A A N A B P Y T A 5 0 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Οι αρχές διατήρησης στροφορμής και μηχανικής ενέργειας σε (κάποιες) ελαστικές κρούσεις ράβδου με σώματα υ υ,, υ, υ (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) υ,, υ υ (IV) (V) Η ανάλυση αυτή συμπληρώνει την εργασία του μαθητή Παναγιώτη Σεβδαλή (Γ4/0) στην προσπάθειά του να δείξει ότι το βίντεο Redneck Skydiver είναι φτιαχτό, εφαρμόζοντας τους νόμους της φυσικής. Όλα τα φαινόμενα που μελετούμε τελούνται σε οριζόντιο επίπεδο, χρίς τριβές. Η ράβδος είναι ομογενής και μπορεί να περιστρέφεται γύρ από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο. Θερούμε ότι όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές. Ο τελικός στόχος είναι η μελέτη της περίπτσης (V). Οι περιπτώσεις (Ι) και (ΙΙ) αποτελούν εισαγγικό υλικό. Η περίπτση (ΙΙΙ) μελετάται διερευνητικά, καθώς αποτελείται από δύο διαδοχικές διακριτές κρούσεις. Η περίπτση (IV) εμφανίζεται ανέλπιστα κατά τη μελέτη της περίπτσης (V). Η ανάλυση της κρούσης (V) έδειξε ότι μόνο οι νόμοι διατήρησης της στροφορμής και της μηχανικής ενέργειας δεν μπορούν να προσδιορίσουν μονοσήμαντα την τελική κατάσταση του συστήματος τν τριών σμάτν. Προβλέπουν όμς ένα συγκεκριμένο διάστημα επιτρεπόμενν τιμών για την ταχύτητα του εκτινασσόμενου σώματος.
ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ #, Έστ ότι πάν σε οριζόντιο τραπέζι, αυτό με τις πολλές τρυπίτσες από τις οποίες βγαίνει αέρας για να ελαττώνονται οι τριβές, έχουμε μία ομογενή ράβδο και ένα σώμα, όπς φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Στην αρχή η ράβδος είναι ακίνητη. Το σώμα με μάζα πλησιάζει το ένα άκρο της ράβδου, από το δεξιά, με ταχύτητα μέτρου. υ Η ράβδος μπορεί να περιστραφεί, χρίς τριβές, γύρ από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας. Το φαινόμενο το παρατηρεί και το μελετάει ο αδρανειακός παρατηρητής που κάθεται στο σημείο. Αμέσς μετά την κρούση, υποθέτουμε ότι η ράβδος περιστρέφεται δεξιόστροφα με γνιακή ταχύτητα 0 και ότι το σώμα με μάζα συνεχίζει την κίνησή του προς τα αριστερά με ταχύτητα που έχει μέτρο. Κατά τη διάρκεια της κρούσης, από το μηχανισμό στήριξης αναπτύσσεται τεράστια ώθηση στο σημείο, και επομένς δεν διατηρείται η ορμή του συστήματος. Διατηρείται όμς η στροφορμή του συστήματος τν δύο σμάτν ς προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου, αφού η ροπή της δύναμης από το σημείο στήριξης έχει μηδενική ροπή. L I Εξ.(.) Όπου I είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ς προς τον άξονα περιστροφής της: I και η στροφορμή είναι θετική ποσότητα. Θα υποθέσουμε ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται, δηλαδή ότι η κρούση είναι ελαστική: Η Εξ.(.) γράφεται: I Εξ.(.) Εξ.(.) Η Εξ.(.) γράφεται: Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0
I Η Εξ.(.4) με τη βοήθεια της Εξ.(.) γράφεται: Εξ.(.4) Εξ.(.5) Το σύστημα τν εξισώσεν Εξ.(.) και Εξ.(.5), με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη, μπορεί να αντικατασταθεί με το ισοδύναμο σύστημα δύο εξισώσεν: Εξ.(.) Εξ.(.7) Η Εξ.(.) μπορεί να επιλυθεί ς προς : Εξ.(.8) Οπότε, και η Εξ.(.7) γράφεται: Εξ.(.) Με αυτή την ευκαιρία, διερευνώντας τα αποτελέσματα: Εξ.(.8) και Εξ.(.), μπορούμε να σημειώσουμε κάποια χρήσιμα συμπεράσματα: Όταν η ράβδος έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα, τότε με την ελαστική κρούση το σώμα ακινητοποιείται, ενώ η ράβδος περιστρέφεται με γνιακή ταχύτητα τέτοια ώστε τα άκρα της να έχουν ταχύτητα ίδια με την ταχύτητα του σώματος πριν από την κρούση. Όταν η ράβδος έχει μεγαλύτερη μάζα από τρεις φορές τη μάζα του σώματος, τότε, η κρούση αντιστρέφει την κατεύθυνση κίνησης του σώματος. Όταν η ράβδος έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από εκείνη του σώματος τότε με την κρούση η κίνηση του σώματος αντιστρέφεται και η ράβδος παραμένει ακίνητη. Όταν το σώμα έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από εκείνη της ράβδου τότε η κρούση δεν το επηρεάζει αλλά η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται με γνιακή ταχύτητα τέτοια που τα άκρα της να έχουν ταχύτητα με μέτρο διπλάσιο από το μέτρο της ταχύτητας του σώματος. Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0
ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ # υ Έστ ότι πάν σε οριζόντιο τραπέζι, αυτό με τις πολλές τρυπίτσες από τις οποίες βγαίνει αέρας για να ελαττώνονται οι τριβές, έχουμε μία ομογενή ράβδο και ένα σώμα, όπς φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται, χρίς τριβές, γύρ από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας. Στην αρχή η ράβδος περιστρέφεται δεξιόστροφα με σταθερή γνιακή ταχύτητα 0., Το σώμα με μάζα είναι ακίνητο σε θέση που κάποια στιγμή θα το κτυπήσει η ράβδος με το ένα άκρο της. Μετά το κτύπημα, το σώμα θα κινηθεί προς τα δεξιά με ταχύτητα, όπς φαίνεται στο σχήμα. Το φαινόμενο το παρατηρεί και το μελετάει ο αδρανειακός παρατηρητής που κάθεται στο σημείο. Αμέσς μετά την κρούση, υποθέτουμε ότι η ράβδος συνεχίζει να περιστρέφεται δεξιόστροφα με γνιακή ταχύτητα. Κατά τη διάρκεια της κρούσης, από το μηχανισμό στήριξης αναπτύσσεται τεράστια ώθηση στο σημείο, και επομένς δεν διατηρείται η ορμή του συστήματος. Διατηρείται όμς η στροφορμή του συστήματος τν δύο σμάτν ς προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου, αφού η ροπή της δύναμης από το σημείο στήριξης έχει μηδενική ροπή. L I I Εξ.(.) Όπου I είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ς προς τον άξονα περιστροφής της: I. Θα υποθέσουμε ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται, δηλαδή ότι η κρούση είναι ελαστική: Η Εξ.(.) γράφεται: Η Εξ.(.) γράφεται: I I Εξ.(.) Εξ.(.) I I Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0 4
Εξ.(.4) Η Εξ.(.4) με τη βοήθεια της Εξ.(.) γράφεται: Εξ.(.5) Το σύστημα τν εξισώσεν Εξ.(.) και Εξ.(.5), με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη, μπορεί να αντικατασταθεί με το ισοδύναμο σύστημα δύο εξισώσεν: Η Εξ.(.) μπορεί να επιλυθεί ς προς : Οπότε, και η Εξ.(.7) γράφεται: Εξ.(.) Εξ.(.7) Εξ.(.8) Εξ.(.) Με αυτή την ευκαιρία, διερευνώντας τα αποτελέσματα: Εξ.(.8) και Εξ.(.), μπορούμε να σημειώσουμε κάποια χρήσιμα συμπεράσματα: Όταν η ράβδος έχει τριπλάσια μάζα από το σώμα, τότε με την ελαστική κρούση η ράβδος ακινητοποιείται και το σώμα εκτινάσσεται με ταχύτητα που το μέτρο της ισούται με το μέτρο της ταχύτητας ενός από τα άκρα της ράβδου πριν από την κρούση. Όταν η ράβδος έχει μικρότερη μάζα από τρεις φορές τη μάζα του σώματος, τότε, η κρούση αντιστρέφει την κατεύθυνση περιστροφής της ράβδου. Όταν το σώμα έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από εκείνη της ράβδου τότε με την κρούση η περιστροφή της ράβδου αντιστρέφεται και το σώμα παραμένει (σχεδόν) ακίνητο. Όταν η ράβδος έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από εκείνη του σώματος τότε η κρούση δεν την επηρεάζει (πολύ) και το σώμα εκτινάσσεται με ταχύτητα της οποίας το μέτρο ισούται με το διπλάσιο του μέτρου της ταχύτητας ενός από τα άκρα της ράβδου, πριν από την κρούση. Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0 5
ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ # υ Έστ ότι σε οριζόντιο τραπέζι, αυτό με τις πολλές τρυπίτσες από τις οποίες βγαίνει αέρας για να ελαττώνονται οι τριβές, έχουμε μία ομογενή ράβδο και δύο σώματα, όπς φαίνεται στο διπλανό σχήμα., Στην αρχή η ράβδος και το σώμα μάζα είναι ακίνητα. Το σώμα με μάζα πλησιάζει το ένα άκρο της ράβδου, από το δεξιά, με ταχύτητα μέτρου. Η ράβδος μπορεί να περιστραφεί, χρίς τριβές, γύρ από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας. υ Το φαινόμενο το παρατηρεί και το μελετάει ο αδρανειακός παρατηρητής που κάθεται στο σημείο. Αμέσς μετά την πρώτη κρούση, η ράβδος περιστρέφεται δεξιόστροφα με γνιακή ταχύτητα 0, ενώ το σώμα με μάζα συνεχίζει να παραμένει ακίνητο. Το σώμα με μάζα υποθέτουμε ότι θα συνεχίσει την κίνησή του προς τα αριστερά με ταχύτητα που έχει μέτρο. Η ράβδος, μετά από μία πλήρη περιστροφή, χτυπάει το σώμα με μάζα. Θερούμε ότι το μήκος της ράβδου είναι αρκετά μεγάλο, και εκτινάσσει το, προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρου. Θα σας φαίνεται μάλλον παράξενο που μελετούμε αυτή την περίπτση κρούσης, η οποία δεν φαίνεται να έχει σχέση με το φαινόμενο του Redneck Skydiver που αναλύουμε. Όμς, κάνετε υπομονή μέχρι τη μελέτη του εξιδανικευμένου προβλήματος #4. Εκεί, θα αντιμετπίσουμε μια σοβαρή δυσκολία στον προσδιορισμό όλν τν ταχυτήτν. Ο τρόπος με τον οποίο θα αντιμετπίσουμε τη δυσκολία αυτή, αναφέρεται μεταξύ άλλν και στην περίπτση που μελετούμε εδώ. Η πρώτη ελαστική κρούση θέτει σε περιστροφή τη ράβδο, και σύμφνα με το εξιδανικευμένο πρόβλημα #, έχουμε: Εξ.(.8) Εξ.(.) Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0
Η δεύτερη ελαστική κρούση θέτει σε κίνηση το σώμα πρόβλημα #, έχουμε: Εξ.(.8) Εξ.(.), και σύμφνα με το εξιδανικευμένο Συνοψίζοντας: η τελική κατάσταση του συστήματος είναι: Το σώμα συνεχίζει να κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα: Εξ.(.) Το σώμα εκτινάσσεται προς τα δεξιά με ταχύτητα: Εξ.(.) Η ράβδος στρέφεται δεξιόστροφα με γνιακή ταχύτητα: Εξ.(.) Μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά του συστήματος όταν η μάζα τις μάζες τν άλλν σμάτν: είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με 4 4 Εξ.(.4) Σημειώστε ότι όταν, δηλαδή ο άνθρπος είναι πολλές φορές βαρύτερος από τη σανίδα που κουβαλάει, τότε η ταχύτητα με την οποία εκτινάσσεται το σώμα είναι πολύ 4 μικρή,!!! Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0 7
υ ΕΞΙΔΑΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ #4 Έστ ότι σε οριζόντιο τραπέζι, αυτό με τις πολλές τρυπίτσες από τις οποίες βγαίνει αέρας για να ελαττώνονται οι τριβές, έχουμε μία ομογενή ράβδο και δύο σώματα, όπς φαίνεται στο διπλανό σχήμα., Στην αρχή η ράβδος και το σώμα μάζα και ακουμπούν το ένα με το άλλο. είναι ακίνητα Το σώμα με μάζα πλησιάζει το ένα άκρο της ράβδου, από το δεξιά, με ταχύτητα μέτρου. υ Η ράβδος μπορεί να περιστραφεί, χρίς τριβές, γύρ από σταθερό άξονα που περνάει από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της σελίδας. Το φαινόμενο το παρατηρεί και το μελετάει ο αδρανειακός παρατηρητής που κάθεται στο σημείο. Η περίπτση αυτή θερούμε ότι έχει σχέση με το βίντεο The redneck skydiver Αμέσς μετά την κρούση, υποθέτουμε ότι η ράβδος περιστρέφεται δεξιόστροφα με γνιακή ταχύτητα 0, ότι το σώμα με μάζα εκτινάσσεται, προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρου και ότι το σώμα με μάζα θα συνεχίσει την κίνησή του προς τα αριστερά με ταχύτητα που έχει μέτρο. Οι επιλογές μας αυτές δεν είναι τυχαίες. Η στροφορμή του κάθε αντικειμένου υποτίθεται ότι είναι θετική. Αν κάποιο μέγεθος ταχύτητας υπολογισθεί και βρεθεί αρνητικό τότε αυτό θα σημαίνει ότι κινείται με τρόπο ώστε η στροφορμή του είναι αρνητική. Κατά τη διάρκεια της κρούσης, από το μηχανισμό στήριξης αναπτύσσεται τεράστια ώθηση στο σημείο, και επομένς δε διατηρείται η ορμή του συστήματος. Διατηρείται όμς η στροφορμή του συστήματος τν τριών σμάτν ς προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου, αφού η ροπή της δύναμης από το σημείο στήριξης έχει μηδενική ροπή. L I Εξ.(4.) Όπου I είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ς προς τον άξονα περιστροφής της: I. Θα υποθέσουμε ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται, δηλαδή ότι όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές: I Εξ.(4.) Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0 8
Η Εξ.(4.) γράφεται: Εξ.(4.) Η Εξ.(4.) γράφεται: I Εξ.(4.4) Η Εξ.(4.4) με τη βοήθεια της Εξ.(4.) γράφεται: Εξ.(4.5) Το σύστημα τν εξισώσεν Εξ.(4.) και Εξ.(4.5), με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη, μπορεί να αντικατασταθεί με το ισοδύναμο σύστημα δύο εξισώσεν: Εξ.(4.) Εξ.(4.7) Το γεγονός ότι μέχρι στιγμής έχουμε δύο εξισώσεις με τρεις αγνώστους, καθιστά τον προσδιορισμό της ταχύτητας προβληματικό. Παρόλα αυτά εμείς θα προχρήσουμε, με μόνο τις δύο αυτές εξισώσεις. Εξ άλλου τι άλλη επιλογή έχουμε; Η Εξ.(4.) μπορεί να επιλυθεί ς προς : 0 Εξ.(4.8) Η Εξ.(4.8) είναι δευτέρου βαθμού ς προς την ταχύτητα, με διακρίνουσα: Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0
Εξ.(4.) Η διακρίνουσα πρέπει να μην είναι αρνητική, ώστε να υπάρχει ταχύτητα : 0 0 0 Εξ.(4.0) Η Εξ.(4.0) είναι ανίσση δευτέρου βαθμού ς προς τη γνιακή ταχύτητα της ράβδου στην τελική κατάσταση του συστήματος, με διακρίνουσα: 0 4 Οι δύο πραγματικές ρίζες της παράστασης στην Εξ.(4.0) είναι: Εξ.(4.) Επομένς, οι επιτρεπόμενες τιμές της γνιακής ταχύτητας της ράβδου είναι: και η ταχύτητα θα είναι: Εξ.(4.) Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0 0
Η ταχύτητα του σώματος μετά τις κρούσεις περιγράφεται από την Εξ.(4.7), αλλά για ευκολία θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ.(4.): Εξ.(4.) Η Εξ.(4.) περιγράφει την ταχύτητα του εκτινασσόμενου σώματος. Όμς το αποτέλεσμα αυτό δημιουργεί τις παρακάτ απορίες:. Γιατί έχουμε δύο διαφορετικές λύσεις για ένα αποδεκτό ;. Είναι και οι δύο λύσεις θετικές;. Η εξιδανικευμένη περίπτση # είναι μία από τις δυνατές λύσεις; Θα ξεκινήσουμε με το πιο συγκεκριμένο. Θα δείξουμε ότι η λύση της εξιδανικευμένης περίπτσης # είναι μία από τις λύσεις της περίπτσης #4. Έστ λοιπόν ότι:. Η γνιακή ταχύτητα βρίσκεται μέσα στο επιτρεπτό διάστημα τιμών, γιατί μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα εκτόξευσης του : Όπου τώρα η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγνο: 4 4 4 Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0
Επομένς: Η λύση με το θετικό πρόσημο αντιστοιχεί στην ταχύτητα εκτίναξης της ειδικής περίπτσης #:. Όμς για την ίδια γνιακή ταχύτητα της ράβδου, λαμβάνουμε και δεύτερη εκδοχή για την ταχύτητα εκτόξευσης του :. Μπορείτε να επιβεβαιώσετε ότι η λύση αυτή αντιστοιχεί στην παρακάτ διάταξη τν σμάτν:, υ Βλέπουμε λοιπόν ότι τα μαθηματικά της διατήρησης της στροφορμής και της κινητικής ενέργειας, επιλύουν ταυτόχρονα πολλά ανόμοια προβλήματα και όχι κατ ανάγκην αυτό το οποίο μας ενδιαφέρει ή αυτό από το οποίο ξεκινήσαμε!!! Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0
Στο βίντεο The redneck skydiver σημαντικό δεδομένο είναι ότι η μάζα του κασονιού είναι πολύ μεγαλύτερη από τις μάζες τν άλλν σμάτν. Για να προχρήσουμε θα χρησιμοποιήσουμε το δεδομένο αυτό: 4 Εξ.(4.4) Στην εξίσση Εξ.(4.4) επιλέξαμε μόνο το θετικό πρόσημο, αφού φάνηκε από προηγούμενη συζήτηση ότι το αρνητικό πρόσημο αντιστοιχεί σε άλλες διατάξεις τν σμάτν. Το υπόριζο είναι δευτέρου βαθμού πολυώνυμο ς προς με ρίζες τα και. Επομένς η ελάχιστη ταχύτητα εκτίναξης του είναι,in. Η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με τα κοίλα προς τα κάτ και επομένς γίνεται μέγιστο στο μέσον τν δύο ριζών:, όπου το μέγιστο είναι:. Επομένς, η μέγιστη ταχύτητα εκτίναξης του είναι:,ax. Δεδομένου ότι η σανίδα έχει αρκετά μικρότερη μάζα απ ότι ο άνθρπος, συμπεραίνουμε ότι,ax. Με την ανάλυση αυτή αποδείξαμε ότι η ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος δεν μπορεί να προσδιοριστεί επακριβώς, με μοναδική βάση τις διατηρήσεις στροφορμής και μηχανικής ενέργειας. Συμπεράναμε ότι η ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος και του. μπορεί να είναι οτιδήποτε μεταξύ του Πρέπει να ληφθούν υπόψη και άλλες λεπτομέρειες, ώστε να μπορέσει κανείς να υπολογίσει μονοσήμαντα την ταχύτητα εκτόξευσης του σώματος. Υποψιαζόμαστε μάλιστα ότι συμβαίνουν πολλαπλές κρούσεις μεταξύ τν σμάτν και της ράβδου πριν από την οριστική διαμόρφση της τελικής κατάστασης του συστήματος. Στέλιος Χατζηθεοδρίδης/0