Η ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΕΛΕΙΟΦΟΙΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ.

Η ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΕΛΕΙΟΦΟΙΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Γιώργος Φεσάκης Καθηγητής Ε ΠΕ19, Υπ. ιδάκτορας Τ.Ε.Π.Α.Ε, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Γ. Γρίβα 23, Ρόδος, 85100 gfesakis@rhodes.aegean.gr Αγγελική ηµητρακοπούλου Επίκουρος Καθηγήτρια, Εργαστήριο Μαθησιακής Τεχνολογίας και ιδακτικής Μηχανικής, Τ.Ε.Π.Α.Ε, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Λ. ηµοκρατίας 1, Ρόδος, 85100 adimitr@rhodes.aegean.gr Φραγκίσκος Καλαβάσης Καθηγητής, Εργαστήριο Μαθησιακής Τεχνολογίας και ιδακτικής Μηχανικής, Τ.Ε.Π.Α.Ε Πανεπιστήµιο Αιγαίου Λ. ηµοκρατίας 1, Ρόδος, 85100 kalabas@rhodes.aegean.gr Λέξεις-κλειδιά: Επίλυση προβληµάτων, Μοντελοποίηση Περίληψη Η εργασία αυτή αναδεικνύει εµπόδια στην επίλυση προβληµάτων από την µηχανιστική εφαρµογή µοντέλων. 29 τελειόφοιτοι µαθητές της Γ τάξης του Ενιαίου λυκείου αντιµετωπίζουν ένα ανοικτό πρόβλήµα που ακολουθεί ως ένα βαθµό την γενική µορφή των προβληµάτων µεθόδου των τριών αλλά έχει τέτοια αριθµητικά δεδοµένα που οδηγούν σε παράδοξο αποτέλεσµα. Οι µαθητές αναγκάζονται έτσι να εκτελέσουν έλεγχο κλιµάκωσης στο µοντέλο που εφάρµοσαν. Οι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες και αποκαλυπτικές απαντήσεις που προέκυψαν αναλύονται και ερµηνεύονται από την άποψη της µοντελοποίησης και της επίλυσης προβληµάτων.

Εισαγωγή Η επίλυση προβληµάτων είναι κεντρική έννοια στην επιστηµονική µεθοδολογία. Είναι δε τόση η σηµασία της που ορισµένοι, όπως ο φιλόσοφος της επιστήµης Karl Popper [13], θεωρούν ότι η επιστηµονική δραστηριότητα συνίσταται κυρίως σε επίλυση προβληµάτων και χαρακτηρίζουν τους επιστήµονες ως επιλυτές προβληµάτων. Η επίλυση προβληµάτων έχει επηρεάσει τα Ελληνικά Μαθηµατικά στην ευτεροβάθµια βαθµίδα κατόπιν σκόπιµης προσπάθειας και σχεδιασµού [15]. Για να γίνει αισθητό το πνεύµα της επίδρασης αναφέρεται χαρακτηριστικά το επόµενο απόσπασµα από τους στόχους του ενιαίου προγράµµατος Μαθηµατικών του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου: «Η ανάπτυξη ικανότητας για την ακριβή σύλληψη των εννοιών, των µεγεθών, των ιδιοτήτων και των µεταξύ τους σχέσεων και ιδιαιτέρως εκείνων που είναι απαραίτητε για την κατανόηση και επίλυση προβληµάτων της σύγχρονης ζωής και για την επαφή µε την σύγχρονη τεχνική, οικονοµική και κοινωνική πραγµατικότητα» Περισσότερα για την επίδραση της ιδέας της επίλυσης προβληµάτων στην διαµόρφωση της σύγχρονης Ελληνικής Μαθηµατικής εκπαίδευσης στην ευτεροβάθµια βαθµίδα ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης παραπέµπεται στο [15]. Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήµατος είναι επαναληπτική και προσαρµοστική. Μια από τις πιο γνωστές προσεγγίσεις στην προβολή και ανάλυση της διαδικασίας επίλυσης προβληµάτων έχουµε στο [11]. Ο Polya σκιαγραφεί τέσσερα βήµατα στην διαδικασία επίλυσης προβληµάτων: Β1. Κατανόηση του προβλήµατος Β2. Σύνθεση ή επινόηση ενός σχεδίου λύσης Β3. Εκτέλεση του σχεδίου Β4. Αξιολόγηση των αποτελεσµάτων και επιθεώρηση των προηγούµενων βηµάτων. Στα βήµατα 1 και 2 λαµβάνει χώρα η διαδικασία της µοντελοποίησης. Για την επίλυση ενός προβλήµατος διατυπώνονται σειρές από µοντέλα που αναπαριστούν το πραγµατικό σύστηµα στο οποίο αναφέρεται το πρόβληµα [2, 3, 10, 12]. Η διαδικασία της µοντελοποίησης είναι στενά συνυφασµένη µε την επίλυση προβληµάτων. Για την διατύπωση των µοντέλων υπάρχουν διάφορα µέσα αναπαράστασης. Η επιλογή της αναπαράστασης ενός προβλήµατος είναι µάλιστα κρίσιµη για την ευκολία επίλυσης

του [8]. Στην µέση εκπαίδευση κυριαρχεί η χρήση των αλγεβρικών εκφράσεων των µοντέλων. Στα πλαίσια της διδακτορικής έρευνας µε θέµα την αξιοποίηση της έννοιας του µοντέλου και της διαδικασίας της µοντελοποίησης στην διδασκαλία των επιστηµών έγινε πιλοτική έρευνα για την διερεύνηση α. της σχέσης των µαθητών µε τις παραπάνω έννοιες. β. την δυνατότητα σχεδιασµού και εφαρµογής δραστηριοτήτων διαδικαστικής µοντελοποίησης µε την χρήση Η/Υ στην διδασκαλία των µαθηµατικών. Μια από τις βασικές υποθέσεις κατά τον σχεδιασµό της έρευνας είναι ότι οι µαθητές εφαρµόζουν πολλές φορές µηχανιστικά κάποια απλά µοντέλα που διδάσκονται από νωρίς χωρίς να συνειδητοποιούν τα όρια της εφαρµογής τους. Στα πλαίσια της επίλυσης προβληµάτων οι µαθητές εκφράζουν µαθηµατικά τις σχέσεις µεταξύ των δεδοµένων και των ζητουµένων µε βάση απλά µαθηµατικά µοντέλα (κυρίως αλγεβρικές εκφράσεις) άκριτα και µε τόση εµπιστοσύνη στις µεθόδους που είτε δεν αξιολογούν τα αποτελέσµατα τους είτε όταν αυτά δεν φαίνονται και τόσο ρεαλιστικά δεν αναθεωρούν τα µοντέλα τους αλλά καταφεύγουν σε διάφορες εκλογικεύσεις. Στα επόµενα θα περιγραφούν η πειραµατική προσέγγιση και η ανάλυση των δεδοµένων που συλλέχθηκαν µε κύριο σκοπό, να διατυπωθούν ερωτήµατα, και υποθέσεις για µελλοντικές έρευνες και να παράγουµε επιχειρήµατα για τις θέσεις που θα διατυπωθούν στο τέλος Ερευνητική προσέγγιση Το δείγµα Η πιλοτική έρευνα έγινε σε 29 µαθητές της Γ τάξης του 4 ου Ενιαίου Λυκείου Ρόδου στο διάστηµα από 23 ΦΕΒ 2001 µέχρι 3 ΑΠΡ 2001. Στο δείγµα υπήρχαν µαθητές τόσο από την θετική όσο και από την Τεχνολογική κατεύθυνση αφού λόγω του πλήθους των µαθητών τα µαθήµατα γενικής παιδείας τα διδάσκονται ταυτόχρονα και οι δύο κατευθύνσεις. Η διαδικασία Η έρευνα εκτός από την εξέταση της σχέσης των µαθητών µε την µοντελοποίηση και την επίλυση προβληµάτων είχε σκοπό να εξετάσει και τις δυνατότητες εφαρµογής δραστηριοτήτων µοντελοποίησης στην διδασκαλία. Οι µαθητές συµπλήρωσαν ένα ερωτηµατολόγιο στην αρχή και στο τέλος της έρευνας. Η συµπλήρωση ήταν ατοµική και έγινε υπό επιτήρηση για δύο διδακτικές ώρες. Στα επόµενα θα εστιάσουµε µόνο

στα στοιχεία που αφορούν την επίλυση προβληµάτων και την χρήση γνωστών µοντέλων. Για την διερεύνηση της διαδικασίας επίλυσης προβληµάτων που ακολουθούν οι µαθητές και της θέσης της µοντελοποίησης µέσα σε αυτή δόθηκαν δύο παρόµοια ανοικτά προβλήµατα.: Πρόβληµα 1 (Π1): «εδοµένου ότι ένας εργάτης διεκπεραιώνει το κτίσιµο ενός κτίσµατος σε 100 µέρες, τι µπορούµε να συµπεράνουµε για τον χρόνο ολοκλήρωσης του κτίσµατος αν διαθέτουµε 100 εργάτες της ίδιας απόδοσης;» Το πρόβληµα Π1 δόθηκε στην αρχή της έρευνας. Οι µαθητές αναµένεται να µοντελοποιήσουν το παραπάνω πρόβληµα υποθέτοντας µεταξύ των µεγεθών Αριθµός_Εργατών και Χρόνος_Ολοκλήρωσης κτίσµατος.σχέση της µορφής: Χρόνος_Ολοκλήρωσης =α/αριθµός_εργατών (y=a/x). Η εφαρµογή µιας τέτοιας υπόθεσης οδηγεί (συνήθως µε τη µέθοδο των τριών) σε χρόνο ολοκλήρωσης 1 µέρα. Στο σηµείο αυτό αναµένεται να αξιολογήσουν το αποτέλεσµα και να αντιληφθούν ότι η απάντηση που παράγεται µε την χρήση του παραπάνω µοντέλου δεν είναι ρεαλιστική. Ο µαθητής πρέπει εφαρµόζοντας το βήµα 4 από τα βήµατα του Polya να αναθεωρήσει το µοντέλο που διατύπωσε και να βελτιώσει την απάντηση του. Αν τα αριθµητικά δεδοµένα του προβλήµατος δεν είχαν επιλεχθεί ώστε το αποτέλεσµα να είναι προφανώς τουλάχιστον ύποπτο είναι πιθανό οι περισσότεροι που θα αντιµετώπιζαν το πρόβληµα να µην έβρισκαν καµιά δυσκολία στην επίλυση του και κυρίως να είναι πολύ σίγουροι για την ρεαλιστικότητα του αποτελέσµατος. Αυτό συµβαίνει γιατί οι περισσότεροι µαθητές δεν επιθεωρούν τις λύσεις που παράγουν. Το πρόβληµα µε τα συγκεκριµένα δεδοµένα αναγκάζει τον λύτη να κάνει αυτό που αναφέρεται και ως έλεγχος κλιµάκωσης της λύσης [11]. Πολύ συχνά ένα σχέδιο λύσης δεν ελέγχεται για ακραίες τιµές των δεδοµένων εισόδου του προβλήµατος. Η κλιµάκωση της λύσης µπορεί να δώσει χρήσιµες πληροφορίες για την εγκυρότητα και την εµβέλεια του σχεδίου λύσης που ελέγχεται. Πρόβληµα 2 (Π2): «εδοµένου ότι ένας εργάτης διεκπεραιώνει το κτίσιµο ενός κτίσµατος σε 60 µέρες, τί µπορούµε να συµπεράνουµε για τον χρόνο ολοκλήρωσης του κτίσµατος άν διαθέτουµε 5 εργάτες της ίδιας απόδοσης;»

Το πρόβληµα 2 δόθηκε στο τέλος της έρευνας. Τα αριθµητικά δεδοµένα του Π2 οδηγούν σε µια «λογική» λύση µε την µέθοδο των τριών (12 ηµέρες). Οι απαντήσεις των µαθητών στο πρώτο πρόβληµα και η συσχέτιση τους µε αυτές για το δεύτερο είναι ενδιαφέρουσες και αποκαλυπτικές. Ανάλυση των αποτελεσµάτων Οι απαντήσεις των µαθητών για το πρώτο πρόβληµα εµφανίζονται στον πίνακα 1 ΜΑΘ ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π1 ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π2 1 ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΘΑ ΧΡΕΙΑΖΟΤΑΝ 1 ΜΕΡΑ ΑΛΛΑ ΘΕΩΡΕΙΤΑΙ ΑΠΙΘΑΝΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 2 ΣΕ ΠΟΛΥ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΧΡΟΝΟ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 3 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 4 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 5 ΛΟΓΙΚΑ ΑΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΨΗ ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΑΛΛΑ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΟΧΙ 12 ΗΜΕΡΕΣ 6 ΠΑΝΤΩΣ ΟΧΙ ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 7 ΠΟΛΥ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΑ 10-15 ΗΜ ΛΟΓΩ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ 8 ΠΙΟ ΓΡΗΓΟΡΑ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ 9 ΣΕ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΧΡΟΝΟ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ 10 ΟΧΙ ΓΙΑΤΙ Ο ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΣ... ΙΣΩΣ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΙΣΩΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 11 ΟΤΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΗΤΑΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΛΙΓΟΣ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 12 ΠΙΟ ΓΡΗΓΟΡΑ ΠΙΟ ΓΡΗΓΟΡΑ 13 ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ ΣΕ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ ΚΑΙ ΟΧΙ ΣΕ 60/5 ΟΠΩΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ 14 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 15 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 16 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΑΠΩΝ 17 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΥΠΟ ΟΡΟΥΣ ΣΕ 12 ΗΜΕΡΕΣ ΑΝ ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΤΟ ΕΠΙΤΡΕΠΟΥΝ ΣΕ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΧΡΙ 60. 18 ΣΕ ΠΙΟ ΛΙΓΕΣ 12 ΗΜΕΡΕΣ 19 100 ΕΡΓΑΤΕΣ ΣΕ 10.000 ΜΕΡΕΣ 12 ΗΜΕΡΕΣ 20 ΣΕ ΠΙΟ ΛΙΓΕΣ ΕΝ ΕΧΕΙ ΣΧΕΣΗ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΤΩΝ 21 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 22 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 23 ΤΟ ΠΟΛΥ ΣΕ 10 ΜΕΡΕΣ 12 ΗΜΕΡΕΣ 24 ΜΕ ΤΙΠΟΤΑ Ο ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΥΤΟΣ ΕΝ ΣΤΕΚΕΙ 50 ΜΕΡΕΣ ΑΦΟΥ ΟΙ ΜΙΣΟΙ ΘΑ ΚΑΘΟΝΤΑΙ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ 25 ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 26 ΛΙΓΟΤΕΡΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 27 ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΑΠΩΝ 28 ΠΙΘΑΝΟΤΑΤΑ ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΑΛΛΑ ΕΙΝΑΙ ΥΣΚΟΛΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 29 ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ ΑΠΩΝ Πίνακας 1. Συνόψεις των απαντήσεων των µαθητών στα προβλήµατα Π1 και Π2,

Οι απαντήσεις µπορούν να οµαδοποιηθούν στις επόµενες κατηγορίες: Α. Κατηγορία «ΣΕ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΧΡΟΝΟ» Κάποιοι µαθητές απαντούν ότι το κτίσµα θα ολοκληρωθεί σε λιγότερο χρόνο. Πρόκειται για τις απαντήσεις 2, 7, 8, 9, 12, 18, 20, 26 και 27 για το πρόβληµα Π1 (9 από 29 µαθητές) και τις 8, 9, 12, 13, 20 και 24 για το Π2 (6 από 29 µαθητές). Στον επόµενο πίνακα παρουσιάζονται όλες οι παραπάνω απαντήσεις για να µπορεί να γίνει σύγκριση των απαντήσεων των µαθητών από πρόβληµα σε πρόβληµα. Σταθερές απαντήσεις στην κατηγορία αυτή και για τα δύο προβλήµατα δίνουν 4 µαθητές οι 8, 9, 12 και 20. Υπάρχουν αρκετοί µαθητές που δεν απάντησαν µε τον ίδιο τρόπο και στα δύο προβλήµατα. Οι µεταβολές των απαντήσεων στην κατηγορία αυτή παρουσιάζουν τις εξής µορφές: 1. Οι µαθητές 7, 18 και 26 ενώ απαντάνε στο Π1 ότι το κτίσµα θα ολοκληρωθεί συντοµότερα ενώ στο Π2 απαντάνε αριθµητικά εφαρµόζοντας την µέθοδο των τριών. Οι µαθητές αυτοί φαίνεται ότι δεν τροποποίησαν µόνιµα σε ικανοποιητικό βαθµό τον τρόπο σκέψης τους µετά την επαφή µε την ακραία περίπτωση του Π1. Η επίδραση του Π1 στους µαθητές αυτούς ήταν ελαστική. 2. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση του 24 που στο Π1 είναι φανερό ότι βρίσκεται σε γνωστική σύγκρουση αφού αναφωνεί «Με τίποτα ο συλλογισµός αυτός δεν στέκει...» και απαντά βιαστικά «..50 µέρες αφού οι µισοί θα κάθονται» µέσα στην απάντηση που έδωσε υπάρχει λανθασµένη εφαρµογή της µεθόδου των τριών (ο ένας (1) σε 100, οι 50 σε Χ. Χ=50). Ο µαθητής αυτός στο Π2 απαντά ψύχραιµα ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης θα είναι λιγότερος. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι ο µαθητής είχε µια δηµιουργική γνωστική σύγκρουση και ισορρόπησε σε µια κατάσταση καλύτερης γνώσης. 3. Οι µαθητές 2, 13 και 27 έχουν απαντήσει σε ένα από τα δύο προβλήµατα. Ενδιαφέρον παρουσιάζει ο µαθητής 13 που δεν απάντησε µεν στο Π1 µάλλον λόγω έλλειψης σιγουριάς όµως στο Π2 δίνει µια αποκαλυπτική απάντηση «Σε λιγότερες και όχι σε 60/5 όπως πρέπει να είναι». Ο µαθητής αυτός δεν φαίνεται να έχει πεισθεί για την ορθότητα της απάντησης που δίνει και µάλλον θεωρεί πιο έγκυρη την απάντηση που παράγει η µέθοδος των τριών. Είναι ακόµα σε κατάσταση σύγχυσης.

ΜΑΘ ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π1 ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π2 2 ΣΕ ΠΟΛΥ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΧΡΟΝΟ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 7 ΠΟΛΥ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΑ 10-15 ΗΜ ΛΟΓΩ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ 8 ΠΙΟ ΓΡΗΓΟΡΑ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ 9 ΣΕ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΧΡΟΝΟ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ 12 ΠΙΟ ΓΡΗΓΟΡΑ ΠΙΟ ΓΡΗΓΟΡΑ 13 ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ ΣΕ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ ΚΑΙ ΟΧΙ ΣΕ 60/5 ΟΠΩΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ 18 ΣΕ ΠΙΟ ΛΙΓΕΣ 12 ΗΜΕΡΕΣ 20 ΣΕ ΠΙΟ ΛΙΓΕΣ ΕΝ ΕΧΕΙ ΣΧΕΣΗ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΩΝ ΕΡΓΑΤΩΝ... 24 ΜΕ ΤΙΠΟΤΑ Ο ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΥΤΟΣ ΕΝ ΣΤΕΚΕΙ 50 ΜΕΡΕΣ ΑΦΟΥ ΟΙ ΜΙΣΟΙ ΘΑ ΚΑΘΟΝΤΑΙ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ 26 ΛΙΓΟΤΕΡΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 27 ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΑΠΩΝ Πίνακας 2. Οι µαθητές που απάντησαν σε «σε λιγότερο χρόνό» στο Π1 ή στο Π2. Κάποιοι µαθητές απαντούν αριθµητικά. Οι αριθµητικές απαντήσεις παράγονται µε την µέθοδο των τριών ή αυθαίρετα µάλλον µετά από προβληµατισµό από την µέθοδο των τριών. Β. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ «ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ» Με την µέθοδο των τριών. Οι µαθητές που απαντούν εφαρµόζοντας την µέθοδο των τριών µοντελοποιούν το πρόβληµα υποθέτοντας ότι µεταξύ των µεγεθών Χρόνος_Ολοκλήρωσης και Αριθµός_Εργατών υπάρχει αναλογική σχέση της µορφής: Χρόνος_Ολοκλήρωσης=α/Αριθµός_Εργατών Πρόκειται για τους µαθητές 1, 3, 4, 5, 6, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22 και 28 (13 µαθητές από 29) στο Π1 και τους 1, 4, 5, 6, 10, 14, 15, 18, 19, 21, 22, 23, 26 και 28 (14 µαθητές από 29) στο Π2. Ο µαθητής 19 θεώρησε τα ποσά Αριθµός_Εργατών και Χρόνος_Ολοκλήρωσης ευθέως ανάλογα θεωρώντας ίσως ότι η απάντηση 10.000 µέρες είναι πιο «λογική» από την απάντηση σε 1 µέρα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον όµως παρουσιάζουν οι µαθητές που απαντούν αριθµητικά χρησιµοποιώντας την µέθοδο των τριών αλλά εκφράζουν διάφορα σχόλια και επιφυλάξεις για το αποτέλεσµα. Πρόκειται για τους µαθητές 1, 5, 6, 17, 24 και 28 και τις αντίστοιχες απαντήσεις στο Π1. Χαρακτηριστικό είναι ότι οι µαθητές δεν εκφράζουν επιφυλάξεις για τις απαντήσεις τους στο δεύτερο πρόβληµα αφού τα νούµερα είναι φυσιολογικά. Οι µαθητές της υποκατηγορίας αυτής βρίσκονται σε

γνωστική σύγκρουση η µέθοδος που θεωρούν τυπικά εφαρµόσιµη σε µια τέτοια περίπτωση παράγει αποτελέσµατα που ελεγχόµενα από την διαίσθηση και την κοινή λογική είναι απορριπτέα. Η νέα κατάσταση των µαθητών αυτών µετά τη κατάσταση γνωστικής απορίας µπορεί να προσεγγισθεί στην απάντηση τους στο δεύτερο πρόβληµα Π2. Συγκεκριµένα οι 1, 5, 6 και 28 απάντησαν πάλι αριθµητικά (12 ηµέρες) στο Π2 µε την µέθοδο των τριών και χωρίς να εκφράσουν κάποιο ενδοιασµό. Οι µαθητές αυτοί δεν αφοµοίωσαν στον επιθυµητό βαθµό την νέα γνώση που τους δόθηκε. ΜΑΘ ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π1 ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π2 1 ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΘΑ ΧΡΕΙΑΖΟΤΑΝ 1 ΜΕΡΑ ΑΛΛΑ ΘΕΩΡΕΙΤΑΙ ΑΠΙΘΑΝΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 3 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 4 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 5 ΛΟΓΙΚΑ ΑΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΨΗ ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΑΛΛΑ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΟΧΙ 12 ΗΜΕΡΕΣ 6 ΠΑΝΤΩΣ ΟΧΙ ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 7 ΠΟΛΥ ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΑ 10-15 ΗΜ ΛΟΓΩ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΗΝ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ 10 ΟΧΙ ΓΙΑΤΙ Ο ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΣ... ΙΣΩΣ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΙΣΩΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 14 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 15 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 16 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΑΠΩΝ 17 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΥΠΟ ΟΡΟΥΣ ΣΕ 12 ΗΜΕΡΕΣ ΑΝ ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΤΟ ΕΠΙΤΡΕΠΟΥΝ ΣΕ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΧΡΙ 60. 18 ΣΕ ΠΙΟ ΛΙΓΕΣ 12 ΗΜΕΡΕΣ 19 100 ΕΡΓΑΤΕΣ ΣΕ 10.000 ΜΕΡΕΣ 12 ΗΜΕΡΕΣ 21 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 22 1 ΜΕΡΑ 12 ΗΜΕΡΕΣ 23 ΤΟ ΠΟΛΥ ΣΕ 10 ΜΕΡΕΣ 12 ΗΜΕΡΕΣ 24 ΜΕ ΤΙΠΟΤΑ Ο ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΥΤΟΣ ΕΝ ΣΤΕΚΕΙ 50 ΜΕΡΕΣ ΑΦΟΥ ΟΙ ΜΙΣΟΙ ΘΑ ΚΑΘΟΝΤΑΙ ΛΙΓΟΤΕΡΕΣ 26 ΛΙΓΟΤΕΡΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 28 ΠΙΘΑΝΟΤΑΤΑ ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΑΛΛΑ ΕΙΝΑΙ ΥΣΚΟΛΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ Πίνακας 3. Οι µαθητές που απάντησαν σε µε την µέθοδο των τριών στο Π1 ή στο Π2. Αντιθετα ο 24 απαντά σε λιγότερες µέρες στο Π2 και ο 17 καταλήγει στο συµπέρασµα ότι η µέθοδος των τριών µπορεί να εκτιµήσει µόνο ένα κάτω όριο για τον χρόνο ολοκλήρωσης ενώ ο αρχικός χρόνος είναι τώρα ένα άνω όριο και απαντά µε ένα διάστηµα [a, b] όπου a είναι ο χρόνος που παράγει η µέθοδος των τριών και b είναι ο αρχικός χρόνος ολοκλήρωσης που αντιστοιχεί στους λίγους εργάτες. Η περίπτωση αυτή δείχνει πόσο επίµονα µπορεί να είναι τα γνωστικά σχήµατα των

παιδιών αλλά και πόσο καταλυτική µπορεί να είναι η επαφή µε προβληµατικές καταστάσεις για τα γνωστικά σχήµατα των παιδιών. Γ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ «ΑΥΘΑΙΡΕΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ» Πρόκειται για τις απαντήσεις 23 και 24 για το Π1 και την 7 για το Π2. Εκτός από τις τετριµένες περιπτώσεις δηλαδή τους απόντες 16, 27 και 29 για το πρόβληµα Π2 και αυτούς που δεν απάντησαν ( 13, 25 και 29 στο Π1 και 2, 3, 11 και 25 στο Π2) υπάρχουν κάποιες απαντήσεις που είναι εντελώς ξεχωριστές και τις σχολιάζουµε στο σηµείο αυτό ξεχωριστά. Συγκεκριµένα:. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ «ΙΣΩΣ ΚΑΙ ΑΡΓΟΤΕΡΑ» Ο µαθητής 10 στο Π1 εµφανίζει αποκλίνουσα σκέψη και απαντά ότι µε 100 εργάτες ο χρόνος ολοκλήρωσης µπορεί να είναι και περισσότερος από αυτόν του ενός εργάτη. Ο ίδιος µαθητής απαντά στο Π2 αριθµητικά χρησιµοποιώντας την µέθοδο των τριών. Η πρώτη απάντηση βέβαια στα πλαίσια µιας διδακτικής συνόδου θα έδινε την ευκαιρία για ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες προσεγγίσεις του προβλήµατος. Ε. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ «ΛΑΘΟΣ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ» Ο µαθητής 11 υποστηρίζει κάτι αρκετά περίεργο αρχικά, συµπεραίνει ότι ο χρόνος ολοκλήρωσης του κτίσµατος ήταν σχετικά µικρός. Ο ένας εργάτης δηλαδή θα έπρεπε να τελειώσει αργότερα το κτίσµα ώστε η µέθοδος των τριών να δίνει «λογικά» αποτελέσµατα για την περίπτωση των 100 εργατών. Είναι λοιπόν τόση η πίστη στο µοντέλο των ανάλογων µεγεθών ώστε κάτι δεν παει καλά µε το πρόβληµα αφού η µέθοδος είναι σίγουρα σωστή. ΣΤ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ «ΑΠΟ 12 ΕΩΣ 60» Ο µαθητής 17 απάντησε µε ένα πρωτότυπο τρόπο στο Π2. Εκτίµησε τον χρόνο ολοκλήρωσης υπολογίζοντας ένα κάτω και ένα άνω όριο. Το κάτω όριο το υπολόγισε µε την µέθοδο των τριών ενώ ως άνω όριο θεώρησε τον χρόνο ολοκλήρωσης του ενός εργάτη. Η απάντηση αυτή δείχνει ότι ο µαθητής ανακάλυψε µια νέα χρήση του γραµµικού µοντέλου για προβλήµατα όπως αυτό της έρευνας. Ο µαθητής δεν χρησιµοποιεί την µέθοδο των τριών για να υπολογίσει µε ακρίβεια τον χρόνο ολοκλήρωσης αλλά µπορεί να εκτιµήσει ένα κάτω όριο.

ΜΑΘ ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π1 ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΤΟ Π2 10 ΟΧΙ ΓΙΑΤΙ Ο ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΣ... ΙΣΩΣ ΛΙΓΟΤΕΡΟ ΙΣΩΣ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ 12 ΗΜΕΡΕΣ 11 ΟΤΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΗΤΑΝ ΣΧΕΤΙΚΑ ΛΙΓΟΣ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 17 ΣΕ 1 ΜΕΡΑ ΥΠΟ ΟΡΟΥΣ ΣΕ 12 ΗΜΕΡΕΣ ΑΝ ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΤΟ ΕΠΙΤΡΕΠΟΥΝ ΣΕ ΑΝΤΙΘΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΧΡΙ 60. Πίνακας 4. Οι µαθητές που απάντησαν ιδιαίτερα Π1 ή στο Π2. Σύνοψη της ανάλυσης Για την συνοπτική παρουσίαση των παραπάνω παρουσιάζουµε τον επόµενο πίνακα κατανοµής των απαντήσεων σε κατηγορίες: ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΤΟ Π1 ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ΣΤΟ Π2 ΑΠΩΝ 0 3 ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ 3 4 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΡΙΩΝ 13 14 ΑΥΘΑΙΡΕΤΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ 2 1 ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΑ 9 6 ΙΣΩΣ ΚΑΙ ΑΡΓΟΤΕΡΑ 1 0 ΑΠΟ 12 ΜΕΧΡΙ 60 0 1 ΛΑΘΟΣ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 0 ΣΥΝΟΛΟ: 29 29 Πίνακας 5. Πίνακας συχνοτήτων απαντήσεων ανά κατηγορία και πρόβληµα Η διαγραµµατική αναπαράσταση του παραπάνω πίνακα συχνοτήτων αναδεικνύει την υπεροχή της συχνότητας εφαρµογής της µεθόδου των τριών στα σχέδια επίλυσης των παιδιών. Γεγονός που υποδηλώνει ότι οι µαθητές υποθέτουν εύκολα την απλή αναλογική σχέση µεταξύ µεγεθών στα προβλήµατα κατασκευάζοντας έτσι µοντέλα που δεν κλιµακώνονται ικανοποιητικά. Επίσης είναι φανερή η επιµονή της υπόθεσης ότι τα ποσά είναι ανάλογα παρά το παράδοξο που προέκυψε από αυτή στο πρώτο πρόβληµα.

0 ΛΑΘΟΣ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΑΠΟ 12 ΜΕΧΡΙ 60 0 1 0 ΙΣΩΣ ΚΑΙ ΑΡΓΟΤΕΡΑ 1 ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΑ 1 ΑΥΘΑΙΡΕΤΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΡΙΩΝ ΕΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕ ΑΠΩΝ 0 2 6 9 13 3 4 3 14 0 2 4 6 8 10 12 14 Π1 Π2 ιάγραµµα 1. Σύνοψη των απαντήσεων των µαθητών στα Π1 και Π2. Συµπεράσµατα Στην εργασία αυτή εξετάζεται η αντιµετώπιση ενός ανοικτού προβλήµατος από µαθητές της Γ τάξης του Ενιαίου Λυκείου. Οι περισσότεροι µαθητές µοντελοποιούν άστοχα το πρόβληµα µε την χρήση της σχέσης y=a/x µέσω της µεθόδου των τριών. Από την αντιµετώπιση των παραπάνω προβληµάτων από τους µαθητές µπορεί κανείς να υποθέσει ότι έχει ισχυρές ενδείξεις για τα εξής: Οι µαθητές επιλύουν προβλήµατα διατυπώνοντας µαθηµατικά µοντέλα για τις σχετικές µεταβλητές µε βάση την σχολική µαθηµατική εµπειρία. Τα µοντέλα που επιστρατεύουν εφαρµόζονται συχνά µηχανικά και η διαδικασία της µοντελοποίησης δεν γίνεται συνειδητά. Η έλλειψη σαφούς αντίληψης της µοντελοποίησης κατά την διαδικασία επίλυσης ενός προβλήµατος γίνεται φανερή επειδή: o Οι µαθητές χρησιµοποιούν µοντέλα χωρίς να εξετάζουν αν το πρόβληµα ικανοποιεί τους περιορισµούς που υποθέτει το µοντέλο ώστε να είναι εφαρµόσιµο. o Συχνά δεν αξιολογούν τα αποτελέσµατα των σχεδίων λύσης τους.

o Οι µαθητές που αξιολογούν τα αποτελέσµατα των σχεδίων λύσης τους συχνά δεν σκέφτονται να αναθεωρήσουν τα µοντέλα που διατύπωσαν ώστε να είναι πιο ρεαλιστικά. Οι µαθητές υποθέτουν συχνά γραµµικές σχέσεις µεταξύ µεγεθών ακόµα και όταν αυτά είναι διακριτά και εξαρτώνται από την δοµή του συστήµατος στο οποίο αναφέρονται. Οι µαθητές επιµένουν στην παραπάνω σχέση ακόµα και όταν τα αριθµητικά δεδοµένα του προβλήµατος επιβάλουν τον έλεγχο κλιµάκωσης του σχεδίου λύσης και παράγουν παράδοξα αποτελέσµατα. Ο έλεγχος κλιµάκωσης ενός σχεδίου λύσης είναι δυνατό να αναδείξει τις αδυναµίες ενός µοντέλου και να θέσει τους µαθητές σε κατάσταση γνωστικής σύγκρουσης. Η ισορροπία από µια τέτοια κατάσταση µπορεί να επέλθει αρκετές µέρες µετά. Η κεντρικότητα της επίλυσης προβληµάτων στην επιστηµονική µεθοδολογία και η αξία της µοντελοποίησης στην διαδικασία επίλυσης προβληµάτων πρέπει να επηρεάσουν τον τρόπο µε τον οποίο διδάσκονται οι θετικές επιστήµες και ιδιαίτερα τα µαθηµατικά που αποτελούν διαβατήριο για την επαφή µε τις υπόλοιπες επιστήµες. Οι µαθητές θα πρέπει να συνειδητοποιήσουν την έννοια της µοντελοποίησης και τον ρόλο της στην επίλυση προβληµάτων µέσα από δραστηριότητες επίλυσης ρεαλιστικών προβληµάτων που θα αποκαλύπτουν την µηχανιστική εφαρµογή µεθόδων και θα δίνουν την ευκαιρία για βαθύτερη κατανόηση. Επιπλέον η διδασκαλία θα πρέπει να καθιστά σαφή την έννοια του µοντέλου και την διαδικασία της µοντελοποίησης κατά την επίλυση προβληµάτων. Για τον σκοπό αυτό είναι σκόπιµο οι σχετικές δραστηριότητες να αξιοποιούν διάφορα περιβάλλοντα και µοντελοποίησης και µέσα αναπαράστασης παραδοσιακά αλλά και νέα υπολογιστικά.

Βιβλιογραφία [1]. Cartier J. (2000). Assessment of explanatory models in genetics: Insights into Students' Conceptions of Scientific Models, Research Report NCISLA, http://www.wcer.wisc.edu/ncisla. [2]. Cartier J. (2000). Using a modeling approach to explore scientific epistemology with high school biology students, Research Report NCISLA, http://www.wcer.wisc.edu/ncisla. [3]. Dimitracopoulou A., Komis V., Apostolopoulos P. & Politis P. (1999). Design Principles of a new modelling environment for young syudents, supporting various types of reasoning and interdisciplinary approaches` AI-ED99 Open Learning Environments, Le Mans, 19-23 July 1999, France. [4]. disessa A. (1997). Open toolsets: New ends and new means in learning mathematics and science with computers. In E. Pehkonen (Ed.) Proceedings of the 21 st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol 1. Lahti, Finland, 47-62 [5]. disessa A. A. (1997). Twenty reasons why you should use Boxer (instead of Logo). In M. Turcsanyi-Szabo (Ed.), Learning & Exploring with Logo, Proceedings of the Sixth European Logo Conference, Budapest Hungary, 7-27. [6]. disessa A. A. (1999). Changing Mind. Computers, Learning, and Literacy, to appear MIT Press [7]. Halloun I. (2000), Model-Laden Inquiry for Effective Physics Instruction, Themes in Education, Leader Books, Vol. 1, No 4. [8]. Heylighen F. (1990). Representation and Change. A Meta-representational Framework for the Foundations of Physical and Cognitive Science, Communications & Cognition, Ghent, Belgium. Web edition (1999): http://pcp.vub.ac.be/books/rep&change.pdf [9]. Kreith K. (1995), Απειροστικός λογισµός ναι ή όχι;, Ελληνικό Quantum, Vol 2, No 1 [10]. Mellar H. Bliss J. Boohan R., Ogborn J., Tompsett C. (1994). Learning with artificial worlds: computer based modeling in the curriculum, The Farmer press [11]. Polya G., (1956), How to Solve It. A new aspect of mathematical method, Second Edition, Princeton University Press. [12]. Sciamanda R. J. (1997). Πρελούδιο στη µελέτη της Φυσικής, Ελληνική έκδοση Quantum, Τόµος 4, Τεύχος 1 [13]. Thornton St., (1997), Karl Popper, Stanford Encyclopedia of Philosophy [14]. Wilkensky, U. (1995). Making Sense of probability through paradox and programming: A case study in a connected mathematics framework, in "Kafai & Resnick (1996). Constructionism in practice", Lawrence Erlbaum Associates [15]. Κλαουδάτος Ν., Παπασταυρίδης Στ., (1997) Τα µαθηµατικά του σχολείου και ο πραγµατικός κόσµος: Πώς θα συνδυάσουµε θεωρία και πράξη., Θέµατα διδακτικής Μαθηµατικών ΙΙΙ, Εκδόσεις Gutenberg [16]. Οικονόµου Π., (1997), Η «επίλυση προβλήµατος» στην Ελληνική µαθηµατική εκπαίδευση, Θέµατα διδακτικής Μαθηµατικών ΙΙΙ, Εκδόσεις Gutenberg