o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ. 2. ΑΓ < ΓΒ 3. Γελ ππάξρεη εζσηεξηθό ζεκείν ηεο ΓΓ πνπ λα ηζαπέρεη από ηα ζεκεία Α, Β. Απόδεημε (Καηαζθεπή άζθεζεο: Μάθεο Χαηδόπνπινο). α τπόπορ (από θεωπία): Γλσξίδνπκε όηι κάθε ζημείο ηηρ δισοηόμος ιζαπέσει από ηιρ πλεςπέρ ηηρ, άπα ηο ζημείο Γ ηζαπέρεη από ηιρ πλεςπέρ ηηρ γωνίαρ, δηλαδή από ηιρ ΑΓ και ΒΓ. Οπόηε ΑΓ = ΓΔ όπωρ θαίνεηαι και ζηο ζρήκα. ζρήκα β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων): Φέπνοςμε ηο ύςνο ΓΔ ζηην πλεςπά ΒΓ και παπαηηπούμε όηι ηα ηπίγωνα, είναι ίζα, αθού: Οξζνγώληα ζηα Α, Δ ΓΓ =ΓΓ κοινή πλεςπά (αθού ΓΓ δισοηόμορ) 2 άπα ΑΓ = ΓΔ, δηλαδή ηο ζημείο Γ ιζαπέσει από ηιρ πλεςπέρ ΑΓ και ΒΓ. 2. Θέλοςμε να δείξοςμε όηι: ΑΓ < ΓΒ, Όμωρ ΑΓ = ΓΔ άπα αξθεί λα απνδείμνπκε όηι ΓΔ < ΓΒ, πος αςηό είναι πποθανέρ από ηο οπθογώνιο ηπίγωνο ΓΔΒ, η ΓΒ είναι ππνηείλνπζα άπα είναι κεγαιύηεξε από ηην κάθεηη πιεπξά ΓΔ.
o Λύκειο Εακύνθος 3. α τπόπορ (απαγωγή σε άτοπο + εξωτεπικέρ γωνίερ ): Έζησ όηη ππάξρεη εζσηεξηθό ζεκείν Μ ηεο ΓΓ ηέηοιο ώζηε να ιζαπέσει από ηα ζημεία Α, Β, ηόηε ηο Μ ανήκει ζηην μεζοκάθεηο ηος ΒΓ. Άπα ΜΚ μεζοκάθεηορ ηος ΒΓ, δηλαδή 90 0. Όμωρ ηο Κ ζε πνηα ζέζε βξίζθεηαη ζηελ πιεπξά ΒΓ; Απιζηεπά ηος Γ; Γεξιά ηος Γ ή ηαςηίζεηαι με ηο Γ; Έσοςμε αποδείξει από ηο 2ο επώηημα όηι ΑΓ < ΓΒ, νπόηε ην κέζν Μ ηεο ΒΓ ζα βξίζθεηαη δεμηά ηνπ Γ, για να έσοςμε ΑΜ = ΜΒ. Άπα πποκύπηει ηο επόμενο ζσήμα 2, Τόηε, () ωρ η εμσηεξηθή γσλία ηνπ ηξηγώλνπ ΜΓΚ. Δπίζηρ, (2) ωρ η εμσηεξηθή γσλία ηνπ ηξηγώλνπ ΓΓΒ. Οπόηε από ηιρ ζσέζειρ () και (2) έσοςμε: 90 90 0 0 άηνπν Άπα δεν ςπάπσει εζωηεπικό ζημείο ηος ΓΓ πος να ιζαπέσει ζρήκα 2 από ηα ζημεία Α, Β. β τπόπορ (απαγωγή σε άτοπο + σύγκπιση τπιγώνων ): Έζηω εζωηεπικό ζημείο Μ ηηρ ΓΓ πος ιζαπέσει από ηα Α, Β, δηλαδή, ΜΑ = ΜΒ. Φέπνοςμε ηα ύςε ΜΛ θαη ΜΡ ζηιρ πλεςπέρ ΑΓ και ΒΓ ανηίζηοισα, όπωρ θαίνεηαι ζηο παπακάηω ζσήμα 3. Τα ηπίγωνα ΜΑΛ θαη ΜΡΒ είλαη ίζα, γιαηί: Οξζνγώληα ζηα Λ, Ρ ΜΛ = ΜΡ, αθού ηο Μ ανήκει ζηην δισοηόμο ηηρ ΓΓ, άπα ιζαπέσει από ηιρ πλεςπέρ ηηρ ΜΑ = ΜΒ, αθού ηο Μ ιζαπέσει από ηα Α, Β ζρήκα 3 οπόηε: 2 2(3)
o Λύκειο Εακύνθος Δπίζηρ, ηο ηπίγωνο ΜΑΒ είλαη ηζνζθειέο, αθού ΜΑ =ΜΒ, οπόηε, (4) 0 Από (3) + (4) παίπνοςμε: 90 άηνπν (αθού ζ ένα ηπίγωνο 2 2 έσοςμε ηο πολύ μια οπθή γωνία ηην Α) Άπα δελ ππάξρεη εζσηεξηθό ζημείο ηος ΓΓ πος να ηζαπέρεη από ηα ζημεία Α, Β. γ τπόπορ (απαγωγή σε άτοπο + σύγκπιση τπιγώνων ): Θα δείξοςμε όηι για κάθε εζωηεπικό ζημείο Μ ηηρ δισοηόμος ΓΓ, ιζσύει: ΜΑ < ΜΒ. Σηην πλεςπά ΓΒ παίπνοςμε ένα ζημείο Δ με ΓΔ = ΓΑ, ηόηε ηα ηπίγωνα ΓΑΜ, ΓΜΔ είναι ίζα γιαηί, ΓΑ = ΓΔ (από καηαζκεςή) ΓΜ = ΓΜ (κοινή πλεςπά) 2 (ΓΓ δισοηόμορ) άπα 2 και ΜΑ = ΜΔ. Άπα έσοςμε διαδοσικά, 2 (γιαηί η είναι εξωηεπική γωνία ηος ηπιγώνος ΓΜΔ, η είναι εξωηεπική γωνία ηος ηπιγώνος ΑΜΓ και η είναι εξωηεπική γωνία ηος ηπιγώνος ΓΒΓ) ζςνεπώρ,, επομένωρ ζηο ηπίγωνο ΒΔΜ έσοςμε, ΜΒ > ΜΔ και επειδή ΜΔ = ΜΑ, έπεηαι: ΜΒ > ΜΑ, άπα δεν ςπάπσει εζωηεπικό ζημείο ηηρ ΓΓ έηζι ώζηε ΜΑ = ΜΒ.
o Λύκειο Εακύνθος Άρκηρη 2η Α Λσκείξσ Γεωμεςοία Έρςω Ρ έμα ενωςεοικό ρημείξ ςξσ κύκλξσ (Ο, ο). Φέομξσμε από ςξ Ρ δύξ εσθείεπ ςέμμξσρεπ ςξσ κύκλξσ ΡΒΑ και ΡΔΓ, έςρι ώρςε: ΑΒ = ΓΔ. Α. Να δείνεςε όςι:. ΡΒ = ΡΔ και ΡΑ = ΡΓ 2. ΡΔ < ΡΟ 3. Ζ ΡΟ διυξςξμεί ςα ςόνα, Β. Αμ ΡΔ, ΡΕ είμαι ςα εταπςόμεμα ςμήμαςα ςξσ κύκλξσ, όπωπ ταίμεςαι ρςξ ρυήμα, ςόςε μα δείνεςε όςι:. Οι υξοδέπ ΒΔ, ΔΕ και ΑΓ έυξσμ κξιμή μερξκάθεςξ 2. Οι γωμίεπ, έυξσμ κξιμή διυξςόμξ 3. ΓΕ = ΑΔ 4. Τα Δ, Ε δεμ είμαι ςα μέρα ςωμ ςόνωμ, αμςίρςξιυα. ( Καςαρκεσή άρκηρηπ Μάκηπ Χαςζόπξσλξπ ) Απάμςηρη Βοηθητικές ευθείες: Φέομξσμε ςα απξρςήμαςα ΟΚ και ΟΛ ρςιπ ίρεπ υξοδέπ ΑΒ και ΓΔ αμςίρςξιυα. Α. ) Τα ξοθξγώμια ςοίγωμα ΡΟΚ και ΡΟΛ είμαι ίρα γιαςί: ΡΟ =ΡΟ (κξιμή πλεσοά) ΟΚ = ΟΛ (ίρα απξρςήμαςα ατξύ και ξι υξοδέπ είμαι ίρεπ) Άοα, ΡΚ = ΡΛ (λόγω ρύγκοιρηπ ςοιγώμωμ) επίρηπ ΚΒ = ΛΔ με αταίοερη καςά μέλη παίομξσμε: ΡΒ = ΡΔ Όμξια, ΡΚ = ΡΛ και ΚΑ = ΛΓ με άθοξιρμα καςά μέλη παίομξσμε: ΡΑ = ΡΓ 2) Τξ ςοίγωμξ ΡΔΟ είμαι ξοθξγώμιξ ρςξ Δ, ατξύ ΟΔ ακςίμα και ΡΔ εταπςξμέμη ςξσ κύκλξσ. Οπόςε η ΡΟ είμαι σπξςείμξσρα και η ΡΔ είμαι κάθεςη πλεσοά, άοα, ΡΔ <ΡΟ 3) Τα ςοίγωμα ΡΟΒ και ΡΟΔ είμαι ίρα, γιαςί: ΡΒ = ΡΔ (από ςξ Α εοώςημα) ΡΟ = ΡΟ (κξιμή πλεσοά) ΟΒ =ΟΔ (ωπ ακςίμεπ)
o Λύκειο Εακύνθος άοα ξι επίκεμςοεπ γωμίεπ, είμαι ίρεπ, ξπόςε και ςα ςόνα πξσ βαίμξσμ είμαι ίρα, επξμέμωπ ςξ Τ είμαι ςξ μέρξ ςξσ ςόνξσ δηλαδή η ΡΟ διυξςξμεί ςξ ςόνξ Όμξια για ςξ ςόνξ, ςα ςοίγωμα ΡΑΠ και ΡΓΠ είμαι ίρα, ατξύ: ΡΑ = ΡΓ ΡΠ =ΡΠ (από ςημ ρύγκοιρη ςωμ ςοιγώμωμ ΡΟΒ, ΡΟΔ) άοα ΑΠ = ΠΓ, ξπόςε ξι υξοδέπ είμαι ίρεπ, ξπόςε και ςα ςόνα ίρα, δηλ. επξμέμωπ η ΡΟ διυξςξμεί και ςξ ςόνξ Β. ) Τξ Ρ ιραπέυει από ςα Β, Δ (από ςημ ποξηγξύμεμη ρύγκοιρη ςοιγώμωμ ΡΟΒ, ΡΟΔ) και ςξ Ο ιραπέυει από ςα Β, Δ (ωπ ρημεία ςξσ κύκλξσ) άοα η ΡΟ είμαι μερξκάθεςξπ ςηπ ΒΔ. Δπίρηπ ςξ Ρ ιραπέυει από ςα Δ, Ε (ωπ εταπςόμεμα ςμήμαςα) και ςξ Ο ιραπέυει από ςα Δ, Ε (ωπ ρημεία ςξσ κύκλξσ) άοα η ΡΟ είμαι μερξκάθεςξπ ςξσ ΔΕ. Τέλξπ, ςξ Ρ ιραπέυει από ςα Α, Γ (εοώςημα Α) και ςξ Ο ιραπέυει από ςα Α, Γ (ωπ ρημεία ςξσ κύκλξσ) άοα η ΡΟ είμαι μερξκάθεςξπ ςξσ ΑΓ. Οπόςε η ΡΟ είμαι κξιμή μερξκάθεςξπ ςωμ υξοδώμ ΒΔ, ΔΕ και ΑΓ 2) Ζ ΡΟ είμαι διυξςόμξπ ςηπ γωμίαπ,ατξύ η διακεμςοική εσθεία διυξςξμεί ςημ γωμία ςωμ εταπςξμέμωμ ςμημάςωμ. Δπίρηπ, η ΡΟ είμαι διυξςόμξπ ςηπ γωμίαπ από ςημ ρύγκοιρη ςωμ ςοιγώμωμ ΡΟΒ, ΡΟΔ από ςξ εοώςημα Α. Άοα η ΡΟ είμαι η κξιμή διυξςόμξπ ςωμ γωμιώμ, 3) Σσγκοίμξσμε ςα ςοίγωμα ΡΓΕ και ΡΑΔ, ΡΓ = ΡΑ (από ςξ εοώςημα Α) ΡΕ =ΡΔ (ωπ εταπςόμεμα ςμήμαςα) (ωπ διατξοά ςωμ ίρωμ γωμιώμ με ) άοα ςα ςοίγωμα είμαι ίρα από Π Γ Π, ξπόςε ΓΕ = ΑΔ.
o Λύκειο Εακύνθος 4) Έρςω όςι ςξ Ε είμαι μέρξ ςξσ ςόνξσ ΓΔ, ςόςε ςα ςόνα και είμαι ίρα, άοα και ξι υξοδέπ θα είμαι ίρεπ, ξπόςε ςξ Ε ιραπέυει από ςα Γ, Δ. Δπίρηπ ςξ Ο ιραπέυει από ςα Γ, Δ (ωπ ρημεία ςξσ κύκλξσ) άοα η ΟΕ είμαι μερξκάθεςξπ ςηπ υξοδήπ ΓΔ, άςξπξ ατξύ ςόςε η ΟΕ είμαι κάθεςη ρςημ ΓΔ (ακςίμα και εταπςξμέμη) και ρςημ ΡΕ (ωπ μερξκάθεςξπ όπωπ απξδείναμε), δηλαδή από ςξ Ρ διέουξμςαι δύξ εσθείεπ κάθεςεπ ρςημ ΟΕ, άςξπξ. Άοα ςξ Ε δεμ είμαι μέρξ ςξσ ςόνξσ ΓΔ. Όμξια απξδεικμύεςαι όςι και ςξ Δ δεμ είμαι μέρξ ςξσ ςόνξσ. Δπηκέιεηα άζθεζεο: Χαηζόποςλορ Μάκηρ ο Λύκειο Εακύνθος