4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 47 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Η Γη είναι σφαίρα και την ονοµάζουµε γήινη σφαίρα ή υδρόγειο σφαίρα. Ο νοητός άξονας γύρω από τον οποίο στρέφεται η γήινη σφαίρα ονοµάζεται άξονας περιστροφής της Γης. Ο µέγιστος κύκλος της γήινης σφαίρας, ο οποίος είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής, ονοµάζεται ισηµερινός. Βόρειος πόλος Παράλληλος κύκλος Βόρειο ημισφαίριο Παράλληλος κύκλος Νότιο ημισφαίριο Νότιος πόλος Ο ισηµερινός χωρίζει τη Γη σε δύο ηµισφαίρια, το βόρειο (συµβολίζεται µε το γράµµα Ν από την αγγλική λέξη North που σηµαίνει Βορράς) και το νότιο (συµβολίζεται µε το γράµµα S από την αγγλική λέξη South που σηµαίνει Νότος). Το βόρειο και το νότιο ηµισφαίριο χωρίζονται από παράλληλους προς τον ισηµερινό κύκλους, µε αποτέλεσµα από κάθε τόπο, πάνω

48 ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ στην επιφάνεια της Γης, να περνά ένας παράλληλος κύκλος, ο οποίος ονοµάζεται παράλληλος του τόπου. Δυτικό ημισφαίριο Βόρειος πόλος Ανατολικό ημισφαίριο Πρώτος μεσημβρινός Νότιος πόλος Το ηµικύκλιο το οποίο περνά από το αστεροσκοπείο Γκρήνουϊτς της Μ. Βρεττανίας, ονοµάζεται πρώτος µεσηµβρινός.ο πρώτος µεσηµβρινός χωρίζει τη γήινη σφαίρα σε δύο ηµισφαίρια, το ανατολικό (συµβολίζεται µε το γράµµα Ε από την αγγλική λέξη East που σηµαίνει ανατολή) και το δυτικό (συµβολίζεται µε το γράµµα W από την αγγλική λέξη West που σηµαίνει δύση).από κάθε τόπο περνά ένα ηµικύκλιο. Το ηµικύκλιο αυτό ονοµάζεται µεσηµβρινός του τόπου. Κάθε τόπος χαρακτηρίζεται από δύο διαφορετικές επίκεντρες γωνίες. Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα η επίκεντρη γωνία λ ονοµάζεται γεωγραφικό µήκος του τόπου και η ω γεωγραφικό πλάτος του τόπου. Ανάλογα µε τη θέση του τόπου, το γεωγραφικό µήκος Ανατολή χαρακτηρίζεταιως δυτικό (W) ή (W) ως ανατολικό (Ε), (αν ο τόπος βρίσκεται στο ανατολικό ή στο δυτικό ηµισφαίριο αντίστοιχα). Επίσης, το γεωγραφικό πλάτος χαρακτηρίζεται ως βόρειο (Ν) ή νότιο (S), αν ο τόπος βρίσκεται στο βόρειο ή στο νότιο ηµισφαίριο αντίστοιχα. Π Βοράς (Ν) ω Δύση (Ε)

ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 49 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Β ΜΕΡΟΥΣ. Το σχήμα της Γης είναι περίπου σφαιρικό με ακτίνα περίπου 6.400 km. Η ατμόσφαιρα καλύπτει γύρω-γύρω τη Γη σε ένα μέσο ύψος 400 km. Να υπολογίσετε τον όγκο του αέρα που βρίσκεται γύρω από τη Γη. Γνωρίζοντας ότι η μέση μάζα του αέρα ενός λίτρου είναι γραμμάριο, να εκφράσετε σε τόννους τη συνολική μάζα της ατμόσφαιρας. αέρα 4 4. π.6800. π.6400 4 4.,4..44 0 -.,4..644 0,6.0-0,98.0,8.0 km,8.0 Τα,8.0 ατμόσφ dm σφαιρ,8.0 lt είναι,8.0 lt. gr ή,8.0 6 tn Ό όγκος του αέρα γύρω από την γη προκύπτει αν από το όγκο της ατμόσφαιρας ως σφαίρας με κέντρο το κέντρο της γης αφαιρέσουμε τον όγκο της γης. Μετατρέπουμε τα κυβικά χιλιόμετρα σε λίτρα και κατόπιν σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης σε γραμμάρια και τόνους.. Σε ένα κυλινδρικό ποτήρι με ακτίνα βάσης ρ cm βυθίζουμε μια σφαίρα που έχει ακριβώς την ίδια ακτίνα. Στη συνέχεια ρίχνουμε νερό στο ποτήρι μέχρι να καλύψουμε ακριβώς τη σφαίρα. α) Να υπολογίσετε τον όγκο της σφαίρας. β) Να υπολογίσετε το ύψος του νερού στον κύλινδρο όταν υπάρχει η σφαίρα. γ) Να υπολογίσετε τον όγκο της σφαίρας μαζί με το νερό. δ) Να υπολογίσετε τον όγκο του νερού που θα μείνει στο ποτήρι, όταν βγάλουμε τη σφαίρα. ε) Να υπολογίσετε το ύψος του νερού που θα μείνει στο ποτήρι, όταν βγάλουμε τη σφαίρα.

40 ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ α) β) υ γ) δ) 69,56,04 56,5 ε) νερού 4. πρ ρ - 4.,4.,04 cm. 6 cm σφαίρας πρ. υ,4..6 69,56 cm πρ. υ υ π. ρ cm 56,5 8,6 cm α) Ο όγκος της σφαίρας δίνεται από τον τύπο 4 σφαίρας πρ β) Το ύψος του νερού στον κύλινδρο όταν υπάρχει η σφαίρα είναι ίσο με το μήκος δύο ακτίνων της σφαίρας. γ) κυλίνδρ πρ. υ. δ) Ο όγκος του νερού που θα μείνει θα είναι ίσος με την διαφορά των όγκων,. ε) Το ύψος ο βρίσκουμε από τον τύπο του όγκου του κυλίνδρου. Ένα δοχείο είναι κατασκευασμένο από ένα κύλινδρο και ένα κώνο με διαστάσεις σε cm που φαίνονται στο διπλανό σχήμα. α) Να υπολογίσετε τον όγκο του δοχείου. β) Αν το δοχείο είναι ανοικτό από πάνω και το υλικό κατασκευής του κοστίζει 0, το κάθε cm, να υπολογίσετε το συνολικό κόστος του υ- λικού που θα χρειαστεί για την κατασκευή δοχείων. α) δοχείου κυλίνδρου + Ε β. υ +. πρ. υ πρ. υ +. π. ρ. υ,4.4.4 +.,4.4.6 0,44 cm β) λ υ + ρ λ Ε 4 παράπλευρης + 6 π. υ + π. λ λ Ε πα κυλόνδρου 5 λ 7,cm + Ε πα.,4.4.4 +,4.4.7, 9,04 cm Κ ό στος ενός δοχείου 9,04.0, 8,08 Κ ό στος δοχείων.8,08 458,496 α) Ο όγκος του δοχείου είναι ίσος με τον όγκο του κυλίνδρου συν τον όγκο του. Χρησιμοποιούμε τους τύπους κυλίνδρου πρ. υ και κ ώ νου πρ. υ. β) Χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε την γενέτειρα λ του. Χρησιμοποιούμε τους τύπους Ε πα κυλόνδρου π. υ Ε πα π. λ

ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4 4. Στο διπλανό σχέδιο φαίνεται η στέγη μιας αγροικίας που έχει το σχήμα πυραμίδας. Η βάση της πυραμίδας είναι το τετράγωνο ΒΓΔΕ πλευράς 0m ενώ τα τρίγωνα με κορυφή το Α είναι ισόπλευρα. α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις υ ΑΚ, λ ΑΛ και δ ΚΛ. β) Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας. γ) Τα δοκάρια ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και ΕΒ κοστίζουν 0 το μέτρο ενώ τα δοκάρια ΕΓ και ΒΔ κοστίζουν 0 το μέτρο. Το υλικό με το οποίο έχουν καλυφθεί οι τριγωνικές έδρες της πυραμίδας κοστίζει 5 το τετραγωνικό μέτρο. Πόσο κοστίζουν συνολικά τα υλικά αυτά για τη συγκεκριμένη στέγη; α) δ λ 0 0 5 m 5 λ 75 λ 75 λ 8,66 m υ λ δ υ 8,66 5 υ 50 υ 50 7,07 m β) πυρ Ε β. υ.0.7,07 5,67 m γ ) 8.0m 80m 80m.0 800. ΕΓ 0 + 0 ΕΓ 00 ΕΓ 00 4,0 m.4, 8,m.0 564 E π. Π β άσης. απόστημα.4.0.8,66 7, m 7,m.5 598 598 + 800 + 564 96 α) Το δ είναι ίσο με το μισό ης πλευράς του τετραγώνου. β) βρίσκουμε το απόστημα με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΛ. Επίσης βρίσκουμε το ύψος με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΛ. β) Ο όγκος της πυραμίδας δίνεται από τον τύπο ι πυρ Ε. υ. β γ) Υπολογίζουμε πόσο κοστίζουν τα πρώτα δοκάρια που το καθένα έχει μήκος 0 m. Κατόπιν χρησιμοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε την ΕΓ άρα και την ΔΒ και υπολογίζουμε πόσο θα κοστίσουν. Βρίσκουμε τέλος την παράπλευρη επιφάνεια της πυραμίδας και υπολογίζουμε το κόστος της. Στο τέλος προσθέτουμε όλα τα έξοδα και βρίσκουμε το συνολικό κόστος.

4 ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 5. Το πάνω μέρος ενός ποτηριού του λικέρ έχει σχήμα του οποίου οι διαστάσεις (σε cm) φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Βάζουμε μέσα στο ποτήρι τέσσερα σφαιρικά παγάκια ακτίνας cm και στη συνέχεια γεμίζουμε τελείως το ποτήρι με ποτό. α) Να υπολογίσετε τον όγκο που καταλαμβάνουν τα παγάκια. β) Να υπολογίσετε τον όγκο του ποτού που βρίσκεται μέσα στο ποτήρι. γ) Όταν λιώνουν τα παγάκια και γίνονται νερό, ο όγκος του νερού που προκύπτει είναι το 90% του όγκου του πάγου. Να υπολογίσετε τον όγκο του υγρού που βρίσκεται μέσα στο ποτήρι, όταν λιώσουν τελείως τα παγάκια. α) β) παγ.ολικό ποτού γ) παγ,96 υγρού 49,044 4 4. πρ.,4. 4.4,9 6,76 cm πρ.υ.,4.6.4 50,7 cm 50,7 6,76 cm cm ποτού παγ.ολικό + 0,9.4. παγ 4,9 cm,96 + 5,084 α) Ο όγκος της σφαίρας δίνεται από τον τύπο 4 σφαίρας πρ β) Ο όγκος του δίνεται από τον τύπο κ ώ νου πρ. υ γ) Ο όγκος του υγρού που θα προκύψει είναι το άθροισμα των όγκων του ποτού και του 90% από τέσσερα παγάκια. 6. Θέλουμε να κατασκευάσουμε από μέταλλο ένα «παξιμάδι»,δηλαδή ένα ορθό εξαγωνικό πρίσμα με βάση κανονικό ε- ξάγωνο πλευράς α 5 mmκαι ύψους β mm με κυλινδρική οπή στο κέντρο διαμέτρου d 8 mm. α) Να υπολογίσετε τον όγκο του ορθού εξαγωνικού πρίσματος, τον όγκο της κυλινδρικής οπής και τον όγκο του «παξιμαδιού». β) Αν το μέταλλο κοστίζει 8.000 ανά κυβικό μέτρο και η εργασία κατασκευής του παξιμαδιού είναι 0 ανά χιλιάδα, να υπολογίσετε το κόστος για την κατασκευή 0.000 τέτοιων «παξιμαδιών».

ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4 α 5. α) Eβ. υ 6.. υ 6.. 94,65 m 4 4 E. υ πρ. υ,4.4. 50,7 mm β 94,65 50,7 4,905 mm 4,905 mm 0,00000004905 m 0,00000004905.8000 0,00044 0,00044.0000 6,88 Eυρώ 6,88+0.06,88+46004606,88 Eυρώ 7. Η σκηνή του ινδιάνου έχει το σχήμα, με ύψος,4 m και όγκο, m. Πόσο ύφασμα χρειάστηκε ο ινδιάνος για να φτιάξει τη σκηνή του; Χρησιμοποιούμε τον τύπο πρ σματος Ε. υ ί β. κυλ ί νδρου Ε. υ πρ. υ β Μετατρέπουμε τα mm se m Υπολογίζουμε το κόστος σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης.,. πρ. υ,.,4. ρ.,4,,5. ρ. ρ 0,4896 ρ 0,7m λ υ + ρ λ,4 Ε παράπλευρης + 0,7 λ 6,5 λ,5 m π. λ,4.0,7.,5 5,495 m 8. Μία ράβδος χρυσού ΑΒΓΔΕΖΗΘ είναι ένα στερεό πρίσμα με βάση ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ και διαστάσεις που φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε τον ό- γκο της πυραμίδας ΔΕΘΓ. Χρησιμοποιούμε τον τύπο κ ώνου πρ. υ.για να βρούμε την ακτίνα του και την χρησιμοποιούμε για να βρούμε την παράπλευρη επιφάνεια του Ε πα π. λ Θ 6 cm

44 ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ πυραμίδας Ε β. υ ( Β + β).. πρίσματος πρίσματος ( 5 + 8 ).,6 υ πρίσματος τραπεζίου. υ.6,8 cm Η βάση του πρίσματος 5 cm φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Υπολογίζουμε cm υ τρα. το ύψος του τραπεζίου με την βοήθεια του,5 cm πυθαγορείου θεωρήματος. 8 cm υ,5 υ 6,75 υ,6 cm cm,5 cm 9. Να υπολογίσετε το ολικό εμβαδόν και τον όγκο της πυραμίδας ΚΛΕΖ, αν γνωρίζετε ότι το ΑΒΓΔΕΖΗΘ είναι κύβος ακμής 5 cm και τα Κ, Λ μέσα των πλευρών ΑΔ και ΕΘ αντίστοιχα. E Ε ολ ( ΚΛΕ) + ( ΚΛΖ) + ( ΚΕΖ) + ( ΖΕΛ) 5.,5 5.5,59 5.5,59 + + +,5 + 7,95 40,45 cm πυραμίδας π 6,5.5 + Ε β. πρίσματος 0,4 cm Ε 5.,5 β. υ πρίσματος Η βάση της πυραμίδας είναι ορθογώνιο τρίγωνο όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Υπολογίζουμε το τμήμα ΛΖ με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος. ΛΖ ΕΛ + ΕΖ ΛΖ,5 + 5 ΛΖ,5 ΛΖ 5,59 cm Το ύψος της πυραμίδας είναι είναι το ΚΛ 5 cm

ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 45 o ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΜΕΡΟΥΣ Β. Το πρίσμα του παρακάτω σχήματος έχει βάση τετράγωνο πλευράς α και ύψος υ. Αν Ε είναι το ολικό εμβαδόν του πρίσματος και ο όγκος του, να συμπληρώσετε τα κενά στις στήλες του παρακάτω πίνακα: α 4 υ 5 4 Ε 64 80 00. Να υπολογίσετε το ολικό εμβαδόν και τον όγκο των παρακάτω στερεών σωμάτων:. Το πρίσμα του παρακάτω σχήματος έχει ύψος υ και βάση ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α. Αν Ε είναι το ολικό εμβαδόν του πρίσματος και ο όγκος του, να συμπληρώσετε τα κενά στις στήλες του παρακάτω πίνακα: α 0 β 4 6 8 γ 5 5 υ 4 Ε 0 4. Να υπολογίσετε το ολικό εμβαδόν και τον όγκο των παρακάτω στερεών σωμάτων:

46 ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στο Βόρειο πόλο Είναι το σφαιρικό τρίγωνο που σχηματίζεται αν θεωρήσουμε το Βόρειο πόλο και δύο σημεία του ισημερινού έτσι ώστε να απέχουν ένα τεταρτοκύκλιο της περιφέρειας της γής. Α Β O Γ

ΜΕΡΟΣ Β 4.7 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 47 γης γης Αν υποθέσουμε ότι η διαδρομή που διέσχισε ο ταξιδιώτης ήταν ευθεία τότε το κεφάλι θα διένυε απόσταση ίση με το μήκος της διαδρομής. Στην περίπτωσή μας όμως διένυσε,56 m περισσότερα από τα πόδια του, επομένως η διαδρομή είναι καμπύλη. ΕΞΗΓΗΣΗ Αν υποθέσουμε ότι ο ταξιδιώτης διατρέχει τον ισημερινό, τότε η διαδρομή έχει μήκος L πρr γής. Αν η απόσταση του κεφαλιού από τα πόδια είναι s, δηλαδή το ύψος του ταξιδιώτη είναι s τότε η διαδρομή που διένυσε το κεφάλι είναι L π( R γής + s).επίσης L L,56 οπότε έχουμε,56 πr + πs - πr,56 πs,56 s και κατά συ- π νέπεια το κεφάλι του ταξιδιώτη βρίσκεται m από το έδαφος, οπότε η ακτίνα του κύκλου που διέγραψε το κεφάλι του είναι μέτρα μεγαλύτερη από την ακτίνα του κύκλου που διέγραψαν τα πόδια του. Άρα το κεφάλι διένυσε παραπάνω π.4π,56 m. Για να γίνει αυτό η αρκούδα πρέπει να ξεκίνησε από το βόρειο πόλο άρα το χρώμα της είναι άσπρο, γιατί το σφαιρικό τρίγωνο που διαγράφεται σε αυτή την περίπτωση την επαναφέρει στην ίδια θέση σε αντίθεση με τον ισημερινό και τον νότιο πόλο km km km