Ανάλυση Κυκλωμάτων Εισαγωγή Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Δομή Παρουσίασης Εισαγωγικές Κυκλωμάτων Έννοιες Ανάλυσης Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα Γραμμικών Συγκεντρωμένα και κατανεμημένα κυκλώματα Ορισμοί-φορές αναφοράς Θεμελιώδεις νόμοι Γενίκευση του νόμου των ρευμάτων Παραδείγματα
Θεωρία Κυκλωμάτων Η θεωρία των κυκλωμάτων ασχολείται με τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας από μια ηλεκτρική διάταξη σε μια άλλη Αντικείμενο της θεωρίας αυτής είναι το ηλεκτρικό κύκλωμα Το ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από μια ηλεκτρικά στοιχεία που συνδέονται για να επιτελέσουν ένα συγκεκριμένο σκοπό Δέχεται επιδράσεις από το περιβάλλον (διεγέρσεις) και ταυτόχρονα επιδρά στο περιβάλλον (αποκρίσεις) Οι διεγέρσεις (είσοδοι) και οι αποκρίσεις (έξοδοι) μπορεί να είναι αντίστοιχα m και n στον αριθμό όπου n, m 1
Ανάλυση και σύνθεση κυκλωμάτων Στην ανάλυση επιδιώκεται η περιγραφή των γενικών ιδιοτήτων των ηλεκτρικών κυκλωμάτων και στη συνέχεια η εύρεση των αποκρίσεων τους όταν οι διεγέρσεις είναι γνωστές. Αυτό γίνεται: Με εργαστηριακά όργανα μέτρηση φυσικών ηλεκτρικών μεγεθών Με «χαρτί και μολύβι» μαθηματικές περιγραφές στοιχείων νόμοι και μέθοδοι ανάλυσης Με προσομοίωση με χρήση Η/Υ αυτοματοποίηση υπολογισμών Στη σύνθεση οι διεγέρσεις και οι αποκρίσεις είναι γνωστές και ζητείται το κύκλωμα το οποίο ικανοποιεί τις προδιαγραφές
Συμβολισμοί και μονάδες μέτρησης
Πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια
Φορτίο, τάση, ισχύς και ενέργεια Από μαθηματική άποψη το ρεύμα εκφράζεται από τη σχέση: it () dq() t dt Η μεταβολή της ενέργειας ανά μονάδα φορτίου καλείται τάση ή διαφορά δυναμικού ή απλά δυναμικό και δίνεται από τη σχέση: vt () dw() t dq Η σχέση dw(t)=v(t) (t)=v(t)dq(t) δηλώνει ότι για τη μεταφορά ενός απειροστού φορτίου dq μεταξύ δύο σημείων ενός ηλεκτρικού πεδίου τα οποία έχουν διαφορά δυναμικού v(t), απαιτείται ενέργεια dw(t) (t). Η μεταβολή της ενέργειας ως προς το χρόνο εκφράζει την ισχύ. Ως στιγμιαία ισχύς καθορίζεται η ποσότητα: pt () dw() t dt
Γραμμικότητα (1/2) Ένα κύκλωμα μπορεί να θεωρηθεί γενικά ως ένα σύστημα, το οποίο αν διεγερθεί από σήματα x(t) δίνει αποκρίσεις (εξόδους) y(t). Αν θέσουμε x1 () t x2() t. x.. xn () t και y1() t y2() t. y.. ym () t τότε το διάνυσμα x εκφράζει τη διέγερση του κυκλώματος και το διάνυσμα y την απόκρισή του.
Γραμμικότητα (2/2) H σχέση ανάμεσα στα x και y προκύπτει από τη μορφή και το είδος του κυκλώματος και μπορεί να είναι γραμμική ή μη γραμμική, οπότε έχουμε αντίστοιχα τα γραμμικά ή μη γραμμικά κυκλώματα. Η έννοια της γραμμικότητας μπορεί να καθοριστεί με τη βοήθεια του θεωρήματος της υπέρθεσης (ή επαλληλίας όπως διαφορετικά ονομάζεται) και με τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού συναρτήσεων. Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός n x ( t) x( t) y( t) y ( t) i i 1 i 1 n i n k x ( t) k y ( t) i i i i i 1 i 1 n
Παραδείγματα Ένα γραμμικό κύκλωμα που διεγείρεται από την x 1 (t)=t+4 δίνει απόκριση y 1 (t)=4-2t. Το ίδιο κύκλωμα για διέγερση x 2 (t)=2-2t δίνει απόκριση y 2 (t)=3t+ t+1. Ποια είναι η απόκριση του κυκλώματος για διέγερση x(t)=x 1 (t)+x 2 (t)=6-t ; Να εξεταστούν ως προς τη γραμμικότητά τους τα κυκλώματα των οποίων η σχέση διέγερσης/απόκρισης έχει τη μορφή: (α) dxi ( t) y t (β) i ( ) yi ( t) 2xi ( t) 1 dt (γ) y ( t) t i dxi ( t) dt (δ) y ( t) i x 2 ( t) i (ε) y ( t) x ( t) i i dxi ( t) dt
Χρονική αμεταβλητότητα Η δεύτερη βασική ιδιότητα των κυκλωμάτων που θα εξετάσουμε είναι το ότι αυτά πρέπει να είναι χρονικά αμετάβλητα (time-invariantinvariant networks). Ένα κύκλωμα καλείται χρονικά αμετάβλητο (ή σταθερό), αν η σχέση διέγερσης- απόκρισης είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Έτσι, ένα κύκλωμα το οποίο αποτελείται από στοιχεία που οι τιμές τους δεν μεταβάλλονται ως προς το χρόνο, είναι χρονικά αμετάβλητο. Από μαθηματική έννοια, ένα κύκλωμα με σχέση διέγερσης-απόκρισης x(t) y(t) καλείται χρονικά αμετάβλητο αν και μόνο αν x(t-τ) y(t-τ) για κάθε είσοδο x(t) και για κάθε μετατόπιση τ.
Αιτιότητα Σε ένα κύκλωμα, δεν μπορούμε να πάρουμε σήμα εξόδου έως ότου υπάρξει κάποια διέγερσή του. Η σχέση ανάμεσα στην αιτία (διέγερση) που πρέπει να προηγείται και στο αποτέλεσμα (απόκριση) καλείται αιτιότητα (causality). Γενικά, ένα κύκλωμα (ή σύστημα) είναι αιτιατό (causal), αν γι' αυτό απαιτείται πάντα μια διέγερση για να προκύψει μια απόκριση. Αν ένα κύκλωμα είναι μη αιτιατό, τότε είναι πιθανό να έχουμε απόκρισή του χωρίς να υπάρχει διέγερση ή η απόκρισή του να προηγείται χρονικά της διέγερσης. Σημειώνεται ότι ένα κύκλωμα μη αιτιατό δεν είναι υλοποιήσιμο, δηλαδή δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί με φυσικά ηλεκτρικά στοιχεία.
Κυκλώματα και σήματα Τα ηλεκτρικά κυκλώματα είναι συνδυασμοί από διάφορα ηλεκτρικά στοιχεία (πυκνωτές, αντιστάσεις, πηνία, πηγές τάσεις, πηγές ρεύματος, κλπ) και διακινούν ηλεκτρική ενέργεια και πληροφορία Σήμα είναι μια ηλεκτρική ποσότητα που μεταβάλλεται με το χρόνο όπως το ρεύμα ή η τάση
Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα Μια πλήρης περιγραφή των στοιχείων αυτών είναι πολύπλοκη αν όχι αδύνατη Χρειάζονται προσεγγίσεις ώστε τα αποτελέσματα να είναι πρακτικά εκμεταλλεύσιμα Στην κατεύθυνση αυτή χρησιμοποιούμε μοντέλα είτε φυσικά είτε μαθηματικά Το φυσικό μοντέλο περιγράφει ορισμένες ιδιότητες του «φυσικού» στοιχείου ενώ το μαθηματικό το περιγράφει με μαθηματικές σχέσεις
Εξισώσεις Kirchhoff Οι βασικοί νόμοι στα ηλεκτρικά κυκλώματα είναι οι εξισώσεις Kirchhoff Οι εξισώσεις αυτές πηγάζουν από τις ίδιες βασικές αρχές της θεωρίας των πεδίων «Εξειδικεύονται» όμως στην ανάλυση των κυκλωμάτων αφού επιτρέπουν τον προσδιορισμό της μεταφοράς και της κατανομής ενέργειας στα διάφορα σημεία «ακροδέκτες» ενός η περισσοτέρων κατάλληλα συνδεδεμένων ηλεκτρικών στοιχείων
Συγκεντρωμένα/Κατανεμημένα κυκλώματα (1/2) Οι νόμοι του Kirchhoff είναι οριακές περιπτώσεις των νόμων του Maxwell και ισχύουν σε στοιχεία με δύο ακροδέκτες των οποίων διαστάσεις είναι πάρα πολύ μικρές σε σχέση με το μήκος κύματος του ρεύματος που τα διαρρέει. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται συγκεντρωμένα (lumped components) Κυκλώματα που αποτελούνται από τέτοια στοιχεία ονομάζονται επίσης συγκεντρωμένα (lumped circuits) Στοιχεία και κυκλώματα που δεν μπορούν να χαρακτηριστούν συγκεντρωμένα ονομάζονται κατανεμημένα (distributed components/circuits).
Συγκεντρωμένα/Κατανεμημένα κυκλώματα (2/2) Σε ένα συγκεντρωμένο κύκλωμα η ροή φορτίου που εισέρχεται σ' αυτό ισούται με τη ροή φορτίου που εξέρχεται απ' αυτό. Για το συγκεντρωμένο κύκλωμα αυτό μεταφράζεται στη σχέση: i 1 i2 i3 i4 i5 i6 0 Τα συγκεντρωμένα κυκλώματα υπακούουν στους νόμους του Kirchhoff Τα κατανεμημένα κυκλώματα δεν υπακούουν στους νόμους του Kirchhoff και ακτινοβολούν ενέργεια
Σήματα και κυματομορφές Στην ανάλυση των κυκλωμάτων, εκτός από την ανάπτυξη των μαθηματικών μοντέλων για τα ηλεκτρικά στοιχεία είναι απαραίτητη η μαθηματική περιγραφή των κυματομορφών τάσης και ρεύματος Η μαθηματική αυτή περιγραφή εκφράζεται με τον όρο σήμα (signal) και σημαίνει τη χρονική συμπεριφορά των μεγεθών. Η συναρτησιακή σχέση ανάμεσα στο σήμα f(t) και στο χρόνο t ονομάζεται κυματομορφή. Γενικά υπάρχουν τριών ειδών σήματα: τα αναλογικά (analog), τα ψηφιακά (digital), και τα δυαδικά (binary) σήματα. Στην ανάλυση των κυκλωμάτων όλα τα σήματα που συναντώνται είναι αναλογικά. Τα αναλογικά σήματα χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, στα περιοδικά και τα μη περιοδικά σήματα.
Ορισμοί - φορές αναφοράς Κάθε στοιχειά δύο ακροδεκτών ονομάζεται κλάδος Το σημείο τομής δύο ή περισσότερων κλάδων ονομάζεται κόμβος Οι κλειστές τροχιές που σχηματίζουν οι κλάδοι ενός κυκλώματος ονομάζονται βρόχοι (απλοί και σύνθετοι) Φορές αναφοράς τάσης (β), ρεύματος (α) & (β) και βρόχου (α) Συζευγμένες φορές αναφοράς (β)
Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff (1/2) Σε ένα συγκεντρωμένο κύκλωμα το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων όλων των κλάδων, που φτάνουν ή φεύγουν από κάθε κόμβο του κυκλώματος, είναι κάθε χρονική στιγμή ίσο με το μηδέν. κόμβος 1: i 1 (t) + i 2 (t) = 0 κόμβος 2: -i 2 (t) + i 3 (t) + i 4 (t) = 0 κόμβος 3: -i 4 (t) + i 5 (t) = 0 κόμβος 4: -i 1 (t) - i 3 (t) - i 5 (t) = 0 Μόνο οι n-1 εξισώσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες Γενικά: j i ( t) 0 j
Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff (2/2) Γράφημα (β): γενικευμένη μορφή ηλεκτρικού κυκλώματος Διαφορετικά κυκλώματα, με την ίδια γεωμετρική δομή υπακούουν στις ίδιες εξισώσεις κόμβων
Νόμος τάσεων του Kirchhoff Σε ένα συγκεντρωμένο κύκλωμα το άθροισμα των τάσεων των κλάδων που αποτελούν βρόχους, είναι κάθε χρονική στιγμή μηδέν. βρόχος 1: v 1 (t) v 2 (t) v 3 (t) = 0 βρόχος 2: v 3 (t) v 4 (t) v 5 (t) = 0 βρόχος 3: -v 1 (t) + v 2 (t) + v 4 (t) + v 5 (t) = 0 Γενικά: i v ( t) 0 i
Θεώρημα του Tellegen Σε ένα συγκεντρωμένο κύκλωμα ισχύει κάθε χρονική στιγμή η σχέση: vi ( t) ii ( t) 0 i Που σημαίνει ότι σε ένα συγκεντρωμένο κύκλωμα η ενέργεια διατηρείται Παράδειγμα 1.1-5
Γενίκευση του νόμου των ρευμάτων (1/2) Οι κλάδοι 1 και 6 ονομάζονται ομάδα διαχωρισμού (cut set) κόμβος 1: -i 1 (t) + i 2 (t) - i 3 (t) = 0 κόμβος 2: -i 2 (t) - i 5 (t) + i 7 (t) = 0 κόμβος 3: i 3 (t) + i 4 (t) - i 7 (t) = 0 κόμβος 4: -i 4 (t) + i 5 (t) + i 6 (t) = 0 Αθροίζοντας προκύπτει ότι: -i 1 (t) + i 6 (t) = 0 Το άθροισμα των ρευμάτων της ομάδας διαχωρισμού είναι κάθε χρονική στιγμή μηδέν. Συνέπεια της αρχής διατήρησης του φορτίου
Γενίκευση του νόμου των ρευμάτων (2/2) Το άθροισμα των ρευμάτων των n κλάδων που συνδέουν τα κυκλώματα Κ 1 και Κ 2 είναι μηδέν. Αν συνδέονται με έναν αγωγό τότε αυτός δεν διαρρέεται από ρεύμα
Προβλήματα 1. Ένας ραδιοφωνικός δέκτης συνδέεται με την κεραία με ένα καλώδιο μήκους 20m. Ο δέκτης είναι συντονισμένος στη συχνότητα ων 104.7 MHz. Μπορούμε να πούμε ότι τα στιγμιαία ρεύματα στην είσοδο του δέκτη και στην κεραία είναι κάθε χρονική στιγμή ίσα; Αν όχι, για ποιο μήκος καλωδίου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ισχύει η ισότητα;
Προβλήματα 2. Να γραφούν οι εξισώσεις κόμβων και όλων των δυνατών βρόχων του κυκλώματος του σχήματος. Να δειχθεί ότι οι εξισώσεις αυτές είναι γραμμικά εξαρτημένες. Ακόμη, να δειχθεί ότι οι εξισώσεις των απλών βρόχων του κυκλώματος είναι γραμμικά ανεξάρτητες.
Προβλήματα 3. Στο παρακάτω σχήμα τα κυκλώματα K 1 και Κ 2 συνδέονται με δύο αγωγούς. Οι φορές αναφοράς της τάσης και του ρεύματος δίνονται στο σχήμα. Η τάση ανάμεσα στους αγωγούς σύνδεσης και το ρεύμα των αγωγών έχουν τις τιμές : (α) i = 2A, v = 20V, (β) i = -3A, v = 220V, (γ) i = 10A, v = -120V, (δ) i = -5A, v = -35V Σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις προσδιορίστε το κύκλωμα που παρέχει και το κύκλωμα που απορροφά ισχύ.
Προβλήματα 4. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τα ρεύματα των κλάδων i 1 = 2A, i 3 = 1A, i 7 = 2A και i 8 = 3A και οι τάσεις των κλάδων v 1 = v 3 = v 4 = v 6 = v 9 = 1V. Αφού υπολογιστούν τα ρεύματα και οι τάσεις των υπολοίπων κλάδων, δείξτε ότι ισχύει το θεώρημα του Tellegen. Θεωρούνται συζευγμένες φορές αναφοράς.
Προβλήματα 5. Στο κύκλωμα του σχήματος οι τάσεις και τα ρεύματα κλάδων είναι: v 1 =33V, v 2 =13.2V, v 3 =19.8V, v 4 =6.6V, v 5 =13.2V, v 6 =19.8V, και i 1 =16.5A, i 2 =33A, i 3 =- 49.5A, i 4 =13.2A, i 5 =36.3A, i 6 =19.8A. Δείξτε ότι το κύκλωμα δεν είναι συγκεντρωμένο. Ποιος κλάδος του κυκλώματος ακτινοβολεί ενέργεια;
Ερωτήσεις / Απορίες ;