απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα,

Transcript

1 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι πολυώνυμα λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράσταση Για παράδειγμα η παράσταση Οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή της αφού δεν ορίζεται κλάσμα με παρονομαστή μηδέν Για παράδειγμα η παράσταση ορίζεται αν - 5 Από εδώ και πέρα όταν γράφουμε μια ρητή παράσταση θα εννοείται ότι οι μεταβλητές της δεν παίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή Όπως μια αριθμητική παράσταση έτσι και μια ρητή παράσταση μπορεί να απλοποιηθεί αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα α β Για παράδειγμα η παράσταση δεν απλοποιείται ενώ η παράσταση β y απλοποιείται γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το y Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα y y y : y έχουμε y y : y Αν όμως σε μια ρητή παράσταση ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν είναι γινόμενο τότε για να την απλοποιήσουμε παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της και διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες των όρων της Για παράδειγμα η παράσταση ( )( ) απλοποιείται ως εξής

2 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α τις τιμές της μεταβλητής της από τη στήλη Β για τις ο- ποίες ορίζεται Στήλη Α Στήλη Β α α 6 0 και β β γ δ γ και ε 5 ( ) 5 οποιοσδήποτε αριθμός δ 6 0 ε ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στην α πρέπει να ισχύει 0 άρα είναι το 6 Στην β πρέπει να ισχύει 0 άρα είναι το Στην γ πρέπει να ισχύει 0 ( )( ) 0 και άρα είναι το Στην δ πρέπει να ισχύει 0 άρα είναι το Στην ε πρέπει να ισχύει 0 άρα είναι το 5 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με ( Σ ) αν είναι σωστές ή με (Λ ) αν είναι λανθασμένες ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) y ( y) ε) y στ) y y y ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι λάθος (Λ) γιατί ο αριθμητής δεν παραγοντοποιείται Η β είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το από τον αριθμητή και τον παρονομαστή

3 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 5 Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το από τον αριθμητή και τον παρονομαστή Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί στον αριθμητή δεν βγαίνει κοινός παράγοντς το για να απλοποιηθεί Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το -y από τον αριθμητή και τον πα- y y ( y ρονομαστή επειδή ) y y y y y Η δ είναι λάθος (Λ) γιατί y Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες 7 7 (α () () (α ( ) ( ) ( ) ε) στ) (α α β ΑΠΑΝΤΗΣΗ 7 7 ( - ) (α (α - (α (α ( ) ( ) (α ε) (α α β ( ) στ) ( ) Εφόσον το απλοποιείται πρέπει να υπάρχει το - Εφόσον μένει μονάδα θα πρέπει στον αριθμητή να υπάρχει ο παρονομαστής και στον παρονομαστή ο αριθμητής Για να μείνει το θα πρέπει να είναι στον παρονομαστή ο άλλος παράγοντας του γινομένου που είναι το Για να μείνει το θα πρέπει να είναι στον παρονομαστή ο άλλος παράγοντας του γινομένου που είναι το ε) Για να απλοποιηθεί το και το αβ πρέπει να υπάρχουν αυτοί στον αριθμητή στ) Για να μείνει στον παρονομαστή το θα πρέπει ο παρονομαστής να είναι το τετράγωνο του αριθμητή

4 6 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ένας μαθητής για να βρει τις τιμές της μεταβλητής για τις οποίες ορίζεται η παράσταση ( ) έγραψε ( ) και απάντησε ότι η παράσταση ορίζεται όταν Είναι σωστή η απάντησή του ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όχι δεν είναι σωστή γιατί εκτός του έπρεπε να πει ότι ορίζεται όταν ισχύει το και το 0 γιατί στην αρχική παράσταση υπάρχει στον παρονομαστή και το ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Nα βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις y y 5 ω (ω ) 6 ( ) Πρέπει οι παρονομαστές να είναι διαφορετικοί από το μηδέν y 5 ω 0 και ΑΣΚΗΣΗ Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις 6 y y ω 8 ω 5α βγ 0αβ γ ε) στ) y y ω ζ) ( ω) η) (α (β (β (γ Απλοποιείται το από αριθμητή και παρονομαστή 6

5 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 7 y y ω 8 ω 5α βγ 0αβ γ y ω αγ β ε) y στ) y ω ζ) ( ω) ω ω [ ( ω ) ] ( ω ) ω (α (β (α (β η) (β (γ - ( α - - β - γ (α (β α β β γ [ ][ ] ΑΣΚΗΣΗ Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις 6 y 9 y y Απλοποιείται το y από αριθμητή και παρονομαστή Απλοποιείται το ω από αριθμητή και παρονομαστή Απλοποιείται το 5αβγ από αριθμητή και παρονομαστή ε) Απλοποιείται το από αριθμητή και παρονομαστή στ) Απλοποιείται το y- από αριθμητή και παρονομαστή αφού μετατρέψουμε τον παρονομαστή σε (y- ) ζ) Απλοποιείται το ω- από αριθμητή και παρονομαστή αφού μετατρέψουμε τον παρονομαστή σε (ω-) η) Απλοποιείται το (α-(β- από αριθμητή και παρονομαστή αφού μετατρέψουμε κατάλληλα τον παρονομαστή ω ω ω 5α 0 (α ) ε) 6 στ) y y y 6 ω ζ) ω α αβ β η) α β 6 6 y 9 ( y ) y y y y y Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή και απλοποιείται το Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το y-

6 8 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ω ω ω ω ω( ω ) ω 5α 0 5( α )( α ) 5(α ) (α ) (α ) α 6 ( )( ) ε) ( ) στ) y y y (y )(y ) y (y ) y 6 ω ( ω) ζ) ω ( ω)( ω) ω η) α αβ β α αβ β α β α β α αβ β α β Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το ω Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και απλοποιείται το α- ε) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το - στ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το y ζ) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το ω η) Παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή και απλοποιείται το α αββ ΑΣΚΗΣΗ Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις y 5y y 6y 8 ω ω ω ω ω ( )( ) ( ) y 5y (y )(y ) y y 6y 8 (y )(y ) y ω ω ω ω( ω ) ω ω ω( ω )(ω ) ω( ω ) ω ω ω (ω ) ω Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το y- Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το ω-

7 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις (ω ) (ω ) ω y(y ) y 9 y 9 y(y ) (y )(y ) (y) (y )(y y ) (y )(y ) (y )(y ) (y )(y ) y y (ω ) (ω ) ( ω ω ) (ω ) (ω ) (ω ) (ω )(ω ) (ω )(ω ) (ω )(ω )(ω ) (ω )(ω ) (ω )(ω )(ω ) ω [ ][ ] (α )(α ) (α ) α α (α )[(α ) ] α( α ) α α α α α α y(y ) y 9 y 9 (α )(α ) (α ) α α Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το - Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το y Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το ω Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή και απλοποιείται το α και το α

8 0 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένας λαμπαδηδρόμος κατά τα τελευταία μέτρα της διαδρομής του διήνυσε την απόσταση ΑΒ με σταθερή ταχύτητα 5 m/sec Φτάνοντας στο σημείο Β ένας άλλος λαμπαδηδρόμος ξεκινώντας από το σημείο Β διήνυσε την απόσταση ΒΓ με σταθερή επιτάχυνση m/sec Αν ο χρόνος που κινήθηκε κάθε αθλητής ήταν t sec να αποδείξετε ότι η μέση ταχύτητα με την οποία διανύθηκε η απόσταση ΑΓ ήταν t m/sec 5 Σύμφωνα με τον τύπο της Φυσικής Sut είναι ΑΒ5t Σύμφωνα επίσης με τον τύπο της Φυσικής ΒΓ t t Ο χρόνος που χρειάστηκε να την διανύσει ήταν ttt S αt είναι Οπότε η μέση ταχύτητα που διανύθηκε η απόσταση ΑΓ είναι: ΑΒ ΒΓ ΑΓ 5 u Μ t m / sec t t

9 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Να απλοποιήσετε τα κλάσματα: ( 00) ( 00) ( 00) ( 00) Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 56 και μήκος Ποιο είναι το πλάτος του; Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το γινόμενο του μήκους του επί το πλάτος του οπότε έχουμε: Ε μήκος* πλάτος 5 6 πλάτος ( ) 5 6 * πλάτος ( )( ) Να απλοποιηθεί το κλάσμα ( )( ) ( )( ) Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή χρησιμοποιώντας την ταυτότητα α β (α(α -αββ ) Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει

10 ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να αντιστοιχίσετε σε κάθε κλάσμα της ης γραμμής το αντίστοιχο του απλοποιημένο κλάσμα από τη η γραμμή Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή το Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή το Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή το Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή το Στον παρονομαστή έχουμε διαφορά τετραγώνων Απλοποιούμε το κλάσμα που προκύπτει Άρα το α αντιστοιχεί στο το β στο 6 το γ στο και το δ στο