1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC
|
|
- Θυία Βέργας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν πυκνωτή. Την χρονική στιγμή 0, το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα,, το οποίο μπορεί να υπολογισθεί κάνοντας χρήση του 2 ου νόμου του Kirchhoff, σύμφωνα με τον οποίο, σε έναν κλειστό βρόχο, το άθροισμα των πηγών τάσης ισούται με το άθροισμα των πτώσεων τάσης: V R C Σχήμα. Το κύκλωμα RC εν σειρά. Το ρεύμα αυτό είναι η απόκριση του κυκλώματος. Από το κεφάλαιο, είναι γνωστό ότι η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης και του πυκνωτή δίνονται από τους τύπους: Κατά συνέπεια η εξίσωση του Kirchhoff γίνεται: Η επίλυση αυτής της εξίσωσης επιτυγχάνεται με την διαφόριση του δεξιού και του αριστερού μέλους της ως προς τον χρόνο. Έτσι, η εξίσωση μετασχηματίζεται από ολοκληρωτική σε διαφορική: 0 Αυτή η εξίσωση που περιγράφει το ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται εξίσωση κατάστασης του κυκλώματος. Κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα έχει την δική του εξίσωση κατάστασης. Από την γυμνασιακή φυσική είναι γνωστό ότι ο πυκνωτής είναι εν γένει διακόπτης για την dc τάση. Όπως θα δούμε αυτό δεν είναι ακριβώς έτσι: ενώ για την μόνιμη κατάσταση του κυκλώματος ( 0) του Σχήματος, θα αποδειχθεί ότι αυτή η παραδοχή είναι προσεγγιστικά σωστή, στο παρόν κεφάλαιο θα αποδειχθεί ο μεταβατικός χαρακτήρας της απόκρισης του ρεύματος. Η απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για την κατανόηση της μεταβατικής απόκρισης του κυκλώματος αυτού (που ονομάζεται κύκλωμα RC), αλλά και για την επίλυση άλλων πιο σύνθετων κυκλωμάτων στην συνέχεια.
2 Από τις διαφορικές εξισώσεις (βλέπε Παράρτημα Α) βλέπουμε ότι η εν λόγω διαφορική εξίσωση είναι ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση Α τάξης (εξ ού και η ονομασία του εν λόγω κυκλώματος ως κυκλώματος Α τάξης), η δε λύση της δίνεται από τον τύπο: Όπου η λύση της ομογενούς,, η λύση της μερικής, που στην περίπτωση της ομογενούς διαφορικής είναι μηδέν. Ο συντελεστής συσχετίζεται με τις αρχικές συνθήκες της διαφορικής εξίσωσης και πρέπει να προσδιορισθεί από αυτές. Η μοναδική αρχική συνθήκη στο κύκλωμα του Σχήματος μπορεί να είναι η διαφορά δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή πριν το κλείσιμο του διακόπτη. Έτσι, αν η τάση στα άκρα του πυκνωτή πριν το κλείσιμο του διακόπτη ήταν 0, όπου 0 0, τότε το ρεύμα την χρονική στιγμή 0 είναι: 0 0 Έτσι, το ρεύμα δίνεται από τον τύπο: 0 Αν 0 0, τότε Που είναι ο τύπος που ξέρουμε από το Λύκειο. Τότε η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης R δίνεται από τον τύπο: Και η πτώση τάσης στα άκρα του πυκνωτή δίνεται από τον τύπο: Αυτό είναι σωστό αν θεωρήσουμε ότι η συνεχής πηγή τάσης (διέγερση) δεν μειώνεται συναρτήσει του χρόνου: ό Το ρεύμα, που είναι η απόκριση του κυκλώματος τείνει στο 0. Αυτό το ρεύμα, θεωρητικά, δεν γίνεται ποτέ μηδέν. Κατά συνέπεια ούτε η τάση μηδενίζεται ποτέ, όπως επίσης ποτέ δεν γίνεται το. Βέβαια, αυτό είναι αλήθεια μόνο θεωρητικά. Πρακτικά, πειραματικά, η τάση αυτή μετράται και απεικονίζεται στον ανθρώπινο νου και στα ηλεκτρικά ηλεκτρονικά όργανα αναπαράστασης της πραγματικότητας, με μια δοσμένη ακρίβεια η οποία δεν είναι άπειρη αλλά πεπερασμένη. Έστω λοιπόν ότι η ακρίβεια ανάγνωσης τάσης, από το ηλεκτρικό ή ηλεκτρονικό όργανο, που επιτηρεί την λειτουργία του κυκλώματος του Σχήματος, είναι. Τότε, για τιμή πάνω από την τιμή το εν λόγω όργανο μέτρησης θα έχει ένδειξη, όπου ακέραιος φυσικός αριθμός (εφαρμόζεται κατά κύριο λόγο σε ηλεκτρονικά ψηφιακά συστήματα μέτρησης, τα οποία κυριαρχούν σήμερα στην βιομηχανία, τις υπηρεσίες και την έρευνα), ενώ κάτω από την τιμή το όργανο μέτρησης θα έχει ένδειξη ίση με το μηδέν. Έτσι, δεδομένου ότι το πείραμα παρακολουθείται από το ηλεκτρικό ή ηλεκτρονικό όργανο μέτρησης, το ρεύμα και η τάση
3 θα μηδενισθούν για. Ο χρόνος που θα γίνει αυτός ο μηδενισμός τάσης,, μπορεί να βρεθεί από την παρακάτω ανισότητα: ln Έτσι, για έναν Μηχανικό, που επιτηρεί πειραματικά τα γεγονότα, ο χρόνος μηδενισμού του ρεύματος και της τάσης καθώς επίσης και η επίτευξη, δεν είναι άπειρος αλλά είναι μεγαλύτερος και ίσος από ln, όπου η τάση τροφοδοσίας και η ευαισθησία του ηλεκτρικού ή ηλεκτρονικού οργάνου μέτρησης. R C Σχήμα α. Το κύκλωμα RC χωρίς την διέγερση του (ο πυκνωτής θεωρείται φορτισμένος). Έστω ότι ξαφνικά η πηγή τάσης μηδενίζεται (βραχυκυκλώνεται), για ln (Σχήμα α). Τότε, οι παραπάνω εξισώσεις ισχύουν, μόνο που 0 και 0. Έτσι η απόκριση γίνεται: 0 Τότε η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης R δίνεται από τον τύπο: Και η πτώση τάσης στα άκρα του πυκνωτή δίνεται από τον τύπο: Παρατηρείστε ότι και πάλι 0ό Με βάση τα ανωτέρω είναι δυνατή η εύρεση της απόκρισης του κυκλώματος του Σχήματος, αν η διέγερση (πηγή τάσης) είναι παλμική. Για χρόνους που η τάση είναι μη μηδενική, ισχύει η επίλυση του Σχήματος και για 0, ισχύει η επίλυση του Σχήματος α. Στο εργαστήριο μελετήσαμε την απόκριση του κυκλώματος και για ln. Στην περίπτωση αυτή, η δεν προλαβαίνει να μηδενισθεί, καθώς επίσης και η δεν προλαβαίνει να φθάσει την τιμή. Ένας πιο σύνθετος τρόπος επίλυσης παλμικής διέγερσης είναι ο μετασχηματισμός Fourier και ο μετασχηματισμός Laplace, που αποτελούν αντικείμενο επόμενου μαθήματος..2. Κύκλωμα RL Το κύκλωμα του Σχήματος 2 είναι το δεύτερο κύκλωμα Α τάξης που θα μελετηθεί και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης εν σειρά με μια αντίσταση και ένα πηνίο. Την χρονική στιγμή 0,
4 το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα,, το οποίο μπορεί να υπολογισθεί κάνοντας επίσης χρήση του 2 ου νόμου του Kirchhoff: V R L Σχήμα 2. Το κύκλωμα RL εν σειρά. Το ρεύμα αυτό είναι η απόκριση του κυκλώματος. Από το κεφάλαιο, είναι γνωστό ότι η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης και του πηνίου δίνονται από τους τύπους: Κατά συνέπεια η εξίσωση του Kirchhoff γίνεται: ή: Από τις διαφορικές εξισώσεις (βλέπε Παράρτημα Α) βλέπουμε ότι η εν λόγω διαφορική εξίσωση είναι μη ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση Α τάξης, η δε λύση της δίνεται από τον τύπο: Όπου η λύση της ομογενούς: Και, η λύση της μερικής που με βάση τον γενικό της τύπο μας δίνει: στην περίπτωση αυτή, η μερική λύση είναι και ο συντελεστής συσχετίζεται με τις αρχικές συνθήκες της διαφορικής εξίσωσης και πρέπει να προσδιορισθεί από αυτές. Η μοναδική αρχική συνθήκη στο κύκλωμα του Σχήματος 3 μπορεί να είναι το ενγενές ρεύμα στο πηνίο την χρονική στιγμή 0. Έτσι, αν το ρεύμα αυτό πριν το κλείσιμο του διακόπτη είναι 0, όπου 0 0, τότε το ρεύμα την χρονική στιγμή 0 είναι:
5 0 Αν 0 0, τότε, και το ρεύμα δίνεται από τον τύπο: Που είναι ο τύπος που ξέρουμε από το Λύκειο. Τότε η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης R δίνεται από τον τύπο: Και η πτώση τάσης στα άκρα του πηνίου δίνεται από τον τύπο: Και πάλι πρέπει: ό Παρατηρείστε ότι το ρεύμα, που είναι η απόκριση του κυκλώματος τείνει και πάλι στην μερική λύση της διαφορικής, όπως και πριν (μόνο που πριν ο πυκνωτής λειτουργώντας σαν διακόπτης έδινε μόνιμη απόκριση ίση με το μηδέν): Θεωρητικά, η τάση δεν μηδενίζεται ποτέ, όπως επίσης ποτέ δεν γίνεται το. Βέβαια, αυτό είναι αλήθεια μόνο θεωρητικά. Πειραματικά και πάλι, η τάση αυτή εξαρτάται από την ευαισθησία ανάγνωσης τάσης, από το ηλεκτρικό ή ηλεκτρονικό όργανο, που είναι. Τότε, για τιμή κάτω από το εν λόγω όργανο μέτρησης στα άκρα του πηνίου θα έχει ένδειξη ίση με το μηδέν. Έτσι, η τάση στα άκρα του πηνίου θα μηδενισθεί για. Ο χρόνος που θα γίνει αυτός ο μηδενισμός τάσης,, μπορεί να βρεθεί από την παρακάτω ανισότητα: ln Έτσι, ο χρόνος μηδενισμού της τάσης καθώς επίσης και η επίτευξη, δεν είναι άπειρος αλλά είναι μεγαλύτερος και ίσος από ln, όπου η τάση τροφοδοσίας και η ευαισθησία του ηλεκτρικού ή ηλεκτρονικού οργάνου μέτρησης. Έστω ότι ξαφνικά η πηγή τάσης μηδενίζεται (βραχυκυκλώνεται), για ln παραπάνω εξισώσεις ισχύουν και πάλι, μόνο που 0 και : Τότε η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης R δίνεται από τον τύπο: Και η πτώση τάσης στα άκρα του πηνίου δίνεται από τον τύπο:. Τότε, οι
6 Παρατηρείστε ότι και πάλι: 0ό Με βάση τα ανωτέρω είναι δυνατή η εύρεση της απόκρισης του κυκλώματος του Σχήματος 3, αν η διέγερση (πηγή τάσης) είναι παλμική, όπως και προηγούμενα. Και πάλι, ένας πιο σύνθετος τρόπος επίλυσης παλμικής διέγερσης είναι ο μετασχηματισμός Fourier και ο μετασχηματισμός Laplace, που αποτελούν αντικείμενο επόμενου μαθήματος..3. Κύκλωμα RLC Το κύκλωμα του Σχήματος 3 είναι κύκλωμα B τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης εν σειρά με μια αντίσταση ένα πηνίο και έναν πυκνωτή. Την χρονική στιγμή 0, το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα,, το οποίο μπορεί να υπολογισθεί κάνοντας επίσης χρήση του 2 ου νόμου του Kirchhoff: R V C L Σχήμα 3. Το κύκλωμα RLC εν σειρά. Το ρεύμα αυτό είναι η απόκριση του κυκλώματος. Από το κεφάλαιο, είναι γνωστό ότι η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης του πηνίου και του πυκνωτή δίνονται από τους τύπους: Κατά συνέπεια η εξίσωση του Kirchhoff γίνεται: Η επίλυση αυτής της εξίσωσης επιτυγχάνεται με την διαφόριση του δεξιού και του αριστερού μέλους της ως προς τον χρόνο. Έτσι, η εξίσωση μετασχηματίζεται από ολοκληρωτική σε διαφορική: 0 Από τις διαφορικές εξισώσεις (βλέπε Παράρτημα Α) βλέπουμε ότι η εν λόγω διαφορική εξίσωση είναι ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση B τάξης (εξ ού και η ονομασία του εν λόγω
7 κυκλώματος ως κυκλώματος Β τάξης). Για να γίνει πιο κατανοητή η λύση της μετασχηματίζουμε το σε και κατά συνέπεια το σε. Έτσι, η παραπάνω εξίσωση γίνεται: 0 Η λύση της διαφορικής εξίσωσης εξαρτάται από τις τιμές του τριωνύμου. Οι περιπτώσεις είναι 3. Σε κάθε περίπτωση οι ρίζες του τριωνύμου είναι:, Περίπτωση : το τριώνυμο έχει δύο ίδιες και πραγματικές ρίζες, όπου δηλαδή ή 4 και. Τότε η λύση της ομογενούς διαφορικής είναι: Η οποία είναι μια συνάρτηση Rayleigh. Περίπτωση 2: το τριώνυμo έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή η 4. Τότε η απόκριση του κυκλώματος είναι: Που είναι μια εκθετικώς φθίνουσα συνάρτηση, διότι, 0. Περίπτωση 3: το τριώνυμo έχει μιγαδικές ρίζες δηλαδή ή 4. Τότε οι ρίζες του τριώνυμου είναι μιγαδικές ( και και, 0,. Τότε η απόκριση του κυκλώματος είναι: cos Που είναι μια εκθετικώς φθίνουσα συνημιτονοειδής συνάρτηση. Σημειώνεται ότι: (σύνοψη και τυπολόγιο μιγαδικών και φανταστικών αριθμών στο Παράρτημα Β).
8 2. Μόνιμη ημιτονοειδής κατάσταση 2.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος 4 αποτελείται από μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης εν σειρά με μια αντίσταση και έναν πυκνωτή. Την χρονική στιγμή 0, το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα,, το οποίο μπορεί να υπολογισθεί κάνοντας και πάλι χρήση του 2 ου νόμου του Kirchhoff, σύμφωνα με τον οποίο, σε έναν κλειστό βρόχο, το άθροισμα των πηγών τάσης ισούται με το άθροισμα των πτώσεων τάσης: V(t) R C Σχήμα 4. Το κύκλωμα RC εν σειρά. Θυμίζουμε και πάλι την συσχέτιση της πτώσης τάσης στα άκρα της αντίστασης και του πυκνωτή με την απόκριση : Κατά συνέπεια η εξίσωση του Kirchhoff γίνεται: Η επίλυση αυτής της εξίσωσης επιτυγχάνεται με την διαφόριση του δεξιού και του αριστερού μέλους της ως προς τον χρόνο. Αν προσπαθήσουμε να λύσουμε με, τότε η μερική λύση αυτής της νέας διαφορικής εξίσωσης δεν θα είναι πια μηδέν και το ολοκλήρωμα που δίνει αυτή τη μερική λύση θα είναι γινόμενο ημιτονοειδούς συνάρτησης με εκθετικό, που σημαίνει σχετικά δύσκολη επίλυση. Για τον λόγο αυτόν, κάνουμε χρήση του μαθηματικού μετασχηματισμού: Αν η διέγερση είναι μιγαδική, τότε και η απόκριση θα είναι μιγαδική. Αν εφαρμόζεται μόνο το πραγματικό μέρος της διέγερσης, τότε η απόκριση θα είναι μόνο το πραγματικό μέρος της απόκρισης. Αν εφαρμόζεται μόνο το φανταστικό μέρος της διέγερσης, τότε η απόκριση είναι μόνο το φανταστικό μέρος της απόκρισης. Έτσι, θεωρώντας ότι η διέγερση του κυκλώματος είναι: η εξίσωση μετασχηματίζεται στην:
9 Για να λυθεί αυτή η εξίσωση, πρέπει να διαφορίσουμε δεξιό και αριστερό μέλος ως προς τον χρόνο: (Θυμίζουμε ότι και ) Η λύση αυτής της διαφορικής δίνεται από τον τύπο: Όπου η λύση της ομογενούς και, η λύση της μερικής. Βλέπουμε πόσο εύκολος έγινε ο υπολογισμός του ολοκληρώματος με την χρήση του εκθετικού στην διέγερση. Για, το τείνει στο μηδέν και το γίνεται: Βλέπουμε δηλαδή, ότι στην μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση ο νόμος του Ohm συνεχίζει και ισχύει, δίνοντας μια τιμή αντίστασης στον πυκνωτή, ο οποίος πλέον δεν λειτουργεί σαν διακόπτης 2. Η αντίσταση αυτή δεν έχει πραγματική τιμή αλλά φανταστική (με αρνητική τιμή) και την ονομάζουμε εμπέδηση. Η φυσική έννοια της φανταστικής αντίστασης είναι η ικανότητά της να αποθηκεύει ενέργεια αντί να την καταναλώνει. Η συνολική αντίσταση του κυκλώματος είναι πλέον μιγαδική και ονομάζεται εμπέδηση του κυκλώματος : Δεδομένου ότι και και, έχουμε το δικαίωμα να ορίσουμε: 2 Στην πραγματικότητα, από φυσική σημασία, ο πυκνωτής συνεχίζει και είναι διακόπτης, μόνο που η εναλλασσόμενη διέγερση επιβάλλει διαφορά τάσης στα άκρα του η οποία με την σειρά της προκαλεί διαφορά τάσης στα άκρα της αντίστασης, επιτρέποντας έτσι την διέλευση ρεύματος.
10 Έτσι: Όπου:, και tan Έτσι η απόκριση για γίνεται: Για διέγερση: Έτσι, για διέγερση, η απόκριση είναι: Παρατηρούμε δηλαδή ότι η απόκριση του ρεύματος στην μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση είναι και αυτή ημιτονοειδής συνάρτηση με την ίδια συχνότητα, η οποία όμως έχει μια διαφορά φάσης σε σχέση με την διέγερση. Μάλιστα, το ρεύμα υστερεί κατά μια φάση από την ημιτονοειδή διέγερση. Στον παλμογράφο του εργαστηρίου είδαμε αυτή η φάση, όπου είναι η χρονική υστέρηση της πτώσης τάσης στην αντίσταση από την τάση διέγερσης Κύκλωμα RL Το κύκλωμα του Σχήματος 5 αποτελείται από μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης εν σειρά με μια αντίσταση και ένα πηνίο. Την χρονική στιγμή 0, το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα,, το οποίο μπορεί να υπολογισθεί κάνοντας και πάλι χρήση του 2 ου νόμου του Kirchhoff, σύμφωνα με τον οποίο, σε έναν κλειστό βρόχο, το άθροισμα των πηγών τάσης ισούται με το άθροισμα των πτώσεων τάσης: R V(t) L Σχήμα 5. Το κύκλωμα RL εν σειρά.
11 Το ρεύμα αυτό είναι η απόκριση του κυκλώματος. Από τα προηγούμενα, είναι γνωστό ότι η πτώση τάσης στα άκρα της αντίστασης και του πηνίου δίνονται από τους τύπους: Κατά συνέπεια η εξίσωση του Kirchhoff γίνεται: Όπως και πριν, κάνουμε χρήση του μαθηματικού μετασχηματισμού: Έτσι, θεωρώντας ότι η διέγερση του κυκλώματος είναι: η εξίσωση κατάστασης μετασχηματίζεται στην: Το ρεύμα θα είναι η λύση της γραμμικής μη ομογενούς διαφορικής εξίσωσης: Η λύση αυτής της διαφορικής δίνεται από τον τύπο: Όπου η λύση της ομογενούς και, η λύση της μερικής. Για, το τείνει στο μηδέν και το αποκτά την τιμή της μερικής λύσης: Βλέπουμε δηλαδή, ότι στην μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση ο νόμος του Ohm συνεχίζει και ισχύει, δίνοντας μια τιμή αντίστασης στο πηνίο, που δεν είναι πλέον βραχυκύκλωμα όπως στο συνεχές. Η αντίσταση αυτή δεν έχει πραγματική τιμή αλλά φανταστική (θετική αυτή τη φορά) και την ονομάζουμε εμπέδηση. Η έννοια αυτής της εμπέδησης είναι προσφορά ενέργειας από το πηνίο. Η συνολική αντίσταση του κυκλώματος είναι πλέον μιγαδική και ονομάζεται εμπέδηση του κυκλώματος : Δεδομένου ότι και, έχουμε και πάλι τοδικαίωμα να ορίσουμε:
12 Έτσι: Όπου: και, και tan Έτσι η απόκριση για γίνεται: Για διέγερση: Έτσι, για διέγερση, η απόκριση είναι: Παρατηρούμε δηλαδή και πάλι ότι η απόκριση του ρεύματος στην μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση είναι και αυτή ημιτονοειδής συνάρτηση (και πάλι της ίδιας συχνότητας), η οποία όμως έχει μια διαφορά φάσης σε σχέση με την διέγερση. Μάλιστα, το ρεύμα προηγείται κατά φάση από την ημιτονοειδή διέγερση. Στον παλμογράφο του εργαστηρίου είδαμε αυτή η φάση, όπου είναι η χρονική υστέρηση της τάσης διέγερσης από την πτώση τάσης της αντίστασης Το Κύκλωμα RLC Το κύκλωμα του Σχήματος 6 είναι κύκλωμα B τάξης και αποτελείται από μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης εν σειρά με μια αντίσταση ένα πηνίο και έναν πυκνωτή. R V(t) C L Σχήμα 6. Το κύκλωμα RLC εν σειρά. Κάνοντας χρήση του θεωρήματος της επαλληλίας η απόκριση του κυκλώματος για την μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση ( 0), είναι:
13 Η συνολική αντίσταση του κυκλώματος είναι πλέον το άθροισμα της εμπέδησης του πηνίου και του πυκνωτή, προσφέροντας την συνολική εμπέδηση του κυκλώματος : Δεδομένου ότι και πάλι και Έτσι: Όπου: και, έχουμε το δικαίωμα να ορίσουμε:, και tan Έτσι η απόκριση για γίνεται: Για διέγερση: Έτσι, για διέγερση, η απόκριση είναι: Παρατηρούμε δηλαδή και πάλι την διαφορά φάσης σε σχέση με την διέγερση. Μάλιστα, το ρεύμα προηγείται κατά φάση από την ημιτονοειδή διέγερση. Στον παλμογράφο του εργαστηρίου αυτή η φάση, όπου είναι η χρονική υστέρηση της τάσης διέγερσης από την πτώση τάσης της αντίστασης. Όταν η εμπέδηση του πηνίου πλησιάζει την εμπέδηση του πυκνωτή, τότε συμβαίνουν δύο φαινόμενα ταυτόχρονα:. Η τιμή της εμπέδησης τείνει στην τιμή με αποτέλεσμα η μέγιστη τιμή της απόκρισης του ρεύματος να τείνει στο και 2. Η γωνία να τείνει στο 0 και έτσι η απόκριση του ρεύματος να τείνει στο Αυτό είναι το φαινόμενο του συντονισμού και μπορεί να παρατηρηθεί και χρησιμοποιηθεί ελέγχοντας την συχνότητα διέγερσης, την επαγωγή και τον πυκνωτή. Εφαρμογές του συντονισμού με έμφαση στην μεταλλουργία και την μεταλλευτική έχουμε δει στα εργαστήρια.
14 Από την εξίσωση της απόκρισης για διέγερση, γίνεται προφανές ότι για τον υπολογισμό της απόκρισης δεν απαιτείται η επίλυση στο πεδίο του χρόνου: αν θεωρήσουμε την τάση διέγερσης τότε η απόκριση μπορεί να δοθεί από την σχέση, από την οποία ευρίσκεται η μέγιστη τιμή της απόκρισης και η φάση. Στην συνέχεια η βρίσκεται από την σχέση: sin Αυτό είναι το θεώρημα των φασόρων και θα μας χρειαστεί στον υπολογισμό της απόκρισης σε δίκτυα κυκλωμάτων που θα μελετήσουμε στην συνέχεια.
15 3. Ηλεκτρικά δίκτυα 3.. Το θεώρημα των βρόχων Μέχρι τώρα είδαμε την επίλυση απλών κυκλωμάτων ενός βρόχου τόσο στα μεταβατικά φαινόμενα όσο και στην ημιτονοειδή κατάσταση. Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πως επιλύονται κυκλώματα με πολλαπλούς βρόχους. Ας μελετήσουμε το κύκλωμα του Σχήματος 7 3. Η επίλυσή του συνίσταται στην εύρεση των 6 κλαδικών ρευμάτων, που διαρρέουν τις 6 αντιστάσεις του κυκλώματος. Αντί γι αυτό όμως μπορούμε να επιλύσουμε το κύκλωμα βρίσκοντας τα 3 βροχικά ρεύματα που διέρχονται από κύριους βρόχους του συστήματος. Για παράδειγμα, στο κύκλωμα του Σχήματος 7, αν βρούμε τα τρία βροχικά ρεύματα,,, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε με προσθαφαίρεση τα κλαδικά ρεύματα που αποτελούν την πραγματική επίλυση του δικτύου. Έτσι, μειώνουμε δραματικά τους αγνώστους του προβλήματος:,,,,, R R 3 R 6 R 5 V Ι Ι 2 Ι 3 V 2 R 4 Σχήμα 7. Ένα (σχετικά απλό) ηλεκτρικό δίκτυο. Εν γένει η επίλυση ενός κυκλώματος επιτυγχάνεται με αυτόν τον τρόπο αν προσδιορίσουμε τους κύριους βρόχους του. Ο αριθμός των κυρίων βρόχων προσδιορίζεται από τους κυρίους κόμβους και τους κυρίους κλάδους του. Κύριοι κόμβοι είναι τα σημεία του κυκλώματος που συναντώνται πάνω από δύο ηλεκτρικοί κλάδοι. Κύριοι κλάδοι είναι οι κλάδοι του κυκλώματος που συνδέουν κύριους κόμβους. Το θεώρημα βρόχων λέει ότι ο αριθμός των κυρίων βρόχων ενός κυκλώματος ισούται με: Όπου, ο αριθμός των κυρίων κλάδων και κόμβων του κυκλώματος αντίστοιχα. Στο κύκλωμα του Σχήματος 7, ο αριθμός των κυρίων κόμβων 4 και ο αριθμός των κυρίων κλάδων κατά συνέπεια προκύπτει ως 6. Έτσι ο αριθμός των κυρίων βρόχων είναι 643. Στην επίλυση ενός οποιουδήποτε κυκλώματος, η πρώτη μας δουλειά είναι να βρούμε τον αριθμό των κυρίων βρόχων. Για παράδειγμα στο Σχήμα 8, αναπαρίσταται ο γράφος ενός κυκλώματος (γράφος ενός κυκλώματος είναι η αναπαράσταση των κλάδων του χωρίς τα ενεργά και τα παθητικά στοιχεία που το απαρτίζουν). Στον γράφο αυτό λοιπόν, που αναπαριστά μεγαλύτερο 3 Για λόγους απλότητας και κατανόησης της μεθόδου επίλυσης κυκλωμάτων θα δούμε πρώτα πως λύνεται ένα κύκλωμα συνεχούς διέγερσης (που αποτελείται δηλαδή από ωμικές αντιστάσεις) και στην συνέχεια θα δούμε πως επιλύεται στην μόνιμη ημιτονοειδή κατάσταση.
16 πολυπλοκότερο κύκλωμα από αυτό του Σχήματος 7, ο αριθμός των κυρίων κόμβων είναι 8 και ο αριθμός των κυρίων κλάδων είναι 3. Ο αριθμός των κυρίων βρόχων λοιπόν (που ισούται με τον αριθμό των αγνώστων που επιλύουν το κύκλωμα) είναι 386. Ι Ι 2 Ι 3 Ι 6 Ι 5 Ι 4 Σχήμα 8. Ο γράφος ενός πιο πολύπλοκου κυκλώματος 6 κυρίων βρόχων Η επιλογή των κυρίων βρόχων είναι υποκειμενική. Επιτρέπεται να διαλέξουμε τους κύριους βρόχους που επιθυμούμε για να επιλύσουμε το κύκλωμα, κάτι που εξαρτάται από το πιο κλαδικό ρεύμα μας ζητείται να βρεθεί. Η απαγορευτική αρχή είναι μία: μετά την επιλογή δεν πρέπει να υπάρχει κύριος κλάδος του κυκλώματος που να μην καλύπτεται (να μην είναι μέρος) κάποιου κυρίου βρόχου. Ο πιο απλός τρόπος επίλυσης του κυκλώματος είναι η επιλογή διαδοχικών διακριτών κύριων βρόχων με τον ίδιο προσανατολισμό βροχικού ρεύματος 4. Έτσι, ο ορισμός των κυρίων βρόχων και κατά συνέπεια των βροχικών ρευμάτων που δείχνονται στο Σχήμα 8, καλύπτει τις απαιτήσεις του θεωρήματος και της μεθοδολογίας επίλυσης του κυκλώματος, που θα δούμε στην συνέχεια. Ακόμη, ο ορισμός των κυρίων βρόχων του γράφου του Σχήματος 7 που δίνεται στο Σχήμα 9 είναι λάθος, διότι το δεξιός κύριος κλάδος (που δείχνεται με κόκκινο ή γκρι σε ασπρόμαυρη εκτύπωση) δεν καλύπτεται από τουλάχιστον ένα βροχικό ρεύμα. Ι Ι 2 Ι 3 Σχήμα 9. Εσφαλμένος προσδιορισμός κυρίων βρόχων. Ας λύσουμε τώρα ένα απλό κύκλωμα τριών κυρίων βρόχων όπως είναι το κύκλωμα του Σχήματος 0. Το κύκλωμα αυτό διαθέτει ωμική αντίσταση κα πηγή συνεχούς τάσης σε κάθε κλάδο. Για τον υπολογισμό των βροχικών ρευμάτων θα μελετηθούν κατ αρχήν οι τρεις βρόχοι ξεχωριστά. Είναι 4 Το βροχικό ρεύμα είναι «φανταστικό» και έχει την φορά που εμείς (αυθαίρετα) επιλέγουμε να έχει. Αν η επίλυση δώσει αρνητική τιμή τότε η φορά του είναι αντίστροφη.
17 σαφές ότι στην περίπτωση των κλάδων που αποτελούν τομή κυρίων βρόχων τα διερχόμενα ρεύματα θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των αντίστοιχων βροχικών ρευμάτων. R R 3 V 3 R 6 + V + Ι Ι 2 R 5 Ι 3 + V 6 V 2 + R 4 V 5 + V 4 + Σχήμα 0. Ηλεκτρικό κύκλωμα με τα βροχικά του ρεύματα. Από τον πρώτο βρόχο έχουμε: Από τον δεύτερο βρόχο έχουμε: 0 Από τον τρίτο βρόχο έχουμε: 0 Από τις παραπάνω τρεις εξισώσεις έχουμε: Όπου είναι το άθροισμα των αντιστάσεων στον κύριο βρόχο, η αντίσταση της τομής του βρόχου με τον βρόχο, το βροχικό ρεύμα στον βρόχο και το αλγεβρικό άθροισμα των πηγών τάσης στον βρόχο. Έτσι τα βροχικά ρεύματα,, προκύπτουν από τα πηλίκα των παρακάτω οριζουσών:
18 Και Αντίστοιχα επιλύουμε ένα κύκλωμα όταν διεγείρεται από ημιτονοειδείς τάσεις 5. Κάνοντας χρήση του θεωρήματος των φασόρων, απομονώνουμε τον παράγοντα και λύνουμε θεωρώντας συνεχή διέγερση, όπου η φασική γωνία του ημιτόνου διέγερσης sin εν γένει. Ας δούμε για παράδειγμα το κύκλωμα του Σχήματος. R V sin(ωt+θ ) C V 2 sin(ωt+θ 2 ) L L 2 Σχήμα. Ηλεκτρικό δίκτυο με ημιτονοειδή διέγερση και παθητικά στοιχεία RLC. Τότε για την επίλυσή του, το κύκλωμα θα μετασχηματισθεί σύμφωνα με το θεώρημα των φασόρων στο κύκλωμα του Σχήματος 2 και θα λυθεί χωρίς να ληφθεί υπόψη ο χρόνος. V e iθ R /iωc Ι Ι V 2 e iθ2 iωl iωl 2 Σχήμα 2. Το ηλεκτρικό δίκτυο του Σχήματος μετασχηματισμένο σύμφωνα με το θεώρημα των φασόρων. 5 Προσοχή: τάσεις με την ίδια ημιτονοειδή συχνότητα
19 Το κύκλωμα του Σχήματος 2 είναι παρόμοιο με το κύκλωμα του Σχήματος 0, με την διαφορά ότι τα στοιχεία δεν είναι πραγματικοί αριθμοί, αλλά μιγαδικοί. Έτσι, η εξίσωση κατάστασης γίνεται: Έτσι, τα βροχικά ρεύματα, βρίσκονται από τα παρακάτω πηλίκα οριζουσών: Και Μόνο που τα βροχικά ρεύματα δεν είναι η τελική λύση. Πρέπει να μετατραπούν σε ημιτονοειδείς συναρτήσεις. Έστω ότι το πηλίκο που δίνει για παράδειγμα το είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: sin Αντίστοιχα, αν απαιτείται να βρεθεί η πτώση τάσης στα άκρα του πηνίου, υπολογίζεται πρώτα ο φάσορας της απόκρισης και μετά η ημιτονοειδής μορφή του. Έστω ότι ζητείται η πτώση τάσης στα άκρα του πηνίου. Πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το με την «αντίσταση» (=εμπέδηση) : Και τότε μπορούμε να πούμε ότι: sin 90 cos 3.2. Το θεώρημα της επαλληλίας Το θεώρημα της επαλληλίας στην ηλεκτροτεχνία έχει την κλασσική εφαρμογή όπως και στην φυσική: η απόκριση ενός κυκλώματος που διεγείρεται από πάνω από μία πηγές ισούται με toτο άθροισμα των αποκρίσεων αν κάθε πηγή διέγειρε μόνη της το κύκλωμα κάθε φορά. Ν πηγές οδηγούν σε Ν ανεξάρτητες λύσεις, οι οποίες αθροιζόμενες αλγεβρικά, δίνουν την συνολική απόκριση. Αυτό το θεώρημα έχει δύο βασικές εφαρμογές που θα εξετασθούν στην συνέχεια. Η πρώτη εφαρμογή σχετίζεται με την εύρεση της απόκρισης σε κυκλώματα που διεγείρονται από πάνω από μία συχνότητες. Στην περίπτωση αυτή, η εφαρμογή του θεωρήματος των βρόχων προϋποθέτει την διάκριση των διεγέρσεων με βάση την συχνότητα. Έτσι, μπορεί να εφαρμοσθεί το
20 θεώρημα των φασόρων και το θεώρημα των βρόχων σε κάθε συχνότητα ξεχωριστά και στην συνέχεια οι αποκρίσεις (που έχουν ήδη μετατραπεί σε αποκρίσεις συναρτήσει του χρόνου) προστίθενται αλγεβρικά. Για παράδειγμα το κύκλωμα του Σχήματος 3 διεγείρεται από δύο πηγές που η μία έχει συχνότητα, και η άλλη. Στην περίπτωση αυτή δεν μπορεί να εφαρμοσθεί το θεώρημα των βρόχων που μάθαμε παραπάνω. Το κύκλωμα μπορεί να λυθεί με την αρχή της επαλληλίας. Δηλαδή η απόκριση θα βρεθεί διακριτά για τις δύο διαφορετικές συχνότητες διέγερσης και στην συνέχεια οι (δύο) αποκρίσεις θα προστεθούν αλγεβρικά, αφού πρώτα τις μετασχηματίσουμε στο πεδίο του χρόνου. Έτσι το κύκλωμα του Σχήματος 3 αναλύεται στο κύκλωμα του Σχήματος 4α και στο κύκλωμα του Σχήματος 4β, που με την σειρά τους μετασχηματίζονται στα κυκλώματα συνεχούς διέγερσης (μιγαδικού χαρακτήρα) των Σχημάτων 5α και 5β αντίστοιχα. R V! sin(ω t+θ ) C V 2 sin(ω 2 t+θ 2 ) L L 2 Σχήμα 3. Ηλεκτρικό δίκτυο με δύο συχνοτικές διεγέρσεις R V! sin(ω t+θ ) C L L 2 (α) R C V 2 sin(ω 2 t+θ 2 ) L L 2 (β) Σχήμα 4. Η διάκριση των δύο συχνοτικών αποκρίσεων
21 V! e iθ R /iω C Ι Ι iω L iω L 2 (α) R /iω 2 C Ι Ι V 2 e iθ2 iω 2 L iω 2 L 2 (β) Σχήμα 5. Το δύο ηλεκτρικά δίκτυα του Σχήματος 4 μετασχηματισμένα σύμφωνα με το θεώρημα των φασόρων. Έτσι θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των βρόχων για τα δύο κυκλώματα. Η εξίσωση κατάστασης για το κύκλωμα του Σχήματος 5α είναι: 0 Έτσι, τα βροχικά ρεύματα, βρίσκονται από τα παρακάτω πηλίκα οριζουσών: Και 0
22 0 Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: sin Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: sin Αντίστοιχα, η εξίσωση κατάστασης για το κύκλωμα του Σχήματος 5β είναι: 0 Έτσι, τα βροχικά ρεύματα, βρίσκονται από τα παρακάτω πηλίκα οριζουσών: Και 0 0 Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: sin Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: sin Έτσι το συνολικό (πραγματικό) ρεύμα είναι: sin sin
23 Και το ρεύμα είναι: sin sin Η δεύτερη σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος της επαλληλίας είναι η διέγερση ενός κυκλώματος ή δικτύου από παλμικό ρεύμα. Μέχρι στιγμής δεν έχουμε μάθει να επιλύουμε ένα τέτοιο κύκλωμα. Θα το μάθουμε τώρα. Η τεχνική που θα ακολουθήσουμε είναι η ανάλυση της παλμικής διέγερσης σύμφωνα με το θεώρημα Fourier 6. Μια παλμική διέγερση αναλύεται κατά Fourier σε άθροισμα απείρων όρων αρμονικών συχνοτήτων μιας βασικής συχνότητας που αντιστοιχεί στην περίοδο επανάληψης του παλμικού σήματος: sin sin 2 sin 3 Εύλογα θα πει κάποιος ότι δεν μπορεί να λύσει ένα τέτοιο πρόβλημα διότι η σειρά που περιγράψαμε έχει άπειρους όρους. Στο σημείο αυτό πρέπει να θυμηθούμε αυτά που λέγαμε στα μεταβατικά φαινόμενα: θεωρητικά, η τάση στα άκρα της αντίστασης στο κύκλωμα RC ποτέ δεν πρόκειται να μηδενισθεί. Εμείς όμως στο εργαστήριο και στην θεωρία αποδείξαμε γιατί μηδενίζεται στην πραγματικότητα, με κριτήριο την ευκρίνεια ανάγνωσης των ηλεκτρικών οργάνων. Έτσι, και στην περίπτωση της σειράς Fourier, οι πραγματικές λύσεις είναι πεπερασμένες: αν πάρουμε υπόψη μόνο τον πρώτο όρο (συνεχή διέγερση) τότε η διέγερσή μας δεν είναι παλμική, ούτε καν χρονικά μεταβαλλόμενη. Αν πάρουμε και τον δεύτερο όρο, τότε η συνάρτηση είναι ημιτονοειδής και περιέχει μόνο την περίοδο επανάληψης του παλμού. Αν πάρουμε και τον τρίτο όρο, αρχίζουμε να διαμορφώνουμε κάτι που μοιάζει λίγο σε παλμό. Αν πάρουμε υπόψη και τον τέταρτο όρο, θα δούμε ότι η απόκριση μοιάζει πιο πολύ σε παλμό. Αν πάρουμε τους πρώτους 0 όρους της σειράς, τα όργανα μέτρησης μπορεί να μην είναι πλέον σε θέση να ξεχωρίσουν τις μικρές αρμονικές ταλαντώσεις στην παλμοσειρά! Ας δούμε το κύκλωμα του Σχήματος 6, όπου η πηγή είναι παλμική. Η απόκριση του κυκλώματος θα βρεθεί με το θεώρημα της επαλληλίας, αν για κάθε συνιστώσα της παλμικής διέγερσης, βρίσκουμε και επιλύουμε το αντίστοιχο κύκλωμα. R V(t) C L L 2 Σχήμα 6. Κύκλωμα που διεγείρεται από παλμοσειρά Για χάρη απλότητας και κατανόησης, θα επιλύσουμε το κύκλωμα για τους πρώτους τρεις όρους της σειράς Fourier. Αντίστοιχα λύνονται τα κυκλώματα που προκύπτουν και από τους υπόλοιπους όρους της σειράς. Για διέγερση, το κύκλωμα μετασχηματίζεται στο κύκλωμα του Σχήματος 7 (λόγω μόνιμης κατάστασης, ο πυκνωτής είναι ανοικτοκύκλωμα και τα πηνία βραχυκυκλώματα): 6 Υπάρχει και μια άλλη τεχνική επίλυσης που βασίζεται στο θεώρημα Laplace, που θα την δούμε αργότερα
24 R V ο Σχήμα 7. Το κύκλωμα του Σχήματος 6 με συνεχή διέγερση Στο κύκλωμα αυτό, ο βρόχος είναι πλέον ένας και το ρεύμα του θα περνά μόνο από τις αντιστάσεις, : Για διέγερση sin, το κύκλωμα αποτυπώνεται στο Σχήμα 8. R V(t) C L L 2 Σχήμα 8. Το κύκλωμα του Σχήματος 6 με διέγερση sin Το ισοδύναμο κύκλωμα σύμφωνα με το θεώρημα των φασόρων θα είναι αυτό του Σχήματος 9. V e i0 R /iωc Ι Ι 2 iωl iωl 2 Σχήμα 9. Το ισοδύναμο κύκλωμα του κυκλώματος του Σχήματος 8 Η εξίσωση κατάστασης του κυκλώματος θα είναι: 0 Έτσι, τα βροχικά ρεύματα, βρίσκονται από τα παρακάτω πηλίκα οριζουσών:
25 Και 0 0 Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: sin Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: sin Για διέγερση sin 2, το κύκλωμα αποτυπώνεται στο Σχήμα 20. R V(t) C L L 2 Σχήμα 20. Το κύκλωμα του Σχήματος 6 με διέγερση sin 2 Το ισοδύναμο κύκλωμα σύμφωνα με το θεώρημα των φασόρων θα είναι αυτό του Σχήματος 2. V 2 e i0 R /i2ωc Ι Ι 2 i2ωl i2ωl 2 Σχήμα 2. Το ισοδύναμο κύκλωμα του κυκλώματος του Σχήματος 20
26 Η εξίσωση κατάστασης του κυκλώματος θα είναι: Έτσι, τα βροχικά ρεύματα, βρίσκονται από τα παρακάτω πηλίκα οριζουσών: Και Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης 2 είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: 2 sin2 Έστω ότι το πηλίκο που δίνει το με συχνότητα διέγερσης 2 είναι, τότε το βροχικό ρεύμα θα είναι: 2 sin2 Έτσι, το συνολικό ρεύμα που διαρρέει το πηνίο, είναι: 2 sin sin2 Αντίστοιχα επιλύονται και τα υπόλοιπα κλαδικά ρεύματα. Για τις πτώσεις τάσης, θα πρέπει πρώτα να βρούμε τις μιγαδικές αποκρίσεις σε κάθε συχνότητα και μετά να τις προσθέσουμε. Για παράδειγμα, η πτώση τάσης στο πηνίο, είναι: Έτσι, η πτώση τάσης στα άκρα του πηνίου, είναι: sin 902 sin Το θεώρημα ισοδυνάμων δικτύων (θεώρημα Norton Thevenin) Το θεώρημα ισοδυνάμων δικτύων λέει ότι ένα οποιοδήποτε κύκλωμα, όσο μεγάλο και αν είναι, έχει ως ισοδύναμό του κύκλωμα ως προς δύο άκρα του ΑΑ έναν κλάδο με άκρα ΒΒ, που αποτελείται από μια πηγή τάσης και μια εμπέδηση. Η πηγή τάσης είναι ίση με την τάση στα άκρα ΑΑ όταν το
27 κύκλωμα βρίσκεται σε λειτουργία και η εμπέδηση ισούται με την εμπέδηση εισόδου ως προς τα άκρα ΑΑ (Σχήμα 22). Η απόδειξη μπορεί να γίνει εύκολα και πρακτικά είναι ταυτότητα. Α Α Β Ζ ΑΑ V AA (t) Β Σχήμα 22. Ένα οποιοδήποτε κύκλωμα μπορεί να μετασχηματιστεί σε ισοδύναμο κλάδο που αποτελείται από μια πηγή και μια εμπέδηση Η τεχνική που υπολογίζουμε την τάση στα άκρα ΑΑ είναι γνωστή από τα προηγούμενα. Η τεχνική που υπολογίζεται η εμπέδηση εισόδου ΑΑ θα γίνει με παράδειγμα. Έστω το κύκλωμα του Σχήματος 23, στο οποίο ζητείται η αντίσταση εισόδου στα άκρα ΑΑ. R V! sin(ωt+θ ) C V 2 sin(ωt+θ 2 ) L L 2 Α Α Σχήμα 23. Ηλεκτρικό κύκλωμα, στο οποίο ζητείται το ισοδύναμο κύκλωμα και συγκεκριμένα η εμπέδηση εισόδου ως προς τα άκρα ΑΑ Για να βρεθεί η εμπέδηση, μηδενίζονται οι πηγές ενέργειας (δηλαδή βραχυκυκλώνονται οι πηγές τάσης και ανοικτοκυκλώνονται οι πηγές ρεύματος, που δεν τις μελετούμε μέχρι στιγμής). Στην συνέχεια θεωρούμε φανταστική πηγή διέγερσης στα άκρα ΑΑ. Τότε το κύκλωμα μετασχηματίζεται στο κύκλωμα του σχήματος 24. R Ι 2 C Ι 3 L L 2 Ι Σχήμα 24. Μετασχηματισμός του κυκλώματος του Σχήματος 23 για την εύρεση της ισοδύναμης εμπέδησης ως προς τα άκρα ΑΑ
28 Στην συνέχεια καταστρώνουμε την εξίσωση κατάστασης σύμφωνα με τα βροχικά ρεύματα που έχουμε ορίσει 7, σύμφωνα με το θεώρημα των φασόρων: Τότε, η εμπέδηση, είναι το πηλίκο με αριθμητή την ορίζουσα της μήτρας εμπεδήσεων της παραπάνω εξίσωσης και παρανομαστή την ορίζουσα του υπο πίνακα που προκύπτει αν αφαιρέσουμε τις γραμμές και τις στήλες που αντιστοιχεί η (στην περίπτωσή μας την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη) 8 : Προσοχή: οποιαδήποτε βροχικά ρεύματα ορίσουμε σαν ο, 2 ο και 3 ο το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο αρκεί να είμαστε συνεπείς με τους ορισμούς και την ταυτότητα των στοιχείων των πινάκων 8 Η απόδειξη είναι εύκολη και στηρίζεται στον νόμο του Ohm
Κεφάλαιο 2. Ηλεκτρικά Κυκλώματα
Κεφάλαιο Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα C Το κύκλωμα του Σχήματος. είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης V, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά
Διαβάστε περισσότεραΜεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)
Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 12: Ανάλυση κυκλωμάτων ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ι Από το πραγματικό κύκλωμα στο μοντέλο Μαθηματική μοντελοποίηση Η θεωρία κυκλωμάτων είναι
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση
Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος...13
Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος...13
Περιεχόμενα Πρόλογος...3 Κεφάλαιο : Στοιχεία ηλεκτρικών κυκλωμάτων...5. Βασικά ηλεκτρικά μεγέθη...5.. Ηλεκτρικό φορτίο...5.. Ηλεκτρικό ρεύμα...5..3 Τάση...6..4 Ενέργεια...6..5 Ισχύς...6..6 Σύνοψη...7.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 7: Μεταβατική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Κύκλωμα είναι ένα σύνολο ηλεκτρικών πηγών και άλλων στοιχείων που είναι συνδεμένα μεταξύ τους και διέρχεται ηλεκτρικό ρεύμα από
Διαβάστε περισσότερα1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρθρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία R, L, C στο AC
Στοιχεία R, L, C στο AC Εμπέδηση (περιγραφή, υπολογισμός για κάθε στοιχείο) Νόμος OHM στο AC Στόχοι μαθήματος Προηγούμενο Εύρεση phasors αρμονικών συναρτήσεων Πράξεις (Πρόσθεση/αφαίρεση κλπ) ημιτονοειδών
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων
Άσκηση Θεωρήματα Δικτύων. Θεώρημα Βρόχων ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της μεθόδου των βρογχικών ρευμάτων. ΘΕΩΡΙΑ Με τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων, η επίλυση ενός κυκλώματος στηρίζεται στον υπολογισμό
Διαβάστε περισσότερα3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier
3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 4 η. «Ηλεκτροτεχνία Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις»,Τμήμα Μηχανολόγων Π.Θ., Γ. Περαντζάκης
- - Ενότητα 4 η (Συστηματική μελέτη και ανάλυση κυκλωμάτων με τις μεθόδους των βρόχων και κόμβων. Θεωρήματα κυκλωμάτωνthevenin, Norton, επαλληλίας, μέγιστης μεταφοράς ισχύος) Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζονται
Διαβάστε περισσότεραπεριεχομενα Πρόλογος vii
Πρόλογος vii περιεχομενα ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: Κυκλώματα Συνεχούς Ρεύματος... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...4 1.2 Συστήματα και Μονάδες...5 1.3 Φορτίο και Ρεύμα...6 1.4 Δυναμικό...9 1.5 Ισχύς
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.1 Εισαγωγή 1.1 1.2 Συμβολισμοί και μονάδες 1.3 1.3 Φορτίο, τάση και ενέργεια 1.5 Φορτίο και ρεύμα 1.5 Τάση 1.6 Ισχύς και Ενέργεια 1.6 1.4 Γραμμικότητα 1.7 Πρόσθεση
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1
ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 19Κ7-1 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία). Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση i.
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότερα0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =
Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Κυκλωμάτων και Συστημάτων Ενότητα 2: Γραμμικά δικτυώματα.
Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Συστημάτων Ενότητα 2: Γραμμικά δικτυώματα. Αραπογιάννη Αγγελική Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα 1. Σκοποί ενότητας... 3 2. Περιεχόμενα ενότητας... 3 3. Γραμμικά
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 5. Θεωρήματα κυκλωμάτων. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Θεώρημα επαλληλίας ή υπέρθεσης Θεωρήματα Thevenin και Norton
ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 5 Θεωρήματα κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Θεώρημα επαλληλίας ή υπέρθεσης Θεωρήματα Thevenin και Norton Θεώρημα Επαλληλίας ή Υπέρθεσης (Superposition Theorem) Το θεώρημα της
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4. Απόκριση συχνότητας
Κεφάλαιο 4 Απόκριση συχνότητας Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την απόκριση συχνότητας ενός κυκλώματος, δηλαδή τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται μία τάση ή ένα ρεύμα του κυκλώματος όταν μεταβάλλεται
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότερα- Η ισοδύναμη πηγή τάσης Thevenin (V ή VT) είναι ίση με τη τάση ανοικτού κυκλώματος VAB.
ΘΕΩΡΗΜΑ THEVENIN Κάθε γραμμικό ενεργό κύκλωμα με εξωτερικούς ακροδέκτες Α, Β μπορεί να αντικατασταθεί από μια πηγή τάση V (ή VT) σε σειρά με μια σύνθετη αντίσταση Z (ή ZT), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 1. ΘΕΩΡΗΜΑ KENNELLY (ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΣΤΕΡΑ) Ο βασικός στόχος του θεωρήματος αυτού είναι η μετατροπή της συνδεσμολογίας τύπου αστέρα σε τρίγωνα
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος... i ΑΝΑΦΟΡΕΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ... 77
Περιεχόµενα Πρόλογος............................................ i 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1 Επισκόπηση του κειµένου............................... 2 1.2 Η σχέση ανάµεσα στην ανάλυση κυκλωµάτων και στην µηχανολογία........
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Ο βασικός στόχος του θεωρήματος αυτού είναι η μετατροπή της συνδεσμολογίας τύπου αστέρα σε τρίγωνα και το αντίθετο έτσι ώστε τα δίκτυα α και β να είναι ισοδύναμα
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ. ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/01/2015
ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες) Η έξοδος του αισθητήρα του παρακάτω σχήματος είναι γραμμικό σήμα τάσης, το οποίο εφαρμόζεται για χρονικό διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Θεσσαλίας
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 7 Θεωρήματα Thevenin, Norton, Υπέρθεσης Φ. Πλέσσας Βόλος 2015 Στόχοι Στόχοι
Διαβάστε περισσότερα1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνετη Αντίσταση 4. Ανάλυση
Διαβάστε περισσότεραΕναλλασσόμενο και μιγαδικοί
(olts) Εναλλασσόμενο και μιγαδικοί Γενικά Σε κυκλώματα DC, οι ηλεκτρικές μεγέθη εξαρτώνται αποκλειστικά από τις ωμικές αντιστάσεις, φυσικά μετά την ολοκλήρωση πιθανών μεταβατικών φαινομένων λόγω παρουσίας
Διαβάστε περισσότεραv(t) = Ri(t). (1) website:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 10 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη ηλεκτρικών
Διαβάστε περισσότεραi C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.
Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης 2 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης.................................. 2 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης...................................
Διαβάστε περισσότερα1.5 1 Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff 11 1.5 2 Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff 12 1.5 3 Το θεώρημα του Tellegen 13
Μέρος Α 1. Εισαγωγικές Έννοιες 3 1.1 Το αντικείμενο της θεωρίας των ηλεκτρικών κυκλωμάτων 4 1.2 Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα 5 1.3 Συγκεντρωμένα και κατανεμημένα κυκλώματα 6 1.4 Ορισμοί Φορές αναφοράς
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4. Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων
ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 4 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Συστήματα εξισώσεων - Ορίζουσες Η μέθοδος των ρευμάτων των κλάδων Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων Η μέθοδος των τάσεων κόμβων
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ i 1 i 2
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Ι, 007008 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 008 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΘΕΜΑ. [0%] Για το κύκλωμα δεξιά, ένα λογισμικό ανάλυσης κυκλωμάτων έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα:
Διαβάστε περισσότερα6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE
6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΑΝΑΛΥΣΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Γενικεύοντας τη μέθοδο των ελαχίστων βρόχων έχουμε: Α)Μετατρέπουμε τις πηγές ρεύματος του κυκλώματος σε πηγές τάσης. Β) Ορίζουμε και αριθμούμε τους βρόχους.
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο
Διαβάστε περισσότεραHMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Μέρος Α Ωμικά Κυκλώματα (Διαλέξεις 6) Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ ezekel@ucy.ac.cy Green Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη 7 Εισαγωγή στη μεταβατική ανάλυση Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) Ηλεκτρική Ισχύς. p t V I t t. cos cos 1 cos cos 2. p t V I t. το στιγμιαίο ρεύμα: όμως: Άρα θα είναι: Επειδή όμως: θα είναι τελικά:
Η στιγμιαία ηλεκτρική ισχύς σε οποιοδήποτε σημείο ενός κυκλώματος υπολογίζεται ως το γινόμενο της στιγμιαίας τάσης επί το στιγμιαίο ρεύμα: Σε ένα εναλλασσόμενο σύστημα τάσεων και ρευμάτων θα έχουμε όμως:
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 6: Παθητικά στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΤµήµα Βιοµηχανικής Πληροφορικής Σηµειώσεις Ηλεκτρονικών Ισχύος Παράρτηµα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Τριφασικά Εναλλασσόµενα ρεύµατα Ισχύς και Ενέργεια Ενεργός τιµή περιοδικών µη ηµιτονικών κυµατοµορφών 1. Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Οταν οι νόµοι του Kirchoff εφαρµόζονται
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΟδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-04 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 7 1. Άσκηση 7: Θεώρημα επαλληλίας
Άσκηση 7 1 Άσκηση 7: Θεώρημα επαλληλίας α) Θεωρητικό μέρος Έχουμε ένα κύκλωμα με δύο διεγέρσεις, δύο πηγές τάσης (Σχήμα 1). Στο κύκλωμα αυτό αναπτύσσονται έξι αποκρίσεις, τρία ρεύματα και τρεις τάσεις,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ ΑΠΛΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Ο συντονισμός είναι μια κατάσταση κατά την οποία το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης ενός κυκλώματος RCL μηδενίζεται. Αυτό συμβαίνει γιατί
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 6 Μέτρηση πραγματικής ηλεκτρικής ισχύος
Απαραίτητα όργανα και υλικά ΑΣΚΗΣΗ 6 Μέτρηση πραγματικής ηλεκτρικής ισχύος 61 Απαραίτητα όργανα και υλικά 1 Βολτόμετρο 2 Αμπερόμετρο 3 Τροφοδοτικό συνεχόμενου και εναλλασσόμενου ηλεκτρικού σήματος 4 Πλακέτα
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 04/02/2011 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ
ΘΕΜΑ 1 ο ( μονάδες) Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: 1, 0.7, 00 kω, 4 kω, h e. kω και β h 100. (α) Να προσδιορίσετε τις τιμές των αντιστάσεων και ώστε το σημείο λειτουργίας Q (, ) του τρανζίστορ
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων
Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα
Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΜΑ Α Α
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΛΙΟΥ 2007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότερα3.1 Η δίοδος στο κύκλωμα. Στατική και δυναμική χαρακτηριστική
1 3. Κυκλώματα διόδων 3.1 Η δίοδος στο κύκλωμα. Στατική και δυναμική χαρακτηριστική Στην πράξη η δίοδος προσεγγίζεται με τμηματική γραμμικοποίηση, όπως στο σχήμα 3-1, όπου η δυναμική αντίσταση της διόδου
Διαβάστε περισσότεραΑρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Κυκλωμάτων Αρχές και Θεωρήματα Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Αρχή της επαλληλίας Θεώρημα της αντικατάστασης Εισαγωγή Θεωρήματα Thevenin και Norton Μετατόπιση των πηγών
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο α. β. γ. δ. 2.
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ) ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ 1ο Στις παρακάτω ερωτήσεις 1,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1 ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗΣ Α.1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΟΝΟΦΑΣΙΚΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΤΗ Ο μετασχηματιστής είναι μια ηλεκτρική διάταξη που μετατρέπει εναλλασσόμενη ηλεκτρική ενέργεια ενός επιπέδου τάσης
Διαβάστε περισσότεραR eq = R 1 + R 2 + R 3 = 2Ω + 1Ω + 5Ω = 8Ω. E R eq. I s = = 20V V 1 = IR 1 = (2.5A)(2Ω) = 5V V 3 = IR 3 = (2.5A)(5Ω) = 12.5V
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Απαντήσεις στο 1 0 Homework στην Ανάλυση Κυκλωμάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Πλέσσας Φώτης 1 Πρόβλημα 1 Βρείτε τη συνολική αντίσταση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά μοντέλα συστημάτων
Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ ΚΑΙ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΚΑΙ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 30 ΙΟΥΝΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 206 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ - ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΙΣΧΥΟΣ
ΑΣΚΗΣΗ 06 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ - ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Αντικείμενο της άσκησης αυτής είναι α) η απλοποίηση κυκλωμάτων βάσει του θεωρήματος Thevenin περί ισοδύναμης πηγής με πειραματική εφαρμογή του
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ενότητα 5: Εναλλασσόμενα κυκλώματα μόνιμης κατάστασης Δ.Ν. Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αcos(ωt + φ) ΚΑΙ Η ΦΑΣΟΡΙΚΗ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
Η ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αco(ωt + φ) ΚΑΙ Η ΦΑΣΟΡΙΚΗ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Η ημιτονοειδής συνάρτηση δίνεται από τον τύπο f(t) = Αco(ωt + φ) όπου Α είναι το πλάτος, φ είναι η φάση και ω είναι η γωνιακή συχνότητα.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΙΣΧΥΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1 Ως ισχύς ορίζεται ο ρυθμός παροχής ή κατανάλωσης ενέργειας. Η ηλεκτρική ισχύς ορίζεται ως το γινόμενο της τάσης επί το ρεύμα: p u i Ιδανικό πηνίο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών
ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ι Κεφάλαιο 3 Συνδυασμοί αντιστάσεων και πηγών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Σύνδεση σε σειρά. Παράλληλη σύνδεση Ισοδυναμία τριγώνου και αστέρα Διαιρέτης τάσης Διαιρέτης ρεύματος Πραγματικές πηγές.
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ)
Κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ) Οι ηλεκτρικές συσκευές των κατοικιών χρησιμοποιούν κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος (ΕΡ). Κάθε κύκλωμα ΕΡ αποτελείται από επιμέρους ηλεκτρικά στοιχεία (αντιστάτες,
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων
ΗΜΥ203 Εργαστήριο Κυκλωμάτων και Μετρήσεων Εκθετικά κύματα και Σύνθετη Αντίσταση Κυκλώματα RLC Σειράς, Συχνότητα Συντονισμούκαι Διόρθωση Συντελεστή Ισχύος Διδάσκων: Δρ. Γιώργος Ζάγγουλος Πανεπιστήμιο Κύπρου
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ MM505 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΙ Εργαστήριο ο - Θεωρητικό Μέρος Βασικές ηλεκτρικές μετρήσεις σε συνεχές και εναλλασσόμενο
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1 Ορίζουμε σε κάθε βρόχο ως ρεύμα βρόχου το ρεύμα που διαρρέει όλους τους κλάδους του βρόχου. Ως θετική φορά των ρευμάτων των βρόχων λαμβάνεται αυθαίρετα
Διαβάστε περισσότεραHMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
H Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Από την προηγούμενη διάλεξη Στην ανάλυση πλεγμάτων, εφαρμόζουμε τον νόμο τάσης του Kirchhoff σε όλα τα πλέγματα του κυκλώματος. Τα ρεύμα σε ένα συγκεκριμένο πλέγμα εκφράζεται
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ
ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ AC-DC ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΒΑΣΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΑ - ΑΠΛΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Βασικά στοιχεία κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα αποτελείται από: Πηγή ενέργειας (τάσης ή ρεύματος) Αγωγούς Μονωτές
Διαβάστε περισσότεραΟδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-0 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α
Διαβάστε περισσότεραΟ πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Εικόνα: Επισκευή μιας πλακέτας κυκλωμάτων ενός υπολογιστή. Χρησιμοποιούμε καθημερινά αντικείμενα που περιέχουν ηλεκτρικά κυκλώματα, συμπεριλαμβανομένων και κάποιων με πολύ μικρότερες πλακέτες από την εικονιζόμενη.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚOΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ PIZΩN ή ΤΟΠΟΣ ΕVANS Εισαγωγή Η μελέτη ενός ΣΑΕ μπορεί να γίνει με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που το περιγράφει και είναι τόσο πιο δύσκολο, όσο μεγαλυτέρου βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης
Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Στόχος αυτής της ενότητας του µαθήµατος είναι η µελέτη των ηλεκτρικών κυκλωµάτων στα οποία η ηλεκτροκινητήρια δύναµη παρέχεται από πηγή εναλλασσόµενης τάσης Σε αυτή την ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΗ Εφόσον το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο, έχει περάσει στη μόνιμη κατάσταση και πρέπει να υπολογίσουμε την κατάστασή του αμέσως πριν το
13 2019Κ1Φ-2 RC Το κύκλωμα λειτουργεί για πολύ χρόνο Στο t = 0 η πηγή τάσης αντιστρέφει την πολικότητά της και η πηγή ρεύματος πέφτει στα 2 ma Να υπολογιστεί η τάση v o (t) για t 0 2019Κ1Φ-3 RC ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότερα(( ) ( )) ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα: Ηλεκτροτεχνία Ι Διδάσκων: Α. Ντούνης. Α Ομάδα ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΜ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 5/2/2014. Διάρκεια εξέτασης: 2,5 ώρες
ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα: Ηλεκτροτεχνία Ι Διδάσκων: Α Ντούνης Α Ομάδα ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΜ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 5//014 Θέμα 1 ο (0 μόρια) Διάρκεια εξέτασης:,5 ώρες α) Να υπολογιστεί η ισοδύναμη αντίσταση για το παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου Βασικές αρχές ηλεκτροτεχνίας
Βασικά στοιχεία τοπολογίας (1/2) Κλάδος δικτύου: Κάθε στοιχείο (πηγές,r,l,c) του δικτύου με δύο ακροδέκτες ή οποιαδήποτε ομάδα συνδεδεμένων στοιχείων που σχηματίζουν ένα σύνολο δύο ακροδεκτών Ακροδέκτης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα