Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη"

Transcript

1 Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη που είναι γνωστά από το µάθηµα Βασική Άλγεβρα Θα περιοριστούµε στα πλέον απαραίτητα για την ύλη που ακολουθεί 0 Συµβολισµοί Με Z = {,, 0,, } και = {0,, } συµβολίζουµε το σύνολο των ακεραίων αριθµών και το σύνολο των µη αρνητικών ακεραίων αριθµών αντίστοιχα m Το σύνολο των ρητών αριθµών είναι = m, Ÿ, 0, το σύνολο των πραγµατικών αριθµών συµβολίζεται µε, ενώ το σύνολο των µιγαδικών αριθµών είναι = { a + b a, b } συµβολισµό συµβολισµός, όπου = Για σύνολα Α και Β, χρησιµοποιούµε το A B για να δηλώσουµε ότι το Α είναι υποσύνολο του Β, ενώ ο A B σηµαίνει ότι το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β, δηλαδή A B και A B Ο πληθικός αριθµός ενός πεπερασµένου συνόλου Α συµβολίζεται µε #A Αν f : A B είναι συνάρτηση, C A και D B γράφουµε f ( C) = { f ( c) c C} και f ( D) = { a A f ( a) D} 0 ακτύλιοι, Παραδείγµατα ακτύλιος είναι ένα µη κενό σύνολο R εφοδιασµένο µε δύο εσωτερικές πράξεις, πρόσθεση + : R R R και πολλαπλασιασµός : R R R τέτοιες ώστε: α) το R ως προς την πρόσθεση είναι αβελιανή οµάδα, β) ισχύουν r r ) = r ) ( r3 ( r

2 Κεφάλαιο 0, r r + r ) = r r + r, r 3 ( 3 r3 ( r r ) r3 = r r3 + r r3 + για κάθε r, r r R, και γ) υπάρχει στοιχείο R R έτσι ώστε R r = r = r R για κάθε r R, 3 Ένας δακτύλιος R καλείται µεταθετικός αν ισχύει r r = r r για κάθε r, r R Εφεξής θα γράφουµε r r στη θέση του r r Επειδή στις σηµειώσεις αυτές θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε µεταθετικούς δακτυλίους, όταν γράφουµε δακτύλιο θα εννοούµε µεταθετικό δακτύλιο Έτσι για παράδειγµα η φράση έστω R δακτύλιος σηµαίνει έστω R µεταθετικός δακτύλιος Τα σύνολα Ÿ,, και µε τις συνήθεις πράξεις είναι δακτύλιοι Το σύνολο των ακεραίων του Gauss Ÿ[ ] = { a + b a, b Ÿ} είναι επίσης δακτύλιος µε τις συνήθεις πράξεις Το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων modulo ( Õ), Ÿ = {[ 0],[],,[ ]}, είναι δακτύλιος µε πράξεις [ a ] + [ b] = [ a + b] και [ a ][ b] = [ ab] όπως θυµόσαστε από το µάθηµα Βασική Άλγεβρα 0 Παράδειγµα (Τυπικές δυναµοσειρές) Έστω R ένας δακτύλιος Θεωρούµε το Õ σύνολο R των άπειρων ακολουθιών ( r ) Õ = ( r0, r,, r,) όπου r R για κάθε Õ Ορίζουµε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό όπου για κάθε = R R t k = r ( r ) ) Õ + ( s j ) j Õ = ( r + s Õ ( r ) ( s ) ( t ), Õ j j Õ = k k Õ k 0sk + r sk + + rk s0 = r = 0 k Õ Ως προς αυτές τις πράξεις το s k Õ R είναι δακτύλιος µε Õ ( R,0,) και 0 Õ (0R,0R,), όπου 0 R είναι το µηδενικό στοιχείο του R R = Συνήθως συµβολίζουµε το στοιχείο ) ( r 0, r,) = 0 r x ( r Õ = µε = r οπότε οι πράξεις λαµβάνουν τη γνωστή µορφή = r x +, j + s j x = = 0 = 0 r x ( r + s ) x

3 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 3 j k r x s j x = tk x, = 0 j= 0 k= 0 όπου tk = r0 sk + r sk + + rk s0 Με αυτόν το συµβολισµό γράφουµε Õ R [[ x]] = R, και τα στοιχεία του δακτυλίου R [[x]] ονοµάζονται τυπικές δυναµοσειρές Το σύνολο των τυπικών δυναµοσειρών =0 r x, όπου όλα τα r εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος είναι ίσα µε το 0 R είναι το σύνολο R [x] των πολυωνύ- µων µε συντελεστές από το R Ένα υποσύνολο S ενός δακτυλίου R ονοµάζεται υποδακτύλιος του R αν το S είναι δακτύλιος ως προς τις ίδες πράξεις και S = R Από το προηγούµενο παράδειγµα, ο R [x] είναι υποδακτύλιος του R [[x]] για κάθε δακτύλιο R 0 Πρόταση Έστω S υποσύνολο του δακτυλίου R Τότε ο S είναι υποδακτύλιος του R αν και µόνον αν () R S () a, b S a b S και ab S Απόδειξη Άσκηση Έστω R δακτύλιος Η τοµή (οποιουδήποτε πλήθους) υποδακτυλίων του R είναι υποδακτύλιος του R, πράγµα που προκύπτει άµεσα από την προηγούµενη πρόταση Αν τώρα Α είναι ένα µη κενό υποσύνολο του R, και S υποδακτύλιος του R, µε S [A] συµβολίζουµε την τοµή όλων των υποδακτυλίων του R που περιέχουν το S και A Αν το Α είναι πεπερασµένο, A = a,, a }, ο δακτύλιος S [A] συµβολίζεται { και µε S a,, a ] Με S x,, x ] συµβολίζουµε το δακτύλιο των πολυωνύµων [ στις µεταβλητές x,, x [ επί του S 03 Πρόταση Έστω ένας R δακτύλιος και S ένας υποδακτύλιος του R Έστω { a,, a} R Τότε S[ a,, a ] = { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) S[ x,, x ]}

4 4 Κεφάλαιο 0 Απόδειξη Από την Πρόταση 0, το σύνολο { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) S x,, x ]} είναι υποδακτύλιος του R Επιπλέον περιέχει το σύνολο a,, a } [ { Άρα από τον ορισµό έχουµε S a,, a ] { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) [ R x,, x ]} Για την άλλη σχέση εγκλεισµού παρατηρούµε ότι ο [ { f ( a,, a ) R f ( x,, x ) S[ x,, x ]} περιέχεται σε κάθε υποδακτύλιο του R που περιέχει το S και το a,, a } Άρα ισχύει η ισότητα { Η προηγούµενη πρόταση εξηγεί το συµβολισµό Ÿ [] για τους ακέραιους του Gauss 03 Οµοµορφισµοί ακτυλίων, Ιδεώδη Έστω R και S δυο δακτύλιοι και φ: R S µια απεικόνιση Η φ καλείται οµο- µορφισµός δακτυλίων αν () φ r + r ) = φ( r ) + φ( ) για κάθε r r R ( r () ϕ( rr ) = ϕ( r) ϕ( r) για κάθε r, r R, και () φ( ) = R S Ένας οµοµορφισµός δακτυλίων φ: R S καλείται επιµορφισµός ή µονοµορφισµός αν η φ ως απεικόνιση είναι αντίστοιχα επί ή Ισοµορφισµός είναι οµο- µορφισµός που είναι ταυτόχρονα επιµορφισµός και µονοµορφισµός Αν φ: R S είναι ένας ισοµορφισµός θα λέµε ότι οι δακτύλιοι R και S είναι ισόµορφοι και θα συµβολίζουµε αυτό µε R S Για παράδειγµα, η απεικόνιση φ: Ÿ Ÿ, φ ( m) = [ m], είναι επιµορφισµός Έστω, φ: R S ένας οµοµορφισµός δακτυλίων Το σύνολο kerφ = { r R φ( r) = 0S} ονοµάζεται πυρήνας του φ Η εικόνα του φ είναι Imφ = { s S s = φ( r) για κάποιο r R} Χρησιµοποιώντας την Πρόταση 0 εύκολα αποδεικνύεται ότι το Im φ είναι υποδακτύλιος του S (άσκηση) Επιπλέον έχουµε: 03 Πρόταση Έστω φ: R S ένας οµοµορφισµός δακτυλίων Τότε

5 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 5 () ο φ είναι µονοµορφισµός ker φ = {0} () o φ είναι επιµορφισµός Im φ = S Απόδειξη () Έστω φ µονοµορφισµός Αν r kerφ τότε φ ( r) = 0 και άρα φ ( r) = φ(0 R ) Όµως ο φ είναι µονοµορφισµός σηµαίνει r = 0R Αντίστροφα έστω kerφ = {0 R} Αν φ ( r ) = φ( r ) µε r, r R, τότε φ( r r) = 0S και άρα r r kerφ Συνεπώς r = r () Προφανές από τους ορισµούς Έστω R ένας δακτύλιος και Ι ένα µη κενό υποσύνολο του R Το Ι καλείται ιδεώδες του R αν ) a + b I για κάθε a, b I και ) ra I για κάθε r R και a I Για παράδειγµα, αν φ : R S είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων, τότε ο πυρήνας ker φ είναι ιδεώδες του R (άσκηση) Ένα ιδεώδες Ι του R λέγεται γνήσιο αν I R Ένα ιδεώδες του δακτυλίου R λέγεται κύριο αν έχει τη µορφή I = { ra r R} για κάποιο a I Στην περίπτωση αυτή θα γράφουµε I = (a) και θα λέµε ότι το Ι παράγεται από το a Έστω Α ένα υποσύνολο του δακτυλίου R Το ιδεώδες που παράγεται από το Α είναι το ιδεώδες m ra R m=,,, r R, a A για κάθε =,,, m = και το συµβολίζουµε (A) Αν το Α είναι πεπερασµένο A = a,, a } χρησιµοποιούµε και το συµβολισµό a,, a ) στη θέση του (A) ( { Έστω Ι ένα ιδεώδες του δακτυλίου R Το σύνολο των πλευρικών κλάσεων R / I = { r + I r R} έχει τη δοµή δακτυλίου µε τις πράξεις r + I) + ( r + ) = ( I ( r + r ) + I, ( r + I)( r + I) = r r + I Πράγµατι, το µόνο πράγµα που δεν είναι τελείως προφανές είναι ότι οι προηγούµενες πράξεις είναι καλά ορισµένες: έστω r + I = r + I και r + I = r + I Τότε έχουµε r r I και r r I Για την πρόσθεση παρατηρούµε ότι ( r + r ) ( r + r ) = ( r r ) + ( r r ) I και άρα r + r ) + I = ( r + r ) + I Για τον πολλαπλασιασµό παρατηρούµε ότι r r r r = (

6 6 Κεφάλαιο 0 r ( r r ) + ( r r ) r I και άρα r r + I = r r + I Ο R / I καλείται δακτύλιος πηλίκο Είδαµε ότι σε κάθε µονορφισµό δακτυλίων φ : R S αντιστοιχεί ο πυρήνας ker φ που είναι ιδεώδες του R Αντίστροφα, έστω Ι ιδεώδες του R Τότε ο οµοµορφισµός δακτυλίων φ : R R / I, f ( r) = r + I (που καλείται φυσικός επιµορφισµός) έχει πυρήνα ker φ = I Έτσι υπάρχει στενή σχέση µεταξύ των εννοιών οµο- µορφισµός, ιδεώδες και δακτύλιος πηλίκο Μία άλλη σχέση δίνεται από το παρακάτω αποτέλεσµα 03 Θεώρηµα (Το ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων) Έστω φ : R S έ- νας οµοµορφισµός δακτυλίων Τότε υπάρχει ισοµορφισµός δακτυλίων φ : R / ker φ Imφ, φ( r + ker φ) = φ( r) Απόδειξη Η φ είναι καλά ορισµένη Πράγµατι, αν r + ker φ = r + ker φ, τότε r r ker φ και άρα φ ( r r ) = 0 ηλαδή φ ( r) = φ( r ) και κατά συνέπεια φ ( r + ker φ) = φ( r + ker φ) Το ότι ο φ είναι οµοµορφισµός δακτυλίων βεβαιώνεται µε έναν υπολογισµό ρουτίνας που παραλείπεται Προφανώς ο φ είναι επί Μένει να δείξουµε ότι είναι µονοµορφισµός Από την Πρόταση 03 () αρκεί να δείξουµε ότι ker φ = {0 } Πράγµατι, παρατηρούµε ότι R / ker φ φ( r ker φ) = 0 φ( r) = 0 r ker φ + S S r + ker φ = ker φ = 0R / ker φ Η επόµενη πρόταση περιγράφει τα ιδεώδη του δακτυλίου πηλίκου χρησιµοποιηθεί συχνά στα παρακάτω R / I και θα 033 Πρόταση Έστω Ι ένα ιδεώδες του δακτυλίου R Κάθε ιδεώδες του R / I έχει τη µορφή J / I όπου J είναι ιδεώδες του R που περιέχει το Ι Απόδειξη Σηµειώνουµε πρώτα µία γενική παρατήρηση: αν φ : R S είναι ένας οµοµορφισµός δακτυλίων και Κ ένα ιδεώδες του S, τότε η αντίστροφη εικόνα K φ ( ) = { r R φ( r) K} είναι ένα ιδεώδες του R Πράγµατι,

7 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 7, r r r και φ ( K) φ( ), φ( r ) K φ( r + r ) = φ( r ) + φ( r K r + r K, I ) K a R, r φ ( ) φ( ar) = φ( a) φ( r) K ar φ ( ) Εφαρµόζουµε τώρα την προηγούµενη παρατήρηση στον φυσικό επιµορφισµό f : R R / I Έστω Κ ένα ιδεώδες του f K R / I Το ( ) είναι ιδεώδες του R, που προφανώς περιέχει το Ι, για το οποίο ισχύει f ( K) / I = K 04 Κατασκευή Νέων Ιδεωδών από Παλαιά Από τον ορισµό του ιδεώδους προκύπτει άµεσα ότι η τοµή µιας µη κενής οικογένειας ενός δακτυλίου είναι και πάλι ιδεώδες Όµως δεν συµβαίνει το ίδιο για την ένωση Για παράδειγµα η ένωση ( ) (3) των κύριων ιδεωδών () και (3) του Ÿ δεν είναι ιδεώδες (γιατί;) Ένα υποκατάστατο της ένωσης ιδεωδών είναι η πράξη του αθροίσµατος ιδεωδών: έστω ( I ) µια οικογένεια ιδεωδών του δακτυλίου R Το άθροισµα των του R που παράγεται από το σύνολο λ Λ I λ = λ r c λ λ I λ Λ λ, δηλαδή είναι το ιδεώδες rλ R, cλ I λ, και rλ λ λ Λ I λ είναι το ιδεώδες εκτός από ένα πεπερασµένο πλήθος λ Το συµβολίζουµε µε I λ Στην ειδική περίπτωση που το Λ είναι πεπερασµένο λ Λ = 0 σύνολο, Λ = {,,, } χρησιµοποιούµε συνήθως το συµβολισµό I I + + I και παρατηρούµε ότι ισχύει = { c + + c c I για = } I =,, = ή και 04 Παράδειγµα Έστω m, Õ Τότε στο Ÿ ισχύει ( m ) + ( ) = ( d), όπου d είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των m και

8 8 Κεφάλαιο 0 Απόδειξη Εφόσον το m είναι πολλαπλάσιο του d, έχουµε ( m) ( d) Όµοια ( ) d Άρα από τον ορισµό ( m) + ( ) ( d) Για την άλλη σχέση εγκλεισµού, γράφουµε το d ως γραµµικό συνδυασµό των m και (το d είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των m και ) Έχουµε d = mx + y, όπου x, y Ÿ Άρα από τον ορισµό d ( m) + ( ), και κατά συνέπεια ( d ) ( m) + ( ) Μια άλλη χρήσιµη πράξη ιδεωδών είναι το γινόµενο Έστω Ι και J ιδεώδη του R Με IJ συµβολίζουµε το ιδεώδες που παράγεται από το σύνολο { ab R a I, b J} Αυτό ονοµάζεται γινόµενο των I και J Η προσεταιριστικότητα του γινοµένου στο R µας επιτρέπει να ορίσουµε κατά τον προφανή τρόπο το γινόµενο πεπερασµένου πλήθους ιδεωδών: Έστω I,, I ιδεώδη του R Τότε ορίζουµε το ιδεώδες σύνολο = I = I I I { aa a a I για =,,, } ως το ιδεώδες του R που παράγεται από το Παρατηρούµε ότι I I = = Μετά την τοµή, το άθροισµα και το γινόµενο ολοκληρώνουµε την αριθµητική των ιδεωδών ορίζοντας το ιδεώδες πηλίκο: Έστω Ι και J ιδεώδη του R Θέτου- µε ( I : J ) = { r R rj I} Αυτό είναι ένα ιδεώδες του R για το οποίο ισχύει I ( I : J ) Ονοµάζεται ιδεώδες πηλίκο Στην ειδική περίπτωση I = (0), το ιδεώδες πηλίκο ( 0 : J ) = { r R rj = 0} = { r R ra = 0 για κάθε a J} ονοµάζεται µηδενιστής του J και συµβολίζεται µε A J 05 Ακέραιες Περιοχές και Σώµατα Ένας δακτύλιος R (µεταθετικός όπως πάντα!) ονοµάζεται ακέραια περιοχή ή απλώς περιοχή αν 0 και η σχέση ab = 0 µε a R και b R ισχύει µόνο αν R R a = 0 ή b = 0 Για παράδειγµα οι δακτύλιοι Ÿ, Ÿ [x], Ÿ 3 είναι περιοχές, ενώ ο Ÿ 4 δεν είναι 05 Πρόταση Ο δακτύλιος Ÿ είναι περιοχή αν και µόνον αν ο είναι πρώτος

9 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 9 Απόδειξη Έστω πρώτος Αν [ a ][ b] = [0] στο Ÿ, τότε το διαιρεί το γινόµενο ab Εφόσον ο είναι πρώτος, θα διαιρεί έναν τουλάχιστον από τους a και b Άρα [a] ή [ b ] = 0, και συνεπώς ο Ÿ είναι περιοχή Αντίστροφα, έστω ότι ο Ÿ είναι περιοχή Τότε αν = ab ( a, b N) µε < a < και < b <, έχουµε [ 0] = [ a][ b] όπου [ a ] 0 και [ b ] 0 Αυτό είναι άτοπο Ένας δακτύλιος R λέγεται σώµα αν 0 R R και κάθε a R {0} είναι αντιστρέψιµο Προφανώς κάθε σώµα είναι περιοχή 05 Πρόταση Κάθε πεπερασµένη περιοχή είναι σώµα Απόδειξη Έστω R πεπερασµένη περιοχή και a R µε a 0 Θα δείξουµε ότι το a είναι αντιστρέψιµο Έστω R = a, a,, a } Θεωρούµε τα στοιχεία { aa, aa,, aa Αυτά είναι διακεκριµένα µεταξύ τους πράγµατι αν aa = aa j τότε a ( a a j ) = 0 και αφού a 0 και R είναι περιοχή, έχουµε a = a j Το πλήθος τους είναι και άρα κάποιο απ αυτά θα είναι το στοιχείο R, δηλαδή aa = για κάποιο Άρα το a είναι αντιστρέψιµο R 053 Πόρισµα Ο δακτύλιος Ÿ είναι σώµα αν και µόνον αν ο είναι πρώτος Απόδειξη Άµεση από τις Προτάσεις 05 και Ορισµός Έστω k σώµα Μια k-άλγεβρα R είναι ένας δακτύλιος R εφοδιασµένος µε µια απεικόνιση k R ( a, r) a r R που ικανοποιεί τις συνθήκες: Το R είναι k-διανυσµατικός χώρος και a ( r r ) = ( a r ) r = r ( a r ) για κάθε a k, r, r R Για παράδειγµα, ο δακτύλιος k [x] είναι µια k άλγεβρα 055 Ορισµός Έστω R και S δύο k-άλγεβρες Μια απεικόνιση φ : R S ονοµάζεται οµοµορφισµός (αντίστοιχα, µονοµορφισµός, επιµορφισµός, ισοµορφισµός) αλγε-

10 0 Κεφάλαιο 0 βρών αν είναι οµοµορφισµός (αντίστοιχα, µονοµορφισµός, επιµορφισµός, ισοµορφισµός) δακτυλίων και επιπλέον ισχύει φ ( ar) = aφ( r) για κάθε a k και r R Για παράδειγµα, έστω a k Η απεικόνιση ( εκτίµηση στο a ) k[ x] f ( x) f ( a) k είναι ένας επιµορφισµός k-αλγεβρών 06 Πρώτα και Μέγιστα Ιδεώδη Θυµίζουµε εδώ τα πλέον βασικά περί πρώτων και µέγιστων ιδεωδών 06 Ορισµός Ένα ιδεώδες Ρ του R καλείται πρώτο αν () P R, και () αν a, b R µε ab P τότε a P ή b P 06 Πρόταση Έστω Ι ιδεώδες του R Τότε το Ι είναι πρώτο αν και µόνο αν ο δακτύλιος πηλίκο R / I είναι περιοχή Απόδειξη Έστω Ι πρώτο Τότε I R και R / I 0 Έστω a, b R µε την ιδιότητα ( + )( ) = 0 Τότε ab + I = I και άρα ab I Συνεπώς a I ή b I δηλαδή a I b + I R / I a I R / I + = 0 ή + I = 0 R I b / Αντίστροφα, έστω R / I ακέραια περιοχή Τότε R / I 0 και άρα I R Έ- στω a, b R µε ab I Τότε ab + I = 0 R / I ( a + I)( b + I ) = 0 R / I + = 0 ή b I = 0 a I ή b I a I R / I + R / I 063 Ορισµός Ένα ιδεώδες Μ του R ονοµάζεται µέγιστο (ή µεγιστικό) αν () M R, και () δεν υπάρχει ιδεώδες Ι του R µε την ιδιότητα M I R 064 Πρόταση Έστω Ι ένα ιδεώδες του R Τότε το Ι είναι µέγιστο αν και µόνο αν ο δακτύλιος πηλίκο R / I είναι σώµα

11 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Απόδειξη Έστω ότι το Ι είναι µέγιστο Τότε I R και R / I 0 Έστω a + I R / I µε a + I 0 R / I Θα δείξουµε ότι το a + I είναι αντιστρέψιµο Εφόσον a + I 0 R / I ισχύει a I Το ιδεώδες ( a ) + I περιέχει γνήσια το Ι Αφού το Ι είναι µέγιστο έχουµε ( a ) + I = R Άρα για κάποια r R και b I ισχύει ra + b = Συνεπώς ( r+ I)( a+ I) = ra+ I = ( b) + I = + I και το r + I είναι αντιστρέψιµο Αντίστροφα, έστω ότι ο R / I είναι σώµα Τότε R / I 0 και άρα I R Έ- στω J ιδεώδες µε I J R Θα δείξουµε ότι J = R, οπότε το Ι είναι µέγιστο Υπάρχει a J, a I Άρα + I 0 R I και, αφού το R / I είναι σώµα, a / ( a + I)( b + I) = + I για κάποιο b R Άρα Εφόσον ab I I J και a J συµπεραίνουµε ότι J, δηλαδή J = R 065 Πόρισµα Κάθε µέγιστο ιδεώδες είναι πρώτο Απόδειξη Άµεση από τις Προτάσεις 064 και 06 Για παράδειγµα, το ιδεώδες (x) του Ÿ [x] είναι πρώτο, γιατί Ÿ [ x]/( x) Ÿ που είναι περιοχή, και όχι µέγιστο αφού ο Ÿ δεν είναι σώµα Το ιδεώδες (, x ) του Ÿ [x] είναι µέγιστο, αφού Ÿ [ x]/(, x) Ÿ (γιατί;) που είναι σώµα Στο ε- πόµενο κεφάλαιο θα περιγράψουµε όλα τα πρώτα (και µέγιστα) ιδεώδη του Ÿ [x] (Πρόταση 4) 07 Σώµα Πηλίκων Ακέραιας Περιοχής Θυµίζουµε εδώ την κατασκευή του σώµατος πηλίκων µιας ακέραιες περιοχής R Ειδικότερα θα δούµε πως ο R εµφυτεύεται ως υποδακτύλιος σ ένα σώµα σε αναλογία µε την εµφύτευση του Ÿ στο

12 Κεφάλαιο 0 07 Πρόταση Έστω R µια περιοχή Τότε υπάρχει σώµα k και µονοµορφισµός δακτυλίων φ : R k έτσι ώστε κάθε στοιχείο του k γράφεται στη µορφή για κάποια r, s R, s 0 φ ( r) φ( s) Απόδειξη Θέτουµε S = R {0} Στο σύνολο R S ορίζουµε µια σχέση ισοδυνα- µίας ( a, b) ~ ( c, d) ad = bc a Η κλάση ισοδυναµίας που περιέχει το στοιχείο ( a, b) συµβολίζεται Το σύνολο b των κλάσεων ισοδυναµίας, έστω k, είναι σώµα µε πράξεις a c ad + bc a c ac + =, = b d bd b d bd (Η επαλήθευση του καλώς ορισµένου των πράξεων και των αξιωµάτων είναι θέµα ρουτίνας και παραλείπεται) Το µηδέν του σώµατος αυτού είναι το 0 και το µοναδιαίο στοιχείο είναι το Τέλος η συνάρτηση a φ : R k, φ ( a) = για κάθε a R, είναι µονοµορφισµός δακτυλίων και το τυχαίο a k γράφεται φ ( a) φ( b) b Το σώµα που κατασκευάσαµε πιο πάνω ονοµάζεται σώµα πηλίκων του R Για παράδειγµα, το σώµα πηλίκων του Ÿ είναι το και το σώµα πηλίκων του k [x] (k σώµα) είναι το σώµα των ρητών συναρτήσεων f ( x) k ( x) = f ( x), g( x) k[ x], g( x) 0 g( x) 08 Επεκτάσεις Σωµάτων Αν E F είναι σώµατα (ως προς τις ίδιες πράξεις) θα λέµε ότι το Ε είναι επέκταση του F Συµβολικά γράφουµε E / F Ο βαθµός της επέκτασης E / F είναι η διάσταση του Ε ως F-διανυσµατικός χώρος Συµβολικά [ E : F] = dm F E Μια επέκταση σωµάτων E / F λέγεται πεπερασµένη αν [ E : F] < Ένα στοιχείο

13 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 3 a E λέγεται αλγεβρικό επί του F αν είναι ρίζα κάποιου µη µηδενικού πολυωνύ- µου f ( x) F[ x] Για παράδειγµα το είναι αλγεβρικό επί του, γιατί είναι ρίζα του x [x] Μια επέκταση E / F λέγεται αλγεβρική αν κάθε a E είναι αλγεβρικό επί του F 08 Πρόταση Κάθε πεπερασµένη επέκταση σωµάτων είναι αλγεβρική Απόδειξη Έστω E / F επέκταση µε [ E : F] = < Έστω a E Τα στοιχεία 0 = a, a, a,, a είναι γραµµικώς εξαρτηµένα επί του F γιατί το πλήθος τους είναι + > Άρα υπάρχουν λ0, λ,, λ F (όχι όλα µηδέν) µε την ιδιότητα Αν θέσουµε f 0 = λ + λ a + + λ a 0 x) = λ0 + λ x + + λ x F[ x] ( τότε f ( x) 0 και το a είναι ρίζα του f (x) Ένα σώµα F λέγεται αλγεβρικά κλειστό αν κάθε µη σταθερό πολυώνυµο f ( x) F[ x] έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο F Συνεπώς ένα σώµα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν κάθε µη σταθερό πολυώνυµο f ( x) F[ x] γράφεται ως γινόµενο πρωτοβάθµιων παραγόντων στο F [x] Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη ότι για κάθε σώµα F υπάρχει επέκταση F / F όπου το F είναι αλγεβρικά κλειστό σώµα Το F είναι µοναδικό (µε προσέγγιση ισοµορφισµού) και ονοµάζεται αλγεβρική θήκη του F Για παράδειγµα η αλγεβρική θήκη του είναι το, πράγµα που έπεται από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας, που παραθέτουµε χωρίς απόδειξη 08 Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας Το σώµα είναι αλγεβρικά κλειστό 083 Θεώρηµα Αν οι επεκτάσεις σωµάτων E / F και K / Eείναι πεπερασµένες, τότε η επέκταση K / F είναι πεπερασµένη και [ K : F] = [ K : E] [ E : F]

14 4 Κεφάλαιο 0 Απόδειξη Έστω [ E : F] = και [ K : E] = m Έστω a,,a µια βάση του Ε ως F-διανυσµατικός χώρος και b,,b m µια βάση του Κ ως Ε-διανυσµατικός χώρος Θα δείξουµε ότι το σύνολο X = { a b K =,,, j,, m} j = αποτελεί µία βάση του Κ ως F-διανυσµατικός χώρος Έστω c K Τότε το c είναι Ε-γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων b,,b m Επειδή κάθε στοιχείο του Ε είναι F-γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων a,,a συµπεραίνουµε ότι το c είναι F-γραµµικός συνδυασµός των στοιχείων a Άρα το Χ παράγει το Κ επί του F b j Έστω Γράφοντας λjab j = 0 ( λj F), j λ jab j = λ, j j συµπεραίνουµε ότι για κάθε j =,, m λ j a = 0 j a b j γιατί τα b j αποτελούν βάση Η τελευταία σχέση δίνει λ j = 0, γιατί τα a αποτελούν βάση Συνεπώς το Χ είναι γραµµικά ανεξάρτητο επί του F = 0 09 Θεµελιώδες Θεώρηµα Συµµετρικών Πολυωνύµων Ένα πολυώνυµο f ( x,, x ) R[ x,, x ] ονοµάζεται συµµετρικό αν για κάθε µετάθεση σ των στοιχείων,,, ισχύει f x,, x ) = f ( x,, x ) ( σ( ) σ( ) Για παράδειγµα, τα ακόλουθα πολυώνυµα είναι συµµετρικά e = x + x + + x e = xx + + xx + + x x

15 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 5 e = x x x Τα e ονοµάζονται στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα Παρατηρούµε ότι αυτά εµφανίζονται ως συντελεστές (µε προσέγγιση προσήµου) του πολυωνύµου x x )( x x ) ( x x ) R[ x,, x ][ ] αφού ( x ) ( x x ) = x e x + ex + ( ( x x ) e 09 Θεµελιώδες Θεώρηµα Συµµετρικών Πολυωνύµων Κάθε συµµετρικό πολυώνυµο είναι πολυώνυµο στα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα ηλαδή αν f x,, x ) είναι ένα συµµετρικό πολυώνυµο, τότε ισχύει ( f x,, x ) = g( e,, e ) για κάποιο g x,, x ) R[ x,, x ] Για παράδειγµα ( x + + x = e e ( Απόδειξη Θα δώσουµε µια στοιχειώδη απόδειξη που είναι µάλιστα κατασκευαστική Ορίζουµε µια ολική διάταξη στα µονώνυµα αν η πρώτη µη µηδενική διαφορά x a a a b b x > x x x x a a b είναι θετική (Η διάταξη αυτή συνήθως καλείται λεξικογραφική) Για παράδειγµα x x > xx > xx Έστω f x,, x ) ένα συµµετρικό πολυώνυµο και ( a x x το µέγιστο µονώνυµο του f x,, x ) ως προς τη λεξικογραφική διάταξη Επειδή ( το f x,, x ) είναι συµµετρικό θα περιέχει κάθε µονώνυµο που λαµβάνεται από το ( a a x x µε κάποια µετάθεση των a,,a Συνεπώς ισχύει a a a a Θεωρούµε τώρα το µέγιστο µονώνυµο που περιέχεται στο πολυώνυµο Το µονώνυµο αυτό είναι το a a e e a+ + a a + + a a x x x

16 6 Κεφάλαιο 0 είναι το Συνεπώς το µέγιστο µονώνυµο που περιέχει το πολυώνυµο a a a a a e 3 e x e a a a x x a Έστω c ο συντελεστής του x x στο f ( x,, x ) Τότε το µέγιστο µονώνυ- µο του πολυωνύµου είναι µικρότερο από το f f x x = (,, ) a a ce a a a a a e 3 e x x Έχουµε deg f deg f ( x,, x ) γιατί a a a a3 a deg e e e = a + + a Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία στο a a a f, κοκ Όµως το πλήθος των µονωνύµων που είναι µικρότερα του x x και έχουν βαθµό deg f ( x,, x ) είναι βέβαια πεπερασµένο Έτσι, µετά ένα πεπερασµένο πλήθος βήµατα, έχουµε f = 0, δηλαδή το f x,, x ) γράφεται ως πολυώνυµο στα k ( e,,e Τότε και Για παράδειγµα, έστω = 3 και,, 3) 3 x x3 3 3 f ( x x x = x x + x x + x + x + x x + x x a =, a =, a 0, 3 = f = f ( x x x e e,,, 3) σύµφωνα µε την απόδειξη Όµως µε πράξεις διαπιστώνουµε ότι f x, x, ) e e = 3xx x3 Άρα,, 3) 3 3 ( x3 f ( x x x = e e e Ασκήσεις * Ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή αν και µόνο αν ο δακτύλιος R [x] είναι ακέραια περιοχή

17 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 7 = 0 Το στοιχείο r x R[[ x]] είναι αντιστρέψιµο αν και µόνο αν το στοιχείο r R 0 είναι αντιστρέψιµο 3 ώστε ένα παράδειγµα ενός υποδακτυλίου του [x] που δεν είναι ιδεώδες του [x] 4 Αποδείξτε ότι το ιδεώδες (, x ) του Ÿ [x] δεν είναι κύριο 5 Για τα κύρια ιδεώδη I = (m), I = () του Ÿ ποια είναι τα ιδεώδη Ι J, I + J, IJ και ( I : J ); Η απάντηση να δοθεί συναρτήσει της παραγοντοποίησης των m και σε γινόµενα πρώτων αριθµών 6 * Έστω I, J, K ιδεώδη του R, και έστω ( I λ ) λ Λ µια οικογένεια ιδεωδών του R Αποδείξτε τις παρακάτω σχέσεις () (( I : J ) : K ) = ( I : JK) = (( I : K) : J ) () I λ : K = ( I λ : K) λ Λ λ Λ () J : I λ = ( J : I λ ) λ Λ λ Λ 7 Στον δακτύλιο x, x, x, ] θεωρούµε τα ιδεώδη I = x, x ) και [ 3 x4 J = x 3, x ) Αποδείξτε ότι IJ { fg f I, g J} ( 4 8 Έστω I, J, K ιδεώδη του δακτυλίου R () Ισχύει ότι IJ = I J ; () Αποδείξτε ότι I ( J + K) I J + I K ; () Αν I + J = R αποδείξετε ότι IJ = I J ( 9 Είναι ισόµορφοι οι δακτύλιοι Ÿ [] και Ÿ [ ] = { a + b a, b Ÿ }; 0 Έστω φ : R S οµοµορφισµός δακτυλίων όπου το S είναι περιοχή Αποδείξτε ότι το ιδεώδες ker φ είναι πρώτο Κάθε περιοχή µε πεπερασµένο πλήθος ιδεωδών είναι σώµα Έστω R ένας πεπερασµένος δακτύλιος Τότε κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο

18 8 Κεφάλαιο 0 3 Ο δακτύλιος Ÿ [x] έχει άπειρο πλήθος µέγιστων ιδεωδών 4 * Σωστό (απαιτείται απόδειξη) ή Λάθος (αρκεί ένα αντιπαράδειγµα) Έστω φ : R S ένας οµοµορφισµός δακτυλίων () Ι ιδεώδες του R φ(i ) ιδεώδες του S () Ι ιδεώδες του R και φ επιµορφισµός φ(i ) ιδεώδες του S J () J ιδεώδες του S φ ( ) ιδεώδες του R (v) Ρ πρώτο ιδεώδες του R, φ επιµορφισµός φ(p) πρώτο ιδεώδες του S (v) Ρ πρώτο ιδεώδες του R, φ επιµορφισµός, ker φ P φ( P) πρώτο ιδεώδες του S (v) Μ µέγιστο ιδεώδες του R, φ επιµορφισµός, ker φ M φ( M ) µέγιστο ιδεώδες του S 5 Έστω I J ιδεώδη του R Τότε υπάρχει ισοµορφισµός ( R / I ) /( J / I ) R / J ( r + I) + J / I r + J (Υπόδειξη: Εφαρµόστε το Θεώρηµα 03) 6 * Έστω I J ιδεώδη του R Τότε (a) Το ιδεώδες (b) Το ιδεώδες (Υπόδειξη: Άσκηση 5) J / I του R / I είναι πρώτο το J είναι πρώτο J / I του R / I είναι µεγιστο το J είναι µέγιστο 7 * (Ταυτότητα διαίρεσης) Έστω f, g R[ x] Αν ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής του g (x) είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του R, τότε υπάρχουν q, r R[ x] µε τις ιδιότητες () f = qg + r () deg r < deg q Επιπλέον, τα q, r είναι µοναδικά (Υπόδειξη: για την ύπαρξη, χρησιµοποιήσετε επαγωγή στο m = deg f Για το επαγωγικό βήµα, παρατηρήσετε ότι ο βαθµός του f m m x + + a 0 + f = a και g = b x + b0 είναι < m ) a mb x m g, όπου

19 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη 9 8 * (Κριτήριο του Eseste) Έστω f = a x + + a0 Ÿ [x] και p Ÿ πρώτος αριθµός Αν () p διαιρεί τους a 0, a,, a () p δεν διαιρεί τον a () p δεν διαιρεί τον a 0 τότε το f είναι ανάγωγο πολυώνυµο στο Ÿ [x] (Παρατήρηση: ισχύει το ισχυρότερο συµπέρασµα ότι το f είναι ανάγωγο στο [x] Βλέπε Λήµµα 34 στο επόµενο Κεφάλαιο) 9 Εφαρµόστε το θεµελιώδες θεώρηµα των συµµετρικών πολυωνύµων στο πολυώνυµο x + x + x x + x ( = ) x 0 Αποδείξτε ότι το [ ] είναι ισόµορφο µε το σώµα πηλίκων του Ÿ [ ] Στην απόδειξη της Πρότασης 07, που χρησιµοποιήθηκε η υπόθεση ότι το R είναι ακέραια περιοχή;

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Herman Weyl

Εισαγωγή. Herman Weyl Εισαγωγή Όσο σηµαντικές και αν είναι οι γενικές έννοιες και προτάσεις που απορρέουν από το σύγχρονο πάθος για αξιωµατική θεµελίωση και γενίκευση, είµαι όµως πεπεισµένος ότι τα ειδικά προβλήµατα µε όλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}. Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου 2019 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7

Διαβάστε περισσότερα

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha. Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Κεφάλαιο 9 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διεξοδικότερα τις ϐασικές ιδιότητες του δακτυλίου πολυωνύµων, κυ- ϱίως µιας µεταβλητής, µε στοιχεία από έναν µεταθετικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα

ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Κεφάλαιο 7 ακτύλιοι : Βασικές Ιδιότητες και Παραδείγµατα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϑεµελιώδη έννοια του δακτυλίου, ϑα αναπτύξουµε τις ϐασικές ιδιότητες δακτυλίων και ϑα αναλύσουµε µια σειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii19/laii19html Παρασκευή 1 Μαρτίου 19 Υπενθυµίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 11 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Κεφάλαιο 8 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων 8.1 Συνοπτική Θεωρία Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωµένη στην υπενθύµιση ϐασικών εννοιών και αποτελεσµάτων από την ϑεωρία πολυωνύµων µιας ή περισσότερων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 31 Μαρτίου 2017 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εισαγωγικές εξετάσεις για το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα - Μέρος 2ο ΠΡΟΣΟΧΗ: Τα θέµατα που ακολουθούν καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα διαφόρων περιοχών των Μαθηµατικών. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα