Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Τοπικοί Μετασχηματισμοί εδομένου γραφήματος G(V, E): ιαγραφή / προσθήκη ακμής e: G e και G+e ιαγραφή κορυφής v: G v Αφαιρούμε v και όλες τις ακμές που προσπίπτουν στη v. Υποδιαίρεση ακμής {u, v}: νέα κορυφή w«παρεμβάλλεται» στην {u, v} και έχουμε {u, w}, {w, v} αντί της {u, v}. Απλοποίηση σειράς (κορυφής w βαθμού 2): ακμές {u, w}, {w, v} αντικαθίστανται από {u, v}. k-οστή δύναμη του G: G k Ίδιο σύνολο κορυφών V. Κορυφές u και v ενώνονται με ακμή στο G k ανν συνδέονται με μονοπάτι μήκους k στο G. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 2

Σύμπτυξη Ακμής Σύμπτυξη (contraction) ακμής {u, v}: Αντικατάσταση u, v από μία νέα κορυφή uv. Κάθε ακμή {x, u} / {x, v} αντικαθίσταται από ακμή {x, uv}. Ακμή {u, v} και πιθανές παράλληλες ακμές παραλείπονται (εκτός αν θεωρούμε πολυγραφήματα). ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 3

Σύνδεση Γραφημάτων Σύνδεση (join) G*H δύο γραφημάτων G και H: ιατηρούμε τα γραφήματα G και H ως έχουν. Συνδέουμε όλες τις κορυφές του G με όλες τις κορυφές του H. G G H H ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 4

Γινόμενο Γραφημάτων Γινόμενο (product) G H δύο γραφημάτων G και H: Ένα αντίγραφο του H για κάθε κορυφή του G. Αντίστοιχες κορυφές δύο αντιγράφων του H συνδέονται ανν αντίστοιχες κορυφές G συνδέονται με ακμή. G H ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 5

Αναπαράσταση Γραφημάτων με πίνακα γειτνίασης: Αν έχουμε βάρη, (Απλό) μη κατευθυνόμενο: συμμετρικός, διαγώνιος 0. Άθροισμα στοιχείων γραμμής (στήλης): βαθμός κορυφής. 1 3 5 2 4 6 ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 6

Αναπαράσταση Γραφημάτων με πίνακα γειτνίασης: Αν έχουμε βάρη, Άθροισμα στοιχείων γραμμής / στήλης σε κατευθυνόμενο: έξω-βαθμός / έσω-βαθμός κορυφής. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 7

Πίνακας Γειτνίασης Α k [u i, u j ] = #διαδρομών u i u j μήκους k(απλά γραφήματα). Απόδειξη με επαγωγή και πολλαπλασιασμό πινάκων. ιαγώνιος τετραγώνου (μη κατευθυνόμενα): Α 2 [u i, u i ] = βαθμός(u i ). Α 3 [u i, u i ] = 2 #τριγώνων που συμμετέχει u i. Πλήθος τριγώνων = Υ[u i, u j ] = #διαδρομών u i u j μήκους n 1. Μονοπάτια έχουν μήκος n 1, και διαδρομή ανν μονοπάτι. Γράφημα συνεκτικό ανν όλα τα στοιχεία του Υθετικά(> 0). Μήκος ελάχιστου (#ακμών) u i u j μονοπατιού: Ελάχιστη τιμή k ώστε Α k [u i, u j ] > 0. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 8

Πίνακας Πρόσπτωσης 2 7 1 3 6 8 10 9 5 4 1,2 1,5 1,6 2,3 2,7 3,4 3,8 4,5 4,9 5, 10 6,8 6,9 7,9 7, 10 8, 10 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 9

Αναπαράσταση Γραφημάτων Στον υπολογιστή: με λίστα γειτνίασης: γειτονικές κορυφές σε λίστα. Βάρη αποθηκεύονται στους κόμβους της λίστας. 1 2 3 / 1 3 5 2 3 1 3 / 1 2 4 5 / 4 3 6 / 2 4 6 5 3 / 6 4 / ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 10

Αναπαράσταση Γραφημάτων Στον υπολογιστή: με λίστα γειτνίασης: γειτονικές κορυφές σε λίστα. Βάρη αποθηκεύονται στους κόμβους της λίστας. Αλγόριθμοι συνήθως λειτουργούν κατά γειτονιές. Οικονομία χώρου. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 11

Ισομορφικά Γραφήματα Γραφήματα G(V G, E G ) και H(V H, E H ) είναι ισομορφικά ανν υπάρχει 1-1 και επί συνάρτηση f: V G V H (ισομορφισμός) ώστε για κάθε u, v V G, {u, v} E G ανν {f(u), f(v)} E H Υπάρχει αντιστοιχία κορυφών που διατηρεί τη γειτονικότητα. Ισομορφισμός αποτελεί σχέση ισοδυναμίας. Αναλλοίωτη ιδιότητα: ισομορφικά γραφήματα «συμφωνούν». Όλες οι σημαντικές ιδιότητες: #κορυφών, #ακμών, βαθμοί, συνεκτικότητα, κύκλος Euler και Hamilton, χρωματικός αριθμός,... Πως αποδεικνύουμε ότι δύο γραφήματα ισομορφικά: Βρίσκουμε ισομορφισμό και ελέγχουμε ότι διατηρεί γειτονικότητα. Αποδεικνύουμε ότι τα συμπληρωματικά τους είναι ισομορφικά. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 12

Ισομορφικά Γραφήματα ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 13

Ισομορφικά Γραφήματα Πως αποδεικνύω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά: Βρίσκω μια αναλλοίωτη ιδιότητα στην οποία «διαφωνούν». Να βρούμε όλα τα μη ισομορφικά συνεκτικά γραφήματα με 6 κορυφές, 4 κορ. βαθμού 3 και 2 κορ. βαθμού 4. Μεθοδολογία απόδειξης ότι μια ιδιότητα είναι αναλλοίωτη. Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα: γράφημα ισομορφικό με το συμπληρωματικό του. Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα έχει n(n-1)/4 ακμές. Αυτοσυμπληρωματικά γραφήματα υπάρχουν μόνο αν n ή n-1 είναι πολλαπλάσιο του 4. ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 16

Αυτοσυμπληρωματικά Γραφήματα Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα: γράφημα ισομορφικό με το συμπληρωματικό του. Αυτοσυμπληρωματικό γράφημα έχει n(n-1)/4 ακμές. Υπάρχουν αυτοσυμπληρωματικά γραφήματα για: n = 1: μεμονωμένη κορυφή. n = 4: μονοπάτι μήκους 3 n = 5, 8, 9, : ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 17

Αυτομορφισμός Ισομορφισμός ενός γραφήματος στον εαυτό του. Εκφράζει «συμμετρία» γραφήματος: αντιστοιχία κορυφών με βάση τους «ρόλους» τους διατηρεί δομή γραφήματος. Ταυτοτικός αυτομορφισμός (υπάρχει τετριμμένα). Αν δεν υπάρχουν άλλοι αυτομορφισμοί, γράφημα είναι μη συμμετρικό. Αυτομορφισμοί μονοπατιού, κύκλου, τροχού, Petersen. u 1 u 5 u 5 u 6 u 7 u 10 u 2 u 4 u 10 u 6 u 9 u 1 u 9 u 8 u 8 u 7 u 4 u 3 u 3 u 2 ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 18

Αυτομορφισμός Ισομορφισμός ενός γραφήματος στον εαυτό του. Εκφράζει «συμμετρία» γραφήματος: αντιστοιχία κορυφών με βάση τους «ρόλους» τους διατηρεί δομή γραφήματος. Όλα τα συνδεδεμένα γραφήματα με 2, 3, 4, και 5 κορυφές είναι συμμετρικά. Παραδείγματα μη συμμετρικών γραφημάτων: ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2016) Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση, Ισομορφισμός 19