{x, x y, x + y z, x 2 y 3, xy 2005 z 123x 3 y 24 + z 8 πxyz y 1001 z}

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Βάσεις Gröbner

Περιεχόμενα 1 Δακτύλιοι Πολυωνύμων, ιδεώδη και αλγεβρικά σύνολα 2 1.1 Ιδεώδη-Πράξεις μεταξύ ιδεωδών....................... 2 1.2 Δακτύλιοι της Noether και θεώρημα βάσης του Hilbert................................. 5 2 Βασική Θεωρία των Βάσεων Gröbner 8 2.1 Μονωνυμικές διατάξεις........................... 8 2.2 Διαίρεση πολυωνύμων............................ 13 2.3 Βάσεις Gröbner............................... 16 2.4 S-πολυώνυμα και ο αλγόριθμος του Buchberger.............. 19 2.5 Ελαχιστικές και ανάγωγες βάσεις Gröbner................. 24 2.6 Εισαγωγή στο Υπολογιστικό πρόγραμμα CoCoA............. 27 3 Εϕαρμογές των βάσεων Gröbner 29 3.1 Εϕαρμογές των βάσεων Gröbner στην Άλγεβρα.............. 29 3.2 Απαλοιϕή.................................. 32 3.3 Συσχετικός χώρος, αλγεβρικά σύνολα και θεώρημα μηδενικών (N ullstellensatz) του Hilbert.................................. 34 3.4 Εϕαρμογή των βάσεων Gröbner στον χρωματισμό γραϕημάτων...... 36 3.5 Εϕαρμογή των βάσεων Gröbner στον ακέραιο προγραμματισμό....... 38 1

Κεϕάλαιο 1 Δακτύλιοι Πολυωνύμων, ιδεώδη και αλγεβρικά σύνολα 1.1 Ιδεώδη-Πράξεις μεταξύ ιδεωδών Από εδώ και στο εξής κάθε δακτύλιος θα είναι μεταθετικός με μοναδιαίο στοιχείο. Ορισμός 1.1.1 Ενα υποσύνολο I ενός δακτυλίου R λέγεται ιδεώδες του R αν I Για κάθε a, b I έχουμε a b I Για κάθε a I και r R έχουμε ra I. Άσκηση 1.1.2 Δείξτε ότι το I είναι ιδεώδες του R αν και μόνο αν 0 I Για κάθε a, b I έχουμε a + b I Για κάθε a I και r R έχουμε ra I. Εστω R ένας δακτύλιος και f R. Το σύνολο < f >:= {rf r R} είναι ιδεώδες του R και καλείται κύριο ιδεώδες. Γενικότερα δοθέντος S R έχουμε ότι και το σύνολο n < S >:= { r i f i r i R, f i S, n Z + } i=1 είναι ιδεώδες του R, το οποίο καλείται ιδεώδες που παράγεται από το S. Ενα ιδεώδες I λέγεται πεπερασμένα παραγόμενο όταν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο S = {f 1,..., f t } R ούτως ώστε I =< S >:=< f 1,..., f t >. 2

Ορισμός 1.1.3 Ενα υποσύνολο S ενός ιδεώδους I με την ιδιότητα I =< S > λέγεται βάση του I. Παράδειγμα 1.1.4 Η βάση ενός ιδεώδους δεν είναι μοναδική. Για παράδειγμα το σύνολο {x, y, z} είναι βάση του ιδεώδους I =< x, y, z > C[x, y, z], καθώς και το σύνολο {x + y + z, x y + 2z, x + y + 7z} αποτελεί μία βάση του I. Τέλος το σύνολο {x, x y, x + y z, x 2 y 3, xy 2005 z 123x 3 y 24 + z 8 πxyz 5 + 56y 1001 z} είναι βάση για το I. Παρατήρηση 1.1.5 Κάθε ιδεώδες I διαθέτει μια βάση, π.χ. αποτελεί βάση για το ιδεώδες I. το ίδιο το σύνολο I Στο σύνολο των ιδεωδών ενός δακτυλίου μπορούν να οριστούν διάϕορες αλγεβρικές πράξεις, όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ιδεωδών. Ορισμός 1.1.6 Δοθέντος δύο ιδεωδών I, J ενός δακτυλίου R, το σύνολο I + J := {f + g f I, g J} είναι ιδεώδες του R και καλείται άθροισμα των ιδεωδών I,J. Άσκηση 1.1.7 Δείξτε ότι το I + J είναι ιδεώδες του R και μάλιστα το μικρότερο ιδεώδες του R που περιέχει τα ιδεώδη I και J. Επιπλέον αν I =< S > και J =< T >, τότε I + J =< S T >. Ορισμός 1.1.8 Δοθέντος δύο ιδεωδών I, J ενός δακτυλίου R, το σύνολο IJ := {f 1 g 1 +... + f m g m f i I, g i J}, που αποτελείται από όλα τα πεπερασμένα αθροίσματα γινομένων στοιχείων του I με στοιχεία του J, καλείται γινόμενο των I, J. Άσκηση 1.1.9 Δείξτε ότι το IJ είναι ιδεώδες του R. Επιπλέον αν I =< f 1,..., f n > και J =< g 1,..., g m >, τότε IJ =< f 1 g 1, f 1 g 2,..., f 1 g m, f 2 g 1,..., f 2 g m,..., f 3 g 1,..., f n g m >. Παρατήρηση 1.1.10 Η τομή δύο ιδεωδών I και J του R είναι πάντα ιδεώδες του R και μάλιστα ισχύει IJ I J. Αντιθέτως η ένωση των I, J δεν είναι ιδεώδες του R, αλλά ισχύει I +J =< I J >. Για κάθε ιδεώδη I, J, K του R έχουμε I(JK) = (IJ)K, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να ορίσουμε το γινόμενο ενός ιδεώδους με τον εαυτό του n ϕορές. Το ιδεώδες που προκύπτει καλείται n-οστή δύναμη του I και συμβολίζεται με I n. 3

Ορισμός 1.1.11 Δοθέντος δύο ιδεωδών I, J ενός δακτυλίου R, το σύνολο καλείται πηλίκο των I και J. I : J := {a R aj I} Άσκηση 1.1.12 Δείξτε ότι I : J είναι ιδεώδες του R για το οποίο ισχύει I I : J και (I : J)J I. Ορισμός 1.1.13 Το σύνολο I = {x R x n I για κάποιο n > 0} καλείται ριζικό του ιδεώδους I. Ασκήσεις 1.1.14 1. Κάθε σώμα F διαθέτει μόνον δύο ιδεώδη, τα F και {0}. 2. Δείξτε ότι κάθε ιδεώδες του δακτυλίου των ακεραίων Z είναι της μορϕής < n >= nz = {nk k Z}. 3. Εστω I =< m > και J =< n > δυο ιδεώδη στον δακτύλιο των ακεραίων Z. Δείξτε ότι: α) IJ =< mn > β)i s =< m s > γ) I + J = μ.κ.δ.(m, n) δ) I J =Ε.Κ.Π.(m, n). Στη συνέχεια υπολογίστε τα ιδεώδη I : J και I. 4. Δείξτε ότι αν τα I, J, L είναι ιδεώδη ενός δακτυλίου R, τότε ισχύει I(J +L) = IJ + IL. 5. Δείξτε ότι τα ιδεώδη I =< f 1,..., f s > και J =< g 1,..., g t > είναι ίσα αν και μόνο αν f i J, 1 i s, και g i I, 1 i t. 6. Δείξτε ότι τα ιδεώδη I =< x+xy, y+xy, x 2, y 2 > και J =< x, y > ταυτίζονται στον K[x, y]. 7. Δείξτε ότι I είναι ιδεώδες του R για το οποίο ισχύει I I και I = I. 8. Δείξτε ότι το σύνολο {x, x y, x + y z, x 2 y 3, xy 2005 z 123x 3 y 24 + z 8 πxyz 5 + 56y 1001 z} είναι βάση του ιδεώδους I =< x, y, z > C[x, y, z]. 4

1.2 Δακτύλιοι της Noether και θεώρημα βάσης του Hilbert Ορισμός 1.2.1 Ενας δακτύλιος R λέγεται δακτύλιος της Noether αν κάθε ιδεώδες I του είναι πεπερασμένα παραγόμενο, δηλαδή υπάρχουν f 1,..., f s ούτως ώστε I =< f 1,..., f s >. Παράδειγμα 1.2.2 Κάθε σώμα K είναι δακτύλιος της Noether, αϕού τα μοναδικά ιδεώδη του είναι τα K =< 1 > και {0} =< 0 > που είναι πεπερασμένα παραγόμενα. Ο δακτύλιος των ακεραίων Z είναι δακτύλιος της Noether, αϕού κάθε ιδεώδες του είναι της μορϕής < n > όπου n Z. Κάθε πεπερασμένος δακτύλιος R είναι αναγκαστικά δακτύλιος της Noether, αϕού για κάθε ιδεώδες I R έχουμε I =< I > και I είναι πεπερασμένο. Για παράδειγμα οι δακτύλιοι Z 24 και Z 10 Z 12 Z 15 είναι δακτύλιοι της Noether. Κάθε πολυωνυμικός δακτύλιος K[x 1,..., x n ], όπου K είναι σώμα, με πεπερασμένο πλήθος μεταβλητών θα δούμε παρακάτω ότι είναι δακτύλιος της Noether. Υπάρχουν όμως και δακτύλιοι που δεν είναι δακτύλιοι της Noether, όπως πολυωνυμικοί δακτύλιοι με άπειρο πλήθος μεταβλητών K[x 1,..., x n,...] ή ο δακτύλιος Z 2 Z 2 Z 2. Θεώρημα 1.2.3 Ενας δακτύλιος R είναι δακτύλιος της Noether αν κάθε αύξουσα α- κολουθία ιδεωδών του είναι τελικά σταθερή, δηλαδή για κάθε ακολουθία υπάρχει ϕυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε I 1 I 2 I n I n+1 I N = I N+1 = = I N+k =. Απόδειξη. ( ) Εστω I 1 I 2 I n I n+1 μια αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του R. Θεωρούμε το σύνολο I = n=1i n. Παρατηρούμε ότι: 1) 0 I, αϕού 0 I 1. 2) Αν a, b I, τότε και a + b I n I. Πραγματικά έστω n 1, n 2 ϕυσικοί αριθμοί με a I n1 και b I n2. Καθώς I n1, I n2 ανήκουν στην ανωτέρω αύξουσα ακολουθία ιδεωδών, ένα εκ των δύο είναι υποσύνολο του άλλου. Άρα a, b I n, όπου n = max{n 1, n 2 }. Ομως I n είναι ιδεώδες, πράγμα που σημαίνει ότι a + b I n I. 3)Εάν r R και a I, τότε ra I n I. Πραγματικά a I n για κάποιο ϕυσικό n, οπότε ra I n I αϕού I n είναι ιδεώδες. Από όλα όσα προηγήθηκαν γίνεται ϕανερό ότι το σύνολο I = n=1i n είναι ιδεώδες 5

του δακτυλίου R. Καθώς ο R είναι δακτύλιος της Noether, το I είναι πεπερασμένα παραγόμενο και επομένως υπάρχουν f 1,..., f s τέτοια ώστε I =< f 1,..., f s >. Ομως I = n=1i n, οπότε υπάρχουν ϕυσικοί αριθμοί n 1,..., n s ούτως ώστε f 1 I n1,..., f s I ns. Εστω N = max{n 1,..., n s }, τότε f 1,..., f s I N αϕού τα I n1..., I ns ανήκουν στην ανωτέρω αύξουσα ακολουθία ιδεωδών. Άρα I = n=1i n =< f 1,..., f s > I N I N+1 n=1i n =< f 1,..., f s >= I. Συνεπώς I N = I N+1 = = I N+k =. ( ) Αντίστροϕα υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα ιδεώδες I του R που δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Εστω a 1 I. Τότε το ιδεώδες < a 1 > είναι γνήσιο υποσύνολο του ιδεώδους I, διότι σε αντίθετη περίπτωση < a 1 >= I που αντιτίθεται στο ότι I δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Καθώς < a 1 > είναι γνήσιο υποσύνολο του ιδεώδους I, υπάρχει a 2 I τέτοιο ώστε a 2 / < a 1 >. Το ιδεώδες < a 1, a 2 > είναι γνήσιο υποσύνολο του ιδεώδους I, διότι σε αντίθετη περίπτωση < a 1, a 2 >= I που αντιτίθεται στο ότι I δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Καθώς < a 1, a 2 > είναι γνήσιο υποσύνολο του ιδεώδους I, υπάρχει a 3 I τέτοιο ώστε a 3 / < a 1, a 2 >. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ απειρο, αϕού το I δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Ετσι παίρνουμε μία αύξουσα ακολουθία ιδεωδών < a 1 > < a 1, a 2 > < a 1,, a n > < a 1,, a n, a n+1 > που δεν είναι τελικά σταθερή. Η τελευταία πρόταση έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεσή μας. Θεώρημα 1.2.4 (Θεώρημα βάσης του Hilbert). Αν ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος της Noether, τότε και ο πολυωνυμικός δακτύλιος R[x] είναι δακτύλιος της Noether. Απόδειξη. Εστω J R[x] ένα ιδεώδες, θα δείξουμε ότι το J είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Θεωρούμε την οικογένεια συνόλων {I n } n N, όπου I n = {r rx n + a n 1 x n 1 + + a 0 J}. Παρατηρούμε ότι: 1) 0 I n, αϕού 0x n + 0x n 1 + + 0 = 0 J. 2) Αν a, b I n, τότε και a + b I n. Πραγματικά έχουμε ax n + a n 1 x n 1 + + a 0 J και bx n + b n 1 x n 1 + + b 0 J, οπότε (a + b)x n + (a n 1 + b n 1 )x n 1 + + (a 0 + b 0 ) J αϕού J είναι ιδεώδες του R. Άρα a + b I n. 3) Εάν r R και a I n, τότε ra I n. Καθώς ax n + a n 1 x n 1 + + a 0 J, r R R[x] και J είναι ιδεώδες του R[x], έχουμε ότι r(ax n + a n 1 x n 1 + + a 0 ) = rax n + ra n 1 x n 1 + + ra 0 J 6

και επομένως ra I n. Από όλα όσα προηγήθηκαν γίνεται ϕανερό ότι κάθε I n είναι ιδεώδες του δακτυλίου R. Επίσης I n I n+1, αϕού J είναι ιδεώδες του R[x] και επομένως για οποιοδήποτε f = rx n + a n 1 x n 1 + + a 0 J το γινόμενο xf = rx n+1 + a n 1 x n + + a 0 x J. Ετσι παίρνουμε μια αύξουσα ακολουθία ιδεωδών I 0 I 1 I n I n+1 η οποία είναι τελικά σταθερή διότι R είναι δακτύλιος της Noether. Άρα υπάρχει ϕυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε I N = I N+1 = = I N+k =. Καθώς ο R είναι δακτύλιος της Noether, το ιδεώδες I n είναι πεπερασμένα παραγόμενο και επομένως υπάρχουν r n1,, r ntn ούτως ώστε I =< r n1,..., r ntn >. Λαμβάνοντας υπόψη τον τρόπο ορισμού των ιδεωδών I n συμπεραίνουμε ότι για κάθε r nj υπάρχει f nj = r nj x n + a n 1 x n 1 + + a 0 J. Ισχυριζόμαστε ότι J =< f ij 0 i N, 1 j t i >. Θέτουμε J =< f ij 0 i N, 1 j t i >. Θα δείξουμε ότι J J και J J. Η πρώτη σχέση είναι προϕανής επειδή κάθε f ij J. Για την δεύτερη σχέση θεωρούμε ένα στοιχείο f = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0 J. Θα δείξουμε με επαγωγή επί του n ότι f J. Για n = 0 έχουμε f = a 0 J, οπότε f = a 0 I 0 =< r 01,..., r 0t0 >=< f 01,..., f 0t0 > και επομένως f J. Υποθέτουμε ότι κάθε στοιχείο του J που γράϕεται στην μορϕή f = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0 για n < k ανήκει στο J. Θα δείξουμε ότι η τελευταία πρόταση ισχύει και για n = k. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Περίπτωση k N. Εστω f = a k x k + a k 1 x k 1 + + a 0 J, οπότε a k I k. Άρα υπάρχουν s j R τέτοια ώστε a k = t k j=1 s j r kj. Το πολυώνυμο g = t k j=1 s j f kj = a k x k + b k 1 x k 1 + + b 0 ανήκει στο J J και επομένως f g J. Ομως f g = (a k 1 b k 1 )x k 1 + + (a 0 b 0 ), οπότε, από την υπόθεση της επαγωγής, παίρνουμε ότι f g J. Συνεπώς f J, αϕού g J. 2. Περίπτωση k > N. Εστω f = a k x k + a k 1 x k 1 + + a 0 J, οπότε a k I k = I N. Άρα υπάρχουν s j R τέτοια ώστε a k = t N j=1 s j r Nj. Το πολυώνυμο g = tn j=1 s j f Nj x k N = a k x k +b k 1 x k 1 + +b 0 ανήκει στο J J και επομένως f g J. Ομως f g = (a k 1 b k 1 )x k 1 + +(a 0 b 0 ), οπότε, από την υπόθεση της επαγωγής, λαμβάνουμε ότι f g J. Άρα f J, αϕού g J. Ασκήσεις 1.2.5 1. Βρείτε μια πεπερασμένη βάση (σύνολο γεννητόρων) για κάθε ένα από τα παρακάτω ιδεώδη του K[x, y, z]: I =< x n ny n n N > J =< x n y n 3 n N > και L =< x n y z n+1 n N >. Να εξετάσετε ιδιαιτέρως την περίπτωση που η χαρακτηριστική του σώματος K είναι 2 ή 3. 7

Κεϕάλαιο 2 Βασική Θεωρία των Βάσεων Gröbner 2.1 Μονωνυμικές διατάξεις Θεωρούμε τον δακτύλιο των πολυωνύμων K[x 1,..., x n ] με συντελεστές από κάποιο σώμα K. Ορισμός 2.1.1 Ενα μονώνυμο M είναι ένα πολυώνυμο του K[x 1,..., x n ] της μορϕής M = x a 1 1 x an n, όπου a 1,..., a n N 0 = {0, 1, 2,...}. Ο ϕυσικός αριθμός a 1 +... + a n λέγεται βαθμός του M και συμβολίζεται με deg(m). Από εδώ και στο εξής το σύνολο όλων των μονωνύμων του K[x 1,..., x n ] θα συμβολίζεται με T n. Υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ των συνόλων T n και N n 0 όπου στο μονώνυμο x a 1 1 x a n n αντιστοιχεί η n-άδα a = (a 1,..., a n ). Ειδικότερα για την n-άδα (0, 0,..., 0) έχουμε ότι 1 T n. Χάριν συντομίας το μονώνυμο x a 1 1 x a n n θα συμβολίζεται με x a. Ορισμός 2.1.2 Μια μερική διάταξη σε ένα σύνολο S είναι μια σχέση < με τις εξής ιδιότητες: (i) δεν ισχύει η σχέση x < x για οποιοδήποτε x S και (ii) αν x 1 < x 2, x 2 < x 3 τότε x 1 < x 3 για οποιαδήποτε x 1, x 2, x 3 S. Ορισμός 2.1.3 Μια μερική διάταξη < σε ένα σύνολο S καλείται ολική διάταξη αν για οποιαδήποτε x 1, x 2 S ισχύει ακριβώς μια από τις παρακάτω σχέσεις: x 1 < x 2, x 1 = x 2, x 1 > x 2. 8

Που σημαίνει ότι αν x 1 x 2 τότε αναγκαστικά x 1 < x 2 ή x 1 > x 2. Ορισμός 2.1.4 Μια μονωνυμική διάταξη στον K[x 1,..., x n ] είναι μία ολική διάταξη < στο T n με τις εξής ιδιότητες: 1) 1 < x a για κάθε μονώνυμο x a T n και x a 1. 2) Αν x a 1 < x a 2, τότε x a x a 1 < x a x a 2 για κάθε μονώνυμο x a T n. Πρόταση 2.1.5 Στον πολυωνυμικό δακτύλιο K[x] έχουμε μόνο μία μονωνυμική διάταξη. Απόδειξη. Εστω k, m ϕυσικοί αριθμοί με k < m. Από την ιδιότητα (1) του ορισμού 1.4 έχουμε 1 < x m k, οπότε κάνοντας χρήση της ιδιότητας (2) του ορισμού 1.4 και πολλαπλασιάζοντας την τελευταία ανισότητα με x k παίρνουμε x k < x m. Συνεπώς η μοναδική μονωνυμική διάταξη του T 1 είναι η 1 < x < x 2 <... < x m < x m+1 <.... Για n > 1 υπάρχουν άπειρες μονωνυμικές διατάξεις στον K[x 1,..., x n ]. Θα ανα- ϕερθούμε εκτενέστερα σε τρείς από αυτές. Ορισμός 2.1.6 Η λεξικογραϕική διάταξη > lex στον K[x 1,..., x n ] με x 1 > x 2 >... > x n ορίζεται ως εξής: x a 1 > lex x a 2 αν και μόνο αν η πρώτη μη μηδενική συντεταγμένη του a 1 a 2 είναι θετική. Παράδειγμα 2.1.7 Σύμϕωνα με την λεξικογραϕική διάταξη στον K[x 1,, x 2 ] με x 1 > x 2 τα μονώνυμα διατάσσονται ως εξής: 1 < lex x 2 < lex x 2 2 < lex < lex x k 2 < lex x 1 < lex x 1 x 2 < lex x 1 x 2 2 < lex < lex x 1 x k 2 < lex x 2 1 < lex x 2 1x 2 < lex x 2 1x 2 2 < lex < lex x 2 1x k 2 < lex x m 1 < lex x m 1 x 2 < lex x m 1 x 2 2 < lex < lex x m 1 x k 2 < lex Ορισμός 2.1.8 Η βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη > deglex στον K[x 1,..., x n ] με x 1 > x 2 >... > x n ορίζεται ως εξής: x a 1 > deglex x a 2 αν και μόνο αν deg(x a 1 ) > deg(x a 2 ) ή deg(x a 1 ) = deg(x a 2 ) και x a 1 > lex x a 2, δηλαδή η πρώτη μη μηδενική συντεταγμένη του a 1 a 2 είναι θετική. Ορισμός 2.1.9 Η αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη > degrevlex στον K[x 1,..., x n ] με x 1 > x 2 >... > x n ορίζεται ως εξής: x a 1 > degrevlex x a 2 αν και μόνο αν deg(x a 1 ) > deg(x a 2 ) ή deg(x a 1 ) = deg(x a 2 ) και η τελευταία μη μηδενική συντεταγμένη του a 1 a 2 είναι αρνητική. 9

Παράδειγμα 2.1.10 Σύμϕωνα με την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη στον K[x 1, x 2 ] με x 1 > x 2 τα μονώνυμα διατάσσονται ως εξής: 1 < deglex x 2 < deglex x 1 < deglex x 2 2 < deglex x 1 x 2 < deglex x 2 1 < deglex x 3 2 < deglex x 1 x 2 2 < deglex x 2 1x 2 < deglex x 3 1 < deglex x m 2 < deglex x 1 x m 1 2 < deglex < deglex x m 1 1 x 2 < deglex x m 1 < deglex Η αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική συμπίπτει με την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη στον K[x 1, x 2 ]. Παράδειγμα 2.1.11 Γενικώς οι παραπάνω τρείς διατάξεις στον K[x 1,..., x n ] δεν συμπίπτουν για n 3. Για παράδειγμα αν x 1 > x 2 >... > x n, τότε στην βαθμωτή λεξικογραϕική έχουμε x 1 x 3 > deglex x 2 2 ενώ στην αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική έχουμε x 1 x 3 < degrevlex x 2 2. Κάθε μετάθεση των μεταβλητών x 1,..., x n δημιουργεί διαϕορετικές λεξικογραϕικές διατάξεις (αντίστοιχα βαθμωτές λεξικογραϕικές και αντίστροϕες βαθμωτές λεξικογραϕικές). Πρόταση 2.1.12 Οι λεξικογραϕικές, βαθμωτές λεξικογραϕικές και αντίστροϕες βαθμωτές λεξικογραϕικές είναι μονωνυμικές διατάξεις. Απόδειξη. Η πρόταση θα αποδειχθεί μόνο για την λεξικογραϕική διάταξη με x 1 > x 2 >... > x n και ο αναγνώστης προσκαλείται να αποδείξει την πρόταση στις υπόλοιπες δύο περιπτώσεις. Καθώς a a = 0, έχουμε ότι δεν ισχύει x a < lex x a. Εστω x a, x b, x c T n με x a < lex x b και x b < lex x c. Τότε a 1 = b 1,..., a i 1 = b i 1, a i < b i και b 1 = c 1,..., b j 1 = c j 1, b j < c j. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1) i < j πράγμα που σημαίνει ότι a 1 = b 1 = c 1,..., a i 1 = b i 1 = c i 1 και a i < b i = c i. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε x a < lex x c. 2) i = j πράγμα που σημαίνει ότι a 1 = b 1 = c 1,..., a i 1 = b i 1 = c i 1 και a i < b i < c i. Άρα x a < lex x c. 3) i > j πράγμα που σημαίνει ότι a 1 = b 1 = c 1,..., a i 1 = b i 1 = c i 1 και a j = b j < c j. Ξανά έχουμε x a < lex x c. Εως τώρα έχουμε αποδείξει ότι η λεξικογραϕική διάταξη είναι μερική διάταξη. Άν x a, x b T n, τότε a b = 0 ή υπάρχει τουλάχιστον μια μη μηδενική συντεταγμένη a b. Υποθέτοντας ότι a b = 0 τότε x a = x b, ενώ αν η πρώτη μη μηδενική συντεταγμένη είναι αρνητική (αντίστοιχα θετική) έχουμε x a < lex x b (αντίστοιχα x a > lex x b ). Άρα η < lex είναι ολική διάταξη. Εστω 1 x a T n οπότε a (0,..., 0) και a N n 0. Άρα κάθε συντεταγμένη του 10

a 0 = a είναι θετική ή μηδέν και τουλάχιστον μία είναι διαϕορετική του μηδενός. Συνεπώς x a > lex 1. Αν x a 1 > lex x a 2, τότε η πρώτη μη μηδενική συντεταγμένη του a 1 a 2 είναι θετική. Άρα η πρώτη μη μηδενική συντεταγμένη του (a 1 + a) (a 2 + a) = a 1 a 2 είναι θετική, δηλαδή x a x a 1 > lex x a x a 2. Πρόταση 2.1.13 Εστω < μια μονωνυμική διάταξη στον K[x 1,..., x n ] και x a, x b T n. Αν x a \x b, τότε x a x b. Απόδειξη. Από την υπόθεση υπάρχει μονώνυμο x c έτσι ώστε x b = x a x c. Καθώς < είναι μονωνυμική διάταξη, έχουμε ότι 1 x c και άρα x a x a x c = x b. Θεώρημα 2.1.14 Κάθε μονωνυμική διάταξη είναι καλά διατεταγμένη, δηλαδή οποιοδήποτε μη κενό υποσύνολο A του T n έχει ελάχιστο στοιχείο ( υπάρχει x a A έτσι ώστε x b A να έχουμε x a x b ). Απόδειξη. Εστω A ένα μη κενό υποσύνολο του T n που δεν διαθέτει ελάχιστο στοιχείο. Τότε για κάθε x a A βρίσκουμε ένα μονώνυμο x b A που είναι αυστηρά μικρότερο του. Ετσι κατασκευάζουμε μια ακολουθία μονωνύμων του A ούτως ώστε Θεωρούμε την ακολουθία ιδεωδών x a 1 > x a 2 >... x a m > x a m+1 >.... < x a 1 > < x a 1, x a 2 > < x a 1,..., x a m > < x a 1,..., x a m+1 > του K[x 1,..., x n ]. Ισχυριζόμαστε ότι < x a 1,..., x a m > < x a 1,..., x a m+1 >. Σε αντίθετη περίπτωση x a m+1 < x a 1,..., x am >. Οπότε x a m+1 = f 1 x a 1 +... + f m x am για κάποια πολυώνυμα f 1..., f m. Καθώς x a m+1 T n και κάθε μονώνυμο του f 1 x a 1 +... + f m x a m είναι πολλαπλάσιο του x a i για κάποιο 1 i m. Από την πρόταση 1.13 έχουμε ότι x a m+1 x a i που δεν ισχύει αϕού x a i > x a m+1. Ετσι παίρνουμε μια αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του K[x 1,..., x n ] που δεν είναι τελικά σταθερή. Πράγμα που αντίκειται στο ότι K[x 1,..., x n ] είναι δακτύλιος της Noether. Ασκήσεις 2.1.15 1. Εστω > 1 και > 2 μονωνυμικές διατάξεις των πολυωνυμικών δακτυλίων K[x 1,..., x n ] και K[y 1,..., y m ] αντίστοιχα. Δείξτε ότι η σχέση > στον δακτύλιο K[x 1,..., x n, y 1,..., y m ] που ορίζεται: x a y b > x c y d αν και μόνο αν x a > 1 x c, ή x a = x c και y b > 2 y d, είναι μονωνυμική διάταξη. Η διάταξη αυτή λέγεται διάταξη γινομένου. 2. Εστω > η αντίστροϕη λεξικογραϕική διάταξη > revlex με x 1 > x 2 >... > x n που ορίζεται: x a 1 > revlex x a 2 αν και μόνο αν η τελευταία μη μηδενική συντεταγμένη του a 1 a 2 είναι αρνητική. Να εξεταστεί αν η αντίστροϕη λεξικογραϕική διάταξη είναι μονωνυμική διάταξη. 11

3. Εστω w ένα διάνυσμα του R n 0 και έστω > 1 μια οποιαδήποτε μονωνυμική διάταξη. Η βαθμωτή (w, > 1 ) διάταξη του T n είναι η διάταξη > (w,>1 ) που ορίζεται: x a 1 > (w,>1 ) x a 2 αν και μόνο αν w a 1 > w a 2 ή w a 1 = w a 2 και x a 1 > 1 x a 2. Δείξτε ότι η βαθμωτή (w, > 1 ) διάταξη είναι μονωνυμική διάταξη. 4. Δείξτε ότι μια ολική διάταξη που είναι καλά διατεταγμένη και ισχύει αν x a 1 < x a 2 τότε x a x a 1 < x a x a 2 για κάθε μονώνυμο x a T n, είναι μονωνυμική διάταξη. 5. Δείξτε ότι στον T 2 με x 1 > x 2 η βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη και η αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη ταυτίζονται. 12

2.2 Διαίρεση πολυωνύμων Εστω < μια μονωνυμική διάταξη στον K[x 1,..., x n ]. Κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ], γράϕεται στην μορϕή f = c 1 x a 1 +... + c s x as, όπου x a 1 > > x as και c i 0 για κάθε i {1,..., s}. Ο όρος c 1 x a 1 καλείται αρχικός όρος του f και συμβολίζεται με lt(f). Το c 1 καλείται αρχικός συντελεστής του f και συμβολίζεται με lc(f). Τέλος το μονώνυμο x a 1 καλείται αρχικό μονώνυμο του f και συμβολίζεται με lm(f). Από τους παραπάνω ορισμούς είναι ϕανερό ότι lt(f) = lc(f)lm(f). Παράδειγμα 2.2.1 Εστω f = xyz 2 + 3x 3 + 2y 4 7xy 2 z Q[x, y, z]. Ως προς την λεξικογραϕική διάταξη στον Q[x, y, z] με x > y > z έχουμε lt(f) = 3x 3. Ως προς την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z έχουμε lt(f) = 7xy 2 z. Ως προς την αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z έχουμε lt(f) = 2y 4. Ο αναγνώστης προσκαλείται να βρεί τους αρχικούς όρους του f ως προς τις παραπάνω τρείς διατάξεις στην περίπτωση που y > z > x. Ορισμός 2.2.2 Εστω f, g, h K[x 1,..., x n ] με g 0. Θα λέμε ότι το f ανάγεται στο h μόδιο g σε ένα βήμα και θα το συμβολίζουμε με f g h αν και μόνο αν 1) το αρχικό μονώνυμο lm(g) διαιρεί ένα μη μηδενικό όρο X του f και 2) h = f X lt(g) g. Παράδειγμα 2.2.3 Εστω f = 3x 3 y x 2 y 2 +7xy 2 189x, g = y 2 3x και h = 3x 3 y x 2 y 2 + 21x 2 189x τρία πολυώνυμα στον Q[x, y]. Ως προς την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y έχουμε f g h, αϕού lm(g) = y 2 διαιρεί ένα μη μηδενικό όρο X = 7xy 2 του f και h = f 7xy2 g. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι ό όρος του f που χρησιμοποιήθηκε y 2 δεν είναι ο αρχικός όρος του f. Ορισμός 2.2.4 Εστω f, h, f 1,..., f s πολυώνυμα του K[x 1,..., x n ] με f i 0, για κάθε 1 i s, και F = {f 1,..., f s }. Θα λέμε ότι το f ανάγεται στο h μόδιο F και θα το συμβολίζουμε με f F + h αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία δεικτών {i 1,..., i t } {1,..., s} και ακολουθία πολυωνύμων {h 1,..., h t 1 } K[x 1,..., x n ] έτσι ώστε f f i 1 f i2 f i3 f it 1 f it h1 h2 ht 1 h. Παράδειγμα 2.2.5 Θεωρούμε τον δακτύλιο Q[x, y, z] εϕοδιασμένο με την λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z. Εστω F = {f 1 = x 3 y, f 2 = xz 1, f 3 = y 2 z}, 13

f = x 3 y + 2x 2 z + 3x 2 xy 2 + 7 και h = 2x 2 z + 3x 2 xz + y 2 + 7. Εχουμε f F + h αϕού: f f 1 h 1 = 2x 2 z + 3x 2 xy 2 + y 2 + 7 f 3 h = 2x 2 z + 3x 2 xz + y 2 + 7. Παρατηρούμε ότι η αναγωγή θα μπορούσε να συνεχιστεί περαιτέρω, αϕού lm(f 2 )\2x 2 z, lm(f 2 )\ xz και lm(f 3 )\y 2. Ορισμός 2.2.6 Ενα πολυώνυμο r καλείται ανάγωγο μόδιο F = {f 1,..., f s } αν r = 0 ή κανένα μονώνυμο του r δεν διαιρείται από κάποιο αρχικό μονώνυμο lm(f i ) για κάθε i = 1,..., s. Ορισμός 2.2.7 Αν f F + r και r είναι ανάγωγο ως προς το F, τότε το r καλείται υπόλοιπο του f μόδιο F. Σε αυτή την περίπτωση η διαδικασία της αναγωγής λέγεται διαίρεση. Αλγόριθμος 2.2.8 Είσοδος: f, f 1,..., f s K[x 1,..., x n ] με f i 0, 1 i s. Εξοδος: u 1, u 2,..., u s, r τέτοια ώστε f = u 1 f 1 + + u s f s + r όπου r είναι ανάγωγο μόδιο {f 1,..., f s } και max(lm(u 1 )lm(f 1 ),..., lm(u s )lm(f s ), lm(r)) = lm(f). Αρχή: u 1 := 0,..., u s := 0, r := 0, h := f Οσο h 0 Επανάλαβε Αν υπάρχει i τέτοιο ώστε lm(f i )\lm(h) Τότε διάλεξε το μικρότερο i τέτοιο ώστε lm(f i )\lm(h) u i := u i + lt(h) lt(f i ) h := h lt(h) lt(f i ) f i Αλλιώς r := r + lt(h) h := h lt(h). Παράδειγμα 2.2.9 Θεωρούμε τον δακτύλιο Q[x, y] εϕοδιασμένο με την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με y > x. Εστω f = y 2 x x Q[x, y], f 1 = yx y και f 2 = y 2 x. Εκτελώντας την διαίρεση του f με το F = {f 1, f 2 } έχουμε: f = y 2 x x f 1 h 1 = y 2 x x y2 x yx (yx y) = y2 x f 2 h 2 = y 2 x y2 y 2 (y2 x) = 0. Από τις σχέσεις h 1 yf 1 + 1f 2 + 0. = f y2 x yx f 1 και 0 = h 2 = h 1 y2 y 2 f 2 συμπεραίνουμε ότι f = Ασκήσεις 2.2.10 1. Εστω f = x 3 y 3 + 2y 2, f 1 = 2xy 2 + 3x + 4y 2, f 2 = y 2 2y 2 Q[x, y]. Χρησιμοποιώντας την λεξικογραϕική διάταξη με x > y εκτελέστε την διαίρεση του f με το {f 1, f 2 } και στη συνέχεια βρείτε το υπόλοιπο r και πολυώνυμα u 1, u 2, έτσι ώστε f = u 1 f 1 + u 2 f 2 + r. 14

2. Εστω f = x 7 1, f 1 = x 2 y, f 2 = y 2 x Q[x, y]. Χρησιμοποιώντας την λεξικογραϕική διάταξη με x > y εκτελέστε την διαίρεση του f με το {f 1, f 2 }. Επαναλάβετε την διαίρεση του f με το {f 1, f 2 } χρησιμοποιώντας την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y. 3. Εστω f = x 3 y 3 x 3 y 3, f 1 = xy 2 x 2, f 2 = x 2 y y 2 Q[x, y]. Χρησιμοποιώντας την λεξικογραϕική διάταξη με x > y εκτελέστε την διαίρεση του f με το {f 1, f 2 }. Επαναλάβετε την διαίρεση του f με το {f 1, f 2 } χρησιμοποιώντας την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y. 4. Εάν V = {(a 1,..., a n )} K n, τότε βρείτε το I(V ). 5. Εάν V = {(t, t 2 ) t R} R 2, τότε βρείτε το I(V ). 15

2.3 Βάσεις Gröbner Ορισμός 2.3.1 Ενα σύνολο μη μηδενικών πολυωνύμων G = {g 1,..., g t } που περιέχεται σε ένα ιδεώδες I λέγεται βάση Gröbner του I αν για κάθε μη μηδενικό f I υπάρχει i {1,..., t} έτσι ώστε lm(g i )\lm(f). Ορισμός 2.3.2 Δοθέντος S K[x 1,..., x n ], το ιδεώδες καλείται αρχικό ιδεώδες του S. Lt(S) =< lt(s) s S > Παρατήρηση 2.3.3 Κάθε αρχικός όρος lt(s) είναι της μορϕής lc(s)lm(s), όπου οι αρχικοί συντελεστές είναι μη μηδενικά στοιχεία του σώματος K και επομένως διαθέτουν αντίστροϕο. Συνεπώς Lt(S) =< lm(s) s S >, δηλαδή το αρχικό ιδεώδες Lt(S) παράγεται και από τα αρχικά μονώνυμα lm(s). Θεώρημα 2.3.4 Εστω I ένα μη μηδενικό ιδεώδες του K[x 1,..., x n ] και G = {g 1,..., g t } K[x 1,..., x n ]. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (i) G είναι βάση Gröbner του I. (ii) f I αν και μόνο αν f G + 0. (iii) f I αν και μόνο αν f = t i=1 h i g i με lm(f) = max 1 i t (lm(h i )lm(g i )). (iv) Lt(G) = Lt(I). Απόδειξη. (i) (ii) Εστω f I, τότε από τον αλγόριθμο της διαίρεσης υπάρχει r K[x 1,..., x n ] ανάγωγο μόδιο G ούτως ώστε f G + r και επομένως f = t i=1 h i g i +r. Υποθέτουμε ότι r 0. Καθώς f I και g i I, έχουμε ότι r I. Τότε, από την υπόθεση, υπάρχει i {1,..., t} έτσι ώστε lm(g i )\lm(f). Η τελευταία πρόταση αντίκειται στο ότι το r είναι ανάγωγο. Άρα r = 0. Εστω f G + 0, τότε από τον αλγόριθμο της διαίρεσης f = t i=1 h i g i + 0 και επομένως f I αϕού κάθε g i I. (ii) (iii) Εστω f I, τότε, από την υπόθεση, f G + 0, οπότε κάνοντας χρήση του αλγόριθμου διαίρεσης έχουμε ότι f = t i=1 h i g i με lm(f) = max 1 i t (lm(h i )lm(g i )). Αντίστροϕα, από την σχέση f = t i=1 h i g i παίρνουμε f I αϕού G I. (iii) (iv) Φανερά Lt(G) Lt(I), αϕού G I. Εστω lm(f) ένας γεννήτορας του Lt(I), όπου f I. Τότε, από την υπόθεση, έ- χουμε lm(f) = max 1 i t (lm(h i )lm(g i )), οπότε lm(f) = lm(h i )lm(g i ) για κάποιο i {1,..., t}. Συνεπώς lm(f) < lm(g i ) g i G >= Lt(G), πράγμα που σημαίνει ότι Lt(I) Lt(G). (iv) (i) Εστω f I, τότε lt(f) Lt(G) και επομένως υπάρχουν h 1,..., h t στον K[x 1,..., x n ] έτσι ώστε lt(f) = h 1 lt(g 1 ) +... + h t lt(g t ). Κάθε όρος του πολυωνύμου h 1 lt(g 1 ) +... + h t lt(g t ) διαιρείται από κάποιο lm(g i ), οπότε και ο lt(f) διαιρείται από το lm(g i ). Άρα G είναι βάση Gröbner του I. 16

Θεώρημα 2.3.5 Αν G = {g 1,..., g t } είναι βάση Gröbner του ιδεώδους I, τότε είναι και βάση του I δηλαδή I =< g 1,..., g t >. Απόδειξη. Καθώς g i I για κάθε i {1,..., t}, έχουμε ότι < g 1,..., g t > I. Εστω f I, τότε, λόγω του γεγονότος ότι G είναι βάση Gröbner του I, έχουμε f G + 0 και επομένως f = h 1 g 1 +... + h t g t + 0 για κάποια h 1,..., h t στον K[x 1,..., x n ]. Άρα f < g 1,..., g t >, πράγμα που σημαίνει ότι I < g 1,..., g t >. Θεώρημα 2.3.6 Κάθε μη μηδενικό ιδεώδες I του K[x 1,..., x n ] διαθέτει μια βάση Gröbner. Ορισμός 2.3.7 Θα λέμε ότι το σύνολο G = {g 1,..., g t } είναι βάση Gröbner αν είναι βάση Gröbner του ιδεώδους < g 1,..., g t > που παράγεται από τα g 1,..., g t. Θεώρημα 2.3.8 Εστω G = {g 1,..., g t } ένα σύνολο μη μηδενικών πολυωνύμων του K[x 1,..., x n ]. Το G είναι βάση Gröbner αν και μόνο αν το υπόλοιπο της διαίρεσης μόδιο G οποιουδήποτε f K[x 1,..., x n ] είναι μοναδικό. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι G είναι βάση Gröbner και f K[x 1,..., x n ]. Εστω f G + r 1 και f G + r 2, όπου r 1, r 2 είναι ανάγωγα μόδιο G. Τότε f r 1 < G > και f r 2 < G > και επομένως r 2 r 1 < G >. Καθώς G είναι βάση Gröbner, έχουμε ότι r 2 r G 1 + 0. Επίσης r 2 r G 1 + r 2 r 1, αϕού r 2 r 1 είναι ανάγωγο μόδιο G. Συνεπώς r 2 r 1 = 0, πράγμα που σημαίνει ότι r 2 = r 1. Αντίστροϕα, υποθέτουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης μόδιο G οποιουδήποτε f K[x 1,..., x n ] είναι μοναδικό. Εστω f < G > με f G + r. Θα δείξουμε ότι r = 0. Ισχυριζόμαστε ότι η παρακάτω πρόταση Α είναι αληθής. Πρόταση Α: Αν g G + r, όπου r είναι ανάγωγο μόδιο G, τότε για οποιοδήποτε i {1,..., t}, c K και X T n έχουμε g cxg G i + r. Εστω ότι η πρόταση Α είναι αληθής και f I =< g 1,..., g t > με f = t i=1 h i g i = lv=1 c v X v g iv, όπου i v {1,..., t} και τα X v είναι μονώνυμα. Κατά την πρόταση Α, έχουμε ότι αν f G + r τότε f c 1 X 1 g G i1 + r. Εϕαρμόζοντας l ϕορές την πρόταση Α παίρνουμε τελικά ότι 0 = f t i=1 h i g i = l v=1 c v X v g G iv + r. Ομως 0 G + 0, οπότε r = 0. Άρα, από το Θεώρημα 3.3, G είναι βάση Gröbner. Απόδειξη της πρότασης Α. Ο αρχικός όρος του cxg i είναι clc(g i )Xlm(g i ). Εισάγουμε d K, έτσι ώστε ο συντελεστής του μονώνυμου Xlm(g i ) στο g να είναι dlc(g i ). Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. d = 0. Καθώς clc(g i )Xlm(g i ) είναι όρος του g cxg i, εκτελούμε τη διαίρεση του g cxg i με το g i και παίρνουμε g g cxg i i (g cxgi ) clc(g i)xlm(g i ) g i = g. lt(g i ) Από την υπόθεση έχουμε ότι g G + r και επομένως g cxg i G + r. 17

2. d = c. Καθώς dlc(g i )Xlm(g i ) είναι όρος του g, εκτελούμε την διαίρεση του g με το g i και παίρνουμε g g i g dlc(g i)xlm(g i ) g i = g cxg i lt(g i ) αϕού d = c. Εστω ότι g cxg G i + r 1, όπου r 1 είναι ανάγωγο μόδιο G. Τότε g G + r 1, ενώ g G + r και το υπόλοιπο της διαίρεσης μόδιο G είναι μοναδικό. Άρα r 1 = r. 3. d 0 και d c. Καθώς dlc(g i )Xlm(g i ) είναι όρος του g, αϕού d 0, εκτελούμε τη διαίρεση του g με το g i και παίρνουμε g g i g dlc(g i)xlm(g i ) g i = g dxg i. lt(g i ) Καθώς (d c)lc(g i )Xlm(g i ) είναι όρος του g cxg i, αϕού d c εκτελούμε τη διαίρεση του g με το g i και παίρνουμε g g cxg i (d c)lc(g i )Xlm(g i ) i g cxgi g i = g dxg i. lt(g i ) Αν g dxg i G + r 2, όπου r 2 είναι ανάγωγο μόδιο G, τότε g g i g dxg G i + r 2 και g cxg i g i g dxgi G + r 2. Ομως g G + r,οπότε r 2 = r. Ασκήσεις 2.3.9 1. Εστω {g 1,..., g s } K[x 1,..., x n ] και 0 h K[x 1,..., x n ]. Αν {g 1,..., g s } είναι βάση Gröbner, τότε δείξτε ότι και {hg 1,..., hg s } είναι βάση Gröbner. 2. Εστω G βάση Gröbner για κάποιο ιδεώδες I και r, f K[x 1,..., x n ], όπου r είναι ανάγωγο μόδιο G. Αν f r I, τότε δείξτε ότι f G + r. 3. Δείξτε ότι το G = {x y + z, y + 7z} είναι βάση Gröbner αν η διάταξη του Q[x, y, z] είναι η λεξικογραϕική με x > y > z. Δείξτε ότι το G δεν είναι βάση Gröbner αν η διάταξη του Q[x, y, z] είναι η λεξικογραϕική με z > y > x. 18

2.4 S-πολυώνυμα και ο αλγόριθμος του Buchberger Ορισμός 2.4.1 Δοθέντος μονωνύμων x a, x b T n όπου a = (a 1,..., a n ) και b = (b 1,..., b n ), το μονώνυμο x c με c i = max(a i, b i ) καλείται ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x a, x b και συμβολίζεται με Ε.Κ.Π.(x a, x b ). Ορισμός 2.4.2 Εστω f, g δυο μη μηδενικά στοιχεία του K[x 1,..., x n ] και L =Ε.Κ.Π.(lm(f), lm(g)). Το πολυώνυμο S(f, g) = L lt(f) f L lt(g) g καλείται S-πολυώνυμο των f και g. Παράδειγμα 2.4.3 Εστω f = 3x 2 yz y 3 z 3, g = xy 2 +z 2 πολυώνυμα στον K[x, y, z], όπου K είναι ένα σώμα χαρακτηριστικής διάϕορης του 3. Εϕοδιάζουμε τον K[x, y, z] με την λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z. Ως προς αυτή την διάταξη έχουμε ότι lm(f) = x 2 yz και lm(g) = xy 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των (lm(f), lm(g)) είναι x 2 y 2 z, όποτε S(f, g) είναι ίσο με x 2 y 2 z 3x 2 yz (3x2 yz y 3 z 3 ) x2 y 2 z xy 2 (xy2 + z 2 ) = xz 3 y4 z 3 3 όπου 1 είναι ο αντίστροϕος του 3 στο σώμα K. Οταν η χαρακτηριστική του σώματος K είναι 3 έχουμε ότι lm(f) = y 3 z 3 και lm(g) = xy 2. Σε αυτή την περίπτωση 3 Ε.Κ.Π.(lm(f), lm(g)) = xy 3 z 3 και S(f, g) = xy3 z 3 y 3 z 3 ( y3 z 3 ) xy3 z 3 xy 2 (xy2 + z 2 ) = yz 5. Θεώρημα 2.4.4 (Buchberger) Εστω G = {g 1,..., g t } ένα σύνολο μη μηδενικών πολυωνύμων στον K[x 1,..., x n ]. Το G είναι βάση Gröbner του ιδεώδους I =< g 1,..., g t > αν και μόνο αν για κάθε i j έχουμε S(g i, g j ) G + 0. Αρχικά θα αποδείξουμε μια βοηθητική πρόταση. Λήμμα 2.4.5 Εστω f 1,..., f s K[x 1,..., x n ] με lm(f i ) = X για κάθε i {1,..., s}. Εστω f = s i=1 c i f i όπου c i K, i {1,..., s}. Αν lm(f) < X, τότε το f γράϕεται σαν γραμμικός συνδυασμός, με συντελεστές από το K, των S(f i, f j ), 1 i < j s. Απόδειξη. Εστω f i = a i X+ (μικρότεροι όροι), με a i K. Από την σχέση lm(f) < X έχουμε s i=1 c i a i = 0. Από την υπόθεση έχουμε lm(f i ) = X και lm(f j ) = X. Άρα S(f i, f j ) = X f a i X i X f a j X j = 1 a i f i 1 a j f j. Αλλά τότε 19

f = c 1 f 1 +... + c s f s 1 1 = c 1 a 1 a 1 f 1 +... + c s a s a s f s = c 1 a 1 ( 1 a 1 f 1 1 a 2 f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 )( 1 a 2 f 2 1 a 3 f 3 ) +... = +(c 1 a 1 +... + c s 1 a s 1 )( 1 a s 1 f s 1 1 a s f s ) + (c 1 a 1 +... + c s a s ) 1 a s f s = c 1 a 1 S(f 1, f 2 ) + (c 1 a 1 + c 2 a 2 )S(f 2, f 3 ) +... = +(c 1 a 1 +... + c s 1 a s 1 )S(f s 1, f s ) αϕού c 1 a 1 +... + c s a s = 0. Απόδειξη του θεωρήματος του Buchberger. ( ) Αν G = {g 1,..., g t } είναι βάση Gröbner για το ιδεώδες I =< g 1,..., g t >, τότε S(g i, g j ) G + 0 για κάθε i j αϕού S(g i, g j ) I. ( ) Υποθέτουμε ότι S(g i, g j ) G + 0 για κάθε i j. Εστω f I =< g 1,..., g t >, τότε το f μπορεί να γραϕεί (όχι μοναδικά) στην μορϕή f = t i=1 h i g i. Θέτουμε t M = {max 1 i t (lm(h i )lm(g i )) f = h i g i }. i=1 Το σύνολο μονωνύμων M είναι μη κενό και επομένως διαθέτει ελάχιστο στοιχείο, αϕού κάθε μονωνυμική διάταξη είναι καλά διατεταγμένη. Εστω X το ελάχιστο στοιχείο του M και u i K[x 1,..., x n ] τέτοια ώστε f = t i=1 u i g i με X = max 1 i t (lm(u i )lm(g i )). Ισχυριζόμαστε ότι X = lm(f). Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει η τελευταία σχέση, τότε αναγκαστικά lm(f) < X. Θεωρούμε το σύνολο δεικτών S = {i lm(u i )lm(g i ) = X}. Για κάθε i S γράϕουμε το u i = c i X i + (μικρότερους όρους). Θέτουμε g = i S c i X i g i. Τότε για κάθε i S ισχύει lm(x i g i ) = X και lm(g) < X. Από το προηγούμενο Λήμμα έχουμε ότι το g μπορεί να γραϕτεί στην μορϕή g = d ij S(X i g i, X j g j ) i,j S για κάποια d ij K. Ομως X =Ε.Κ.Π.(lm(X i g i ), lm(x j g j )), οπότε S(X i g i, X j g j ) = X lt(x i g i ) X X ig i lt(x j g j ) X jg j = X S(g i, g j ) X ij όπου X ij =Ε.Κ.Π.(lm(g i ), lm(g j ). Από την υπόθεση έχουμε S(g i, g j ) G + 0 και επομένως X X ij S(g i, g j ) G + 0, δηλαδή S(X i g i, X j g j ) G + 0. Αλλά τότε το S(X i g i, X j g j ) μπορεί να γραϕεί στην μορϕή t v=1 h(i, j) v g v με max 1 v t (lm(h(i, j) v )lm(g v )) = lm(s(x i g i, X j g j )) < max(lm(x i g i ), lm(x j g j )) = X. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω εκϕράσεις στο g = i,j S d ij S(X i g i, X j g j ) και τη νέα έκϕραση του g στο f, έχουμε f = t i=1 u ig i με max 1 i t (lm(u i)lm(g i )) < X. Η τελευταία πρόταση αντιτίθεται στην επιλογή του Q σαν το ελάχιστο στοιχείο του M. Άρα X = lm(f). Συνεπώς κάθε f I μπορεί να γραϕεί στην μορϕή f = t i=1 u i g i με lm(f) = max 1 i t (lm(u i )lm(g i )), πράγμα που σημαίνει ότι G είναι βάση Gröbner του I. 20

Παράδειγμα 2.4.6 Αν η διάταξη του Q[x, y, z, w] είναι η λεξικογραϕική με x > y > z > w τότε το σύνολο G = {g 1 = x y 2 w, g 2 = y zw, g 3 = z w 3, g 4 = w 3 w} είναι βάση Gröbner. Πραγματικά έχουμε S(g 1, g 2 ) = xy x (x y2 w) xy y (y zw) = xzw y3 w g 1 + y 3 w + y 2 zw 2 g 2 + 0, S(g 1, g 3 ) = xz x (x y2 w) xz z (z w3 ) = xw 3 zy 2 w g 1 + y 2 zw + y 2 w 4 g 3 + 0, S(g 1, g 4 ) = xw3 x (x y2 w) xw3 w 3 (w3 w) = xw y 2 w 4 g 1 + y 2 w 4 + y 2 w 2 g 4 + 0, S(g 2, g 3 ) = yz yz (y zw) y z (z w3 ) = yw 3 z 2 w g 2 + z 2 w + zw 4 g 3 + 0, S(g 2, g 4 ) = yw3 yw3 (y zw) y w 3 (w3 w) = yw zw 4 g 2 + zw 4 + zw g 4 + 0, S(g 3, g 4 ) = zw3 z (z w3 ) zw3 w 3 (w3 w) = zw w 6 g 3 + w 6 + w 4 g 4 + 0. Από το Θεώρημα του Buchberger το σύνολο G είναι βάση Gröbner. Παράδειγμα 2.4.7 Θεωρούμε τον δακτύλιο Q[x, y] εϕοδιασμένο με την λεξικογρα- ϕική διάταξη με y > x. Το σύνολο F = {f 1 = xy x, f 2 = y + x 2 } δεν είναι βάση Gröbner αϕού: S(f 1, f 2 ) = xy xy (xy x) xy y ( y + x2 ) = x 3 x που είναι ανάγωγο μόδιο F και διάϕορο του μηδενός. Δείξτε ότι το σύνολο G = {f 1, f 2, f 3 = x 3 x} είναι βάση Gröbner για το ιδεώδες I =< f 1, f 2 >. Αλγόριθμος 2.4.8 Αλγόριθμος του Buchberger για τον υπολογισμό μιας βάσης Gröbner Είσοδος: F = {f 1,..., f s } K[x 1,..., x n ] με f i 0, 1 i s. Εξοδος: G = {g 1,..., g t }, μια βάση Gröbner του ιδεώδους < f 1,..., f s > Αρχή: G := F, G := {{f i, f j } f i f j G} Οσο G Επανάλαβε Διάλεξε οποιοδήποτε {f, g} G και θέσε G := G {{f, g}} S(f, g) G + h, όπου h είναι ανάγωγο μόδιο G Αν h 0 Τότε G := G {{u, h} u G} G := G {h} Παράδειγμα 2.4.9 Ακολουθώντας τον αλγόριθμο του Buchberger θα βρούμε μια βάση Gröbner του ιδεώδους I =< x 2 y + z, xz + y > του Q[x, y, z], ο οποίος είναι 21

εϕοδιασμένος με την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z. Θέτουμε G 1 = {f 1 = x 2 y + z, f 2 = xz + y} και G 1 = {{f 1, f 2 }}. Εχουμε S(f 1, f 2 ) = x2 yz x 2 y (x2 y + z) x2 yz xz (xz + y) = xy2 + z 2 που είναι ανάγωγο μόδιο G 1. Άρα έχουμε G 2 = {f 1, f 2, f 3 = xy 2 + z 2 } και G 2 = {{f 1, f 3 }, {f 2, f 3 }}. Επίσης S(f 1, f 3 ) = x2 y 2 x 2 y (x2 y + z) x2 y 2 xy 2 ( xy2 + z 2 ) = xz 2 + yz f 2 0 S(f 2, f 3 ) = xy2 z xz (xz + y) xy2 z xy 2 ( xy2 + z 2 ) = y 3 + z 3. Το y 3 + z 3 είναι ανάγωγο μόδιο G 2. Συνεπώς έχουμε G 3 = {f 1, f 2, f 3, f 4 = y 3 + z 3 } και G 3 = {{f 1, f 4 }, {f 2, f 4 }, {f 3, f 4 }}. Υπολογίζοντας τα S(f 1, f 4 ), S(f 2, f 4 ), S(f 3, f 4 ) βλέπουμε ότι S(f 1, f 4 ) G 3 + 0, S(f 2, f 4 ) G 3 + 0 και S(f 3, f 4 ) G 3 + 0. Άρα ο αλγόριθμος του Buchberger ολοκληρώθηκε και το G 3 = {f 1 = x 2 y + z, f 2 = xz + y, f 3 = xy 2 + z 2, f 4 = y 3 + z 3 } είναι βάση Gröbner του ιδεώδους I =< x 2 y + z, xz + y >. Θεώρημα 2.4.10 Εστω F = {f 1,..., f s }, με f i 0. Ο αλγόριθμος του Buchberger παρέχει μια βάση Gröbner του ιδεώδους I =< f 1,..., f s >. Απόδειξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι ο αλγόριθμος τελειώνει σε πεπερασμένα το πλήθος βήματα. Ας υποθέσουμε ότι ο αλγόριθμος δεν τελειώνει, τότε υπάρχει μια γνησίως αύξουσα ακολουθία συνόλων F = G 1 G 2 G n G n+1 όπου G n+1 = G n {h n } και h n 0 είναι ανάγωγο μόδιο G n, δηλαδή lt(h n ) Lt(G n ). Αλλά τότε παίρνουμε μια γνησίως αύξουσα ακολουθία ιδεωδών Lt(G 1 ) Lt(G 2 ) Lt(G n ) Lt(G n+1 ), που είναι άτοπο αϕού K[x 1,..., x n ] είναι δακτύλιος της Noether. Στο τέλος του αλγόριθμου παίρνουμε ένα σύνολο πολυωνύμων G = {g 1,..., g t } I έτσι ώστε S(g i, g j ) G + 0, για το οποίο γνωρίζουμε, από το Θεώρημα του Buchberger, ότι είναι βάση Gröbner του ιδεώδους < g 1,..., g t >. Ομως I =< f 1,..., f s > < g 1,..., g t > I και επομένως I =< g 1,..., g t >. Η παρακάτω πρόταση είναι μειώνει σημαντικά τις πράξεις για τον υπολογισμό μιας βάσης Gröbner: 22

Πρόταση 2.4.11 Εστω f, g K[x 1,..., x n ]. Αν μ.κ.δ.(lt(f), lt(g)) = 1 τότε S(f, g) f,g + 0. Ασκήσεις 2.4.12 1. Αποδείξτε ότι το G = {x 2 y 3, y 2 z 3, z 2 w 3 } είναι βάση Gröbner αν η διάταξη του Q[x, y, z, w] είναι η λεξικογραϕική με x > y > z > w. 2. Βρείτε μια βάση Gröbner για το ιδεώδες I =< x 2 yw, x z, xz yw > του Q[x, y, z, w] ως προς την αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική με x > y > z > w. 3. Βρείτε μια βάση Gröbner για το ιδεώδες I =< t 3 x, t 4 y, t 5 z > του Q[t, x, y, z] ως προς την βαθμωτή λεξικογραϕική με t > x > y > z και ως προς την λεξικογραϕική με x > y > z > t. 4. Δείξτε ότι αν X 1,..., X t είναι μονώνυμα του T n, τότε το {X 1,..., X t } είναι βάση Gröbner ως προς οποιαδήποτε μονωνυμική διάταξη του K[x 1,..., x n ]. 5. Αποδείξτε ότι το G = {g} είναι βάση Gröbner ως προς οποιαδήποτε μονωνυμική διάταξη του K[x 1,..., x n ], όπου g είναι μη μηδενικό πολυώνυμο του K[x 1,..., x n ]. 23

2.5 Ελαχιστικές και ανάγωγες βάσεις Gröbner Ορισμός 2.5.1 Μια βάση Gröbner G = {g 1,..., g t } λέγεται ελαχιστική αν για κάθε i {1,..., t} έχουμε lc(g i ) = 1 και για οποιοδήποτε ζεύγος i j το αρχικό μονώνυμο lm(g i ) δεν διαιρεί το αρχικό μονώνυμο lm(g j ). Παράδειγμα 2.5.2 Θεωρούμε τον δακτύλιο Q[x, y] εϕοδιασμένο με την λεξικογρα- ϕική διάταξη με y > x. Το σύνολο F = {f 1 = y 2 x + yx + x 2, f 2 = y + x, f 3 = y, f 4 = x 2, f 5 = x} είναι βάση Gröbner, η οποία δεν είναι ελαχιστική αϕού lm(f 3 ) διαιρεί το lm(f 2 ). Λήμμα 2.5.3 Εστω G = {g 1,..., g t } βάση Gröbner για το ιδεώδες I. Αν lm(g 2 )\lm(g 1 ), τότε το {g 2,..., g t } αποτελεί βάση Gröbner του ιδεώδους I. Απόδειξη. Εστω f I, τότε, από την υπόθεση, υπάρχει i {1,..., t} τέτοιο ώστε lm(g i )\lm(f). Αν για κάποιο f I έχουμε i = 1, δηλαδή lm(g 1 )\lm(f), τότε lm(g 2 )\lm(g 1 )\lm(f). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν υπάρχει i {2,..., t} τέτοιο ώστε lm(g i )\lm(f), πράγμα που σημαίνει ότι {g 2,..., g t } είναι βάση Gröbner για το ιδεώδες I. Το παραπάνω λήμμα παρέχει έναν αλγόριθμο για να κατασκευάσουμε μια ελαχιστική βάση Gröbner ενός ιδεώδους I. Αλγόριθμος 2.5.4 Αλγόριθμος εύρεσης ελαχιστικής βάσης Gröbner Είσοδος: F = {f 1,..., f s } K[x 1,..., x n ] βάση Gröbner του ιδεώδους I Εξοδος: G = {g 1,..., g t }, μια ελαχιστική βάση Gröbner του I Αρχή: G := {g 1 = f 1,..., g lc(f 1 ) s = fs } lc(f s) Αν υπάρχουν i j τέτοια ώστε lm(g i ) να διαιρεί το lm(g j ). Τότε αϕαίρεσε το g j από το G. Παράδειγμα 2.5.5 Θεωρούμε τον δακτύλιο Q[x, y] εϕοδιασμένο με την λεξικογραϕική διάταξη με y > x. Είδαμε προηγουμένως ότι το σύνολο F = {f 1 = y 2 x+yx+x 2, f 2 = y + x, f 3 = y, f 4 = x 2, f 5 = x} δεν είναι ελαχιστική βάση Gröbner. Κάνοντας χρήση τον παραπάνω αλγόριθμο μπορούμε να βρούμε δύο διακεκριμένες ελαχιστικές βάσεις Gröbner, τις {x, y} και {x, y + x}. Σημειώνουμε ότι και {x, y + f(x)} είναι ελαχιστική βάση Gröbner για το ίδιο ιδεώδες, όπου f(x) οποιοδήποτε πολυώνυμο χωρίς σταθερό όρο. Επίσης παρατηρούμε ότι οι ανωτέρω ελαχιστικές βάσεις Gröbner έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό με αρχικούς όρους x, y ταυτόσημους. Η επόμενη πρόταση γενικεύει την τελευταία παρατήρηση. Πρόταση 2.5.6 Αν G = {g 1,..., g t } και F = {f 1,..., f s } είναι ελαχιστικές βάσεις Gröbner ενός ιδεώδους I, τότε s = t και η αρίθμηση των στοιχείων των βάσεων μπορεί να γίνει έτσι ώστε lt(f i ) = lt(g i ) για κάθε i {1,..., t}. 24

Απόδειξη. Καθώς g 1 I και F = {f 1,..., f s } είναι βάση Gröbner του I, υπάρχει i {1,..., s} τέτοιο ώστε lm(f i )\lm(g 1 ). Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι i = 1, δηλαδή lm(f 1 )\lm(g 1 ). Στην περίπτωση που i 1 τοποθετούμε το πολυώνυμο f i στην πρώτη θέση του F. Καθώς f 1 I και G = {g 1,..., g t } είναι βάση Gröbner του I, υπάρχει i {1,..., t} τέτοιο ώστε lm(g i )\lm(f 1 )\lm(g 1 ). Ομως G είναι ελαχιστική, ο- πότε i = 1 και επομένως lm(g 1 )\lm(f 1 )\lm(g 1 ). Άρα lm(g 1 ) = lm(f 1 ). Υποθέτουμε ότι lm(g 1 ) = lm(f 1 ),, lm(g l ) = lm(f l ) για κάποιο l μικρότερο ή ίσου του ελαχίστου των s, t. Αν l = s = t, τότε έχουμε το ζητούμενο. Σε αντίθετη περίπτωση, μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι l < t. Τότε g l+1 I και F = {f 1,..., f s } είναι βάση Gröbner του I, οπότε υπάρχει i {1,..., s} τέτοιο ώστε lm(f i )\lm(g l+1 ). Επίσης i {1,..., l}, διότι αν i {1,..., l} θα είχαμε lm(g i ) = lm(f i )\lm(g l+1 ) που αντιτίθεται στο ότι G = {g 1,..., g t } είναι ελαχιστική βάση Gröbner. Αλλάζοντας την αρίθμηση των στοιχείων του F, εάν είναι απαραίτητο, μπορούμε να υποθέσουμε ότι i = l + 1, οπότε lm(f l+1 )\lm(g l+1 ). Καθώς f l+1 I και G = {g 1,..., g t } είναι βάση Gröbner του I, υπάρχει j {1,..., t} τέτοιο ώστε lm(g j )\lm(f l+1 )\lm(g l+1 ). Ομως G είναι ελαχιστική βάση Gröbner, πράγμα που σημαίνει ότι j = l + 1 και επομένως lm(g l+1 )\lm(f l+1 )\lm(g l+1 ). Άρα lm(g l+1 ) = lm(f l+1 ). Συνεχίζοντας την διαδικασία καταλήγουμε τελικά στο ότι s = t και lt(f i ) = lt(g i ), για κάθε i {1,..., t}. Ορισμός 2.5.7 Μια βάση Gröbner G = {g 1,..., g t } λέγεται ανάγωγη βάση Gröbner αν για κάθε i {1,..., t} έχουμε lc(g i ) = 1 και g i είναι ανάγωγο μόδιο G {g i }, δηλαδή κανένας μη μηδενικός όρος του g i δεν διαιρείται από κάποιο lm(g j ) για i j. Παράδειγμα 2.5.8 Ανάμεσα στις ελαχιστικές βάσεις Gröbner του προηγούμενου παραδείγματος η μοναδική ανάγωγη είναι η {x, y}. Πρόταση 2.5.9 Κάθε ανάγωγη βάση Gröbner είναι και ελαχιστική. Θεώρημα 2.5.10 Κάθε μη μηδενικό ιδεώδες I στον δακτύλιο K[x 1,..., x n ], ο οποίος είναι εϕοδιασμένος με μια μονωνυμική διάταξη >, διαθέτει μοναδική ανάγωγη βάση Gröbner ως προς την >. Απόδειξη. Εστω G = {g 1,..., g t } μία ελαχιστική βάση Gröbner του I. Εκτελούμε τις παρακάτω διαιρέσεις για τα στοιχεία του G: g 1 H 1 + h 1 όπου h 1 είναι ανάγωγο μόδιο H 1 = {g 2, g 3, g 4,..., g t } g 2 H 2 + h 2 όπου h 2 είναι ανάγωγο μόδιο H 2 = {h 1, g 3, g 4,..., g t } H g 3 3 + h 3 όπου h 3 είναι ανάγωγο μόδιο H 3 = {h 1, h 2, g 4,..., g t } + h t όπου h t είναι ανάγωγο μόδιο H t = {h 1, h 2, h 3,..., h t 1 }. g t H t 25

Καθώς G = {g 1,..., g t } είναι ελαχιστική βάση Gröbner του I, παίρνουμε ότι lm(g i ) = lm(h i ) για κάθε i αϕού lm(g i ) δεν διαιρεί το lm(g j ) για οποιοδήποτε i j. Ετσι σε κάθε μία από τις παραπάνω διαιρέσεις το αρχικό μονώνυμο lm(g i ) προστίθεται αναγκαστικά στο υπόλοιπο h i. Άρα H = {h 1, h 2,..., h t } είναι βάση Gröbner του I και μάλιστα ανάγωγη, αϕού κανένας όρος του h i δεν διαιρείται από κάποιο lm(h j ) για οποιοδήποτε i j. Εστω G = {g 1,..., g t } και H = {h 1,..., h t } ανάγωγες βάσεις Gröbner με lm(g i ) = lm(h i ) για κάθε i. Αν g i h i, τότε g i h i 0 και g i h i I, οπότε υπάρχει j {1,..., t} ούτως ώστε lm(g j ) = lm(h j )\lm(g i h i ). Φανερά i j, αϕού lm(g i h i ) < lm(g i ) = lm(h i ). Συνεπώς lm(g j ) = lm(h j ) διαιρεί έναν όρο του g i h i, δηλαδή διαιρεί έναν όρο του g i ή h i. Η τελευταία πρόταση αντιτίθεται στο ότι κάθε ανάγωγη βάση Gröbner είναι και ελαχιστική. Άρα g i = h i για κάθε i. Παράδειγμα 2.5.11 Το 1983 ο Teo Mora βρήκε μια οικογένεια ιδεωδών I n =< x n+1 yz n 1 w, xy n 1 z n, x n z y n w > Q[x, y, z, w], n 1, της οποίας κάθε στοιχείο I n έχει τρείς γεννήτορες μολονότι η ανάγωγη βάση Gröbner του I n, ως προς την αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z > w, αποτελείται από n + 3 στοιχεία. Για παράδειγμα, το I 2005 έχει τρείς γεννήτορες ενώ η ανάγωγη βάση Gröbner αποτελείται απόx s 1 i + xi s 2 x j +... + x s 1 j = 0 2008 στοιχεία. Καθένα από τα ιδεώδη I n διαθέτει τρείς γεννήτορες, δύο βαθμού n + 1 και ένα βαθμού n. Η ανάγωγη βάση Gröbner του I n, ως προς την αντίστροϕη βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z > w, έχει τα παρακάτω n + 3 στοιχεία: G = {x n+1 yz n 1 w, xy n 1 z n, x n z y n w, x n 1 z n+1 y 2n 1 w, x n 2 z 2n+1 y 3n 2 w,..., x n j z jn+1 y (j+1)n j w,..., xz n2 n+1 y n2 n+1 w, z n2 +1 y n2 w}. Ασκήσεις 2.5.12 1. Δίνεται ότι μια βάση Gröbner του ιδεώδους I =< x 2 + y 2 + 1, x 2 y + 2xy + x > Z 5 [x, y] ως προς την λεξικογραϕική διάταξη με x > y είναι η {x 2 + y 2 + 1, x 2 y + 2xy + x, 3xy + 4x + y 3 + y, 4y 5 + 3y 4 + y 2 + y + 3}. Βρείτε την ανάγωγη βάση Gröbner του ιδεώδους I. 2. Βρείτε την ανάγωγη βάση Gröbner του I =< x y, y z, z w, w t > Q[x, y, z, w, t] ως προς την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με x > y > z > w > t. 3. Βρείτε μια βάση Gröbner του ιδεώδους J =< x 2 y + z, xz + y > Q[x, y, z] ως προς την λεξικογραϕική διάταξη με z > y > x. Στην συνέχεια βρείτε την ανάγωγη βάση Gröbner. 26

2.6 Εισαγωγή στο Υπολογιστικό πρόγραμμα Co- CoA Σε αυτή την ενότητα θα επιχειρήσουμε μια εισαγωγή στο υπολογιστικό πρόγραμμα Co- CoA (Computational Commutative Algebra) μέσω παραδειγμάτων. Το CoCoA είναι διαθέσιμο χωρίς χρέωση από τη σελίδα ftp://cocoa.dima.unige.it/cocoa/index.html. Επιλέγουμε τον ϕάκελο που αντιστοιχεί στον υπολογιστή και το λειτουργικό μας σύστημα. Το πρόγραμμα εγκαθίσταται αυτόματα στο C://cocoa. Για να ξεκινήσουμε το πρόγραμμα επιλέγουμε το εικονίδιο wincocoa. Αρχικά πρέπει να ορίσουμε τον πολυωνυμικό δακτύλιο R στον οποίο εργαζόμαστε. Αξίζει να σημειώσουμε ότι αυτό δεν είναι αναγκαίο στην περίπτωση που R = Q[x, y, z], διότι το CoCoA είναι προγραμματισμένο να ξεκινάει με τον παραπάνω δακτύλιο. Για παράδειγμα εάν χρησιμοποιούμε τον δακτύλιο R ::= K[x, y, z, w], γράϕουμε Use R ::= K[x, y, z, w]; όπου K είναι ένα συγκεκριμένο σώμα. Εάν επιθυμούμε να τοποθετήσουμε στη θέση του K τον δακτύλιο Z m των ακεραίων μόδιο m (m πρώτος), τότε γράϕουμε Use R ::= Z/(m)[x, y, z, w]; Το πρόγραμμα δέχεται μεταβλητές σε αγγλικούς χαρακτήρες της μορϕής x, y, z, w κλπ. Στη συνέχεια πρέπει να καθορίσουμε την μονωνυμική διάταξη του δακτυλίου R. Για παράδειγμα εάν η μονωνυμική διάταξη που χρησιμοποιούμε είναι η λεξικογραϕική με x > y > z > w (αντίστοιχα βαθμωτή λεξικογραϕική, αντίστρο- ϕη βαθμωτή λεξικογραϕική), τότε γράϕουμε Use R ::= K[x, y, z, w], Lex; (αντίστοιχα Use R ::= K[x, y, z, w], DegLex;, Use R ::= K[x, y, z, w], DegRevLex;). Στην περίπτωση που χρησιμοποιούμε την λεξικογραϕική με y > z > x > w γράϕουμε Use R ::= K[y, z, x, w], Lex;, δηλαδή η σειρά γραϕής των μεταβλητών καθορίζει και ποια προηγείται. Ας δούμε, τώρα, πως αναπαριστούμε στο CoCoA την διαίρεση ενός πολυωνύμου f R με ένα σύνολο πολυωνύμων F = {f 1,..., f s } R. Για παράδειγμα ως προς την lex (αντίστοιχα deglex, degrevlex) με x > y > z > w στον K[x, y, z, w] γράϕουμε Use R ::= K[x, y, z, w], Lex; DivAlg(f, [f 1,..., f s ]); Παράδειγμα 2.6.1 Εστω f = x 2 y + xy 2 + y 2 και f 1 = xy 1, f 2 = y 2 1 πολυώνυμα στον Q[x, y]. Εκτελώντας τη διαίρεση του f με το F = {f 1,..., f 2 } ως προς lex 27

με x > y παίρνουμε: Use R ::= Q[x, y], Lex; DivAlg(x 2 y + xy 2 + y 2, [xy 1, y 2 1]); Record[Quotients=[x + y, 1], Remainder = x + y + 1] Δοθέντος, τώρα, ενός ιδεώδους I =< f 1,..., f s > R, θα βρούμε με τη βοήθεια του CoCoA μια βάση Gröbner για το I ως προς lex (αντίστοιχα deglex, degrevlex). Για παράδειγμα ως προς την lex (αντίστοιχα deglex, degrevlex) με x > y > z > w στον K[x, y, z, w] γράϕουμε Use R ::= K[x, y, z, w], Lex; GBasis(Ideal(f 1,..., f s )); Παράδειγμα 2.6.2 Εστω I =< x 3 y, x 4 z > Q[x, y, z]. Μια βάση Gröbner για το I ως προς deglex με x > y > z υπολογίζεται ως εξής: Use R ::= Q[x, y, z], DegLex; GBasis(Ideal(x 3 y, x 4 z)); [x 3 y, xy + z, x 2 z y 2, xz 2 + y 3, y 4 z 3 ] Ας δούμε, τέλος, πως υπολογίζουμε μια ανάγωγη βάση Gröbner για το I ως προς την lex (αντίστοιχα deglex,degrevlex). Γράϕουμε Use R ::= K[x, y, z, w], Lex; ReducedGBasis(Ideal(f 1,..., f s )); Παράδειγμα 2.6.3 Εστω I =< x 3 y, x 4 z, x 5 w > Q[x, y, z, w]. Η ανάγωγη βάση Gröbner του I ως προς την degrevlex με y > x > z > w υπολογίζεται ως εξής: Use R ::= Q[x, y, z, w], DegRevLex; ReducedGBasis(Ideal(x 3 y, x 4 z, x 5 w)); [x 3 y, xy z, xz w, y 2 xw, z 2 yw, x 2 w yz] 28

Κεϕάλαιο 3 Εϕαρμογές των βάσεων Gröbner 3.1 Εϕαρμογές των βάσεων Gröbner στην Άλγεβρα Θεωρούμε τον πολυωνμικό δακτύλιο K[x 1,..., x n ] εϕοδιασμένον με μια μονωνυμική διάταξη, ένα ιδεώδες I =< f 1,..., f m > του K[x 1,..., x n ] και μια βάση Gröbner G = {g 1,..., g t } του I. Με τη βοήθεια των βάσεων Gröbner επιλύουμε αλγοριθμικά πληθώρα προβλημάτων που σχετίζονται με το I. 1. Πρόβλημα. Δοθέντος f K[x 1,..., x n ], εξετάστε εάν f I ή f / I. Στο πρόβλημα αυτό μπορούμε να απαντήσουμε αμέσως. Εχουμε f I f G + 0. Παράδειγμα 3.1.1 Εστω I =< f 1 = yx 2 4x, f 2 = y 2 + x 2 5 > ένα ιδεώδες στον Q[x, y], ο οποίος είναι εϕοδιασμένος με την βαθμωτή λεξικογραϕική διάταξη με y > x. Το σύνολο {g 1 = yx 2 4x, g 2 = y 2 + x 2 5, g 3 = x 4 + 4xy 5x 2 } είναι η ανάγωγη βάση Gröbner του I ως προς την λεξικογραϕική διάταξη. Παρατηρούμε ότι y 3 5y + 4x I, αϕού y 3 5y + 4x g 2 yx 2 + 4x g 1 0. Αντίθετα yx 2 + y 2 I, αϕού yx 2 + y 2 G + x 2 + 4x + 5 και x 2 + 4x + 5 είναι ανάγωγο μόδιο G. 2. Πρόβλημα. Στην περίπτωση που f I, βρείτε πολυώνυμα u 1,..., u t στον K[x 1,..., x n ] έτσι ώστε f = u 1 f 1 + u 2 f 2 + + u m f m. Καθώς f G + 0, βρίσκουμε από τον αλγόριθμο της διαίρεσης πολυώνυμα g 1,..., g t ούτως ώστε f = v 1 g 1 + v 2 g 2 + + v t g t. 29