Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ζούπας Ανδρέας Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Λεωφόρος Αθηνών, Πεδίο Άρεως, Βόλος 38334 31 Ιανουαρίου 2015

Περιεχόµενα 0.1 Υλη του Μαθήµατος :.................................... 1 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραφία................................ 4 1 Βασικές Εννοιες 6 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες............................. 6 1.1.1 Ορισµός Συνήθους ιαφορικής Εξίσωσης...................... 6 1.1.2 Ταξινόµηση..................................... 7 1.2 Λύσεις µίας Σ Ε...................................... 8 1.3 Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων.......................... 12 1.3.1 Πεδίο ιευθύνσεων-ολοκληρωτικές Καµπύλες................... 13 1.3.1.i Γραφική Προσέγγιση Λύσης-Πολύγωνο του Cauchy............ 17 1.3.1.ii Εύρεση Σ Ε από Γνωστή Οικογένεια Καµπυλών.............. 17 1.3.2 Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ Ε......................... 20 1.3.3 Ορθογώνιες Τροχιές................................. 22 1.4 Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών........................ 22 1.5 Καλά Τοποθετηµένα Προβλήµατα.............................. 25 2 Σ Ε Πρώτης Τάξης. 28 2.1 ιαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως............................ 28 2.2 Ακριβείς Εξισώσεις..................................... 28 2.3 Εξισώσεις Χωριζοµένων Μεταβλητών............................ 33 2.4 Πολλαπλασιαστές του Euler (Ολοκληρωτικοί Παράγοντες)................ 34 2.4.1 Ιδιότητες Πολλαπλασιαστών Euler.......................... 35 2.4.2 Εύρεση Ολοκληρωτικών Παραγόντων........................ 37 2.5 Γραµµικές Εξισώσεις.................................... 46 2.6 Αυτόνοµες Σ Ε- Ποιοτική Μελέτη Λύσεων......................... 51 2.7 Μετασχηµατισµοί Μεταβλητών............................... 63 2.8 Οµογενείς Εξισώσεις.................................... 64 2.9 Η Εξίσωση Bernoulli.................................... 68 2.10Η Εξίσωση Riccati..................................... 72 2.11Ανακεφαλαίωση....................................... 76 3 Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης. 80 3.1 Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης.............................. 80 3.1.1 Η ϑεωρία του Picard................................. 81 3.1.1.i Υπολογισµός ιαδοχικών Προσεγγίσεων της Λύσης............ 82 3.1.1.ii Το Θεώρηµα του Picard........................... 84 3.1.2 Εύρεση Ανώµαλων Σηµείων Σ Ε........................... 89 3.1.3 Επεκτασιµότητα Λύσεων............................... 89 3.2 Εξάρτηση των Λύσεων από Παραµέτρους......................... 89 3.3 Περιβάλλουσα και Ιδιάζουσες Λύσεις............................ 90 3.3.1 Ορισµός και Εύρεση Περιβάλλουσας........................ 90 ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii 3.3.2 Περιβάλλουσες ως Ιδιάζουσες Λύσεις........................ 94 3.3.2.i Η Εξισωση του Clairaut........................... 95 4 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης 100 4.1 Σ Ε Ανώτερης Τάξης..................................... 101 4.1.1 Ακριβείς Σ Ε Ανώτερης Τάξης............................ 101 4.1.2 Η Εξίσωση y (n) (x) = f(x).............................. 104 4.1.3 Εξισώσεις της µορφής y (n) (x) = f(y (n 1) (x)).................... 105 4.1.4 Η Εξίσωση της Μορφής F (x, y (k) (x), y (k+1) (x),..., y (n) (x)) = 0.......... 106 4.1.5 Αυτόνοµες.Ε. Ανώτερης Τάξης........................... 106 4.1.6 Οµογενείς.Ε. Ανώτερης Τάξης........................... 108 4.2 Γραµµικές Σ Ε Ανώτερης Τάξης.............................. 110 4.2.1 Γενικές Εννοιες.................................... 110 4.2.2 Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε-Χώρος Λύσεων...................... 111 4.2.3 Ορίζουσα Wronski-Θεµελιώδες Σύνολο Λύσεων Οµογενούς Γραµµικής Σ Ε... 112 4.2.3.i Η Wronskian των Λύσεων Γραµµικής Οµογενούς Σ Ε.......... 112 4.2.3.ii Ορίζουσα Wronski και Γραµµική Ανεξαρτησία Λύσεων Οµογενούς Γραµ- µικής Σ Ε.................................. 113 4.2.3.iii Γενική Λύση-Θεµελιώδες Σύνολο Λύσεων................. 114 4.2.4 Υποβιβασµός Τάξης Οµογενούς Γραµµικής Σ Ε.................. 116 4.2.4.i Μέθοδος d Alembert............................ 116 4.2.5 Εφαρµογή Γενικής Θεωρίας : Οµογενείς Γραµµικές Εξισώσεις 2ης Τάξης..... 117 4.2.5.i Υπολογισµός εύτερης Λύσης από Γνώση Μίας Λύσης µε τη ϐοήθεια της Wronskian................................. 119 4.2.5.ii Ο Γραµµικός Οµογενής Μετασχηµατισµός y(x) = u(x)y (x)....... 120 4.2.5.iii Η Κανονική Μορφή............................. 120 4.2.6 Μη Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε- Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών (Lagrange).. 120 4.2.6.i Μη-Οµογενείς Γραµµικές.Ε., Γενική λύση Μη-Οµογενούς Γραµµικής.Ε...................................... 120 4.2.6.ii Εφαρµογή : Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών για Γραµµικές Σ Ε 2ης Τάξης.................................... 120 5 Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές. 121 5.1 Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε 2ης Τάξης µε Σταθερούς Συντελεστές............. 121 5.1.1 Χαρακτηριστική Εξίσωση - Πραγµατικές Ρίζες, Μιγαδικές Ρίζες, ιπλή Ρίζα.... 121 5.2 Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε Τάξης n > 2 µε Σταθερούς Συντελεστές............ 121 5.2.1 Χαρακτηριστική Εξίσωση - Πραγµατικές Ρίζες, Μιγαδικές Ρίζες, Ρίζες Πολλαπλότητας k........................................ 121 5.3 Μη Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε Τάξης n > 2 µε Σταθερούς Συντελεστές.......... 121 5.4 Μέθοδος των Προσδιοριστέων Συντελεστών......................... 122 5.5 ιαφορικοί Τελεστές-Απλές Εισαγωγικές Εννοιες..................... 122 5.6 ιαφορικές Εξισώσεις Euler................................. 122 5.6.1 Σχέση Σ Ε Euler µε Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές......... 122 6 Εφαρµογές Σ Ε σε Βασικά Προβλήµατα Μηχανικής 123 6.1 Αυτόνοµα υναµικά Συστήµατα............................... 123 6.2 Κινήσεις Υπό την Επίδραση ύναµης που είναι Συνάρτηση της Ταχύτητας....... 124 6.2.1 Τριβές Ανάλογες µε υνάµεις της Ταχύτητας.................... 125 6.2.2 Κίνηση Σώµατος σε Κεκλιµένο Επίπεδο µε Αντίσταση Αέρα............ 130 6.3 Ταλαντώσεις......................................... 132 6.3.1 Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς Τριβή.................... 132 6.3.2 Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση µε Τριβή...................... 132 6.3.3 Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση........................ 132

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 6.3.3.i Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς Τριβή............ 132 6.3.3.ii Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση µε Τριβή.............. 132 7 Μετασχηµατισµός Laplace. 133 7.1 Εισαγωγή-Ορισµός Μετασχηµατισµού Laplace....................... 133 7.2 Βασικές Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Laplace..................... 134 7.3 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace- Βασικές Ιδιότητες................ 134 7.4 Μετασχηµατισµός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων................... 134 7.5 Επίλυση ΠΑΤ Γραµµικών Σ Ε µε Μετασχηµατισµό Laplace................ 134 7.5.1 Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές..................... 134 7.5.2 Γραµµικές Σ Ε µε Συντελεστές Πολυώνυµα της Μεταβλητής............ 134 7.6 Μετασχηµατισµός Laplace και Ασυνεχείς Συναρτήσεις................... 134 7.7 Επίλυση ΠΑΤ Γραµµικών Σ Ε Σταθερών Συντελεστών µε Ασυνεχή µη Οµογενή Ορο... 135 7.8 Εξαναγκασµένη Κίνηση Αποσβεννύµενου Αρµονικού Ταλαντωτή µε τη µέθοδο του Μετασχηµατισµού Laplace................................... 135 7.9 Ανακεφαλαίωση....................................... 135 7.9.1 Βασικοί Πίνακες Σχετικοί µε το Μετασχηµατισµό Laplace............. 136 7.9.2 Μετασχηµατισµός Laplace Ασυνεχών Συναρτήσεων................. 138 8 Επίλυση Σ Ε µε υναµοσειρές 141 8.1 Βασικοί Ορισµοί-Γενικά περί της Μεθόδου των Σειρών................... 141 8.2 Επίλυση µε Γενικές υναµοσειρές............................. 141 8.3 Μέθοδος Frobenius.................................... 141

Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2014-2015 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Συνήθης ιαφορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Σ Ε) ενώ, τον όρο Πρόβληµα Αρχικών Τιµών ϑα συµβολίζουµε µε (ΠΑΤ). Η ύλη είναι αυτή που καθορίζεται από το αναλυτικό πρόγραµµα σπουδών του µαθήµατος όπως έχει αναρτηθεί στην ιστοσελίδα : http://www.mie.uth.gr/n_syllabus.asp?id=18 µε πολύ µικρές διαφοροποιήσεις, όχι ουσιαστικού αλλά τεχνικού περισσότερο περιεχοµένου. 1η Ενότητα : Εισαγωγικές Εννοιες. Εισαγωγή, Ορισµός Σ Ε, Ταξινόµηση. Ορισµός Λύσης, Γενική Λύση, Ιδιάζουσα Λύση, Πλήρης Λύση. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά Λύσεων : Πεδίο ιευθύνσεων-ολοκληρωτικές καµπύλες, Γραφική Προσέγγιση Λύσης- Πολύγωνο Cauchy, Εύρεση Σ Ε από γνωστή οικογένεια καµπυλών, Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ Ε, Ορθογώνιες τροχιές. Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών. Καλά τοποθετηµένα προβλήµατα. 2η Ενότητα : Σ Ε Πρώτης Τάξης. Ακριβείς Εξισώσεις, Σ Ε 1ης Ταξης χωριζοµένων Μεταβλητών, Μέθοδος Ολοκληρωτικού Παράγοντα Euler, Ιδιότητες πολλαπλασιαστών Euler, Εύρεση Ολοκληρωτικών Παραγόντων. Γραµµικές Σ Ε, Αυτόνοµες Σ Ε-Ποιοτική µελέτη λύσεων Μετασχηµατισµοί µεταβλητών, 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Οµογενείς Σ Ε, Σ Ε Bernoulli, Σ Ε Ricatti Εφαρµογές-Μαθηµατικά Μοντέλα Φυσικών Φαινοµένων, 1. Χρόνος υποδιπλασιασµού 2. Πληθυσµιακά Μοντέλα 3. Εφαρµογές στη Μηχανική Οι περισσότερες από τις πιο πάνω εφαρµογές περιλαµβάνουν εξισώσεις της κατηγορίας των αυτόνοµων Σ Ε και της Σ Ε Bernoulli. Περισσότερες εφαρµογές των Σ Ε ειδκότερα στη µηχανική ϐρίσκονται στην Ενότητα 6. 3η Ενότητα : Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης, Θεώρηµα Picard, Υπολογισµός διαδοχικών προσεγγίσεων λύσης Περιβάλλουσα λύσεων 4η Ενότητα : Σ Ε Ανώτερης Τάξης. Γενική Θεωρία Εξισώσεων ν-οστής Τάξης, 1. Ακριβείς Σ Ε ανώτερης τάξης, 2. Η εξίσωση y (n) = f(x), 3. Εξισώσεις της µορφής y (n) = f(y (n 1) ) 4. Η εξίσωση της µορφής F (x, y (k) (x), y (k+1) (x),..., y (n) (x)) = 0, 5. Αυτόνοµες Σ Ε ανώτερης τάξης, 6. Οµογενείς Σ Ε ανώτερης τάξης Γραµµικές Σ Ε Ανώτερης Τάξης, 1. Οµογενείς Σ Ε Ανώτερης Τάξης, 2. Αλγεβρικές ιδιότητες Λύσεων, Ορίζουσα Wronski, 3. Μη-Οµογενείς Σ Ε Ανώτερης Τάξης, 4. Μέθοδος Μεταβολής Σταθερών, Μέθοδος ιαφορικών Τελεστών, 5. Μέθοδος Υποβιβασµού Τάξης, 6. Εφαρµογή : Γραµµικές Σ Ε εύτερης Τάξης : Ο γραµµικός οµογενής µετασχηµατισµός y = gy, Η κανονική µορφή Παρατήρηση : Η µέθοδος των τελεστών δεν µελετήθηκε αναλυτικά. Μεγάλη έµφαση δόθηκε στη χρήση της ορίζουσας Wronski για τη Μελέτη και Επίλυση των Γραµµικών Σ Ε δεύτερης τάξης, οµογενών και µη οµογενών.

0.1. Υλη του Μαθήµατος : 3 5η Ενότητα : Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές Οµογενείς, Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο, Γενική λύση οµογενούς-περιπτώσεις Μη Οµογενείς-Μέθοδος Προσδιοριστέων Συντελεστών Σ Ε Euler, Σχέση Σ Ε Euler µε γραµµικές οµογενείς Σ Ε µε σταθερούς συντελεστές. 6η Ενότητα : Εφαρµογές Σ Ε σε Βασικά Προβλήµατα Μηχανικής. Αυτόνοµα δυναµικά συστήµατα, Κινήσεις υπό την επίδραση δύναµης που είναι συνάρτηση της ταχύτητας, 1. Τριβές ανάλογες µε δυνάµεις της ταχύτητας 2. Κίνηση σωµατος σε κεκλιµένο επίπεδο µε αντίσταση αέρα Εφαρµογές σε Προβλήµατα υναµικής και Ταλαντώσεων. 1. Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβή και µε τριβή 2. Εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβή και µε τριβή, συντονισµός. 7η Ενότητα : Μετασχηµατισµός Laplace Ορισµός-Ιδιότητες, Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace, Μετασχηµατισµός Laplace στοιχειωδών συναρτήσεων, Εφαρµογή στην Επίλυση ΠΑΤ (Γραµµικών Σ Ε µε σταθερούς συντελεστές και Γραµµικών Σ Ε µε Συντελεστές Πολυώνυµα της Μεταβλητής.) Ο Μετασχηµατισµός Laplace Ασυνεχών Συναρτήσεων-Εφαρµογές σε ΠΑΤ. Εξαναγκασµένη Κίνηση Αποσβεννύµενου Αρµονικού Ταλαντωτή µε τη µέθοδο του Μετασχηµατισµού Laplace. 8η Ενότητα : Επίλυση Σ Ε µε υναµοσειρές. Οµαλά Σηµεία, Ιδιάζοντα σηµεία, ϑεώρηµα Fuchs, Επίλυση µε Γενικές υναµοσειρές, Μέθοδος Frobenius Παρατήρηση. Για το Ακαδηµαϊκό έτος 2014 2015 στην ύλη του µαθήµατος δεν ϑα περιλαµβάνεται η ενότητα των Συστηµάτων Σ Ε.

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραφία Ως συγγράµµατα του µαθήµατος έχουν προταθεί τα ϐιβλία 1. Συνήθεις ιαφορικές εξισώσεις του. Σουρλά [4]. 2. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά [2]. 3. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις του. Τσουµπελή [3]. Σε κάθε περίπτωση όµως, οδηγό για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αµφιθέατρο. Γίνεται προσπάθεια ώστε όλες οι ενότητες του µαθήµατος να περιληφθούν σε σηµειώσεις οι οποίες αναρτώνται στην ιστοσελίδα του µαθήµατος http://www.mie.uth.gr/n_ekp_yliko.asp?id=18 Το µάθηµα έχει ακολουθήσει σε σηµαντικότατο ϐαθµό την ανάπτυξη του ϑέµατος από τα ϐιβλία α) Συνήθεις ιαφορικές εξισώσεις του. Σουρλά [4], ϐ) Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά [2], γ) Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις του Γ. άσιου [1], ενώ, πολύτιµη ήταν η ϐοήθεια των ηλεκτρονικών σηµειώσεων : http://www.physics.upatras.gr/uploadedfiles/course_16_4956.pdf (Τα πρώτα τέσερα κεφάλαια του προτεινόµενου συγγράµµατος) http://www.physics.upatras.gr/uploadedfiles/course_16_5940.pdf ( ιαφάνειες, µέρος των οποίων είναι υλικό σχετικό µε το µάθηµα.) http://www.physics.upatras.gr/uploadedfiles/course_16_679.pdf (Τµήµα του προτεινόµενου συγγράµµατος σχετικό µε τις ταλαντώσεις.) Τέλος, µεγάλο τµήµα της έκδοσης του 2007 του προτεινόµενου συγγράµµατος µπορεί να ϐρεθεί στην ηλεκτρονική διεύθυνση : https://mathbooksgr.files.wordpress.com/2011/12/diaforikes_sourlas_2007. pdf Οµως η ϐιβλιογραφία δεν περιορίζεται µόνο σε αυτά τα συγγράµµατα και σηµαντικότατη ήταν η ϐοήθεια των [7], [5], [9], [10] και [8] Ενότητες Συγγραµµάτων που Αντιστοιχούν στην Υλη. Από την αναλυτική παράθεση της ύλης στην προηγούµενη ενότητα στην µπορείτε να προσδιορίσετε και τις ενότητες των προτεινόµενων συγγραµµάτων που αντιστοιχούν στην ύλη του µαθήµατος. Οµως, κανένα από τα συγγράµµατα δεν καλύπτει πλήρως την ύλη του µαθήµατος. Μεγαλύτερη συνέφεια υπάρχει σαφώς µε το προτεινόµενο σύγγραµµα [4]. Τονίζεται για άλλη µία ϕορά ότι οδηγός για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αµφιθέατρο. Αυτό, διότι ο τρόπος παρουσίασης και ανάπτυξης των ενοτήτων είναι πολύ πιθανόν να είναι διαφοροποιηµένος, σε αρκετές περιπτώσεις, σε σχέση µε τον αντίστοιχο του συγγράµµατος.

0.2. Συγγράµµατα, Βιβλιογραφία 5 Σηµειώσεις του ιδάσκοντα. Πληροφορίες για την Υλη µπορείτε να πάρετε και από τις σηµειώσεις που ακολουθούν, οι οποίες είναι όµως ηµιτελείς. Οµως, τόσο ο πίνακας περιεχοµένων όσο και σηµειώσεις στα διάφορα κεφάλαια αποτελούν τον καλύτερο ίσως οδηγό για τις απαιτήσεις του µαθήµατος. Σε κάποια Κεφάλαια υπάρχει στο τέλος ενότητα ανακεφαλαίωσης η οποία περιέχει συνήθως ϐασικές έννοιες και χρήσιµους πίνακες. Απορίες : Απορίες ή παρατηρήσεις µπορούν να σταλλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση : anzoupas@uth.gr. Παρατηρήσεις-Σχόλια Αναγνωστών : Σχόλια και παρατηρήσεις είναι όχι µόνο ευπρόσδεκτα αλλά ϑεωρούνται και αναγκαία. Χωρίς σχόλια και αλληλεπίδραση µε τους αναγώστες οποιαδήποτε είδους ϐελτίωση είναι πρακτικά αδύνατη. Τυχόν σχόλια µπορούν να σταλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση : anzoupas@uth.gr.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Βασικές Εννοιες ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες............................ 6 1.1.1 Ορισµός Συνήθους ιαφορικής Εξίσωσης..................... 6 1.1.2 Ταξινόµηση.................................... 7 1.2 Λύσεις µίας Σ Ε..................................... 8 1.3 Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων......................... 12 1.3.1 Πεδίο ιευθύνσεων-ολοκληρωτικές Καµπύλες.................. 13 1.3.1.i Γραφική Προσέγγιση Λύσης-Πολύγωνο του Cauchy........... 17 1.3.1.ii Εύρεση Σ Ε από Γνωστή Οικογένεια Καµπυλών............. 17 1.3.2 Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ Ε........................ 20 1.3.3 Ορθογώνιες Τροχιές................................ 22 1.4 Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών....................... 22 1.5 Καλά Τοποθετηµένα Προβλήµατα............................. 25 Το κεφάλαιο αυτό έχει επηρεαστεί κυρίως από τους [1], [8], [9], [6], και [10]. 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες. 1.1.1 Ορισµός Συνήθους ιαφορικής Εξίσωσης. Ξεκινάµε µε το τι ορίζουµε ως συνήθη διαφορική εξίσωση. συµβολίζουµε συνήθως µε.ε.. Τον όρο ιαφορική Εξίσωση ϑα τον Ορισµός 1.1.1 (Συνήθης ιαφορική Εξίσωση). Μία σχέση της µορφής F (x, y(x), y (1) (x),..., y (n) (x)) = 0, n R (1.1.1) όπου y (k) (x) = dk y(x), k = 1, 2,..., n dx k και F είναι µία πραγµατική συνάρτηση n + 2 µεταβλητών ονοµάζεται Συνήθης ιαφορική Εξίσωση και ϑα τη συµβολίζουµε µε Σ Ε. 6

1.1. Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες. 7 Η συνάρτηση y(x) ονοµάζεται Αγνωστη Συνάρτηση. Αν y(x) : Ι R R τότε F : Ι Ω R όπου Ω R n+1. ηλαδή, η Σ Ε ϑεωρείται συνάρτηση τόσο της µεταβλητής x όσο και των n + 1 συναρτήσεων, y(x), y (1) (x),..., y (n) (x). Η µορφή (1.1.1) ονοµάζεται Πεπλεγµένη Μορφή της Σ Ε. Αν η.ε. (1.1.1) µπορεί να λυθεί ως προς τη µεταβλητή y (n), τότε η εξίσωση ονοµάζεται κανονική µορφή της Σ Ε. Συµβολισµός : εξής : y (n) = G(x, y(x), y (1) (x),..., y (n 1) (x)) (1.1.2) Για λόγους οικονοµίας χώρου, καποιες ϕορές την παραγώγιση τη συµβολίζουµε ως Ενώ µπορεί να τη συµβολίσουµε και ως εξής y (x) = dy(x) dx y (x) = d2 y(x) dx 2. y(x) = dy(x) dx y(x) = d2 y(x) dx 2. Ο τελευταίος τρόπος συµβολισµού συνηθίζεται, χωρίς αυτό να είναι αποκλειστικό, να χρησιµοποιείται όταν η µεταβλητή είναι ο χρόνος t. ηλαδή, y(t) = dy(t) dt, y(t) = d2 y(t) dt 2 Η γενική µορφή Σ Ε (1.1.1) είναι προφανώς σε πεπλεγµένη µορφή και έτσι (όπως ακριβώς συµ- ϐαίνει µε τις πραγµατικές πεπλεγµένες συναρτήσεις) µπορεί να αντιστοιχεί σε παραπάνω από µία Σ Ε κανονικής µορφής. Αν ϐοηθά, µπορείτε να σκέφτεστε την πεπλεγµένη µορφή ως µία συντοµογραφία για να συµβολίσουµε παραπάνω από µία Σ Ε κανονικής µορφής. Αν η F δεν περιέχει καθόλου παραγώγους τότε είναι απλώς µία Αλγεβρική Εξίσωση ως προς την άγνωστη συνάρτηση y(x). Παράδειγµα 1.1: Η Σ Ε (y ) 2 = y είναι επί της ουσίας ένας σύντοµος τρόπος γραφής δύο διαφορετικών µεταξύ τους.ε.. y = y και y = y όπου κάθε µία από τις δύο ορίζεται για y > 0. Των Σ Ε Τις Σ Ε µπορούµε να τις κατηγοριοποιήσουµε σύµφωνα µε κάποια χαρακτηριστικά τους που όντας κοινά µεταξύ των.ε. που ανήκουν στην ίδια κατηγορία τους προσδίδουν ιδιότητες που σχετί- Ϲονται συνήθως µε την ευκολία ή δυσκολία µελέτης και επίλυσης τους. Τις πλέον συνήθεις κατηγο- ϱιοποιήσεις παρουσιάζουµε αµέσως. 1.1.2 Ταξινόµηση Το πρώτο χαρακτηριστικό ως προς το οποίο ταξινοµούµε τις Σ Ε αλλά και όλες τις.ε. γενικότερα είναι η τάξη τους.

8 Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες Τάξη Σ Ε. Η µεγαλύτερης τάξης παραγώγιση της άγνωστης συνάρτησης που εµφανίζεται στη.ε. ονοµάζεται Τάξη της.ε.. Γραµµικές, Μη-Γραµµικές Σ Ε. Η Σ Ε ονοµάζεται Γραµµική αν η F είναι γραµµική συνάρτηση των y(x), y (1) (x),..., y (n) (x), δηλαδή της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της. Σε αυτή την περίπτωση η πιο γενική µορφή µιας γραµµικής Σ Ε είναι όπου f n (x)y (n) (x) + f n 1 (x)y (n 1) (x) +... + f 1 (x)y (1) (x) + f 0 y(x) = g(x) (1.1.3) Οι συναρτήσεις f i (x), i = 1, 2,... n ονοµάζονται συντελεστές της γραµµικής.ε.. Αν g(x) = 0 ταυτοτικά τότε η γραµµική Σ Ε ονοµάζεται Οµογενής Αν η g(x) δεν µηδενίζεται ταυτοτικά τότε η γραµµική Σ Ε ονοµάζεται Μη Οµογενής Προφανέστατα, αν µία Σ Ε δεν είναι γραµµική ϑα ονοµάζεται Μη Γραµµική. Μία Σ Ε η οποία µπορεί να εκφραστεί ως πολυώνυµο των µεταβλητών y(x), y (1) (x),..., y (n) (x) ονοµάζεται Πολυωνυµική. Σε αυτή την περίπτωση ορίζεται ο ϐαθµός της Σ Ε: Βαθµός Σ Ε. Η δύναµη στην οποία είναι υψωµένη η µέγιστης τάξης παράγωγος µίας πολυωνυµικής Σ Ε ονοµάζεται ϐαθµός της.ε.. Προσοχή! Κάθε γραµµική Σ Ε είναι πρώτου ϐαθµού. Οµως κάθε πρώτου ϐαθµού δεν είναι γραµµική. Π.χ. η, είναι πρώτου ϐαθµού αλλά µη γραµµική. y (2) (x) + (y (1) (x)) 3 = 3x 5 Σηµείωση : Το µάθηµα στη συντριπτική πλειοψηφία της ύλης του, µελετά Σ Ε πρώτου ϐαθµού και γραµµικές Σ Ε. 1.2 Λύσεις µίας Σ Ε Εστω ότι έχουµε την Σ Ε (1.1.1). Τι εννοούµε όταν λέµε ότι µία συνάρτηση y(x) είναι λύση της ; Ορισµός 1.2.1 (Λύση Σ Ε). Η ϐασική προυπόθεση ώστε µία συνάρτηση y(x) : Ι R R να ονοµάζεται λύση της Σ Ε (1.1.1) είναι να την ικανοποιεί ταυτοτικά. Πιο αυστηρά, χρειάζονται συνολικά οι εξής τρεις προυποθέσεις : 1. Η y(x) να έχει παραγώγους µέχρι τάξης n στο διάστηµα I, η οποία είναι λογική απαίτηση εφόσον Ϲητάµε να επαληθεύει µία Σ Ε n-τάξης. 2. (x, y(x), y (1) (x),..., y (n) (x)) Ι Ω. Προφανώς, η λύση πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισµού της F. 3. F (x, y(x), y (1) (x),..., y (n) (x)) = 0, x Ι. Η προφανής απαίτηση, να ικανοποιείται η Σ Ε (1.1.1) ταυτοτικά.

1.2. Λύσεις µίας Σ Ε 9 Υπαρξη Λύσεων : εν επιδέχονται λύσης όλες οι.ε.. Για παράδειγµα η.ε. y + 1 = 0 είναι προφανές ότι δεν έχει λύση. Για την ύπαρξη λύσεων (αλλά και τη µοναδικότητα τους) ϑα ανα- ϕερθούµε σε ειδική ενότητα µετά τη µελέτη των Σ Ε πρώτης τάξης. Σε ότι ακολουθεί ϑα υποθέσουµε ότι οι.ε. έχουν λύση(εις) εκτός και αν αναφέρεται ϱητά το αντίθετο. Ας ϑεωρήσουµε τώρα κάποιες διαφορικές εξισώσεις άµεσα επιλύσιµες µε ολοκλήρωση. Η.Ε. y = e x επιλύεται µε άµεση ολοκλήρωση και η λύση είναι η y(x) = e x + c όπου c αυθαίρετη σταθερά, δηλαδή µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή. Η.Ε. y = e x επιλύεται και αυτή µε άµεση ολοκλήρωση και η λύση είναι η y(x) = e x + c 1 x + c 2 όπου c 1, c 2 αυθαίρετες σταθερές, δηλαδή µπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιµή ανεξάρτητα η µία από την άλλη. Η.Ε. y = e x επιλύεται και αυτή µε άµεση ολοκλήρωση και η λύση είναι η y(x) = e x + c 1 x 2 + c 2 x + c 3 όπου c 1, c 2, c 3 αυθαίρετες σταθερές, δηλαδή κάθε µία µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή ανεξάρτητα από τις άλλες. Κρίνοντας από τα παραπάνω παραδείγµατα, ϕαίνεται εύκολο να υποθέσουµε ότι εφόσον η λύση µίας Σ Ε n τάξεως, όταν αυτή υπάρχει, προκύπτει, τυπικά, από n διαδοχικές ολοκληρώσεις τότε και η λύση ϑα εξαρτάται πάντα (;) από n αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης, δηλαδή από n το πλήθος πραγµατικές παραµέτρους. Ετσι ϑα περιµέναµε η λύση κάθε Σ Ε πρώτης τάξης να εξαρτάται από µία σταθερά. Μία τέτοια γενίκευση ϑα ήταν όµως λάθος. Για παράδειγµα, η.ε. (y ) 2 + y 2 = 0 έχει µία µόνο λύση, την y = 0, παρόλο που ϑα περιµέναµε, αν η υπόθεση µας ήταν σωστή, να εξαρτάται από µία αυθαίρετη σταθερά. Επίσης, η.ε. (y y)(y 3y) = 0 έχει λύση την (y c 1 e x )(y c 2 e 3x ) = 0 η οποία εξαρτάται από δύο σταθερές.

10 Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες Οµως, υπάρχουν µεγάλες οικογένειες Σ Ε n τάξεως για τις οποίες η παραπάνω υπόθεση εξάρτησης της λύσης από n αυθαίρετες σταθερές αποδεικνύεται αληθής! Επίσης, οι περισσότερες Σ Ε που συναντάµε ανήκουν συνήθως σε αυτές τις οικογένειες. Για αυτό το λόγο δίνουµε ειδικό ϐάρος στη λύση µίας Σ Ε n τάξεως που εξαρτάται από n αυθαίρετες σταθερές ολοκλήρωσης, δηλαδή από n το πλήθος πραγµατικές παραµέτρους και η εύρεση αυτών αποτελεί τον πρωταρχικό µας στόχο. Ας προσέξουµε τώρα, ότι και κάθε συνάρτηση που προκύπτει από τη λύση µε τις n παραµέτρους αν δώσουµε σε κάθε µία από αυτές τις παραµέτρους συγκεκριµένη τιµή λύνει την Σ Ε. Για όλους τους προηγούµενους λόγους κρίνεται χρήσιµο να εισάγουµε τις έννοιες της Γενικής Λύσης και της Ειδικής Λύσης. Ετσι ονοµάζουµε : Γενική Λύση : Αν για κάθε τιµή των παραµέτρων c i, i = 1, 2,..., n η συνάρτηση y(x, c 1, c 2,..., c n ), x Ι λύνει την (1.1.1) τότε η οικογένεια αυτών των συναρτήσεων ονοµάζεται Γενική Λύση της (1.1.1). Η γενική λύση είναι οικογένεια συναρτήσεων ακριβώς διότι εξαρτάται από τις παραµέτρους. Για την ακρίβεια είναι µία n-παραµετρική οικογένεια συναρτήσεων και για αυτό το λόγο ονοµάζεται πολλές ϕορές και n-παραµετρική οικογένεια λύσεων. Ειδική ή Μερική Λύση : Κάθε λύση που προκύπτει δίνοντας σε κάθε παράµετρο c i, i = 1, 2,..., n συγκεκριµένη τιµή ονοµάζεται Ειδική ή Μερική Λύση της Σ Ε (1.1.1). Αν περιοριστούµε λοιπόν στις Σ Ε που δέχονται γενική λύση το παρακάτω συµπέρασµα είναι προφανές. Σηµαντικό Συµπέρασµα : Μία Σ Ε έχει άπειρες λύσεις! Παράδειγµα 1.2: Η Σ Ε ( xy (x + 2)y + 1 + 2 ) y = 0 (1.2.1) x έχει γενική λύση την (οικογένεια) c 1 x + c 2 xe x. Αν τώρα δώσουµε στις παραµέτρους c 1 και c 2 τις τιµές 1 και 0 αντίστοιχα, τότε λαµβάνουµε την ειδική λύση y c = x, ενώ αν τους δώσουµε τις τιµές 2 και 3.3 τότε λαµβάνουµε την ειδική λύση y c = 2x + 3.3xe x. Ασκηση 1.1. Να επαληθευτεί ότι η c 1 x + c 2 xe x αποτελεί όντως λύση της Σ Ε (1.2.1). Σηµαντική Παρατήρηση : Προφανώς, η γενική λύση αποτελείται από το σύνολο των ειδικών λύσεων. Αν τώρα η λύση δίνεται σε πεπλεγµένη µορφή, την ορίζουµε ως Γενικό Ολοκλήρωµα και Ολοκλήρωµα µίας Σ Ε σε αντιστοιχία µε τη γενική λύση και τη λύση µίας Σ Ε. Ετσι ορίζουµε : Γενικό Ολοκλήρωµα Σ Ε: Αν η λύση της Σ Ε (1.1.1) δίνεται σε πεπλεγµένη µορφή : ή πιο απλά στη µορφή S(x, y(x, c 1, c 2,..., c n )) = 0, x Ι, i = 1, 2,..., n (1.2.2) S(x, y, c 1, c 2,..., c n ) = 0, x Ι, i = 1, 2,..., n (1.2.3) τότε ονοµάζεται Γενικό Ολοκλήρωµα της Σ Ε (1.1.1). Ολοκλήρωµα Σ Ε: Κάθε λύση που προκύπτει από την (1.2.2) για συγκεκριµένες τιµές των παραµέτρων c i, i = 1, 2,..., n ονοµάζεται Ολοκλήρωµα της Σ Ε (1.1.1). Προφανώς Το γενικό Ολοκλήρωµα αποτελείται από το σύνολο των ολοκληρωµάτων.

1.2. Λύσεις µίας Σ Ε 11 Σηµασία Γενικού Ολοκληρώµατος : Εννοείται ότι η λύση µίας Σ Ε είναι συνάρτηση και δεν µπορεί να είναι ισότητα όπως η (1.2.3). Αυτό που εννοούµε είναι ότι η συνάρτηση y(x) που ορίζεται από τη σχέση (1.2.3) είναι λύση της Σ Ε! Παρατηρείστε ότι δώσαµε τον ορισµό της γενικής λύσης για την περίπτωση των Σ Ε πεπλεγµένης µορφής. Σε περίπτωση όµως που η πεπλεγµένη Σ Ε αντιστοιχεί σε παραπάνω από µία Σ Ε κανονικής µορφής, τότε έχουµε τόσες διαφορετικές οικογένειες λύσεων όσες και οι κανονικές µορφές των Σ Ε. Η εµπειρία µας µας έχει δείξει ότι αρκετές ϕορές ακόµη και όταν υπάρχει η γενική λύση, αυτή δεν περιλαµβάνει το σύνολο των λύσεων µίας Σ Ε. Σε αυτή την περίπτωση είναι χρήσιµο να εισάγουµε την έννοια της Ιδιάζουσας και της Πλήρους λύσης. Ετσι δίνουµε τους παρακάτω ορισµούς Ιδιάζουσα Λύση : Οποιαδήποτε λύση δεν λαµβάνεται από τη γενική λύση µε κατάλληλη επιλογή των τιµών των παραµέτρων c i ονοµάζεται Ιδιάζουσα Λύση της Σ Ε. Αν είναι σε πεπλεγµένη µορφή ονοµάζεται Ιδιάζον Ολοκλήρωµα της Σ Ε. Πλήρης Λύση : Η οικογένεια λύσεων που περιέχει το σύνολο των λύσεων µίας Σ Ε ονοµάζεται Πλήρης Λύση της Σ Ε. Αν είναι σε πεπλεγµένη µορφή ονοµάζεται Πλήρες Ολοκλήρωµα της Σ Ε. Συµπέρασµα : Σύµφωνα µε την προηγούµενη συζήτηση η γενική και η πλήρης λύση δεν ταυτίζονται πάντα! Για αυτό το λόγο σε αρκετά συγγράµµατα ϑα δείτε να ονοµάζεται γενική λύση αυτό που εµείς ονο- µάζουµε πλήρη λύση ενώ αυτό που εµείς ονοµάζουµε γενική λύση ονοµάζεται απλώς n-παραµετρική οικογένεια λύσεων. Παράδειγµα 1.3 ( ιαφορά Πλήρους µε Γενική Λύση): Η Σ Ε έχει γενική λύση την Είναι εύκολο όµως να δει κανείς ότι και η (y (x)) 2 xy (x) + y(x) = 0 (1.2.4) y g (x) = cx c 2 y s (x) = x2 4 είναι λύση. Οµως, πολύ εύκολα µπορεί να δειχθεί ότι δεν υπάρχει τιµή της παραµέτρου c τέτοια ώστε να ισχύει ότι y g = y s. Με άλλα λόγια η y s δεν είναι ειδική λύση της Σ Ε. Άρα, Η Πλήρης λύση και η γενική λύση της Σ Ε πιο πάνω δεν ταυτιζονται. Ασκηση 1.2. Να επαληθευτεί ότι τόσο η y g (x) = cx c 2 όσο και η y s (x) = x2 4 της Σ Ε (1.3.5). αποτελούν όντως λύσεις Στη γενική περίπτωση το πρόβληµα του να ϐρούµε τις ιδιάζουσες λύσεις µίας Σ Ε, αν υπάρχουν αυτές, είναι ένα αρκετά δύσκολο και σύνθετο πρόβληµα. Οµως, υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι εφικτή µία συστηµατική µελέτη εύρεσης των ιδιαζουσών λύσεων. Μία τέτοια περίπτωση είναι αυτή του παραδείγµατος (1.3) που µόλις παρουσιάσαµε στο οποίο παρατηρούµε ότι η ιδιάζουσα λύση παρουσιάζεται ως λύση µίας Σ Ε η οποία είναι σε πεπλεγµένη µορφή. Αυτό δεν είναι τυχαίο και ακριβώς σε αυτό το χαρακτηριστικό οφείλεται η ύπαρξη της. Θυµηθείτε πως έχουµε πει ότι η Σ Ε (1.1.1) λόγω του πεπλεγµένου της µορφής της µπορεί να αντιστοιχεί σε παραπάνω από µία Σ Ε σε κανονική µορ- ϕή. Οµως για να γίνει αυτό πρέπει να ισχύουν όλες οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος πεπλεγµένων συναρτήσεων (Αν τη ϑεωρήσουµε ως πεπλεγµένη συνάρτηση µε µεταβλητές τις παραγώγους). Σε αυτή

12 Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες την περίπτωση στα υποσύνολα του πεδίου ορισµού της Σ Ε (1.1.1) στο οποίο ισχύουν οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος, η (1.1.1) είναι ισοδύναµη µε ένα πλήθος Σ Ε κανονικής µορφής. Οµως, στα σηµεία στα οποία δεν ισχύουν οι προυποθέσεις του ϑεωρήµατος πεπλεγµένων συναρτήσεων, δηλαδή, στα σηµεία στα οποία δεν µπορεί να λυθεί ως προς τη µέγιστης τάξης παράγωγο και εποµένως δεν µπορεί να δοθεί σε κανονική µορφή η Σ Ε, στα σηµεία δηλαδή στα οποία ισχύει (y (n) (x)) οι λύσεις που παίρνουµε είναι Ιδιάζουσες Λύσεις. ( F (x, y(x), y (1) (x),..., y (n) (x)) ) = 0 Παράδειγµα 1.4 (Πεπλεγµένες Συναρτήσεις και Ιδιάζουσες Λύσεις ): Η Σ Ε (y (x)) 2 xy (x) + y(x) = 0 του προηγούµενου παραδείγµατος (παράδειγµα (1.3)), δεν ικανοποιεί τις απαιτήσεις του ϑεωρήµατος πεπλεγµένων συναρτήσεων στα σηµεία ( (y y (x)) 2 xy (x) + y(x) ) = 0 (x) 2y (x) x = 0 (1.2.5) ηλαδή, στα σηµεία που ικανοποιούν την Σ Ε (1.2.5) η οποία καθορίζει τα σηµεία του επιπέδου (x, y) στα οποία η Σ Ε (1.3.5) δεν µπορεί να λυθεί ως προς την y. Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι η λύση y s (x) = x2 4 δηλαδή η ιδιάζουσα λύση, είναι λύση της 2y (x) x = 0 Με την έννοια της ιδιάζουσας λύσης που µόλις παρουσιάσαµε σχετίζεται άµεσα και αυτή της περιβάλουσας µίας οικογένειας λύσεων µε την οποία, όµως, ϑα ασχοληθούµε στο κεφάλαιο (3) που πραγµατεύεται τα Ϲητήµατα ύπαρξης και µοναδικότητας λύσεων των Σ Ε. Οµως, µία εικόνα για το τι σηµαίνει περιβάλουσα µπορεί να δει κανείς και στο παράδειγµα (1.7) της ενότητας (1.3.1.ii). Κλείνουµε αυτή την ενότητα τονίζοντας ότι για τις γραµµικές Σ Ε η Γενική και η Πλήρης Λύση ταυτίζονται πάντα σε οποιοδήποτε διάστηµα ισχύει f n (x) 0, x 1.3 Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. Για κάποιον που αντιµετωπίζει πρώτη ϕορά το ϑέµα των διαφορικών εξισώσεων ίσως να µη ϕαίνεται και πολύ πιθανό ότι η γεωµετρία παίζει σηµαντικό ϱόλο στη µελέτη και λύση των.ε.. Οµως, η πραγµατικότητα είναι διαφορετική και για την ακρίβεια, η σύγχρονη γεωµετρία µε όλες τις γενικεύσεις της παίζει ίσως το σηµαντικότερο ϱόλο στη µελέτη των Σ Ε. Από την άλλη, η ανάγκη επίλυσης πολλών από τα προβλήµατα που προέκυψαν κατά τη µελέτη.ε. έδωσε ώθηση και ϑεµελίωσε αρκετούς από τους κλάδους των σύγχρονων µαθηµατικών. Υπάρχει όµως και ένας πολύ σηµαντικός λόγος πρακτικότητας για να εξερευνήσει κάποιος αυτή τη σχέση, διότι είναι γεγονός ότι µέσα από τη γεωµετρική σκοπιά µπορεί πολλές ϕορές να δοθεί απλώς µία γεωµετρική προσέγγιση κάποιας λύσης και αυτό ανάλογα µε το πρόβληµα που προσπαθούµε να επιλύσουµε να είναι αρκετό. Η πρώτη και σηµαντική γεωµετρική έννοια που συναντά κανείς όταν ασχολείται µε Σ Ε είναι αυτή του πεδίου διευθύνσεων. Η όλη µελέτη ϑα γίνει για Σ Ε πρώτης τάξης. Αυτό δεν αποτελεί ϐλάβη της γενικότητας διότι αφενός αυτή η µελέτη περιλαµβάνει όλες τις ϐασικές έννοιες και αφετέρου είναι Ϲήτηµα µίας απλής γενίκευσης να παραστήσουµε κάθε Σ Ε ανώτερης τάξης ως ένα σύστηµα Σ Ε πρώτης τάξης.

1.3. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. 13 1.3.1 Πεδίο ιευθύνσεων-ολοκληρωτικές Καµπύλες. Εδώ ϑα δώσουµε έµφαση στη γεωµετρική σηµασία της λύσης µίας Σ Ε Πρώτης Τάξης και ϑεωρούµε µία Σ Ε πρώτης τάξης σε κανονική µορφή y (x) = f(x, y(x)), x I (1.3.1) Πεδίο ιευθύνσεων. Εστω ότι ϐρισκόµαστε στο επίπεδο xy και ας σχεδιάσουµε τους δύο άξονες, τον οριζόντιο άξονα x και τον κατακόρυφο άξονα y. Ας δούµε πως µπορούµε να ερµηνεύσουµε, σε αυτή την περίπτωση, τη.ε. (1.3.1). Σε κάθε σηµείο του επιπέδου xy µε συντεταγµένες έστω (x k, y k ), x k I µπορούµε από τη σχέση (1.3.1) να υπολογίσουµε την τιµή της παραγώγου y (x k ). Υποκινούµενοι από τη γεωµετρική ερµηνεία της παραγώγου (αντιστοίχηση τιµής παραγώγου συνάρτησης σε ένα σηµείο µε κλίση εφαπτοµένης του γραφήµατος της συνάρτησης σε αυτό το σηµείο) διαλέγουµε στο συγκεκριµένο σηµείο (x k, y k ) την ευθεία που περνά από αυτό το σηµείο µε κλίση k = y (x k ). Αυτή τη διαδικασία την κάνουµε σε κάθε σηµείο του χωρίου V του επιπέδου xy στο οποίο ορίζεται η f(x, y(x)). Τότε λέµε ότι έχουµε καθορίσει ένα Πεδίο ιευθύνσεων στο χωρίο V. Παρατήρηση-1: εν είναι ανάγκη να έχουµε µία Σ Ε για να ορίσουµε ένα πεδίο διευθύνσεων σε κάποιο χωρίο του επιπέδου. Αρκεί σε κάθε σηµείο αυτού του χωρίου να διαλέξουµε κάποια ευθεία που περνά από αυτό το σηµείο. Οταν ϑέλουµε να σχεδιάσουµε ένα πεδίο διευθύνσεων, σχεδιάζουµε για ευκολία ένα µικρό ευθύγραµµο τµήµα µε κλίση ίση µε τη δοσµένη κλίση στο κάθε σηµείο. Το ευθύγραµµο αυτό τµήµα ϑα το ονοµάζουµε για ευκολία στοιχείο διευθύνσεως σε αυτό το σηµείο. Παρατήρηση-2: Γνωρίζουµε ότι δύο λείες καµπύλες του επιπέδου που περνούν από το ίδιο σηµείο ορίζουν σε αυτό το σηµείο την ίδια διεύθυνση αν εφάπτονται. Ετσι, οι ευθείες στον ορισµό του πεδίου διευθύνσεων µπορούν επί της ουσίας να αντικατασταθούν από αυθαίρετες λείες καµπύλες : µόνο η εφαπτοµένη της καµπύλης σε αυτό το σηµείο παιζει ϱόλο. Παράδειγµα ϐλέπουµε στο σχήµα (1.1). Σχήµα 1.1: Πεδίο ιευθύνσεων και Εφαπτοµένη Καµπύλη. Ορίζουµε τώρα την έννοια της ολοκληρωτικής καµπύλης. Ορισµός 1.3.1 (Ολοκληρωτική Καµπύλη). Μία καµπύλη η οποία σε κάθε σηµείο της είναι εφαπτοµένη σε ένα πεδίο διευθύνσεων ονοµάζεται ολοκληρωτική Καµπύλη του πεδίου διευθύνσεων. Με άλλα λόγια η ολοκληρωτική καµπύλη έχει σε κάθε σηµείο της µία από τις ευθείες (αντίστοιχα ένα από τα στοιχεία διεύθυνσης) που ορίζουν το πεδίο διευθύνσεων ως εφαπτοµένη.

14 Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες Παρατήρηση : Προφανώς, µία ολοκληρωτική καµπύλη ενός πεδίου διευθύνσεων χωρίς κάθετες (κατακόρυφες) διευθύνσεις είναι το γράφηµα µίας συνάρτησης (σκεφτείτε το). Το όνοµα ολοκληρωτική οφείλεται στο γεγονός ότι σε κάποιες περιπτώσεις αυτές οι καµπύλες µπορούν να ϐρεθούν µε τη χρήση ολοκλήρωσης. Παράδειγµα 1.5 ( Αµεσα Ολοκληρώσιµο Πεδίο ιευθύνσεων): Θεωρούµε πεδίο διευθύνσεων στο επίπεδο xy το οποίο παραµένει αναλλοίωτο ως προς µετατοπίσεις κατά µήκος του άξονα y (δηλαδή, ολες οι διευθύνσεις οι παράλληλες στο άξονα y έχουν την ίδια κλίση) και το οποίο δεν έχει κατακόρυφες διευθύνσεις. Θεωρούµε γνωστή τη συνάρτηση της κλίσης του πεδίου η οποία προφανώς είναι συνάρτηση µόνο του x, έστω v(x). Να ϐρεθούν οι ολοκληρωτικές καµπύλες αυτού του πεδίου. Απάντηση. Εφόσον το πεδίο δεν έχει κατακόρυφες διευθύνσεις οποιαδήποτε ολοκληρωτική καµπύλη του ϑα είναι το γράφηµα κάποιας συνάρτησης φ(x). Σαφώς, η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναι η κλίση του γραφήµατος. Ετσι, αυτό το γράφηµα είναι µία ολοκληρωτική καµπύλη αν και µόνο αν σε κάθε σηµείο, αυτή η κλίση ( η τιµή της παραγώγου δηλδή) είναι ίση µε την κλίση του ευθύγραµµου τµήµατος του πεδίου. Άρα, έχουµε µία συνάρτηση φ(x) η οποία, επειδή το γράφηµα της είναι ολοκληρωτική καµπύλη του πεδίου, έχει ως παράγωγο τη γνωστή συνάρτηση v(x), η οποία επιπροσθέτως δεν απειρίζεται πουθενά διότι το πεδίο δεν έχει άπειρες διευθύνσεις. Αυτό σηµαίνει ότι η συνάρτηση φ(x) ικανοποιεί τη σχέση και εποµένως dφ(x) dx φ(x) = = v(x) v(x)dx + C όπου για να είναι ολοκληρώσιµη η v(x) χρειάζεται να υποθέσουµε και τη συνέχεια της. Τονίζουµε όµως ότι στη γενική περίπτωση το πρόβληµα της εύρεσης ολοκληρωτικών καµπυλών δεν ανάγεται στη διαδικασία της ολοκλήρωσης. Για την ακρίβεια το πρόβληµα εύρεσης ολοκληρωτικών καπυλών ανάγεται στην επίλυση µίας διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης. Ας υποθέσουµε ότι µας έχει δοθεί ένα πεδίο διευθύνσεων στο xy επίπεδο και ότι αυτό δεν έχει κατακόρυφες διευθύνσεις, δηλαδή δεν είναι ποτέ παράλληλο στον άξονα y. Τότε η κλίση v(x, y) οτυ πεδίου στο σηµείο (x, y) είναι πεπερασµένη και οι ολοκληρωτικές καπύλες του πεδίου είναι γραφήµατα συναρτήσεων y = φ(x). Εστω τώρα ότι το πεδίο ορισµού της φ είναι ένα διάστηµα I του άξονα x. Τότε ισχύει το εξής (προφανές) αποτέλεσµα. Θεώρηµα 1.3.2 (Ολοκληρωτικές Καµπύλες και Επίλυση Σ Ε Πρώτης Τάξης). Μία αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε το γράφηµα µία συνάρτησης φ να είναι κάποια ολοκληρωτική καµπύλη είναι ότι πρέπει να ισχύει η παρακάτω σχέση για κάθε x I dφ = v(x, φ(x)) (1.3.2) dx Γενικεύοντας τώρα, κατανοούµε ότι όταν µας Ϲητείται να ϐρούµε µία µονοπαραµετρική οικογένεια λύσεων της, (1.3.2) αυτό που µας Ϲητείται στην πραγµατικότητα είναι να ϐρούµε µία οικογένεια καµπύλων κάθε µέλος της οποίας είναι µία ολοκληρωτική καµπύλη της (1.3.2) ή ισοδύναµα κάθε µέλος της οποίας σε κάθε σηµείο του έχει κλίση η οποία δίνεται από τη σχέση (1.3.2). Εξειδικεύουµε τώρα τον ορισµό της ολοκληρωτικής καπύλης για τις Σ Ε πρώτης τάξης (επί της ουσίας προσθέτουµε στον ορισµό που έχουµε δώσει τη ϕράση Σ Ε!).

1.3. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. 15 Ορισµός 1.3.3 (Ολοκληρωτική Καµπύλη Σ Ε). Αν η y = φ(x), αντίστοιχα η Φ(x, y) = 0, ορίζει την y ως τη συνάρτηση του x που ικανοποιεί τη.ε. (1.3.2) σε κάποιο διάστηµα I, τότε το γράφηµα αυτής της συνάρτησης ονοµάζεται Ολοκληρωτική Καµπύλη της Σ Ε (1.3.2). Άρα, µία κάποια ολοκληρωτική καµπύλη της (1.3.2) αναπαριστά γεωµετρικά µία ειδική λύση της (1.3.2). Με άλλα λόγια η ειδική λύση y(x) είναι η αναλυτική έκφραση της ολοκληρωτικής καµπύλης. Είναι προφανές ότι αν γνωρίζουµε όλες τις ολοκληρωτικές καµπύλες µίας Σ Ε τότε ϑεωρούµε ότι την έχουµε λύσει, δηλαδή ότι γνωρίζουµε τη γενική λύση ή αλλιώς τη µονοπαραµετρική οικογένεια λύσεων. Ετσι, για Σ Ε πρώτης τάξης η γενικότερη δυνατή µορφή λύσης που είναι αυτή του γενικού ολοκληρώµατος Φ(x, y, c) = 0 (1.3.3) και ανήκει στην περίπτωση n = 1 της (1.2.3), αναπαριστά αναλυτικά τη µονοπαραµετρική οικογένεια καµπυλών του xy επιπέδου, κάθε µέλος της οποίας είναι ολοκληρωτική καµπύλη της Σ Ε. ίνουµε και έναν ορισµό ο οποίος είναι σχετικά πρώιµος αλλά ϑα συναντήσουµε τη σχετική έννοια άµεσα. Λέµε ότι η λύση y = φ(x) ικανοποιεί την αρχική συνθήκη (x o, y o ) αν φ(x 0 ) = y o. ηλαδή, αν η ολοκληρωτική καµπύλη περνά από το σηµείο x o, y o του xy επιπέδου. Σύνοψη : Υπενθυµίζουµε τη σχέση µεταξύ Σ Ε και πεδίων διευθύνσεως : Κάθε εξίσωση της µορφής (1.3.1) καθορίζει ένα πεδίο διευθύνσεων στο επίπεδο : η ευθεία που επισυνάπτουµε στο σηµείο (x, y) έχει κλίση f(x, y(x)). Το πεδίο αυτό ονοµάζεται πεδίο διευθύνσεων της f ή πεδίο διευθύνσεων της Σ Ε (1.3.1). Σε περιπτώσεις που είναι δύσκολο να να ϐρούµε άµεσα λύση µίας διαφορικής εξίσωσης µε τη µορφή στοιχειωδών συναρτήσεων µπορούµε µέσω του πεδίου διευθύνσεων αυτής να αντλήσουµε πλη- ϱοφορία για τη συµπεριφορά των λύσεων της ή να δώσουµε ακόµη και µία εκτίµηση ή γραφική προσέγγιση για τη µορφή τους από τη γνώση του πεδίου διευθύνσεων και µόνο. Η σχεδίαση του πεδίου διευθύνσεων είναι γενικά µία κουραστική υπόθεση. Η λογική ϐάσει της οποίας σχεδιάζουµε ένα πεδίο διευθύνσεων είναι ουσιαστικά η εξής : Να έχουµε αρκετά στοιχειώδη ευθύγραµµα τµήµατα ώστε να µπορούµε να σχεδιάσουµε την ολοκληρωτική καµπύλη που περνά από ένα συγκεκριµένο σηµείο. ηλαδή, ξεκινώντας από αυτό το σηµείο να µην υπάρχει µεγάλη αµφιβολία ως προς το ποιο στοιχείο διευθύνσεως είναι εφαπτόµενο της καµπύλης κάθε ϕορά. Αν σε κάποια περιοχή υπάρχει πολύ µεγάλη αµφιβολία, απλώς κατασκευάζουµε περισσότερα στοιχεία διευθύνσεως σε αυτή την περιοχή µέχρι να είµαστε πιο σίγουροι. Υπάρχει όµως µία έννοια που µπορεί να µας ϐοηθήσει σε αυτή τη σχεδίαση. Ισοκλινείς Καµπύλες. Για τη σχεδίαση ενός πεδίου διευθύνσεων µπορούµε να διευκολυνθούµε αρκετά από τη χρήση των λεγόµενων ισοκλινών καµπυλών της Σ Ε. Αυτές ορίζονται ως εξής : Ορισµός 1.3.4 (Ισοκλινής Καµπύλη Σ Ε). Κάθε καµπύλη που ορίζεται από τη σχέση ονοµάζεται Ισοκλινής Καµπύλη της Σ Ε (1.3.1). f(x, y) = c (1.3.4) Είναι σαφές ότι ισοκλινείς καµπύλες είναι ο γεωµετρικός τόπος του πεδίου διευθύνσεων που έχουν την ίδια διεύθυνση. Αυτή τους η ιδιότητα µας διευκολύνει στη σχεδίαση του πεδίου διευθύνσεων ως εξής : Χαράζοντας τις ισοκλινείς γνωρίζουµε ότι σε κάθε σηµείο τους η κλίση των πεδίων διευθύνσεων του πεδίου διευθύνσεων ϑα είναι η ίδια, δηλαδή όλα αυτά τα στοιχεία διευθύνσεων ϑα είναι παράλληλα µεταξύ τους. Άρα, χαράζοντας το πρώτο ευθύγραµµο τµήµα όλα τα υπόλοιπα πάνω στην ισοκλινή

16 Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες σχεδιάζονται πάρα πολύ εύκολα. Την ίδια διαδικασία επαναλαµβάνουµε για κάθε ισοκλινή. Ετσι κά- ϑε ολοκληρωτική καµπύλη ϑα τέµνει την κάθε ισοκλινή µε κλίση ίση µε τη δοσµένη σε κάθε σηµείο. Προσέξτε εδώ, ότι δεν απαιτούµε η ίδια ολοκληρωτική καµπύλη να έχει παντού την ίδια κλίση (αυτό ϑα έδινε ευθεία) αλλά Ϲητάµε, γενικά, τα σηµεία πάνω σε διαφορετικές ολοκληρωτικές καµπύλες της οικογένειας (ένα σε κάθε καµπύλη) που έχουν την ίδια κλίση. Αυτά τα σηµεία ενώνοντας παίρνουµε τις ισοκλινείς καµπύλες. Οι ισοκλινείς είναι καµπύλες όλης της οικογένειας και όχι µόνο µίας από αυτές! Παράδειγµα 1.6 (Παράδειγµα (5.2), Σελίδα 39, ([8] ) ): Να κατασκευαστει το πεδίο διευθύνσεων της Σ Ε y = x + y (1.3.5) Λύση. Για ευκολία ϑα κατασκευάσουµε το πεδίο για ακέραιες τιµές των x και y από 5 ως 5. Οι x y -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5-5 -10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0-4 -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1-3 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 2-2 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3-1 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 1-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 2-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Πίνακας 1.1: Τιµές Πεδίου κλίσεων της Σ Ε y = x + y τιµές δίνονται στον πίνακα (1.1). Οι ισοκλινείς αυτής της Σ Ε είναι οι x + y = c y = x + c οι οποίες ειναι ευθείες µε κλίση (-1). Με τη ϐοηθεία τους και τις τιµές του πίνακα (1.1) σχεδιάζουµε το πεδίο διευθύνσεων το οποίο δίνεται στο σχήµα (1.2). Τέλος, σχεδιάζουµε την ολοκληρωτική καµπύλη που περνά από το σηµείο (0,0). Τονίζουµε ότι η καµπύλη αυτή είναι το γράφηµα της ειδικής λύσης y = e x x 1. Παρατήρηση : Πολλές ϕορές η επίλυση της σχέσης f(x, y) = c για την εύρεση των ισοκλινών µπορεί να αποδειχθεί πολύ πιο δύσκολη από ότι στο παράδειγµα που µόλις δώσαµε, όπου µπορέσαµε να επιλύσουµε ως προς την y πάρα πολύ εύκολα. Σε αυτή την περίπτωση προαφανώς καταφεύγουµε σε άλλες µεθόδους για τη µελέτη της λύσης.

1.3. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. 17 Σχήµα 1.2: Πεδίο ιευθύνσεων και Ισοκλινείς Καµπύλες της Εξίσωσης (1.3.5) 1.3.1.i Γραφική Προσέγγιση Λύσης-Πολύγωνο του Cauchy. Τη διαδικασία που µόλις παρουσιάσαµε την τυποποιούµε για τη σχεδίαση µία προσεγγιστικής λύσης που περνά από ένα σηµείο P o = (x o, y o ). Υποθέτουµε ότι µπορούµε να ϐρούµε σχετικά εύκολα την αναλυτική έκφραση για τις ισοκλινείς καµπύλες της Σ Ε y (x) = f(x, y) (1.3.6) Βήµα 1: Σχεδιάζουµε καταρχάς ένα πλήθος ισοκλινών καµπυλών που αντιστοιχούν στις τιµές c 1, c 2,... και επάνω σε κάθε µία σχεδιάζουµε τις αντίστοιχες διευθύνσεις k i = c i, i = 1, 2,.... Φροντί- Ϲουµε έτσι ώστε η ισοκλινής f = c 1 να περνά από το σηµείο P o. Βήµα 2: Σχεδιάζουµε τις ευθείες που διέρχονται από το σηµείο P o και έχουν κλίσεις c 1 και c 2. ηλαδή, αντιστοιχούν στις κλίσεις των δύο διαδοχικών ισοκλινών f = c 1 και f = c 2. Τα σηµεία τοµής των δύο αυτών ευθειών µε την ισοκλινή f = c 2 τα ονοµάζουµε P 1 και P 2 αντίστοιχα. Βήµα 3: Το µέσο του τόξου P 1 P 2 το ονοµάζουµε P 3 και σχεδιάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα P o P 3, το οποίο αποτελεί τη προσέγγιση της λύσης µεταξύ των δύο ισοκλινών f = c 1 και f = c 2. Βήµα 4: Με αρχικό σηµείο το σηµείο P 3 πλέον επαναλαµβάνουµε τα ϐήµατα 2 και 3 και έτσι ϕτάνουµε στο σηµείο P 6 µε το ευθύγραµµο τµήµα P 3 P 6 να αποτελεί τη συνέχιση της προσέγγισης µεταξύ των ισοκλινών f = c 2 και f = c 3. Βήµα 5: Αντίτοιχα κατασκευάζουµε το σηµείο P 9, κ.ο.κ. Η πολυγωνική γραµµή P 0 P 3 P 6 P 9... είναι η γραφική προσέγγιση της λύσης της (1.3.6) που περνά από το σηµείο P 0 και ονοµάζεται πολύγωνο του Cauchy. Στο σχήµα (1.3) δίνουµε µία γραφική αναπαράσταση της όλης διαδικασίας. 1.3.1.ii Εύρεση Σ Ε από Γνωστή Οικογένεια Καµπυλών. Αν γνωρίζουµε την αναλυτική έκφραση µίας µονοπαραµετρικής οικογένειας καµπυλών µπορούµε να προσδιορίσουµε την Σ Ε της οποίας γενική λύση είναι αυτό ; Η απάντηση στο ερώτηµα αυτό δεν έχει µόνο τεχνικό ενδιαφέρον αλλά είναι χρήσιµη σε σχεση µε Ϲητήµατα που έχουν να κάνουν µε τη γεωµετρία των καµπύλων στο επίπεδο, όπως ϑα δούµε άµεσα. Ετσι το όλο ϑέµα έχει ως εξής :

18 Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες Σχήµα 1.3: Κατασκευή Πολύγωνου Cauchy. Ερώτηµα : Εστω ότι έχουµε τη µονοπαραµετρική οικογένεια λύσεων Φ(x, y, c) = 0 (1.3.7) που αναπαριστά µία µονοπαραµετρική οικεγένεια καµπυλών του επιπέδου. Πως µπορούµε να ϐρούµε την Σ Ε της οποίας αυτή αποτελεί το γενικό ολοκλήρωµα ; Απάντηση : Βήµα-1 Παραγωγίζουµε την (1.3.7) ως προς x, οπότε : Φ x + Φ dy y dx = 0 (1.3.8) Οµως τώρα η σχέση που προκύπτει παρόλο που περιέχει παραγώγους περιέχει και την αυθαίρετη παράµετρο c την οποία πρέπει να απαλείψουµε για να πάρουµε την Σ Ε που Ϲητάµε. Ετσι, Βήµα-2 Απαλοίφουµε από τις (1.3.7) και (1.3.8) τη σταθερά c για να λάβουµε έτσι την τελική έκφραση η οποία είναι και η Ϲητούµενη Σ Ε. F (x, y, y ) = 0 (1.3.9) Παρατήρηση : Από τη συζήτηση που έχει προηγηθεί είναι προφανές ότι το σύνολο λύσεων της (1.3.9) µπορεί να περιέχει και λύσεις άλλες εκτός της οικογένειας (1.3.7). Παράδειγµα 1.7: Εστω η οικογένεια (x c) 2 + y 2 = 2 (1.3.10) καµπυλών του επιπέδου. ηλαδή, κύκλοι ακτίνας 2 µε κέντρα πάνω στον άξονα των x. Να ϐρεθεί η διαφορική εξίσωση της οποίας αποτελεί το γενικό ολοκλήρωµα.

1.3. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. 19 Λύση. Παραγωγίζοντας ως προς x την (1.3.10) παίρνουµε 2(x c) + 2yy = 0 (1.3.11) Από τις (1.3.10) και (1.3.11) απαλοίφουµε τη σταθερά c ως εξής, (x c) 2 + y 2 = 2 2(x c) + 2yy = 0 (x c) 2 = 2 y 2 (1.3.12) (x c) = yy (x c) 2 = 2 y 2 y 2 (y ) 2 = 2 y 2 y 2 (y ) 2 + y 2 = 2 (1.3.13) (x c) 2 = (yy ) 2 και αυτή είναι η Ϲητούµενη Σ Ε στη µορφή F (x, y, y ) = 0. Είναι όµως εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι η.ε. F = 0 έχει και ιδιάζουσες λύσεις. Πραγµατικά, ϑεωρούµε τα σηµεία στα οποία F y = 0 δηλ., και ϐλέπουµε πως καταλήγουµε µε τη Σ Ε οι λύσεις της οποίας είναι (y 2 (y ) 2 + y 2 2) y = 0 2y 2 y = 0 y = 0 (1.3.14) y = c (1.3.15) Οµως, για να αποτελούν αυτές λύσεις της (1.3.13) πρέπει η σταθερά c να ικανοποιεί τη σχέση Άρα, οι ιδιάζουσες λύσεις είναι οι c 2 = 2 c = ± 2 (1.3.16) y = ± 2 (1.3.17) Αυτές είναι όντως ιδιάζουσες λύσεις διότι η γενική λύση (1.3.10) δεν µπορεί, για καµία τιµή της σταθεράς c να δώσει ως λύση την y = ± 2 Τέλος, παρατητούµε ότι οι ευθείες y = ± 2 είναι εφαπτόµενες σε όλα τα σηµεία τους σε όλους τους κύκλους της µορφής (1.3.10), δηλαδή σε όλους τους κύκλους που έχουν κέντρο στον άξονα x και ακτίνα 2. Λέµε σε αυτή την περίπτωση ότι οι ευθείες y = 2 είναι οι περιβάλουσες της οικογένειας (1.3.10).

20 Κεφάλαιο 1. Βασικές Εννοιες Παρατήρηση : Σηµειώστε ότι για να προσδιορίσουµε τη σταθερά c απαιτήσαµε να ικανοποιεί η µορφή της ιδιάζουσας λύσης τη Σ Ε. Αυτή είναι µία ενέργεια την οποία πρέπει να κάνουµε πάντα όταν ψάχνουµε ιδιάζουσες λύσεις διότι υπάρχει περίπτωση η όλη διαδικασία να µας οδηγήσει σε αποτελέσµατα τα οποία δεν είναι λύσεις της Σ Ε. 1.3.2 Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ Ε. Μέχρι στιγµής έχουµε µελετήσει Σ Ε της µορφής (1.3.1) τέτοιες ώστε σε κάθε σηµείο (x, y) να ορίζεται ένα και µόνο ένα στοιχείο διεύθυνσης. Άρα, από κάθε σηµείο περνά µία και µόνο µία ολοκληρωτική καµπύλη. Αυτή όµως δεν είναι και η γενικότερη δυνατή περίπτωση διότι ανάλογα µε τη µορφή της f(x, y) µπορεί ενα σηµείο (x, y) είτε να ϐρίσκεται πάνω σε περισσότερες από µία ολοκληρωτικές καµπύλες είτε να µη ϐρίσκεται πάνω σε καµία ολοκληρωτική καµπύλη. Για να καλύψουµε αυτές τις περιπτώσεις ορίζουµε τα οµαλά (κανονικά) και ανώµαλα σηµεία µίας Σ Ε της µορφής (1.3.1). Ορισµός 1.3.5 (Οµαλό Σηµείο Σ Ε). Λέµε ότι το σηµείο (x, y) του επιπέδου είναι Οµαλό (Κανονικό) Σηµείο της Σ Ε (1.3.1), αν ϐρίσκεται πάνω σε µία και µόνο µία ολοκληρωτική της καµπύλη. Ορισµός 1.3.6 (Ανώµαλο Σηµείο Σ Ε). Λέµε ότι το σηµείο (x, y) του επιπέδου είναι Ανώµαλο Σηµείο της Σ Ε (1.3.1), αν ΑΣ-1: Αν δεν είναι κανονικό σηµείο, δηλαδή είτε δεν ϐρίσκεται πάνω σε καµία ολοκληρωτική καµπύλη της Σ Ε είτε ϐρίσκεται πάνω σε πρισσότερες από µία ολοκληρωτικές καµπύλες της. ΑΣ-2: Αν σε κάθε κύκλο µε οσοδήποτε µικρή ακτίνα που διαγράφουµε µε κέντρο το σηµείο αυτό ϐρίσκεται τουλάχιστόν ένα κανονικό σηµείο. Παρατήρηση : Τη συνθήκη (ΑΣ-2) την απαιτούµε έτσι να αποφύγουµε να χαρακτηρίσουµε ως ανώµαλα σηµεία µίας Σ Ε, σηµεία τα οποία δεν έχουν σχέση µε το πρόβληµα. για παράδειγµα στη Σ Ε y = 4 x 2 απαιτείται να ϑεωρήσουµε µόνο τα σηµεία µε x 2. Αν δεν είχαµε τη συνθήκη (ΑΣ-2) τότε ϑα χαρακτηρίζαµε ως ανώµαλο, για παράδειγµα, το σηµείο (5, 8) το οποίο όµως δεν έχει καµία σχέση µε τη Σ Ε. Για να κατανοήσουµε την έννοια του ανώµαλου σηµείου δίνουµε το εξής παράδειγµα το οποίο είναι δανεισµένο από το παράδειγµα (5.3), σελίδα 42 της [8] Παράδειγµα 1.8 (Σ Ε µε Ανώµαλο Σηµείο ): Εστω η Σ Ε y = να κασκευαστεί το πεδίο διευθύνσεων της. 2(y 1), x 0 (1.3.18) x Λύση. Καταρχάς παρατηρούµε ότι εξαιρείται το σηµείο x = 0 και σηµειώνουµε ότι αυτό δεν είναι τυχαίο διότι στο x = 0 απειρίζεται η f(x, y) = 2(y 1) x, άρα το πεδίο διευθύνσεων γίνεται παράλληλο µε τον κατακόρυφο άξονα, δηλαδή τον y. Επίσης, παρατηρούµε ότι και η ευθεία y = 1, µε την εξαίρεση του σηµείου (0, 1), είναι λύση της.ε. και έχει αυτή τη µορφή διότι για y = 1 ισχύει y = 0. Παρόλο που η κατασκευή λύσης γίνεται γραφικά δίνεται ότι η οικογένεια των παραβολών y = cx 2 + 1 (1.3.19) επαληθεύει την Σ Ε (1.3.18) και ότι αυτή η οικογένεια προκύπτει µε την τυπική διαδικασία λύσης.ε. αυτής της οικογένειας όπως ϑα δούµε στην ενότητα (2.5).

1.3. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων. 21 Ας δούµε τι επιπτώσεις µπορεί να έχει για την υπό εξέταση Σ Ε η ύπαρξη ενός τέτοιου σηµείου. Προφανώς, αν ϑέλουµε να κατασκευάσουµε κάποια λύση µε τη χρήση του πεδίου διευθύνσεως ϑα πρέπει να προσέξουµε έτσι ώστε η όλη κατασκευή να µη χρειαστεί να περάσει από τον άξονα x = 0 (δηλαδή τον κατακόρυφο άξονα y). Εστω λοιπόν ότι ξεκινάµε από το σηµείο A του σχήµατος (1.4) και ακολουθούµε την ολοκληρωτική καµπύλη που περνά από αυτό το σηµείο. Ακολουθώντας το πεδίο διευθύνσεως καθώς διαγράφουµε την ολοκληρωτική καµπύλη παρατηρούµε ότι αναπόφευκτα ϑα πρέπει να σταµατήσουµε στο σηµείο (0, 1). Σε αυτό το σηµείο η y δεν έχει νόηµα. Ακόµη και αν αποφασίσουµε να προσδώσουµε αυθαίρετα µία τιµή για την y σε αυτό το σηµείο πάλι ϑα έχουµε πρόβληµα. Εστω για παράδειγµα ότι εκµεταλευόµενοι την τοµή του άξονα x = 0 µε τη λύση y = 1 y = 0 αποφασίζουµε να προδώσουµε σε αυτό το σηµείο την τιµή y = 0 τότε ϑα διαπιστώσουµε ότι υπάρχουν άπειρες καµπύλες οι οποίες περνούν από το σηµείο (0, 1), µπορούν να διαγραφτούν πάνω στο πεδίο διεύθυνσης της (1.3.18) και έχουν κλίση µηδέν. ηλαδή, αποτελούν λύσεις και αυτές! Ποιά από αυτές ϑα διαλέξουµε για να συνεχίσουµε τη λύση µας ; εν αρκεί ο προσδιορισµός της κλίσης στο ιδιαίτερο αυτό σηµείο για να προσδιορίοσυµε µία ολοκληρωτική καµπύλη. Αυτή η συµπεριφορά έρχεται σε αντίθεση µε τον τύπο (1.3.19) που δώσαµε για την οικογένεια λύσεων της Σ Ε. ιότι σύµφωνα µε αυτόν τον τύπο υπάρχει µία και µοναδική παραβολή η οποία περνά από το αρχικό σηµείο A, ϕτάνει µέχρι το σηµείο (0, 1) και µετά συνεχίζει αναγκαστικά στο πρώτο τεταρτηµόριο όπως ϕαίνεται στο σχήµα (1.4). Αναγκαστικά πρέπει να σκεφτούµε ότι η λύση (1.3.19) δεν αντιπροσωπεύει το σύνολο των λύσεων της (1.3.18) Σχήµα 1.4: Η Σ Ε (1.3.18) και το Ανώµαλο της Σηµείο. Ας δούµε τι µπορούµε να κάνουµε για να προσδιορίσουµε σωστά τη λύση της δοσµένης Σ Ε υπό την προυπόθεση ότι εξακολουθούµε να απαιτούµε y = 0 στο σηµείο (0, 1). Θα µπορούσαµε, για παράδειγµα, να απαιτήσουµε η λύση να περνά και από ένα επιπλέον σηµείο, π.χ., από το σηµείο (1, 2) στο πρώτο τεταρτηµόριο. Τότε ϑα προσδιορίζαµε µε µοναδικό τρόπο την ολοκληρωτική καµπύλη που πρέπει να διαγράψουµε. Αυτή η διαδικασία δεν είναι περιοριστική όπως η αναλυτική λύση (1.3.19) διότι µπορούµε να διαλέξουµε οποιαδήποτε λύση ϐρίσκεται δεξιά του άξονα x = 0 και όχι µόνο τον δεξί κλάδο κάποιας παραβολής. Αυτή η διαδικασία ισοδυναµεί στην πραγµατικότητα µε το να διαλέγουµε ανεξάρτητες οικογένειες λύσεων δεξιά και αριστερά του άξονα x = 0. Πραγµατικά, είναι