ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σύνθεση ταλαντώσεων 3.1 Τι ονομάζουμε σύνθεση αρμονικών ταλαντώσεων; 3. Να γίνει η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας, ίδ ιας διεύθυνσης, διαφοράς φάσης μεταξύ τους φ, που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, με εξισώσεις: =Α 1. ημωt και x =Α. ημ(ωt+φ) Τι κίνηση προκύπτει από τη σύνθεση αυτή; Να παραστήσετε γραφικά το αποτέλεσμα της σύνθεσης για τις περιπτώσεις: α. Α 1 >Α και φ=0 ο, β. Α 1 =Α και φ=180 ο. Πανελλήνιες εξετάσεις 1995 3.3 Ποιο είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτους και μικρής διαφοράς συχνοτήτων; Ποια είναι και πως προκύπτει η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης και ποια είναι η συχνότητά της; 3.4 Να αποδείξετε τη σχέση f δ f 1 f 3.5 Σε τι διαφέρει η περίοδος του διακροτήματος από την περίοδο της κίνησης; 3.6 Η περίοδος του διακροτήματος είναι και περίοδος μεταβολής της συνάρτησης Α =f(t); 3.7 Για τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ισχύει: Α. η Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων Β. η Αρχή διατήρησης της ορμής Γ. η Αρχή διατήρησης της ενέργειας Δ. η Αρχή διατήρησης της μάζας. 3.8 Στο σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης x =Α. ημ(ωt+φ ) και το αποτέλεσμα της σύνθεσής της με μία άλλη απλή αρμονική ταλάντωση =Α 1. ημ(ωt+φ 1 ). Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές; Α. φ 1 >φ, Β. φ 1 <φ, Γ. φ 1 =φ 3.9 Στο σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης: x =Α. ημ(ωt+φ ) και το αποτέλεσμα της σύνθεσής της με μία άλλη απλή αρμονική ταλάντωση: =Α 1. ημ(ωt+φ 1 ). Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές; Α. =Α 1. ημ(ωt+π) Β. =Α 1. ημωt και Α 1 >Α Γ. x =Α. ημωt Δ. και x συμφασικά μεγέθη 3.10 Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα της σύνθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων με απομακρύνσεις και x που έχουν ίδια θέση ισορροπίας. 140
Σύνθεση ταλαντώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές; Α. Α 1 =Α Β. Α 1 >Α Γ. φ=0 Δ. φ=π rad 3.11 Ένα σώμα m κάνει ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, με εξισώσεις: y 1 =Α 1. ημωt και y =Α. ημ(ωt+φ) Η ολική ενέργεια για κάθε μία από τις παραπάνω ταλαντώσεις καθώς και για τη σύνθεσή τους είναι Ε 1, Ε και Ε αντίστοιχα. Ισχύει πάντα ότι: Ε=Ε 1 +Ε ; Να βρείτε την διαφορά φάσης φ ώστε να ισχύει η παραπάνω σχέση. 3.1 Για το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτους και μικρής διαφοράς συχνοτήτων, ισχύει: Α. f δ >f κινησης Β. Τ δ <Τ κινησης Γ. Τ δ >Τ κινησης 3.13 Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις και τα διαγράμματα των απομακρύνσεών τους σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνονται στο σχήμα. x ( m) 0,4 1 0-0,3 i. H διαφορά φάσης τους φ=φ φ 1 είναι: Α. 0, Β. π rad, Γ. π/4 rad, Δ. π/ rad. ii. To πλάτος της σύνθετης είναι: Α. 0, Β. 0,1 m, Γ. 0,5 m, Δ. 0,35 m. t 3.14 Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις και τα διαγράμματα των απομακρύνσεών τους σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνονται στο σχήμα. H εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάτηση με το χρόνο για τη σύνθετη κίνηση, είναι: Α. x=4. ημ(t+π) x σε cm, t σε s Β. x=4. ημ(t) x σε cm, t σε s Γ. x=3. ημ(t+π) x σε cm, t σε s Δ. x=7. ημ(t) x σε cm, t σε s 3.15 Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις: =A. ημωt και x =A. συνωt Η σύνθετη κίνηση είναι: Α. Απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α. Β. Παρουσιάζει διακροτήματα. Γ. Απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α. 3.16 Δύο διαπασών βρίσκονται το ένα κοντά στο άλλο και παράγουν ήχους ίδιας έντασης με συχνότητες f 1 = 500 Hz και f =50 Hz, αντίστοιχα. Ι. Η συχνότητα του ήχου που ακούμε, είναι: Α. 500 Hz, Β. Hz, Γ. 1 Hz, Δ. 501 Hz II. Mέγιστα ήχου ακούμε κάθε: Α. s, Β. 1 s, Γ. 0,5 s 3.17 Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές απλές αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις: =5. ημ 3π 4t + και x =3. ημ(4t+φ ) x σε cm, t σε s Ποια πρέπει να είναι η φ, ώστε η ταχύτητα στη σύνθετη κίνηση να είναι 141
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σύνθεση ταλαντώσεων υ=3. συν 3π 4t + (υ σε cm/s, t σε s); 3.18 Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, ίδιου πλάτους και η σύνθετη ταλάντωση που κάνει έχει εξίσωση: x= Α. ημ π ωt + x σε cm, t σε s 4 Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα αντιστοιχεί στις συνιστώσες ταλαντώσεις; 3.19 Υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση και η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. του δίνεται από την εξίσωση: y=α. συν(4πt). ημ(00πt) στο S.I Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; Α. Το υλικό σημείο κάνει μία ταλάντωση κάθε 0,01 s. Β. Το πλάτος της κίνησης γίνεται μέγιστο κάθε s. Γ. Το πλάτος της κίνησης γίνεται μέγιστο κάθε 1s. Δ. Το πλάτος της κίνησης μηδενίζεται κάθε 0,5 s. 14
Σύνθεση ταλαντώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 3.0 Υλικό σημείο εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω από την ίδια Θ.Ι. με εξισώσεις: =3. ημ0t και (x σε cm, t σε s). x =5. ημ(0t+π) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης κίνησης και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις, x και x σε συνάρτηση με το t στο ίδιο σύστημα αξόνων. 3.1 Υλικό σημείο Μ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, γύρω από την ίδια Θ.Ι. με εξισώσεις: =4ημt και x =4ημ(t+π/3) (x σε cm, t σε s ) Να βρείτε: α. την εξίσωση της κίνησης του υλικού σημείου β. την ταχύτητα και την επιτάχυνση του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t =π/4 s. 3. Υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση: x=ημ4t+ 3 συν4t (x σε cm, t σε s) α. Να δείξετε ότι η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντωση, να βρείτε το πλάτος και την αρχική φάση της. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου όταν κάνει τη σύνθετη κίνησή του και είναι σε απομάκρυνση x=1cm. κίνηση του σώματος και να υπολογίσετε την ενέργειά του. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος, όταν η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. του είναι 0, m. γ. Πόση είναι η χρονική διαφορά των συνιστωσών ταλαντώσεων; 3.4 Η εξίσωση της κίνησης υλικού σημείου μάζας m=0,1 kg το οποίο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, ίδιου πλάτους, ίδιας διεύθυνσης γύρω από την ίδια Θ.I. είναι: π y=0,1 ημ 4πt 4 S.I. α. Να βρείτε το πλάτος και τη διαφορά φάσης μεταξύ των συνιστωσών ταλαντώσεων, αν η πρώτη δεν έχει αρχική φάση. β. Σε ποιες θέσεις ο ταλαντωτής έχει ταχύτητα μέτρου 0,1π m/s; Πόση είναι στις θέσεις αυτές η δυναμική του ενέργεια; (π =10) 3.5 Υλικό σημείο Κ εκτελεί ταυτόχρονα τρεις απλές αρμονικές ταλαντώσεις γύρω από την ίδια Θ.Ι. με εξισώσεις: y 1 =6. ημt, y =5. ημ(t+π) και y 3 = π 3 ημ t (y σε cm και t σε s). Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο για τη σύνθετη κίνηση του υλικού σημείου. 3.3 Σώμα μάζας m=0,1 kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις και τα 3.6 Σώμα μάζας m=0,1 kg εκτελεί ταυτόχρονα διαγράμματα των απομακρύνσεών τους σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνονται στο σχήμα. α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για τη σύνθετη δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις και τα διαγράμματα των ταχυτήτων τους σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνονται στο σχήμα. α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το 143
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σύνθεση ταλαντώσεων χρόνο, για τη σύνθετη κίνησή του. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος, όταν η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. του είναι 1 cm. γ. Σε πόσο χρόνο θα γίνει μηδέν η ταχύτητα στη σύνθετη κίνηση, για 1η φορά; 3.7 Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις: =Aημωt και x =Aημ(ωt+π/3) με Α = 4 cm και ω = 10 rad/s. α. Να υπολογισθεί το πλάτος Α ολ της συνισταμένης απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ και να υπολογισθεί η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t =π/15 s, μετά από τη στιγμή t=0. δ. Να υπολογισθεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t = π/10 s. Δίνονται: π 1 π π 3 π ημ συν, ημ συν, 6 3 3 6 Α Β Α Β ημα ημβ συν ημ 3.8 Δύο διαπασών βρίσκονται το ένα κοντά στο άλλο και παράγουν ήχους ίδιας έντασης με óõ í üôçôåò f 1 = 500 Hz και f =50 Hz, αντίστοιχα. α. Ποια είναι η συχνότητα του ήχου και η συχνότητα του διακροτήματος που ακούμε; β. Πόσα μέγιστα και πόσα ελάχιστα ακούμε σε χρόνο Δt=4 s. γ. Πόση πρέπει να γίνει η συχνότητα f 1, για να ακούμε διπλάσιο αριθμό μεγίστων του ήχου, στα 4 s; 3.9 Υλικό σημείο Μ εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις πάνω στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια Θ.Ι. με εξισώσεις: =5. ημ404πt x =5. ημ400πt (x σε cm και t σε s) α. Να βρείτε το μέγιστο πλάτος και τη συχνότητα της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Με ποια συχνότητα μεταβάλλεται το πλάτος της συνισταμένης ταλάντωσης; γ. Πόσο πρέπει να μεταβληθεί η συχνότητα της πρώτης ταλάντωσης =f(t), ώστε το σημείο Μ να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση; 3.30 Έ να δ ιακρότημα προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδιο πλάτος Α=10 cm και συχνότητες f 1 =00 Hz και f =0 Hz. α. Να βρείτε την εξίσωση του πλάτους και την περίοδο του διακροτήματος. β. Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος και η συχνότητα της σύνθετης ταλάντωσης; γ. Πόσα μέγιστα πραγματοποιούνται σε 5, s και πόσες φορές γίνεται η κίνηση στο διάστημα αυτό; 3.31 Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις πάνω στην ίδια διεύθυνση, ίδιου πλάτους και γύρω από την ίδια Θ.Ι. Οι δ ύο ταλαντώσεις έχουν παραπλήσιες συχνότητες και η πρώτη έχει εξίσωση: =0,. ημ(400πt) S.I. Η σύνθετη κίνηση που προκύπτει επαναλαμβάνεται 401 φορές σε s. Nα γράψετε την εξίσωση x =f(t) της δεύτερης συνιστώσας αρμονικής ταλάντωσης. 144
Σύνθεση ταλαντώσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κριτήριο αξιολόγησης Θέμα 1 1. Στο σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα τριων απλών αρμονικών ταλαντώσεων. Η ταλάντωση που προκύπτει από τη σύνθεση των δύο εξ αυτών, περιγράφεται από την καμπύλη:. Σε διακρότημα να συγκρίνετε τις συχνότητες: f δ συχνότητα διακροτήματος και f συχνότητα της κίνησης. Θέμα 3 x Μονάδες 10 Υλικό σημείο μάζας m=10 kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. με εξισώσεις: 1 α. Ι, β. ΙΙ, γ. ΙΙΙ. Μονάδες 10. Υλικό σημείο κάνει ταυτόχρονα δύο α.α.τ. ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, διαφοράς φάσης μεταξύ τους φ, που γίνονται γύρω από την ίδια Θ.Ι. Η σύνθετη ταλάντωση έχει πλάτος Α 1 Α, αν: α. φ=0 και Α 1 >Α β. φ=π/ rad και Α 1 >Α γ. φ=π rad και Α 1 >Α δ. φ=π rad και Α 1 <Α Μονάδες 15 Θέμα 1. Να αποδειχθεί η σχέση f = f f που δίνει τη συχνότητα του διακροτήματος. π 3 ημπt και π x ημ πt, x σε cm, t σε s. α. Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t), υ=f(t), της σύνθετης κίνησης. β. Πόση είναι η απομάκρυνση και η ταχύτητα του σωματιδίου τη στιγμή t=0,15 s; γ. Πόση είναι η δύναμη επαναφοράς τη χρονική στιγμή t= s; (π =10) δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σημείου σε απομάκρυνση 3cm. Μονάδες 5 Θέμα 4 δ 1 Υλικό σημείο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση και η απομάκρυνση από τη Θ.Ι. του δίνεται από την εξίσωση: y=10. συν(4πt). ημ(00πt) (y σε cm, t σε s) α. Να χαρακτηρίσετε το είδος της κίνησης και να γράψετε τις εξισώσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων. β. Να βρείτε το μέγιστο πλάτος της κίνησης. γ. Να υπολογίσετε τη συχνότητα της κίνησης και του διακροτήματος. Μονάδες 15 δ. Πόσες φορές γίνεται η κίνηση σε s και πόσες φορές γίνεται μέγιστο το πλάτος στο χρόνο αυτό; Μονάδες 5 145