-στην υπόθεση των ισοπίθανων ενδεχοµένων (equiprobable events) και. -στην πλάνη της σύζευξης (conjunction fallacy).

Πιθανολογικές Καταστάσεις µε χρήση Υλικού και οι Στρατηγικές Αντιµετώπισής τους από Μαθητές 8-11 ετών Χρυσάνθη Σκουµπουρδή, (Λέκτορας, ΤΕΠΑΕΣ Πανεπιστηµίου Αιγαίου) Περίληψη Σκοπός του άρθρου είναι να καταγράψει τις στρατηγικές που αναπτύσσουν µαθητές 8-11 ετών, όταν καλούνται να υπολογίσουν την πιθανότητα εµφάνισης µιας έκβασης σε πιθανολογικές καταστάσεις µε χρήση οικείων αντικειµένων (ζάρια, κέρµατα, βόλοι και τροχοί), χωρίς να έχουν προηγουµένως διδαχτεί πιθανότητες (η πρώτη παρουσίαση του θέµατος έγινε στο συνέδριο Γνωστικής Ψυχολογίας δες Σκουµπουρδή & Καλαβάσης, 2004). Από την ανάλυση των απαντήσεων των παιδιών, µέσω ηµιδοµηµένων συνεντεύξεων (εντός σχολείου, χωρίς την παρουσία του/ης δασκάλου/ας τους), φάνηκε ότι οι τρεις πιο συχνά χρησιµοποιούµενες στρατηγικές είναι της αντιπροσωπευτικότητας της δοσµένης πληροφορίας, της διαθεσιµότητας της πληροφορίας και της υπόθεσης των ισοπίθανων ενδεχοµένων οι οποίες βρίσκονται σε αντιστοιχία µε στρατηγικές που καταγράφονται στη διεθνή βιβλιογραφία και σχετίζονται µε την αντιµετώπιση από τα παιδιά και τους ενήλικες πιθανολογικών καταστάσεων µε ή χωρίς τη χρήση υλικού. Θεωρητικό υπόβαθρο Αρχικά γίνεται αναφορά στα επίπεδα πιθανολογικής σκέψης των παιδιών όπως έχουν καταγραφεί στη διεθνή βιβλιογραφία ενώ στη συνέχεια αναλύονται οι 1

στρατηγικές αντιµετώπισης πιθανολογικών καταστάσεων και η απόκλισή τους από την τυπική πιθανότητα. Επίπεδα πιθανολογικής σκέψης Τις επικρατέστερες θεωρίες για τη µάθηση των πιθανοτήτων έχουν εισάγει οι Piaget & Inhelder (1975), o Fischbein (1975) και ο Jones µε τους συνεργάτες του (1997 &1999). Στην κύρια δουλειά τους για το πώς αντιλαµβάνονται τα παιδιά την έννοια του τυχαίου οι Piaget & Inhelder περιγράφουν τρία στάδια εξέλιξης της σκέψης: στο πρώτο, κατά τη διάρκεια της διαισθητικής περιόδου (πριν από την ηλικία των 6-7), το παιδί δεν είναι ικανό να διαχωρίσει τα βέβαια από τα πιθανά γεγονότα, να κάνει κρίσεις µε πιθανότητες ή να αιτιολογήσει κάτι µε πιθανολογικό τρόπο. Το δεύτερο στάδιο χαρακτηρίζεται από την πρώτη ανάπτυξη της ιδέας της τύχης, όπου το παιδί (7-11 ετών) αναγνωρίζει τη διαφορά µεταξύ βέβαιου και πιθανού γεγονότος, αλλά δεν µπορεί να το προσεγγίσει συστηµατικά όταν του δοθεί µία λίστα από παραδείγµατα. Τέλος, στο τρίτο στάδιο, των τυπικών συλλογισµών, το παιδί (από 11 µε 12 ετών) αναπτύσσει την έννοια της πιθανότητας ως τυπική κατασκευή και αναπαριστά µια σύνθεση µεταξύ του βέβαιου και του πιθανού, αρχίζει να έχει ευκολία µε τη συνδυαστική και να κατανοεί την πιθανότητα ως το όριο της σχετικής συχνότητας (Piaget & Inhelder 1975). Η θεωρία του Fischbein είναι µια εξέλιξη της θεωρίας των Piaget & Inhelder και παρουσιάζει την επιρροή της διδασκαλίας στην ανάπτυξη της πιθανολογικής σκέψης. Κεντρική θέση στη θεωρία του κατέχει το εσωτερικό παιχνίδι µεταξύ των διαισθήσεων, της λογικής σκέψης και της διδασκαλίας για την ανάπτυξη του πιθανολογικού συλλογισµού. H πιθανολογική σκέψη, σύµφωνα µε το Fischbein, παρατηρείται στα παιδιά από την ηλικία των 3 και 4 ετών ενώ εγκαθιδρύεται περισσότερο στην ηλικία 2

των 6. Αναφέρει ότι «όταν, χωρίς ειδικές οδηγίες, οι πιθανότητες στις απαντήσεις των παιδιών πλησιάζουν κατά προσέγγιση τις πιθανότητες των γεγονότων, µπορούµε να υποθέσουµε ότι το υποκείµενο κατέχει µια συγκεκριµένη διαίσθηση για την τύχη και την πιθανότητα» (Greer 2001). Ο Fischbein διαχωρίζει τις πρωτογενείς διαισθήσεις που είναι οι ιδέες και τα πιστεύω πριν τη διδασκαλία και τις δευτερογενείς που είναι αναδοµηµένα γνωστικά πιστεύω τα οποία δεχόµαστε και χρησιµοποιούµε σαν αποτέλεσµα της διδασκαλίας ή της εµπειρίας µέσα σε µια συγκεκριµένη κουλτούρα µιας κοινωνίας. Η διαδικασία αντικατάστασης µιας πρωτογενούς από µια δευτερογενή διαίσθηση δεν είναι µια βαθµιαία διαδικασία, απλά γίνεται σαν όλο µε τη µία (Fischbein 1984, 1997). O Fischbein (1975) υποστηρίζει ότι ακόµα και σε παιδιά προσχολικής ηλικίας αναγνωρίζεται η διαίσθηση που τυχόν έχουν για την πιθανότητα που υπάρχει να συµβεί ένα γεγονός, αλλά λόγω των κοινωνικών επιδράσεων και του Αναλυτικού Προγράµµατος του σχολείου, αυτό που τελικά αναπτύσσεται είναι µόνο η αιτιοκρατική πλευρά. Τέλος και όσον αφορά στις θεωρίες για τη µάθηση των πιθανοτήτων, οι µελέτες του Jones και των συνεργατών του (1997 & 1999), έγιναν σε µικρά παιδιά (Α, Β και Γ τάξη) και ήταν από τις πρώτες που µαθηµατικοί στηρίχθηκαν σε κλινική µεθοδολογία για τη µελέτη των πιθανοτήτων. Στην κύρια δουλειά τους δηµιούργησαν ένα πλαίσιο που περιγράφει την εξέλιξη της πιθανολογικής σκέψης των παιδιών, σε τέσσερα επίπεδα, για τέσσερις έννοιες των πιθανοτήτων. Οι έννοιες που µελετήθηκαν ήταν η πιθανότητα γεγονότος, ο δειγµατικός χώρος, η σύγκριση πιθανοτήτων και η κατά συνθήκη πιθανότητα. Για καθεµία από αυτές τις έννοιες, δηµιουργήθηκαν τέσσερα επίπεδα σκέψης, τα οποία προχωρούν σε µια συνέχεια από τον υποκειµενικό ως τον αριθµητικό συλλογισµό. Σε κάθε επίπεδο και κατά µήκος των τεσσάρων 3

πιθανολογικών εννοιών, αναπτύσσονται και χρησιµοποιούνται περιγραφές µάθησης για τη γενίκευση των εννοιών αυτών (πίνακας 1). Τα τέσσερα επίπεδα όπως έχουν οριστεί για την κάθε πιθανολογική έννοια περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα (τα σχόλια του πίνακα αποδίδονται µε ελεύθερη µετάφραση): -θέση πίνακα 1- Το παραπάνω πλαίσιο εξέλιξης της πιθανολογικής σκέψης των παιδιών, που προτείνεται από τον Jones και τους συνεργάτες του (1999), αποτελεί ένα βασικό εργαλείο πάνω στο οποίο στηρίζονται πολλές από τις έρευνες για τον πιθανολογικό συλλογισµό που γίνονται διεθνώς. Στρατηγικές αντιµετώπισης πιθανολογικών καταστάσεων Συχνά οι αυθόρµητες κρίσεις των ανθρώπων για πιθανολογικές καταστάσεις είναι προκατειληµµένες. Αυτές οι λάθος ή γνωστικά αβάσιµες διαισθήσεις ή λάθος εκτιµήσεις αβέβαιων καταστάσεων είναι το αποτέλεσµα ενός αριθµού στρατηγικών (heuristics) οι οποίες χρησιµοποιούνται, για τον υπολογισµό της πιθανότητας εµφάνισης ενός γεγονότος (Fischbein & Gazit 1984, Hawkins & Kapadia 1984, Cox & Mouw 1992). O Kahneman και οι συνεργάτες του (Kahneman et al. 1982), στην έρευνά τους ως ψυχολόγοι, εστίασαν στο τι είναι ικανά τα παιδιά, κάθε ηλικίας, να κατανοήσουν και αναφέρονται σε συστηµατικές αποκλίσεις, των παιδιών, αλλά και των ενηλίκων, από την τυπική πιθανότητα όταν καλούνται να απαντήσουν σε αβέβαια γεγονότα. Οι τέσσερις πιο συχνά χρησιµοποιούµενες στρατηγικές βασίζονται: -στην αντιπροσωπευτικότητα (representativeness) της δοσµένης πληροφορίας, -στη διαθεσιµότητα (availability) της πληροφορίας, 4

-στην υπόθεση των ισοπίθανων ενδεχοµένων (equiprobable events) και -στην πλάνη της σύζευξης (conjunction fallacy). Σύµφωνα µε τον Kahneman και τους συνεργάτες του (Kahneman et al. 1982), όταν οι ερωτηθέντες έρχονται αντιµέτωποι µε µια πιθανολογική κατάσταση, συχνά εκτιµούν την πιθανότητα εµφάνισης ενός γεγονότος βασιζόµενοι στο πόσο καλά µία έκβαση αντιπροσωπεύει το συνολικό πληθυσµό. Για παράδειγµα στην παρακάτω πιθανολογική κατάσταση: Στο Λόττο πρέπει να διαλέξουµε 6 αριθµούς από ένα πλήθος 40 αριθµών. Ο Vered διάλεξε τους αριθµούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Η Ruth διάλεξε τους αριθµούς 39, 1, 17, 33, 8, 27. Ποιος έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει; Α. Ο Vered έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει Β. Η Ruth έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει (µεγαλύτερα ποσοστά απαντήσεων) Γ. Και οι δύο έχουν την ίδια πιθανότητα να κερδίσουν (σωστή απάντηση) (Fischbein 1997) τα µεγαλύτερα ποσοστά απαντήσεων συγκεντρώνει η Ruth και αυτό γιατί θεωρείται ότι οι αριθµοί που επιλέγει είναι πιο αντιπροσωπευτικοί. Υπάρχουν πολλά διαφορετικά παραδείγµατα εφαρµογής της παραπάνω στρατηγικής, τα οποία είναι γνωστά γιατί χρησιµοποιούνται πολύ συχνά. Συγκεκριµένα είναι: α) η πλάνη του παίκτη (gambler s fallacy) β) ο υπολογισµός της πιθανότητας που βασίζεται σε δοσµένη πληροφορία (base rate fallacy) και γ) ο νόµος των µικρών αριθµών (law of small numbers) ή η επιρροή του εύρους του δείγµατος (effect of sample size). 5

Η πλάνη του παίκτη, είναι ένας τύπος αυτών των στρατηγικών (heuristics), όπου κάποιος πιστεύει, για παράδειγµα, ότι µετά από πέντε γράµµατα που εµφανίζονται συνεχόµενα σε ρίψη νοµίσµατος, είναι πιο πιθανό η έκτη ρίψη να φέρει κεφαλή. Αυτό ονοµάζεται και negative recency effect γιατί πιστεύεται, από τα παρατηρούµενα αποτελέσµατα (πέντε γράµµατα), ότι το επόµενο αποτέλεσµα, που έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να συµβεί, θα είναι διαφορετικό. Σε αυτή την περίπτωση εφαρµόζεται η στρατηγική της αντιπροσωπευτικότητας της δοσµένης πληροφορίας γιατί θεωρείται ότι οι πέντε καταγραµµένες ρίψεις δεν είναι αντιπροσωπευτικές της αναµενόµενης 50:50 κατανοµής. Επίσης µπορεί να µην έχει γίνει πλήρως κατανοητό ότι το αποτέλεσµα της κάθε ρίψης είναι ανεξάρτητο από τα άλλα. Εκτός από το negative recency effect έχουµε και το positive recency effect όπου υπάρχει επιµονή στην εµφάνιση ενός αριθµού, για παράδειγµα, στη ρίψη ενός ζαριού, γιατί υπάρχει η αίσθηση ότι είναι πιο πιθανός και γιατί πρόσφατα έχει εµφανιστεί πολλές φορές. Και σε αυτή την περίπτωση αγνοείται η ανεξαρτησία της κάθε ρίψης του ζαριού. Για παράδειγµα: Όταν ρίχνουµε ένα νόµισµα, υπάρχουν δύο δυνατά αποτελέσµατα: είτε κεφαλή είτε γράµµατα. Ο Ronni τις τρεις φορές που έριξε το νόµισµα, πήρε και τις τρεις κεφαλή. Ο Ronni θα ξαναρίξει το νόµισµα. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει κεφαλή την τέταρτη φορά; Μικρότερη από την πιθανότητα να πάρει γράµµατα ( negative recency effect ) Ίση µε την πιθανότητα να πάρει γράµµατα (σωστή απάντηση) 6

Μεγαλύτερη από την πιθανότητα να πάρει γράµµατα ( positive recency effect ) (Fischbein 1997) Για τον υπολογισµό της πιθανότητας που βασίζεται στη δοσµένη πληροφορία (base rate fallacy), ο Kahneman και οι συνεργάτες του (Kahneman et al. 1982), περιγράφουν µια κατάσταση όπου δίνουν την παρακάτω περιγραφή: η Λίντα είναι 31 ετών, ειλικρινής και σπούδασε φιλοσοφία. Ως φοιτήτρια ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για θέµατα κοινωνικού ρατσισµού και κοινωνικής δικαιοσύνης. Η ερώτησή τους είναι: «ποια από τις παρακάτω προτάσεις θεωρείτε πιο πιθανή: i) η Λίντα είναι τραπεζική υπάλληλος, ii) η Λίντα είναι τραπεζική υπάλληλος και ενεργό µέλος σε µια φεµινιστική οργάνωση. Οι περισσότεροι από τους ερωτηθέντες απάντησαν, επηρεασµένοι από τη δοσµένη πληροφορία, ότι πιο πιθανή θεωρούν την πρόταση ii. Ο νόµος των µικρών αριθµών (law of small numbers) ή η επιρροή του εύρους του δείγµατος (effect of sample size). Πολλοί πιστεύουν ότι κάθε δείγµα ενός πληθυσµού πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό την πραγµατικής αναλογίας του πληθυσµού και αυτό, όπως και η πλάνη του παίκτη, επηρεάζει το συλλογισµό τους. Γενικά πιστεύεται, ότι µικρά δείγµατα, ίσως και µία µόνο έκβαση µπορεί να αντικατοπτρίζει την κατανοµή του πληθυσµού ή να καθρεφτίζει τη διαδικασία µε την οποία τα τυχαία γεγονότα γενικεύονται. Για παράδειγµα πιστεύουµε ότι σε µια οικογένεια µε έξι παιδιά η σειρά ΑΚΚΑΚΑ είναι πιο πιθανή από τη σειρά ΑΑΑΑΚΑ ή τη σειρά ΑΑΑΚΚΚ. Στην πρώτη περίπτωση η σειρά ΑΚΚΑΚΑ ίσως είναι πιο αντιπροσωπευτική και πιο κοντά στην κατανοµή 50-50 από ότι είναι οι άλλες σειρές. Άλλα παραδείγµατα είναι τα παρακάτω: Οι µαθητές συχνά πιστεύουν ότι όταν ρίχνουµε νοµίσµατα 7

ταυτόχρονα, είναι το ίδιο πιθανό να πάρουµε δύο κέρµατα µε κεφαλές και ένα µε γράµµατα µε το να πάρουµε 200 κεφαλές και 100 γράµµατα. Η Σε µια πόλη υπάρχουν δύο νοσοκοµεία, ένα µικρό στο οποίο γεννιούνται κατά µέσο όρο 15 παιδιά την ηµέρα και ένα µεγαλύτερο στο οποίο γεννιούνται κατά µέσο όρο 45 παιδιά την ηµέρα. Η πιθανότητα να γεννηθεί αγόρι είναι 50% (όµως υπάρχουν µέρες κατά τις οποίες πάνω από το 50% των παιδιών που γεννιούνται είναι αγόρια και µέρες που τα αγόρια που γεννιούνται είναι λιγότερα από το 50%). Στο µικρό νοσοκοµείο καταγράφηκαν εκείνες οι ηµέρες του χρόνου κατά τις οποίες γεννήθηκαν πάνω από 9 αγόρια το οποίο αντιπροσωπεύει περισσότερο από το 60% των συνολικών γεννήσεων. Στο µεγάλο νοσοκοµείο καταγράφηκαν εκείνες οι ηµέρες του χρόνου κατά τις οποίες γεννήθηκαν πάνω από 27 αγόρια το οποίο αντιπροσωπεύει περισσότερο από το 60% των συνολικών γεννήσεων. Σε ποιο από τα δύο νοσοκοµεία ήταν περισσότερες αυτές οι ηµέρες της καταγραφής; Στο µεγάλο νοσοκοµείο καταγράφηκαν οι περισσότερες ηµέρες όπου οι γεννήσεις των αγοριών ξεπέρασαν το 60% Στο µικρό νοσοκοµείο καταγράφηκαν οι περισσότερες ηµέρες όπου οι γεννήσεις των αγοριών ξεπέρασαν το 60% (σωστή απάντηση) 8

Ο αριθµός των ηµερών όπου καταγράφηκαν πάνω από 60% γεννήσεις αγοριών ήταν ο ίδιος και στα δύο νοσοκοµεία (effect of sample size) (Fischbein 1997) Η Η πιθανότητα να πάρουµε κεφαλές τουλάχιστον δύο φορές ρίχνοντας τρία ζάρια είναι: Μικρότερη από (λάθος απάντηση) Ίση µε (effect of sample size) Μεγαλύτερη από (σωστή απάντηση) Την πιθανότητα να πάρουµε κεφαλές τουλάχιστον 200 φορές στις 300 φορές (effect of sample size) (Fischbein 1997) Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι η αντιπροσωπευτικότητα µπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικές προσεγγίσεις, του πιθανολογικού συλλογισµού. Όσον αφορά στη στρατηγική της διαθεσιµότητας της πληροφορίας (availability) (Shaughnessy 1992), η πιθανότητα εµφάνισης ορισµένων ενδεχοµένων εκτιµάτε βάσει της ευκολίας µε την οποία µπορούµε να ανακαλέσουµε στο µυαλό µας συγκεκριµένα περιστατικά ενός γεγονότος. Για παράδειγµα: Αν έχουµε πρόσφατα βρεθεί σε ατύχηµα σε ένα συγκεκριµένο σταυροδρόµι, είναι πιο πιθανό να σκεφτούµε ότι συµβαίνουν συχνά ατυχήµατα σ αυτό το σηµείο, από κάποιον που έχει να δει ατύχηµα εδώ και 10 χρόνια. 9

Η διαθεσιµότητα της προσωπικής µας εµπειρίας, επηρεάζει τόσο πολύ τη γνώµη µας, που µπορεί το ατύχηµα στο σταυροδρόµι να ήταν κάτι που συµβαίνει σπάνια και όχι κάτι που συµβαίνει µε µεγάλη συχνότητα όπως νοµίζαµε. Όταν θέλουµε να φτιάξουµε µια επιτροπή µε 2 µέλη από 10 υποψήφιους οι δυνατότητες είναι: Μικρότερες από (λάθος απάντηση) Ίσες µε (σωστή απάντηση) Μεγαλύτερες από (availability) τις δυνατότητες που έχουµε να φτιάξουµε µια επιτροπή 8 µελών από 10 υποψήφιους. Όσον αφορά στην υπόθεση των ισοπίθανων ενδεχοµένων (equiprobable events ή compound and simple events), είναι πολύ διαδεδοµένη ίσως λόγω του γεγονότος ότι η πλειοψηφία των πιθανολογικών καταστάσεων που συζητούνται στην τάξη βασίζονται στην υπόθεση του ισοπίθανου. Οι δάσκαλοι συνήθως χρησιµοποιούν υλικά όπως: το κανονικό ζάρι, οι δίχρωµες µάρκες, τα δίκαια νοµίσµατα, τον ίδιο αριθµό από µπίλιες µε διαφορετικά χρώµατα, για να εισάγουν τους µαθητές στις πιθανότητες. Υπάρχουν πολλές έρευνες που αναφέρουν ότι οι µαθητές χρησιµοποιούν την υπόθεση της ισοπίθανης εµφάνισης µιας έκβασης, για να λύσουν πιθανολογικά θέµατα και ενώ άλλες φορές αυτή η υπόθεση ισχύει και βρίσκουν οι µαθητές το σωστό αποτέλεσµα, άλλες φορές ο µαθητής γενικεύει την υπόθεση σε καταστάσεις που δεν είναι ισοπίθανες να συµβούν. Για παράδειγµα, οι µαθητές πιστεύουν ότι το ζευγάρι πέντε και έξι (χωρίς να δώσουµε σηµασία στη διάταξη) και το ζευγάρι έξι έξι που µπορούµε να πετύχουµε µε δύο ζάρια είναι ισοπίθανα αφού κάθε ζευγάρι µπορεί να έρθει στην τύχη. 10

Υποθέτουµε ότι κάποιος ρίχνει δύο ζάρια ταυτόχρονα. Ποιο από τα παρακάτω έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να συµβεί; Να πάρουµε το ζευγάρι 5-6 (σωστή απάντηση) Να πάρουµε το ζευγάρι 6-6. Και τα δύο έχουν την ίδια πιθανότητα (equiprobable events ή compound and simple events) (Fischbein 1997) Τέλος, η πλάνη της σύζευξης (conjunction fallacy) είναι ακόµα µια κοινή αντίληψη των πιθανοτήτων που βασίζεται στη διαίσθηση και υποστηρίζει ότι η πιθανότητα να συµβούν τα γεγονότα Α και Β ταυτόχρονα (µαθηµατικά θεωρείται ως η τοµή των δύο γεγονότων) είναι µεγαλύτερη από την πιθανότητα που υπάρχει να εµφανιστεί µόνο το Α. Ενώ στην πραγµατικότητα συµβαίνει το αντίθετο. Για παράδειγµα: στη σύγκριση του πιο είναι πιο πιθανό: i) κάποιος 55 ετών είχε καρδιακό επεισόδιο ii) κάποιος (ανεξάρτητα από την ηλικία του) είχε καρδιακό επεισόδιο, τα υποκείµενα διαλέγουν την i περίπτωση, γιατί η ηλικία είναι τυπικά το χαρακτηριστικό που πολλοί άνθρωποι συνδέουν µε τα καρδιακά επεισόδια (conjunction fallacy). Ή Ο Dan ονειρεύεται να γίνει γιατρός. Του αρέσει να βοηθάει ανθρώπους. Όταν ήταν στο γυµνάσιο προσέφερε εθελοντική εργασία στον Ερυθρό Σταυρό. Τελείωσε µε επιτυχία το 11

σχολείο και υπηρέτησε στο στρατό ως βοηθός γιατρού. Αφού απολύθηκε από το στρατό, ο Dan γράφτηκε στο πανεπιστήµιο. Τι σου φαίνεται πιθανότερο: Ο Dan είναι φοιτητής ιατρικής (conjunction fallacy). Ο Dan είναι φοιτητής. Σκοπός της έρευνας και µεθοδολογία Σκοπός της έρευνας ήταν να εξετάσει τις στρατηγικές που χρησιµοποιούν µαθητές 8-11 ετών, όταν καλούνται να υπολογίσουν την πιθανότητα εµφάνισης µιας έκβασης µε χρήση οικείων αντικειµένων (ζάρια, κέρµατα, βόλοι και τροχοί). Στην έρευνα πήραν µέρος 24 µαθητές/ριες του δηµοτικού σχολείου, που δεν είχαν διδαχτεί πιθανότητες: 6 µαθητές/ριες ήταν από την Γ τάξη, 6 από τη τάξη, 6 από την Ε τάξη και 6 από τη Στ τάξη. Από τους 6 µαθητές/ριες της κάθε τάξης 2 ήταν άριστοι/ες, 2 ήταν µέτριοι/ες και 2 αδύναµοι/ες. Η συλλογή των δεδοµένων έγινε µε ηµιδοµηµένες συνεντεύξεις, στο χώρο του σχολείου µε την παρουσία του ερευνητή, οι οποίες περιλάµβαναν πιθανολογικές δραστηριότητες µε χρήση ζαριού/ιών, κέρµατος/των, βόλων και τροχού. Η επιλογή των συγκεκριµένων δραστηριοτήτων έγινε αφενός γιατί εµπλέκουν υλικά τα οποία είναι οικεία στα παιδιά και αφετέρου γιατί συνδέονται µε την έννοια της τύχης και της πιθανότητας σε πολλά ερευνητικά τεστ που έχουν γίνει διεθνώς (Skoumpourdi & Kalavassis, 2004). Για κάθε πιθανολογική δραστηριότητα ο/η µαθητής/ρια καλείται να κάνει µια κρίση επιλέγοντας την καταλληλότερη από τις πιθανολογικές εκφράσεις: αδύνατο, µικρή πιθανότητα, ίση πιθανότητα, µεγάλη πιθανότητα, βέβαιο (Σκουµπουρδή & Καλαβάσης 2003). 12

Οι πιθανολογικές δραστηριότητες που τέθηκαν, µε µία σωστή απάντηση, ενδεικτικά, όπως δόθηκε από κάποιο µαθητή, παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα (πίνακας 2): -θέση πίνακα 2- Αποτελέσµατα της έρευνας Από την καταγραφή και την ανάλυση των λανθασµένων κρίσεων και των αιτιολογήσεων τους από τους µαθητές/ριες, φάνηκε ότι τρεις είναι οι πιο συχνά χρησιµοποιούµενες στρατηγικές για την αντιµετώπιση πιθανολογικών καταστάσεων µε χρήση υλικού. Οι στρατηγικές αυτές στηρίζονται στην αντιπροσωπευτικότητα της δοσµένης πληροφορίας, στη διαθεσιµότητα της πληροφορίας και στη στρατηγική των ισοπίθανων ενδεχοµένων. Πιο συγκεκριµένα οι απαντήσεις που φαίνεται να στηρίζονται στη στρατηγική της αντιπροσωπευτικότητας, χρησιµοποιούνται κυρίως από αδύναµους/ες µαθητές/ριες της Γ και τάξης. Έχοντας στο µυαλό τους, τα παιδιά, το µέγεθος του δείγµατος απαντάνε ανάλογα, παραθέτοντας για κάθε περίπτωση και τα άλλα αποτελέσµατα που θα µπορούσαν να έχουν έρθει. Εκτιµούν δηλαδή την πιθανότητα εµφάνισης ενός γεγονότος βασιζόµενοι στο κατά πόσο αυτή η έκβαση αντιπροσωπεύει το δειγµατικό χώρο. Πολλές φορές όµως αυτή η παράθεση των αποτελεσµάτων είναι ελλιπείς, όπως για παράδειγµα στις πιθανές εκβάσεις κατά τη ρίψη των δύο κερµάτων όπου ακόµα και άριστοι µαθητές δεν αναφέρουν την τέταρτη έκβαση (γράµµατα κεφαλή ή το αντίστροφο). Ενδεικτικές απαντήσεις/αιτιολογήσεις των παιδιών, που στηρίζονται στη στρατηγική της αντιπροσωπευτικότητας, για κάθε δραστηριότητα, καταγράφονται 13

παρακάτω (µέσα στις παρενθέσεις τα γράµµατα αντιπροσωπεύουν τους µαθητές της αντίστοιχης τάξης, ενώ οι αριθµοί 1, 2 και 3 αντιπροσωπεύουν τους άριστους/ες, τους µέτριους/ες και τους αδύναµους/ες µαθητές/τιες αντίστοιχα): * Έριξα ένα ζάρι και ήρθε ζυγός αριθµός: - «µικρή πιθανότητα, δεν µπορεί να βγαίνει πάντα το ίδιο» (Γ3) - «µικρή πιθανότητα, γιατί µπορούσε να έρθει και 5» ( 3). * Έριξα δύο ζάρια και το άθροισµα των αριθµών ήταν 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 ή 10 ή 11 ή 12: - «µεγάλη πιθανότητα, γιατί µπορώ να ρίξω και να βγει 1 και το άλλο ζάρι 1 και να πάρω 2 και µπορεί να γίνει και στα άλλα και να βγει 3,4,5 και 12 και 11» (Γ3). * Έριξα ένα κέρµα και ήρθε κεφαλή: - «µικρή πιθανότητα γιατί δεν είναι σίγουρο ότι θα έρθει κεφαλή, µπορεί να έρθουν τόσες άλλες να τύχει ας πούµε γράµµατα» (Στ3) - «µικρή πιθανότητα γιατί µπορεί να έρθει και γράµµατα» ( 3) - «µικρή πιθανότητα, δεν µπορεί να βγαίνει πάντα το ίδιο» (Γ3). * Έριξα δύο κέρµατα και ήρθαν δύο κεφαλές: - «µικρή πιθανότητα, γιατί θα µπορούσε να έρθει δύο κεφαλές, κεφαλή και γράµµατα ή δύο γράµµατα, δηλαδή µπορούν να έρθουν τρία πράγµατα» (Γ1, Γ2, 1, Ε1, Ε2, Ε3, Στ1, Στ2). * Από µια σακούλα µε 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα: - «µικρή πιθανότητα, γιατί µπορούσα να πιάσω και µαύρη µπάλα αφού είναι 3 και 3 χωρισµένες» ( 3) - «είναι µεγάλη πιθανότητα, γιατί είναι πολλά τα µπαλάκια» (Γ3). 14

* Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα: - «µικρή πιθανότητα, γιατί οι άσπρες ήταν 5 και η µαύρη ήταν 1, αν έπιανα µαύρη θα έλεγα µεγάλη πιθανότητα» ( 3) - «µικρή πιθανότητα επειδή µπορεί να µην έπιανα άσπρη µπάλα, αλλά να έπιανα µαύρη» (Γ2). * Γυρνάω το δείκτη σε τροχό που είναι χωρισµένος σε τρία ίσα µέρη: δύο άσπρα και ένα µαύρο και πετυχαίνω το άσπρο: - «µικρή πιθανότητα, µερικές φορές γίνεται γιατί δεν µπορεί να γίνεται πάντα το ίδιο» (Γ3). Όσον αφορά στη στρατηγική της διαθέσιµης πληροφορίας φαίνεται να τη χρησιµοποιούν παιδιά κυρίως από τις τάξεις Γ και Ε είτε έχουν άριστη, είτε µέτρια, είτε όχι καλή επίδοση στα µαθηµατικά. Στη συγκεκριµένη στρατηγική η πιθανότητα εµφάνισης ορισµένων ενδεχοµένων εκτιµάτε βάσει της ευκολίας µε την οποία τα παιδιά ανακαλούν στο µυαλό τους συγκεκριµένα περιστατικά ενός γεγονότος, που τους έχει τύχει. Η διαθεσιµότητα της προσωπικής τους εµπειρίας, επηρεάζει τόσο πολύ τη γνώµη τους, κάποιες φορές, που ενώ είναι αδύνατο να συµβεί κάτι (π.χ. να πάρω κίτρινη µπάλα από µια σακούλα που έχει 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες) το παιδί το θεωρεί ως βέβαιο και το τεκµηριώνει σύµφωνα µε τις διαθέσεις του (π.χ. «άµα µου αρέσει» ή «µπορεί να µου τύχει» ή «δε µου τυχαίνει» κ.λ.π.). Οι απαντήσεις/αιτιολογήσεις που δόθηκαν από τους µαθητές/ριες για κάθε δραστηριότητα και στηρίζονται στη στρατηγική της διαθέσιµης πληροφορίας, είναι οι παρακάτω: * Έριξα ένα ζάρι και ήρθε ζυγός αριθµός: 15

- «είναι µικρή πιθανότητα γιατί συνεχώς δε µου τυχαίνουν ζυγοί αριθµοί, µόνο µονοί» (Ε3) - «µεγάλη πιθανότητα, όταν ρίχνεις ένα ζάρι, µπορεί να σου τύχει µερικές φορές καµιά φορά µπορεί να σου τύχει µονός, καµιά φορά µπορεί να σου τύχει ζυγός» (Γ1, Γ2) * Έριξα δύο ζάρια και το άθροισµα των αριθµών ήταν 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 ή 10 ή 11 ή 12: - «µικρή πιθανότητα γιατί σπάνια µου έρχονται αυτοί οι αριθµοί µέχρι το 12» (Γ1) - «µεγάλη πιθανότητα γιατί άµα µου τύχει ο αριθµός 6 και στο άλλο ο αριθµός 6 µπορεί να βγει 12» (Ε3). * Έριξα ένα κέρµα και ήρθε κεφαλή: - «µεγάλη πιθανότητα, ναι, έτυχε και έριξα ένα κέρµα και µου ήρθε κεφαλή» (Ε3) - «µεγάλη πιθανότητα γιατί όταν το ρίχνουµε πολλές φορές βγαίνει κεφαλή» (Γ1) * Έριξα δύο κέρµατα και ήρθαν δύο κεφαλές: - «ίση πιθανότητα, γιατί είναι κεφαλές και γράµµατα, αλλά µπορεί να τύχει και ένα κεφάλι και γράµµατα πράγµα που δε µου τυχαίνει» (Στ2) - «µεγάλη πιθανότητα, γιατί µπορεί να ρίξω δύο κέρµατα και µπορεί να έρθουν δύο κεφαλές συνήθως, αλλά µπορεί να µου τύχει και µια κεφαλή και γράµµατα» (Ε3) * Από µια σακούλα µε 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα: - «µικρή πιθανότητα, επειδή το έπιασα τυχαία» (Γ2) * Από µια σακούλα µε 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια κίτρινη µπάλα: - «βέβαιο, άµα µου αρέσει η κίτρινη µπάλα» (Ε3) 16

* Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα: - «µικρή πιθανότητα, γιατί επειδή ήταν µία η µαύρη θα την έπαιρνα γιατί µετά άµα πάρω µια άσπρη και τη θέλω θα την έχει πάρει κάποιος άλλος» (Γ1) * Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια µαύρη µπάλα: - «βέβαιο, γιατί µπορείς να πιάσεις µία άσπρη και µπορεί να πιάσεις και µία µαύρη» (Ε2, Ε3) Τέλος, και όσον αφορά στη στρατηγική που στηρίζεται στην υπόθεση της εµφάνισης ισοπίθανων ενδεχοµένων, φαίνεται να χρησιµοποιείται από τα παιδιά όλων των τάξεων (Γ,, Ε και Στ ) ανεξάρτητα από την επίδοσή τους στα µαθηµατικά. Οι µαθητές/ριες χρησιµοποιούν αυτή τη στρατηγική, για να λύσουν πιθανολογικά θέµατα και ενώ άλλες φορές αυτή η υπόθεση ισχύει και βρίσκουν οι µαθητές/ριες το σωστό αποτέλεσµα, άλλες φορές, τις περισσότερες, ο/η µαθητής/ρια γενικεύει την υπόθεση σε καταστάσεις που δεν είναι ισοπίθανες να συµβούν. Είναι συνήθως η εύκολη απάντηση που δίνουν άµεσα όταν καλούνται να αντιµετωπίσουν πιθανολογικές καταστάσεις. Απαντήσεις που στηρίζονται στην παραπάνω στρατηγική, ανάλογα µε τη δραστηριότητα, περιγράφονται παρακάτω: * Έριξα δύο ζάρια και το άθροισµα των αριθµών ήταν 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 ή 10 ή 11 ή 12: - «ίση πιθανότητα, γιατί είναι το άθροισµα των αριθµών τους, γιατί όταν προσθέσω τους αριθµούς των ζαριών που έβγαλαν, θα είναι µέχρι 12» (Στ3) - «ίση πιθανότητα, γιατί µπορεί να σου έρθει ένας από αυτούς» (Ε2) 17

- «ίση πιθανότητα µπορεί να έρθει µπορεί και να µην έρθει» (Γ2) * Έριξα δύο κέρµατα και ήρθαν δύο κεφαλές: - «ίση πιθανότητα, να ρίξω δύο κέρµατα και να βγουν δύο κεφαλές» ( 3, Ε1, Στ2) - «ίση πιθανότητα, γιατί µπορεί να τύχουν και τα δύο κεφαλές» (Στ3) - «είναι ίση πιθανότητα γιατί µπορεί να έρθει και δύο κεφαλές και δύο γράµµατα» ( 1, Ε2, Ε3) - «ίση πιθανότητα, γιατί µπορεί να συµβεί και τυχαία» (Γ2) * Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα: - «ίση πιθανότητα γιατί έπιασε µία» ( 2) * Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια µαύρη µπάλα: - «υπάρχει ίση πιθανότητα να πιάσω µια µαύρη µπάλα, γιατί υπάρχει ίση πιθανότητα να πιάσω και µία άσπρη µπάλα» (Στ2) - «ίση πιθανότητα, γιατί εκτός από τη µαύρη µπορούµε να πιάσουµε και µία άσπρη» (Γ2, Ε1) * Γυρνάω το δείκτη σε τροχό που είναι χωρισµένος σε τρία ίσα µέρη: δύο άσπρα και ένα µαύρο και πετυχαίνω το άσπρο: - «ίση πιθανότητα, γιατί όση τύχη είχα να πετύχω το άσπρο τόση τύχη είχα να πετύχω και το µαύρο» ( 2, Ε1, Στ2, Στ3). Συµπεράσµατα Τα αποτελέσµατα της έρευνας µάς δείχνουν ότι αρκετές φορές, οι απαντήσεις των µαθητών/ριών, 8 11 ετών, αποκλίνουν από την τυπική πιθανότητα όταν καλούνται να 18

αντιµετωπίσουν πιθανολογικές καταστάσεις και ότι χρησιµοποιούν στρατηγικές που βρίσκονται σε αντιστοιχία µε εκείνες που έχουν καταγραφή στη διεθνή βιβλιογραφία. Συγκεκριµένα, οι χρησιµοποιούµενες στρατηγικές για την αντιµετώπιση των πιθανολογικών καταστάσεων µε χρήση υλικού, που τέθηκαν στα παιδιά, τα οποία δεν είχαν διδαχτεί πιθανότητες, στηρίχθηκαν στην αντιπροσωπευτικότητα της δοσµένης πληροφορίας, στη διαθεσιµότητα της πληροφορίας και στη στρατηγική των ισοπίθανων ενδεχοµένων. Οι αδύναµοι, κυρίως, µαθητές/ριες, της Γ και τάξης, που χρησιµοποίησαν τη στρατηγικής της αντιπροσωπευτικότητας παρέθεσαν για κάθε περίπτωση και τα άλλα αποτελέσµατα που θα µπορούσαν να έχουν έρθει. Εκτίµησαν δηλαδή την πιθανότητα εµφάνισης ενός γεγονότος βασιζόµενοι στο κατά πόσο αυτή η έκβαση αντιπροσωπεύει το δειγµατικό χώρο. Οι µαθητές/ριες της Γ και Ε τάξης, κυρίως, στηρίχτηκαν στη διαθεσιµότητα της πλροφορίας από την προσωπική τους εµπειρία για να απαντήσουν στις πιθανολογικές δραστηριότητες που δόθηκαν. Έτσι παρατηρήθηκαν περιπτώσεις που ενώ κάτι ήταν αδύνατο να συµβεί (π.χ. να πάρω κίτρινη µπάλα από µια σακούλα που έχει 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες) το παιδί το θεώρησε βέβαιο και το τεκµηρίωσε µε προσωπικές του εµπειρίες. Μαθητές/ριες όλων των τάξεων (Γ,, Ε και Στ ), ανεξάρτητα από την επίδοσή τους στα µαθηµατικά, χρησιµοποίησαν τη στρατηγική της υπόθεσης ότι όλα τα ενδεχόµενα έχουν ίση πιθανότητα να συµβούν και ενώ άλλες φορές αυτή η υπόθεση ισχύει και βρίσκουν το σωστό αποτέλεσµα, τις περισσότερες, τους οδηγεί σε λανθασµένη απάντηση. Όσον αφορά στη στρατηγική που σχετίζεται µε την πλάνη της σύζευξης, δεν τη 19

συναντήσαµε στην ανάλυση των λανθασµένων απαντήσεων/αιτιολογήσεων των µαθητών, γιατί καµία από τις δραστηριότητες που δόθηκαν δεν ήταν δύο σταδίων. Μελέτες που έχουν γίνει διεθνώς, σε αναζήτηση του είδους των διαισθήσεων που χρησιµοποιούνται για την αντιµετώπιση πιθανολογικών καταστάσεων δείχνουν ότι υπάρχει η τάση συµπλήρωσης πληροφοριών που είναι εύκολα διαθέσιµες και αδιαφορίας για πληροφορίες που απαιτούν µια πιο φιλοσοφηµένη ερευνητική προσπάθεια. Επίσης δείχνουν ότι υπάρχει η τάση αναφοράς σε πληροφορίες που φαίνεται να είναι αντιπροσωπευτικές για µια συγκεκριµένη θεµατολογία όπως επίσης χαρακτηρισµού ως ισοπίθανης της εµφάνισης οποιασδήποτε έκβασης, χωρίς βαθύτερη κατανόηση και εξήγηση (Fischbein & Schnarch 1997). Σύµφωνα µε τα στάδια πιθανολογικής σκέψης όπως περιγράφονται από τους Piaget & Inhelder, οι µαθητές/ριες 8 11 ετών αναγνωρίζουν τη διαφορά µεταξύ βέβαιου και πιθανού γεγονότος, δεν µπορούν να το προσεγγίσουν συστηµατικά, αλλά µεγαλώνοντας αναπτύσσουν την έννοια της πιθανότητας ως τυπική κατασκευή και αναπαριστούν µια σύνθεση µεταξύ του βέβαιου και του πιθανού. Οι µαθητές/ριες της ηλικίας αυτής (8-11 ετών), σύµφωνα µε το Fischbein, έχουν πρωτογενείς διαισθήσεις δηλαδή προσωπικές ιδέες και πιστεύω, που υπάρχουν στο µυαλό τους πριν την τυπική διδασκαλία της έννοιας της πιθανότητας. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι οι διαισθήσεις θα πρέπει να λαµβάνονται υπόψη κατά τη διδακτική πράξη. Αν είναι σωστές, βοηθούν το µαθητή να αποκτήσει και να συµπληρώσει τις αντίστοιχες επιστηµονικές έννοιες. Αν δεν είναι αντικειµενικά αποδεκτές πρέπει να αποµακρυνθούν και να αναπτυχθούν στη θέση τους νέες διαισθητικές αναπαραστάσεις (δευτερογενείς διαισθήσεις). Αν το διδακτικό πρόγραµµα δε δώσει την πρέπουσα σηµασία σε πιθανές διαισθητικές προκαταλήψεις, αυτές θα 20

συνεχίσουν να παραπλανούν το µαθητή ανεξάρτητα από τις εννοιολογικές δοµές που θα έχει διδαχτεί. Κατά τη γνώµη των Fischbein & Gazit (1984), οι νέες διαισθητικές αναπαραστάσεις, µπορούν να αναπτυχθούν µόνο µέσα από την προσωπική εµπλοκή του µαθητή σε πρακτική δραστηριότητα. Οι διαισθήσεις δεν µπορούν να τροποποιηθούν µόνο µε προφορικές επεξηγήσεις. Γι αυτό το λόγο είναι σηµαντικό να υπάρξει σχετικό διδακτικό πρόγραµµα που στοχεύει στην ανάπτυξη ενός βελτιωµένου και αποτελεσµατικού διαισθητικού υπόβαθρου για τις πιθανολογικές έννοιες και στρατηγικές που µαζί µε την αντίστοιχη τυπική γνώση θα δίνει στο µαθητή ευκαιρίες πρακτικής εξάσκησης. Σε τέτοιες καταστάσεις, όπου ο µαθητής θα µπορεί να πειραµατιστεί, θα εµπλέκεται ο χειρισµός υλικού, η πρόβλεψη, η παρατήρηση και η καταγραφή αποτελεσµάτων (Skoumpourdi & Kalavassis 2004). Αναφορές Cox, C. and Mouw, T.J. (1992), Disruption of the Representativeness Heuristic: Can We Be Perturbed into Using Correct Probabilistic Reasoning? Educational Studies in Mathematics, 23, 163-178 Fischbein, E. (1975), The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children, USA: D. Reidel Publishing Company Fischbein, E. and Gazit, A. (1984), Does the teaching of probability improve probabilistic intuitions? Educational Studies in Mathematics, 15, 1-24 21

Fischbein, E. and Schnarch, D. (1997), The evolution with age of probabilistic, intuitively based misconceptions, Journal of Research in Mathematics Education, 28 (1), 96-105 Greer. B. (2001), Understanding Probabilistic Thinking: the Legacy of Efraim Fischbein, Educational Studies in Mathematics 45, 15-33 Hawkins, S. A. and Kapadia, R. (1984), Children s Conceptions of Probability a Psychological and Pedagogical Review, Educational Studies in Mathematics 15, (4), 349-377 Jones, A. G., Langrall, W. C., Thornton, A. C. and Mogill, T. (1997), A Framework for Assessing and Nurturing Young Children s Thinking in Probability, Educational Studies in Mathematics 32, 101-125 Jones, A. G., Langrall, W. C., Thornton, A. C. and Mogill, T. (1999), Student s Probabilistic Thinking in Instruction, Journal for Research in Mathematics Education, 30, (5), 487-519 Kahneman, D., Slovic, P. and Tversky, A. (1982), Judgment under uncertainty: Heuristics and biases, New York: Cambridge University Press Piaget, J. and Inhelder, B. (1975), The Origin of the Idea of Chance in Children (Translated by Leake, L., Burrell, P. & Fischbein, H), Published by Routledge & Kegan Paul Ltd Shaughnessy, M. (1992), Research in Probability and Statistics: Reflections and Directions, in D.A. Grows (Eds), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, New York: A Project of the National Council of Teachers Of Mathematics Macmillan Library Reference Simon & Schuster Macmillan Σκουµπουρδή, Χ. και Καλαβάσης, Φ. (2003), Η εξέλιξη της σκέψης των παιδιών του 22

δηµοτικού όσον αφορά στις πιθανολογικές εκφράσεις, Πρακτικά 20 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηµατικής Παιδείας: Η διαδροµή του παιδιού στα Μαθηµατικά από την προσχολική ηλικία µέχρι την ενηλικίωση 509-518, Βέροια Skoumpourdi, C. & Kalavassis, F. (2004) (υπό δηµοσίευση), Didactic materials used in probabilistic activities, Proceedings of the 55 th Commission Internationale pour I Etude et l Amelioration de l Enseignement des Mathematiques (CIEAEM 55 - International Commission for the Study and Improvement of Mathematics Teaching) Poland Σκουµπουρδή, Χ. και Καλαβάσης, Φ. (2004), Στρατηγικές σκέψης των µαθητών του δηµοτικού σχολείου για πιθανολογικές καταστάσεις µε χρήση υλικού, Πανελλήνιο Συνέδριο Γνωστικής Ψυχολογίας: Η γνωστική ψυχολογία σήµερα: γέφυρες για τη µελέτη της νόησης 117-119, Αλεξανδρούπολη 23

1 ο Επίπεδο 2 ο Επίπεδο 3 ο Επίπεδο 4 ο Επίπεδο Υποκειµενικό Μεταβατικό Άτυπα Ποσοτικό Αριθµητικό Παραθέτει µη Παραθέτει Παραθέτει µε Χρησιµοποιεί ολοκληρωµένο ολοκληρωµένο το συνέπεια τα και εφαρµόζει το σύνολο των σύνολο των αποτελέσµατα µια γενικευµένη αποτελεσµάτων αποτελεσµάτων πειράµατος δύο στρατηγική µε ειγ/ρος πειράµατος ενός πειράµατος ενός σταδίων την οποία σταδίου σταδίου και καµιά χρησιµοποιώντας πετυχαίνει πλήρη φορά πειράµατος εν µέρει παράθεση των δύο σταδίων στρατηγική αποτελεσµάτων γενίκευσης για πειράµατα δύο και τριών σταδίων Προβλέπει τα Προβλέπει τα Προβλέπει τα Προβλέπει τα Πιθανότ περισσότερο / περισσότερο / περισσότερο / περισσότερο / ητα λιγότερο πιθανά λιγότερο πιθανά λιγότερο πιθανά λιγότερο πιθανά Γεγονότ γεγονότα γεγονότα γεγονότα γεγονότα για ος βασισµένο σε χρησιµοποιώντας βασισµένο σε πειράµατα ενός υποκειµενικές ποσοτικές ποσοτικές κρίσεις σταδίου µε κρίσεις κρίσεις, χωρίς αριθµητική συνέπεια αναφορά Συγκρίνει την Συγκρίνει Συγκρίνει τις Πραγµατοποιεί 24

πιθανότητα ενός πιθανότητες πιθανότητες, αριθµητικές γεγονότος σε δύο στηριζόµενο σε δικαιολογώντας µετρήσεις και Σύγκρισ διαφορετικούς ποσοτικές τις επιλογές του συγκρίσεις η Πιθ/ων δειγµατοχώρους. κρίσεις, χωρίς ποσοτικά, αλλά πιθανοτήτων και Βασίζεται σε όµως να συναντά προσδίδει ίδιες ποικίλες επιχειρηµατολογε δυσκολία όταν αριθµητικές τιµές υποκειµενικές ί πάντα σωστά, εµπλέκονται όχι για την και αριθµητικές αλλά σ αυτό το συνεχή γεγονότα. πιθανότητα κρίσεις χωρίς να στάδιο αρχίζει να ιαχωρίζει εµφάνισης διαχωρίζει τις διαχωρίζει τις δίκαιες και ισοπίθανων δίκαιες και τις δίκαιες από τις άδικες γεγονότων άδικες άδικες πιθανολογικές πιθανολογικές πιθανολογικές κατ/σεις καταστάσεις καταστάσεις βασισµένο σε αριθµητικό συλλογισµό εν παραθέτει Αναγνωρίζει ότι Μπορεί να Προσδίδει όλα τα οι πιθανότητες προσδιορίσει τις αριθµητικές τιµές αποτελέσµατα ορισµένων αλλαγές των στις πιθανότητες στην επόµενη γεγονότων, πιθανοτήτων σε καταστάσεων µε Κατά δοκιµή, ακόµα αλλάζουν σε µια κατάσταση ή χωρίς Συνθήκη και αν το έχει καταστάσεις χωρίς επανατοποθέτησ Πιθανότ ήδη κάνει στην χωρίς επανατοποθέτηση η και ητα πρώτη επανατοποθέτηση, αναγνωρίζοντας αναγνωρίζει 25

προσπάθεια., αλλά η ότι η πιθανότητα εξαρτηµένα και Αναγνωρίζει αναγνώριση αυτή όλων των ανεξάρτητα πότε προκύπτουν είναι ελλιπής και γεγονότων γεγονότα βέβαια ή αδύνατα συνήθως αλλάζει σε µια γεγονότα σε περιορίζεται σε τέτοια κατάσταση καταστάσεις γεγονότα που χωρίς έχουν επανατοποθέτησ ξαναεµφανιστεί η Πίνακας 1: Πλαίσιο εξέλιξης της πιθανολογικής σκέψης (Jones et al. 1999) 26

Πιθανολογικές δραστηριότητες Σωστές απαντήσεις µαθητών (ενδεικτικά) Έριξα ένα ζάρι και ήρθε ζυγός αριθµός. Ίση πιθανότητα γιατί µπορεί να τύχει ή ζυγός ή µονός αριθµός. Έριξα δύο ζάρια και το άθροισµα των αριθµών τους ήταν 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 ή 10 ή 11 ή 12. Έριξα ένα κέρµα και ήρθε κεφαλή. Βέβαιο, γιατί τα ζάρια, το καθένα ξεκινάει από το 1 µέχρι το 6, οπότε άµα τα προσθέσουµε θα βγουν αυτοί οι αριθµοί. Ίση πιθανότητα υπάρχει να ρίξω ένα κέρµα και να έρθει κεφαλή και ίση πιθανότητα να έρθει γράµµατα. Έριξα δύο κέρµατα και ήρθαν δύο κεφαλές. Μικρή πιθανότητα γιατί µπορεί να έρθει το ένα κεφαλή και το άλλο γράµµατα και πιο συχνά βγαίνει από τη µια κεφαλή και από την άλλη γράµµατα παρά και από τις δύο το ίδιο. Από µια σακούλα µε 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα. Ίση πιθανότητα επειδή είναι ίσες οι µαύρες µπάλες µε τις άσπρες οπότε µπορεί να τραβήξουµε και άσπρη µπάλα και µαύρη οπότε είναι ίση πιθανότητα. Από µια σακούλα µε 3 άσπρες και 3 µαύρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα Αδύνατο γιατί δεν υπάρχει κίτρινη µπάλα µέσα στη σακούλα. µάτια, µια κίτρινη µπάλα. Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια άσπρη µπάλα. Μεγάλη πιθανότητα γιατί υπάρχουν στη σακούλα πιο πολλές άσπρες µπάλες γι αυτό είναι και πιο µεγάλη η πιθανότητα να την 27

πιάσουµε. Από µια σακούλα µε 1 µαύρη και 5 άσπρες µπάλες έπιασα, µε κλειστά τα µάτια, µια µαύρη µπάλα. Γυρνάω το δείκτη σε τροχό που είναι χωρισµένος σε τρία ίσα µέρη: δύο Μικρή πιθανότητα, γιατί οι µπάλες ήταν 6 εκ των οποίων οι 5 ήταν άσπρες και η µία ήταν µαύρη και είναι δύσκολο να πιάσεις τη µαύρη. Μεγάλη πιθανότητα γιατί τα άσπρα είναι παραπάνω από τα µαύρα. άσπρα και ένα µαύρο και πετυχαίνω το άσπρο. Πίνακας 2: Οι πιθανολογικές δραστηριότητες που τέθηκαν και µία ενδεικτική σωστή απάντηση, όπως δόθηκε από µαθητή 28