ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ (ΣΤΡΟΒΟΛΟΥ) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 014 015 Βαθμός αριθμητικώς: Ολογράφως: Υπογραφή Εισηγητή: ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 Μάθημα: Μαθηματικά Τάξη: Γ Ημερομηνία: 15 Ιουνίου 015 Διάρκεια: ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός: Τμήμα: Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από δέκα (10) σελίδες και είναι χωρισμένο σε δύο () μέρη. Γενικές Οδηγίες: Να χρησιμοποιήσετε μπλε στυλό μόνο. Επιτρέπεται η χρήση μη προγραμματιζόμενης υπολογιστικής μηχανής. Τα σχήματα μπορούν να γίνουν με μολύβι. Να γράψετε τις απαντήσεις σας στο εξεταστικό δοκίμιο, στον κενό χώρο μετά από κάθε ερώτηση. Απαγορεύεται η χρήση διορθωτικού. ΜΕΡΟΣ Α : Να λύσετε και τις 10 ασκήσεις του Μέρους Α. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 5 μονάδες. 1) Να αναλύσετε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τις παραστάσεις: α) 4 4 β) 3y y 6y ) Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) 3 β) x 3 σελ. 1 από 10
3) Δίνονται οι ευθείες ε 1 : 3x y 6 και ε : x y 11. Να εξετάσετε κατά πόσο οι ευθείες είναι παράλληλες, συμπίπτουν ή τέμνονται. Αν τέμνονται, να βρείτε το σημείο τομής τους. 4) Να γράψετε την παράσταση ως ένα κλάσμα και να κάνετε όλες τις δυνατές απλοποιήσεις: x x 6x 16 1 5x 14 5) Να λύσετε την εξίσωση: x 6x 1 σελ. από 10
σελ. 3 από 10
6) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=10 cm ΒΓ=14 cm και ΑΓ=1 cm. Αν Δ, Ε και Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου ΔΕΖ. 7) Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ με Δ και Ε σημεία των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΔ=ΑΕ. Φέρουμε τη διχοτόμο ΑΗ. Να δείξετε ότι ΔΗ=ΕΗ. 8) Να λύσετε την εξίσωση: x 4 8 x x x x σελ. 4 από 10
9) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ). Οι ευθείες ΓΕ και ΒΔ διχοτομούν της γωνίες Γ και Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι αποστάσεις της κορυφής του τριγώνου Α από τις ευθείες ΓΕ και ΒΔ είναι ίσες. Α Ε Δ Β Γ σελ. 5 από 10
10) Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται μια μεταλλική κανονική τετραγωνική πυραμίδα με ακμή βάσης 6 cm και παράπλευρο ύψος 5 cm, να βρίσκεται στον πάτο ενός δοχείου σχήματος κυλίνδρου με διάμετρο 18 cm. Γεμίζουμε το δοχείο με νερό μέχρι να καλυφθεί η πυραμίδα. α) Να υπολογίσετε τον όγκο του νερού που χρησιμοποιήθηκε. β) Να βρείτε το ύψος της στάθμης του νερού όταν η πυραμίδα αφαιρεθεί από τον κύλινδρο. Οι απαντήσεις σας να δοθούν κατά προσέγγιση εκατοστού. 18 cm σελ. 6 από 10
ΜΕΡΟΣ Β : Να λύσετε και τις 5 ασκήσεις του Μέρους Β. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με 10 μονάδες. 1) α) Να αποδείξετε την ισότητα: 4x 3y 3x 4y 7 x y x y β) Να υπολογίσετε την τιμή του x, αν το ακόλουθο τρίγωνο έχει εμβαδόν 15 cm, μία πλευρά ίση με x cm και το αντίστοιχο σε αυτή ύψος να ισούται με x 13 cm: σελ. 7 από 10
) Σε ένα θερμοκήπιο καλλιεργούνται δύο σπάνιες και ευαίσθητες ποικιλίες ορχιδέων, η «ορχιδέα-μαϊμού» και η «ορχιδέα-φάντασμα». Ένας βοτανολόγος φύτεψε την περσινή χρονιά συνολικά 0 ορχιδέες και από τις δύο ποικιλίες. Δυστυχώς τα φυτά χτυπήθηκαν από ένα μύκητα στη ρίζα με αποτέλεσμα να μαραθούν 40 από τις «ορχιδέες-μαϊμού» και 60 από τις «ορχιδέες-φάντασμα». Οι «ορχιδέες-μαϊμού» που έμειναν είναι διπλάσιες από τις «ορχιδέες-φάντασμα». Πόσες ήταν οι «ορχιδέες-μαϊμού» που φύτεψε ο βοτανολόγος; σελ. 8 από 10
3) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο, με ΑΒ//ΓΔ. Έστω Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Το ευθύγραμμο τμήμα ΖΗ είναι προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος ΔΖ και τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Η. α) Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΔΓ και ΒΗ είναι ίσα. (6 μονάδες) β) Να αποδείξετε ότι τετράπλευρο ΔΓΗΒ είναι παραλληλόγραμμο. ( μονάδες) γ) Αν ΔΓ = 6 cm κα EZ = 10 cm, να υπολογίσετε το μήκος του ΑΒ. ( μονάδες) Δ Γ Α Β σελ. 9 από 10
4) Το παρακάτω φορτηγό μεταφέρει ένα κιβώτιο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Το κιβώτιο είναι στερεωμένο με σχοινιά στην καρότσα του φορτηγού στα σημεία Κ και Λ. Αν ΚΔ =.3 m, ΚΛ = 4 m, Κ = 6 o και ΒΛΓ = 74 o, να υπολογίσετε: α) το ύψος ΑΔ και το μήκος ΑΒ του κιβωτίου, (7 μονάδες) β) το ολικό εμβαδόν του κιβωτίου, αν το πλάτος του ισούται με 3 m. (3 μονάδες) Οι απαντήσεις σας να δοθούν κατά προσέγγιση δεκάτου. 6 ο 74 ο σχοινί.3 m Δ κιβώτιο Γ σχοινί ημίτονο (sin) συνημίτονο (cos) εφαπτομένη (tan) 0.883 0.961 0.469 0.76 1.881 3.487 Κ 6 ο Α Β 74 ο Λ σελ. 10 από 10
5) Δίνονται τα σημεία Α(-3,4), Β(1,6), Γ(4,0) και Δ(0,-). i) α) Να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν μήκος 45 και κλίση λ =-. (3 μονάδες) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (3 μονάδες) γ) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου του. (1,5 μονάδες) ii) Να υπολογίσετε την τιμή του θετικού αριθμού, είναι παράλληλη με την πλευρά ΒΓ. αν η ευθεία y 7 x 5 (,5 μονάδες) Η Διευθύντρια: Ρένα Βαρνάβα σελ. 11 από 10