ΠΡΟΡλήματα 1. Εξηγήστε γ ιατ ί ένα κουρείο είναι ένα σύστημα ουράς, περιγράφοντας τα συνθετικά του μέρη. 2. Π ροσδιορίστε τους πελάτες και τι ς θέσεις εξυπηρέτηση ς του συστήματος ουράς για καθεμιά από τι ς παρακάτω περιπτώσεις (α) Τα ταμ ε ία ενός supermarket. (β) Ένας πυροσβεστ ικός σταθμός. (γ) Τα διόδια μιας γέφυρας. (δ) ' Ενα κατάστημα επ ιδιόρθωσης ποδη λάτων. (ε) Μια αποβάθρα ενός λιμανιού. (στ) Ένα σύνολο ημιαυ τόματων μηχανών που τις χειρίζεται ένας χε ι - ριστή ς. (ζ) Το σύστημα δ ιακίνη σης υλι κών σ' ένα εργοστάσιο. (η) 'Ενα κατάστημα υδραυλικών εργασιών. ω Υποθέστ ε ότι ένα σύστημα ουράς έχει δύο θέσεις εξυπηρέτηση ς, μια εκθι:τική κατανομή των χρόνων μεταξύ δια δοχ ικών αφί ξεων με μέσο 2 ώρε ς και μια Εκθετική κατανομή χρόνου εξυπ η ρέτησης μ ε μέσο 2 ώρες. Ακό μα, υποθέστε ότι φθάνει ένας πελάτης στις 12.00 μ. ακριβώ ς. (α) Π ο ια είνα ι η n ιθ ανότητα να φθάσει η επόμενη άφιξη πρ ι ν από τη Ι μ.μ.; Μ εταξύ 1.00 και 2.00 μ. μ.; Μετά τις 2 μ.μ.; (β) Υποθέστε ότι δε φθάνει καμιά πρόσθετη άφιξη πριν από τη 1 μ.μ. Πο ια είναι η πιθανότητα να φθάσει η επόμενη άφ ι ξη μεταξύ 1.00 και 2.00 μ. μ.; (γ) Ποια είναι η n ι θανότητα να είναι ο αριθ μός των αφίξεων μεταξύ 1.00 κα ι 2.00 μ.μ. ίσος με μηδέν; Ένας; Δύο ή περισσότεροι; (δ) Υποθέστε ότι οι δύο θέσεις εξυπηρετούν πελάτες στη 1.00 μ. μ. Ποια είναι η,n θανότητα να μην έχει τελειώσει η εξυπηρέτηση κανενός πελάτη πριν από τις 2.00 μ.μ.; Π ριν από τη 1.10 μ.μ.; Π ριν από τη 1.01 μ.μ.; Q Οι εργασίες π ου γίνονται σε μια μ ηχανή φθάνουν σύμφωνα με μια δια... δικασία εισόδου Poisson με μέσο ρυθμό δύο ανά ώρα. Ynoθtmc ότι η.,. μη χανή χαλάει και ότι χρειάζεται μια ώρα, για να επισκευαστει Ποια είναι η πιθανότητα να είναι ο αριθμός των εργασιών που θα φθάσουν στο δ16- σ~α αυτό ίσος με (α) μηδέν, (β) δύο, (γ) πέντε ή περισσότερο ; 5. Ενας σταθμός βενζίν ης έχε ι μια μ όνο αvt λ ία. Τα αυτοκίνητα που χρε ι ζονταl βενζίνη φθάνουν σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson μ ε μέσο ρυθμό 12 ανά ώρα. Όμως, σ ε περίπτωση nou η αντλία χρ η σιμοποιείται, οι δυνατοί nελάτες μπορεί να μην προσχωρήσουν στην oopd αναμονής, αλλά να πάνε σε άλλο σταθμό βενζίνης. ΠΙΟ σ υγκεκρ ιμένα, αν υπάρχουν n α υτο κίνητα στο σταθμ ό, η πιθανότητα να μη ν προσχωρήσει μια νέα άφιξη στην
ουρά είναι n/4, για n = 1,2,3,4. Ο χρόνος εξυπ η ρέτησης ενός αυτ οκ ινήτο υ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέσο 5 λεπτά. (α) Κατασκευάστ ε το δ ιάγραμμα ροής γι ' αυτό το σύστημα ουράς. (β) Αναπτύξτε τις εξισώσεις ισορροπίας. (γ) Λύστε τις εξισώσεις αυτές, για να βρείτε την κατανομή πιθανότητας μόνιμης κατάστασης του αριθμού αυτοκ ι νήτων στο σταθμό. Επ ι βεβα ι ώστε ότι η λύση αυτή είναι η ίδ ια με τη γεν ική λύση τ ης διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων. (δ) Βρείτ ε το μέσο χρόνο αναμονής (συμπεριλαμβανομένου του χρόνου εξυπηρέτ ησης) για τα αυτοκίνητα εκείνα. που πα ραμένουν. 6. Εξετάστε μια παραλλαγή του αρχικού βασικού προτύπου του Τμήματος 8.6, στην οποία οι πελάτες φεύγουν από το σύστημα αναμονής χωρίς να εςυπηρετηθούν, όταv ο χρόνος ιιαραμονής τους στην ουρά γίνει αρκετά μεγάλος. ΠΙΟ συγκεκριμένα. υποθέστε ότι ο χρόνα;, που είναι πρόθυμα; κάθε πελάτης να περιμένει στηv ουρά πρι\' φύγει, ακολουθεί μιαv εκθετική κατανομή με μέσ ο ΙΙθ. Ακόμα, υποθέστε ότι υπάρχει μόνο μία θέση εξυπηρέτ η σης. (α) Κατασκευάστ ε το διάγραμμα ροής αυτού του συστήματος ουράς. (β) Αναπτύξτε τις εξ ι σώσεις ισορροπίας. ΘΣτο ταμείο ενός καταστήματος, που έχε ι μια μόνο θέση εξυπηρέτησης, ο ι πελάτες φθάνουν τυχαία, δηλαδή σύμφωνα με μια διαδ ικ ασία εισόδου Poisson με μέσο ρυθ μό 30 ανά ώρα. Όταν υπάρχε ι μ όνο ένας πελάτης στο ταμείο, εξυπηρετε ίται μόνο από τον ταμία με μέσο χρόνο εξυπηρέτησης 1.5 λεπτό. Όμως, όταν υπάρχουν περ ι σσότεροι από ένας πελάτες στο σύστημα, τότε ένας υπάλλ η λος του καταστήματος βοηθάει τον ταμία στη συσκευασία των προϊόντων.. Ετσι. ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης του πελάτη μειώνεται σε 1 λεπτό. Η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης κα ι στις δύο περιπτώσεις είναι εκθετική. (α) Κατασκευάστ ε το διάγραμμα ροής αυτού του συστήματο ς ουρά ς. (β) Ποια είναι η κατανομή πιθανότητας μόνιμης κατάστασης του α ριθμού πελατών στο ταμε ί ο; (γ) Προσ διορίστε το L και στη συνέχεια τα L q ΙΥ και W q 8. Για καθένα από τα παρακάτω πρότυπα γράψτε τις εςισώσεις ισορρο πίας και δε ίξτε ότι ι κανοποιούνται από τη λύση που δίνεται στο κεφάλα ι ο αυτό.. (α) Η αρχική παραλλαγή του βασικού προτύπου του Τμήματος 8.6 για.ι' = Ι. ( β ) Το βασικό πρότυπο μ ε ουρά περιορισμένου μήκου ς, γ ια s = Ι κα ι Μ = 3. (γ) Το βασ ι κό πρότυπο με περιορισμένο πληθυσμό, YIO.l' = ] και Μ= 3.
9.. Εξετάστ ε ένα σύστημα αναμονή ς με είσοδο Ρο ίηο fl και εκθε τικούς χρόνους εξυπηρέτηση ς. (α) Υποθέστε ό τι υ πάρχε ι μια θέση εξ υπηρ έτησης και ότι ο μ έσος χρό νος εξυπηρέτηση ς είνα ι [ λε πτό. Συγκρίνετε το L για τις πε ριπτώσει ς που ο μέσος ρυθμός αφί ξεων είναι 0.5, 0.9 και 0.99 π ε λάτ ες ανά λεπτό αντίστοιχα. Κάντ ε τ ο ίδιο γ ια τα L q W. W q και P{ ΊU> 5}. (β ) Υπ οθέστε ό τι υπάρχ ουν δύο θ έσεις εξυ πηρέτηση ς και ό τι ο μ έ σος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 2 λεπτά. Κ-'άντ ε τις ίδι ε ς συγ κρίσει ς όπω ς αυτές του ερωτήματος (α ). 10. Σε μια τράπεζα υπά ρχουν τρεις ταμί ες γ ι α τη ν εξυπηρέτηση των πε λατών. ΟΙ πελάτες φθάνουν σύμφωνα μ ε μια διαδ ικασία Poisson με μ έ σο ρυθμό ένας ανά λεπτό. Αν ο π ε λάτης βρει όλους τους ταμί ε ς απασχολημένους προσχωρεί σ ε μια ο υρά, πο υ εξυπηρετείται από όλους τους ταμί ες, δηλαδη δεν υπάρχουν σειρ ές μπροστά από κάθε ταμία, αλλά μόνο μια ουρά, από την οποία ο πρώτος π ε λάτη ς πηγα ί νει Οί ον πρώτο διαθέσιμο ταμ ία. Ο χρόνος εξυ πηρ έτησης του π ε λάτη ακολουθεί μ ι α εκθετική κατανομή μ ε μέσο 2 λεπτά. (α) Κατασκευάστε το διά γ ραμμα ροή ς γι ' αυτό το σύ στημα ου ρά ς. (β) Βρείτε την κατανο μή πιθανότητα ς μόνιμ η ς κατάστασης του αριθμού πελατών στην τράπε ζα. (γ) Βρείτε τα L q W q' W και L. @Σ' ένα συγκ εκριμένο κέντρο εργασιών ο ι εργασί ες φθάνουν σύ μφωνα με μια διαδικασία εισόδου Poisson μ ε μέσ ο ρυθμ ό δύο ανά ημέρα, ενώ ο χρόνος λειτου ργιας ακολουθεί μιαν ε κθετική κατανομή με μ έ σο 1/ 4 της ημ έ ρας. Ο χώρος αναμονής αυτού του κ έ ντρου μπορεί να στεγάσει τρει ς μόνο ερύασ Ιες πέ ρα από αυ τή 1101.1 «εξυπηρ ε τείτ αι... Να προσδιοριστεί το ποσοστό χρόνου που ο χώρος αναμονής μπορ ε ί να στεγάσει όλες τις ε ργα σ ί ες που περιμένο υν. Θ Σ ' ένα νέ ο εργοστάσιο είναι αναγκαίο να προσδιορίσουμε το χ ώ ρο αναμονή ς ενός κέντρο υ εργασία ς. Οι ερ γ ασί ες φθάvoυν,..nτο κέντρο αυτό,.., σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson μ ε μέσο ρυθμό 3 a\'iu VJpO. ε νώ ο χρόνος.. εξυπηρέτ η σής.. τους ακο λουθεί μ ι α ν εκθετική κατανο μή μ ε μεσg..d.15 ώρες. Αν γ ια κάθε ε ργασία χρειάζεται έ να τετραύωνικ ό μ έτρο στ ο χώρο αναμονής, πόσο πρέπει να είναι ο χώρος αυτός, ώστε να στεγ άσ ε ι όλ ες τις ε ργασίες που περιμένουν (α) 50%, (β ) 90%, (γ ) 99% του χρό νο υ; (Ν ύξη : Το άθροισμα τω ν ό ρ ων μιας γεωμετρική ς σε ιράς ε ίναι Σ χ. =. Ν Ι - Χ"") _0 1 χ
13. Στο Τμήμα 8.6 δίνονται οι δύο παρακάτω σχέσεις για την αρχική παραλλαγή του βασικού προτύπου με μια θέση εξυπηρέτησης. (Ι) (2) - Ρ{1Ρ" > ι ) = Σ P.P{S... >' Ι }. 0 Δείξτε ό τι η (2) προκύπτει αλγεβρικά από την ( Ι ). 14. Προσδιορ ίστε το W q για τις δίjo παρακάτω περιπτώσεις, αναπτύσσοντα ς μια ανάλογη σχέσ η με ΤηΥ (Ι) του προβλήματος 13. (β) (α) ΤΟ αρχικό βασικό πρότυπο του Τμήματος 8.6 με μια θέση εξυπηρέτησης. Το αρχικό βασικό πρότυπο του Τμήματ ος 8.6 με παράλληλες θέσε ις εξυπηρέτη σης. 15. Για το βασικό πρότυπο με ουρά περιορισμένου μήκους και μια θέση εξυπηρ έτησ η ς του Τμήματος 8.6 αναπτύξτε μια σχέση ανάλογη με την (Ι) του Προβλή ματος 13 για τις παρακάτω πιθανότητες. Qta γραφεία μιας (ο) P{if' > t}. (b) P{~ > ι }. αεροπορικής εταιρείας undpxouv δύο υπάλλ η λο ι για τις κρατήσεις θέσεων. Ακόμα, υπάρχε ι μια τηλεφωνική γραμμή.. αναμονή ς.. γ ι α έναν πελάτη, μέχρι να ελευθερωθεί ένας από τους υπαλλ ή λους. Αν οι τρεις τηλεφωνικές γραμμές (ο ι δύο των υπαλλήλων και η μία της.. αναμονής.. ) είναι απασχολημένες, οποιοσδήποτε δυνατός πελάτης πα(ρνει ένα.. κατειλημμένο.. σήμα, οπότε υποθέτοuμε ό τι καλεί μια άλλη εταιρεία. Τα τηλεφωνήματα γ ίνονται wxa(a, δηλαδή σύμφωνα μ ε μια δ ιαδικασία Poisson, με. μέσο ρυθμό 12 α νά ώρα. Η διάρκε ια των τηλεφωνικών συνδιαλέξεων ακολουθεί μιαν εκθετική κατανομή με μέσο 4 λεπτά. (α) Κατασκευάστε το διάγραμμα ροή ς γι ' αυτό το σύστημα ουράς. (β) Βρείτε την πιθανότητα μόνιμη ς κατάστασης ότι, (ί) Ένας πελάτης Οα μιλήσε ι αμέσως με τον uπάλληλο. (ί ί) Ο πελάτης θ \ σ υ νδεθεί με τη γραμμή.. αναμονή ς... (ίii) Ο πελάτης θα πάρει ένα κατειλημμένο σήμα. Θ Η διο ίκηση μιας επιχείρησης σχεδιάζει τη δημιουργία ενός πλυντηρίου αυτοκινήτων και θα πρέπει να αποφασίσει ποια έκτασ η θα έχει ο χώρος αναμονής των αυτοκινήτων. Έχε ι υπολογίσει ότι ο ι πελάτε ς θα φθάνου ν τυχαία, δηλαδή σύ μφ ωνα με μια δ ιαδικασ ία εισόδου Poisson, με μέσο ρυθμό ένας κάθε 4 λεπτά. Όταν ο χώρος αναμονή ς είναι γεμάτος, ο ι πελάτες θα πηγαίνουν σε άλλο πλυντήριο. Ο χρόνος εξυπηρέτ ησης ενός
αυτοκινήτου θα ακολουθεί την εκθετική κατανομϊ'ι με μέσο 3 λεπτά. Συγκρίνετε το ποσοστό των δυνατών πελατών που θα χαθούν λόγω ανεπαρκούς χώρου αναμονή ς, αν στο χώρο αuτό χωρούν (α) μηδέν, (β) δόο, (γ) τέσσερα αυτοκίνητα. 18. Δίνετα ι το βασικό πρότυπο με περιορισμένο μήιφς ουράς και παριίλληλες θέσεις εργασίας του Τμήματος 8.6. Αποδείξτε τη σχέση γ ια το L" που δίνετα ι εκει 19. Ένας τεχνίτη ς είναι υπεύθυνος γ ι α τη 6υντήρη ση τριών μηχανών. Για κάθε μηχανή η κατανομή πιθανότητας του χρόνου λειτουργίας πριν από μι α βλάβη είνα ι εκθετική με μέσο 9 ώρες. Ο χρόνος επ ιδιόρθωσ ης ακολουθεί επίσης μιαν εκθετική κατανομή με μέσο 2 ώρες. (α) Π ροσδιορίστε την κατανομή mθανότητας μόνιμη ς κατάστασης κα ι το μέσο αριθμό μηχανών που δε λε ιτ ouργούν. (β) Υποθέστε ότι το μέγεθος του πληθυσ μού είναι άπειρο, έτσι ώστε η δ ι αδ ι κασία εισόδου να είναι Poisson με μέσο ρυθμό αφίξεων τρε ις μηχανές κάθε 9 ώρες, Συγκρίνετε τα αποτελέσματα του μέρouς (α) με εκείνα που θα βρεθούν, εφόσον γίνει η παραπάνω υπόθεση, χρησιμοποιώντας (i) το αντίστοιχο πρότυπο με ουρά άπειρου μή KOUς και (ί ί) το αντίστοιχο πρότυπο με ουρά περιορ ισμένου μήκους. (γ) Υποθέστε ότι ένας δεύτερος τεχνίτης χρησ ιμοποιείται, όταν υπάρχουν περισσότερες από μι α μηχανές που χρειάζονται εmδ ι όρθωσ η. Π ροσδ ι ορ ίστε την αντίστοιχη πληροφόρηση του ερωτήματος (α). 10. Σ ' ένα εργοστάσ ι ο με μεγάλο αρ ιθμό μηχανών ενός συγ κεκριμένου είδους πρέπει να προσδ ι ορ ιστ εί ο αριθμός των μηχανών, που θα εξυπηρετούνται (φόρτωση, εκφόρτωση, προσαρμογή, κ.τ. λ.) από κάθε χειριστή. Ο χρόνος λε ιτου ργίας (ο χρόνος μεταξύ συμπλήρωσης μιας εξυπηρέτηση ς κα ι τη ς αρχής τη ς επό μενης) γ ια κάθε μη χανή ακολουθεί μιαν εκθετ ική κατανομή με μέσο 100 λεπτά. Ο χρόνος εξυπ ηρέτηση ς αιcoλoυθεί μιαν εκθετ ική κατανομή με μtσo 10 λεπτά. Ο κάθε χειριστής παρακολουθεί μόνο τις δικές του μη χανές και δεν μπορεί να δώσει ή να πάρει βοήθεια από άλλouς χειριστές. Προκειμένου να πετύχει το epyooτdmo τους απαιτoύμενouς ρυθμούς παραγωγής, ο ι μηχανές θα πρέπει να λειτουργούν τ ουλάυ ιστον το 87.5% του χρόνου κατά μέσο όρο. Ζητείται να προσδιοριστεί ο μέγ ιστ ος αριθμός μηχανών, που θα εξυπ η ρετεί ένας χειρ ιστής. για να EftITtVXeti ο απαιτού μενο ς ρυθμός παραγωγή ς. 21. Δίνεται ένα σύσ τημα ουράς με μια θέση εξυπ ηρέ τησης. Έχε ι παρατηρηθεί όη η εξυπηρέτηση σε αυτή τη θέση γίνετα ι γρ ηγορότερα, ό ταν αυξάνει ο αριθμός των πελατών και ότι η.tmtdxuvoη.. αυτή ταιρ ιάζε ι με το εςαρτημένο πρότυπο, που παρουσιάστηκε στο τέλος του Τμήματος 8.6. Ακόμα έχε ι υπολογιστεί. ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτηση ς είνα ι 6 λεπτά. όταν υπάρχει ένας μόνο πελά τη ς στο σύστημ α. Να προσδ ι οριστεί ο συ... "(ελ εστήι; πιειτηι; c για τις δύο παρακάτω περιπτώσεις.
(α) Ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 3 λεπτά, όταν υπάρχουν τέσσερις πελάτες στο σύστημα. (β) Ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 4 λεπτά, όταν υπάρχουν τέσσερ ι ς πελάτες στο σύστημα. 12. Για το rl'.apτημένο πρότυπο του Τμήματος 8.6 δείξτε την επίδ ραση του συντελεστή π[εσηι; c, χρησ ιμοποιώvtας το Διάγραμμα 8. Ι Ι, γ ια να κατασκευάσετε έναν πίνακα, που να δίνε ι το λόγο του L αυτού του προτύπου προς το L τ η ς αρχικής παραλλαγή ς του βασικού προτύπου. Πινακοποιήστε τους λόγους αυτούς για λ ο / sμ ι = O.j, 0.9, 0.99 όταν c = 0.2, 0.4, 0.6 και s = Ι, 2. 23. Δίνεται ένα σύστημα ουράς με μια θέση εξυπηρέτ ησης με είσοδο Poisson και γνωστό μέσο ρυθμό αφίξεων λ. Υποθέστε ότι η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης είναι γνωστός και ίσος με Ι/μ. (α) άγνωστη, αλλά ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης Συγκρίνετε το μέσο χρόνο αναμονή ς στην ουρά αν η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης ήταν (ί) εκθετική, (ίο σταθερή, (iίί) Erlang με το ποσό της μ εταβολής στο ενδιάμεσο μεταξύ της σταθερής και της εκθετικής περίπτωσης. (β) Ποια είναι η επίδραση στο μέσο χρόνο αναμονής στην ουρά και στο μέσο μήκο ς της ουράς, αν τα λ και μ διπλασιαστούν και η κλίμακα της κατανομής του χρόνου εξυπηρέτησης αλλάξει κατάλληλα; 24. Δίνεται ένα σύστημα ουράς με είσοδο Poisson, όπου στη θέση εξυπηρέτ ηση ς πρέπε ι να γ ί νονται δύο ξεχωρ ιστές εργασίε ς στη σειρά για κάθε πελάτη. Ο συνολικός χρόνος εξυπηρέτησ η ς είνα ι των δύο εργασ ι ών, που είναι στατιστικά ανεξάρτητοι. το άθροισμα των χρόνων (α) Υποθέστε ότι ο χρόνος της πρώτης ε ργασίας ακολουθεί μια εκθετική κατανομή με μέσο 2 λεπτά, ενώ της δεύτερης ακολουθεί την κατανομή Erlang με μέσο 6 λεπτά και με παράμετρο k = 3. Ποιο πρότυπο της θεωρίας ουράς θα χρησιμοποιούσατε, για να αναπαραστήσετε το σύστη μ α αυτό; (β) Υποθέστε ότι το μέρος (α) τροποποιείται και ό τι ο χρόνος της πρώτης εργασίας ακολουθεί την κατανομή Erlang με μέσο ίσο με 2 λεπτά και με παράμετρο k = 3. Ποιο πρότυπο τ η ς θεωρίας ουράς θα χρησιμοποιούσατε, γ ια να αναπαραστήσετε το σύστημα αυτό;, 25. Στο τμήμα συντήρησης μιας αεροπορικής εταιρείας υπάρχουν μέσα γ ι α την επισκευή μιας μόνο μηχανής του αεροπλάνου κάθε φορά. 'Ετσι. προκειμένου να επ ι στρέψουν για χρησιμοποίηση τα αεροπλάνα όσο το δυνατό π ι ο γρήγορα, η τρ έχουσ α πολιτική της ετα ιρείας είναι να κλιμακώνεται η επισκευή των τεσσάρων μ η χανών κάθε αεροπλάνου. Με άλλα λόγι α. επιδιορθώνετα ι μόνο μια μηχανή κάθε φορά που το αεροπλάνο ει-
σέρχετα ι στο τμή μα αυτό. Με την πολιτι,.-:ή αυτή, τα αεροπλάνα φθάνουν σύμφωνα με μια διαδικασία ε ι σόδου Poisson με μέσο ρυθμό ένα κάθε ημ έρα. Ο χρόνος που χρε ιάζεται για την επισκευή μιας μηχανής ακολουθεl την εκθετική κατανο μή μ ε μέσο 1/ 4 της ημέρας. Όμως έχει προταθεί ν ' αλλάξει η πολιτική αυτή, ώστε να επισκευόζο vtαι,.-:αι οι τέσσερις μηχανές δ ιαδοχικά, κάθε φορά που το αεροπλάνο πηγαίνει στο τμήμα συντήρησης. Σημειώνεται ότι, αν και αυτό θα τετραπλασ ι άσει το μέσο χρόνο εξυπηρέτησης, κάθε αεροπλάνο θα πηγαίνε ι τμήμα συντήρησης μόνο το 1/4 των φορών που πήγαινε. Χρη σιμοπο ιή στε τη θεωρία ουράς, γ ι α να συγκρίνετε τις Μο εναλλακτ ικές λύσεις. U. Σ' ένα υποδηματοποιείο με μια θέση εργασίας φθόνουν ζεύυη υποδημάτων γ ι α επ ι διόρθωση σύμφωνα με μ ι α δ ι αδικασία Poisson με μέσ ο ρυθμό ένα ζεύγος την ώρα. Ο χρόνος που χρειάζεται γ ια την επισκευή ενός μεμονωμένου υιτοδήματος ακολουθεί μιαν εκθετική κατανομή με μέσο 20 λεπτά. (α) Εξετάστε τη διαμόρφωση αυτού του σuστήματoς ουράς, όπου ως στο πελάτες θεωρούνται τα μεμονωμένα υποδήματα και όχι τα ζεύγη. Γι' αυτή τη διαμόρφωση κατασκευάστε το διάγραμμα ροής και αναπτύξτε τις εξισώσεις ισορροπία ς χωρίς να τις λύσετε. (β) Τώρα εξετάστε τη διαμόρφωση αυτού του σuστήματoς ουράς, όπου ως πελάτες θεωρούνται τα ζεύγη των υποδη μάτων. Προσδι ορίστε το συγκεκριμένο πρότυπο ουράς, που ταιριάζε ι σ' αυτή τη διαμόρφωση, και κατόmν χρησιμοπο ιήστε τα διαθέ αιμα απο τελέσματα γι' αυτό το πρότυπο, γ ι α να υπολογίσετε το μ έσο χρόνο αναμονή ς W. (Θεωρείστε ως ~Y το μtσo χρόνο αναμον ή ς, μέχρι να τελειώσει η επ ι διόρθωση των δύο υποδημάτων σ' ένα ζεύγος). 27, Δίνεται ένα σύστημα ουράς μιας θέσης εξυπηρέτησης με oπoιαjήποτε κατανομή χρόνου εξυπηρ έτησης κα ι oπoιαjήπoτε,.-:ατανομή χρόνων μεταξύ δ ι αδοχικών αφίξεων. Χρησιμοποιήστε τους βασικούς ορ ισμ ούς και τις σχέσεις του Τμήματος 8.2, για να αποδείξετε τις παρακάτω γενικές σχέσε ι ς. (α) (β) L-L.+{I-Po). L - L, +p. (Υ) Ρο - Ι -ρ. 28. Δ είξτε ότ ι χρησιμοποιώντας τους στατιστικούς ορ ισμούς των L και L q σε σχέση με το Ρ,. 29, Σ' ένα εργοστάσιο υπάρχουν δύο αποθήκες εργαλείων με 6'a\' υπάλληλο η,.-:αθεμία. Η μια αποθήκη εξυ πηρετε ί τα εργαλεία για το βαρύ
εξοπλισμό του εργοστασίου, ενώ η δεύτερη όλα τα υπόλοιπα εργαλεία. Σε κάθε αποθήκη οι μηχανικοί φθάνουν, για να πάρουν εργ αλεία με μέσο ρυθμό 14 ανά ώρα και ο μ έσος χρόνος εξυπηρέτησ ή ς τους είναι 3 λε πτά. Επε ι δή πολλοί από τους μ ηχανικούς παραπονούντα ι ότι πε ρ ιμένουν ορισ μένες φορές αρκετό χρόνο σ την ουρά, η διο ί κηση του εργοστασίου σκέπτε ται να ενώσε ι τι ς δύο α ποθή κες, έτσ ι ώστε κάθε υπάλλ η λος να εξυπ η ρετεί τ η ζήτ η ση για οποιουδήποτε είδους εργαλείο. Π ιστεύεται ότι, στην περίπτωση αυτή ο μ έσος ρυθμός αφίξεων θα διπλασ ιαστεl σε 28 ανά ώρα κα ι ότι ο μέσος χρόνος εξυrtηρέτησ η ς θα παραμείνε ι 3 λεπτά. Όμως, δεν υπάρχε ι πληροφόρηση γ ι α τη μορφή της κατανομής πιθανότη τας του χρόνου μεταζύ δ ιαδοχικών ωρfξεων κα ι του χρόνου εξυπηplτησης, κα ι έτσ ι δεν ε ίναι φα νερό πο ιο πρότυπο ουράς είνα ι το mo κατάλληλο. Συγκρ ίνετε τ ην υπάρχουσα κατάσταση μ ε τ η νέα ως προς το συνολ ι κό μέσο αριθμ ό μ ηχανικών στο σύστη μα και το συνολ ι κό χρόνο αναμ ον ής (συμ περιλαμβανό μενου του χρόνου εξυπηρέτησης) κάθε μηχαν ι κού. Κ άντε αυτό με πινακοποίησ η των δεδομέ\-ων για τα τέσσερα πρότυπα ουράς των Διαγρα μμάτων 8.8, 8. 12,8. 14 και 8. 15. (Για την κατανομ ή ErIang χρησ ι μοπο ι ήστε k = 2). 30. Σ ' ένα συγκεκρ ιμ ένο κέντρο εργασίας με μια θέση εξυπηρέτησης οι εργασίες (πελάτες) φθάνουν σύμφωνα με μ ι α κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό 8 ανά ημέρα. Αν κα ι ο ι εργασίες αυτές είναι εργασίες τριών δ ι αφορε. τικών κατηγορ ι ών, ο χρόνος που χρειάζετα ι, γ ι α να γίνει καθεμ ι ά, ακολοl} θεί την εκθετική κατανομή με μέσο 0.1 εργάσιμες ημέρες. Η μέχρ ι τώρα πρακτική είναι να γίνονται οι εργασίες σύμφωνα μ ε τ η σειρά άφιξής τους (FIFO). Όμως είναι ση μαντικό ότι ο ι εργασίες της κατηγορ ί ας Ι δεν πρέπε ι να περ ι μtνoυν πολύ, ενώ είνα ι λ ιγότερο σημαντ ι κό για τις εργασίες της κατηγορίας 2 και καθόλου για τ η ν χατη γορία 3. Ο ι τρεις αυτές κατη γορίες φθάνουν με μέ σο ρυθμό δύο, τέσσερα κα ι δύο ανά ημέρα, αντίστοι χα. 'Επειδή υπάρχουν σχετικά μεγάλες καθυστερήσεις και στ ις τρεις κατηγορίες, έχε ι προταθε ί να επιλέγονται οι εργασίες σύμφωνα με μια "ατάλλ η λη Συκρίνετε το προτερα ιότητα. μέσο χ ρ όνο αναμονής (συμπεριλαμ βανόμενου του χρόνου εξυπηρέτ η σ η ς) γ ι α καθεμιά από τις τρε ι ς κατ η γορ ί ες, αν η πε ιθαρχία ουράς είναι (α) σύμφωνα με τη σειρά άφιξ η ς, (β) σύμφωνα με μη αποκλειστικές προτεραιότητες και (γ) σύ μφωνα μ ε αποκλε ι στι"ές προτεραιότητες. 31. Ένας τεχνίτης εποπτεύει την παραγωγ ή 10 όμοιων μηχανών. Οι εργασίες που γίνονται από οπο ι αδήποτε μη χανή φθάνουν σύμφωνα με μια διαδιχασία Poisson μ ε μέσο ρυθμό 72 την ώρα. Ο χρόνος που χρε ι άζετα ι μ ι α μη χανή, για να ε"τελέσε ι μια εργασία, α " ολουθε ί μ ιαν εκθετική κοτα νομ ή μ ε μέσο 5 λεπτά. Όταν "αι ο ι 10 μηχανές είνα ι απασχολημένες, οι εργασίες συμ πλ η ρώνοντα ι κα ι είναι έτοιμες για επ ιθεώρηση με μ έσο ρυθμό 120 ανά ώρα. Δυστυχώς, όμως, ο επόπτης μπορεί να τις παρακολουθεί με μέσο ρυθμό 80 ανά ώρα. Π ΙΟ OUΥκε ιφιμένα, ο χρόνος εποπτείας του ακο-
λουθεί μια κατανομή Erlang μ ε μέσο 0.75 λεπτά και παράμετρο k = 25. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα τη δ ημι ουργία μεγάλης ποσότητας ημικατεργασμένων στη θέση εποπτείας (δη λαδή, ο μέσος αριθμός εργασιών που περιμένουν να επιθεωρηθούν ε ίνα ι αρκετά μεγάλος), πέρα από αuτή που βρίσκεται στις μη χαν ές. Η διοίκηση του εργοστασίου πιστεύε ι ότι undρxt I επενδu μένο μεγάλο κεφάλαιο σε ημικατεργασμένα και, γ ια το λόγο αuτό, ζήτησε από το διεuθuντη παραγωγής να το περιορίσε ι. Ο δ ιευθυντής παραγωγής έ κανε δύο εναλλακτικ ές προτάσει ς, γ ια να με ιώσ ει το μέσο επίπεδο του αποθέ ματος των ημικατεργασμ ένων. Η πρόταση Ι είναι νά χρ ησιμοποιείτα ι λ ιυότερη ισχύς στις μηχανές, κάτι ποι> θα αυξήσει το μέσο χρόνο εκτέλεσης μιας εργασίας σε 6 λεπτά, οπότε ο επόπτης θα σ υ μβαδίζει μ ε την παραγωγή καλύτερα. Η πρόταση 2 είναι να χρησ ιμοποιηθεί στη θέση α uτή ένας νεώτερος επόπτης. Αuτός είνα ι κάπως mo γρήγορος με χρόνο εποπτείας που ακολουθεί την κατανομή Er{ong με μέσο 0.72 λεπτά και k = 2. Ο δ ιευθυντής παραγωγής σάς ερωτά να χρησιμοποιήσετε τι ς τεχνικές της επιχειρησιακής έρευνας, γ ι α να βρείτε πόσο θα μ ειώ σει κάθε πρόταση το απόθεμα των ημικατεργασμένων. (α) Π οιο θα είνα ι το αποτέλεσμα της πρότασης Ι ; Γιατί ; Π ώς θα το εξηγήσετε στο μηχανικό παραγωγή ς; (β) Π οιο θα είνα ι το αποτέλεσμα της πρότασης 2; Πώς θα το εξηγήσετε στο μηχανικό παραγωγής ; (γ) Π οιες ε ισηγήσεις θα κάνετε, γ ια να μειωθεί το μέσο επίπεδο των ημικατεργασμ ένων στη θέση εποπτείας καθώς και στο σύνολο των μη χανών; 32. Δίνεται ένα πρότυπο με αποκλειστικtς προτερα ι ότητα; στην πε ιθαρχία οuράς, όπως αυτό του Τμήματος 8.8. Υποθέστε ότι, S = Ι, Ν = 2, (λ 1+ λ 2 ) < μ και έστω p/ j η πιθανότητα μόν ιμης κατάστασης, να υπάρχουν i μέλη με μεγαλύτερη προτεραιότητα και j μ έλη μ ε μικρότερη προτεραιότητα στο σύστημα οuράς (i = 0, 1,2,...,) = Ο, 1,2,... ). Χρησιμοποιήστε μ ια μέθοδο ανάλογη μ ε αυτή του Τμή ματος 8.5, για να προσδιορίσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, η λύση τοι> οποίοι> είνα ι τα P ίj. Μη λύσε τ ε το σύστημα. 33 Δίνεται ένα σύστη μα ουράς με μια θέση εξυπηρέτησης, είσοδος Poisson, εξuπηρέτησ η ErJang και με οuρά πφιορισμtvου μήκους. Υποθέστε ότι k = 2, ο μέσος ρυθμός αφίξεων είνα ι δύο πελάτες την ώρα, ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης εί ναι 0.25 ώρες και ο μέγιστος επιτρεπτός αρ ιθμός πελατών στο σύστημα ίσος με δύο. Προσδιορίστε την κατανομή πιθανότητας μόνιμη ς κατάστασης του αριθμού πελατών στο σύστημα κα ι μ ετά υπολογί στ ε το μέσο αριθμό. Συγκρίνετε τα α ποτελέσματα αυτά με τα αντίστοιχα της περίπτωσης, όπου ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί τη ν εκθετική κατανομή.