Αθανάσιος ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ 1, Χαράλαμπος ΓΑΝΤΕΣ 2

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 2008 Άρθρο 2019 Ισοδύναμοι συντελεστές απόσβεσης για μη κανονικές καθ ύψος κατασκευές σκυροδέματος / χάλυβα και εφαρμογή τους στον ΕΑΚ Equvalent damng rato for rregular n heght concrete / teel tructure and alcaton n EAK Αθανάσιος ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ 1, Χαράλαμπος ΓΑΝΤΕΣ 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Η παρούσα εργασία αφορά τη δυναμική απόκριση κατασκευών οι οποίες είναι μη κανονικές καθ ύψος, και οι οποίες αποτελούνται από δύο τμήματα. Το πρώτο εδράζεται επί του εδάφους, είναι κατασκευασμένο από σκυρόδεμα και αποκαλείται πρωτεύον σύστημα, ενώ το δεύτερο εδράζεται επί του πρωτεύοντος, είναι κατασκευασμένο από χάλυβα και αποκαλείται δευτερεύον σύστημα. Το τμήμα από σκυρόδεμα έχει συντελεστή απόσβεσης ζ ίσο με 5% και το τμήμα από χάλυβα ίσο με 2%. Οι ισχύοντες κανονισμοί, δεν καλύπτουν το σχεδιασμό των κατασκευών αυτού του τύπου. Εκτελούνται χρονικές αναλύσεις διβάθμιων προομοιωμάτων μικτών κατασκευών, σκοπός των οποίων είναι η εύρεση ενός ενιαίου ισοδύναμου συντελεστή απόσβεσης. Οι αναλύσεις καλύπτουν ένα μεγάλο εύρος δυναμικών χαρακτηριστικών των δύο τμημάτων και μέσα από μια θαμιστική διαδικασία επιλέγεται ο ισοδύναμος συντελεστής απόσβεσης ο οποίος δίνει το μικρότερο σφάλμα σε σχέση με την ορθή κατανομή της απόσβεσης. Τα αποτελέσματα απεικονίζονται σε καμπύλες ισοδύναμου συντελεστή απόσβεσης ζ eq συναρτήσει των δυναμικών χαρακτηριστικών των δύο τμημάτων της μικτής κατασκευής. ABSTRACT : The reent work deal wth the dynamc reone of tructure that are rregular n heght contng of two art. The frt art made of concrete, founded on the ground and ha a damng rato equal to 5%, and the econd made of teel, retng on the frt one and ha a damng rato equal to 2%. Current regulaton do not cover the degn of uch tructure, ecally the cae where the teel art ha a conderable ma comared to that of the concrete art. Tme htory analye of 2 - DOF ytem are carred out amng at fndng an equvalent unform damng rato. Thee analye cover a wde range of dynamc charactertc of the two art, and through a tral and error rocedure the unform equvalent damng rato elected a the one that yeld the le error when comared to the cae of the actual damng confguraton. The reult are hown n contour lot of unform equvalent damng rato a a functon of the dynamc charactertc of the two art of the tructure. 1 Πολιτικός Μηχανικός, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, emal: cv97044@yahoo.gr 2 Αναπληρωτής καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, emal: chgante@central.ntua.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς μη κανονικών κατασκευών οι οποίες αποτελούνται από δύο τμήματα, ένα που αποτελείται πρωτεύων σύστημα ή υποκατασκευή, το οποίο εδράζεται επί του εδάφους και ένα δεύτερο το οποίο αποκαλείται δευτερεύων σύστημα ή υπερκατασκευή και εδράζεται επί του πρωτεύοντος. Η υποκατασκευή συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα (rmary tructure) και η υπερκατασκευή με το γράμμα (econdary tructure). Τα δύο αυτά τμήματα της κατασκευής χαρακτηρίζονται από διαφορετική δυναμική συμπεριφορά. Ο λόγος μπορεί να είναι η κατανομή του υλικού καθ ύψος της κατασκευής, συγκεκριμένα το τμήμα μπορεί να αποτελείται από σκυρόδεμα και το από χάλυβα με αποτέλεσμα ο συντελεστής απόσβεσης ζ να παίρνει διαφορετικές τιμές για το κάθε κομμάτι. Ένας άλλος λόγος μπορεί να είναι η κατανομή της δυσκαμψίας καθ ύψος, για παράδειγμα το πρωτεύον σύστημα μπορεί να έχει χιαστί συνδέσμους ή τοιχεία ενώ το δευτερεύον σύστημα να αποτελείται από πλαίσια, ή και συνδυασμός των παραπάνω περιπτώσεων. Το αποτέλεσμα είναι ότι η τελική δυναμική συμπεριφορά της κατασκευής είναι δύσκολο να μελετηθεί με τις διαδικασίες που χρησιμοποιούμε στις κανονικές κατασκευές. Τέτοιες κατασκευές απαντώνται συχνά σε στάδια, όπου οι κερκίδες των θεατών, που στεγάζουν επίσης και βοηθητικές λειτουργίες του γηπέδου, διαμορφώνονται συνήθως σαν πλαίσια από σκυρόδεμα ενώ τα στέγαστρά τους συνήθως είναι χαλύβδινα πλαίσια ή δικτυώματα τα οποία εδράζονται επί των κερκίδων. Επίσης τέτοιου τύπου κατασκευές είναι και οι καθ ύψος προσθήκες ελαφρών μεταλλικών πλαισίων πάνω από υπάρχοντα κτίρια οπλισμένου σκυροδέματος με σκοπό να μειωθεί το βάρος της κατασκευής ή να μειωθεί ο χρόνος της κατασκευής. Στην παρούσα εργασία ερευνώνται οι κατασκευές στις οποίες το κατώτερο τμήμα τους φτιάχνεται από οπλισμένο σκυρόδεμα και έχει συντελεστή απόσβεσης ίσο με 5%, τυπική τιμή για τις περισσότερες περιπτώσεις κτιρίων από σκυρόδεμα, και το ανώτερο τμήμα τους κατασκευάζεται από χάλυβα με συντελεστή απόσβεσης ίσο με 2%, επίσης μια τυπική τιμή για μεταλλικές κατασκευές. Ο αντισεισμικός σχεδιασμός αυτού του τύπου των κατασκευών δεν καλύπτεται από τις τρέχουσες διατάξεις των κανονισμών (ΕΑΚ, EC8), ειδικά για τις περιπτώσεις στις οποίες η μάζα του τμήματος είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με αυτήν του τμήματος. Σε περίπτωση που κάποιος αποφασίσει να εκτελέσει πλήρη ανάλυση χρονοϊστορίας για μια τέτοιου τύπου κατασκευή, θα πρέπει να διαμορφώσει ένα μητρώο απόσβεσης το οποίο να αντιστοιχεί στους συντελεστές απόσβεσης των δύο τμημάτων. Κάτι τέτοιο προβλέπει την κατασκευή δύο υπομητρώων απόσβεσης, ένα για το κάθε τμήμα και ακολούθως την ένωσή τους με κατάλληλο τρόπο ώστε να σχηματιστεί το συνολικό μητρώο απόσβεσης. Μια τέτοια διαδικασία δεν είναι συνηθισμένη και δεν καλύπτεται από εμπορικούς κώδικες λογισμικού. Μια άλλη επιλογή είναι ο διαχωρισμός την κατασκευής στις ιδιομορφές της και η ετέλεση ιδιομορφικής ανάλυσης χρονοϊστορίας, ή φασματικής ανάλυσης. Το πρόβλημα τώρα είναι ότι οι ιδιομορφές που προκύπτουν δεν διαγωνιοποιούν το μητρώο απόσβεσης και κατά συνέπεια οι ιδιομορφικές εξισώσεις είναι συζευγμένες μεταξύ τους, ενώ για να προκύψει σύστημα εξισώσεων πλήρως αποζευγμένο θα πρέπει να υπολογιστούν μιγαδικές ιδιομορφές, κάτι που επίσης δεν συνηθίζεται στην διαδικασία σχεδιασμού. Εν τέλει, η πλέον διαδεδομένη λύση για την αντιμετώπιση τέτοιων κατασκευών είναι η υιοθέτηση ενός ενιαίου συντελεστή απόσβεσης ίσου με 2%. Με τον τρόπο αυτό είναι πλέον εφικτός ο υπολογισμός 2

των μεγίστων της απόκρισης της κατασκευής χρησιμοποιώντας φάσματα σχεδιασμού ή ακόμα και η ιδιομορφική ανάλυση χρονοϊστορίας, χωρίς το μειονέκτημα των μιγαδικών ιδιομορφών. Κατά το παρελθόν έχουν προταθεί μέθοδοι για την προσομοίωση κατασκευών με μη κανονική κατανομή της απόσβεσης, με εφαρμογή κυρίως σε περιπτώσεις κτιρίων με αποσβεστήρες, λόγω της ευρείας διάδοσής τους και της επακόλουθης ανάγκης για διαδικασίες σχεδιασμού οι οποίες να μπορούν να λάβουν υπόψιν τη σωστή κατανομή της απόσβεσης στην κατασκευή. Η πλέον διαδεδομένη μέθοδος είναι η λεγόμενη μέθοδος της ενέργειας των ιδιομορφικών παραμορφώσεων (modal tran energy method). Η βασική υπόθεση της μεόδου αυτής είναι ότι οι μιγαδικές ιδιομορφές της κατασκευής αντικαθίστανται από πραγματικές ιδιομορφές οι οποίες αντιστοιχούν στην κατασκευή χωρίς απόσβεση. Ακολούθως υπολογίζεται ο λόγος της ενέργειας που καταναλώνεται από τους αποσβεστήρες προς την συνολική δυναμική ενέργεια της κατασκευής για κάθε ιδιομορφή και έτσι προκύπτει η ισοδύναμη απόσβεση. Με βάση την μέθοδο της ενέργειας των ιδιομορφικών παραμορφώσεων έχουν προκύψει άλλες διαδικασίες σχεδιασμού και ανάλυσης με σκοπό να βελτιωθούν τα αποτελέσματά της. Οι Blbao et al. (2005) προσομοιώνουν τη δράση των αποσβεστήρων στην κατασκευή με ένα μητρώο απόσβεσης τύπου Raylegh το οποίο με την κανονικοποίηση, χρησιμοποιώντας πραγματικές ιδιομορφές, γίνεται διαγώνιο. Οι Lee et al. (2003) προτείνουν αναλυτικές εκφράσεις για την εκτίμηση της ισοδύναμης απόσβεσης κατασκευών με αποσβεστήρες. Κάνουν χρήση των μιγαδικών ιδιομορφών και μέσα από μια διαδικασία στην οποία λαμβάνονται επίσης υπόψιν και οι μη γραμμικοί αποσβεστήρες καταλήγουν σε πραγματικές τιμές ισοδύναμης απόσβεσης. Οι Shen et al. (1995) εκτελούν μια σειρά πειραμάτων σε πλαίσια από οπλισμένο σκυρόδεμα τα οποία ρηγματώνονται και ακολούθως τοποθετούνται αποσβεστήρες. Η νέα απόκριση καταγράφεται και με μια τροποποίηση της μεθόδου της ενέργειας των ιδιομορφικών παραμορφώσεων προτείνουν και αυτοί αναλυτικές εκφράσεις για την ισοδύναμη απόσβεση του συστήματος. Με παρόμοιο τρόπο, οι Chang et al. (1995) κάνουν πειράματα σε πολυώροφα μεταλλικά πλαίσια και με μια μετατροπή στη μέθοδο των ιδιομορφικών παραμορφώσεων προτείνουν και αυτοί ισοδύναμη απόσβεση για το σύστημα. Οι προαναφεθείσες μέθοδοι, μπορούν να εφαρμοστούν σε μη κανονικές κατασκευές σκυροδέματος χάλυβα αν η απόσβεση σε κάθε βαθμό ελευθερίας προσομοιωθεί κατάλληλα με αποσβεστήρες. Μια διαφορετική προσέγγιση γίνεται από τους Huang et al. (1996). Εξετάζουν μια πολυβάθμια κατασκευή, η οποία αποτελείται από δύο τμήματα, το κάθε ένα με διαφορετικό συντελεστή απόσβεσης, και εξάγουν συμπεράσματα για την ισοδύναμη ιδιομορφική απόσβεση με μια αριθμητική και μια αναλυτική διαδικασία. Στην αριθμητική ακριβή διαδικασία προσομοιώνουν την κατασκευή με τη σωστή κατανομή της απόσβεσης και ακολούθως προχωρούν σε μια νέα προσομοίωση στην οποία ο συντελεστής απόσβεσης τίθεται αυθαίρετα σε συγκεκριμένες τιμές. Υπολογίζεται το σφάλμα μεταξύ των δύο προσομοιώσεων και εκλέγεται ο τελικός συντελεστής απόσβεσης για κάθε ιδιομορφή αυτός που ελαχιστοποιεί το σφάλμα. Στην αναλυτική προσεγγιστική μέθοδο, προσομοιώνουν κάθε τμήμα του πολυβάθμιου συστήματος με μονοβάθμιους ταλαντωτές οι οποίοι αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιομορφή του κάθε κομματιού. Υποθέτουν ότι για το νέο διβάθμιο που έχει προκύψει ισχύει ότι το κανονικοποιημένο μητρώο απόσβεσης θα είναι διαγώνιο, αγνοούν δηλαδή τους διαγώνιους όρους, και βγάζουν αναλυτικές εκφράσεις για την 3

απόσβεση των ιδιομορφών του απλού διβάθμιου προσομοιώματος και συγκρίνουν τα αποτελέσματα με αυτά της αριθμητικής διαδικασίας με ικανοποιητική ακρίβεια. Στην παρούσα εργασία γίνεται απόπειρα η απόσβεση της μη κανονικής κατασκευής να προσομοιωθεί όχι με ιδιομορφικές τιμές ισοδύναμης απόσβεσης αλλά με ενιαίους συντελεστές ισοδύναμης απόσβεσης. Ο λόγος για αυτήν την επιλογή είναι ότι η εφαρμογή του ενιαίου συντελεστή στο σχεδιασμό είναι πιο πρακτική σε σχέση με τους ιδιομορφικούς συντελεστές απόσβεσης οι οποίοι απαιτούν τη χρήση περισσότερων από ένα φασμάτων απόκρισης, ένα για κάθε τιμή της απόσβεσης. ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Μια διαδικασία παρόμοια με αυτήν των Huang et al. (1996) εκτελείται και στην παρούσα εργασία. Μελετώνται απλές διβάθμιες κατασκευές όπως αυτή που φαίνεται στο Σχήμα 1, όπου M C, και K είναι η μάζα, η απόσβεση και η ακαμψία του κάθε τμήματος και x&& g η εδαφική επιτάχυνση. Η κατανομή της απόσβεσης είναι η κανονική με το και το σύστημα να έχουν συντελεστές απόσβεσηζ = 5% και ζ = 2% αντίστοιχα. Σχήμα 1. Διβάθμια μη κανονική κατασκευή. Προκειμένου να προσομοιωθεί σωστά η σύνθετη κατανομή της απόσβεσης της κατασκευής, η διαμόρφωση που φαίνεται στο Σχήμα 2 υιοθετείται, κατά την οποία η απόσβεση υλοποιείται με αποσβεστήρες οι οποίοι έχουν κατάλληλα επιλεγμένες ιδιότητες. m k Οι συντελεστές C και C αντιπροσωπεύουν τους αναλογικούς (κατά Raylegh) συντελεστές απόσβεσης. Στην περίπτωση κατασκευών με ενιαία απόσβεση, ο υπολογισμός τους είναι αρκετά απλή υπόθεση. Σε περιπτώσεις όμως σαν και αυτές που εξετάζονται εδώ, με μικτή απόσβεση ζ = 5% και ζ = 2% θα πρέπει να γίνει μια μικρή τροποποίηση. Για το μικτό σύστημα του Σχήματος 2 που αποτελείται από δύο μονοβάθμιους ταλαντωτές το μητρώο απόσβεσης C θα συντεθεί από δύο ξεχωριστά υπομητρώα C και C, το καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα τμήμα της κατασκευής. Πρώτα όμως, τα μητρώα μάζας και ακαμψίας θα πρέπει να χωριστούν στα αντίστοιχα υπομητρώα M και K, =,, όπως φαίνεται στις Εξισώσεις (1) και (2). 4

Σχήμα 2. Διαμόρφωση προσομοιώματος. M 0 M = 0 0, M 0 0 = 0 M (1) K K K, = K K K 0 0 = 0 K (2) Ακολούθως οι δύο ιδιοσυχνότητες ω 1 και ω2 ολόκληρης της κατασκευής υπολογίζονται με μια κλασσική ιδιομορφική ανάλυση, και οι συντελεστές Raylegh για τα δύο υπομητρώα απόσβεσης υπολογίζονται σύμφωνα με την Εξίσωση (3). a0, 2ζ ω1ω 2 =, =, (3) a1, ω1 + ω2 1 Και υπολογίζονται τα δύο υπομητρώα απόσβεσης: C = a M + a K, =, (4) 0, 1, Και το τελικό μητρώο απόσβεσης υπολογίζεται από το άθροισμα των δύο υπομητρώων: C = C,, = (5) m Οι συντελεστές C υπολογίζονται από το τμήμα του συνολικού μητρώου απόσβεσης που k προκύπτει από τη μάζα, δηλ. a0, M και οι συντελεστές C από το τμήμα που είναι προκύπτει από την ακαμψία, δηλ. a1, K, =,. Κατ αυτόν τον τρόπο, είναι δυνατή η προσομοίωση μιας κατασκευής με οποιονδήποτε συνδυασμό αποσβέσεων στις στάθμες της. Η ιδιοσυχνότητα του κάθε τμήματος θα είναι ίση μεω = K M, =,, και με σκοπό να χαρακτηριστεί η απόκριση του συνολικού συστήματος με βάση τις ιδιότητες του κάθε τμήματος, ορίζονται ο λόγος ιδιοσυχνοτήτων R ω και ο λόγος μαζών R ως εξής: m ω R ω =, Rm ω M M = (6) 5

Για τις αριθμητικές αναλύσεις, το πρωτεύων σύστημα εκλέγεται να έχει ιδιοπερίοδο ίση με 0.1 ec, και μάζα ίση με 1000Mgr. Ένα εύρος λόγων μάζας και ιδιοσυχνοτήτων εξετάζεται, και για κάθε ζεύγος λόγων με δεδομένα τα χαρακτηριστικά του τμήματος, μπορεί να κατασκευαστεί το προσομοίωμα του διβάθμιου συστήματος. Αφού κατασκευαστεί το προσομοίωμα της κατασκευής από τους λόγους μάζας και ιδιοσυχνοτήτων, μπορεί να αναλυθεί με την εδαφική διέγερση να εισάγεται στη βάση της σύμφωνα με την ακόλουθη εξίσωση: [ M ]{ y} + [ C]{ y} + [ K]{ y} = [ M]{ r} x g && & && (7) όπου [ M ], [ C ], και [ K ] είναι αντίστοιχα τα μητρώα μάζας, απόσβεσης και ακαμψίας της κατασκευής, { y} είναι το διάνυσμα των σχετικών μετατοπίσεων των βαθμών ελευθερίας της κατασκευής σε σχέση με το έδαφος και r = ( ) 1...1 T για τη γενικότερη περίπτωση μιας κατασκευής με n βαθμούς ελευθερίας. Η κίνηση του εδάφους x&& g είναι αρμονική σε συντονισμό με την πρώτη ιδιομορφή της διβάθμιας κατασκευής. Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται σε κάθε στάθμη είναι σε όρους απολύτων επιταχύνσεων, δηλαδή: && y = && y + r && x. { } { } { } g Για κάθε ζεύγος λόγων ιδιοσυχνοτήτων και μαζών εκτελούνται δύο αναλύσεις: () Μια ακριβής η οποία λαμβάνει υπόψιν τη σωστή κατανομή της απόσβεσης, και () μια προσεγγιστική στην οποία ολόκληρη η κατασκευή προσομοιώνεται σαν να έχει έναν ενιαίο συντελεστή απόσβεσης. Το μητρώο απόσβεσης της κατασκευής με την ορθή κατανομή υπολογίζεται σύμφωνα με την διαδικασία που αναπτύχθηκε παραπάνω, ενώ το μητρώο απόσβεσης της κατασκευής με την προσεγγιστική κατανομή με τον ενιαίο συντελεστή απόσβεσης υπολογίζεται με μια κλασσική διαδικασία αναλογικά με το μητρώο μάζας και ακαμψίας κατά Raylegh. Κατά την προσεγγιστική ανάλυση γίνονται δοκιμές με ένα εύρος τιμών ισοδύναμου συντελεστή ζ eq ο οποίος λαμβάνει τιμές από 2% εώς 5%. Τα μέγιστα των απολύτων επιταχύνσεων λαμβάνονται, και υπολογίζεται το σφάλμα μεταξύ των δύο αναλύσεων σε κάθε στάθμη ως εξής: 1 n e = max ( && yar ) max ( && yex ) max ( && yex ) (8) Το κριτήριο για την επιλογή της τελικής τιμής του ισοδύναμου ενιαίου συντελεστή απόσβεσης είναι η ελαχιστοποίηση του σφάλματος, δηλαδή η τιμή του ζ eq η οποία θα δώσει το μικρότερο σφάλμα θα είναι η καταλληλότερη για το υπό μελέτη ζεύγος των λόγων ιδιοσυχνοτήτων και μαζών. Ο υπολογισμός του σφάλματος γίνεται σε κάθε στάθμη της κατασκευής και πέρα από τον υπολογισμό του σφάλματος στις στάθμες και, γίνεται και υπολογισμός του αθροίσματος των επιμέρους σφαλμάτων και της ευκλείδειας νόρμας τους. Οι συντελεστές απόσβεσης οι οποίοι ελαχιστοποιούν κάθε φορά το είδος του σφάλματος υπό εξέταση εκλέγονται ως οι βέλτιστοι για τον κάθε ζεύγος R ω και R m. Για κάθε τύπο σφάλματος, η κατανομή του ισοδύναμου συντελεστή απόσβεσης αναπαρίσταται με τη μορφή καμπυλών ισοδύναμου συντελεστή ζ eq συναρτήσει των λόγων ιδιοσυχνοτήτων και μαζών της κατασκευής. Στο Σχήμα 3 φαίνεται η κατανομή του ισοδύναμου συντελεστή απόσβεσης για 6

την περίπτωση που το κριτήριο είναι το άθροισμα των απολύτων τιμών των σφαλμάτων των δύο σταθμών, και στο Σχήμα 4 το αντίστοιχο σφάλμα. Φαίνεται ότι η κατανομή του ενιαίου συντελεστή επηρεάζεται πιο πολύ από το λόγο των ιδιοσυχνοτήτων παρά από το λόγο των μαζών. Στην περιοχή των μεγάλων τιμών του R ω όπου η υπερκατασκευή είναι πολύ πιο άκαμπτη σε σχέση με την υποκατασκευή ο τελικός συντελεστής απόσβεσης πλησιάζει αυτόν του τμήματος. Το τμήμα είναι αρκετά δύσκαμπτο ώστε να μπορεί να ακολουθεί την κίνηση του κομματιού της κατασκευής και οι σχετικές μετακινήσεις μεταξύ τους είναι πολύ μικρές. Μόνο η υποκατασκευή εκδηλώνει σημαντικές σχετικές μετακινήσεις και κατά συνέπεια η τελική απόσβεση είναι κοντά στο 5%. Στον αντίποδα, στα μικρά R ω δηλαδή, η υπερκατασκευή είναι πολύ πιο εύκαμπτη και οι σχετικές της μετακινήσεις είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτές της υποκατασκευής, με αποτέλεσμα ο ισοδύναμος συντελεστής απόσβεσης να πλησιάζει το 2%. Σχήμα 3. Ενιαίος ισοδύναμος συντελεστής απόσβεσης. Σχήμα 4. Σφάλμα για χρήση ενιαίου συντελεστή απόσβεσης. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η προτεινόμενη κατανομή του ενιαίου συντελεστή απόσβεσης ακολούθως εφαρμόζεται σε ένα πλαίσιο δύο ορόφων και τεσσάρων ανοιγμάτων που φαίνεται στο Σχήμα 5 με σκοπό να εξεταστεί η ακρίβεια της σε πραγματικές κατασκευές. Το ισόγειο του πλαισίου αποτελείται από σκυρόδεμα, και έχει συντελεστή απόσβεσης ίσο με 5% και ο όροφος αποτελείται από 7

χάλυβα και έχει συντελεστή απόσβεσης ίσο με 2%. Το μέτρο ελαστικότητας του σκυροδέματος τίθεται ίσο με 27.5MPa και του χάλυβα ίσο με 2.1GPa. Τα υποστυλώματα από σκυρόδεμα έχουν διατομή 40/40 και 80/80, και το χαλύβδινο πλαίσιο έχει υποστυλώματα διατομής HEB360. Θεωρείται ότι οι πλάκες έχουν αρκετό πάχος ώστε να εξασφαλίζεται η διαφραγματική λειτουργία, επομένως τα ζυγώματα θεωρούνται άκαμπτα ώστε τελικά η κατασκευή να μπορεί να προσομοιωθεί με δύο βαθμούς ελευθερίας. Η μάζα του τμήματος είναι 100Mgr και του τμήματος είναι 70Mgr. Αυτά μεταφράζονται σε ένα συντελεστή ιδιοσυχνοτήτων ίσο με 0.9 και ένα συντελεστή μαζών ίσο με 0.7, που από το Σχήμα 3 αντιστοιχεί σε ισοδύναμο συντελεστή απόσβεσης ίσο με 3%. Τα δυναμικά χαρακτηριστικά του πλασίου φαίνονται στον Πίνακα 1 και τα σχήματα των δύο ιδιομορφών στο Σχήμα 6. Σχήμα 5. Διβάθμιο πλαίσιο. Πίνακας 1. Δυναμικά χαρακτηριστικά πλαισίου. Ιδιομορφή Περίοδος (ec) Συντελεστής συμμετοχής 1 0.10 0.89 2 0.05 0.11 Σχήμα 6. Ιδιομορφές πλαισίου. Για την εν λόγω κατασκευή η οποία υποβάλλεται σε εδαφική διέγερση σε συντονισμό με την πρώτη της ιδιομορφή, εκτελείται μια ακριβής ανάλυση με χρονική ολοκλήρωση, κατά την οποία λαμβάνεται υπόψη η πραγματική κατανομή της απόσβεσης, μια δυναμική ανάλυση στην οποία χρησιμοποιείται ο ισοδύναμος συντελεστής απόσβεσης 3%, και δύο δυναμικές αναλύσεις με ενιαίες αποσβέσεις 2% και 5% αντίστοιχα. Επίσης, εκτελούνται και φασματικές αναλύσεις χρησιμοποιώντας το φάσμα απόκρισης της αρμονικής εδαφικής διέγερσης και το φάσμα του ΕΑΚ με τις ιδιομορφικές αποκρίσεις να συνδυάζονται με τον κανόνα CQC. Για κάθε μια από τις παραπάνω αναλύσεις τα μέγιστα των απολύτων επιταχύνσεων λαμβάνονται σε κάθε στάθμη. Το σφάλμα που προκύπτει από τη χρήση ενιαίων συντελεστών απόσβεσης σε σχέση με την ακριβή κατανομή υπολογίζεται από την Εξίσωση (11), και τα σφάλματα που προκύπτουν για κάθε στάθμη παρουσιάζονται στο Σχήμα 7, ενώ οι τιμές της φασματικής 8

ενίσχυσης που προκύπτουν από την εφαρμογή των παραπάνω ποσοστών απόσβεσης στο φάσμα του ΕΑΚ φαίνονται στον Πίνακα 2. max * e = ( && yex ) max ( && yar ) max ( && yex ) (9) (a) (b) Σχήμα 7. Σφάλματα από χρήση ενιαίας απόσβεσης, (a) υποκατασκευή και (b) υπερκατασκευή. Πίνακας 2. Φασματικές ενισχύσεις κατά ΕΑΚ. ζ 2% 5.61 10.58 3% 5.12 9.62 5% 4.48 8.36 Οι διαφορές μεταξύ της ανάλυσης με την ακριβή κατανομή της απόσβεσης και αυτών με την προσεγγιστική, επιβεβαιώνουν ότι για την εν λόγω κατασκευή ο ενιαίος συντελεστής απόσβεσης 3% δίνει τελική απόκριση η οποία είναι πολύ κοντά στη σωστή. Επίσης, όπως είναι αναμενόμενο η περίπτωση με απόσβεση 2% δίνει συντηρητικά αποτελέσματα ενώ σε περίπτωση που γίνει χρήση του ενιαίου συντελεστή ίσου με 5%, υποεκτιμάται η απόκριση της κατασκευής και στις δύο στάθμες. Η χρήση αρμονικής σε συντονισμό με την πρώτη ιδιομορφή διέγερσης είναι μάλλον συντηρητική, και κατά πάσα πιθανότητα σε περίπτωση που η διέγερση είναι σεισμική τα τελικά σφάλματα θα είναι μικρότερα. Με τον τρόπο όμως αυτό εξασφαλίζεται ότι η χρήση ενιαίου συντελεστή απόσβεσης δεν θα δώσει μεγαλύτερο σφάλμα. ΕΠΙΛΟΓΟΣ 9

Η παρούσα εργασία εξετάζει κατασκευές οι οποίες έχουν ανομοιόμορφη κατανομή απόσβεσης καθ ύψος. Για ένα ευρύ φάσμα δυναμικών χαρακτηριστικών των τμημάτων των κατασκευών αυτών, αυθαίρετα επιλεγμένες τιμές ενιαίου συντελεστή απόσβεσης δοκιμάζονται και αυτές που δίνουν τα μικρότερα σφάλματα σε σχέση με την πραγματική κατανομή επιλέγονται ως οι καταλληλότερες για χρήση. Ένα παράδειγμα μιας πραγματικής κατασκευής με διαφορετική απόσβεση καθ ύψος εξετάζεται προσομοιώνοντας την απόσβεση με την σωστή κατανομή, με την προτεινόμενη και με θεώρηση ενιαίας απόσβεσης ίσης με αυτήν του κάθε τμήματος. Η προτεινόμενη τιμή του συντελεστή απόσβεσης έδωσε απόκριση σε κάθε στάθμη η οποία ήταν αρκετά κοντά με αυτήν της πραγματικής κατασκευής, ενώ οι άλλες δύο κατανομές έδωσαν σημαντικά σφάλματα. Μελλοντική επέκταση αυτής της εργασίας θα περιλαμβάνει εκτίμηση της προτεινόμενης κατανομής για πολυώροφα κτίρια,και αξιολόγηση των περιπτώσεων που η εδαφική διέγερση δεν είναι αρμονική αλλά σεισμική. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Το έργο συγχρηματοδοτείται 80% της Δημόσιας Δαπάνης από την Ευρωπαϊκή Ενωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο 20% της Δημόσιας Δαπάνης από το Ελληνικό Δημόσιο Υπουργείο Ανάπτυξης Γενική Γραμματεία Ερευνας και Τεχνολογίας και από τον Ιδιωτικό Τομέα στο πλαίσιο του Μέτρου 8.3 του Ε.Π. Ανταγωνιστικότητα Γ Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Blbao, A., Avlẻ, R., Agrrebeta, J., Ajura, G., (2005), Proortonal damng aroxmaton for tructure wth added vcoelatc damer, Fnte Element n Analy and Degn, 42,. 497-502. Chang, K.C., Soong, T.T., Oh, S.T., La, M.L., (1995), Semc behavour of teel frame wth added vcoelatc damer, Journal of Structural Engneerng, 121,. 1418-1426. Huang, B.C., Leung, A.Y.T., Lam, K.M., Cheung, Y.K., (1994), Analytcal determnaton of equvalent modal damng rato of a comote tower n wnd nduced vbraton, Comuter & Structure, 59,. 311-316. Lee, S.H., Mn, K.W., Hwang, J.S., Km, J., (2003), Evaluaton of equvalent damng rato of a tructure wth added damer, Engneerng Structure, 26,. 335-346. Shen, K.L., Soong, T.T., Chang, K.C., La, M.L., (1995), Semc behavour of renforced concrete frame wth added vcoelatc damer, Engneerng Structure, 17,. 372-380. 10