ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : --, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ : ΟΝΟΜΑ : ΑΡ. ΜΗΤΡ : ΕΤΟΣ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΡΟΣΟΧΗ: Το φύλλο των θεμάτων καθώς και όλες οι κόλλες που χρησιμοποιήσατε (συμπεριλαμβανομένων και των πρόχειρων σελίδων) θα παραδίδονται. Η εξέταση είναι με κλειστά βιβλία. Δέσμευση: Ολες οι ασκήσεις να επιλυθούν με τη μέθοδο της άμεσης δυσκαμψίας. Τυπολόγιο: Τα απαραίτητα μητρώα για την επίλυση όλων των ασκήσεων καθώς και οι αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού δίνονται στην επόμενη σελίδα. ΘΕΜΑ ο ( μον.) Δίνεται το παρακάτω επίπεδο δικτύωμα, φορτιζόμενο με τις δυνάμεις που φαίνονται σε αυτό. Ισχύουν τα μέτρα και οι φορές των δυνάμεων του σχήματος. Ολες οι ράβδοι είναι τετραγωνικής διατομής διάστασης cm. Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού των ράβδων του δικτυώματος είναι ίσο με Ε Ga. Ζητούνται: (α). μον.: Ο υπολογισμός των τιμών των αγνώστων μετακινήσεων. (β). μον.: Ο υπολογισμός των αξονικών δυνάμεων των ράβδων. (γ). μον.: Ο υπολογισμός των τιμών των αντιδράσεων. ΘΕΜΑ ο ( μον.) Η παρακάτω συνεχής δοκός δύο ανοιγμάτων (μονοπροέχουσα) φέρει ως μοναδική φόρτιση το ομοιόμορφο φορτίο q με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα. Ζητούνται: (α) μον.: Ο υπολογισμός των τιμών των αγνώστων μετακινήσεων. (β) μον.: Ο υπολογισμός των τιμών των αντιδράσεων. (γ) μον.: Ο σχεδιασμός των διαγραμμάτων των εσωτερικών εντατικών μεγεθών. (δ) μον.: Ποια είναι η ανώτατη επιτρεπόμενη τιμή του ομοιόμορφου φορτίου q προκειμένου η κατακόρυφη μετακίνηση του ελεύθερου άκρου της δοκού να μην υπερβαίνει δοθείσα τιμή Δεπιτρ.;

2 Μητρώο δυσκαμψίας στοιχείου τύπου δοκού Απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ +Y + j + y m +θ i s sinθ c cosθ +Χ AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s + c c EI EI EI EI EI EI s c s c AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI c + s cs s c s cs s + AE EI AE EI EI AE EI AE EI EI cs s + c c cs s c c + EI EI EI EI EI EI s c s c Αντιδράσεις αμφίπακτης δοκού Καλή σας Επιτυχία!

3 ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Καθ όσον πρόκειται για δικτύωμα, από το δοθέν μητρώο Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες (στροφικοί βαθμοί ελευθερίας) και τίθεται ΕΙ. Ετσι προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μητρώου Κ για δικτύωμα σε απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ, όπου οι εναπομείναντες ενεργοί βαθμοί ελευθερίας (,,, ) έχουν επαναριθμηθεί ως (,,, ). m AE cs s cs s c cs c cs cs s cs s c cs c cs () Σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων m y m, το αντίστοιχο μητρώο m προκύπτει από αυτό της σχέσης () θέτοντας θ ο, οπότε c και s. Οι η και η γραμμές και στήλες μηδενίζονται, οπότε κατόπιν διαγραφής τους προκύπτει η ακόλουθη γενική μορφή του μητρώου δικτυώματος m στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων, όπου οι εναπομείναντες ενεργοί βαθμοί ελευθερίας (, ) έχουν επαναριθμηθεί ως (, ). m AE () Στις παραπάνω σχέσεις και σχήματα, με κόκκινο και μπλέ χρώμα συμβολίζονται οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας σε απόλυτο και τοπικό σύστημα συντεταγμένων, αντίστοιχα. Η επίλυση γίνεται στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ. (α) (β) Για τις ράβδους, και είναι:

4 o tan ϑ ϑ. c. & s., +. m ϑ. c. & s.,. m o ϑ. ϑ c. & s.,. m o () Επίσης για όλες τις ράβδους είναι A.. m, οπότε AE. N Από την εφαρμογή των () στην () προκύπτουν τα μητρώα Κ, Κ και Κ ως: , Υπολογισμός αγνώστων μετακινήσεων Uf Για τη χρήση της γενικευμένης σχέσης U + U + απαιτείται μόνο το μητρώο ff καθ όσον τα μητρώα Us και, ff f ff f fs s f f είναι μηδενικά. Το ff θα προκύψει ως σύνθεση των,ff,,ff και,ff της (). Αρα: και: 7 7 ff, ff +, ff +, ff ff f ff U f......, , ff 7 -. m -.7 m (), ff (β) ερώτημα Εφ όσον οι μετακινήσεις του κόμβου είναι πλέον γνωστές (ίσες με 7 και στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ) και άρα κοινές για τα άκρα των ράβδων, και, επιλέγεται η επίλυση κάθε ράβδου ξεχωριστά στο τοπικό της σύστημα συντεταγμένων, βάσει του σχήματος (β) με χρήση του μητρώου της (). Εναλλακτικά, η ανά ράβδος επίλυση μπορεί να γίνει και βάσει του σχήματος (α) και χρήση του μητρώου της (). Επιλέγεται ο πρώτος τρόπος επίλυσης. U cosθ. 7 sinθ +.. N, εφελκυστικές με φορές όπως στο σχήμα. U N, θλιπτικές με φορές όπως στο σχήμα.

5 U.7.7 cosθ.7 7 sinθ + N, θλιπτικές με φορές όπως στο σχήμα. Οι αξονικές δυνάμεις στη βάση της κάθε ράβδου αντιπροσωπεύουν και την αντίδραση στον κόμβο στήριξής της, εκφρασμένη στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων της. (γ) ερώτημα Επιλέγεται ο δεύτερος τρόπος επίλυσης που αναφέρθηκε στο (β) ερώτημα προκειμένου να προκύψουν οι αντιδράσεις στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων ΧΥ. Εναλλακτικά, οι ήδη ευρεθείσες αντιδράσεις των τριών ράβδων στα τοπικά συστήματα συντεταγμένων τους μπορούν να αναλυθούν σε συνιστώσες παράλληλες στους απόλυτους άξονες Χ και Υ. Μολονότι ο δεύτερος τρόπος είναι υπολογιστικά σαφώς συντομότερος, επιλέγεται ο πρώτος. Σημειώνεται ότι για την παρούσα επίλυση οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας (,,7,), (,,7,) και (,,7,) των τριών ράβδων βάσει του σχήματος (α), επαναριθμούνται σε (,,,) για κάθε ράβδο ξεχωριστά U N, με φορές όπως στο σχήμα...7 U N, με φορές όπως στο σχήμα U N, με φορές όπως στο σχήμα Οι δυνάμεις και στη βάση της κάθε ράβδου αντιπροσωπεύουν τις ζητούμενες αντιδράσεις.

6 ΘΕΜΑ ο ΛΥΣΗ (α) ερώτημα Η κατασκευή αφορά συνεχή δοκό στο επίπεδο. Κατά συνέπεια επιλέγεται ταύτιση απόλυτου και τοπικών συστημάτων συντεταγμένων (άρα η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας στα δύο συστήμα θα είναι κοινή). Ετσι, αναφορικά με το δοθέν μητρώο είναι: s θ c Ο κόμβος είναι πλήρως πακτωμένος και ο πλήρως ελεύθερος. Ο κόμβος είναι ελεύθερος σε στροφή, λόγω της κύλισης, και πακτωμένος έναντι κατακόρυφης μετακίνησης προς τα κάτω. Περαιτέρω όμως, καθ όσον το φορτίο έχει φορά προς τα κάτω, ο κόμβος δεν πρόκειται να μετακινηθεί προς τα άνω. Αρα ο κατακόρυφος μετακινησιακός βαθμός ελευθερίας του κόμβου αυτού μπορεί να θεωρηθεί ως ανενεργός (πακτωμένος). Τέλος, ελλείψει αξονικών φορτίσεων οι οριζόντιοι μετακινησιακοί βαθμοί ελευθερίας των κόμβων και μπορούν επίσης να θεωρηθούν ανενεργοί (πακτωμένοι). Ετσι, οι μόνοι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας θα είναι οι, και, αναφορικά με το παραπάνω σχήμα. Ολοι οι λοιποί θα είναι μηδενικοί. Καθ όσον δεν υφίστανται αξονικές παραμορφώσεις, ελλείψει σχετικής φόρτισης, από το δοθέν μητρώο Κ διαγράφονται οι η και η γραμμές και στήλες. Οπότε τα μητρώα δυσκαμψίας των δύο μελών λαμβάνουν τις ακόλουθες μορφές (για το Κ έχει τεθεί / στη θέση του ).,ss EI, fs,sf, ff, EI Καθ όσον τo μέλος είναι πλήρως αφόρτιστο, θα εκτελέσει στροφή περί τον κόμβο (κύλιση), εν είδει κίνησης στερεού σώματος, με μηδενική επιρροή στο μέλος. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να επιλυθεί το μέλος αυτόνομα με μοναδικό άγνωστο την εν λόγω στροφή. Σχετικά με το μέλος : Λόγω του είδους της κίνησης του μέλους αυτού, η στροφή του κόμβου θα είναι προφανώς ίση με την ευρεθείσα στροφή του κόμβου, από την προηγηθείσα αυτόνομη επίλυση του μέλους. Αρα το μέλος μπορεί να επιλυθεί αυτόνομα με μοναδικές φορτίσεις την επιβολή στους κόμβους και τις ευρεθείσες στροφές και μοναδικό άγνωστο τη μετακίνηση του κόμβου. Για την εν λόγω επίλυση οι βαθμοί ελευθερίας και του μέλους θα θεωρηθούν αυτή τη φορά πλασματικά πακτωμένοι και υποβληθέντες σε εξαναγκασμένες στροφές και, αντίστοιχα. Για την κατάλληλη διαμέριση του μητρώου Κ, αναφορικά με το υπομητρώο Κ,ff, εναλλάσονται μεταξύ τους η η και η γραμμή και στήλη του, οπότε προκύπτει:

7 ,ss EI, fs,sf, ff Ο εν λόγω τρόπος επίλυσης πλεονεκτεί από απόψεως υπολογιστικού φόρτου σε σχέση με την κλασική θεώρηση της κατασκευής ως σύνολο, οπότε θα κατέληγε σε σύστημα με αγνώστους τα, και. Επίλυση Μέλους Τα σχετικά μητρώα έχουν ως ακολούθως., f [ ],, s U U U, f [ ],, s, q / / q q /, f q /,, s q / q / q / q / Με χρήση της γενικευμένης σχέσης U + U +, προκύπτει: f ff f fs s f EI q, f, ff U, f +, fs U, s +, f [ ] k [ ] + q / EI Επίλυση Μέλους q Βάσει των όσων προαναφέρθηκαν, θα είναι: EI Αντίστοιχα, τα σχετικά μητρώα έχουν ως ακολούθως. q / ( EI), f [ ],, s q / ( EI) q / ( EI) q / ( EI) U U U, f [ ],, s, [ ], f,, s Με χρήση της γενικευμένης σχέσης U + U +, προκύπτει: f ff f fs s f

8 EI EI U + U + k + q / ( EI) [ ] [ ] [ ] [ ], f, ff, f, fs, s, f q EI q / ( EI) (β) ερώτημα Υπολογισμός αγνώστων αντιδράσεων s Με χρήση της γενικευμένης σχέσης U + U + και εφαρμογή της στο μέλος προκύπτει: s sf f ss s s q / EI q q, s, sf U, f +, ss U, s +, s q / EI + q / Η συμμετοχή του μέλους στις αντιδράσεις θα είναι μηδενική καθ όσον είναι πλήρως αφόρτιστο και απλά υποβαλλόμενο μόνο σε εξαναγκασμένες στροφές των άκρων του. Ετσι, η εφαρμογή της γενικευμένης σχέσης U + U + στο μέλος αυτό αυτόνομα δίνει μηδενικές αντιδράσεις, όπως και πρέπει. s sf f ss s s Επαληθευτικά είναι: EI q EI, s, sf U, f +, ss U, s +, s q / ( EI) EI + q / ( EI) (γ) ερώτημα Υπολογισμός διαγραμμάτων εσωτερικών εντατικών μεγεθών Μή μηδενικά διαγράμματα θα εμφανίζονται μόνο στο μέλος. Του μέλους θα είναι μηδενικά, καθ ότι είναι αφόρτιστο. Για τον υπολογισμό τους απαιτείται ο υπολογισμός των τιμών των ολοκληρωμάτων q( ) d q( ) d, όπου q() -q. Θα είναι: q ( ) d και q( ) d q d q, q( ) d ( ) q d q d + q d q + q q q Q( ) q( ) d q ( q) Q( ), q q M ( ) + + q( ) d q( ) d q q M ( ), + + Βάσει των σχέσεων αυτών προκύπτουν τα ακόλουθα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ρο-

9 πών. (δ) ερώτημα Προκειμένου η κατακόρυφη μετακίνηση να μην υπερβαίνει μία δοθείσα τιμή ίση με Δεπιτρ. θα πρέπει: q EI EI επιτρ. επιτρ. q