Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Transcript

1 Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος

2 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων

3 Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων Στοιχεία Συνδιαστικής Ιδιότητες των Πιθανοτήτων Τυχαίες Μεταβλητές Θεµελιώδεις Κατανοµές

4 Μαθηµατικό Μοντέλο Στα µαθηµατικά µε τον όρο µαθηµατικό µοντέλο αναφερόµαστε σε όλους εκείνους τους µαθηµατικούς κανόνες που χρησιµοποιούνται για να περιγράψουν ένα ϕαινόµενο ή ένα πείραµα. Στοχαστικά Μοντέλα Μαθηµατικό µοντέλο Προσδιοριστικά Μοντέλα

5 Ορισµός Προσδιοριστικά µοντέλα είναι εκείνα στα οποία είναι δυνατή µια αρκετά ακριβής πρόβλεψη του αποτελέσµατος που ϑα παρατηρήσουµε για κάποιο χαρακτηριστικό µέγεθος (µεταβλητή) του υπό µελέτη ϕαινοµένου, όταν είναι γνωστές οι τιµές των άλλων χαρακτηριστικών µεγεθών που εµπλέκονται στο ϕαινόµενο. Ορισµός Στοχαστικά µοντέλα είναι εκείνα στα οποία η επαναλαµβανόµενη παρατήρησή τους κάτω από τις ίδιες συνθήκες µπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικά αποτελέσµατα.

6 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων

7 Τι είναι η Θεωρία των Πιθανοτήτων Η ϑεωρία των πιθανοτήτων είναι εκείνος ο κλάδος των µαθηµατικών που ασχολείται µε τη συµπεριφορά τυχαίων ϕαινοµένων ή πειραµάτων, που περιγράφονται από στοχαστικά µοντέλα. Πείραµα Τύχης Κάθε διαδικασία που εκτελείται (πείραµα) ή παρατηρείται (ϕαινό- µενο) και στην οποία το τελικό αποτέλεσµα είναι τυχαίο (όχι γνωστό εκ των προτέρων). Αξίωµα : Το χαρακτηριστικό ενός πειράµατος τύχης είναι ότι µπορεί να επαναληφθεί πολλές ϕορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Το πείραµα τύχης είναι στην ουσία µια διαδικασια παρατήρησης ενός στοχαστικού ϕαινοµένου.

8 Ορισµοί σχετικοί µε το πείραµα τύχης Ορισµός ειγµατοχώρος ή δειγµατικός χώρος Ω ενός πειράµατος τύχης είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσµάτων πριν από τν πραγµατοποίηση του πειράµατος. Ο δειγµατοχώρος µπορεί να είναι ένα σύνολο µε πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, π.χ. η ϱίψη ενός Ϲαριού, ένα άπειρο αριθµήσιµο σύνολο, π.χ. ο αριθµός των προσπαθειών να πετύχεις ένα στόχο, ένα άπειρο µη αριθµήσιµο σύνολο, π.χ. ο χρόνος Ϲωής ενός λαµπτήρα.

9 Ορισµός Στοιχειώδες - Απλό ενδεχόµενο ή απλό γεγονός καλείται κάθε δυνατό αποτέλεσµα ενός πειράµατος τύχης. Ορισµός Ενδεχόµενο ή γεγονός ενός πειράµατος τύχης καλείται κάθε υποσύνολο ενός διακριτού δειγµατοχώρου. Ενα γεγονός περιέχει ένα ή περισσότερα απλά γεγονότα. Ενα γεγονός πραγµατοποιείται ή συµβαίνει, όταν το απλό γεγονός που προκύπτει από την εκτέλεση του πειράµατος περιέχεται στο γεγονός. υο προφανή γεγονότα ενός δειγµατοχώρου είναι ολόκληρος ο δειγµατοχώρος Ω και καλείται ϐέβαιο ενδεχόµενο, το κενό σύνολο και καλείται αδύνατο ενδεχόµενο.

10 Τα γεγονότα συµβολίζονται µε κεφαλαία γράµµατα, ενώ τα απλά γεγονότα µε µικρά. Ασκηση Ρίχνουµε δυο Ϲάρια µια ϕορά. Ποίος είναι ο δειγµατοχώρος αυτού του πειράµατος τύχης; Ποια είναι τα παρακάτω γεγονότα ι)το άθροισµα να είναι µεγαλύτερο του 7, ιι) το άθροισµα να είναι ίσο µε 11, ιιι) οι αριθµοί που δείχνουν τα Ϲάρια να είναι ίσοι.

11 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων

12 Σε ένα πείραµα τύχης έστω A και B είναι δυο γεγονότα αυτού. Τότε, ορίζονται οι παρακάτω πράξεις : Ενωση A B : διαβάζεται A ή B και σηµαίνει ότι σε µια δοκιµή εµφανίζεται το γεγονός A ή το γεγονός B. Τοµή A B : διαβάζεται A και B και σηµαίνει ότι σε µια δοκιµή εµφανίζεται το γεγονός A και ταυτόχρονα και το γεγονός B. Συµπλήρωµα A : διαβάζεται όχι A και σηµαίνει ότι σε µια δοκιµή δεν εµφανίζεται το γεγονός A. ιαφορά A B ή αλλιώς γραµµένο A B : διαβάζεται A και όχι B και σηµαίνει ότι σε µια δοκιµή εµφανίζεται το γεγονός A αλλά όχι το γεγονός B.

13 Ιδιότητες A = A και A Ω = Ω, A = και A Ω = A, (A ) = A, A A = Ω και A A =, A A = A και A A = A, A B = B A και A B = B A, A (B C) = (A B) C και A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A B κάθε στοιχείο του A περιέχεται και στο B. Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις A B = A, A B = B, A B =, Κανόνας De Morgan (A B) = A B, (A B) = A B.

14 A B = A B και B A = B A, A B = B A. Θα πρέπει να είµαστε προσεκτικοί στην περίπτωση της διαφοράς. Θα πρέπει να έχουµε υπόψη µας ότι πρόκεται για σύνολα και όχι για αριθµούς. Ετσι, δε µπορούµε να γράψουµε Ω A B A B. Αν ϑέλουµε να γράψουµε κάτι τέτοιο ϑα πρέπει να ϐάζουµε αγκύλες. Επίσης, δεν ορίζεται γίνοµενο αριθµού µε γεγονός, δηλαδή δεν έχει νόηµα η σχέση 2Α.

15 Σε ένα πείραµα τύχης έστω A 1, A 2,...,A n είναι n γεγονότα αυτού. Τότε, ορίζονται οι παρακάτω πράξεις : Ενωση A 1 A 2... A n = n i=1 A i : σηµαίνει ότι σε µια δοκιµή εµφανίζεται ένα τουλάχιστον από αυτά. Τοµή A 1 A 2... A n = n i=1 A i : σηµαίνει ότι σε µια δοκιµή εµφανίζονται όλα µαζί. Ασυµβίβαστα γεγονότα ανά δυο : σηµαίνει ότι η εµφάνιση του ενός αποκλείει την εµφάνιση οποιοδήποτε άλλου στην ίδια δοκιµή. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει A i A j =, για κάθε i j. Μια σηµαντική ιδιότητα για τις πιθανότητες είναι να έχουµε n ενδεχόµενα τα οποία να είναι ασυµβίβαστα ανά δύο και επιπλέον εξαντλούν από κοινού το δειγµατοχώρο Ω,δηλαδή n i=1 A i = Ω.

16 Ασκηση Ρίχνουµε ένα Ϲάρι. Ποια είναι τα παρακάτω γεγονότα α) να έχουµε αποτελέσµα 4 ή αριθµό µικρότερο του 3, ϐ) να έχουµε αποτελέσµα άρτιο αριθµό µικρότερο του 3, γ) να έχουµε άρτιο αριθµό, δ) να είναι περιττός αλλά όχι µεγαλύτερος του 4. Στη συνέχεια να γράψετε τα παραπάνω γεγονότα µε τη ϐοήθεια των πράξεων, άλλων γεγονότων