s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha."

Transcript

1 Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων της H στην G). Δεδομένου s G, συμβολίσαμε με s το sh (το s είναι αριστερό σύμπλοκο της H στην G [είναι το σύμπλοκο που περιέχει το s], άρα s G 1 ). Θεωρήσαμε την εξής ερώτηση: Υπάρχει πράξη στο G 1 τέτοια ώστε (για κάθε s, t G) s t = st ; Παράδειγμα 1: G = S 3 = {ι, ρ, ρ 2, µ, µρ, µρ 2 }, H = {ι, µ}. Υπολογίσαμε το G 1 = {a, b, c} και τα a = ι = µ, b = ρ = µρ 2, c = ρ 2 = µρ. Είδαμε ότι δεν υπάρχει τέτοια πράξη, γιατί, αν υπήρχε, τότε b = a b = c, άτοπο. Ορίσαμε την ομάδα γινόμενο K 1 K 2. U 2 R + = R, Z 2 Z 3 = Z6. Ξεκινήσαμε το: Παράδειγμα 2: G := U 2 U 3, ν := ( 1, 1), σ := (1, w). Παρατηρήσαμε την αναλογία με το παράδειγμα 1: G = {ι, σ, σ 2, ν, νσ, νσ 2 } (στο παράδειγμα 1, G = {ι, ρ, ρ 2, µ, µρ, µρ 2 }). Επίσης ν 2 = ι (µ 2 = ι), σ 3 = ι (ρ 3 = ι). Συνεχίζοντας την αναλογία, έστω H = {ι, ν}. Η διαφορά με το παράδειγμα 1 (όπου µρ = ρ 2 µ) είναι ότι εδώ νσ = σν. Διάλεξη 2 Παρένθεση (Η κατάταξη των ομάδων τάξης 6): Για κάθε ομάδα K τάξης 6, ξ K τάξης 2, τ K τάξης 3, και υπάρχουν ακριβώς δυο περιπτώσεις: Περίπτωση 1: ξτ = τ 1 ξ. Τότε η K είναι ισόμορφη με την G του παραδείγματος 1. Περίπτωση 2: ξτ = τξ. Τότε η K είναι ισόμορφη με την G του παραδείγματος 2. (Αυτή η κατάταξη γενικεύεται με τον «προφανή» τρόπο για ομάδες τάξης 2p, p πρώτος.) Επιστρέφουμε στο στο παράδειγμα 2. s, t G) s t = st. Είδαμε ότι υπάρχει πράξη στο G 1 = G/H τέτοια ώστε (για κάθε Οπως στη διάλεξη 1, κρατάμε σταθερή μια ομάδα G (ταυτοτικό το ι) και μια υποομάδα H της G. Θυμηθήκαμε ότι η H λέγεται κανονική αν κάθε αριστερό σύμπλοκο είναι και δεξιό. 1. H = G 2. H = {ι} 3. G αβελιανή 4. [G : H] = 2. Παράδειγμα στο παράδειγμα 4 με G = S 3, όπου παρατηρούμε ότι ah = Ha αλλά ax xa (εν γένει). Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. a G ah = Ha. 2. Η H είναι κανονική. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. ( a G)( x H) axa 1 H. 2. Η H είναι κανονική. Εστω G 2 τυχαία ομάδα. Εστω f : G G 2 ομομορφισμός τ.ω. H = ker f. Τότε η H είναι κανονική.

2 Διάλεξη 3 (Το Θεώρημα Υπαρξης της Ομάδας-Πηλίκο, ή ΘΥΟΠ) Εστω G ομάδα με ταυτοτικό το ι. Εστω H υποομάδα της G. Για a G, έστω a := ah. Τότε: Υπάρχει πράξη στο G/H τ.ω. a b = ab η H είναι κανονική. a, b G Σε αυτή την περίπτωση: 1. Η πράξη αυτή είναι μοναδική. 2. Το (G/H, ) είναι ομάδα, με ταυτοτικό το ι, και το αντίστροφο κάθε a είναι το a 1. Εφαρμόζοντας το ΘΥΟΠ, συμφωνήσαμε να συμβολίζουμε πολλαπλασιαστικά την G/H αν η G είναι πολλαπλασιαστική, και να συμβολίζουμε προσθετικά την G/H, αν η G είναι προσθετική. Ξαναείδαμε τα παραδείγματα 1 και 2 των προηγουμένων διαλέξεων, τώρα που ξέρουμε το ΘΥΟΠ. Ειδικότερα επαληθεύσαμε ότι η H δεν είναι κανονική στο παράδειγμα 1, ενώ είναι κανονική στο παράδειγμα 2. Ενότητα 2. Ιδιότητες των Κλάσεων: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια κανονική υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 την ομάδα G/H και με a το ah. Δεδομένου a G, το a G 1 θα το λέμε και «κλάση του a». Η απεικόνιση-πηλίκο φ : G G 1 που πάει κάθε στοιχείο στην κλάση του. Οι τρεις σημαντικές ιδιότητες που έχει η φ: 1. Είναι επί 2. Είναι ομομορφισμός. 3. ker φ = H. Οι παραπάνω τρεις ιδιότητες στην «γλώσσα των κλάσεων»: 1. Κάθε στοιχείο του G 1 γράφεται ως κλάση κάποιου a G. 2. a b = a b. 3. a = ι a H. Ενότητα 3. Το Θεώρημα του Ισομορφισμού: Κρατήσαμε σταθερά τα εξής: Δυο ομάδες G και G 2. Εναν ομομορφισμό f : G G 2. Από αυτά τα δεδομένα, κατασκευάζουμε τα εξής: H := ker f (άρα η H είναι κανονική υποομάδα της G). G 1 := G/H (άρα η G 1 είναι ομάδα). φ είναι η απεικόνιση-πηλίκο (άρα φ : G G 1 είναι ομομορφισμός). Τα σύμβολα a, b, c θα συμβολίζουν στοιχεία της G. a = φ(a) = ah G 1. Ολα τα ταυτοτικά (της G, G 1, G 2 ) τα συμβολίζω με ι. Διατυπώσαμε το Θεώρημα του Ισομορφισμού (ΘΙ) (βλ. παρακάτω). Αυτό το Θεώρημα έχει πολλά ονόματα στη βιβλιογραφία, λέγεται και Θεμελιώδες Θεώρημα του Ομομορφισμού (ή: των Ομομορφισμών, βλ. Fraleigh), και Θεμελιώδες Θεώρημα του Ισομορφισμού (ή: των Ισομορφισμών), και Πρώτο Θεώρημα του Ισομορφισμού (ή: των Ισομορφισμών). ΘΙ: Δεδομένων των παραπάνω, ισχύουν τα εξής: 1. Η συνάρτηση g : G 1 G 2 τέτοια ώστε g(a) := f(a) είναι καλώς ορισμένη. 2. Η g είναι ομομορφισμός. 3. ker g = {ι}. 4. Η g είναι ένα-προς-ένα. 5. Αν η f είναι επί, τότε η g είναι επί. 6. Αν η f είναι επί, τότε η g είναι ισομορφισμός. Σχόλια πάνω στο ΘΙ. Το πιο «κλασικό» παράδειγμα: Z/nZ = Z n. Διάλεξη 4

3 Απόδειξη του ΘΙ. Διάλεξη 5 Ενότητα 4. Ιδεώδη: Δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο. Συμφωνήσαμε ότι στο υπόλοιπο του μαθήματος όταν λέμε «δακτύλιος» εννοούμε αντιμεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο. Θεωρήσαμε τα υποσύνολα I ενός δακτυλίου. Είδαμε παραδείγματα των εξής ιδιοτήτων ενός τέτοιου I: Το I ίσως είναι: «κλειστο ως προς το 0», «κλειστο ως προς το», «κλειστο ως προς το +», «κλειστο ως προς το», «κλειστο ως προς πολλαπλάσια». Τα ιδεώδη του δακτυλίου είναι τα I που έχουν όλες αυτές τις ιδιότητες. Διάλεξη 6 Κρατήσαμε σταθερό ένα δακτύλιο R. Αν a R, συμβολίζουμε με (a) (ή και με R a ή και με Ra ή και με ar) το σύνολο των πολλαπλασίων του a στο R. Είδαμε ότι είναι ιδεώδες (του R), ότι περιέχει το a, και ότι είναι έλάχιστο ως προς αυτές τις δυό ιδιότητες. Το (a) λέγεται «το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το a». Είδαμε ιδιότητες σχετικές με την ειδική περίπτωση που το a είναι μονάδα. Σώματα και ιδεώδη, τα ιδεώδη I J και I + J. Διάλεξη 7 Ενότητα 5. Δακτύλιοι πολυωνύμων: Εξακολουθούμε να κρατάμε σταθερό ένα δακτύλιο R. Περιγράψαμε τον δακτύλιο R[x] των πολυωνύμων στη μεταβλητή x με συντελεστές στο R. Ο βαθμός deg a του μη-μηδενικού πολυωνύμου a = a(x) R[x]. Το Κριτήριο Ισότητας Πολυωνύμων (ΚΙΠ). Πολυώνυμα και πολυωνυμικές συναρτήσεις. Διάλεξη 8 Ο σταθερός συντελεστής ενός πολυωνύμου και ο κορυφαίος συντελεστής ενός μη-μηδενικού πολυωνύμου. Αν το R είναι ΑΠ τότε deg(ab) = (deg a)(deg b). (Αυτό ισχύει με την «ισχυρή» έννοια: οι βαθμοί των παραγόντων ορίζονται (δηλαδή a 0, b 0), αν και μόνο αν ορίζεται ο βαθμός του γινομένου, στην οποία περίπτωση ισχύει η παραπάνω ισότητα.) Αν το R είναι ΑΠ τότε το R[x] είναι ΑΠ και R = R[x]. Το R[x] δεν είναι ποτέ σώμα. Ενότητα 6. Δακτύλιοι-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερό ένα δακτύλιο R και μια προσθετική υποομάδα I του R. Παρατηρήσαμε ότι το G := R είναι (ειδικότερα) μια (προσθετική) ομάδα, άρα, αφού το H := I είναι μια υποομάδα αυτής της ομάδας (κανονική, αφού οι προσθετικές ομάδες είναι αβελιανές), συμπεραίνουμε ότι ορίζεται η προσθετική ομάδα G/H, δηλαδή η R/I. Περίληψη: Εχουμε το «+» στο R/I, ας δούμε τώρα τι μπορούμε να κάνουμε με το. Αποδείξαμε ότι αν ο «προφανής» πολλαπλασιασμός στο R/I είναι καλώς ορισμένος τότε το I είναι ιδεώδες. Διάλεξη 9 Αποδείξαμε ότι ο «προφανής» πολλαπλασιασμός στο R/I είναι καλώς ορισμένος αν και μόνο αν το I είναι ιδεώδες. Στο υπόλοιπο της ενότητας (και, κατά κανόνα, στο υπόλοιπο του μαθήματος) το I θα είναι γνήσιο ιδεώδες του R. Παρατηρήσαμε ότι, από τη στιγμή που υπάρχουν οι «προφανείς» πράξεις στο R/I, θα «κληρονομήσουν» όλες τις καλές ιδιότητες των πράξεων του R (π.χ., την προσεταιριστικότητα του + και του, και την επιμεριστικότητα του ως προς το +). Με άλλα λόγια, ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: (Το Θεώρημα Υπαρξης του Δακτυλίου-Πηλίκο, ή ΘΥΔΠ) Εστω R δακτύλιος και I γνήσιο ιδεώδες του R. Τότε το R/I, εξοπλισμένο με την προφανή πρόσθεση και τον προφανή πολλαπλασιασμό, είναι δακτύλιος.

4 Το μοναδιαίο στοιχείο του R/I είναι η κλάση του μοναδιαίου στοιχείου του R. Αν u R τότε u (R/I), και τότε το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του u είναι το u 1. (Σημαντικές Ιδιότητες των Κλάσεων για Δακτυλίους) 1. Κάθε στοιχείο του R/I είναι κλάση κάποιου στοιχείου του R (με άλλα λόγια: κάθε στοιχείο του R/I γράφεται ως a με a R). 2. a + b = a + b και a b = a b (ισχύουν a, b R). 3. a = 0 a I (ισχύει a R, το «0» είναι το μηδέν του R/I, (που είναι η κλάση του μηδενός του R)). Ενότητα 7. Ομομορφισμοί δακτυλίων: Τα σύμβολα R 1 και R 2 θα συμβολίζουν δακτυλίους. Εστω f μια συνάρτηση της μορφής f : R 1 R 2. Λέμε «η f είναι ομομορφισμός δακτυλίων» και εννοούμε ότι η f έχει τις παρακάτω δυο ιδιότητες: 1. Η f διατηρεί το + (δηλαδή f(a + b) = f(a) + f(b), a, b R 1 ). 2. Η f διατηρεί το (δηλαδή f(a b) = f(a) f(b), a, b R 1 ). Κάθε δακτύλιος είναι (ειδικότερα) μια (προσθετική) ομάδα. Εστω f ομομορφισμός δακτυλίων. Ειδικότερα η f διατηρεί το +. Τελικό συμπέρασμα: Κάθε ομομορφισμός δακτυλίων είναι ειδικότερα ομομορφισμός προσθετικών ομάδων. Συνέπειες της παραπάνω παρατήρησης: Αν η f : R 1 R 2 είναι ομομορφισμός δακτυλίων τότε έχει τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: 1Α. f(0) = 0. (Το «αριστερό μηδέν» είναι αυτό του R 1, το δεξιό είναι το μηδέν του R 2.) 1Β. f( a) = f(a). (Ισχύει για a R 1.) 1Γ. f(na) = nf(a). (Ισχύει για n Z, a R 1.) (Τα 1Α, 1Β είναι οι ειδικές περιπτώσεις n = 0, n = 1 του 1Γ.) Προειδοποίηση πάνω στο «πολλαπλασιαστικό ανάλογο» της παραπάνω παρατήρησης: Εστω f : R 1 R 2 ομομορφισμός δακτυλίων. Αν οι δακτύλιοι R 1 και R 2 ήταν πολλαπλασιαστικές ομάδες (που όμως δεν συμβαίνει ΠΟΤΕ, επειδή το 0 ενός δακτυλίου δεν είναι ΠΟΤΕ αντιστρέψιμο ως προς τον πολλαπλασιασμό του δακτυλίου), τότε, απλώς και μόνο επειδή η f διατηρεί το, θα ήταν ομομορφισμός πολλαπλασιαστικών ομάδων. Θα είχε λοιπόν τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: 2Α. f(1) = 1. (Ο «αριστερός άσσος» είναι αυτός του R 1, ο δεξιός είναι ο άσσος του R 2.) 2Β. f(a 1 ) = (f(a)) 1. (a R 1.) 2Γ. f(a n ) = (f(a)) n. (n Z, a R 1.) Ομως η f δεν έχει, εν γένει, αυτές τις ιδιότητες (ο λόγος, ξαναλέω, είναι ότι ένας δακτύλιος δεν είναι πολλαπλασιαστική ομάδα). Για την ιδιότητα 2Α, δείτε την άσκηση 2 του φροντιστηρίου 3. Οι 2Β και 2Γ δεν έχουν καν νόημα για το τυχαίο a, επειδή μπορεί το a 1 να μην υπάρχει (η 2Γ έχει πρόβλημα αν n < 0). Ομως μια εύκολη επαγωγή στο n δείχνει ότι η 2Γ δεν έχει πρόβλημα αν το n είναι θετικό, δηλαδή: Εστω R 1 και R 2 δακτύλιοι. Εστω f : R 1 R 2 ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε, a R 1 και n {1, 2,...}, f(a n ) = (f(a)) n. Διάλεξη 10 Παραδείγματα ομομορφισμών δακτυλίων f : R 1 R Ο τετριμμένος («πολλαπλασιασμός με μηδέν»). 2. (Αν R 1 = R 2 ) ο ταυτοτικός («πολλαπλασιασμός με ένα»). 3. (Αν R 1 = R 2 {Z, Q, R}) δεν υπάρχουν άλλοι. 4. (Αν R 1 = R 2 = C) υπάρχει άλλος ένας (f(z) = z). 5. (Αν R 1 = Z, R 2 = Z n ) f(t) = t mod n. 6. (Αν R 1 = R 2 [x]) δεδομένου t R 2, υπάρχει ο «ομομορφισμός εκτίμησης» (evaluation homomorphism) f = f t (εξαρτάται από το t, αλλά ας κρατήσουμε το t σταθερό, και ας τον συμβολίσουμε απλά με f). Ο ορισμός του f είναι: f(a) := a(t). Μια σημαντική «παραλλαγή» του παραδείγματος 6 («ακέραιες πολυωνυμικές εκφράσεις σε τυχαίο δακτύλιο»): Κρατάμε σταθερό a Z[x], έστω a = a 0 + a 1 x + + a n x n. Υπάρχει τότε, δεδομένου δακτυλίου R και s R, το «προφανές» στοιχείο a(s) του R. Εν συντομία, a(s) := a a 1 s + + a n s n. Οι ομομορφισμοί δακτυλίων «διατηρούν ακέραιες πολυωνυμικές εκφράσεις».

5 Εστω f : R 1 R 2 ομομορφισμός δακτυλίων τέτοιος ώστε f(1) = 1. Εστω a Z[x]. Εστω t R 1. Τότε f(a(t)) = a(f(t)). Με άλλα λόγια: Αν s = f(t), τότε f(a(t)) = a(s). Παράδειγμα (βλ. και φρονιστήριο 2): Αν f είναι ομομορφισμός δακτυλίων και s = f(t) τότε f(t 2 + 1) = s (εδώ a(x) = x 2 + 1). Ορισμός: Εστω f : R 1 R 2 ομομορφισμός δακτυλίων. Τι είναι ο πυρήνας του f (συμβολισμός ker f). Εστω f : R 1 R 2 ομομορφισμός δακτυλίων. Εστω I = ker f. Τότε: Το I είναι ιδεώδες του R 1. Διάλεξη 11 Η f είναι ένα-προς-ένα ker f = {0} (εδώ η f είναι ομομορφισμός δακτυλίων, αν και «ομομορφισμός ομάδων» αρκεί). Η σύνθεση ομομορφισμών δακτυλίων παραμένει ομομορφισμός δακτυλίων. Κάθε μη-τετριμμένος ομομορφισμός δακτυλίων f : R 1 R 2 είναι ένα-προς-ένα, στην ειδική περίπτωση που το R 1 είναι σώμα. Ορισμός: Τι είναι η απεικόνιση-πηλίκο φ : R R/I. «Οι ιδιότητες των κλάσεων στη γλώσσα της φ». 1. Η φ είναι επί 2. Η φ είναι ομομορφισμός δακτυλίων. 3. ker φ = I. Ενότητα 8. Ισομορφισμοί δακτυλίων: Συμφωνία: Τα σύμβολα R 1 και R 2 θα συμβολίζουν δακτυλίους. Εστω f : R 1 R 2 συνάρτηση. Τι εννοούμε λέγοντας «η f (ή: ο f) είναι ισομορφισμός δακτυλίων». Κάθε ισομορφισμός δακτυλίων είναι ειδικότερα ισομορφισμός (προσθετικών) ομάδων. Εστω f : R 1 R 2 ισομορφισμός δακτυλίων. Τότε και η f 1 : R 2 R 1 είναι ισομορφισμός δακτυλίων. Τι εννοούμε λέγοντας «οι δακτύλιοι R 1 και R 2 είναι ισόμορφοι» (συμβολισμός R 1 = R2 ). Η παραπάνω σχέση = είναι σχέση ισοδυναμίας. Λυμένη Άσκηση: Είναι οι δακτύλιοι R 1 = Z, R 2 = Q ισόμορφοι; (Λύση: Οχι, τα R 1, R 2 δεν είναι καν ισόμορφα ως προσθετικές ομάδες.) Λυμένη Άσκηση: Εστω R 1 = R R (πράξεις κατά συντεταγμένη) και R 2 = C. 1. Είναι τα R 1, R 2 ισόμορφα ως προσθετικές ομάδες;

6 2. Είναι τα R 1, R 2 ισόμορφα ως δακτύλιοι; Διάλεξη 12 Στη διάλεξη αυτή, αντί για θεωρία, ασχοληθήκαμε κυρίως με κάποιες ασκήσεις από τα φροντιστήρια. Ξεκινήσαμε όμως με κάτι θεωρητικό που έχουν κοινό όλες αυτές οι ασκήσεις, το πως «κατασκευάζουμε ρίζες ακεραίων πολυωνυμικών εκφράσεων». Δίνω μια περίληψη παρακάτω: Κρατάμε σταθερό ένα τυχαίο δακτύλιο R 0 και ένα ακέραιο πολυώνυμο a Z[x]. Εστω R = R 0 [x]. Για κάθε δακτύλιο R 2 και για κάθε t R 2 ορίζεται το a(t) R 2. Αυτο το a(t) θα το συμβολίζω (προσωρινά) με â(t). Παίρνω R 2 := R και t := x. Περίληψη: Από ένα ακέραιο πολυώνυμο a(x) κατασκευάσαμε ένα πολυώνυμο του R, το â(x). Για παράδειγμα, έστω a(x) = 2 x + 7x 2. Αν R 0 := Z 3, τι είναι το â(x); Απάντηση: Είναι το 2 x + 7x 2 μόνο που τώρα «οι πράξεις είναι στο R» (πιο απλά: οι πράξεις των συντελεστών είναι στο R 0 ). Άρα â(x) = 2 + 2x + x 2. Εστω τώρα I := (â), R 1 := R/I, και j := η κλάση του x στο R 1. Εξηγήσαμε γιατί 0 = a(j) = â(j). Περίληψη: Πάντα μπορώ να κατασκευάσω μια ρίζα j του a(x), αλλάζοντας όμως τον δακτύλιο από R 0 σε R 1. Διάλεξη 13 Ενότητα 9. Το Θεώρημα του Ισομορφισμού (ΘΙ) για Δακτυλίους: Συμφωνία: R και R 2 δακτύλιοι f : R R 2 μη-τετριμμένος ομομορφισμός δακτυλίων I := ker f R 1 := R/I Θεώρημα (ΘΙ): Εστω: ότι R, R 1, R 2, I, f είναι όπως παραπάνω. Τότε: 1. Εχω καλώς ορισμένη g : R 1 R 2 που πάει την κλάση του a στο f(a). 2. η g είναι ομομορφισμός δακτυλίων 3. ker g = {0} 4. η g ειναι ένα-προς-ένα. 5. Αν η f είναι επί, τότε η g είναι επί. 6. Αν η f είναι επί, τότε η g είναι ισομορφισμός δακτυλίων. 1. Z/nZ = Z n και ως δακτύλιοι. 2. R[x]/(x 2 + 1) = C Ενότητα 10. Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη: Εστω R δακτύλιος και I ιδεώδες του R. Τι εννοούμε λέγοντας «το I είναι πρώτο ιδεώδες του R». Θεώρημα (η απόδειξη: άσκηση): Εστω R δακτύλιος. Τότε: Το {0} είναι πρώτο το R είναι ΑΠ. Θεώρημα (η απόδειξη: άσκηση): Εστω R δακτύλιος και I ιδεώδες του R. Τότε: Το I είναι πρώτο το R/I είναι ΑΠ. Εστω R δακτύλιος και I ιδεώδες του R. Τι εννοούμε λέγοντας «το I είναι μεγιστοτικό ιδεώδες του R». Σχόλιο: Χρήσιμες επαναδιατυπώσεις του ότι το γνήσιο ιδεώδες I είναι μεγιστοτικό ιδεώδες του R: «δεν υπάρχουν γνήσια ιδεώδη που είναι γνήσια μεγαλύτερα» «αν J μεγαλύτερο του I τότε ή όχι γνήσια μεγαλύτερο ή όχι γνήσιο»

7 ( J ιδεώδες του R) I J (J = I ή J = R). Εστω R δακτύλιος και I ιδεώδες του R. Τότε: Το I είναι μεγιστοτικό το R/I είναι σώμα. Διάλεξη 14 Ενότητα 11. Χαρακτηριστική και Πρώτα Σώματα: Επανάληψη: Δεδομένης προσθετικής ομάδας G, οι ομομορφισμοί f : Z G καθορίζουν, και καθορίζονται από, τα a G. Οι αντιστοιχίες είναι: a = f(1), f(k) = k a Επιπλέον, γράφοντας την υποομάδα ker f του Z ως < n >: η τάξη του a είναι το n (μοναδική εξαίρεση: n = 0 η τάξη του a είναι άπειρη). Παρατήρηση/ Ορισμός: Κρατάμε σταθερό ένα δακτύλιο R και εφαρμόζουμε τα παραπάνω με G = R και a = 1 R. Παρατηρούμε ότι τότε η αντίστοιχη f : Z R δεν είναι απλώς ομομορφισμός ομάδων αλλά και δακτυλίων. Το n λέγεται χαρακτηριστική του R. Είναι η (προσθετική) τάξη του 1 στο R, εκτός αν αυτή η τάξη είναι άπειρη, που συμβαίνει ακριβώς όταν η χαρακτηριστική του R είναι μηδέν. Αν το R είναι ΑΠ τότε η χαρακτηριστική του R είναι ή μηδέν ή πρώτος αριθμός. Εστω R 0 σώμα. Λέμε «το R 0 είναι πρώτο σώμα» και εννοούμε ότι δεν έχει γνήσια υποσώματα. 1. Κάθε σώμα R περιέχει ένα μοναδικό πρώτο σώμα R Αν η χαρακτηριστική του R είναι p > 0 τότε το R 0 είναι η εικόνα της παραπάνω f και είναι ισόμορφο με το Z p. 3. Αν η χαρακτηριστική του R είναι μηδέν τότε το R 0 είναι ισόμορφο με το Q και η εικόνα της παραπάνω f αντιστοιχεί με το Z μέσα σε αυτό το «αντίγραφο» του Q. Ενότητα 12. Διαιρετότητα σε Δακτυλίους: Διάλεξη 15 Συμφωνία: Κρατήσαμε σταθερό ένα δακτύλιο R. Τα a, b, c συμβολίζουν στοιχεία του R. Τι εννοούμε λέγοντας «το a διαιρεί το b στο R» (συμβολισμός a b). Διαιρέτες, παράγοντες, πολλαπλάσια. Παρατήρηση/Άσκηση: Στοιχειώδεις ιδιότητες. Οπου R = Z (η «κλασική» περίπτωση), R = R[x], και R = C[x]. Τι εννοούμε λέγοντας «τα a, b είναι συνεταιρικά στο R» (συμβολισμός a b). Λυμένη Άσκηση: Η παραπάνω σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας στο R. Οπου R = Z και R = R[x]. Εστω A το σύνολο των διαιρετών του a στο R. Εστω B το σύνολο των διαιρετών του b στο R. Τότε: 1. a b A = B. 2. Το αντίστροφο ισχύει αν το R είναι ΑΠ. 1. a b (a b και b a).

8 2. Το αντίστροφο ισχύει αν το R είναι ΑΠ. b (a) (b) (a). a b (b) (a). 1. a b (a) = (b). 2. Το αντίστροφο ισχύει αν το R είναι ΑΠ. Ενότητα 13. Πρώτα Στοιχεία: Διάλεξη 16 Συμφωνία: Κρατήσαμε σταθερό ένα δακτύλιο R. Τα a, b, c συμβολίζουν στοιχεία του R. Το «a b» σημαίνει «τα a, b είναι συνεταιρικά στο R». Τι εννοούμε λέγοντας «το p είναι πρώτο στοιχείο του R». Αν p q τότε: το p είναι πρώτο το q είναι πρώτο. Τα σώματα δεν έχουν πρώτα στοιχεία. Αν R = Z τα πρώτα στοιχεία είναι τα ±p όπου p πρώτος αριθμός. Αν R = Z 6 και p 1 = 2, p 2 = 5, p 3 = 4: Τα p 1, p 3 είναι πρώτα, όχι όμως το p 2. Αν p R, p 0, και I = (p) τότε: το p είναι πρώτο στοιχείο το I είναι πρώτο ιδεώδες. Ενότητα 14. Ανάγωγα Στοιχεία: Συμφωνία: Κρατήσαμε σταθερή μια ΑΠ (προσοχή!) R. Τα a, b, c συμβολίζουν στοιχεία του R. Το «a b» σημαίνει «τα a, b είναι συνεταιρικά στο R». Τι εννοούμε λέγοντας «το r είναι ανάγωγο στοιχείο του R». Υπάρχουν (τουλάχιστον) τρεις (ισοδύναμοι) τρόποι να καταλάβουμε τι σημαίνει «το r είναι ανάγωγο στοιχείο του R». (εν συντομία, δεδομένου r μη-μηδενικού και μη-μονάδας: πρώτος: μοναδικοί διαιρέτες είναι το 1 (και τα συνεταιρικά του 1) και το r (και τα συνεταιρικά του r). δεύτερος: σε κάθε Ανάλυση σε Δυό Παράγοντες (ΑΔΠ) του r, κάποιος παράγοντας είναι ή μηδέν ή μονάδα. τρίτος: σε κάθε ΑΔΠ του r, κάποιος παράγοντας είναι μονάδα.) Αν r s τότε: το r είναι ανάγωγο το s είναι ανάγωγο. Τα σώματα δεν έχουν ανάγωγα στοιχεία. Αν R = Z τα ανάγωγα στοιχεία είναι τα ±p όπου p πρώτος αριθμός. Αν R = Z ή αν R είναι σώμα: Τα πρώτα και τα ανάγωγα στοιχεία ταυτίζονται. Διάλεξη 17 Εστω R μια ΑΠ και p R πρώτο. Τότε το p είναι ανάγωγο.

9 Εστω R δακτύλιος. Τι εννοούμε λέγοντας «το R είναι Περιοχή Κυρίων Ιδεωδών» (συντομογραφία ΠΚΙ). 1. Τα σώματα είναι ΠΚΙ. 2. Το Z είναι ΠΚΙ. 3. Το Z n είναι ΠΚΙ αν το n είναι πρώτος (αφού τότε είναι σώμα). Αν το n δεν είναι πρώτος, το Z n δεν είναι ΠΚΙ, αφού δεν είναι καν Περιοχή («Περιοχή» και «Ακέραια Περιοχή» είναι συνώνυμα στη Θεωρία Δακτυλίων). Παρεμπιπτόντως, κάθε ιδεώδες του Z n είναι κύριο (ίδια απόδειξη με το Z). Τέτοιοι δακτύλιοι λέγονται Δακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών. Δεν θα τους χρειαστούμε στο μάθημα. 4. Τα «πολυώνυμα του σχολείου»: Εστω R 1 := Z, R 2 := Q, R 3 := R, R 4 := C. Αν R := R j [x] τότε το R είναι ΠΚΙ για j = 2, 3, 4 αλλά όχι για j = 1. Θα το αποδείξουμε στην επόμενη ενότητα. Εστω: R ΠΚΙ. r R, r 0. I := (r). Τότε: Το r είναι ανάγωγο το I είναι μεγιστοτικό. Ενότητα 15. Πολυώνυμα και ΠΚΙ: Εστω: R 0 σώμα. R := R 0 [x]. Τότε: Το R είναι ΠΚΙ. Απόδειξη του προηγουμένου θεωρήματος. Εστω R 0 := Z. Τότε το R := R 0 [x] δεν είναι ΠΚΙ. Διάλεξη 18 Αποδείξαμε το θεώρημα δείχνοντας ότι το I := (x) είναι πρώτο αλλά όχι μεγιστοτικό. Ορισμός: Το ιδεώδες (a, b). Τι σημαίνει «το c είναι R-Γραμμικός Συνδυασμός (ΓΣ) των a, b». Παράδειγμα: Αν R = Z, a = 2, b = 3, και c = 1, τότε (a, b) = (c). Εστω R = Z[x], a = x, και b = 2. Τότε το (a, b) δεν είναι κύριο. Αποδείξαμε το θεώρημα και παρατηρήσαμε το δεύτερο τρόπο απόδειξης ότι το Z[x] δεν είναι ΠΚΙ. Λύσαμε ασκήσεις. Διαλέξεις 19 και 20 Ενότητα 16. ΜΚΔ και ΠΚΙ: Διάλεξη 21 Συμφωνία: Κρατήσαμε σταθερή μια ΑΠ R. Τα a, b, c, d, d συμβολίζουν στοιχεία του R. Το «a b» σημαίνει «τα a, b είναι συνεταιρικά στο R». Συντομογραφία: «ΚΔ» αντί «Κοινός Διαιρέτης» και «ΜΚΔ» αντί «Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης».

10 «το d είναι (ένας) ΜΚΔ των a, b». 1. Αν b := 0 τότε το d := a είναι ΜΚΔ των a, b. 2. Αν το d είναι ΜΚΔ των a, b και d d, τότε και το d είναι ΜΚΔ των a, b. Θεώρημα (Μοναδικότητα του ΜΚΔ [είναι μοναδικός μόνο έως συνεταιρικών]): Εστω R ΑΠ και a, b, d, d R. Αν και το d και το d είναι ΜΚΔ των a, b τότε d d. «τα a, b είναι σχετικά πρώτα (ή: πρώτα μεταξύ τους)». Εστω R ΑΠ και a, b R. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. τα a, b είναι σχετικά πρώτα. 2. Οι μόνοι ΚΔ των a, b είναι οι μονάδες. Εστω R ΠΚΙ. [Άρα: κάθε I γράφεται ως (d).] Εστω a, b R. [Άρα: το (a, b) γράφεται ως (d).] Εστω d R τέτοιο ώστε (d) = (a, b). Τότε: 1. Το d είναι ΜΚΔ των a, b. 2. Κάθε ΜΚΔ των a, b είναι ΓΣ των a, b. Σχόλια: 1. Ειδικότερα, το μέρος 1 εγγυάται την ύπαρξη ΜΚΔ σε ΠΚΙ. 2. Ειδικότερα, το μέρος 2 λέει «ΜΚΔ (ΚΔ και ΓΣ)», υπό την προϋπόθεση «R ΠΚΙ». Το επόμενο θεώρημα δίνει το αντίστροφο. Θεώρημα [«ΜΚΔ (ΚΔ και ΓΣ)», υπό την προϋπόθεση «R ΠΚΙ»]: Εστω R ΠΚΙ και a, b, d R. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. Το d είναι ΜΚΔ των a, b. 2. Το d είναι και ΚΔ και ΓΣ των a, b. Θεώρημα (Το «Λήμμα του Ευκλείδη γενικευμένο για ΠΚΙ»): Εστω R ΠΚΙ και p ανάγωγο στο R. Τότε το p είναι πρώτο στο R. Διάλεξη 22 Συντομογραφίες: «ΠΜΑ» αντί «Περιοχή Μονοσήμαντης Ανάλυσης», «ΠΑΠ» αντί «Παραγοντοποίηση σε Ανάγωγους Παράγοντες», «ΥΠΑΠ» αντί «Υπαρξη ΠΑΠ», και «ΜΠΑΠ» αντί «Μοναδικότητα ΠΑΠ». Δεύτερος (και πολύ συντομότερος) τρόπος απόδειξης του «γενικευμένου λήμματος του Ευκλείδη» (χρησιμοποιώντας πρώτα και μεγιστοτικά ιδεώδη). Ενότητα 17. ΠΜΑ και ΠΚΙ: Συμφωνία: Κρατήσαμε σταθερή μια ΑΠ R. Τα a, b, c, d, p 1, p 2,..., q 1, q 2,... συμβολίζουν στοιχεία του R. Το «a b» σημαίνει «τα a, b είναι συνεταιρικά στο R». ΠΑΠ, ΥΠΑΠ, ΜΠΑΠ, ΠΜΑ. Θεώρημα («ΠΚΙ ΠΜΑ»): Εστω R ΠΚΙ. Τότε το R είναι ΠΜΑ. Ιστορικό Σχόλιο: Η ειδική περίπτωση R = Z είναι το «Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής». Ολοκλήρωση της απόδειξης του «ΠΚΙ ΠΜΑ». Διάλεξη 23 Ενότητα 18. Ανάγωγα Πολυώνυμα και Σώματα: Συμφωνία: Το R 0 είναι σώμα και R := R 0 [x]. Κανένα σταθερό πολυώνυμο δεν είναι ανάγωγο. Ολα τα πολυώνυμα βαθμού ένα είναι ανάγωγα. Επανάληψη της Ευκλείδειας Διαίρεσης πολυωνύμων του R.

11 Εστω a R και x 0 R 0. Θέτουμε b := x x 0. Τότε το υπόλοιπο r της Ευκλείδειας Διαίρεσης a = bq + r είναι το στοιχείο a(x 0 ) του R 0. Εστω a R και x 0 R 0. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. Το x 0 είναι ρίζα του a. 2. Το b := x x 0 δαιρεί το a στο R. Εστω ότι a R, deg a 2, και ότι το a έχει κάποια ρίζα στο R 0. Τότε το a δεν είναι ανάγωγο στο R. Εστω ότι a R και ότι 2 deg a 3. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. Το a έχει κάποια ρίζα στο R Το a δεν είναι ανάγωγο στο R. Διάλεξη 24 Θεώρημα («πλήθος ριζών βαθμό»): Εστω R 0 σώμα, a R := R 0 [x] με a 0 και n := deg a. Τότε το πλήθος των ριζών του a είναι n. Ιστορικό Σχόλιο: Η ειδική περίπτωση R = Z p είναι γνωστή ως «το Θεώρημα του Lagrange για τα πολυώνυμα» ή «το Θεώρημα του Lagrange στη Θεωρία Αριθμών». Μονικό πολυώνυμο. Εστω R 0 σώμα. Τότε κάθε a R 0 [x] είναι συνεταιρικό με ένα μοναδικό μονικό πολυώνυμο. Σχόλια σχετικά με την ΜΠΑΠ χρησιμοποιώντας μονικά πολυώνυμα. Ενότητα 19. Ανάγωγα Πολυώνυμα πάνω στα C, R, Q, και Z: Θεώρημα (το «Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας», το απέδειξε ο Gauss, εμείς εδώ χωρίς απόδειξη): Κάθε μή-σταθερό a C[x] έχει κάποια ρίζα στο C. Θεώρημα (η απόδειξη άσκηση): Τα μόνα ανάγωγα πολυώνυμα στο C[x] είναι τα πολυώνυμα βαθμού ένα. Εστω a μη-μηδενικό πολυώνυμο βαθμού n στο C[x]. Εστω a = a 0 + a 1 x + + a n x n. Τότε x 1,..., x n C τέτοια ώστε: 1. Το σύνολο ριζών του a είναι {x 1,..., x n }. 2. ΠΑΠ του a στο C[x] είναι a = a n (x x 1 ) (x x n ). Συμβολισμός: Στη διάλεξη αυτή, το z συμβολίζει τον συζυγή του z C. Εστω a μη-μηδενικό πολυώνυμο βαθμού n στο R[x]. Εστω a = a n (x x 1 ) (x x n ) η ΠΑΠ του a στο C[x]. Υποθέτουμε επίσης ότι οι πραγματικές ρίζες του a είναι οι x 1,..., x m. Τότε: 1. Εστω A := το σύνολο των μη-πραγματικών ριζών του a. Δηλαδή A = {x m+1,..., x n }. Τότε, αν το z ανήκει στο A, και το z ανήκει στο A. Μάλιστα, το n m είναι άρτιος, έστω k := (n m)/2, και το A γράφεται A = {x m+1, x m+1 = x m+2,..., x n 1, x n 1 = x n } (αλλάζοντας ίσως σειρά στα x m+1,..., x n, έτσι ώστε «τα συζυγή να είναι δίπλα-δίπλα»). 2. Η ΠΑΠ του a στο R[x] είναι a = a n [x x 1 ] [x x m ][(x x m+1 )(x x m+1 )] [(x x n 1 )(x x n 1 )]. (Εννοείται οι ανάγωγοι παράγοντες στο R[x] είναι αυτοί μέσα στις αγκύλες, δηλαδή οι γραμμικοί p 1 := x x 1,..., p m := x x m, μαζί με τους τετραγωνικούς p m+1 := (x x m+1 )(x x m+1 ),..., p m+k := (x x n 1 )(x x n 1 ). Επίσης εννοείται ότι το a n μπορεί να «απορροφηθεί» μαζί με οποιοδήποτε από αυτούς, έστω τον p j, για να προκύψει ένας νέος ανάγωγος παράγοντας p j := a np j, που είναι βέβαια συνεταιρικός με τον p j.) Θεώρημα (η απόδειξη άσκηση): Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο R[x] είναι δύο ειδών: 1. τα πολυώνυμα βαθμού ένα. 2. τα πολυώνυμα βαθμού δύο με αρνητική διακρίνουσα. Εστω a πολυώνυμο βαθμού n 1 στο Z[x]. Εστω a = a 0 + a 1 x + + a n x n. Εστω p πρώτος που δεν διαιρεί το a n. Θυμηθείτε το â Z p [x] (π.χ., αν p = 3 και a = 4x τότε â = x 3 + 2). Αν το â είναι ανάγωγο στο Z p [x] τότε και το a είναι ανάγωγο στο Q[x]. Προαιρετικό σχόλιο: Ενα «σούπερ» αντιπαράδειγμα για το αντίστροφο είναι το a = x (Είναι αντιπαράδειγμα

12 γιατί είναι ανάγωγο στο Q[x] και μη-ανάγωγο στο Z p [x]. Είναι «σούπερ» γιατί δουλεύει για όλα τα p.) Θεώρημα (το Κριτήριο του Eisenstein): Εστω a πολυώνυμο βαθμού n 1 στο Z[x]. Εστω a = a 0 + a 1 x + + a n x n. Εστω p πρώτος που έχει τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: 1. το p δεν διαιρεί το a n. 2. το p διαιρεί όλους τους υπόλοιπους συντελεστές του a, δηλαδή τα a 0,..., a n το p 2 δεν διαιρεί το a 0. Τότε το a είναι ανάγωγο στο Q[x]. Προαιρετικό Εστω a πολυώνυμο βαθμού n 1 στο Z[x]. Εστω a = a 0 + a 1 x + + a n x n. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 1. Το a είναι ανάγωγο στο Z[x]. 2. Το a είναι ανάγωγο στο Q[x] και ΜΚΔ(a 0,..., a n ) = 1. Ιστορικό σχόλιο: Το «προαιρετικό θεώρημα» παραπάνω το απέδειξε ο Gauss και στηρίζεται στο περίφημο Λήμμα του Gauss. (Κατά κανόνα, ένα «λήμμα» είναι κάτι πληκτικό που συνιστάται να το ξεχάσουμε μόλις αποδείξουμε το θεώρημα που «γέννησε» το λήμμα. Ομως υπάρχουν θεαματικές εξαιρέσεις σε αυτόν τον κανόνα. Για τον Gauss οι εξαιρέσεις είναι τρεις, υπάρχουν δηλαδή τρία περίφημα λήμματα του Gauss: Το παραπάνω «Λήμμα του Gauss για τα πολυώνυμα», το Λήμμα του Gauss που σχετίζεται με την λεγόμενη τετραγωνική αντιστροφή στη θεωρία αριθμών, και το Λήμμα του Gauss στη διαφορική γεωμετρία.) Επίσης το Κριτήριο του Eisenstein στηρίζεται στο Λήμμα του Gauss. Ενα τελευταίο προαιρετικό σχόλιο (που δεν είχα όμως χρόνο να το πω στη διάλεξη): Ενα άλλο ενδιαφέρον θεώρημα που στηρίζεται στο Λήμμα του Gauss είναι το εξής: Αν το R είναι ΠΜΑ τότε και το R[x] είναι ΠΜΑ. Η ειδική περίπτωση R = Z είναι ήδη ενδιαφέρουσα, και την απέδειξε ο Gauss. Τέλος, μια ενδιαφέρουσα και διασκεδαστική άσκηση είναι το να καταλάβετε, π.χ. με ένα-δυο παραδείγματα, τι σημαίνει το εξής: Αν R = R 0 [x] τότε R[y] = R 0 [x, y], όπου R 0 [x, y] συμβολίζει τον «προφανή» δακτύλιο των πολυωνύμων στις μεταβλητές x, y. Συνέπεια της άσκησης: Και τα πολυώνυμα δυο μεταβλητών είναι ΠΜΑ. Ολα αυτά γενικεύονται με τον «προφανή» τρόπο για πολυώνυμα σε n μεταβλητές. (Για το επόμενο βήμα, δηλαδή για το n = 3, αρχίζουμε από το ότι αν R = R 0 [x, y] τότε R[z] = R 0 [x, y, z]. Άρα, αν το R 0 είναι ΠΜΑ, τότε από το προηγούμενο βήμα το R 0 [x, y] είναι ΠΜΑ, όπότε τελικά το R 0 [x, y, z] είναι ΠΜΑ. Στο επόμενο βήμα κάνουμε το n = 4, κ.ο.κ.)

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}. Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}

bca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1} Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους

Ασκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

irr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2,

irr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 13 Δεκεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 3 Μεταθέσεις και ομάδες Galois 41 3.1 Οι ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9

Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9 140/140 Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9 Τσάνγκο Ιωσήφ 24 Απριλίου 2017 1. Εχω ότι R δακτύλιος, S υποδακτύλιος και I ιδεώδες του R. (Σχόλιο:Το πλήθος των απαντήσεων μου είναι ίδιο με αυτό των ερωτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ι,

Γραμμική Άλγεβρα Ι, Γραμμική Άλγεβρα Ι, 207-8 Ασκήσεις2 και Ασκήσεις3: Γραμμοϊσοδύναμοι Πίνακες και Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Βασικά σημεία Γραμμοϊσοδυναμία πινάκων o Στοιχειώδεις πράξεις γραμμών o Ανηγμένη κλιμακωτή μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

< a 42 >=< a 54 > < a 28 >=< a 36 >

< a 42 >=< a 54 > < a 28 >=< a 36 > Ασκήσεις Βασικής Άλγεβρας και Λύσεις τους 4 Δεκεμβρίου 2013 1 Ασκήσεις και Λύσεις. 2013-14 1. (αʹ Εστω m, n δύο φυσικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε M K (m, n + 5 = MK (m + 5, n = 1. Αποδείξτε ότι MK (mn, m +

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία

Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Δευτέρα 13 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 9 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Δευτέρα 13 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα

Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Στοιχειώδεις τελεστές στην άλγεβρα των adjointable τελεστών σε Hilbert πρότυπα Χαράλαμπος Μαγιάτης Ανάλυση & Κβαντική Θεωρία Πληροφορίας Σεμινάριο Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ 17/05/2019 1 / 56 Hilbert C

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα