Γυροσκοπικοί υπολογισμοί

Γυροσκοπικοί υπολογισμοί Γυροσκοπικοί υπολογισμοί Α) Εισαγωγή Το γυροσκόπιο είναι μια διάταξη, η οποία μπορεί να διατηρεί σταθερό τον προσανατολισμό της μέσω της περιστροφής των μερών της. Για να μεταβληθεί ο προσανατολισμός της διάταξης θα πρέπει να αλλάξει η κατεύθυνση της στροφορμής της. Για την αλλαγή αυτή απαιτείται ροπή. Συνεπώς το γυροσκόπιο «αντιδρά» στην αλλαγή της στροφορμής του. Όσο πιο γρήγορα γίνεται η αλλαγή τόσο εντονότερη είναι η αντίδραση. Στο σύστημα συν-κινούμενου παρατηρητή αυτή η αντίδραση εμφανίζεται σαν ψευδοζεύγος που τείνει να επαναφέρει την στροφορμή στην αρχική της κατεύθυνση. Ένα απλό γυροσκόπιο αποτελείται από μια ράβδο και ένα δίσκο, ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές με το επίπεδό του κάθετο στην ράβδο. Υποθέτουμε ότι θέτουμε σε περιστροφή τον δίσκο και τοποθετούμε την διάταξη σε τέτοια θέση ώστε η ράβδος να σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Αν το σύστημα αφεθεί ελεύθερο τότε η ράβδος τίθεται σε περιστροφή γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το ένα άκρο της ( μετάπτωση). Σκοπός μας είναι να συσχετίσουμε την γωνιακή ταχύτητα «ιδιοπεριστροφής» του δίσκου με την γωνιακή ταχύτητα περιφοράς στην περίπτωση που η γωνία θ παραμένει σταθερή. Για να απλοποιήσουμε τους μαθηματικούς υπολογισμούς θεωρούμε ότι η ράβδος είναι αβαρής. Η βασική αρχή του γυροσκοπίου αναδεικνύεται στην περίπτωση που η ράβδος είναι οριζόντια. Στα παραρτήματα που ακολουθούν το κυρίως κείμενο, γίνεται μια αναφορά στους ορθογώνιους μετασχηματισμούς, στους πίνακες στροφής, στις γωνίες του Euler, στην γωνιακή ταχύτητα ενός στερεού που εκτελεί τυχαία κίνηση, στην γενική δυναμική ενός στερεού σώματος και στον τανυστή ροπής αδράνειας ενός ομογενούς κυκλικού δίσκου. Β) Οριζόντια ράβδος Η κάτοψη της διάταξης φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Έστω ω η γωνιακή ταχύτητα ιδιοπεριστροφής του τροχού. Η στροφορμή του τροχού ως προς το κέντρο Κ έχει δύο όρους. Τον όρο L I mr e που οφείλεται στην ιδιοπεριστροφή του r r e e z Κ φ e τροχού και τον όρο l L I e mr e z z z Ο φ Κορφιάτης Ευάγγελος

Γυροσκοπικοί υπολογισμοί Επομένως η στροφορμή του τροχού ως προς Κ είναι: L(K) L L mr er mr ez (B) Για να βρούμε την στροφορμή ως προς Ο θα πρέπει να προσθέσουμε και την στροφορμή λόγω περιφοράς του κέντρου μάζας m e m e z z Επομένως η στροφορμή του τροχού ως προς Ο είναι: L ( ) mr e r mr ez m ez (B) Υποθέτοντας ότι η γωνιακή ταχύτητα περιφοράς του κέντρου μάζας είναι σταθερή, για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ισχύει ότι: dl( ) d de (mr r e r ) mr mr e Από τον νόμο μεταβολής της στροφορμής έχουμε ότι: dl( ) d der ( ) w (mr e r ) mr mr e mge mr e g R (B) Παρατήρηση dl(k) dl (K) Η σχέση (K) μπορεί να γραφεί ως (K) Θεωρούμε ένα παρατηρητή ακίνητο ως προς το Κ ( κινούμενο μαζί με το Κ). Για τον παρατηρητή αυτό ο τροχός έχει στροφορμή L mr e, η οποία παραμένει σταθερή. r Για να ερμηνεύσει την σταθερότητα της στροφορμής του τροχού επικαλείται μια αδρανειακή ροπή dl ζεύγους (K). Για να ερμηνεύσει την φαινομένη ακινησία του κέντρου μάζας επικαλείται μια δύναμη F macm m e( φυγόκεντρος δύναμη), η οποία στην περίπτωσή μας δεν έχει ροπή ως προς Ο. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του τροχού έχει την κατεύθυνση του e. Επομένως η αδρανειακή ροπή ζεύγους έχει αντίθετη κατεύθυνση. Η ροπή αυτή «έχει την τάση να σηκώσει την ράβδο και εξισορροπεί την ροπή του βάρους». Κορφιάτης Ευάγγελος

Γ) Πλάγια ράβδος ( ο μέρος) Θεωρούμε τώρα την περίπτωση που η ράβδος σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ. Γυροσκοπικοί υπολογισμοί L L z L θ ρ l w F φ e z e θ e L Η στροφορμή του τροχού ως προς Κ η οφειλόμενη στην ιδιοπεριστροφή του είναι Επομένως L L e L e mr ( e e ) z z L mr. Ο ρυθμός μεταβολής της L είναι: dl de mr mr e (Γ) Λόγω της μεταβολής της στροφορμής του τροχού, στον τροχό ασκείται μια αδρανειακή ροπή ζεύγους dl mr e Ως προς παρατηρητή που κινείται μαζί με τον τροχό, οι ροπές ως προς Ο που ασκούνται σε αυτόν είναι: Η ροπή του βάρους του w mge mg e Η ροπή της φυγόκεντρης δύναμης dl Η αδρανειακή ροπή ζεύγους mr e F e m e m e Θα περίμενε κανείς ότι η συνισταμένη των παραπάνω ροπών είναι μηδέν. Αυτό δεν είναι αληθές για τον εξής λόγο: Λόγω περιστροφής της ράβδου, ο τροχός έχει και μια ακόμη στροφορμή ως προς Κ, η οποία δεν μένει σταθερή. Συνεπώς, στον τροχό ασκείται και δεύτερη αδρανειακή ροπή ζεύγους. Από την σχέση (Δ) αναγνωρίζουμε ως δεύτερη αδρανειακή ροπή ζεύγους την mr e Για να είναι η συνισταμένη των ροπών ως προς το Ο μηδέν θα πρέπει w m g m mr mr (g R R ) (Γ) Η σχέση (Γ) αποδεικνύεται πάλι στο Δ χωρίς την χρήση μη αδρανειακού παρατηρητή. (Γ) Κορφιάτης Ευάγγελος

Δ) Πλάγια ράβδος ( ο μέρος) Θα εφαρμόσουμε συστηματική μέθοδο εύρεσης της στροφορμής του τροχού. Η στροφορμή του τροχού ως προς το κέντρο μάζας του Κ δίνεται από την σχέση L=Iω όπου Ι, ω x, x πίνακες αντιστοίχως με στοιχεία τις Γυροσκοπικοί υπολογισμοί συνιστώσες της ροπής αδράνειας και της γωνιακής ταχύτητας ως προς σύστημα συντεταγμένων σταθερό επί του στερεού. Για την εύρεση της στροφορμής του τροχού απαιτείται η γνώση της γωνιακής του ταχύτητας. Για να γίνει κατανοητή η πορεία που ακολουθούμε υποθέτουμε ότι ξεκινάμε με την ράβδο κατακόρυφη και τον τροχό χωρίς περιστροφή. Για να φέρουμε τον τροχό σε μια τυχαία θέση θα πρέπει: ξ Κ θ Ο φ ξ ξ Να στρίψουμε την ράβδο κατά γωνία θ όπως στο σχήμα Να στρίψουμε την ράβδο κατά γωνία φ όπως στο σχήμα Να στρίψουμε τον τροχό κατά γωνία γ. Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού εξαρτάται από τις γωνίες θ, φ, γ και τις πρώτες παραγώγους τους. Θεωρούμε ένα αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων O με τον άξονα Οξ κατακόρυφο και ένα σύστημα συντεταγμένων προσαρτημένο στο κέντρο Κ του τροχού με άξονες συνεχώς παράλληλους στους άξονες του O. Έστω,, τα μοναδιαία διανύσματα στα συστήματα αυτά. Θεωρούμε τα εξής συστήματα συντεταγμένων Το σύστημα xxx προκύπτει από το με περιστροφή γύρω από τον άξονα Κξ κατά φ. Το σύστημα xxx προκύπτει από το xxx με περιστροφή γύρω από τον άξονα Kx κατά θ. Το σύστημα xxx προκύπτει από το xxx με περιστροφή γύρω από τον άξονα Kx κατά γ. ξ = x x x φ Κ x x θ Κ x = x x Κ γ x ξ ξ x x x x x Αξίζει να σημειώσουμε ότι το σύστημα xxx είναι το ορθογώνιο σύστημα που αντιστοιχεί στις σφαιρικές συντεταγμένες : e, e, e e r Ισχύουν οι σχέσεις Κορφιάτης Ευάγγελος 4 e e

x R ( ) e R ( ) xr ( ) x eer ( ) x R ( ) x eer ( ) Γυροσκοπικοί υπολογισμοί Μέσω των σχέσεων (Δ) μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος σε ένα σύστημα συντεταγμένων αν τις γνωρίζουμε σε ένα άλλο. Θα εκφράσουμε την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τόσο στο σταθερό επί του στερεού συστήματος συντεταγμένων xxx όσο και στο αδρανειακό. Τα αποτελέσματα θα εκφραστούν στο «φυσιολογικό» σύστημα συντεταγμένων xxx. Θεωρούμε κίνηση του τροχού τέτοια ώστε θ=σταθερό Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού είναι: e e e e (Δ) Θεωρούμε τον όρο e Ο πίνακας συντεταγμένων της ω στο xxx είναι : Ισχύει ότι ( σχέσεις Δ): R()R( ) Επομένως ο πίνακας συντεταγμένων της γωνιακής ταχύτητας στο xxx είναι: (Δ) Ο τανυστής ροπής αδράνειας στο σύστημα xxx είναι: (Δα) (Δβ) (Δγ) mr Ο πίνακας συντεταγμένων της στροφορμής ως προς Κ στο σύστημα xxx είναι: (Δ4) X L I mr Κορφιάτης Ευάγγελος 5

Γυροσκοπικοί υπολογισμοί L mr (Δ5) Για τις συντεταγμένες της στροφορμής στο σύστημα xxx ισχύει ότι: R( L ) mr L (Δ6) Για τις συντεταγμένες της στροφορμής στο σύστημα ισχύει ότι: R( )R() L L L mr (Δ7) Από τον νόμο μεταβολής της στροφορμής για τον τροχό έχουμε: d L K mr (Δ8) R( )R() mr (Δ9) Επομένως dl K mr ( )e (Δ) Για την στροφορμή ως προς Ο ισχύει ότι dlo dl K LO LK mcm cm m cm acm (Δ) Ο πίνακας συντεταγμένων του διανύσματος θέσης του κέντρου μάζας Κ στο αδρανειακό σύστημα O είναι: cm (Δ) Παραγωγίζοντας την (Δ) βρίσκουμε τους πίνακες συντεταγμένων της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας στο αδρανειακό σύστημα O : Κορφιάτης Ευάγγελος 6

cm cm Γυροσκοπικοί υπολογισμοί a cm cm Για τον πίνακα συντεταγμένων της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας στο xxx ισχύει ότι: X a R cm ( ) R ( ) a X cm a cm a ( ee ) (Δ) cm Άρα m a ea m ( eeee ) m e cm cm cm Επομένως dlo dl K mcm acm m R ( ) e (Δ4) Ο πίνακας συντεταγμένων του βάρους στο σύστημα είναι w mg Ισχύει ότι Xw R ( )R ( ) w mg w mg( e e ) w mge ( ee ) mg e w(o) cm Από τον νόμο μεταβολής της στροφορμής έχουμε ότι: dlo w(o) m R ( ) mg R( ) g (Δ5) Βρήκαμε πάλι την (Γ) χωρίς την επίκληση αδρανειακών δυνάμεων και ροπών. Δρ. Κορφιάτης Ευάγγελος korfiatis@sch.gr Κορφιάτης Ευάγγελος 7

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί x ξ ε e ε e ε Ο x ξ e ξ x Θεωρούμε δύο ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων Οξ ξ ξ και Οx x x. Έστω,, και e,e,e τα μοναδαία διανύσματα στους αντίστοιχους άξονες. Ένα τυχαίο σημείο Μ στο χώρο έχει συντεταγμένες (ξ, ξ, ξ ) ως προς το ένα σύστημα και συντεταγμένες (x, x, x ) ως προς το άλλο. Για το διάνυσμα θέσης r του σημείου Μ ισχύει ότι: r xe xe xe Αναζητούμε την σχέση των x i με τα ξ i και την σχέση των e i με τα i Πολλαπλασιάζοντας την σχέση () με e, e, e έχουμε: xee e xee e x e e e Πολλαπλασιάζοντας την σχέση () με,, έχουμε: xe xe xe xe xe xe xe xe xe () (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Θέτοντας ij e i, j, x x x, x, οι σχέσεις (α)-(στ) γίνονται: x (α) x (β) Αντικαθιστώντας το x από την (α) στην (β) έχουμε ότι: Κορφιάτης Ευάγγελος 8

Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί (4) Επειδή το ξ είναι τυχαίο πρέπει Ένας πίνακας Λ για τον οποίο ισχύει ότι Αναλύοντας τα e i ως προς τα i έχουμε ότι: e (e ) (e ) (e ) e (e ) (e ) (e ) e (e ) (e ) (e ) Θέτοντας e e e e και e ονομάζεται ορθογώνιος πίνακας. οι σχέσεις (5) γίνονται: (5α) (5β) (5γ) (6α) Από την σχέση (6α) έχουμε ότι: e (6β) Συνοψίζοντας Ο πίνακας που συσχετίζει τόσο τις συντεταγμένες ενός σημείου όσο και τα μοναδιαία διανύσματα μεταξύ δύο συστημάτων συντεταγμένων είναι ορθογώνιος. Αν Οξ ξ ξ και Οx x x. είναι δύο ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων με μοναδαία διανύσματα,, και e,e,e αντιστοίχως, τότε Για τις συντεταγμένες ενός σημείου στα δύο συστήματα ισχύει ότι: x x Για τα μοναδιαία διανύσματα στα δύο συστήματα ισχύει ότι: e e Το στοιχείο του πίνακα Λ που βρίσκεται στην i γραμμή και j στήλη ισούται με ij e i. j Τα στοιχεία του πίνακα Λ ονομάζονται συνημίτονα κατευθύνσεως. Κορφιάτης Ευάγγελος 9

Οι πίνακες στροφής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ Οι πίνακες στροφής Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων Oξ ξ ξ. Έστω Οx x x το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Oξ ξ ξ με στροφή του Oξ ξ ξ γύρω από τον άξονα Oξ κατά γωνία θ. ξ x e x x e Ο θ ξ ξ Έστω,, e, e τα μονιαδιαία διανύσματα στους άξονες Oξ, Oξ, Ox, Ox αντιστοίχως. Ισχύει ότι e e e e e e e e e Επομένως ο πίνακας Λ που συσχετίζει τα δύο συστήματα συντεταγμένων είναι ο Οι συντεταγμένες (x,x,x ) ενός σημείου του χώρου ως προς το Οx x x συνδέονται με τις συντεταγμένες του στο Oξ ξ ξ με τις σχέση: x x x Παρατηρήσεις. Ο πίνακας R() ονομάζεται πίνακας αλλαγής συντεταγμένων υπό στροφήν κατά θ ως προς τον ο άξονα. Κορφιάτης Ευάγγελος

. Ισχύει ότι Επομένως T R ( )R ( ) I R ( )R ( ) I R ( ) R ( ) R ( )R ( ) I T T T Οι πίνακες στροφής. Ισχύει ότι R( ) R(). Επομένως R ( )R ( ) R ( )R ( ) R ( ) R ( ) T 4. Έστω Σ=Ox x x σύστημα συντεταγμένων και Σ =Ox x x το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Σ με περιστροφή κατά θ γύρω από τον άξονα Ox. Τα μοναδιαία διανύσματα στα δύο συστήματα συντεταγμένων είναι e,e,e και e,e,e. Ένα δοθέν σημείο στο χώρο έχει συντεταγμένες x, x, x στο Σ και x, x, x στο Σ. i)θεωρώντας τα μοναδιαία διανύσματα ως στοιχεία ενός πίνακα - γραμμή e και τις συντεταγμένες ως στοιχεία ενός πίνακα στήλη x έχουμε ότι: e er( ) και x R( )x ii) Το στοιχείο της i γραμμής και j στήλης του πίνακα R(θ) είναι το εσωτερικό γινόμενο e i e. j 5. Θεωρούμε ένα σημείο Α του χώρου και ένα σύστημα συντεταγμένων Σ=Ox x x. Έστω Β το σημείο που προκύπτει με στροφή του σημείου Α γύρω από τον άξονα Οx κατά γωνία θ. Αναζητούμε την σχέση που έχουν οι συντεταγμένες του Β με τις x B συντεταγμένες του Α. θ Ο Έστω x Α ο πίνακας συντεταγμένων του Α και x Β ο πίνακας x συντεταγμένων του Β. Θεωρούμε το σύστημα συντεταγμένων Σ που προκύπτει από το Σ με στροφή κατά θ. Σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύει ότι: A A και xb R( )xb x R( )x. Επειδή το Β προκύπτει από το Α με στροφή κατά θ, οι συντεταγμένες του Β ως προς το Σ πρέπει να είναι ίδιες με τις συντεταγμένες του Α ως προς το Σ. Επομένως: xb xa R( )xb xa R( )R( )xb R( )xa xb R( )xa. 6. Ομοίως μπορεί να οριστούν οι πίνακες αλλαγής συντεταγμένων υπό στροφήν κατά γωνία θ ως προς τον ο και ο άξονα: R( ) και R() 7. Με την στροφή ως προς τον δεύτερο άξονα υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Ας θεωρήσουμε τρεις στροφές ως προς τους άξονες Oξ, Oξ, Οξ κατά θετική γωνία θ. A x Κορφιάτης Ευάγγελος

Οι πίνακες στροφής x ξ x ξ x ξ e e x e e x e e x x Ο θ ξ ξ x Ο θ ξ ξ x Ο θ ξ ξ Σύμφωνα με όσα εκτέθησαν παραπάνω ισχύει ότι: Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ e e e e e e Επειδή θέλουμε η αρίθμηση να είναι,, και όχι,,, πρέπει τις εξισώσεις της στροφής ως προς τον δεύτερο άξονα να τις γράψουμε με διαφορετική σειρά. Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ Στροφή γύρω από ξ e e e e e e er ( ) x R ( ) er ( ) x R ( ) e R ( ) x R ( ) Επομένως όταν το νέο σύστημα προκύπτει με στροφή γύρω από τους άξονες,, ο πίνακας αλλαγής των συντεταγμένων είναι ο R(θ). Αν προκύπτει με στροφή γύρω από τον άξονα τότε ο πίνακας αλλαγής των συντεταγμένων είναι ο R(-θ). Κορφιάτης Ευάγγελος

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙΙ Οι γωνίες του Euler Οι γωνίες του Euler Τα 9 στοιχεία ενός ορθογώνιου x πίνακα Λ ικανοποιούν την συνθήκη. Η συνθήκη αυτή επιβάλει 6 περιορισμούς. Συνεπώς παραμένουν ελεύθερες παράμετροι. Αυτές οι τρεις ελεύθερες παράμετροι αποτελούν τους βαθμούς ελευθερίας κατά την στροφική κίνηση ενός στερεού σώματος. Όπως θα αποδείξουμε στην συνέχεια αυτές οι τρεις ελεύθερες παράμετροι σχετίζονται με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τριών γωνιών, οι οποίες καλούνται γωνίες του Euler και ορίζονται ως εξής: Θεωρούμε δύο δεξιόστροφα ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων Οξ ξ ξ και Ox x x. x ξ x O ξ ξ x Το επίπεδο Ox x τέμνει το επίπεδο Oξ ξ κατά την ΟΝ. Έστω,,, x,, x Οι γωνίες φ, θ, ψ ονομάζονται γωνίες του Euler. Θα αποδείξουμε ότι τα δύο συστήματα μπορούν να συμπέσουν με στροφές κατά γωνίες φ, θ ψ. x ξ θ x ξ φ Ν O ψ x ξ Έστω Ox xx το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Οx x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά ψ. Ο άξονας Ox συμπίπτει με τον Ox. Ο άξονας Ox θα κινηθεί στο επίπεδο που είναι κάθετο στην Οx. Κορφιάτης Ευάγγελος

Το επίπεδο αυτό είναι το επίπεδο που ορίζουν οι Ox, Ox, στο οποίο ανήκει η ON. Επομένως η Ox θα ταυτιστεί με την ΟΝ. Οι γωνίες του Euler x =x ξ θ x φ O ξ ξ Ν x =ON Έστω Ox x x το σύστημα συντεταγμένων που προκύπτει από το Ox xx με στροφή του Ox xx γύρω από τον άξονα Ox κατά θ. Συνεπώς, ο άξονας Ox συμπίπτει με το Ox. Η Ox θα κινηθεί στο επίπεδο που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετο στην Ox. Ισχύει ότι : Η Οx είναι κάθετη στο επίπεδο των Ox,Ox. Επομένως είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου. Άρα Ox ON. Η Οξ είναι κάθετη στο επίπεδο των Oξ, Oξ. Επομένως είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου. Άρα Oξ ON. Άρα το επίπεδο που είναι κάθετο στην ΟΝ είναι το επίπεδο των Οx, Oξ. Η Ox θα κινηθεί στο επίπεδο των Οx, Oξ. στρεφόμενη κατά γωνία θ. Άρα η x θα ταυτιστεί με την Οξ. x =ξ ξ φ O φ x ξ ξ Ν x =ON Τέλος στρέφουμε το Ox x x γύρω από τον Ox κατά γωνία φ. Προφανώς ο άξονας Ox μένει αμετάβλητος. Το επίπεδο των Οξ, Οξ είναι κάθετο στην Οξ. Το επίπεδο των Ox,Ox είναι κάθετο στην Ox O. Άρα οι Οξ, Οξ, Ox,Ox βρίσκονται στο επίπεδο το κάθετο στην Ox O. Κορφιάτης Ευάγγελος 4

Η Ox θα κινηθεί στο επίπεδο των ΟΝ, Oξ. στρεφόμενη κατά γωνία φ. Οι γωνίες του Euler Συνεπώς η Ox θα ταυτιστεί με την Οξ. Άρα και η Ox θα ταυτιστεί με την Οξ. Συνοψίζοντας Ξεκινάμε από το Οx x x. Το σύστημα συντεταγμένων Ox xx το προκύπτει από το Οx x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά ψ. Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x που προκύπτει από το Ox xx με στροφή του Ox xx γύρω από τον άξονα Ox κατά θ. Το σύστημα συντεταγμένων Οξ ξ ξ προκύπτει από το Ox x x με στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά φ. Η αντίστροφη πορεία. Ξεκινάμε από το Οξ ξ ξ. Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x προκύπτει από το Οξ ξ ξ με στροφή του Οξ ξ ξ γύρω από τον άξονα Οξ κατά φ. Άρα x R ( ) e R ( ) Το σύστημα συντεταγμένων Ox xx προκύπτει από το Ox xμε x στροφή του Ox x x γύρω από τον άξονα Ox κατά θ. Άρα x R ( )x e er ( ) Το σύστημα συντεταγμένων Ox x x προκύπτει από το Ox xx με στροφή του Ox xx γύρω από τον άξονα Ox κατά ψ. Άρα x R ( )x eer ( ) Από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι: x R ( )R ( )R ( ) (α) R ( )R ( )R ( )x R ( )R ( )R ( ) (β) T T T Η (4α) γίνεται: x=rξ, όπου R (γ) Κορφιάτης Ευάγγελος 5

Η γωνιακή ταχύτητα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙV H γωνιακή ταχύτητα Θεωρούμε ένα στερεό το οποίο στρέφεται έτσι ώστε το σημείο Ο του στερεού να είναι ακίνητο. Θεωρούμε ένα αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων Οξ ξ ξ με μοναδιαία διανύσματα,, ακίνητο στο χώρο και ένα σύστημα συντεταγμένων Οx x x με μοναδιαία διανύσματα e,e,e σταθερό επί του στερεού. Το στοιχείο της i γραμμής και j στήλης του πίνακα R στη σχέση (γ) του παραρτήματος ΙΙΙ είναι το εσωτερικό γινόμενο eij. Καθώς το στερεό στρέφεται οι γωνίες του Euler αλλάζουν συνεχώς. Θα υπολογίσουμε την γωνιακή ταχύτητα του στερεού συναρτήσει των γωνιών του Euler και των παραγώγων τους. Θα εκφράσουμε τις συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας τόσο στο αδρανειακό σύστημα όσο και στο σύστημα που είναι σταθερό επί του στερεού. Θέτουμε ˆn το μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση της ΟΝ. Έστω φ, θ, ψ οι γωνίες του Euler την στιγμή t. Στο χρονικό διάστημα (t,t+) οι γωνίες του Euler μεταβάλλονται κατά dφ, dθ, dψ αντιστοίχως. Η απειροστή κίνηση ενός σημείου του στερεού με διάνυσμα θέσης r ως προς το Ο, μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των εξής απειροστών κινήσεων : Στροφή κατά γωνία dφ γύρω από τον άξονα Οξ. Η απειροστή μετατόπιση του στερεού είναι d r Στροφή κατά γωνία dθ γύρω από τον άξονα Ox ON. Η απειροστή μετατόπιση του στερεού είναι d nˆ r Στροφή κατά γωνία dψ γύρω από τον άξονα x Ox Η απειροστή μετατόπιση του στερεού είναι d e r Άρα η συνολική μετατόπιση του στερεού είναι (d ˆ d n d e ) r. Συνεπώς, η γωνιακή ταχύτητα του στερεού είναι: ˆn e e e () Κορφιάτης Ευάγγελος 6

Η γωνιακή ταχύτητα e e R ( ) R ( )R ( ) e e e R ( )R ( ) Ισχύει ότι Μετά από πράξεις βρίσκουμε ότι: e e Αντικαθιστώντας στην () έχουμε ότι: ( ) ( ) ( ) () Άρα ο πίνακας συντεταγμένων της γωνιακής ταχύτητας ως προς το σύστημα Οξ ξ ξ είναι: Για τον πίνακα συντεταγμένων της γωνιακής ταχύτητας ως προς το σύστημα Οx x x ισχύει ότι: x R ( )x R ( )R ( )x R ( )R ( )R ( ) x Άρα ( )e ( )e ( )e () Κορφιάτης Ευάγγελος 7

Δυναμική στερεού σώματος ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ V Δυναμική στερεού σώματος Για απλοποίηση των υπολογισμών θεωρούμε ένα στερεό σώμα ως άθροισμα Ν υλικών σημείων. Η ορμή και ο νόμος μεταβολής της ορμής Η ορμή ενός υλικού σημείου που βρίσκεται στο σημείο Μ i είναι: p m i i i Η ορμή του στερεού σώματος είναι N N p pi mi i m cm i i p m cm Για κάθε υλικό σημείο του στερεού ισχύει ο νόμος μεταβολής της ορμής: dp i Fi( ) Fi( ) Συνεπώς για το στερεό σώμα ισχύει ότι: N N N dp dpi Fi( ) Fi( ) i i i Υποθέτοντας ότι οι εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης υπακούουν στο αξίωμα δράσης αντίδρασης () έχουμε ότι dp N i N F i( ) i F. Επομένως i( ) () Η στροφορμή και ο νόμος μεταβολής της στροφορμής ενός στερεού σώματος Η στροφορμή στερεού σώματος Την στροφορμή του στερεού σώματος μπορούμε να την υπολογίσουμε είτε ως προς ένα ακίνητο σημείο του χώρου είτε ως προς ένα σταθερό επί του στερεού σημείο. Οι εξισώσεις που προκύπτουν έχουν απλούστερη μορφή στην δεύτερη περίπτωση. Θεωρούμε ένα σημείο Κ σταθερό επί του στερεού. Η στροφορμή ως προς Κ ενός υλικού σημείου, που βρίσκεται στο Μ i είναι Μ i r Li(K) ripi mr i iimr i[ K( r)] i mr i ikmr i i( r) i i K Η στροφορμή του στερεού είναι το άθροισμα των στροφορμών των στοιχειωδών μαζών του. R i R Συνεπώς. O Κορφιάτης Ευάγγελος 8

N N N (K) i(k) i i K i i i i i i L L ( m r) m r ( r) Δυναμική στερεού σώματος (α) Ισχύει ότι N mr i i mr cm, όπου r cm i το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας ως προς Κ. Επομένως, N (K) cm K i i i i L mr m r ( r) (β) Ας παραλείψουμε προς το παρόν τον δείκτη i και ας υπολογίσουμε την ποσότητα S r ( r). Κάνοντας χρήση της ταυτότητας : a (b c) (a c)b (a b) c έχουμε ότι: S r ( r) (rr) ( r)r (4) Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε το δεύτερο όρο στην (β) είναι απαραίτητο να μετασχηματίσουμε την (4) σε ποιο βολική μορφή. Θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Κ, σταθερό επί του στερεού. Αν (x,y,z) οι συντεταγμένες του σημείου Μ και (ω x, ω y ω z ) οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας τότε: r r x y z και r xx y y z z Για την x συνιστώσα του διανύσματος S ισχύει ότι: S (r r) ( r)x (x y z ) (x y z )x x x x x y z S (y z ) xy xz (5α) x x y z Ομοίως S (z x ) yz yx (5β) y y z x S (x y ) zx zy (5γ) z z x y Οι τελευταίες σχέσεις μπορούν να εκφραστούν με την βοήθεια πινάκων: Sx y z xy xz x S y xy x z yz y S z xz yz x y z Αντικαθιστώντας στην σχέση (β) έχουμε ότι: L mr I (K) cm K (K) (6) (7) Όπου N N N m(y i i z i ) mxy i i i mxz i i i i i i N N N I( ) mixiyi m i(xi z i ) miyz i i i i i N N N mxz i i i myz i i i m(x i i y i ) i i i (8) Κορφιάτης Ευάγγελος 9

Ο πίνακας Ι (Κ) ονομάζεται τανυστής ροπής αδράνειας ως προς το σημείο Κ στο σύστημα συντεταγμένων Kxyz. Παρατηρήσεις Δυναμική στερεού σώματος Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα είναι οι ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες x,y,z. Τα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα ονομάζονται γινόμενα αδράνειας Ο πίνακας Ι είναι συμμετρικός Τα στοιχεία του πίνακα στήλη Ιω είναι οι συνιστώσες της στροφορμής λόγω περιστροφής στο σύστημα Κxyz που είναι σταθερό επί του στερεού. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής Η στροφορμή ως προς Κ ενός υλικού σημείου, που βρίσκεται στο Μ i είναι L r p i(k) i i Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (ως προς Κ) του σημείου που βρίσκεται στο Μ i dl i(k) dr dp i i pi ri (9) dp i Όμως Fi Το διάνυσμα r i είναι ένα σταθερό επί του στερεού διάνυσμα το οποίο μεταβάλλεται με τον χρόνο, επειδή τόσο το σημείο Κ όσο και το σημείο Μ κινούνται. Θεωρούμε ένα σημείο O σταθερό στο χώρο. Ισχύει ότι dr dr dr dr i i K i ri Ri RK i K Μ i r i Η σχέση (9) γίνεται: K dli(k) m( i i K) i ri Fi miii miik ri Fi R i R dli(k) miik rifi () O Επομένως για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του στερεού έχουμε: dl N N (K) dli(k) ( m ii) K rifi i i i dl N N N (K) mcm K ri Fi mcm K ri Fi( ) ri Fi( ) i i i dl(k) mcm K ( )( ) ( )( ) Υποθέτοντας ότι οι εσωτερικές δυνάμεις είναι κεντρικές και υπακούουν στο αξίωμα δράσης αντίδρασης ισχύει ότι ( )( ) Κορφιάτης Ευάγγελος

Επομένως dl(k) mcm K ( )( ) Αν το σημείο Κ είναι το κέντρο μάζας τότε, r K r cm Οι σχέσεις (7) και () γίνονται L I (cm) dl (cm) Όπου (cm) (cm) m m. και cm K cm cm Δυναμική στερεού σώματος () (α) (β) N N N m(y i i z i ) mxy i i i mxz i i i i i i N N N I(cm) mixiyi m i(xi z i ) miyz i i i i i N N N mxz i i i myz i i i m(x i i y i ) i i i Σχόλιο Στην πραγματικότητα τα παραπάνω αθροίσματα πρέπει να αντικατασταθούν με ολοκληρώματα σε όλη την έκταση του στερεού. (cm) (y z )dm xydm xzdm xydm (x z )dm yzdm xzdm yzdm (x y )dm (γ) Κορφιάτης Ευάγγελος

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ VΙ Τανυστής αδράνειας ομογενούς κυκλικού δίσκου Ο τανυστής αδράνειας ομογενούς κυκλικού δίσκου Ο τανυστής της ροπής αδράνειας ως προς σύστημα συντεταγμένων Κxyz σταθερό επί του στερεού δίνεται από την σχέση (γ) του παραρτήματος V. Ονοματίζοντας τους άξονες ως x, x, x η σχέση (γ) του παραρτήματος V γίνεται: (x x )dm xxdm xxdm ( ) xxdm (x x )dm xxdm xxdm xxdm (x x)dm Όπου η ολοκλήρωση εκτείνεται σε ολόκληρο το στερεό. Θεωρώντας τον κυκλικό δίσκο επίπεδο, ισχύει ότι x =, x =r συνγ, x =r ημγ για κάθε σημείο του δίσκου. x () γ x Επομένως (x x )dm r dm ( ) xdm xxdm r dm r dm xxdm xdm r dm r dm Αν σ η επιφανειακή πυκνότητα του δίσκου τότε ένα στοιχειώδες τμήμα του δίσκου έχει μάζα dm rdrd. Ο τανυστής αδράνειας γίνεται: rdrd ( ) r drd r drd r drd r drd Κορφιάτης Ευάγγελος

Τανυστής αδράνειας ομογενούς κυκλικού δίσκου 4 rdrd 4 ( ) r drd 4 4 r drd 4 4 4 m ( ) 4 4 4 4 () Κορφιάτης Ευάγγελος