Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς τις οποίες ονομάζουμε αριθμητικές παραστάσεις Για παράδειγμα -. +(-)., +. Υπάρχουν όμως και προβλήματα στα οποία καταλήγουμε σε εκφράσεις οι οποίες εκτός από αριθμούς περιέχουν και μεταβλητές. Οι εκφράσεις αυτές ονομάζονται αλγεβρικές παραστάσεις, ΟΡΙΣΜΟΙ Ονομάζουμε αλγεβρική παράσταση μία έκφραση, που αποτελείται από αριθμούς και γράμματα, που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων. Μια αλγεβρική παράσταση μπορεί να είναι: Ειδικότερα μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί Αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης ονομάζουμε τον αριθμό που βρίσκουμε όταν αντικαταστήσουμε το κάθε γράμμα (μεταβλητή) με κάποιο αριθμό και κατόπιν εκτελέσουμε τις σημειωμένες πράξεις. π. χ η αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης + για και ειναι + 0 Μονώνυμα Ονομάζουμε Μονώνυμο την αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ γραμμάτων και αριθμών. π.χ, z, z, z Σε ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονώνυμου, ενώ το υπόλοιπο γινόμενο των μεταβλητών λέγεται κύριο μέρος του μονώνυμου.

8 ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ π. χ Στο μονώνυμο z o αριθμός είναι ο συντελεστής και το γινόμενο z το κύριο μέρος. Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, Το μονώνυμο είναι : ενώ βαθμός του μονωνύμου ως προς ου βαθμού ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα ου βαθμού ως προς των εκθετών των μεταβλητών του. 6 ου βαθμού ως προς,. Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια. π. χ όμοια είναι τα μονώνυμα,, 6, Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα, ενώ, αν έχουν αντίθετους συντελεστές, λέγονται αντίθετα, π.χ. τα μονώνυμα και -, είναι αντίθετα. Οι αριθμοί θεωρούνται ως μονώνυμα και τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα. Ειδικότερα, ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ όλα τα άλλα σταθερά μονώνυμα είναι μηδενικού βαθμού. ( Π.χ. ο αριθμός 6, μπορεί να γραφεί 6 0 ή 6 0 κ.τ.λ. ). ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι μονώνυμα ; α) - β) + γ) δ) ω ε) - αβ στ) αβγ ω ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μονώνυμα είναι οι αλγεβρικές παραστάσεις των ερωτημάτων α, δ, ε και στ. Η β δεν είναι γιατί υπάρχει πρόσθεση, η γ δεν είναι γιατί υπάρχει διαίρεση. Η παράσταση ( ),, 86 είναι πραγματικός α- ριθμός και είναι συντελεστής του μονωνύμου.. Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια ; α) 6 β) γ) ω δ) ω ε) στ) ζ) η) θ) ω ι) ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ 9 Όμοια μονώνυμα είναι αυτά των ερωτημάτων α, στ και η. Επίσης αυτά των ερωτημάτων β, δ,ζ και ι. Τέλος όμοια είναι αυτά των ερωτημάτων γ, ε και θ γιατί έχουν αντ ίστοιχα το ίδιο κύριο μέρος, και ω.. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο Βαθμός Βαθμός Βαθμός ως μ έρος ως προς ως προς προς, ος ος ος - ος ος ος ος 0 ος ος. Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή και κύριο μέρος ω. Να βρείτε το ίσο του και το αντίθετο μονώνυμό του. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το ίσο μονώνυμο είναι : ω Το αντίθετο μονώνυμο είναι : ω. Να λύσετε το σταυρόλεξο. ος ος ος

0 ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΟΡΙΖΟΝΤΙA. Έκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές συνδεόμενες με τα σύμβολα των πράξεων (δύο λέξεις).. Είναι τα μονώνυμα 8,, 0,.. Είναι ο βαθμός του μονωνύμου ω ως προς.. Στο μονώνυμο είναι το. 6. Είναι τα μονώνυμα,. 6. Ο συντελεστής του μονωνύμου.. Είναι το ω στο μονώνυμο ω ( δύο λέξεις ). 8. Η απλούστερη αλγεβρική παράσταση. ΚΑΘΕΤA. Το μονώνυμο αυτό δεν έχει βαθμό.. Στο μονώνυμο ω ως προς είναι.. Παράσ ταση που μεταξύ των μετα- οι πρά- ξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλα- βλητών της σημειώνονται μόνο σιασμού.. Είναι τα μονώνυμα,.. Είναι τα μονώνυμα α β, α β. 6. Η του μονωνύμου για και είναι 8.. Είναι ο βαθμός των σταθερών μονωνύμων 6,,. 8. Η πράξη αυτή δε σημειώνεται μετα- ξύ των μεταβλητών ενός μονωνύμου. ΑΠΑΝΤ ΗΣΗ Α Λ Γ Ε Β Ρ Ι Κ Η Π Α Ρ Α Σ Τ Α Σ Η Α Ν Ι Σ Τ Α Θ Ε Ρ Α Τ Μ Μ Α Ι Μ Η Δ Ε Ν Μ Ο Κ Θ Α Η Σ Υ Ν Τ Ε Λ Ε Σ Τ Η Σ Φ Δ Ρ Τ Ι Σ Α Ε Μ Ο Ν Α Δ Α Ο Μ Ι Ν Ι Μ Η Ρ Ι Α Ο Δ Ε Κ Κ Υ Ρ Ι Ο Μ Ε Ρ Ο Σ Μ Ο Ν Ω Ν Υ Μ Ο Α Ν Η

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε την αριθμητική τιμή των αλγεβρικών παραστάσεων α) + για και β) ω + ω για και ω Οι αριθμητικές τιμές των παραστάσεων είναι : α) ( ) + ( ) ++ + β) ( ) ( ) 8 - + - ( - ) + ( 8) ( ) 8 ΑΣΚΗΣΗ Ένα μονώνυμο έχει συντελεστή και μεταβλητές α, β.να προσδιορίσε- τε το μονώνυμο, αν ο βαθμός του ως προς α είναι και ως προς α, β είναι. Ο βαθμός του μονωνύμου ως προς β είναι : και το ζητούμενο μονώ- νυμο είναι: α β ΑΣΚΗΣΗ Να προσδιορίσετε την τιμή του φυσικού αριθμού ν, ώστε το μονώνυμο ν α) να είναι μηδενικού βαθμού ως προς β) να είναι πέμπτου βαθμού ως προς, γ) να έχει αριθμητική τιμ ή 8, για και. α) Αφού είναι μηδενικού βαθμού ως προς το ν 0 β) Πρέπει : ν +. Άρα ν ) Πρέπει : ν (-) ν ν 8 8 ή 8 ή ν γ 6 ή ή ν

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τους αριθμούς κ, λ, ν,ώστε τα μονώνυμα α) όμοια β) ίσα γ) αντίθετα ν, λ κ να είναι: α) Για να είναι όμοια πρέπει κ και ν και λ οποιοσδήποτε αριθμός, γιατί τότε θα έχουν το ίδιο κύριο μέρος το. β) Για να είναι ίσα πρέπει μαζί με τις προηγούμενες προϋποθέσεις κ και ν να είναι και οι συντελεστές ίσοι, δηλαδή λ. γ) Για να είναι αντίθετα πρέπει μαζί με τις προηγούμενες προϋποθέσεις κ και ν να είναι οι συντελεστές αντίθετοι, δηλαδή λ-. ΑΣΚΗΣΗ Να γράψετε τα μονώνυμα που εκφράζουν το εμβαδόν και τον όγκο μιας σφαίρας που έχει ακτίνα ρ. Να προσδιορίσετε το συντελεστή, το κύριο μέρος και το βαθμό κάθε μονωνύμου. Ποια είναι η αριθμητική τιμή κάθε μονωνύμου, για ρ 0 ; Ο τύπος που μας δίνει το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας είναι: Ε σφ πρ όπως παρατηρούμε είναι ένα μονώνυμο με συντελεσ τή το π, κύριο μέρος το ρ και βαθμό ο γιατί το π δεν είναι μεταβλητή αλλά πραγματικός αριθμός(άρρητος). Ο τύπος που μας δίνει τον όγκο μιας σφαίρας είναι: V πρ σφ όπως ένα μονώνυμο με συντελεστή παρατηρούμε είναι το π, κύριο μέρος το ρ και βαθμό ο γιατί το π δεν είναι μεταβλητή αλλά πραγματικός αριθ- ια ρ0 είναι ( ) μός(άρρητος). 60 Γ Ε 0 π0 00π 6 και V ( 0) π0

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 6 Mία ομάδα καλαθοσφαίρισης έδωσε 9 αγώνες. Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τους βαθμούς που συγκέντρωσε, αν σε κάθε νίκη παίρνει βαθμούς και σε κάθε ήττα βαθμό. Έστω ότι έκανε νίκες οπότε θα έκανε 9- ήττες (γιατί δεν υπάρχουν ισοπαλίες). Επομένως οι βαθμοί που πήρε ήταν:. + ( 9 ). + 9 + 9 Άρα η αλγεβρική παράσταση που εκ- γράψετε την αλγεβρική παράσταση που φράζει τους βαθμούς είναι η +9 ΑΣΚΗΣΗ Να εκφράζει το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΓΔΕ. Ποιο είναι το εμβαδόν, όταν ; Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι ΕΒΓ + +(Πυθαγόρειο θεώρημα) Το εμβαδόν για είναι E + + ( ) 69

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β. Πράξεις με μονώνυμα Οι μεταβλητές ενός μονωνύμου αντιπροσωπεύουν κάποιους αριθμούς οπότ ε στις πράξεις που γίνονται μεταξύ μονωνύμων ισχύουν όλες οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν και στους αριθμούς. Πρόσθεση μονωνύμων Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο προς αυτά που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους ( η πρόσθεση όμοιων μονώνυμων λέγεται αναγωγή ομοίων όρων) π. χ + (+ ) και αβ+αβ αβ(+ )αβαβ Στην περίπτωση που τα προστιθέμενα μονώνυμα δεν είναι όμοια τότε το άθροισμα δεν είναι μονώνυμο,αλλά μία αλγεβρική παράσταση που λέγεται πολυώνυμο. π. χ + και α +β +γ +δ+ε Πολλαπλασιασμός μονωνύμων Το γινόμενο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε κάθε μεταβλητή το άθροισμα των εκθετών της. π.χ ( z) 6 + + + + + ( ) 6 zz zz z + Διαίρεση μονωνύμων z + + + z ( 6 z ) 9 z Όπως είναι φανερό χρησιμοποιούμε την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού για να βάλουμε τους αριθμούς και τις μεταβλητές μαζί και την ιδιότητα των δυνάμεων μ ν μ+ ν α.α α (γενικευμένη) για τον πολλαπλασιασμό των μεταβλητών Το πηλίκο δύο μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελε- στή το πηλίκο των συντελεστών τους και κ ύριο μέρος όλες τις μετα- βλητές με εκθέτη σε καθεμία τη διαφορά των εκθετών της.

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ π.χ 8 και ( 8 )( : ) ( 6 )( : ) 6 8 8 Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλ ασιασμό με τον αντίστροφο. Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων μ α μ-ν α ν.ομοίως. 6 α 6 ΣΗΜ. Όπως είναι φανερό ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ από το δεύτερο παράδειγμα το πηλίκο μονώνυμων δεν είναι πάντα μονώνυμο.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο. β) Η διαφορά δύο μονωνύμων είναι μονώνυμο. γ) Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο. δ) Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι μονώνυμο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Είναι σωστή (Σ), για παράδειγμα +. β) Είναι λάθος (Λ), για παράδειγμα η διαφορά δεν είναι μονώνυμα αλλά πολυώνυμο. γ) Είναι σωστή (Σ), για παράδειγμα. δ) Είναι λάθος (Λ), για παράδειγμα το πηλίκο. δεν είναι μο- νώνυμο.. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α) - +... β) -. δ) ζ) ω ΑΠΑΝΤΗΣΗ... ε). -... ( )( ) 6... γ) - +...... στ) 6 :... 6 (...) 0 ω η) θ)...

6 ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ α) - + δ) ζ) ω β) - ε).. 0 6 - ( ω) 0 ω η) θ) γ) - στ) 6 + : ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Να κάνετε τις πράξεις: α) - + δ) 0,αβ - 0,αβ β) α + 0,αβ 6α ε) + α ω γ) 6, ω 9 στ) - + α) - + β) α 6α + α -α 9 γ) 6 δ) 0,αβ - 0,αβ 0,αβ 0, αβ ε) ω, ω -0,8 ω στ) - + 0 ΑΣΚΗΣΗ α) Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα για να προσθέσουμε τους συντελεστές των ομοίων μονωνύμων. β) Ομοίως γ) Ομοίως + δ) Ομοίως ε) Ομοίως στ) Ομοίως Να υπολογίσετε τα γινόμενα: α). β) 6. γ).( ) δ). ( ω) ε ) - αβ. αβ στ ) α. α ζ ). (- ω) - ω 6

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ α). β) 6. γ) δ) ε ) - αβ στ ) ζ ) - 9.( ) -6. ( ω) 6 ω.αβ. α. α - α β 6 (- ω) - ω - ω 6 - α α) Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονωνύμων και για τον πολλαπλασιασμό των κυρίως μερών εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων μ ν μ+ ν α.α α. β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) Ομοίως ε) Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονωνύμων και για τον πολλαπλασιασμό των κυρίως μερών εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων στ) Ομοίως ζ) Ομοίως ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α) α δ) α) δ) ε) : (- α) β) 8 : ( ) ( 0,8 ω ): (- 0,ω ) ε) (- α ω) : - α στ) ( 0,α β ) β) 8 α : : (- α) ( ) -α - 6 ) - : γ α β α β στ ( 0,8 ω ): (- 0,ω ) ( ): - - α ω α ) ( 0,α ): - β α β 0-8 -ω α ω α.β - αβ γ) - α β 6 : α β : - 0 α α) Διαιρούμε τους συντελεστές των μονωνύμων και για την διαίρεση των κυρίως μερών εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α : α α. μ ν μ ν β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) Ομοίως ε) Ομοίως στ) Ομοίως β

8 ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΑΣΚΗΣΗ Να κάνετε τις πράξεις: α) - ( 6 ) β) (- ) : (- 8 ) γ) (- ω ).( ) α) - 9 β) γ) ( 6 ) ( 6 ) (- ) : (- 8 ) 6 9 ( 8 ):(-8 ) (- ω ).( ) 8 6 6 ( ω )(. ) 8 ω 6 α) Πολλαπλασιάζουμε τους συντελεστές των μονωνύμων και για τον πολλαπλασιασμό των κυρίως μερών εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων α.α α. μ ν μ+ ν β) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (α.β) ν α ν.β ν Διαιρούμε τους συντελεστές των μονωνύμων και για την διαίρεση των κυρίως μερών εφαρμόζουμε την ιδιότητα μ ν μ ν των δυνάμεων α : α α. γ) Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των δυνάμεων (α.β) ν α ν.β ν και κατόπιν πολλαπλασιάζουμε όπως στο α ερώτημα. ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων. Ποιες από τις εκφράσεις που βρήκατε είναι μονώνυμα; α) + + β) + γ) + α) Το εμβαδόν του πρώτου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών τετραγώνων πλευράς. β) Το εμβαδόν του δεύτερου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών ορθογωνίων διαστάσεων και. γ) Το εμβαδόν του τρίτου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών ενός ορθογωνίου διαστάσεων και και ενός τετραγώνου πλευράς.

ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ 9 π δ) ( ) + π + π ε) + ΑΣΚΗΣΗ 6 π + δ) Το εμβαδόν του τέταρτου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών ενός τετραγώνου πλευράς και ενός ημικυκλίου ακτίνας. ε) Το εμβαδόν του πέμπτου σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών ενός ορθογωνίου διαστάσεων, και ενός ημικυκλίου ακτίνας. Οι εκφράσεις των ερωτημάτων α, β, δ είναι μονώνυμα. Να συγκρίνετε το εμβαδόν του πράσινου τριγώνου με το άθροισμα των εμβαδών των κίτρινων τριγώνων. ( ΔΕΓ). Το πράσινο τρίγωνο έχει εμβαδόν και το άθροισμα των κίτρινων εμβαδών είναι επίσης το οποίο προκύπτει αν προσθέσουμε τα εμβαδά των δύο κίτρινων τριγώνων που εκφράζο- νται με δύο μονώνυμα ΑΕ. ΕΒ. ( ΑΕΔ) + ( ΕΒΓ) + ( ΑΕ + ΕΒ). ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ένα ορθογώνιο έχει μήκος τριπλάσιο από το πλάτος του. Το μονώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν του είναι: α ), β), γ), δ) Εφόσον το πλάτος είναι το μήκος θα είναι και το εμβαδόν του ορθογωνίου θα είναι: Ε ορθογωνίου. άρα η σωστή απάντηση είναι η β.. Η Μαρία έχει ευρώ, ενώ η Ελένη έχει ευρώ λιγότερα από το τριπλάσιο ποσό της Μαρίας. Η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το χρηματικό ποσό της Ελένης είναι : α ) -, β) +, γ), δ) - Σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος η αλγεβρική παράσταση που εκφράζει το χρηματικό ποσό της Ελένης είναι.. Χρησιμοποιώντας τους τύπους του παραδείγματος ( σελίδα του βιβλίου σας) να υπολογίσετε το ιδανικό βάρος ενός άνδρα ηλικίας ετών και ύψους cm και μιας γυναίκας ηλικίας ετών και ύψους 6 cm.

0 ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Το ιδανικό βάρος ενός άνδρα ηλικίας t ετών και ύψους υ cm είναι t βάσει το τύπου Β κ. υ 00 + 0,9. 00 + 0 0 Β 0,9. ( +,) 0,9.6, 68,8 κιλά(κ0,9 για τον άνδρα) Επίσης το ιδανικό βάρος μιας γυναίκας ηλικίας t ετών και ύψους t υ6 cm είναι βάσει το τύπου Β κ. υ 00 + 0,8. 6 00 + 0 0 Β 0,8. 6 +, 0,8.69,,. ( ) κιλά. Να βρεθούν οι τιμές των κ και λ, ώστε να ισχύουν οι ισότητες α) κ- λ κ κ- λ κ+ λ+ (- ): (- ), β) ( α β ): ( α β ) α) - κ- λ κ ( ): (- ) κ--κ κ- λ- κ - λ- και λ - κ- λ κ+ λ+ ( α β ): ( α β ), οπότε πρέπει να είναι ή κ και λ ή κ και λ αβ β) αβ, κ--(κ+ ) λ-(λ+ ).α β αβ κ--κ- λ-λ- α β αβ κ- λ- α β αβ οπότε πρέπει να είναι κ - και λ - ή κ και λ ή κ και λ. Δύο κύκλοι έχουν ακτίνες και αντιστοίχως. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων. Ε Ε + Ε πρ + πρ π + π ( ) ( ) ( 9 + 6 ) π π( ) π9 + π6 π Επομένως η ακτίνα του κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο αρχικών κύκλων είναι.,