α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y"

Σαμουήλ Κοντολέων
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ασκήσεις στα Μαθηματικά ΙΙΙ Τμήμα Χημ. Μηχανικών ΑΠΘ Μουτάφη Ευαγγελία Θεσσαλονίκη

2 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Στις παρακάτω Δ.Ε. να προσδιορίσετε: α) την ανεξάρτητη και την εξαρτημένη μεταβλητή, β) την τάξη, γ) το βαθμό και δ) το είδος της Δ.Ε. ως προς το αν είναι γραμμική ή όχι. Στην περίπτωση που η εξίσωση δεν είναι γραμμική να αιτιολογήσετε την α- πάντησή της. α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 ε.... x 2ẍ + 4tẋ e t x = t + 1 ζ. e y + 3xy = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 ι. x 2 y + xy + (x 3 2)y = 0 ια. d 3 y dy + 5y 3 + 8y = 0

3 2. Να χαρακτηρίσετε τα παρακάτω συστήματα ως γραμμμικά ή μη γραμμικά. α. dy dt = x 4xy dt = 3x + y β. Q = tq 3t 2 R R = 3Q + 5R γ. ẋ = x xy + z ẏ = 2x + y yz ż = 3x y + z δ. ẋ = 2x ty + t 2 z ẏ = 2tx + y z ż = 3x t 3 y + z

4 3. Για ποια τιμή/τιμές της παραμέτρου α η παρακάτω εξίσωση είναι γραμμική; d 2 x dt 2 + (α2 α)x dt = te(α 1)x 4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση που δίνεται είναι λύση της αντίστοιχης Δ.Ε. α. y = sin x ; y + y = 0 β. y = x 2 ; 1( dy ) 2 dy x 4 + y = 0 γ. y = eαx + e αx ; y = α 1 + (y 2α ) 2, α R δ. y = x sin t t dt ; xy sin x = 0 1 Υπόδειξη για τη δ: Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

5 5. Αν c μία θετική σταθερά, να δείξτε ότι οι δύο συναρτήσεις y = c 2 x 2 και y = c 2 x 2 είναι και οι δύο λύσεις της μη γραμμικής εξίσωσης y dy + x = 0 στο διάστημα c < x < c. Να εξηγήσετε γιατί αυτές οι δύο συναρτήσεις δεν είναι λύσεις της Δ.Ε. για τιμές του x εκτός του ανοικτού διαστήματος ( c, c). 6. Να εξετάσετε αν η σχέση που δίνεται είναι πεπλεγμένη λύση της Δ.Ε. y ln y = t 2 + 1; y dy dt = t y 7. Να επαληθεύσετε ότι οι συναρτήσεις u 1 (x, y) = cos x cosh y και u 2 (x, y) = ln(x 2 + y 2 ), (x, y) (0, 0) είναι λύσεις της Δ.Ε. u xx + u yy = Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις να βρείτε μία Δ.Ε. που θα ικανοποιείται από τη συνάρτηση αυτή, αν a, b, c πραγματικοί σταθεροί αριθμοί.

6 α. y(x) = c + x c β. y(t) = (a + bt)e t γ. y(x) = ae 4x + be 2x 9. α. Να δείξτε ότι η 1ης τάξης Δ.Ε. dy + y + 1 = 0 δεν έχει πραγματικές λύσεις. ( dy ) 2 β. Να δείξτε ότι η 1ης τάξης Δ.Ε. 4y = 0 δέχεται μία μονοπαραμετρική οικογένεια λύσεων της μορφής f (x) = (x + c) 2, όπου c αυθαίρετη πραγματική σταθερά, και την επιπλέον λύση g(x) = 0 η οποία δεν είναι μέλος της παραπάνω οικογένειας για οποιαδήποτε τιμή της σταθεράς c. dy 10. Να δείξετε ότι η 1ης τάξης Δ.Ε. = x 2 2x + 7 (1) δέχεται μία μονοπαραμετρική οικογένεια λύσεων της μορφής y(x) = x 3 3 x 2 + 7x + c

7 όπου c αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Να χαράξετε τις ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε. (1) για τις τιμές της παραμέτρου c = -10, 0 και Να λύσετε το επόμενο Πρόβλημα Αρχικών Τιμών (ΠΑΤ): d 4 y dt 4 = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 1 και y (0) = Να λύσετε το επόμενο Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ): y = 2 cos x, y(0) = 2 και y (π/6) = Ενα υλικό σημείο κινείται κατά μήκος του άξονα των x έτσι ώστε η ταχύτητά του κάθε χρονική στιγμή t 0 να δίνεται από τη σχέση: υ(t) = 1. Υποθέτοντας ότι το υλικό σημείο αρχικά t είναι στην αρχή του άξονα, να αποδείξετε ότι αυτό δεν θα περάσει ποτέ από το σημείο x = π/2.

8 14. Ενα Boeing 727 χρειάζεται ταχύτητα 200 mph (μίλια την ώρα) για να απογειωθεί. Αν το αεροπλάνο μπορεί να αποκτήσει την ταχύτητα των 200 mph σε 30 δευτερόλεπτα, να υπολογίσετε το ελάχιστο μήκος του αεροδιαδρόμου που χρειάζεται για την απογείωσή του υ- ποθέτοντας ότι: αρχικά ήταν στάσιμο και στην αρχή του αεροδιαδρόμου και ότι η επιτάχυνσή του είναι σταθερή. 15. Για καθένα από τα επόμενα ΠΑΤ να προσδιορίσετε ένα ορθογώνιο T με κέντρο το σημείο (x 0, y 0 ) στο επίπεδο t x για το οποίο η δοθείσα Δ.Ε. έχει μοναδική λύση σε μία κατάλληλη περιοχή του σημείου x 0. α. β. t dt dt = 1 x, x(0) = 3 γ. (1 + t) dt = x, x(0) = 0 = 1 x, x(0) = 0

9 16. Οι συναρτήσεις y = x 2 και y = 2x 1 είναι και οι δύο λύσεις της εξίσωσης y = 2x x 2 y και ικανοποιούν και την αρχική συνθήκη y(1) = 1. Το παράδειγμα αυτό έρχεται σε αντίθεση με το Θεώρημα των Picard Lindelöf περί ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης σε ένα ΠΑΤ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σχόλιο: Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση των ολοκληρωτικών καμπύλων y = x 3 3 x 2 + 7x + c της dy Δ.Ε. = x 2 2x + 7 (άσκηση 10) για c = 15, c = 0 και c = 10 (από πάνω προς τα κάτω).

Σχετικά έγγραφα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/017 Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης dx y + x y. x Παρατηρούμε ότι η δ.ε. είναι ομογενής. Πράγματι, dx y x + 1 x y x y x + 1 (