Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Transcript

1 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 17 και [ i] (1 i) 5 (ισομορφισμοί δακτυλίων). c. Χρησιμοποιώντας το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων, παραστήστε το δακτύλιο [ i] ( d), όπου d (4 i)(1 i), ως ευθύ γινόμενο σωμάτων. d. Έστω M ένα πεπερασμένο [ i] -πρότυπο τέτοιο ώστε cm 0 για κάθε m M, όπου c 4 i. Δείξτε ότι M 17 k για κάποιο k.. a. Ποιο είναι το πλήθος των ιδεωδών I του δακτυλίου [ x] τέτοιων ώστε p( x) p( x) x x ; I, όπου b. Έστω R ΠΚΙ 1,,..., a1 p1 pn R ανάγωγα και μη συντροφικά ανά δύο και... a a p n, 1 pn R όπου ai. Ποιο είναι το πλήθος των ιδεωδών του R ( a ) ; 0 c. Για n, a1, a 1 στο προηγούμενο ερώτημα, σχεδιάστε το διάγραμμα των ιδεωδών του R ( a ).. Έστω R ΠΚΙ και p R ανάγωγο. Τότε ο δακτύλιος R ( p ) είναι σώμα. Σημείωση: Αυτό θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω στο μάθημα. 4. Έστω R δακτύλιος. Δείξτε ότι αν ο δακτύλιος R[ x ] είναι ΠΚΙ, τότε ο R είναι σώμα. 5. Έστω k σώμα. Δείξτε ότι η περιοχή k[ x, y ] δεν είναι Ευκλείδεια. 6. Έστω k σώμα. Θεωρούμε τον υποδακτύλιο R του k[ x ] που αποτελείται από τα πολυώνυμα των οποίων ο συντελεστής του x είναι 0. Δείξτε ότι τα στοιχεία στο R. Στη συνέχεια, δείξτε ότι ο R δεν είναι ΠΜΠ x, x είναι ανάγωγα και μη συντροφικά χρησιμοποιώντας τη σχέση x x x x x. 7. Δείξτε ότι η περιοχή [ ] είναι Ευκλείδεια.. 8. Έστω n αρνητικός ακέραιος που δεν διαιρείται με το τετράγωνο ακέραιου μεγαλύτερου του 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ n] { a b n a, b }. Δείξτε τα εξής. a. Αν n, τότε U ( [ n]) {1, 1}. 1 ΠΚΙ = περιοχή κυρίων ιδεωδών ΠΜΠ = περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης

2 7 b. * Αν n, τότε ο [ n] δεν είναι ΠΜΠ. c. Ο [ n] είναι ΠΜΠ αν και μόνο αν n 1,. Σημείωση: Για τους θετικούς ακέραιους n παραμένει ανοικτό πρόβλημα ποιοι από τους δακτύλιους [ n] { a b n a, b } είναι ΠΜΠ. Όποιος το λύσει ίσως πλησιάσει στη φήμη τον Johan Cruyff. 9. Θεωρούμε το δακτύλιο R [ ] { a b a, b } όπου a. U R ( ) {1, 1,,,, } Δείξτε τα εξής. b. R είναι Ευκλείδεια περιοχή ως προς τη συνάρτηση : R {0} 0, ( a b ) a b a ab b. c. Αν p πρώτος με p mod, τότε το p R είναι ανάγωγο. d. *Έστω z a b R {0} με ( a, b) 1. Οι δακτύλιοι R ( z ) και d είναι ισόμορφοι, όπου d a ab b. 10. Έστω R ΠΚΙ και a, b R {0}. Δείξτε ότι αν ( a) ( b) R, τότε για κάθε θετικό ακέραιο n, n n ( a ) ( b ) R. 11. Κάθε υποδακτύλιος του είναι ΠΚΙ. 1. Έστω p ένας πρώτος αριθμός και R { m n m, n, p δεν διαιρεί το n }. Αποδείξτε τα εξής a. R είναι υποδακτύλιος του και άρα περιοχή. b. Αν το p δεν διαιρεί ούτε το m ούτε το n, τότε το m n είναι αντιστρέψιμο στο R. c. Αν I 0 είναι ένα ιδεώδες του R, τότε k d. Κάθε ιδεώδες του R είναι της μορφή ( p ), k 1. k p I για κάποιο k Έστω R μια ΠΚΙ και M ένα κυκλικό R -πρότυπο. Αποδείξτε ότι κάθε υποπρότυπο του M είναι κυκλικό. Αληθεύει το προηγούμενο συμπέρασμα αν ο R είναι τυχαία περιοχή; Με * σημειώνονται ερωτήματα που ίσως είναι τα πιο δύσκολα της παρούσας ομάδας ασκήσεων.

3 8 14. Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν. a. Αν R είναι ΠΜΠ και a, b R είναι ανάγωγα και μη συντροφικά, τότε υπάρχουν r, s R με ra sb 1. b. Αν R είναι ΠΚΙ και a, b R είναι ανάγωγα και μη συντροφικά, τότε υπάρχουν r, s R με ra sb 1. c. Κάθε υποδακτύλιος ΠΜΠ είναι ΠΜΠ. d. Κάθε υποδακτύλιος ΠΚΙ είναι ΠΚΙ 15. Έστω R ΠΚΙ και f : M N ομομορφισμός R -προτύπων. Έστω ότι υπάρχουν a, b R σχετικά πρώτα στοιχεία τέτοια ώστε am 0 M και bn 0 N για κάθε m M και κάθε n N. Δείξτε ότι f 0.

4 9 Υποδείξεις Ασκήσεις 1a. Δείξτε ότι b (4 i)(1 i) και τα 4 i,1 i είναι ανάγωγα και μη συντροφικά, οπότε μια επιλογή για το d είναι το (4 i)(1 i). Βλ. Παράδειγμα..5 για την εύρεση της παραγοντοποίησης του b. Κάθε ζητούμενο d είναι συντροφικό του (4 i)(1 i), δηλαδή ένα από (4 i)(1 i), i(4 i)(1 i). 1b. Δείξτε ότι η απεικόνιση [ i] 17, a bi [ a 4 b] είναι επιμορφισμός δακτυλίων με πυρήνα το (4 i). Προσέξτε την πολλαπλασιαστική ιδιότητα. 1c. To M είναι 17 -διανυσματικός χώρος καθώς από την υπόθεση, (4 i) m 0 για κάθε m M, έπεται ότι 17 m (4 i)(4 i) m 0 για κάθε m M. a. Δείξτε ότι το p( x) [ x] είναι ανάγωγο και χρησιμοποιήστε ότι ο [ x] είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Απάντηση: 4. b. Δείξτε ότι τα ιδεώδη του R ( a ) είναι σε 1-1 και επί αντιστοιχία με τους διαιρέτες του a της μορφής b1... bn p1 pn όπου 0 bi ai. Απάντηση: ( a1 1)( a 1)...( a n 1). c. Για a p q, όπου, p q ανάγωγα και μη συντροφικά έχουμε το εξής διάγραμμα. Σημείωση: Καλό είναι να γίνει κατανοητό ότι το παραπάνω διάγραμμα είναι ίδιο με το διάγραμμα των υποομάδων κυκλικής ομάδας τάξης p q, όπου p, q διακεκριμένοι πρώτοι. 4. Ένας τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι το x είναι ανάγωγο στο R[x] και άρα το πηλίκο R[ x] ( x ) είναι σώμα σύμφωνα με την προηγούμενη άσκηση. Όμως R[ x] ( x) R. Διαφορετική λύση προκύπτει θεωρώντας για r R {0}, το ιδεώδες ( r, x ). Δείξτε ότι, επειδή αυτό είναι κύριο, το r είναι αντιστρέψιμο. 5. Δείξτε ότι το ιδεώδες ( x, y ) του k( x, y ) δεν είναι κύριο. Διαφορετική λύση προκύπτει με βάση την προηγούμενη άσκηση παρατηρώντας ότι k[ x, y] R[ y], όπου R k[ x]. To R δεν είναι σώμα. 6.

5 7. Χρησιμοποιήστε τη συνάρτηση ( z) zz z, z, για να δείξετε ότι η περιοχή [ ] είναι Ευκλείδεια. Το γεωμετρικό επιχείρημα που είδαμε στην τάξη για τους ακέραιους του Gauss εφαρμόζει και εδώ. 8b. Υποθέτουμε ότι ο δακτύλιος [ n] είναι ΠΜΠ. Αν το ήταν ανάγωγο στο [ n], τότε από τη σχέση n( n 1) ( n n)( n n) έπεται ότι το διαιρεί έναν από τους n n, n n. Δείξτε ότι αυτό είναι αδύνατο. Άρα από το a έπεται ότι το είναι γινόμενο αναγώγων. Δείξτε ότι και αυτό είναι αδύνατο. 9. n n 10. Δείξτε ότι δεν υπάρχει κοινός ανάγωγος παράγοντας των a, b και εφαρμόσετε την Πρόταση Αν I είναι ιδεώδες υποδακτυλίου R του, δείξτε ότι το σύνολο I είναι ιδεώδες του και άρα είναι κύριο, I n. Δείξτε ότι I nr Χρησιμοποιήστε την άσκηση 1.5a για να παραστήσετε το Μ στη μορφή R I. Ποια μορφή έχουν τα υποπρότυπα του R I ; Για τυχαία περιοχή δεν αληθεύει. Στην τάξη είδαμε το αντιπαράδειγμα R [ x], I (, x). 14. a. Λ. b. Σ. c. Λ. d. Λ. 15. Επειδή R ΠΚΙ υπάρχουν r, s R με ra sb 1. Για κάθε m M έχουμε, f ( m) f (1 m) f (( ra sb) m) (συνεχίστε). 10