ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Μηχανικές τααντώσεις. α. ω 8π ad/s άρα Τπ/ω 0,5s οπότε f 4Hz και άρα Ν f t 40. β. υ max ωα 4,8π m/s και α max ω Α 84 m/s οπότε: υ 4,8πσυν(8πt + 5π/6) και α -84ημ(8πt + 5π/6) (S.I.) γ. Θέουμε υ 0 άρα συν(8πt + 5π/6) 0 δηαδή 8πt + 5π/6 (k+)π/ Για k0 έχουμε t < 0 που απορρίπτεται και για k έχουμε t/ s δ. α -ω x 8 m/s. α. Α 80 άρα Α 40 0,4 m fn/t 0 Hz x. ηµφ0 αρχ και αφού υ αρχ. < 0 θα είναι φ 0 7π/6 ad Α Επομένως οι εξισώσεις είναι: x 0,4ημ(0πt + 7π/6) (S.I.) και υ 8πσυν(0πt + 7π/6) (S.I.) β. Θέτουμε στις εξισώσεις t /40 s και έχουμε: x 0,4ημ(0πt + 7π/6) 0,4ημ(0π/40 + 7π/6) 0,4ημ(π/ + 7π/6) 0,4ημ(9π/4) 0, m Ομοίως υ 8πσυν(9π/4) 4 π m/s γ. Θέτουμε x + 0,4 οπότε ημ(0πt + 7π/6) + άρα 0πt + 7π/6 5π/ άρα t/5s. δ. Έχουμε 0,4 0,4ημ(0πt + 7π/6) άρα ημ(0πt + 7π/6) 0,6 Από τη ταυτότητα συνφ ± ηµ φ βρίσκουμε συν(0πt + 7π/6) ±0,8 και άρα υ ± 6,4π m/s. α. f N/t 40/60 4Hz οπότε ω πf 8π ad/s άρα Αυ max /ω m D mω 8Ν/m. x. β. ηµφ0 αρχ άρα φ 0 π/ επομένως οι εξισώσεις είναι: Α x ημ(8πt + π/) (S.I.) και υ 6πσυν(8πt + π/) (S.I.) γ. Η οική ενέργεια της ταάντωσης είναι E DA 56J Όταν x m είναι E Dx 64J άρα Κ Ε U 9 J δ. Αφού το σώμα ξεκινά από την θέση x αρχ. -m όταν μετατοπιστεί κατά Δx m θα βρίσκεται στη θέση x x αρχ. + Δx + m. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση και έχουμε: + ημ(8πt + π/) άρα ημ(8πt + π/) / άρα 8πt + π/ π + π/6 δη. t / s 4. α. Από υ max και ω βρίσκουμε το πάτος Α0,8m και τη μέγιστη επιτάχυνση α max 00m/s οπότε: x 0,8ημ(5πt + 7π/6), α -00ημ(5πt + 7π/6)
(θεωρούμε ότι π 0) β. Θέουμε ημ(5πt + 7π/6) ημ(7π/6) -/ για πρώτη φορά. Άρα 5πt + 7π/6 π/6 άρα 5πt π/ οπότε t /5 s γ. α -ω x - 75 m/s δ. Θέουμε ημ(5πt + 7π/6) +/ για πρώτη φορά. Άρα 5πt + 7π/6 π/6 άρα 5πt π οπότε t 0, s D 5. α. D 00N/m άρα ω 0ad / s οπότε f ω/π 5/π Hz. m E Ε U + K 6J όμως E DA A 0, 6m D β. Τη στιγμή t0 είναι U E/4 άρα x αρχ. ±Α/ ±0,m Αφού εκείνη τη στιγμή η δυναμική ενέργεια αυξάνεται το σώμα κατευθύνεται προς ακραία θέση της ταάντωσης και αφού η ταχύτητα είναι θετική κατααβαίνουμε ότι είναι x +0,m. Επομένως η αρχική φάση είναι φ 0 π/6 ad και οι εξισώσεις προκύπτουν εύκοα: x 0,6ημ(0t+π/6) (S.I.) και υ 6συν(0t+π/6)(S.I.) γ. Θέουμε U K όμως U+KE άρα U E/4 οπότε x ±A ημ(0t+π/6) ± Για πρώτη φορά θα είναι 0t+π/6 π/ άρα t π/60 s. 6. α. Αφού η ταάντωση είναι οριζόντια στη θέση ισορροπίας το σώμα δεν δέχεται καμία δύναμη επομένως η θέση ισορροπίας ταυτίζεται με τη θέση φυσικού μήκους του εατηρίου. Στη τυχαία θέση σε απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας προς τη θετική φορά της ταάντωσης θα είναι: ΣF F ε. - ΚΔl όμως η παραμόρφωση Δl x άρα ΣF - Kx οπότε το σώμα εκτεεί απή αρμονική ταάντωση με σταθερά επαναφοράς D K. β. Το πάτος της ταάντωσης είναι ίσο με την αρχική του εκτροπή αφού όταν το αφήσαμε δεν είχε ταχύτητα. Επομένως Α 0,m και αφού xαρχ. 0,m θα είναι φ 0 π/ ad. D Είναι ω 0ad / s οπότε οι εξισώσεις θα είναι: m x 0,ημ(0t + π/) m και υ 4συν(0t + π/) m/s γ. Είναι E DA 8 J Για t π/4s βρίσκουμε την απομάκρυνση x 0, m και άρα τη δυναμική ενέργεια U 6J και την κινητική Κ Ε U J δ. Όταν απέχει από μια ακραία θέση έχει απομάκρυνση x±9 οπότε έχει δυναμική ενέργεια E Dx, 6J άρα Κ Ε U 8,6 6,8 J.
7. α. Από τη γραφική παράσταση βέπουμε ότι x αρχ. - 0,m και Α 0,4m Τη στιγμή t 0 το σώμα κατευθύνεται προς τη θέση x -0,4m και επομένως έχει αρνητική ταχύτητα. Άρα είναι φ 0 7π/6 ad. Από τη γραφική παράσταση βέπουμε ακόμα ότι τη στιγμή t/5 είναι x +0,4m για πρώτη φορά. Επομένως: ω 7π ω 7π ω 7π 5π 0,4 0,4ηµ + ηµ + + + 5 6 5 6 5 6 ω 4π ω 0π ad / s 5 Άρα οι εξισώσεις θα είναι: x 0,4ημ(0πt+7π/6) και υ 8πσυν(0πt+7π/6) στο (S.I.) β. Θέουμε x 0 άρα 0πt+7π/6 kπ Για k 0 και για k έχουμε t < 0 και τις απορρίπτουμε. Αφού η πρώτη φορά που διέρχεται το σώμα από τη θέση ισορροπίας του είναι για k η πέμπτη φορά θα είναι για k 6 και άρα 0πt+7π/6 6π οπότε t 9π/0 s. γ. D mω 800 Ν/m Για τη κινητική ενέργεια βρίσκω την απομάκρυνση x -F επ /D - 0,m. Άρα Κ Ε U D( A x ) 60 J D 8. α. Είναι ω 0ad / s και φ 0 π/ ad. m Η εξίσωση της ταάντωσης θα είναι x Aημ(0t + π/) και για t π/0 s θα είναι: x Aημ(π/+π/) Αημ(π/6) Αημ(π+π/6) Α/. Άρα Α + Α/ οπότε Α 8. Οι εξισώσεις θα είναι: x 0,08ημ(0t + π/) m και υ,6συν(0t + π/) m/s π π π β. Θέουμε συν (0t + ) 0t + kπ ± Για k 0 και k έχουμε t<0 και απορρίπτονται. Για k (-) έχουμε τη πρώτη φορά Για k (+) έχουμε τη δεύτερη φορά Για k (-) έχουμε τη τρίτη φορά. Άρα 0t + π/ π π/ οπότε 0t 7π/6 δηαδή t 7π/0 s γ. Τη στιγμή t είναι x 0,08ημ(π-π/) 0,04 m dk F επ υ Dxυ 6,4 J/s dt δ. S A x (0,4-0,04 )m 7, 9. α. Στη θέση ισορροπίας ισχύει: mg ΣF 0 Fε mg KΔL0 mg ΔL0 0,05m K Σε μια τυχαία θέση εκτροπής υποογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων θεωρώντας θετική φορά προς τα κάτω. F mg - F mg - Κ(ΔL + x) Σ F -Kx Σ ε 0
Άρα το σώμα εκτεεί αρμονική ταάντωση με D K οπότε η περίοδος της ταάντωσης θα είναι: m Τ π π 0,πs K 800 β. Το πάτος της ταάντωσης είναι ίσο με την αρχική εκτροπή αφού τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα εεύθερο δεν έχει ταχύτητα και άρα βρίσκεται στην ακραία θέση της ταάντωσής του. Επομένως Α 0,05m. x. Η αρχική φάση της ταάντωσης είναι ηµφ0 αρχ + άρα φ 0 π/ ad Α Είναι ω π 0ad / s οπότε θα είναι: Τ x 0,05ημ(0t + π/) m και υ συν(0t + π/) m/s γ. Θέουμε να είναι x -0,05m οπότε -0,05 0,05ημ(0t + π/) άρα ημ(0t + π/) -/ άρα 0t + π/ 7π/6 άρα t π/0s δ. Θα είναι υ συν(7π/6) m/s άρα K m υ 0, 75 J dk F επ υ Dxυ 0 J / s dt 0. α. Προσέξτε το διπανό σχήμα. Πάνω βέπετε το εατήριο στο φυσικό του μήκος. Παρακάτω βέπετε το σώμα στη θέση ισορροπίας του όπου η συνισταμένη των δυνάμεων πάνω του είναι μηδέν. Άρα: ΣF 0 Fε mg ημφ mg ημφ KΔL0 mg ημφ ΔL0 0,05m K Στη τεευταία θέση βέπουμε το σώμα σε μια τυχαία θέση εκτροπής και στη θέση αυτή υποογίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων θεωρώντας θετική φορά προς τα κάτω. Σ F mgημφ - F ε mgημφ - Κ(ΔL0 + x) Σ F -Kx Άρα το σώμα εκτεεί αρμονική ταάντωση με D K οπότε η περίοδος της ταάντωσης θα είναι: m Τ π π 0,πs K 00 β. Για να γράψουμε την εξίσωση της ΑΤ πρέπει να βρούμε το πάτος και την αρχική φάση της ταάντωσης. Αφού κατεβάσαμε το σώμα μέχρι διπασιασμό της αρχικής παραμόρφωσης, στη θέση εκτόξευσης με υ0,5 m/s θα έχει x 0,05m. Το πάτος θα το βρούμε με ΑΔΕ: 4
Άρα: Α 0,m Αφού τη στιγμή t 0 είναι x+a/ με υ<0 θα είναι ημφ 0 / και άρα θα έχουμε αρχική φάση φ 0 5π/6 Άρα η εξίσωση της ταάντωσης θα είναι: x 0, ημ(0t+5π/6) S.I. γ. Στη τεευταία εξίσωση θέτουμε x - 0,05m και βρίσκουμε t π/0 s δ. Ο ρυθμός μεταβοής της ορμής είναι η συνισταμένη των δυνάμεων δηαδή η δύναμη επαναφοράς. Επομένως.. α. Έστω α και α οι αρχικές παραμορφώσεις των δύο εατηρίων στη θέση ισορροπίας. Θα ισχύει: F F 0 ή K α Κ α Επίσης είναι: α + α D L 0 60 Από τις δύο εξισώσεις βρίσκουμε ότι είναι: α 4 και α 6 β. Στη τυχαία θετική εκτροπή x θα είναι: ΣF F F K (α x) K (α +x) K α K x K α K x (K +K )x Αφού ΣF (K +K )x το σώμα εκτεεί Α.Τ. με D K +K 00Ν/m Η περίοδος θα είναι: γ. Αντικαθιστούμε στη γενική εξίσωση x Aημ(ωt+φ 0 ) με ω π/τ 0 /s και έχουμε: x 0,ημ(0t+π/) (S.I.) δ. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια της ταάντωσης είναι: Η μέγιστη δυναμική ενέργεια όγω παραμόρφωσης του εατηρίου Κ δίνεται από τη σχέση:. α. Τη στιγμή της κρούσης το σώμα Μ έχει ταχύτητα υ ω Α m/s. Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για τη κρούση και έχουμε: Επομένως το συσσωμάτωμα θα φύγει με ταχύτητα V -m/s από τη θέση ισορροπίας η οποία δεν αάζει όγω της κρούσης αφού η ταάντωση είναι οριζόντια. Η ταχύτητα αυτή θα είναι μέγιστη για τη νέα ταάντωση επομένως: 5
V Κ A όπου ω 5 ad / s άρα A 0, m ω Μ + m Η αρχική φάση της ταάντωσης θα είναι φ0π ad αφού τη στιγμή που αρχίζει η νέα ταάντωση το συσσωμάτωμα κατευθύνεται προς τη αρνητική κατεύθυνση. Επομένως x 0, ημ(5 t + π) m β. Η αρχική κινητική ενέργεια είναι K Mυ + mυ 84J Η τεική κινητική ενέργεια είναι K ( M + m) V 9J Η μηχανική ενέργεια που χάθηκε όγω της κρούσης θα είναι Κ-Κ 75J γ. Για να είναι το πάτος της νέας ταάντωσης ίδιο με το αρχικό θα έπρεπε να είναι: V ω Α m/s και από τη Α.Δ.Ο. για τη κρούση βρίσκουμε: υ,8m/s. Γ. ίδια διαδικασία με την άσκηση 0. dp Γ. Είναι F επ D x dt Επομένως η μέγιστη τιμή θα είναι dp dt max DA 0kgm/ s Κ Γ. Η ταάντωση των δύο σωμάτων έχει ω 50ad / s m Η σταθερά επαναφοράς του Σ θα είναι D m ω 50N / m Γ4. Το σώμα Σ εκτεεί αρμονική ταάντωση και επομένως ισχύει ΣF-D x άρα: Ν mgημφ -D x δηαδή Ν 5 50 x Επομένως η επαφή χάνεται όταν Ν0 δηαδή όταν x 0,m. Η ταάντωση των δύο σωμάτων γίνεται με θέση ισορροπίας όπου ΚΔl mgημφ άρα Δl 0,m. Το πάτος της ταάντωσης είναι Α 0, 0, 0,m και επομένως από τη θέση που αφήσαμε το σύστημα θα πρέπει να προχωρήσουν κατά s A + x 0, + 0, 0, για να χαθεί η επαφή τους. Ηεκτρικές τααντώσεις 4. Γ. Q CE 400-6 C Γ T π LC 8π 0-4 s Γ. ωπ/τ 500ad/s άρα Ι ωq 0, A Επομένως i -0 - ημ(500t) (S.I.) q Q Q Γ4. U E + U B E άρα 4U E E άρα 4 q ± 0µ C C C T 5 5. α. T π LC C 0 F 4π L max max max max U E β. U E U B LI U E I 0, 5A L 6
max I γ. U E U B 4U B U B 4 Li LI i ± Επειδή θέουμε να είναι η πρώτη φορά θα είναι i - 75mA I π δ. Από την εξίσωση της έντασης θα έχουμε Iηµ ( ωt) ωt 6 όμως ω π/τ,5 0 ad/s άρα t π/5 ms 6. α. T π LC π ms β.... γ.... q dvc dq i δ. Είναι Vc άρα C dt C dt C Τη στιγμή που μας ενδιαφέρει είναι i I 0,5 A dvc 4 Επομένως 5 0 V / s dt 7. α. Είναι ωπ/τ 50ad/s Q Η εξίσωση του φορτίου είναι q Qσυν(50t) Qσυν(π/6) Q Επομένως 4 mc Q 8mC I Εκείνη τη στιγμή θα είναι i Iηµ (50t) Iηµ ( π / 6) max I U B max Άρα U B Li L 0,J U B 0, 8J 4 4 Q max Q 5 Άρα U B C 4 0 F max C U B L 0, 4Η Cω β. q 8 0 - συν(50t) (S.I.) και Ι ωq A άρα i -ημ(50t) (S.I.) γ. Τη στιγμή t το φορτίο είναι q 8 0 - συν(π/) - 40 - C Το φορτίο που διέρχεται από το πηνίο είναι Δq q αρχ - q τε mc du E q i Q I Q I δ. VC i ηµ ( ωt) συν ( ωt) ηµ (ωt) dt C C C Άρα η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβοής είναι du E Q I όταν ημ(ωt) - dt C max E 8. Αρχικά το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης I 0A και ο πυκνωτής R + είναι αφόρτιστος αφού η τάση στα άκρα του είναι μηδέν. (di/dt 0 άρα V L 0) 7
6 0 α. Μόις ανοίξουμε το διακόπτη αρχίζει ηεκτρική ταάντωση με ω ad / s LC 8 I 5 Είναι Q 8 0 C ω E LI 0, J β. Αφού τη στιγμή t0 είναι q 0 και i I θα ισχύουν οι εξισώσεις: q 8 0-5 ημ(5000t) και i 0συν(5000t) (S.I.) γ. Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ε. και έχουμε q I + Li LI q i C ω Από τη τεευταία έχουμε q 6,4 0-5 C 9. α. Αρχικά το κύκωμα της πηγής και των δύο αντιστατών διαρρέεται από ρεύμα έντασης E I 4A και επομένως ο πυκνωτής έχει τάση V C I R 4 V και ηεκτρικό φορτίο Q C V C 480 0-6 C R + R Όταν μεταφέρουμε το διακόπτη στη θέση () θα αρχίσει ηεκτρική ταάντωση με 0 ω 500 ad / s και η μέγιστη ένταση του ρεύματος στο πηνίο θα είναι ΙωQ LC 0,4 A Επομένως οι εξισώσεις θα είναι q480συν(500t) μc και i 40ημ(500t) ma β. Θέουμε συν(500t) ½ άρα 500t π/ άρα t π/500 s γ. Η ένταση του ρεύματος εκείνη τη στιγμή είναι i 40ημ(500t) -0 0 A dvc dq i Ο ρυθμός μεταβοής της τάσης του πυκνωτή είναι και αντικαθιστώντας έχουμε 6 0 V / s dt C dt C dvc dt Ο ρυθμός μεταβοής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου είναι du B du E q i VC i,44 J / s dt dt C 0. α. Από τα δεδομένα κατααβαίνουμε ότι Τ/ π ms άρα Τ 4π 0 - s και επομένως 50 f Hz και ω 500 ad/s T π VC max Q β. Τη στιγμή που θα είναι V C θα ισχύει q και εφαρμόζοντας ΑΔΕ θα Q Q έχουμε: ι ± ω Q q ω Q ω ωq I 4 4 άρα I 0 0 A I 0 0 A και Q I/ω 4 0-5 C 8
Q Άρα C 0 6 F και L 4Η V Cω γ. Θεωρούμε για το φορτίο εξίσωση q Qημ(ωt+φ 0 ) από την οποία έχουμε ημφ 0 / άρα i 0συν(500t+π/6) ma E. Αρχικά η πηγή διαρρέεται από ρεύμα Iο 4A και το πηνίο διαρρέεται από R + I ο ηεκτρικό ρεύμα I Α. Αυτό είναι και το μέγιστο ρεύμα της ταάντωσης όταν ανοίξει ο διακόπτης. Αφού η μέγιστη ενέργεια του ηεκτρικού πεδίου είναι γνωστή θα U B max ισχύει U B max LI L H I Αφού η ενέργεια του πυκνωτή μεγιστοποιείται κάθε Τ/π ms θα είναι Τ π0 - s και επομένως μπορούμε να βρούμε τη χωρητικότητα C 0,5 μf. Το μέγιστο φορτίο θα είναι Q I/ω 0 - C Οι εξισώσεις προκύπτουν εύκοα: q 0 - ημ(000t) και i συν(000t) (S.I.). α. T π LC 4π ms β. Το πρώτο κύκωμα LC που θα αρχίσει ηεκτρική ταάντωση θα έχει εξίσωση φορτίου 6 q 8 0 συν (500t) και τη στιγμή t θα είναι 6 π 6 4π 6 q 8 0 συν (500 ) 8 0 συν ( ) 4 0 C 750 4π και η ένταση του ρεύματος στο πηνίο θα είναι i 4 0 ηµ ( ) + 0 Α Αφού η ένταση είναι θετική το ρεύμα στο πηνίο έχει φορά προς τον οπισμό που τη χρονική στιγμή t0 ήταν θετικός δηαδή προς τα πάνω. Εκείνη τη στιγμή ανοίγει ο Δ και κείνει ο Δ οπότε αρχίζει ηεκτρική ταάντωση το κύκωμα LC και άρα αρχίζει να φορτίζεται θετικά ο πάνω οπισμός του πυκνωτή C. γ. Η μέγιστη ένταση του ρεύματος στο νέο κύκωμα θα είναι Ι 0 A και επομένως όγω Α.Δ.Ε. θα είναι: Q LI Q I LC 6 0 C C. α. T π LC π 0 - s β. Αρχικά κυκοφορεί ρεύμα σταθερής έντασης Ι Ε/R A. Η τάση στα άκρα του πυκνωτή θα είναι V C E 40V και επομένως τη στιγμή που μετακινούμε το διακόπτη στη θέση () και αρχίζει ηεκτρική ταάντωση θα έχουμε i - A και q CV C 0,0 C q Άρα η οική ενέργεια της ηεκτρικής ταάντωσης θα είναι E + Li 0, 8J C Q γ. Θα είναι E Q CE 0 C C Επειδή το ρεύμα έχει φορά προς τον αρνητικό οπισμό το φορτίο θα μειώνεται και επομένως η 9
εξίσωση του φορτίου είναι της μορφής q 0,0 ημ(00t + π/4) S.I. 4. α. T π LC π 0 - s άρα ω 00 ad/s π Q β. Τη στιγμή t θα είναι q Qσυν (00 ) επομένως από το πηνίο θα έχει διέθει 00 Q Q φορτίο q Q ( ) 60µ C Q 40µ C Η μέγιστη ένταση του ρεύματος στο κύκωμα θα είναι ΙωQ 8 ma. U E max q Q Q γ. Θέουμε να είναι U E > > q > 4 C 4 C Άρα θέουμε συν ( 00t) > Αυτό ισχύει για τα τόξα από π/ έως π/ και από π/ έως 4π/ δηαδή για συνοικό τόξο 4π/ σε κάθε κύκο. Επομένως θα είναι: 00Δt 4π/ δηαδή Δt π/50 s 5. α. i -4ημ(000t) (S.I.) β. Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ε. και έχουμε: q Q Q q Q q + U B U B C C C C U B Άρα L Η Cω γ. και δ. Δες προηγούμενες ασκήσεις 5 0 8 F Φθίνουσες τααντώσεις ln 6. α. A Ae e Λt ln Λ s 0 Θέουμε Α 5 επομένως Λt t ln Λ 5 40e e Λ t ln t t 60s 8 Λ Λ80 Λ0 4 40 β. A 40e 40( e ), 5 4 γ. Είναι Ε 0 - Ε 6J όμως Ε Ε 0 /4 άρα Ε 0 8J Λ t Λ t 0 Τη στιγμή t 5s θα έχει ενέργεια E Λt 0Λ 0Λ 8 DA0 e 8e 8( e ) J E0 A0 7. α. E DA DA0 A άρα: 4 4 Λ ln 0,69 t Λ t A Ae 0 e Λ t ln Λ 0, 0s 0 0 Λt Λt Λt β. E E0 e e e 6 Λt 4ln t 60s 4 Λt 0Λ 0Λ γ. E e e e 6J 0
8. α., β εύκοα γ. Είναι Α 0,8Α 0 επομένως e 8 ln5 ln ΛΤ ln5 ln T 0 Λ ΛΤ Λ4 9. α. e 4Λ ln Λt t ln ln Λ Α A 0 0e e t 4 s Λ ln A0 A0 β. DA DA,5 D D,5 E0 8J 4 9 6 γ. DA 0 8 D 400N / m 0,09 0. Εύκοη σαν τις προηγούμενες Σύνθεση τααντώσεων. α. Η διαφορά φάσης των δύο τααντώσεων είναι φ φ -φ π/ ad. Άρα A A + A + AA συνφ 0, 4m Α ηµφ εφθ επομένως θπ/ ad Α + Ασυνφ Η εξίσωση της σύνθετης ταάντωσης είναι x 0,4ημ(0πt + π/) (S.I.) β. Αφού η σύνθετη ταάντωση έχει διπάσιο πάτος από την πρώτη το σώμα θα έχει όγω της σύνθετης ταάντωσης τετραπάσια ενέργεια άρα Ε 6 J. Η μάζα του σώματος είναι md/ω όπου D E/A 00 N/m οπότε m 0, kg. γ. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση και έχουμε: x 0,4ημ(0πt + π/) 0,4ημ(π/ +π/) 0,4ημ(7π/6) -0,m dk δ. Dxυ όπου υ 4πσυν(7π/6) π m/ s άρα dt dk 00 ( 0,) ( π ) 80π J / s dt. α. Αυ max /ω 0,m Η φάση της σύνθετης ταάντωσης είναι 4πt+π-θ όπου θ ωδt π/ ad Άρα η σύνθετη έχει εξίσωση x 0,ημ(4πt + π/) Από το νόμο των συνημιτόνων για τα πάτη έχουμε: A A + A AA συν ( π /) Α 0, m Α Για τα πάτη ισχύει 0, 0, +Α + Α 0,συνφ άρα συνφ άρα φπ/ 0,4 Επομένως x 0,ημ(4πt + π/) β. Εύκοο. Εφαρμόζουμε την αρχή της επαηίας για τη στιγμή t. x x + x 0,8m και υ υ + υ 0 Επομένως τη στιγμή t το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση της σύνθετης ταάντωσης άρα είναι Α0,8m.
Εφαρμόζουμε την αρχή της επαηίας για τη στιγμή t. x x + x 0 και υ υ + υ -8m/s Επομένως τη στιγμή t το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της σύνθετης ταάντωσης άρα είναι υ max 8 m/s. Άρα θα είναι ω υ max /A 0ad/s Εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ για τη πρώτη ταάντωση τη στιγμή t έχουμε υ DA Dx + mυ Α x + 0, 4m ω Εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ για τη δεύτερη ταάντωση τη στιγμή t έχουμε υ DA Dx + mυ Α x + 0,4 m ω Από το τύπο του οικού πάτους βρίσκουμε τη διαφορά φάσης των δύο τααντώσεων. A A + A + AA συνφ συνφ 0 φ ad Η αρχική φάση της πρώτης ταάντωσης βρίσκεται από τη σχέση: π 0, 0,4ηµ (0 + φ0 ) φ0 0 60 Άρα: x 0,4ημ(0t), x 0,4 ημ(0t + π/), x 0,8ημ(0t + π/) π Στο πνεύμα του 4 ου θέματος 4. α. Στη τυχαία θέση συντεταγμένης x θα είναι ΣF F Fε 40 00x Η θέση ισορροπίας της ταάντωσης θα είναι εκεί όπου ΣF 0 άρα στη θέση με συντεταγμένη x 0,m. Θεωρούμε το σώμα σε απομάκρυνση y από τη Θ.Ι. όπου x x + y και έχουμε: ΣF 40 00x 40 00(0, + y) - 00y άρα εκτεεί α.α.τ. με D 00 Ν/m. D ω 0ad / s m Τη στιγμή t 0 που αρχίζει η ταάντωση το σώμα βρίσκεται στη θέση x 0 άρα έχει απομάκρυνση y - 0,m και επειδή στη θέση αυτή δεν έχει ταχύτητα είναι ακραία θέση της ταάντωσης. Επομένως είναι Α 0,m και ημφ 0 - οπότε φ 0 π/ ad. Η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι y 0,ημ(0t + π/) (S.I.) και η εξίσωση της συντεταγμένης θα είναι x 0, + 0,ημ(0t+π/)(S.I.) β. Τη στιγμή t που καταργούμε την F το σώμα βρίσκεται στη θέση: x 0, + 0,ημ(,5π +,5π) 0,m και έχει ταχύτητα υ ωα m/s. Η νέα ταάντωση θα έχει ως θέση ισορροπίας τη θέση x 0 και άρα με Α.Δ.Μ.Ε. βρίσκουμε το πάτος της νέας ταάντωσης. υ DA Dx + mυ Α x + 0, m ω π Η εξίσωση της νέας ταάντωσης θα είναι: x 0, ηµ (0t + ) όπου t t - 0,5π s 4 Τη στιγμή t 7π/40 s θα είναι t 7π/40 0π/40 7π/40 και το σώμα θα έχει συντεταγμένη 7π π x 0, ηµ ( + ) 0 και ταχύτητα υ συν ( π ) m/ s 4 4 δ. Α.Δ.Ο. για τη κρούση. mυ m υ ( m + m ) V V 0 και αφού το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του θα είναι A 0.
D 5. α. Είναι ω 0ad / s οπότε x 0,4ημ(0t + π/) (S.I.) m Τη στιγμή που έχει μετατοπιστεί κατά 0,6m έχει απομάκρυνση x +0,m οπότε: 0, 0,4ημ(0t + π/) άρα ημ(0t + π/) / άρα 0t + π/ π + π/6 άρα t π/0 s. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση της ταχύτητας και έχουμε: υ 8συν(π/6) 4 m/ s β. Πρέπει να βρούμε τη ταχύτητα υ του σώματος m πριν τη κρούση. Αφού η ενέργεια της ταάντωση του m υποτετραπασιάζεται θα είναι: A DA DA A 0, m Αυτό σημαίνει ότι το σώμα m μετά τη κρούση βρίσκεται σε ακραία θέση της νέας του ταάντωσης και επομένως δεν έχει ταχύτητα. 4 Από Α.Δ.Ο. θα έχουμε: m υ m υ m υ ή υ υ υ Από Α.Δ.Μ.Ε. θα έχουμε: m υ + mυ mυ υ + υ υ Από τις δύο αυτές εξισώσεις βρίσκουμε ότι υ m/ s π Άρα το σώμα m διέτρεξε απόσταση s υ t m 0 Επομένως η αρχική τους απόσταση ήταν d 0,6 + π 0, 955m 0 γ. Από την Α.Δ.Ο. για τη κρούση έχουμε υ υ υ 6 m/ s δ. Εύκοα x 0, ημ(0t+π/) m 6. α. Ο χρόνος για να μεταβεί το σώμα Σ από την ακραία θέση της ταάντωσής του από την οποία το αφήσαμε μέχρι τη θέση ισορροπίας είναι t Τ/4. M 4 T Η περίοδος της ταάντωσης είναι. T π π 0,4π s οπότε t 0,π s. K 00 4 Στο χρόνο αυτό το Σ θα έχει διανύσει εκτεώντας εεύθερη πτώση διάστημα h gt 0,5 m. β. Το σώμα Σ θα φθάσει στη θέση ισορροπίας με ταχύτητα υ υ 0 ω Α. Όμως ω π/τ 5 ad/s και Α d π/0 m επομένως υ 0 π/4 m/s. Το σώμα Σ θα φθάσει στη θέση ισορροπίας του Σ με ταχύτητα υ gt π m/s. Εφαρμόζουμε αρχή διατήρησης της ορμής για την παστική κρούση και έχουμε: Μυ mυ (Μ+m)V από την οποία προκύπτει V 0. Επομένως το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση έχει μηδενική ταχύτητα. γ. Λόγω αύξησης της μάζας η θέση ισορροπίας του συσσωματώματος θα είναι κατά x ποιο κάτω από την αρχική θέση ισορροπίας του Σ και θα για τη νέα θέση ισορροπίας θα ισχύει: (Μ+m)g Κ (ΔL + x) όπου ΔL η παραμόρφωση του εατηρίου στην θέση ισορροπίας του Σ που υποογίζεται από την συνθήκη ισορροπίας για την θέση ισορροπίας του Σ. Ισχύει Μg K ΔL και επομένως θα είναι ΔL Mg/K 0,4 m. Άρα ΔL + x (Μ+m)g /Κ 50/00 0,5m οπότε θα είναι x 0,m. Αφού αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα δεν έχει ταχύτητα η αρχική θέση ι- σορροπίας θα είναι ακραία για την νέα ταάντωση και επομένως το πάτος θα είναι Α 0,m.
δ. Το μέτρο της δύναμης του εατηρίου είναι Fε K ΔL max K (ΔL +x) 60 N. D 7. α. Είναι ω 0ad / s οπότε x 0,ημ(0t + π/) και υσυν(0t+π/) (S.I.) m β. Α 0,8Α 0,6 m. Αφού η κρούση γίνεται στη θέση ισορροπίας η ταχύτητα V μετά τη κρούση θα είναι μέγιστη για τη ταάντωση του συσσωματώματος και άρα V ω Α. Από ΑΔΟ έχουμε: m υ max (m +m )V άρα 80 80 0,8 (0,8 + m ) 0,6 0 (0,8 + m ) 00 64 + 80m 0,8 + m 0,8 + m γ. m 0,45kg Η κρούση γίνεται σε χρόνο Τ/4 από τη στιγμή που αφήσαμε τα σώματα εεύθερα επομένως θα T είναι h gt g 0, 5m και η ταχύτητα του m πριν τη κρούση θα είναι υ gt 6 0,5π m/s. δ. Η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν τη κρούση είναι: K m υ + mυ max, 65J Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετά τη κρούση είναι: K 80 0,6, 04J Άρα χάθηκε μηχανική ενέργεια ίση με Q,85 J 8. α. Θα εφαρμόσουμε ΑΔΕ για να βρούμε τη ταχύτητα υ του σώματος m τη στιγμή της κρούσης. mgh mυ υ gh 6m/ s Στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε ΑΔΟ για την παστική κρούση για να βρούμε τη ταχύτητα του συσσωματώματος. υ 6 m υ ( M + m)v V m/ s 4 4 Η θέση ισορροπίας της ταάντωσης του συσσωματώματος βρίσκεται κατά d κάτω από την αρχική θέση ισορροπίας. Για να βρούμε το d εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροπίας δύο φορές. Για την αρχική Θ.Ι. ισχύει: Μg KΔL 0 4
mg 5 Για τη νέα Θ.Ι. ισχύει: (Μ+m)g K(ΔL 0 +d) Άρα: d m K 00 6 Ξέρουμε οιπόν ότι τη στιγμή που το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα V m/s η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας της ταάντωσης είναι d 0,05m. 4 Το πάτος Α της ταάντωσης θα το βρούμε με ΑΔΕ για τη ταάντωση του συσσωματώματος. (M m) KA Kd + (M + m)v A d + + V K και αντικαθιστώντας βρίσκουμε: A 0, m β. Η εξίσωση της ταάντωσης θα έχει τη μορφή y Aημ(ωt+φ 0 ) Θα είναι: ω K 5 (M + m) ad / s Τώρα πρέπει να βρούμε την αρχική φάση. Τη στιγμή t0 που αρχίζει η ταάντωση θα είναι y αρχ d 5 με αρνητική ταχύτητα. Άρα η εξίσωση θα γίνει: 5 0ημφ0 ημφ0 και επειδή η ταχύτητα είναι αρνητική φ 0 5π/6 Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος θα είναι: y 0,ημ(5 5π t + ) ( S. I.) 6 π γ. Θέτουμε στην εξίσωση y +0,05m με υ>0 και βρίσκουμε t s 5 δ. Είναι U ε max K max l όπου Δl max Δl 0 +d+a 0,m άρα U εmax 4,5J Είναι U ε min K min l όπου Δl min Δl 0 +d - A 0,m άρα U εmax 0,5J 9. α. Στη θέση ισορροπίας του δίσκου Μ θα ισχύει Μg KΔL 0 και άρα ΔL 0 0,m. Στη θέση ισορροπίας του συστήματος δίσκος-σώμα θα ισχύει (Μ+m)g KΔL 0 και άρα ΔL 0 0,4m. Κ Η κυκική συχνότητα της ταάντωσης του συστήματος θα είναι ω 5 ad / s. (M + m) Το πάτος της ταάντωσης θα είναι A 0,8 m και θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω η αρχική φάση της ταάντωσης θα είναι φ 0 π/ ad. Η εξίσωση της ταάντωσης του συστήματος θα είναι x 0,8ημ(5t + π/) S.I. Σε μια τυχαία θέση θετικής απομάκρυνσης στο σώμα m θα ενεργούν το βάρος του mg και η κάθετη δύναμη επαφής Ν που δέχεται το σώμα από το δίσκο. Θα ισχύει ΣF mα - mω x οπότε Ν mg - mω x ή Ν 0 75x (S.I.) Η επαφή χάνεται όταν μηδενίζεται η δύναμη επαφής και αυτό συμβαίνει όταν x 0,4m. Αντικαθιστώντας την απομάκρυνση αυτή στην εξίσωση της ταάντωσης θα έχουμε: 0,4 0,8ημ(5t + π/) ή ημ(5t + π/)/ άρα 5t + π/ π + π/6 οπότε t π/5 s. Προφανώς η απώεια επαφής θα συμβεί σε απόσταση d 0,8 + 0,4,m πάνω από το 5
σημείο από το οποίο αφέθηκε το σύστημα. β. Τη στιγμή που χάνεται η επαφή το σώμα και ο δίσκος έχουν ταχύτητα που δίνεται από τη σχέση υ 4συν(π + π/6) m / s. Με αυτή σαν αρχική ταχύτητα το σώμα m θα εκτεέσει μια κατακόρυφη βοή και η ταχύτητά του θα μηδενιστεί σε χρόνο t υ/g 0, s και σε ύψος h υ /g 0,6 m. Άρα η ταχύτητα του σώματος m θα μηδενιστεί στιγμιαία σε απόσταση d d +h,8 m πάνω από το σημείο από το οποίο αφέθηκε το σύστημα. γ. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το σώμα m θα σταματήσει στιγμιαία μετά από χρόνο t π t + t + 0, 5 s Κ δ. Ο δίσκος θα συνεχίσει να εκτεεί αρμονική ταάντωση με ω 0 ad / s και θέση M ισορροπίας που θα βρίσκεται 0,m πάνω από την αρχική θέση ισορροπίας. Άρα τη στιγμή που χάνεται η επαφή ο δίσκος έχει απομάκρυνση 0,m και ταχύτητα υ m / s Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ε. και βρίσκουμε το πάτος της ταάντωσης που θα εκτεέσει ο δίσκος. Dx + mυ DA A x υ + ω 00 + 00 00 0, m 40. δ. Εφαρμόζουμε το θεμειώδη νόμο για το σώμα που εκτεεί εξαναγκασμένη ταάντωση και έχουμε: -Dx + F απ + F δ mα άρα F απ + F δ -(mω δ -D)x Όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας είναι x 0 και επομένως F δ - F απ bυ bυ max. Από τη τεευταία βρίσκουμε τη σταθερά b αφού γνωρίζουμε ότι υ max ω δ Α. 4. α. Αφού τη χρονική στιγμή t π/0 s το σώμα έχει επιτάχυνση με μέγιστο μέτρο, θα βρίσκεται σε ακραία θέση της ταάντωσής του και επομένως η κινητική του ενέργεια είναι μηδενική. Άρα στο διάγραμμα παριστάνεται η κινητική ενέργεια όπως άωστε φανερώνει και το σύμβοο στον άξονα της ενέργειας που ξέχασα να διαγράψω. β. Από το διάγραμμα καταβαίνουμε ότι είναι Τ/4 π/60 s και άρα Τ π/5 s οπότε ω π/τ 0 ad/s. Αφού τη στιγμή t0 η κινητική ενέργεια είναι μέγιστη το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και άρα έχει αρχική φάση φ 0 0 ad ή φ 0 π ad. Η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι x Aημ(0t + φ 0 ) Αντικαθιστώντας τη στιγμή t π/40s έχουμε x Aημ(π/4 + φ 0 ). Αν φ 0 0 θα είναι x A >0 και αν φ 0 π ad θα είναι x A < 0. Όμως εκείνη τη στιγμή ξέρουμε ότι x 0, m και επομένως είναι φ 0 π ad. Άρα 0, Α Α 0, m Είναι Κ max U max DA D Κ max 60 N/m. A D m ω άρα m 0,4 kg. γ. x 0, ημ(0t + π) (S.I.) δ. Τη t π/5s το σώμα βρίσκεται στη θέση x 0,ημ(π+π) 0 άρα στη θέση ισορροπίας. Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. κατά τη διεύθυνση της ταάντωσης. mυ max mυ max D D A A Α Α 0, m. m m 6
Ασκήσεις στο πνεύμα του ου θέματος. α. Από τη εξίσωση κατααβαίνουμε ότι A 0,04m, ω 0π ad/s άρα f 5Ηz και 0m. Η ταχύτητα διάδοσης είναι υ Κ f 50m/s. β. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση. 70 5π y 0,04ηµ 4π 0,π 0,04ηµ 0,0 m 6 Εκείνη τη στιγμή το κύμα έχει φθάσει στο σημείο xυ Κ t 0m π π γ. φ d, 4π ad 0 δ. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση της φάσης τη χρονική στιγμή. φ π 0,πx Για x 0 η αρχή συντεταγμένων έχει φάση φ π ad Για φ 0 είναι x 5m (εκεί έχει φτάσει το κύμα.) Άρα το κύμα έχει διαδοθεί κατά / και επομένως το στιγμιότυπο είναι αυτό του σχήματος. N 00. α. Είναι f 5Hz άρα ω πf 0π ad/s και Α υmax /ω 0,m t 60 π π φ d 5 m 5π Η εξίσωση θα είναι y 0,ημ(0πt πx) (S.I.) 5π β. 0, 0,ηµ (0πt π ) ηµ (0πt π ) 0πt π άρα t /60s 6 γ. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση της φάσης τη χρονική στιγμή. φ,5π πx Για x 0 η αρχή συντεταγμένων έχει φάση φ,5π ad Για φ 0 είναι x,5 m (εκεί έχει φτάσει το κύμα.) δ. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση της απομάκρυνσης y 0,ημ(,5π,5π ) 0,ημ(π+π/4) 0, m και στην εξίσωση της ταχύτητας που είναι υ πσυν(0πt π) π m/ s. α. Από το διάγραμμα βρίσκουμε: x 4 υ Κ 8m/ s t 0,5 Τ 0,5s άρα f Hz οπότε υ Κ /f 4m β. y 0,08ημ(4πt 0,5πx) (S.I.) δ. Θέουμε U K άρα U U max / άρα A Dy DA y ± άρα 4πt π + π/4 οπότε t /6 s ηµ ( 4πt π ) ± 4. α. υ Κ /f m Η εξίσωση της απομάκρυνσης θα έχει μορφή y Aημ(4πt πx/) και της ταχύτητας θα έχει μορφή 7
υ ωασυν(4πt πx/). Αντικαθιστούμε στη τεευταία όπου tt s και όπου x m και έχουμε: 0,8π 4πΑ συν(4π π/) πα άρα Α0,4m Επομένως η εξίσωση του κύματος είναι: y 0,4ημ(4πt πx/) (S.I.) β. Τη στιγμή t s η φάση των σημείων του κύματος είναι φ 4π πx/ Για x 0 θα είναι φ 4π ad και για φ 0 θα είναι x 6 m. Άρα: γ. Το σημείο x m αρχίζει ταάντωση τη στιγμή t /6 0,5s με περίοδο Τ/f 0,5s. Άρα: δ. Από ΑΔΜΕ για τη ταάντωση του σημείου έχουμε υ ± ω Α y οπότε υ,8π m/s 5. α. f ω/π 4Hz, π/ 0,5π άρα 4m οπότε υ Κ 6 m/s. β. y 0,04ημ(8πt 0,5πx) 0,04ημ(8π5/4 π ) 0,04ημ(π5/ π ) 0,04ημ(0π+π/ ) 0,04ημ(π/ ) 0, m υ 0,π συν(π/) - 0,6π m/s γ. Τη στιγμή t /48s η φάση των σημείων του κύματος είναι φ π/6 0,5πx Για x 0 θα είναι φ π/6 ad και για φ 0 θα είναι x /m. Άρα: Η αρχή συντεταγμένων θα έχει απομάκρυνση: y 0,04ημ(π/6)0,04ημ(4π π/6) - 0,0 με θετική ταχύτητα. δ. Το Κ έχει y 0,04m όταν ημ(8πt π) άρα όταν 8πt π kπ + π/ Εκείνη τη στιγμή το σημείο με συντεταγμένη x / m έχει απομάκρυνση: y 0,04ημ(8πt π/) 0,04ημ(kπ + π/ π π/) 0,04ημ(kπ 5π/6) - 0,0m A U max Άρα για το σημείο είναι U Dy D 4 4 Επομένως θα έχει κινητική ενέργεια Κ U max U U/4 και άρα ο όγος U/K /. 6. α. Με Α.Δ.Μ.Ε. για την ταάντωση του σημείου βρίσκουμε τη κυκική συχνότητα ω. υ DA Dy + mυ ω A ω y + υ ω 0π ad / s A y Άρα f 5Hz Για το σημείο ισχύει y 0,ημ(0πt πx/) άρα: 5π 5π 5π 5π 5 0ηµ (5π ) ηµ (5π ) 5π 4 Άρα 4m. Επομένως η εξίσωση του κύματος είναι y 0,ημ(0πt πx/) (S.I.) β. Η εγκάρσια απόσταση δύο σημείων είναι d y y Τη στιγμή t 0,5s το σημείο x m έχει απομάκρυνση: y 0,ημ(5π π/) 0,m Την ίδια στιγμή το σημείο x 7/m έχει απομάκρυνση: 8
y 0,ημ(5π 7π/6) - 0,05m Επομένως d y y 0,5m γ. Η φάση των σημείων του κύματος τη στιγμή t δίνεται από την εξίσωση: φ 5π πx/ επομένως για x 0 είναι φ 5π ad και για φ0 είναι x 0m. δ. Από το στιγμιότυπο βέπουμε ότι τη στιγμή t υπάρχουν 0 σημεία που έχουν U K. 7. α. Με Α.Δ.Μ.Ε. για την ταάντωση της αρχής συντεταγμένων βρίσκουμε τη κυκική συχνότητα ω. υ DA Dy + mυ ω A ω y + υ ω 0π ad / s A y Από το στιγμιότυπο που δίνεται βέπουμε ότι η αρχή συντεταγμένων έχει τη στιγμή t απομάκρυνση y με αρνητική ταχύτητα για δεύτερη φορά επομένως είναι: 0,0 0,04ημ(0πt ) άρα ημ(0πt ) ½ άρα 0πt π + 5π/6 άρα t 7/60 s. Αφού εκείνη τη στιγμή το κύμα έχει διαδοθεί κατά 8,5m έχει ταχύτητα υ Κ x/t 0m/s και επομένως είναι υ Κ /f 6 m. β. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση υ υ(x) σχεδιάζουμε πρώτα το στιγμιότυπο και από κάτω σε αντιστοιχία σχεδιάζουμε το γραφική παράσταση της ταχύτητας αφού βρούμε τη ταχύτητα της αρχής συντεταγμένων που θα είναι - 0,π m/s. γ. Τη στιγμή t t + 0, 5/60 s θα είναι φ 5π/6 πx/ και για x 0 η αρχή συντεταγμένων θα έχει φάση φ 5π/6 5π + 5π/6 επομένως θα έχει απομάκρυνση y - 0,0m με θετική ταχύτητα. Εκείνη τη στιγμή θα αρχίζει ταάντωση το σημείο x υ Κ t 7,5 m. Επομένως το στιγμιότυπο θα είναι: δ. Αφού το άο κύμα έχει διπάσια συχνότητα και διαδίδεται στο ίδιο μέσο θα έχει μήκος κύματος υ Κ /f 0/0 m. Άρα η εξίσωση θα είναι: y 0,04ημ(0πt +πx/) (S.I.) 8. α. Τη στιγμή t 0,s η αρχή συντεταγμένων βρίσκεται για δεύτερη φορά σε απομάκρυνση y + A και επομένως έχει φάση φ 5π/ ad. φ Από το διάγραμμα φ(t) για το σημείο Σ βρίσκουμε τη γωνιακή συχνότητα ω 0π ad / s t Προσέξτε ότι η εκφώνηση δεν αναφέρει ότι τη στιγμή t0 αρχίζει ταάντωση η αρχή συντεταγμένων και επομένως ίσως να έχει αρχική φάση. Θεωρούμε οιπόν ότι η φάση της αρχής συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση φ ωt+φ 0 και για τη στιγμή t θα είναι: 9
5π/ π + φ 0 άρα φ 0 π/ ad. Άρα η φάση των σημείων του κύματος δίνεται από την σχέση: φ 0πt πx/ + π/ Αφού τη στιγμή t 0,s το σημείο με συντεταγμένη x,5m έχει μηδενική φάση όπως βέπουμε στο στιγμιότυπο που δόθηκε θα είναι: 5π π 0 π + m (Το βέπουμε και στο στιγμιότυπο) Άρα y 0,04 ημ(0πt πx + 0,5π ) (S.I.) β. Το σημείο Σ έχει φ 0 τη στιγμή t 0,5s και επομένως: π 0 5π πxσ + xσ 5, 5m γ. Θέουμε το σημείο x m να έχει y 0,0m για έκτη φορά. Άρα θέουμε ημφ ½ δηαδή φ kπ ±π/6 για έκτη φορά. Άρα φ π π/6 7π/6 ad. Από την εξίσωση της φάσης έχουμε: 7π π 4π 0πt π + 0πt t s 6 6 60 δ. Η ενέργεια που διέρχεται σε χρονικό διάστημα Δt από ένα τυχαίο σημείο ενός γραμμικού κύματος είναι ίση με την ενέργεια που αποκτούν όγω ταάντωσης τα σημεία του εαστικού μέσου που στην αρχή του χρονικού διαστήματος δεν τααντώνονταν και στο τέος του χρονικού διαστήματος τααντώνονται όγω του κύματος που έφτασε στα σημεία αυτά. Επομένως θα είναι Ε m ω Α όπου Δm η μάζα του τμήματος Δx του εαστικού μέσου κατά το οποίο διαδόθηκε το κύμα. Θα είναι Δx υ Κ Δt 0m. Αφού κάθε μέτρο του μέσου έχει μάζα 40g θα είναι Δm 800g 0,8kg. Αντικαθιστούμε στην ενέργεια και έχουμε ΔΕ,56 J. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ 9. α. Το μέσο Μ απέχει από τις δύο πηγές απόσαση ίση με m και επομένως η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων είναι υ Κ /0,5 m/s. Είναι ω υ max /A M 4π ad/s άρα f Hz οπότε υ Κ /f m. β. A 0,5 0,6 0,08 Σ Ασυν π συν π m + γ. Είναι y Aσυν π ηµ π ft και αντικαθιστώντας έχουμε: π 9 9π π y 0,6συν ηµ 4π,5π 0,08 ηµ 0 4 6 4 4 Η εξίσωση της ταχύτητας όγω ταάντωσης του σημείου Σ την ίδια στιγμή θα είναι: υ 0,π 9π π συν 0, 4 4 π m/ s δ. Έστω x η απόσταση ΚΛ. Για το Κ θα ισχύει K K k Για το Λ θα ισχύει Λ Λ (k + ) 0
όμως Λ K + x και Λ K - x άρα K + x K + x k + x 0, 5m 4 0. α. Το σημείο Κ βρίσκεται στη μεσοκάθετη και αφού οι πηγές είναι σύγχρονες θα εκτεεί ταάντωση πάτους Α Κ Α άρα Α 4. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ Κ,8/0,5,6 m/s και άρα υ Κ /f 0,6m. Στο σημείο Μ η διαφορά των αποστάσεων M M υ Κ Δt 0,8m άρα: 0,8 A M Ασυν π 0,08συν π 0, 04 m 0,6 0,6 β. A Σ Σ Α 0,08 0, 08 m 0,6 Σ συν π συν π Σ Σ Σ + Σ γ. y Σ Aσυν π ηµ π ft και αντικαθιστούμε οπότε: y Σ - 0,08ημ(πt 5π) (S.I.) Τη στιγμή t 7/4 s θα είναι y Σ - 0,08ημ(8,5π 5π) +0,08m. δ. Για το Λ ισχύει: Λ Λ Λ Λ A Λ Ασυν π συν π Λ Λ π Επομένως π kπ ± Λ Λ k ± () 4 4 όμως το Λ βρίσκεται μεταξύ του πρώτου κροσσού απόσβεσης και του δεύτερου ενίσχυσης μετά τη μεσοκάθετη και επομένως είναι < Λ Λ < Άρα στην () είναι Λ Λ Λ 0,8 0,45 Λ, 5m 4. α. Η εξίσωση της σύνθετης ταάντωσης ενός σημείου Σ είναι της μορφής: + y Aσυν π ηµ π ft Από τη σύγκριση με την εξίσωση 9π yσ 0,04 ηµ 4πt που δόθηκε κατααβαίνουμε 4 ότι: i. f Hz άρα υ Κ /f 4m 9 ii. Σ + Σ π π + 9m 4 Σ Σ () iii. 0,08συν π 0,04 συν π Σ Σ π Άρα π kπ ± Σ Σ k ± 4 4 όμως το Σ βρίσκεται μεταξύ του πρώτου κροσσού απόσβεσης και του δεύτερου ενίσχυσης μετά τη μεσοκάθετη και επομένως είναι < Σ Σ <
Άρα στην () είναι Σ Σ Σ Σ m () 4 Από () + () έχουμε Σ m και Σ 6m β. Θέτουμε στην εξίσωση 9π y Σ 0,04 ηµ 4πt όπου y Σ 0,04 και έχουμε: 4 9π 9π π 5 ηµ 4 πt 4πt t s 4 4 6 γ. Το Σ άρχισε να τααντώνεται τη στιγμή t s με εξίσωση π y Σ 0,04ηµ 4πt και υ Κ 8 6 άρχισε σύνθετη ταάντωση τη στιγμή t s. 8 υ Κ π π Τη στιγμή t όγω της πρώτης ταάντωσης είχε φάση φ Σ 4π t και επομένως είχε απομάκρυνση y - 0,04m. Η γραφική παράσταση yf(t) για το Σ είναι η παρακάτω. δ. Η απόσταση των δύο πηγών είναι D Σ + Σ 9m. Για κάθε σημείο της επιφάνειας ισχύει η ανισότητα D και επειδή για τους κροσσούς ενίσχυσης ισχύει η σχέση µ με μ άρτιο αριθμό θα είναι: D µ D µ 4,5 επομένως το μ μπορεί να πάρει τιμές μ 0, ±, ±4 και άρα στην επιφάνεια υπάρχουν 5 κροσσοί ενίσχυσης. ε. Όπως είπαμε για κάθε σημείο της επιφάνειας ισχύει D και επομένως για τον αριθμό μ D ισχύει µ D µ Για να υπάρχουν 7 κροσσοί ενίσχυσης θα πρέπει στη σχέση µ ο αριθμός μ να είναι μεγαύτερος ή ίσος του 6 και μικρότερο από 8 ( 6 µ < 8 ). D D υ K 8 Επομένως πρέπει 6 6 f f Hz υ D και D D < 8 f < 8 υ K 4υ K f < Hz D K 9. α. Από την εξίσωση έχουμε Α 0,08m και f 0Hz οπότε υ Κ /f m. Για το πάτος της σύνθετης ταάντωσης του Σ έχουμε: 4 A Α 0,6 0, 6 m Σ συν π συν π
β. Εστω Μ το σημείο τομής της υπερβοής που διέρχεται από το Σ με το ευθύγραμμο τμήμα Π Π. Αφού το Μ και το Σ ανοίκουν στην ίδια υπερβοή θα ισχύει: Σ Σ Μ M - 4m Άρα Μ 6m - 4m δηαδή Μ m οπότε θα είναι Π Π 8 m γ. Για το πάτος της σύνθετης ταάντωσης του Κ έχουμε:,75 A Ασυν π 0,6συν π??? K Τι κάνουμε τώρα;;; Δεν ξεχνάμε ότι η συμβοή κυμάτων σημαίνει σύνθεση τααντώσεων και επομένως μπορούμε να βρούμε το πάτος της σύνθετης ταάντωσης του Κ και αιώς. Στο σημείο Κ το κύμα της Π φτάνει τη χρονική στιγμή t 5,5/0 s και το κύμα της Π φτάνει τη στιγμή t 7,5/0 s οπότε η χρονική καθυστέρηση είναι Δt,75/0 s. Άρα η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων στο σημείο Κ είναι ΔφωΔt 7π/4 ad. Επομένως A K A + A + A συν (7π / 4) Α + 0,08, 4m δ. Τη στιγμή t 0,s το Κ τααντώνεται όγω του κύματος της Π και άρα: π π y 0,08ηµ(6π ) 0,08ηµ ( ) 0, 08m Τη στιγμή t 0,5s το Κ εκτεεί σύνθετη ταάντωση και θα βρούμε την απομάκρυνσή του με τη βοήθεια της αρχής της επαηίας. π 9π y 0,08ηµ (0π ) 0,08ηµ ( ) 0, 08m 4,5π π y 0,08ηµ (0π ) 0,08ηµ ( ) 0,04 m 4 Επομένως y 0,08m + 0,56m 0,6 m. Γ. Η εξίσωση της σύνθετης ταάντωσης ενός σημείου Σ είναι της μορφής: + y Aσυν π ηµ π ft Από τη σύγκριση με την εξίσωση y 0,ημπ(5t -0) που δόθηκε κατααβαίνουμε ότι: M + i. f 5 Hz άρα υ Κ /f 0,4 m και ii. π Μ Μ 0π M + M 8m Αφού το Μ βρίσκεται στη μεσοκάθετο είναι M M άρα M 4m. Γ. Το σημείο Ο άρχισε ταάντωση τη στιγμή t 0,5/ 0,5s και το σμείο Μ άρχισε ταάντωση τη στιγμή t 4/s. Επομένως έχουν διαφορά φάσης ΔφωΔt 0π(,75)7,5π ad. Γ. Έστω x η απόσταση ενός σημείου μέγιστου πάτους από τη πηγή Π και x από τη πηγή Π. Θα ισχύει: x ( x ) k/ άρα x 0,4k ή x 0,k + 0,5 Πρέπει 0 < x < άρα k -, -, 0,, και επομένως υπάρχουν 5 σημεία με πάτος σύνθετης ταάντωσης Α. Γ4. Το σημείο Μ αρχίζει ταάντωση τη στιγμή s και τη στιγμή t,5s θα έχει απομάκρυνση y 0,ημ(5π 0π) 0,ημ(5π) 0. Άρα η γραφική παράσταση είναι:
πx 4. α. Η γενική εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι της μορφής y Aσυν ηµ ( ωt) Από την εξίσωση που δόθηκε κατααβαίνουμε ότι: i. Α max Α 0 άρα Α 0,05m π π ii. 8 4 iii. ω 0π ad/s άρα f 0Hz. β. Οι εξισώσεις των δύο κυμάτων από τα οποία προκύπτει το στάσιμο είναι: y 0,05ημπ(0t,5x) και y 0,05ημπ(0t +,5x) στο S.I. γ. Η εξίσωση της ταχύτητας των σημείων του στάσιμου θα είναι: υ πσυν(5πx)συν(0πt) στο S.I. Επομένως για το σημείο που θέουμε θα είναι:. υ πσυν(π/4)συν(π) -π m/s δ. Κοιίες υπάρχουν στα σημεία με συντεταγμένη x K k 4k άρα στα σημεία 4 x 4 (για k) και x 8 (για k) 5. α. Από την εξίσωση που δόθηκε κατααβαίνουμε ότι: i. Α 0 άρα Α 0, m π ii.,5π 0,8 m iii. ω 0π ad/s άρα f 5Hz. Επομένως υκ f 4m/s πx β. Για το πάτος ταάντωσης των σημείων του στάσιμου ισχύει η σχέση A Aσυν 0πx 5πx 5πx π Άρα θέουμε 0 0συν συν η kπ ± 8 Για k 0 (+) έχουμε το πρώτο σημείο με αυτό το πάτος Για k (-) έχουμε το δεύτερο σημείο με αυτό το πάτος Για k (+) έχουμε το τρίτο σημείο με αυτό το πάτος Για k (-) έχουμε το τέταρτο σημείο με αυτό το πάτος και επομένως: 5πx π π x m 5 γ. Για να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο αντικαθιστούμε τη χρονική στιγμή που δίνεται στην εξίσωση του κύματος και έχουμε: y 0,συν(,5πx)ημ(,5π) - 0,συν(,5πx) (S.I.) δ. Θα εφαρμόσουμε Α.Δ.Μ.Ε. για τη ταάντωση της κοιίας από την οποία προκύπτει η γνωστή 4 4 4 σχέση υ ± ω Α y ± 0π 400 0 44 0 ± 0π 56 0 ±,6π m/ s Κ 4
6. α. Γνωρίζουμε ότι x K k/4 και x Δ (k+)/4 Ο δεύτερος δεσμός θα έχει συντεταγμένη x Δ /4 και η τέταρτη μετά την αρχή συντεταγμένων κοιία θα έχει συντεταγμένη x K4 8/4. Επομένως είναι 8/4 - /4 m άρα,4m. Από την εξίσωση ταάντωσης της αρχής συντεταγμένων έχουμε ακόμα ότι Α 0,08m δηαδή Α0,04m και ω 4π ad/s άρα f 4Hz. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος θα είναι πx y 0,08συν ηµ 4πt ( S. I.), π β. A A x 0,π 7π συν 0,08συν 0,08συν 0,04 m,4 4 γ. πx πx π πx y 0,08συν ηµ 4π 0,08συν ηµ 0,04συν ( S. I.), 4, 6, δ. Το σημείο Κ θα έχει απομάκρυνση π 5, 7π π y 0,04συν 0,04συν 0,04συν π + 0,0 m, 4 4 ταχύτητα 7π π υ 0,πσυν συν 0,08π 6 m / s 4 6 και επιτάχυνση a ω y 0, π, m/ s 7. α. Αφού το σημείο Σ ισαπέχει από δύο διαδοχικούς δεσμούς είναι κοιία και άρα η εάχιστη απόσταση του από τους δεσμούς θα είναι το /4. Επομένως /4 5 άρα 0,6m Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: A 00 5 5 Αφού η ταχύτητα διάδοσης είναι γνωστή έχουμε f υ Κ / 0Hz Άρα η εξίσωση του στάσιμου θα είναι πx y 0,05 συν ηµ ( 40πt ) S.I. 0,6 Επομένως είναι α 0,05 m, β 0π/ ad/m γ 40π ad/s, β. υ max ω Α π m/s πx πx πx π γ. A Aσυν συν kπ ± x k ± 6 Επομένως το σημείο με πάτος ίσο με Α απέχει από την πησιέστερη σε αυτό κοιία απόσταση /6. Επειδή κάθε κοιία απέχει από τον πησιέστερο δεσμό απόσταση /4 το σημείο θα απέχει από τον πησιέστερο δεσμό απόσταση d /4 /6 / 5. δ. Θα βρούμε το πάτος ταάντωσης των δύο σημείων και τη διαφορά φάσης τους. Είναι: 5
A K 0,05 π 0, συν 0,6 0,05 συν ( π ) 0,05 π 0,7 7π A Λ 0,05 συν 0,05 συν 0,05 0,6 Όμως συν(π) < 0 και συν(7π/) συν(π + π/) > 0 άρα τα δύο σημεία έχουν αντίθεση φάσης οπότε η μέγιστη εγκάρσια απόστασή τους είναι d 0,05 + 0,05 0,075 m 0 7 8 c 5 8. α. Είναι c f άρα f 0,5 0 Hz 0 6 0 0 0 n 400 nm n ηµφ ηµφ β. Από το νόμο του Snell έχουμε n ηµθ 0, 6 ηµθ n Η φωτεινή ακτίνα πησιάζει την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια και φτάνει στην άη πευρά με γωνία πρόσπτωσης θ οπότε και εξέρχεται σχηματίζοντας με τη κάθετη μια γωνία θ. Είναι θ θ όγω των παραήων και όγω του νόμου Snell θα είναι ηµφ ηµφ n ηµθ nηµθ nηµθ n ηµφ ηµθ n Επομένως η εξερχόμενη από την πάκα ακτίνα θα είναι παράηη με την εισερχόμενη. AB γ. Το χρονικό διάστημα είναι t όπου υ η ταχύτητα διάδοσης της ακτίνας μέσα υ στο γυαί που θα είναι υ c/n. ΑΓ ΑΓ Η πευρά ΑΒ του ορθογώνιου τριγώνου είναι συνθ ΑΒ ΑΒ συνθ ΑΓ n Επομένως t όπου συνθ ηµ θ 0,6 0, 8 c συνθ Άρα είναι Δt,5 0-0 s 6
Ασκήσεις στο πνεύμα του 4 ου θέματος 9. α. Από το διάγραμμα βέπουμε ότι τη στιγμή t η αρχή συντεταγμένων βρίσκεται για δεύτερη φορά στη θέση με απομάκρυνση y 4 και ταυτόχρονα έχει αρνητική ταχύτητα. Επομένως για την αρχή συντεταγμένων ισχύει: 4π 4 8ηµ ( ω t ) ηµ ( ω t ) ω t kπ + 4π 0π Επειδή αυτό συμβαίνει για η φορά θα είναι ω t π + ω t ω 8π ad / s Άρα f 4Hz. Σε χρόνο t το κύμα έχει φτάσει στο σημείο x 5m άρα υ Κ x/t m/s οπότε υ κ /f m β. Θα είναι υ ωασυν(ωt ) 0,64πσυν(π+4π/) - 0,π m/s. γ. Γράφουμε την εξίσωση του κύματος y 0,08ημ(8πt πx/) και αντικαθιστούμε. 4π π,5 4π 6,5π,5π y 0,08ηµ π + 0,08ηµ 0,08ηµ 5π y 0,08ηµ 0,04m 6 5π Η ταχύτητα του σημείου είναι υ 0,64π συν 0,π m/ s 6 δ. Η εγκάρσια απόσταση δύο τυχαίων σημείων ενός εγκάρσιου γραμμικού κύματος είναι: d y y φ φ φ + φ Άρα d y y Αηµφ Αηµφ Αηµφ + ηµ ( φ ) Αηµ συν π π Η φάσεις των δύο σημείων είναι φ ω t x και φ ω t x οπότε: 7
π π φ φ ( x x ) και φ + φ ωt ( x + x ) Άρα τεικά θα είναι: π ( x x ) π d Aηµ συν ωt ( x + ) x Παρατηρούμε ότι η μέγιστη εγκάρσια απόσταση δύο σημείων είναι: π ( x x ) dmax Aηµ π 0,75 π Επομένως για τα σημεία της άσκησης έχουμε dmax 0,6ηµ 0,6ηµ 0,08 m 4 0. α. Από το στιγμιότυπο έχουμε ότι 5/4 5m άρα 4m. Επίσης βέπουμε ότι Α 0,m. Τη στιγμή t η αρχή συντεταγμένων έχει φάση φ π+π/ 5π/ ad. Επομένως η εξίσωση της φάσης τη στιγμή t είναι φ 5π/ πx/4. Άρα το σημείο με συντεταγμένη x 4m θα έχει φάση φ π/ ad. Τη χρονική στιγμή t + /5 s το σημείο αυτό έχει απομάκρυνση y -0,m για πρώτη φορά. άρα -0, 0,ημφ ημφ -/ άρα θα έχει φάση φ 7π/6 ad. 7π π Επομένως 6 φ ω 0 ad / s t π 5 Ερχόμαστε στην αρχή συντεταγμένων. Τη στιγμή t βρήκαμε ότι έχει φάση 5π/ ad. Όμως είναι ωt 0π /40 π/4 ad. Άρα η αρχή συντεταγμένων έχει αρχική φάση φ 0 7π/4 ad. Η εξίσωση του κύματος θα είναι οιπόν: x 7 y 0,ηµ π 5t + (S.I.) 4 8 β. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του κύματος για το σημείο Σ. xσ 7 πxσ 7 0, 0,ηµ π 5t + ηµ 0πt + 4 8 4 Άρα φ Σ πxσ 7 π 0π t + kπ + 4 Τα σημεία που απέχουν από το Σ / m θα έχουν διαφορά φάσης με το Σ που θα είναι: π π φ ad 4 6 Άρα το ένα σημείο θα έχει φάση φ φ Σ + π/6 kπ + π/ άρα y 0, m το άο σημείο θα έχει φάση φ φ Σ - π/6 kπ + π/6 άρα y 0, m γ. Το πησιέστερο σημείο στο Σ με ίδια ταχύτητα είναι αυτό που έχει αντίθετη απομάκρυνση άρα αυτό που έχει φάση φ kπ + π/ οπότε προηγείται του Σ κατά π/ ad και απέχει από αυτό π φ απόσταση που θα βρεθεί από τη σχέση φ d d / m π 6 δ. Όταν έχει μηδενική φάση άρα όταν 7,5 7 7 5 t + 0 5t t 0, 7s 4 8 8
. α. Από το διάγραμμα φ(x) βρίσκουμε: π φ π Το μήκος κύματος: φ d d m π π φ π Τη κυκική συχνότητα: ω 0π ad / s t 0, Το σημείο x m έχει τη στιγμή t 0 φάση ίση με π ad και επομένως διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του οπότε έχει μέγιστη ταχύτητα. Άρα ωα π m/s άρα Α 0, m. Η εξίσωση θα είναι y 0, ημπ(5t + 0,5x) (S.I.) β. Τη στιγμή t 0, θα είναι φ 0πt + πx π + πx Για x 0 είναι φ π ad άρα το κύμα έχει διαδοθεί προς την αρνητική κατεύθυνση κατά / m. γ. Εφαρμόζουμε την εξίσωση του κύματος για το σημείο Σ. xσ 0, 0,ηµ π 5t + ηµ ( 0πt + πxσ ) Άρα φ Σ π 0π t + πxσ kπ + Εφαρμόζουμε την εξίσωση του κύματος για το σημείο Κ. xk 75 yk 0,ηµ π 5 t + 0,ηµ 0π ( t + ) + π ( xσ + 0,5) 000 π πxσ π π yk 0,ηµ 0πt + + + 0,ηµ kπ + + π 0, m 4 4 δ. Αν το Σ έχει απομάκρυνση y 0,m θα έχει U U max /4 άρα θα έχει Κ U max /4 οπότε Κ/U.. α. Το Κ έχει εξίσωση ταάντωσης y Κ 0,08ημ(0πt + π/4) S.I. Επομένως το πάτος του κύματος είναι Α 0,08m και η συχνότητά του είναι f 0Hz. Όταν το Κ έχει εκτεέσει δύο πήρεις τααντώσεις θα είναι 0πt + π/4 4π άρα θα είναι t /80 s. Εκείνη τη στιγμή το κύμα έχει διαδοθεί προς την αρνητική κατεύθυνση κατά 6,5m επομένως έχει ταχύτητα υ Κ Δx/t 40 m/s. Το μήκος κύματος είναι υ Κ /f 4m Άρα η εξίσωση είναι y 0,08ημ(0πt + 0,5πx ) (S.I.) β. Θα είναι πx K / π/4 άρα x K,5m γ. Θέουμε ένα σημείο με y +A άρα με φ kπ + π/ ad τη χρονική στιγμή t /80 s. π πx π Έχουμε 0πt + 0,5πx kπ + π / ή + kπ + από αυτή έχουμε: 4 πx π kπ x 4k για k0 βρίσκουμε τη συντεταγμένη του σημείου 4 που για πρώτη φορά βρίσκεται σε απομάκρυνση y +A που είναι το x - / m. Το σημείο που για δεύτερη φορά θα έχει y +A είναι το - / + 4 - / m. Το σημείο που για τρίτη φορά θα έχει y +A είναι το - / + 8 5/ m. 9
Άρα το πησιέστερο στην αρχή συντεταγμένων με μέγιστη απομάκρυνση είναι το x-,5m. δ. Το σημείο Σ έχει φάση φ Σ 5π/4 τη στιγμή t όπου 0πt + 0,5πx Σ 5π/4 άρα θα είναι: 0πt 9π/ ad. Εκείνη τη στιγμή η εξίσωση της φάσης των σημείων του κύματος θα είναι: φ 9π/ + πx/ και για x 0 θα είναι φ 9π/ ad ( φάση της αρχής συντεταγμένων). Επομένως το στιγμιότυπο είναι:. α. Προσοχή! Πρώτα φεύγει από τη πηγή το κύμα που στο στιγμιότυπο εκτείνεται από τη θέση x 4m έως τη θέση x 0m. Από το στιγμιότυπο που δίνεται κατααβαίνουμε ότι όσο η πηγή του κύματος είχε συχνότητα f 5Hz το μήκος κύματος ήταν (0-4)/ 4m. Επομένως η ταχύτητα διάδοσης στο εαστικό μέσο είναι υ Κ f 0 m/s και δεν μεταβάεται όταν η πηγή αάξει συχνότητα ταάντωσης. Από το στιγμιότυπο βέπουμε ότι στη συνέχεια το μήκος κύματος γίνεται (4-0)/4 m και άρα η συχνότητα της πηγής είναι f υ Κ / 0 Hz. β. Η συχνότητα της πηγής άαξε τη στιγμή t που το πρώτο κύμα διαδόθηκε κατά / επομένως τη στιγμή t T / 0,s. Η στιγμή t στην οποία αντιστοιχεί το στιγμιότυπο είναι η t Δx/υ Κ 0,5s γ. Η εξίσωση του πρώτου κύματος είναι: y 0,ημπ(5t 0,5x) για x > υ Κ (t 0,) Η εξίσωση του δεύτερου κύματος είναι: y - 0,ημπ(0t 0, 5x) για 0 < x < υ Κ (t 0,) (Γιατί βάζω (-) μπροστά;) Τη στιγμή t 0,5 s το σημείο K με συντεταγμένη x K 9m έχει απομάκρυνση: y K 0,ημ(5π 4,5π) 0,m To K περάσει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του μετά από Τ /4 άρα τη στιγμή : t t +T /4 0,55s Το σημείο με συντεταγμένη x,5m ανήκει στο δεύτερο κύμα και άρα θα είναι: y -0,ημπ(5,5,5) -0,ημ(8,5π) -0,m δ. Το κύμα θα φτάσει στο σημείο x,5m τη στιγμή t 4,5/0 /40 s και η πηγή εκείνη τη στιγμή θα έχει απομάκρυνση y - 0,ημπ(0t 4 ) - 0,ημ(π/) 0,m. 4. α. υ Κ /f,5 m άρα y 0,0ημπ(4t 0,8 ), y 0,0ημπ(4t 0,8 ) (S.I.) β. Για κάθε σημείο της επιφάνειας ισχύει η ανισότητα D και επειδή για τους κροσσούς ενίσχυσης ισχύει η σχέση µ με μ άρτιο αριθμό θα είναι: D µ D µ 4,8 επομένως το μ μπορεί να πάρει τιμές μ 0, ±, ±4 και άρα στην επιφάνεια συμβοής θα υπάρχουν 5 κροσσοί ενίσχυσης. γ. Έστω ότι το Σ απέχει Σ,5m από την Π. 0
Για το σημείο Σ που βρίσκεται σε υπερβοή ενίσχυσης θα ισχύει Σ Σ µ με μ 0, ±, ±4. 5 5 5 Άρα Σ Σ µ Σ Σ µ Σ,5 µ Δίνουμε στο μ τιμές. 8 8 8 Για να είναι η Σ μέγιστη θα πρέπει να δώσουμε στο μ την μικρότερη δυνατή τιμή (μ -4) οπότε 5 είναι Σ,5 + 4 5m max 8 Για να είναι η Σ εάχιστη θα πρέπει να δώσουμε στο μ την μεγαύτερη δυνατή τιμή (μ +4) οπότε είναι 5 Σ,5 4 0m (άτοπο γιατί οι πηγές απέχουν m) άρα δίνουμε την αμέσως μικρότερη τιμή (μ ) και έχουμε: min 8 5 Σ,5, 5m min 8 δ. Το Σ βρίσκεται πάνω στον κροσσό με μ -4. Αν αυξήσουμε τη συχνότητα των πηγών θα πέσει πάνω στο Σ ο κροσσός με μ 5. Άρα θα είναι: υκ υκ 5 4 5 4 5 f Σ Σ f 5Hz f f 4 Επομένως πρέπει να αυξήσουμε τη συχνότητα κατά Ηz. 5. Από τις πηροφορίες κατααβαίνουμε ότι:. Αφού το Γ βρίσκεται στη δεύτερη υπερβοή απόσβεσης μετά τη μεσοκάθετη θα είναι: Γ Γ 0,6m 0, 4m. Αφού το Β βρίσκεται στη πρώτη υπερβοή απόσβεσης μετά τη μεσοκάθετη θα τααντώνεται όγω του κύματος της Π για χρονικό διάστημα Τ/ και μετά θα σταματά. Άρα Τ/ 0,05s άρα Τ 0, s οπότε είναι f 0Hz.. Αφού το Α αρχίζει ταάντωση τη στιγμή που το Β ακινητοποιείται (όταν δηαδή φτάνει στο Β το κύμα της Π ) αυτό σημαίνει ότι ΑΠ ΒΠ. Επειδή είναι υ Κ f 4 m/s και το κύμα της Π φτάνει στο Α τη στιγμή 0,4s θα είναι ΑΠ,6m. Αφού για το Α ισχύει A A 0,4m A, m Από ΑΔΜΕ για την ταάντωση του Α έχουμε A A υ y + ω 0, m άρα Α0,05m Επομένως: α. 0,4m β. y 0,05 ημπ( 0t,5 ) (S.I.) γ. ΒΠ,m και ΒΠ ΒΠ / m δ. Είναι Δ υ Κ Δt 0,m π Άρα A 0,συν π 0,συν 0,05 4 m 6. α. Από το διάγραμμα βέπουμε ότι το μήκος κύματος των δύο κυμάτων είναι 0,4m και άρα η συχνότητα είναι f υ Κ / 0Hz. Η φάση του προς τα αριστερά διαδιδόμενου κύματος είναι φ ωt + πx/ και έχει τη στιγμή t0 εξίσωση φ πx/ 5πx οπότε το σημείο x 0,75 m έχει φάση φ 5π/4 ad. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου αυτού θα είναι:
υ υ υ max max 5π συν υ 4 π m/ s max π συν 4π υ 4 max 0,5π υ max Άρα Α υ max /ω 0,05m. Οι εξισώσεις των δύο κυμάτων είναι: y 0,05ημ(0πt 5πx) S.I. και y 0,05ημ(0πt + 5πx) S.I β. Η συμβοή των δύο κυμάτων δίνει στάσιμο κύμα με εξίσωση: y 0,συν(5πx)ημ(0πt) S.I. γ. Τη στιγμή t 75ms θα είναι y 0,συν(5πx)ημ(500π/000) 0,συν(5πx)ημ(π/) άρα y - 0,συν(5πx) (S.I.) Εκείνη τη στιγμή κάθε κύμα έχει διαδοθεί κατά υ Κ t 0,m και επομένως η περιοχή συμβοής θα είναι -0,m < x < 0,m και η γραφική παράσταση yy(x) είναι: δ. Το σημείο Λ έχει εξίσωση ταάντωσης y Λ 0,05ημ(0πt + 4,5π) S.I για όση ώρα τααντώνεται όγω του προς τα αριστερά κύματος δηαδή από τη χρονική t0 έως τη στιγμή t 0,9/4 s κατά την οποία φτάνει και το δεύτερο κύμα.
Από τη στιγμή t 0,9/4 s και μετά το σημείο Λ τααντώνεται με εξίσωση y Λ 0,συν(45π)ημ(0πt) -0,ημ(0πt) S.I. Τη στιγμή t 0 το Λ έχει απομάκρυνση y Λ 0,05ημ(4,5π) 0,05m Τη στιγμή t 0,9/4 s το Λ έχει απομάκρυνση y Λ 0,05ημ(4,5π + 4,5π) 0 7. α. Αφού η αρχή συντεταγμένων είναι κοιία και το άο άκρο της χορδής είναι δεσμός θα ισχύει: υκ L (k + ) (k + ) 4 4 f Στην αμέσως μεγαύτερη συχνότητα f,4f θα ισχύει: υκ L (k + ) (k + ) 4 4 f Άρα (k + ) υ (k + ) υ Κ Κ (k + ) (k + ) 4 f 4 f f, 4 f Επομένως θα είναι,8k +,4 k + 0,8k,6 k Άρα στη χορδή θα υπάρχουν αρχικά δεσμοί. β. Το μέσο Μ της χορδής έχει συντεταγμένη x L/ θα έχει πάτος πx πl π A Aσυν Aσυν Aσυν (k + ) A 4 Με τη νέα συχνότητα θα είναι πx πl π A Aσυν Aσυν Aσυν (k + ) A 4 Επομένως το πάτος μένει ίδιο. υκ υκ υκ γ. Με τη πρώτη συχνότητα είναι L ( k + ) L 5 f 5, 5Hz 4 f 4 f 4L Άρα f,4f,5 Hz,4π 0, δ. Είναι υ maxm ω Α Μ άρα A M 0, m όμως A M A A 0, m 7 π Αφού η αρχή συντεταγμένων είναι κοιία θα έχει πάτος A 0, m
ε. Η μικρότερη συχνότητα προκύπτει από τη σχέση L υ Κ υκ f 0, Hz 4 4 f 4L 5 min 8. α. Το μήκος κύματος είναι υ Κ /f,6m π Το κύμα της Π έχει εξίσωση y 0,ηµ 0πt (S.I.),6 Η Π άρχισε ταάντωση τη στιγμή t 0,5 s και επομένως το κύμα της θα έχει εξίσωση π π π y 0,ηµ 0π ( t 0,5) 0,ηµ 0πt,5π 0,ηµ 0πt,5π ( S. I.),6,6,6 Η σύνθετη ταάντωση ενός σημείου θα έχει εξίσωση που βρίσκεται από την αρχή της επαηίας: π π π π 0πt + 0πt,5π 0πt 0πt + +,5π,6,6 +,6,6 y y y 0,ηµ συν + y 0,ηµ 0πt π,5π συν π,5π,6,6 Άρα το πάτος της σύνθετης ταάντωσης ενός σημείου είναι: Α 0,συν π, 5π,6 Το σημείο Κ έχει m και επομένως θα έχει πάτος ταάντωσης: π Α 0,συν (,5π ) 0,συν π + 0, m 4 β. Για να βρίσκεται ένα σημείο σε κροσσό ενίσχυσης πρέπει: 5π 5π συν π,5π π kπ π kπ +,6,6 4,6 4 Άρα,6k + Έστω ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος Π Π που ανήκει σε κροσσό ενίσχυσης. Το σημείο αυτό θα απέχει από την Π και 4 από την Π. Θα είναι ( 4 ),6k + 4,6k + 0,8k + Επειδή πρέπει 0 < < 4m το k παίρνει τιμές k -, -, -, 0, Επομένως στην επιφάνεια θα υπάρχουν 5 κροσσοί ενίσχυσης. Με την ίδια ογική: Για να βρίσκεται ένα σημείο σε κροσσό απόσβεσης πρέπει: 5π π π 5 συν π,5π 0 π (k + ) π (k + ) +,6,6 4,6 4 Άρα 0,8(k + ) + Έστω ένα σημείο του ευθύγραμμου τμήματος Π Π που ανήκει σε κροσσό απόσβεσης. Το σημείο αυτό θα απέχει από την Π και 4 από την Π. Θα είναι ( 4 ),6k +,8 4,6k +,8 0,8k +, 4 Επειδή πρέπει 0 < < 4m το k παίρνει τιμές k -4, -, -, -, 0 π 4
Επομένως στην επιφάνεια θα υπάρχουν 5 κροσσοί απόσβεσης. Στο σχήμα βέπουμε την επιφάνεια και τους κροσσούς που δημιουργούνται. γ. Αντικαθιστούμε τις τιμές και του Σ στην γενική εξίσωση 5π + 5π y 0,συν π ηµ 0πt π,6 4,6 4 0,8 5π 5,8 5π 7π 9π y 0,συν π ηµ 0πt π 0,συν ηµ 0πt,6 4,6 4 4 8 Άρα 9 yσ 0, ηµ π 5t ( S. I.) 6 Η σύνθετη ταάντωση του σημείου Σ θα αρχίσει τη χρονική στιγμή, 5, t + + s 4 8 8 8 υ Κ δ. Αν η συχνότητα της μιας πηγής γίνει f f + 0,f,f 5,5 Hz, το σημείο Σ θα εκτεεί σύνθετη ταάντωση που θα εμφανίζει διακροτήματα και επομένως το πάτος του θα μεταβάεται μεταξύ των τιμών 0 και Α 0, με περίοδο διακροτημάτων T s f f δ 5