Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΑΣ Ουρές ή Γρές Ανονής: Φινόενο που δηιουργείτι ότν η τρέχουσ ζήτηση γι ί εξυπηρέτηση είνι εγύτερη πό την τρέχουσ ικνότητ εξυπηρέτησης του συστήτος Αντικειενικός σκοπός του προβήτος της ουράς: Ν βρεθεί ι οικονοική ισορροπί ετξύ του κόστους εξυπηρέτησης κι του κόστους νονής στην ουρά Θεωρί ουράς:. ίνει την πηροφόρηση που χρειάζετι γι ι τέτοι πόφση ε το ν προσδιορίζει τ διάφορ χρκτηριστικά του συστήτος. Πρέχει έν εγάο ριθό θητικών προτύπων γι την περιγρφή των κτστάσεων των γρών νονής ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στ εξωτερικά ιτρεί ενός νοσοκοείου υπάρχει πάντ ένς γιτρός σε υπηρεσί. Επειδή τεευτί υπάρχει υξνόενη τάση σθενών ν πηγίνουν τ έκτκτ περισττικά στ εξωτερικά ιτρεί εξετάζετι η περίπτωση ν εκχωρηθεί ένς δεύτερος γιτρός κτά τη διάρκει των περιόδων ιχής. Ο ερευνητής που νβάνει την εξέτση του προβήτος εφρόζει ενκτικά πρότυπ της θεωρίς ουράς γι ν προσδιορίσει τ χρκτηριστικά του συστήτος ε ένν κι ε δύο γιτρούς. Η ΒΑΣΙΚΗ ΟΜΗ ΤΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΟΥΡΑΣ Η Βσική ιδικσί Ουράς Πηθυσός Πετών Πεάτες Ουρά Σύστη Ουράς Μηχνισός Εξυπηρέτησης Εξυπηρετηθέντες πεάτες Πειθρχί ουράς ή Πειθρχί εξυπηρέτησης Πηθυσός Πετών έγεθος: ο συνοικός ριθός πετών. άπειρος: ο ρυθός φίξεων δεν επηρεάζετι πό τον ριθό των πετών στο σύστη. περιορισένος: ο ρυθός φίξεων επηρεάζετι πό τον ριθό των πετών στο σύστη

2 κτνοή χρόνου ετξύ διδοχικών φίξεων: π.χ. εκθετική συπεριφορά πετών: π.χ. η προσχώρηση πετών στο σύστη επειδή η ουρά είνι εγάη Ουρά έγιστος επιτρεπτός ριθός πετών. άπειρο ήκος. περιορισένο ήκος Πειθρχί Ουράς προτεριότητ ε την οποί επιέγοντι οι πεάτες στην ουρά: π.χ. εξυπηρέτηση σύφων ε τη σειρά άφιξης FIFO) κτά τυχίο τρόπο σύφων ε συγκεκριένη προτεριότητ Μηχνισός Εξυπηρέτησης έν ή περισσότερ συστήτ εξυπηρέτησης: ο πεάτης πορεί ν πρέπει ν εξυπηρετηθεί σε ι κοουθί συστηάτων εξυπηρέτησης κάθε σύστη εξυπηρέτησης έχει ί ή περισσότερες πράηες θέσεις εξυπηρέτησης κτνοή χρόνου εξυπηρέτησης γι κάθε θέση: π.χ. εκθετική εκφυισένη στθερή) Erlag Μι Στοιχειώδης ιδικσί Ουράς Εξυπηρετηθέντες πεάτες Σύστη Ουράς Πεάτες Ουρά S S Σύστη S Εξυπηρέτησης S Εξυπηρετηθέντες πεάτες Ποά πρότυπ ουράς υποθέτουν ότι όοι οι χρόνοι ετξύ διδοχικών φίξεων είνι νεξάρτητοι κι έχουν την ίδι κτνοή κι ότι όοι οι χρόνοι εξυπηρέτησης είνι νεξάρτητοι κι έχουν την ίδι κτνοή. Τέτοι πρότυπ συβοίζοντι ως εξής.

3 [Κτνοή χρόνων ετξύ διδοχικών φίξεων]/ [Κτνοή χρόνων εξυπηρέτησης]/ [Αριθός θέσεων εργσίς] όπου Μ εκθετική κτνοή Μρκοβινή) D εκφυισένη κτνοή στθεροί χρόνοι) E k κτνοή Erlag ε k φάσεις G γενική κτνοή οποιδήποτε κτνοή επιτρέπετι) Π.χ. πρότυπο Μ/Μ/s πρότυπο M/G/ κτ. Συβοισός κι Οροογί Κτάστση συστήτος ο ριθός των πετών στο σύστη Μήκος ουράς ο ριθός των πετών που περιένουν εξυπηρέτηση Ν) ο ριθός των πετών στο σύστη ουράς στο χρόνο ) ) η πιθνότητ ν υπάρχουν πεάτες στο σύστη ουράς στο χρόνο s ο ριθός των θέσεων εξυπηρέτησης στο σύστη ουράς ο έσος ρυθός φίξεων στη ονάδ του χρόνου) των νέων πετών ότν υπάρχουν πεάτες στο σύστη ο έσος ρυθός εξυπηρέτησης οόκηρου του συστήτος στη ονάδ του χρόνου) ότν υπάρχουν πεάτες στο σύστη ρ: βέπε πρκάτω ότν στθερή γι ό τ συβοίζετι ε ότν ο έσος ρυθός εξυπηρέτησης νά πσχοούενη θέση είνι στθερή γι ό τ συβοίζετι ε s ότν s / ο έσος χρόνος ετξύ διδοχικών φίξεων / ο έσος χρόνος εξυπηρέτησης ρ /s ο βθός πσχόησης του συστήτος εξυπηρέτησης δηδή το έσο ποσοστό του χρόνου που είνι πσχοηένες οι θέσεις εξυπηρέτησης ετβτική κτάστση: η κτάστση του συστήτος επηρεάζετι πό την ρχική κτάστση κι το χρόνο που έχει πρέθει πό την ένρξη ειτουργίς του συστήτος όνιη κτάστση: η κτάστση του συστήτος είνι νεξάρτητη πό την ρχική κτάστση κι το χρόνο που έχει πρέθει πό την ένρξη ειτουργίς του συστήτος

4 Συβοισός γι τη όνιη κτάστση Ν ο ριθός των πετών στο σύστη ουράς η πιθνότητ ν υπάρχουν πεάτες στο σύστη ουράς L ο έσος ριθός πετών στο σύστη L q ο έσος ριθός πετών στην ουρά W ο χρόνος νονής ενός πεάτη στο σύστη περιβάνει κι το χρόνο εξυπηρέτησης W EW) W q ο χρόνος νονής ενός πεάτη στην ουρά δεν περιβάνει το χρόνο εξυπηρέτησης) W q EW q ) Σχέσεις ετξύ L W L q κι W q Αν γι ό τ L W ο τύπος του Lil) Αν τ δεν είνι ίσ Αν γι ό τ L q W q το πορεί ν ντικτστθεί πό το έσο ρυθό φίξεων W W q ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΥΡΩΝ Επορικά συστήτ εξυπηρέτησης: π.χ. τείο σε ί τράπεζ ή έν σουπεράρκετ επισκευή οικικών συσκευών υτότοι πωητές κτ. Μετφορικά συστήτ εξυπηρέτησης: π.χ. διόδι φωτεινοί σητοδότες τροχίς ποβάθρες σε ιάνι διάδροος προσγείωσης / πογείωσης σε εροδρόιο τξί πυροσβεστικά οχήτ σνσέρ κτ. Εποροβιοηχνικά συστήτ εσωτερικής εξυπηρέτησης: π.χ. συστήτ δικίνησης υικών συστήτ συντήρησης στθοί επιθεώρησης συστήτ ηεκτρονικών υποογιστών κτ. Κοινωνικά συστήτ εξυπηρέτησης: π.χ. δικστικό σύστη νοοθετικό σύστη συστήτ υγείς π.χ. εξωτερικά ιτρεί νοσοκοεικά υτοκίνητ κτινοογικά ηχνήτ κρεβάτι νοσοκοείου) κοινωνικές εξυπηρετήσεις π.χ. εξσφάιση στέγης) κτ. Ποά ά συστήτ εξυπηρέτησης: π.χ. τηεπικοινωνικά συστήτ προσωπικές ουρές π.χ. δουειές που πρέπει ν γίνουν) κτ.

5 Ο ΡΟΛΟΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η τυχί ετβητή κοουθεί ιν εκθετική κτνοή ε πράετρο ν η συνάρτηση πυκνότητς πιθνότητάς της είνι < γι γι f Οι θροιστικές πιθνότητες είνι κι γι Η προσδοκώενη τιή κι η δικύνση είνι ) E κι ) var Ι ΙΟΤΗΤΑ. Η f ) είνι ί υστηρά φθίνουσ συνάρτηση του ) γι κι Ι ΙΟΤΗΤΑ. Έειψη νήης Απόδειξη: ) Ι ΙΟΤΗΤΑ 3. Το εάχιστο διφορετικών νεξάρτητων τυχίων ετβητών που κοουθούν ι εκθετική κτνοή κοουθεί ι εκθετική κτνοή. Απόδειξη: Έστω νεξάρτητες τυχίες ετβητές που κοουθούν ι εκθετική κτνοή ε πρέτρους ντίστοιχ. Έστω κό U mi. i i U xp ηδή το U κοουθεί ιν εκθετική κτνοή ε πράετρο i i.

6 Πρδείγτ εφρογής στην θεωρί ουράς: Αν υπάρχουν διφορετικά είδη πετών κι οι χρόνοι ετξύ διδοχικών φίξεων γι κάθε είδος κοουθούν ι εκθετική κτνοή ε πράετρο i i ) τότε. ε βάση την Ι ΙΟΤΗΤΑ σε οποιδήποτε στιγή ο υπόοιπος χρόνος έχρι την άφιξη του επόενου πεάτη του είδους i κοουθεί ιν εκθετική κτνοή ε την ίδι πράετρο i κι. ε βάση την Ι ΙΟΤΗΤΑ 3 ο χρόνος ετξύ διδοχικών φίξεων γι οόκηρο το σύστη κοουθεί ιν εκθετική κτνοή ε πράετρο. i i Αν υπάρχουν θέσεις εξυπηρέτησης κι όες οι θέσεις έχουν την ίδι εκθετική κτνοή χρόνου εξυπηρέτησης ε πράετρο τότε ε βάση τις Ι ΙΟΤΗΤΕΣ κι 3 σε οποιδήποτε στιγή ο χρόνος έχρι ν τεειώσει η επόενη εξυπηρέτηση σε οποιδήποτε πό τις θέσεις κοουθεί ιν εκθετική κτνοή ε πράετρο. Ι ΙΟΤΗΤΑ 4. Σχέση ε την κτνοή oisso Έστω ότι ο χρόνος ετξύ διδοχικών εφνίσεων ενός περισττικού άφιξη ή περάτωση εξυπηρέτησης) έχει ιν εκθετική κτνοή ε πράετρο. Τότε ο ριθός των εφνίσεων του περισττικού στο χρόνο ) X) κοουθεί ι κτνοή oisso ε πράετρο δηδή ) X ) γι! Η προσδοκώενη τιή της κτνοής oisso είνι EX) Έτσι το είνι ο έσος ριθός των περισττικών στη ονάδ του χρόνου δηδή ο έσος ρυθός ε τον οποίο συβίνουν τ περισττικά. Πρδείγτ εφρογής στην θεωρί ουράς: Αν οι χρόνοι ετξύ διδοχικών φίξεων κοουθούν ι εκθετική κτνοή ε πράετρο τότε ο ριθός των φίξεων στο χρόνο κοουθεί ι κτνοή oisso όπου κι έε ότι οι φίξεις γίνοντι ε ι διδικσί εισροής oisso. Αν υπάρχουν πράηες θέσεις εξυπηρέτησης κι οι χρόνοι εξυπηρέτησης κάθε θέσης κοουθούν ιν εκθετική κτνοή ε πράετρο τότε ο ριθός των εξυπηρετήσεων που γίνοντι πό συνεχώς πσχοηένες θέσεις στο χρόνο κοουθεί ι κτνοή oisso όπου.

7 Ι ΙΟΤΗΤΑ 5. Γι όες τις θετικές τιές του γι ικρό. Απόδειξη: )! γι ικρό όπου χρησιοποιήθηκε η ισοδυνί x x x.! Πράδειγ εφρογής στην θεωρί ουράς: Αν ο χρόνος διδοχικών περισττικών φίξεων ή ο περτώσεων εξυπηρέτησης) κοουθεί ιν εκθετική κτνοή ε πράετρο τότε η πιθνότητ ότι το περισττικό θ συβεί στο επόενο ικρό διάστη είνι. ηδή σε κάθε χρονική περίοδο στθερής διάρκεις υπάρχει η ίδι πιθνότητ ν συβεί έν περισττικό άσχετ πό το πότε έγινε το προηγούενο περισττικό. Η ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ Στ πίσι της θεωρίς ουράς Γέννηση άφιξη ενός πεάτη Θάντος νχώρηση ενός πεάτη N) η κτάστση του συστήτος ο ριθός των πετών στο σύστη) στο χρόνο ) ΥΠΟΘΕΣΗ. Αν N) η τρέχουσ κτνοή πιθνότητς του υπόοιπου χρόνου έχρι την επόενη γέννηση άφιξη) είνι εκθετική ε πράετρο ). ΥΠΟΘΕΣΗ. Αν N) η τρέχουσ κτνοή πιθνότητς του υπόοιπου χρόνου έχρι τον επόενο θάντο περάτωση εξυπηρέτησης) είνι εκθετική ε πράετρο ). ΥΠΟΘΕΣΗ 3. Κάθε φορά πορεί ν συβεί όνο ί γέννηση ή ένς θάντος. - - ιάγρ ρυθού διδικσίς γεννήσεων θνάτων

8 Η νάυση της διδικσίς γεννήσεων θνάτων είνι πού δύσκοη ότν το σύστη βρίσκετι σε ετβτική κτάστση. Υπάρχουν ορισέν ποτεέστ γι την κτνοή της πιθνότητς του N) ά είνι πούποκ γι ν έχουν πρκτική χρησιότητ. Είνι σχετικά πό ν προσδιορισθεί υτή η κτνοή ότν το σύστη έχει φτάσει σε όνιη κτάστση ειτουργίς. ΑΡΧΗ: ΡΥΘΜΟΣ ΕΙΣΟ ΟΥ ΡΥΘΜΟΣ ΕΞΟ ΟΥ: Γι κάθε κτάστση του συστήτος ) ο έσος ρυθός προσδοκώενος ριθός εφνίσεων στη ονάδ του χρόνου) ε τον οποίο συβίνουν τ περισττικά εισροής πρέπει ν είνι ίσος ε το έσο ρυθό ε τον οποίο συβίνουν τ περισττικά εκροής. εξισώσεις ισορροπίς διδικσίς γεννήσεων θνάτων Κτάστση Ρυθός εισόδου Ρυθός εξόδου ) 3 3 ) ) ) Πιθνότητ όνιης κτάστσης ) ) ) )

9 γι γι Επειδή L q s s L ) L W Wq L q Τ πρπάνω ποτεέστ βσίζοντι στην υπόθεση ότι τ κι είνι τέτοι ώστε ν πορεί η διδικσί ν φτάσει σε όνιη κτάστση ειτουργίς. Αυτό ισχύει ν γι κάποι έτσι ώστε όνο ένς πεπερσένος ριθός κτστάσεων ν είνι δυντές κι s κι ρ /s < εν ισχύει ν