1

7 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α ΘΕΜΑ 3 ο (3%) (επιλογή ενός εκ των δύο θεμάτων με αριθμό 3) Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα: (α) Να προσδιορισθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. (β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις στα μέλη ΔΖ, ΔΘ και Ζ. (γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στις ράβδους ΑΕ, ΑΗ, ΕΗ, ΕΔ και Ε). ια όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό. 1 kn 8 kn 3 m 3 m 3 m 3 m Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 7 / 1

8 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 8 / 1

9 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α ΘΕΜΑ 3 ο (3%) (επιλογή ενός εκ των δύο θεμάτων με αριθμό 3) ια τη συνεχή δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής: (α) των αντιδράσεων στις στηρίξεις Α και, (β) της τέμνουσας Qi στη τομή i,, και (γ) της καμπτικής ροπής στη στήριξη. P 1 kn i. m 4. m. m 3. m. m 1. m 3/ 1 γ.ε. y 1/3 i 1/ 5/3 γ.ε. y 1 i 1/ 1/4 i 1/ 3/4 γ.ε. Q i 1/3 Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 9 / 1

10 ραπτή Εξέταση, Στατική ΙΙ Εαρινό εξάμηνο 1-Α γ.ε. i. m 4. m 4/3. m 3. m. m 1. m Κόκκινος Τριαντ. (Ιουν. 1-Α) 1 / 1