Έρευνα για το Problem Posing στη διδασκαλία των Μαθηματικών

Έρευνα για το Problem Posing στη διδασκαλία των Μαθηματικών Ελένη Αποστολάκη Βασίλης Καραγιάννης Χρύσα Παπαδάκη 1. Εισαγωγή Είναι γεγονός ότι η επίλυση προβλήματος (Problem Solving) από τους μαθητές, καταλαμβάνει ένα σημαντικό κομμάτι της έρευνας στη διδακτική των μαθηματικών. Η ποιότητα και η αυθεντικότητα αυτών των προβλημάτων έχει γίνει αντικείμενο συζήτησης εδώ και αρκετά χρόνια, κάτι που είχε ως αποτέλεσμα την ενσωμάτωση μιας πλούσιας συλλογής προβλημάτων στα αναλυτικά προγράμματα και τα σχολικά εγχειρίδια. Παρόλα αυτά, ελάχιστη προσοχή έχει δοθεί στη σύνδεση των προβλημάτων με την καθημερινότητα και τα ενδιαφέροντα των ίδιων των μαθητών. Πόσο συχνά τους δίνεται η ευκαιρία να θέσουν δικά τους προβλήματα; Συνήθως καλούνται μόνο να λύσουν προβλήματα που δίνονται είτε από τον καθηγητή είτε από το σχολικό τους βιβλίο [Silver,1994]. 2. Στόχοι της έρευνας Ο βασικός στόχος της παρούσας έρευνας είναι να διερευνήσουμε τον τρόπο με τον οποίο αντιμετωπίζουν οι μαθητές του Γυμνασίου δραστηριότητες διαφορετικές από αυτές που έχουν συνηθίσει, στα πλαίσια του σχολικού προγράμματος. Υποθέτουμε ότι οι μαθητές ίσως δυσκολευτούν να χειριστούν και να αντιμετωπίσουν δραστηριότητες διαφορετικού τύπου και απαιτήσεων από αυτές που αντιμετωπίζουν καθημερινά στο μάθημα των Μαθηματικών. Επιπλέον, ίσως φανεί ότι επηρεάζονται σε μεγάλο βαθμό από τα προβλήματα του σχολικού βιβλίου. 1

Προκειμένου να διερευνηθούν οι παραπάνω υποθέσεις, δόθηκαν στους μαθητές δύο πρωτότυπες δραστηριότητες. Στην πρώτη δραστηριότητα δίνεται η περιγραφή μιας πραγματικής κατάστασης και τους ζητείται να θέσουν ερωτήματα των οποίων οι απαντήσεις να προκύπτουν από τα δεδομένα της κατάστασης. Αρχικά θέλουμε να δούμε αν οι μαθητές είναι σε θέση να κατανοήσουν τη γλώσσα της κατάστασης που τίθεται σε πραγματικό πλαίσιο και στη συνέχεια να διαχειριστούν τα δεδομένα της σε μαθηματική βάση. Δεύτερον, θέλουμε να εξετάσουμε τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές χρησιμοποιούν τις πληροφορίες της κατάστασης. Είναι οι ερωτήσεις που δημιουργούν επιλύσιμες βάσει των πληροφοριών; Θα εμφανιστεί το φαινόμενο που παρατηρείτε συχνά, οι μαθητές να υποθέτουν δεδομένα που δεν υπάρχουν, προκειμένου να θέσουν ερωτήματα που τους είναι οικεία από τα συνήθη σχολικά προβλήματα; Σε ποιο βαθμό έχουν τη δυνατότητα οι μαθητές να θέσουν συνδυαστικές, και όχι τετριμμένες, ερωτήσεις; Στη δεύτερη δραστηριότητα ζητείται από τους μαθητές να διατυπώσουν ένα πραγματικό πρόβλημα, του οποίου λύση να εκφράζεται από την εξίσωση που τους δίνεται. Στόχος μας εδώ είναι να απαντήσουμε στα εξής ερωτήματα: Μπορούν οι μαθητές να κατανοήσουν και να ακολουθήσουν μια διαδικασία αντίστροφη απ αυτή της μοντελοποίησης; Κατά πόσο το διατυπωμένο πρόβλημα έχει πραγματικό πλαίσιο; Πόσο πλούσιο είναι το σενάριό; Είναι επηρεασμένο από τα προβλήματα του σχολικού βιβλίου; Σημαντική βέβαια, είναι η μαθηματική ορθότητα του διατυπωμένου προβλήματος. Κοινός στόχος και των δύο δραστηριοτήτων είναι να διακρίνουμε τον τρόπο σκέψης των μαθητών και τις διαδικασίες που ακολουθούν προκειμένου να απαντήσουν στις δραστηριότητες. 3. Θεωρητικό Πλαίσιο Σύγχρονες κονστρουκτιβιστικές θεωρίες μάθησης και διδασκαλίας τονίζουν την αναγκαιότητα της δημιουργίας προβλημάτων από τους ίδιους τους μαθητές ως μια βασική συνιστώσα της εκπαίδευσης και της μάθησης. Το Problem Posing έχει αναδειχθεί από κάποιους διακεκριμένους 2

επιστήμονες των Μαθηματικών και της Διδακτικής των Μαθηματικών (π.χ. Freudental,1973,Polya,1954), και πλέον γίνεται όλο και περισσότερο λόγος για την εμπλοκή αυτού στα αναλυτικά προγράμματα (π.χ. NCTM,1989,1991). Σχετικές έρευνες προτείνουν να δοθεί έμφαση στην κατασκευή προβλημάτων από δοθείσες καταστάσεις, αλλά και στην τροποποίηση κάποιων υποθέσεων δοθέντων προβλημάτων. Σύμφωνα με τον E.A. Silver (1994), η προφανής σύνδεση ανάμεσα στην κατασκευή προβλημάτων και τη δημιουργικότητα, φαίνεται από το γεγονός ότι τέτοιες δραστηριότητες περιλαμβάνονται σε τεστ που στοχεύουν να αναδείξουν άτομα με δημιουργικότητα. Για παράδειγμα ο Balka [1974] ζητούσε από τους συμμετέχοντες να δημιουργήσουν μαθηματικά προβλήματα που μπορούσαν να απαντηθούν από δοθείσες πληροφορίες πάνω σε καταστάσεις που συμβαίνουν στον πραγματικό κόσμο. Η ανάλυση των αποτελεσμάτων λάμβανε υπ όψιν τρείς παραμέτρους: την ευχέρεια, την ευελιξία και την πρωτοτυπία. H ευχέρεια αναφέρεται στο πλήθος των προβλημάτων που διατυπώθηκαν, η ευελιξία στο πλήθος των διαφορετικών κατηγοριών προβλημάτων και η πρωτοτυπία στο πόσο σπάνια ήταν αυτά. Αναλύσεις τέτοιου είδους χρησιμοποιούνται συχνά σε τεστ δημιουργικότητας και συγκλίνουν σε μεγάλο βαθμό με τον τρόπο ανάλυσης που ακολουθήθηκε στην παρούσα εργασία. Από την άλλη μεριά, η σύνδεση ανάμεσα στη δημιουργικότητα και την κατασκευή προβλημάτων από τους μαθητές, για κάποιους παραμένει ασαφής (π.χ. Haylock, 1987). Είναι γεγονός ότι οι διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα κατά τη δημιουργία προβλημάτων, είναι ένα κεντρικό ζήτημα στην επιστήμη της μαθηματικής σκέψης. Αυτό έρχεται να ισχυροποιήσει το επιχείρημα υπέρ της στόχευσης της έρευνας και των αναλυτικών προγραμμάτων στο Problem Posing. Ο Poincare [1948] αναφέρει ότι οι μαθηματικοί μπορεί να ασχολούνται με την επίλυση προβλημάτων που έχουν τεθεί από άλλους, είτε με προβλήματα που η βιβλιογραφία τονίζει ως σημαντικά, αλλά είναι πιο συνηθισμένο να διατυπώνουν οι ίδιοι προβλήματα βασισμένα στις προσωπικές τους εμπειρίες και ενδιαφέροντα. Ο Silver τονίζει ότι, αν θεωρήσουμε σκοπό της μαθηματικής εκπαίδευσης την παροχή αυθεντικών εμπειριών στους μαθητές, όπως εκείνων που χαρακτηρίζουν τη δραστηριότητα ενός επαγγελματία μαθηματικού, τότε πρέπει να αναγνωρίσουμε το Problem 3

Posing ως μια βασική συνιστώσα για τον προφανή της ρόλο στην ίδια τη δημιουργία των μαθηματικών. Εδώ και πολύ καιρό έχει αναγνωρισθεί ο ρόλος του Problem Posing ως βοηθητικό μέσο για να αναγνωρίζουν οι μαθητές πιο άμεσα διάφορες σχέσεις και γεγονότα που εμπίπτουν σε καταστάσεις. Κατά τη δημιουργία προβλημάτων οι μαθητές, ουσιαστικά, καλούνται να ερμηνεύσουν και να μαθηματικοποιήσουν καταστάσεις, χρησιμοποιώντας μαθηματικές ιδέες και σχέσεις. Κάτι τέτοιο, θα βοηθούσε να ξεπεράσουν τη δυσκολία που έχουν στο να συνδέουν τα μαθηματικά με μια πραγματική κατάσταση, με εύλογο τρόπο. Υπάρχουν τέλος, διάφορες πτυχές του Problem Posing που θεωρείται ότι έχουν άμεση σχέση με τη διάθεση των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά ή όπως αναφέρεται και στο Curriculum and evaluation standard: «Στους μαθητές πρέπει να δίνεται η ευκαιρία να κατασκευάζουν προβλήματα και ερωτήσεις που προκύπτουν από τα δικά τους ενδιαφέροντα.» [NCTM,1989]. Εν ολίγοις, είναι φανερό ότι δραστηριότητες στο Problem Posing παρέχουν στους ερευνητές εφ ενός ένα παράθυρο για τη μαθηματική σκέψη και τις μαθηματικές εμπειρίες των μαθητών, αφ εταίρου ένα πλούσιο υλικό για τη διερεύνηση της σχέσης γνωστικών και συναισθηματικών παραμέτρων στη μάθηση των μαθηματικών. Αυτές τις σχέσεις και τις διαφορετικές όψεις του Problem Posing θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε στην ανάλυση της διδακτικής παρέμβασης που πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια αυτής της εργασίας. 4. Μέθοδολογία 4.1 Συμμετέχοντες Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας επισκεφθήκαμε το 41ο Γυμνάσιο Αθήνας. Στην έρευνα συμμετείχαν τρία τμήματα, ένα από κάθε τάξη. Διεξήχθησαν τρεις παρεμβάσεις, μια για κάθε τάξη, διάρκειας μιας διδακτικής ώρας. Συνολικά οι μαθητές ήταν 67. Το τμήμα της Α' Γυμνασίου είχε 20 μαθητές (Μ.Ο. ηλικίας 13 ετών), της Β' είχε 22 (Μ.Ο. ηλικίας 14 ετών) και της Γ' είχε 25 (Μ.Ο. ηλικίας 15 ετών). Οι μισοί μαθητές περίπου, 4

ήταν Ελληνικής καταγωγής ενώ οι άλλοι μισοί ήταν παιδία μεταναστών διαφόρων εθνικοτήτων. 4.2 Υλικά Στους μαθητές δόθηκε ένα φύλλο εργασίας με τις δύο δραστηριότητες. Οι δραστηριότητες ήταν διαφορετικού επιπέδου για κάθε τάξη αλλά πραγματεύονταν το ίδιο αντικείμενο και είχαν τον ίδιο ερευνητικό στόχο. Η πρώτη δραστηριότητα αφορούσε, αυτό που βάσει των ερευνών που αναφέρονται στο θεωρητικό πλαίσιο ονομάζεται Problem Posing, δηλαδή τη διατύπωση ερωτήσεων δεδομένης μιας προβληματικής κατάστασης. Η δεύτερη δραστηριότητα αφορούσε τη διατύπωση, από μέρους των μαθητών, ενός προβλήματος δεδομένης της αλγεβρικής εξίσωσης μέσω της οποίας επιλύεται. Για τη Β Γυμνασίου οι δραστηριότητες ήταν οι παρακάτω: ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1 η Μια συνέπεια του φαινομένου του θερμοκηπίου είναι το λιώσιμο των πάγων. 12 χρόνια μετά το λιώσιμο των πάγων, μικρά φυτά όπως οι λειχήνες, αρχίζουν να φυτρώνουν στους βράχους. Μια λειχήνα αναπτύσσεται σε κυκλικό σχήμα και η διάμετρός της αυξάνεται κατά 6,5 mm κάθε χρόνο. Ένας περιβαλλοντολόγος επισκέφτηκε τις Σκανδιναβικές χώρες το 2003. Σε μια περιοχή της Νορβηγίας μέτρησε τη διάμετρο μιας λειχήνας και βρήκε ότι ήταν 32,5 mm. Σε μια περιοχή της Φινλανδίας που επισκέφτηκε, οι πάγοι έλιωσαν το 1988. Γράψτε δύο διαφορετικές ερωτήσεις που μπορούν να απαντηθούν με βάση τις προηγούμενες πληροφορίες. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2 η Σε ένα τμήμα της Β' Γυμνασίου ο καθηγητής των Μαθηματικών έδωσε στους μαθητές ένα πρόβλημα για να το επιλύσουν με χρήση εξίσωσης. Κατά την επίλυσή του προέκυψε η εξίσωση: 4x 2 50 5

Δημιουργήστε ένα δικό σας πρόβλημα που να εκφράζεται με την παραπάνω εξίσωση. Προσπαθήστε να είναι όσο το δυνατόν πιο ρεαλιστικό. Ως προς την 1 η δραστηριότητα, στην Α Γυμνασίου οι πληροφορίες της προβληματικής κατάστασης ήταν λιγότερες, ενώ στη Γ περισσότερες, με σκοπό να προκαλέσουμε τους μαθητές να δημιουργήσουν πιο σύνθετες ερωτήσεις. Ως προς τη 2 η δραστηριότητα, η εξίσωση στην Α Γυμνασίου ήταν 210: x 35, ενώ στη Γ x x 1 25. 4.3 Διαδικασία Οι μαθητές και στις τρεις τάξεις χωρίστηκαν σε ομάδες των 3 ή 4 ατόμων. Η παρέμβαση έγινε κατά τη διάρκεια του κανονικού σχολικού προγράμματος και διήρκησε μία διδακτική ώρα (περίπου 45'). Όλες οι ομάδες ηχογραφήθηκαν για τους σκοπούς της παρούσας μελέτης. Από τους μαθητές ζητήθηκε να σκέφτονται φωναχτά, να σχολιάζουν και να συζητούν όλες τις απόψεις και σκέψεις τους. 5. Αποτελέσματα 5.1 Διδακτικά Επεισόδια Κατά τη διεξαγωγή των παρεμβάσεων, εξελίχθησαν ορισμένα ενδιαφέροντα διδακτικά επεισόδια. Εδώ επιλέξαμε και παρουσιάζουμε ένα από αυτά. Ας δούμε αρχικά ένα απόσπασμα (Μ1, Μ2: μαθητές, Ε: εκπαιδευτικός): Μ1: Πρώτα απ όλα ας το πούμε, ξέρω γω, με μήλα μέσα. Να ναι εύκολο. Όπως έχει και το βιβλίο. Ε: Όχι απαραίτητα ένα εύκολο. Κάποιο που να σας ενδιαφέρει Μ2: Ε τότε τι?! Να κάνουμε με ποδόσφαιρο?! Μ1: Ένας παίκτης έβαλε 4 γκολ συν y κι άλλα δύο... Μ1: Δε γίνεται με τα γκολ. Μ2: Γιατί; Μ1: Δε βολεύει η εξίσωση 6

Μ2: Ααα. Μ1: Ένας παίκτης έβαλε 4 γκολ συν χ. Κι ένα άλλος έβαλε δύο. Πόσα έχουν βάλει συνολικά?... Μ1: Ναι δε γίνεται έτσι. Θα βάλουμε το 4 να είναι το σεζόν. Το 4 θα είναι το σεζόν.... Μ2: Να το κάνουμε με κόκκινες και κίτρινες κάρτες. Μ1: Το 4 θα είναι οι κίτρινες και το 2 θα είναι οι κόκκινες Παρατηρούμε ότι οι μαθητές τείνουν να επαναπαυθούν στην ασφάλεια των σχολικών προβλημάτων. Οταν παρεμβαίνει ο εκπαιδευτικός για να τους ωθήσει να βρουν ένα δικό τους παράδειγμα, ενεργοποιείται ο μαθητής Μ2, που μέχρι εκείνη τη στιγμή δεν είχε κάνει καμία παρέμβαση και προτείνει το πλαίσιο του προβλήματος να είναι ποδοσφαιρικό. Φαίνεται ότι οι μαθητές δε βλέπουν την επίλυση προβλήματος με εξισώσεις, ως μια διαδικασία χρήσιμη σε συνθήκες της δικής τους πραγματικότητας. Το ποδόσφαιρο περιλαμβάνεται σ αυτή, παίζει γι αυτούς σημαντικό ρόλο, είναι κομμάτι της ψυχαγωγίας και άρα δε γίνεται να έχει μαθηματικό περιεχόμενο. Όταν η ομάδα αρχίζει να επεξεργάζεται ένα πρόβλημα ποδοσφαιρικού περιεχομένου, το καινούργιο πλαίσιο τους ενεργοποιεί, είναι οικείο, είναι κάτι με το οποίο ασχολούνται οι ίδιοι και γνωρίζουν τη γλώσσα του. 5.2 Ποσοτική Ανάλυση Με γνώμονα την ανάλυση των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από σχετικές μελέτες (E.A. Silver and J.Cai), οι απαντήσεις των μαθητών κατηγοριοποιήθηκαν ως εξής: Στην 1η Δραστηριότητα, οι ερωτήσεις που έθεσαν οι μαθητές χωρίστηκαν αρχικά σε δύο κατηγορίες: μαθηματικές και μη μαθηματικές. Οι μαθηματικές χωρίστηκαν σε επιλύσιμες και μη-επιλύσιμες. Ως μηεπιλύσιμες, θεωρήσαμε τις ερωτήσεις που δε μπορούσαν να απαντηθούν με βάση τις πληροφορίες που είχαν δοθεί. Οι επιλύσιμες, εξετάστηκαν ως προς τη μαθηματική πολυπλοκότητα (πλήθος των πράξεων που απαιτούνται για 7

την επίλυσή τους) και τη γλωσσική πολυπλοκότητα (υπολογιστικές assignments, συσχέτισης relational και διερευνητικές conditional). Στηριχθήκαμε στο μοντέλο που είχε χρησιμοποιηθεί σε προηγούμενες μελέτες π.χ.mayer, Lewis, Hegarty, 1992). Αντίστοιχα, οι μη-επιλύσιμες χωρίστηκαν σε ασαφής και σε ερωτήσεις που δημιουργήθηκαν με λανθασμένη χρήση δεδομένων. Στη 2η Δραστηριότητα, τα προβλήματα που διατύπωσαν οι μαθητές κατηγοριοποιήθηκαν σε εκείνα που ανταποκρίνονται στη δοθείσα εξίσωση και σε εκείνα που δεν ανταποκρίνονται. Και οι δύο αυτές κατηγορίες χωρίστηκαν περεταίρω σε προβλήματα ρεαλιστικά και μη-ρεαλιστικά, πρωτότυπα και μη-πρωτότυπα. Παραδείγματα ερωτήσεων που διατύπωσαν οι μαθητές, ανά κατηγορία: 1η Δραστηριότητα Μη μαθηματική : «Πού και πότε εμφανίστηκε η λειχήνα;» Μη επιλύσιμη : «Πότε η λειχήνα θα γίνει 65mm;» Μαθηματική επιλύσιμη υπολογιστική (Γ τάξη): «Πότε έλειωσαν οι πάγοι στη Νορβηγία;» Μαθηματική επιλύσιμη συσχετιστική (Γ τάξη): «Ποια είναι η διαφορά του μεγέθους της λειχήνας στη Νορβηγία και στη Φινλανδία το 2009;» 2η Δραστηριότητα Δεν ανταποκρίνεται στην αλγεβρική εξίσωση, αλλά είναι πρωτότυπο (Α' τάξη): «Ένας υπάλληλος παίρνει το μήνα 210 Ευρώ. Με την κρίση μειώθηκε κατά x Ευρώ και τώρα παίρνει 35 Ευρώ το μήνα. Πόσα Ευρώ θα είναι το x;» Να αναφέρουμε ότι η εξίσωση που δόθηκε στην Α Γυμνασίου ήταν 210 : x 35. Στους παρακάτω πίνακες παρουσιάζονται κατηγοριοποιημένες οι απαντήσεις των μαθητών, σε απόλυτα νούμερα και ποσοστά, όπως προέκυψαν μετά από την επεξεργασία των φύλλων εργασίας όλων των ομάδων κάθε τάξης. 8

Σύνολο Σύνολο Σύνολο Σύνολο Δραστηριότητα 1η Μαθηματικές Επιλύσιμες Μη επιλύσιμες Μη μαθηματικές Μαθηματική πολυπλοκότητα Γλωσσική πολυπλοκότητα Ασαφείς Λανθασμένη χρήση δεδομένων 1 πρ. 2 πρ. 3 πρ. 4 πρ. Υπολογιστικές Συσχέτισης Διερευνητικές Α' Τάξη 0 1 1 5 1 8 0 0 3 1 12 Β' Τάξη 1 2 0 5 1 7 1 0 3 0 12 Γ' Τάξη 1 0 2 3 6 11 0 0 0 0 12 Σύνολο 2 3 3 13 8 26 1 0 6 1 36 Δραστηριότητα 1η Μαθηματικές Επιλύσιμες Μη επιλύσιμες Μη μαθηματικές Μαθηματική πολυπλοκότητα Γλωσσική πολυπλοκότητα Ασαφείς Λανθασμένη χρήση δεδομένων 1 πρ. 2 πρ. 3 πρ. 4 πρ. Υπολογιστικές Συσχέτισης Διερευνητικές Α' Τάξη 0,0% 8,3% 8,3% 41,7% 8,3% 66,7% 0,0% 0,0% 25,0% 8,3% 100% Β' Τάξη 8,3% 16,7% 0,0% 41,7% 8,3% 58,3% 8,3% 0,0% 25,0% 0,0% 100% Γ' Τάξη 8,3% 0,0% 16,7% 25,0% 50,0% 91,7% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 100% Σύνολο 5,6% 8,3% 8,3% 36,1% 22,2% 72,2% 2,8% 0,0% 16,7% 2,8% 100% Δραστηριότητα 2η Χωρίς απάντηση Ανταποκρίνεται Δεν ανταποκρίνεται Ρεαλιστικό Μη ρεαλιστικό Πρωτότυπο Μη πρωτότυπο Ρεαλιστικό Μη ρεαλιστικό Πρωτότυπο Μη πρωτότυπο Α' Τάξη 0 5 0 3 2 1 0 1 0 6 Β' Τάξη 0 5 0 3 2 1 0 1 0 6 Γ' Τάξη 2 2 0 0 2 2 0 1 1 6 Σύνολο 2 12 0 6 6 4 0 3 1 18 Δραστηριότητα 2η Χωρίς απάντηση Ανταποκρίνεται Δεν ανταποκρίνεται Ρεαλιστικό Μη ρεαλιστικό Πρωτότυπο Μη πρωτότυπο Ρεαλιστικό Μη ρεαλιστικό Πρωτότυπο Μη πρωτότυπο Α' Τάξη 0,0% 83,3% 0,0% 50,0% 33,3% 16,7% 0,0% 16,7% 0,0% 100,0% Β' Τάξη 0,0% 83,3% 0,0% 50,0% 33,3% 16,7% 0,0% 16,7% 0,0% 100,0% Γ' Τάξη 33,3% 33,3% 0,0% 0,0% 33,3% 33,3% 0,0% 16,7% 16,7% 100,0% Σύνολο 11,1% 66,7% 0,0% 33,3% 33,3% 22,2% 0,0% 16,7% 5,6% 100,0% Παρατηρώντας τους πίνακες: Στην πρώτη δραστηριότητα, όλες σχεδόν οι μαθηματικές επιλύσιμες ερωτήσεις ήταν υπολογιστικές. Στη Γ' τάξη η μαθηματική πολυπλοκότητα των ερωτημάτων είναι εμφανώς μεγαλύτερη σε σχέση με τις δύο άλλες τάξεις. Επιπλέον, στη Γ' τάξη δεν βρέθηκαν μαθηματικές μη-επιλύσιμες ερωτήσεις. Οι μη-μαθηματικές ερωτήσεις συνολικά, ήταν ελάχιστες (2/36). Όλες οι ομάδες και στις τρεις τάξεις έγραψαν δύο ερωτήματα, που σημαίνει ότι χειρίστηκαν με αρκετά μεγάλη ευχέρεια τον άγνωστο γι' αυτούς τύπο δραστηριότητας. Επιπλέον, καμία ομάδα δεν έθεσε κάποιο ερώτημα υιοθετώντας δικά της δεδομένα, δηλαδή δεδομένα που δεν δίνονταν. Όσον αφορά τη δεύτερη δραστηριότητα, εκπλήσσει το γεγονός ότι στη Γ' τάξη δε βρέθηκε κανένα πρωτότυπο πρόβλημα που να ανταποκρίνεται στη δοθείσα εξίσωση. Όλα τα προβλήματα και των τριών τάξεων είχαν ρεαλιστικό περιεχόμενο. Στην Α' και τη Β' τάξη όλες οι ομάδες διατύπωσαν κάποιο πρόβλημα, ενώ στην Γ' τάξη δύο από τις έξι ομάδες δεν διατύπωσαν καν πρόβλημα. 9

6. Συμπεράσματα σκέψεις Τα αποτελέσματα της παρούσας έρευνας, σε κάποιες περιπτώσεις συμφωνούν με τις αρχικές μας υποθέσεις, ενώ σε κάποιες άλλες μας εκπλήσσουν ευχάριστα. Παρατηρήσαμε ότι όντως, οι περισσότερες ερωτήσεις που έθεσαν οι μαθητές ήταν υπολογιστικού χαρακτήρα. Μόνο μία ερώτηση ήταν συσχετιστική, ενώ δεν υπήρξε καμία ερευνητικού τύπου. Επιπλέον, από τη σύγκριση των ερωτήσεων που τέθηκαν από τις ομάδες της εκάστοτε τάξης, παρατηρούμε ότι οι περισσότερες από αυτές μοιάζουν μεταξύ τους. Αυτό μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο τύπος και το ύφος των ερωτήσεων που έχουν συνηθίσει να συναντούν τα παιδιά, τα κάνει να αντιλαμβάνονται και να χειρίζονται τα δεδομένα που τους δίνονται με έναν πολύ συγκεκριμένο και καθοδηγητικό τρόπο. Από την άλλη μεριά, κάτι που δεν περιμέναμε ήταν πως όλες οι ομάδες που διατύπωσαν κάποιο πρόβλημα, κατάφεραν να είναι τοποθετημένο σε πραγματικό πλαίσιο. Το αρνητικό συμπέρασμα της έρευνας είναι ότι οι μαθητές, καθώς προχωρούν σε μεγαλύτερες τάξεις, χάνουν την αυθεντικότητα και τον αυθορμητισμό στη διατύπωση προβλημάτων. Οι μαθητές στην Α' Γυμνασίου διατυπώνουν προβλήματα τα οποία έχουν πρωτότυπο σενάριο. Αντίθετα, οι μαθητές της Γ διατυπώνουν προβλήματα που παρουσιάζουν μεγάλη ομοιότητα με αυτά του σχολικού βιβλίου. Ίσως να οφείλεται στο γεγονός ότι καθώς αυξάνεται η εμπειρία τους, όσον αφορά τα μαθηματικά προβλήματα, η επιρροή που δέχονται, όχι σκόπιμα, στο επίπεδο της δημιουργικότητας είναι μεγάλη. Σε γενικότερο πλαίσιο, αυτό που παρατηρήθηκε ήταν ότι οι μαθητές λειτούργησαν πλήρως ομαδοσυνεργατικά. Έδειξαν ιδιαίτερο ενθουσιασμό στις νέες αυτές προσεγγίσεις των μαθηματικών και βρήκαν μεγάλο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά μέσω αυτών. Από συζητήσεις που έγιναν με τους μαθητές, οι ίδιοι δήλωσαν ότι «ήταν εξαιρετικά ενδιαφέρον να ασχολείσαι με κάτι που σε κάνει να δεις ότι τα μαθηματικά έχουν όντως σχέση με την πραγματικότητα και ότι δεν είναι κάτι τελείως άσχετο με αυτή». Θετικό ήταν επίσης ότι όλοι οι μαθητές, ανεξαρτήτως γνωστικού 10

επιπέδου, συμμετείχαν ενεργά στη διαμόρφωση των απαντήσεων, κάτι το οποίο δε συμβαίνει στις καθημερινές διδασκαλίες. Σε σχέση με την υπόθεση ότι οι μαθητές ίσως συναντούσαν δυσκολία στην κατανόηση της γλώσσας, μία πιο προφανής έκφραση αυτού του φαινομένου ήταν στην περίπτωση μαθητών διαφορετικής εθνικότητας. Και εκεί όμως, οι συγκεκριμένοι μαθητές, με τη βοήθεια συμμαθητών της ομάδας τους, κατάφεραν να υπερπηδήσουν τα γλωσσικά εμπόδια και να απαντήσουν με σχετική ευχέρεια στις δραστηριότητες. Φαίνεται λοιπόν, πως αυτό που καμιά φορά «μεταφράζεται» ως δυσκολία αντιμετώπισης και επίλυσης ενός προβλήματος με μαθηματικό τρόπο, στην ουσία είναι κάτι πιο στοιχειώδες και προαπαιτούμενο: η κατανόηση της κατάστασης που έχουν να αντιμετωπίσουν. Εν κατακλείδι, η ενασχόληση των μαθητών με τέτοιου τύπου δραστηριότητες, ενδεχομένως να συμβάλλει στο να δουν με διαφορετική ματιά την επίλυση προβλήματος, ίσως μεταγνωστική. Δηλαδή την επίλυση προβλήματος όχι σαν μια ενιαία προκαθορισμένη διαδικασία, αλλά σαν μια διαδικασία με διακριτά στοιχεία, το μαθηματικό μοντέλο και την πραγματική κατάσταση, τα οποία μπορούν και να εναλλάσονται. Επιπλέον το πλαίσιο της ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας, με αντικείμενο ένα ανοικτού τύπου πρόβλημα, είναι δυνατόν να επιτύχει την ενεργό συμμετοχή όλων των μαθητών. Τέλος η όλη διαδικασία μπορεί να τους οδηγήσει σε μια νέα νοηματοδότηση των ίδιων των μαθματικών, ως κάτι με το οποίο μπορούν να ασχοληθούν ενεργά, να εξασκήσουν τη φαντασία τους και να κατανοησούν πράγματα που στα πλαίσια της καθημερινής διδασκαλίας τους φαίνονται ξένα. Βιβλιογραφία [1]The art of problem posing, Stephen I. Brown, Marion I. Walter, 2004 [2]On mathematical problem posing, Edward A. Silver - For the learning of mathematics, 1994 11

[3]The development of Mathematical Problem Posing Skills for Prospective Middle School Teachers, Reda Abu-Elwan, Mathematics Education, Sultan Qaboos University, Muscat, Sultant of Oman [4]Fostering Creativity through Instruction Rich in Mathematical Problem Solving and Problem Posing, Edward A. Silver, Pittsburgh (USA) [5]Research on Mathematics Instruction Experiment Based Problem Posing, Xiaogang Xia, Chuanhan Lu, Bingyi Wang, Guizhou Normal University, China, 2008 [6]Αn analysis of arithmetic Problem Posing by Middle School students, Edward A. Silver and Jinfa Cai [7]Posing mathematical problems: An exploratory study, Edward A. Silver, Joanna Mamona-Downs, Shukkwan S. Leung, Patricia Ann Kenney, 1996 [8]Children's Problem Posing within Formal and Informal Contexts, Lyn D. English, 1998 [9]Learning to Pose Mathematical Problems: Exploring Changes in Preservice Teachers' Practices, Sandra Crespo, 2003 [10]Η κατανόηση της Άλγεβρας, Lauren B. Resnick, Evelyne Cauzinille- Marmeche, Jacques Mathieu Abstract In the present study we intend to examine whether Junior High school students are able to confront problems and tasks whose subject is out of the typical frame of the analytical school program. In this experimental study we examine, using worksheets, the way in which Junior High school students confront unconventional tasks. Our basic hypothesis is that the students will find some difficulty in resolving such tasks, mainly because of their previous knowledge on the usual school mathematical problems they have been given, as also on the way these problems are being solved. We ve come up to the conclusion that students faced the Problem Posing task with greater success, while instead they faced some difficulty in the second task, that of the reversed modeling procedure. 12

Ελένη Αποστολάκη Μαθηματικός, Μεταπτυχιακή φοιτήτρια στη «Διαδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Γ.Παπανδρέου 15 ΤΚ 15771 Ζωγράφου Αθήνα τηλ: 6942408586 e-mail: el.apostolaki@gmail.com Βασίλης Καραγιάννης Μαθηματικός, Καθηγητής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, Μεταπτυχιακός φοιτητής στη «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Φωκίωνος Νέγρη 57 ΤΚ 11361 Αθήνα τηλ: 6977404328 e-mail: vasilis_karagiannis@yahoo.gr Χρύσα Παπαδάκη Πτυχιούχος της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Ε.Μ.Π., Μεταπτυχιακή φοιτήτρια στη «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Μεσολογγίου 11 ΤΚ 16231 Βύρωνας τηλ: 6932521762 e-mail: chrissapap88@hotmail.com 13