ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

Transcript

1 ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται εδώ πραγµατικοί αριθµοί Κάποιες από τις βασικότερες ιδιότητες των πολυωνύµων: o Το πολυώνυµο p() λέµε ότι είναι -βαθµού αν είναι η µεγαλύτερη δύναµη της µεταβλητής που εµφανίζεται σε αυτό Με το συµβολισµό που χρησιµοποιήσαµε παραπάνω, αυτό εξασφαλίζεται αν a o Κάθε πολυώνυµο είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη συνάρτηση µε παραγώγους που υπολογίζονται εύκολα: p = a + a + a + + a ( ), p = a + a + + a κλπ ( ) 6 ( ), o Τα πολυώνυµα είναι επίσης απεριόριστες φορές ολοκληρώσιµες συνάρτησεις µε ολοκληρώµατα που υπολογίζονται χωρίς δυσκολίες: + pd ( ) = a + a + a + + a + Όπως γίνεται φανερό, πρόκειται για συναρτήσεις µε ευκολίες που δεν συναντά κανείς σε όλες τις συναρτήσεις Αποκτά έτσι ιδιαίτερη αξία στην Μαθηµατική Ανάλυση η δυνατότητα προσέγγισης µιας συνάρτησης µέσω πολυωνύµων 4 Πολυωνυµική προσέγγιση µέσω του αναπτύγµατος Taylor Θα ξεκινήσουµε µελετώντας την πολυωνυµική προσέγγιση συναρτήσεων µέσω του αναπτύγµατος Taylor Θεωρούµε µια πραγµατική συνάρτηση f ( ) ορισµένη στο διάστηµα [a,b] (το οποίο µπορεί να είναι και ολόκληρο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών), για την οποία υποθέτουµε ότι

2 έχει παραγώγους µέχρι και + τάξεως Ζητάµε να προσδιορίσουµε το πολυώνυµο εκείνο p() που αποτελεί την καλύτερη προσέγγιση της f() βάσει του εξής κριτηρίου: Οι τιµές των f() και p() καθώς και των παραγώγων τους µέχρι -τάξης συµπίπτουν στο σηµείο a: ( ) ( ) p( a) = f ( a ), p ( a) = f ( a ), p ( a) = f ( a ),, p ( a) = f ( a) Εύκολα µπορεί κανείς να ελέγξει ότι οι προηγούµενες σχέσεις ικανοποιούνται από το πολυώνυµο ( ) f ( a) f ( a) p( ) = f( a) + f ( a) ( a) + ( a) + + ( a)!! Το σφάλµα της προσέγγισης αυτής στο σηµείο είναι ίσο µε f ( ξ ) R f p a ( + )! ( + ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ),, όπου ξ σηµείο του διαστήµατος (α,) Σηµειώνουµε ότι το σφάλµα σε αυτήν την µορφή ονοµάζεται υπόλοιπο Lagrage Ισοδύναµη έκφραση του σφάλµατος της πολυωνυµικής προσέγγισης είναι το υπόλοιπο Cauchy: + C ( a) ( + ) R ( ) = ( δ) f ( a+ δ ( a )), δ (,)! Μια τυπική απόδειξη των προηγούµενων ισχυρισµών η οποία βασίζεται στο Θεώρηµα Μέσης Τιµής του διαφορικού λογισµού είναι η εξής : Θεωρούµε την υπό µελέτη συνάρτηση f(t) ορισµένη στο διάστηµα [α,] Έστω k R τέτοιο ώστε στο άκρο του διαστήµατος να ισχύει ότι: ( ) f ( a) f ( a) + f( ) = f( a) + f ( a) ( a) + ( a) + + ( a) + k ( a)!! Θεωρούµε επίσης τη συνεχή και παραγωγίσιµη συνάρτηση ( ) f ( a) f ( a) + g( t) = f( t) f( a) f ( a) ( t a) ( t a) ( t a) k ( t a ), t [ a, ],!! για την οποία παρατηρούµε ότι : ga ( ) =, g ( ) =, g a g a g a ( ) ( ) = ( ) = = ( ) = Έτσι, χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Μέσης Τιµής, έχουµε :

3 ga ( ) = g ( ) = ξ ( a, ): g ( ξ ) =, g ( a) = g ( ξ ) = ξ ( a, ξ ): g ( ξ ) =, g ( a) = g ( ξ ) = ξ ( a, ξ ): g + ( ξ) = ( ) ( ) ( ) Όµως, ( + ) ( + ) g t f t k () = () ( + )! Εποµένως, ( + ) ( + ) ( + ) f ( ξ ) g ( ξ) = f ( ξ) k ( + )! = k = ( + )! Άρα, f ( a) f ( ξ ) f( ) f( a) f ( a) ( a) ( a) ( a)! ( + )! ( ) ( + ) + = f ( ξ ) f( ) p( ) ( a) ( + )! ( + ) + = + ( + ) f ( ξ ) R( ) = f( ) p( ) = ( a) ( + )! και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί Αξίζει επίσης να τονισθεί ιδιαίτερα ότι στην περίπτωση που η συνάρτηση f() είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη και το αντίστοιχο σφάλµα προσέγγισης τείνει στο µηδέν, τότε ο βαθµός του προσεγγιστικού πολυωνύµου µπορεί να θεωρηθεί ότι τείνει στο άπειρο Έτσι επιτυγχάνεται η ισότητα (και όχι προσέγγιση πια): = + ( ) f ( a) f ( ) = ( a) (4)! Το προηγούµενο ανάπτυγµα της συνάρτησης f σε σειρά δυνάµεων ονοµάζεται ανάπτυγµα Taylor (Maclauri αν ως κέντρο της σειράς επιλεγεί το σηµείο α=) και συγκλίνει, σύµφωνα µε το κριτήριο της ρίζας, όταν: f f ( a) lim( ( ) ) lim( ) ( ) ( ) ( a) a < a < a <!! ( ) f ( a) lim( )! Ο αριθµός r : = ονοµάζεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς Taylor Έτσι, η ( ) f ( a) lim( )! σειρά συγκλίνει για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς που ανήκουν στο διάστηµα (a-r,a+r) το οποίο και ονοµάζεται διάστηµα σύγκλισης

4 4 Αναπτύγµατα Taylor βασικών (στοιχειωδών) συναρτήσεων Στην παράγραφο αυτή δίνουµε τα αναπτύγµατα σε σειρές Taylor των βασικότερων στοιχειωδών συναρτήσεων Βασιζόµενοι σε αυτά, καθώς και σε τεχνικές που θα αναπτύξουµε στην επόµενη Ενότητα, µπορούµε να επιτύχουµε την ανάπτυξη σε σειρά Taylor µεγάλης κατηγορίας συναρτήσεων 4 Η εκθετική συνάρτηση Για την συνάρτηση f()=e, R, η οποία, όπως είναι γνωστό, είναι απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη, ισχύει ότι: f = e f = e = ( ) () ( ) f = e = e f = e = ( ) () f = f = e = e f = e = ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) f ( ) = e f () = e = Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύπο (4), µε κέντρο το σηµείο α=, παίρνουµε το ανάπτυγµα Maclauri της εκθετικής συνάρτησης: e e ( ) f () ( = )! = = = !!! = 4 Η λογαριθµική συνάρτηση l Για την συνάρτηση f()=l η οποία είναι, επίσης, απεριόριστες φορές παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της (, ), επιλέγουµε ως κέντρο το σηµείο a = και έχουµε: f( ) = l f() = l= f ( ) = ( l ) = f () = = f ( ) = ( f ( ) ) = = f () = f ( ) = ( f ( ) ) = f () = = (4) (4) f ( ) ( f ( ) ) = = f () = = 4 ( ) ( )! ( ) f ( ) = ( ) f () = ( ) ( )! 4

5 Η τελευταία σχέση αποδεικνύεται επαγωγικά ως εξής : ( )! = = = Για =, προφανώς ισχύει αφού f ( ) ( l ) ( ) ( k) k Αν υποθέσουµε ότι ισχύει για =k, δηλαδή ότι ( k )! f ( ) = ( ), τότε k ( k+ ) ( k) k ( k )! k k f ( ) = ( f ( )) = ( ) ( ) ( )! ( ) k = k = k k k k! = ( ) ( k )! ( k) = ( ) k + και η επαγωγική απόδειξη έχει ολοκληρωθεί Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύπο (4), µε κέντρο το σηµείο α=, έχουµε: ( ) f () ( ) ( )! l = ( ) = ( )!! = = ( ) l = ( ), < = Ισοδύναµα ο προηγούµενος τύπος µπορεί να γραφεί και ως εξής: ( ) l( + ) = = 4 = + +, < 4 Η ακτίνα σύγκλισης της υπό µελέτης δυναµοσειράς είναι πράγµατι αφού: r: = = lim = ( ) ( )! lim( )! 4 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι συναρτήσεις του ηµιτόνου f()=si και του συνηµιτόνου g()=cos είναι παραγωγίσιµες σε όλο το σύνολο των πραγµατικών αριθµών και αναπτύσσονται σε σειρές Taylor µε κέντρο µηδέν ως εξής: 5

6 f ( ) = si f () = si =, g( ) = cos g () = cos =, f ( ) = si = cos f () = cos =, g ( ) = cos = si g () = si = ( ) ( ) f ( ) cos si f () ( ) si =, g ( ) = si = cos g () = cos = = ( ) = = ( ) f ( ) = si = cos f () = cos =, g ( ) = cos = si g () = si = f ( ) ( ), = k () = k ( ), = k + k ( ) ( ), = k g () =, = k + Έτσι, αντικαθιστώντας στον γενικό τύπο (4), έχουµε: ( ) = = + + R, (k + )!! 5! 7! k 5 7 k + si, k = ( ) = = + +, R ( k)!! 4! 6! k 4 6 k cos k = 44 Η συνάρτηση f( ) Το ανάπτυγµα Maclauri της συνάρτησης f( ) =, + <, εναλλάσσουσα γεωµετρική σειρά δυνάµεων του : f( ) = f() = + f ( ) = = + ( + ) f () = f ( ) = = ( + ) ( + ) f () = f ( ) = = 4 ( + ) ( + ) f () = (4) 4 (4) f ( ) = f () 4 4 = = 5 ( + ) ( + ) f ( ) ( )! ( ) ( ) = f () = ( )! ( + ) + µας δίνει την Συνεπώς, 6

7 ( ) f () ( )! = ( ) = +!! = = = ( ) = + +, + = < 45 Η διωνυµική σειρά Γενίκευση της προηγούµενης περίπτωσης αποτελεί το ανάπτυγµα της συνάρτησης a f( ) = ( + ), a R : a ( ) a f( ) = ( + ) f() =, a ( ) f a f a a ( ) = ( + ) = ( + ) () =, f a a a f a a a ( ) = ( + ) = ( ) ( + ) () = ( ), ( ) a ( ) f a a a f a a a ( ) = ( ) ( + ) ( + ) () = ( ) ( + ) Εποµένως, a a ( a ) ( a + ) a ( + ) = =, =! < = Πρέπει βέβαια εδώ να σηµειωθεί ότι τυπικά απαιτείται η απόδειξη της γενικής σχέσης για την ( f ) ( ) επαγωγικά σε κάθε περίπτωση, όπως έγινε στην 4, πέρα από την «υπολογιστική» διαπίστωσή της 4 Ανάπτυγµα σε σειρά Taylor τυχούσας συνάρτησης Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα της προηγούµενης Ενότητας θα δώσουµε εδώ δύο παραδείγµατα τεχνικών υπολογισµού αναπτυγµάτων Taylor πιο σύνθετων συναρτήσεων Οι περιπτώσεις αυτές είναι χαρακτηριστικές του τρόπου που εργαζόµαστε για να αναπτύξουµε σε σειρά Taylor οποιαδήποτε συνάρτηση: Προσπαθούµε να τη γράψουµε ως συνδυασµό ή σύνθεση των στοιχειωδών συναρτήσεων που είδαµε παραπάνω ώστε να χρησιµοποιήσουµε τα αναπτύγµατά τους Πολλά ανάλογα επεξεργασµένα παραδείγµατα ακολουθούν στο τέλος της παραγράφου 7

8 4 Υπολογισµός σειράς Taylor µε συνδυασµό ή σύνθεση των αναπτυγµάτων των στοιχειωδών συναρτήσεων Οι συναρτήσεις υπερβολικού ηµιτόνου και συνηµιτόνου Με την βοήθεια του αναπτύγµατος της εκθετικής συνάρτησης (4) αναπτύσσουµε άµεσα σε σειρές Taylor και τις υπερβολικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: e e sih = = e e = ( )!! = = = = = ( ) ( ( ) ) = ( ) =!!! k + 5 = = k = (k + )!! 5! = =, αν = k + ( ( ) )!! (k + )! κι αυτό γιατί =! =, αν = k! Ανάλογα υπολογίζεται και το ανάπτυγµα του υπερβολικού συνηµιτόνου: e + e cosh = = e + e = + ( )!! = = = k 4 = = k = = = ( ) ( + ( ) ) = ( + ) = =!!! ( k)! 4! Τα αναπτύγµατα αυτά ισχύουν για κάθε πραγµατικό αριθµό Η συνάρτηση Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα (44) έχουµε: = = ( ) ( ) = ( ) + ( ) = = +, = = = < 8

9 44 Εφαρµογές Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζουµε κάποιες από τις βασικότερες εφαρµογές/δυνατότητες που αποκτάµε µε την χρήση των αναπτυγµάτων Taylor 44 Υπολογισµός απροσδιόριστων µορφών ορίων Οι σειρές Taylor χρησιµοποιούνται συχνά για τον υπολογισµό ορίων απροσδιορίστων µορφών Πιο συγκεκριµένα, εάν P ( ), Q ( ) είναι πραγµατικές συναρτήσεις και P( ) =, µπορούµε να lim Q ( ) αναλύσουµε τον αριθµητή και παρανοµαστή σε σειρές Taylor κέντρου και να υπολογίσουµε τα ζητούµενα όρια µετά από απλοποιήσεις των κοινών παραγόντων που θα εµφανιστούν οι οποίες θα άρουν την απροσδιοριστία si Παράδειγµα Να υπολογιστεί το όριο lim Το ανάπτυγµα Taylor (κέντρου ) του αριθµητή είναι: 6 si = +! 5! και άρα το όριο γίνεται si lim = lim ( + ) = lim( + ) =! 5!! 5! 44 Προσεγγιστικοί υπολογισµοί Η προσέγγιση συναρτήσεων από πολυώνυµα Taylor µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ως βάση για τον προσεγγιστικό υπολογισµό παραστάσεων που προκύπτουν από µη πολυωνυµικές συναρτήσεις Ας υποθέσουµε, για παράδειγµα, ότι θέλουµε να υπολογίσουµε προσεγγιστικά την τιµή του e Είναι προφανές ότι αυτή προκύπτει ως η τιµή της (µη πολυωνυµικής) συνάρτησης f()=e στην θέση = Χρησιµοποιώντας έτσι το ανάπτυγµα Taylor της εκθετικής συνάρτησεις (βλ και 4) e = = !!! 4! = 4 έχουµε, αντικαθιστώντας όπου =: Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + + = Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: =,5!! Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: = !! 9

10 4 Προσέγγιση µε πολυώνυµο 4ης τάξης: = 78!! 4! 4 5 Προσέγγιση µε πολυώνυµο 5ης τάξης: = 76666!! 4! 5! Προσέγγιση µε πολυώνυµο 6ης τάξης: = 7855!! 4! 5! 6! κλπ Αν θέλαµε λοιπόν στον προηγούµενο προσεγγιστικό υπολογισµό µας ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων θα µπορούσαµε να σταµατήσουµε στο πολυώνυµο 5 ης τάξης αφού αυτό και το επόµενο (6 ης τάξης) δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα στα πρώτα δεκαδικά ψηφία 44 Υπολογισµός Ολοκληρωµάτων Χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι Αν f ( ) = a ( ) είναι δυναµοσειρά µε ακτίνα σύγκλισης r, τότε = για κάθε α, β ( -r, +r) ισχύει f ( d ) = ( a ( ) d) β α β, = α µπορούµε να υπολογίζουµε ορισµένα ολοκληρώµατα µη πολυωνυµικών συναρτήσεων χρησιµοποιώντας τα αντίστοιχα αναπτύγµατα Taylor Παράδειγµα Υπολογίστε το ολοκλήρωµα cos d, χρησιµοποιώντας την κατάλληλη δυναµοσειρά για το cos µε κέντρο = Μέχρι ποιας τάξης όρους πρέπει να κρατήσουµε για να µπορούµε να ισχυρισθούµε ότι βρήκαµε το αποτέλεσµα µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων; Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα του συνηµιτόνου ζητούµενο ολοκλήρωµα: cos = + +, υπολογίζουµε το! 4! 6! 8! cos I = d = ( ) d ( ) d + =! 4! 6! 8! +! 4! 6! 8! ( ) ( ) = ( ( ) ) d = d = = ( )! ( )! ( )! = = = = Το αποτέλεσµα, κρατώντας στο ανάπτυγµα του συνηµιτόνου όρους µέχρι και 8 ης τάξης, είναι: Ι 8 = 9874

11 Αν σταµατούσαµε όµως σε όρους 6 ης τάξης θα παίρναµε την εκτίµηση Ι 6 = 9848, η οποία είναι ακριβής όσον αφορά στα 5 πρώτα δεκαδικά ψηφία αφού ο όρος 8 ης τάξης αφαιρεί ποσότητα που είναι περίπου Άλλα Παραδείγµατα Λυµένες Ασκήσεις ώστε το ανάπτυγµα σε σειρά Taylor για την συνάρτηση = ( ), = < = = γύρω από το Να υπολογίσετε προσεγγιστικά την ποσότητα µε ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων Η ζητούµενη ποσότητα είναι ίση µε την τιµή της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο = Αναπτύσσουµε, εποµένως, πρώτα την f() σε σειρά Taylor µε κέντρο το σηµείο =: f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = + f ( ) = f ( ) = f ( ) = f ( ) = ( 4 ) 5 ( 4 f ( ) = ) 5 f ( ) = ( f ( ) ( ) ) f f ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ) =!!! 4 5 = ! 8! 6 4! Αντικαθιστώντας = στην προηγούµενη σχέση βρίσκουµε τις εξής προσεγγίσεις για την τετραγωνική ρίζα του :, Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + =,5,, Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + = + =, , (,) (,) Προσέγγιση µε πολυώνυµο ης τάξης: + + = + + =, κλπ

12 Είναι φανερό επίσης ότι ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων επιτυγχάνουµε αν σταµατήσουµε στο πολυώνυµο ης τάξης αφού αυτό και το επόµενο ( ης τάξης) δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα στα πρώτα 6 δεκαδικά ψηφία (α) Αναπτύξτε σε σειρά Taylor την συνάρτηση f ( ) = si( ) µε κέντρο το, µέχρι και τον όρο 5 Στη συνέχεια, µετατρέψτε τις π = 459 o 46 σε ακτίνια και υπολογίστε την ποσότητα si(46 ), χρησιµοποιώντας π (β) Επαναλάβετε τα παραπάνω, αναπτύσσοντας την ίδια συνάρτηση σε σειρά µε κέντρο το, µέχρι και 4 π τον όρο ( ) Ποιός από τους δύο τρόπους υπολογισµού είναι ακριβέστερος και ταχύτερος, αν συγκριθεί 4 µε την «ακριβή» τιµή που σας δίνει ένας απλός υπολογιστής «τσέπης»; (α) Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε στην παράγραφο 4, το ανάπτυγµα Taylor της f()=si µε κέντρο το k ( ) k+ µηδέν είναι si = Έτσι, αν κρατήσουµε όρους µέχρι και τάξεως 5, έχουµε την k= (k + )! προσέγγιση: 5 si = + Αντικαθιστώντας τώρα, όπου την ποσότητα π, που µας δίνει η άσκηση βρίσκουµε: 6 o 46π 46 =,885, και χρησιµοποιώντας την τιµή του 8 o si 46 = 798 (β) Ο τύπος της σειράς µε κέντρο το = π /4 είναι επιµέρους ποσότητες: ( ) f ( π /4) π si = ( )! 4 = Υπολογίζουµε τις π π π ' π ' f( 4) = si 4 =, f '( 4) = (si ) π = (cos ) π =, f ''( 4) = (cos ) π = (si ) π = = = = = Εποµένως, η σειρά γίνεται π π si = o 46π Αντικαθιστώντας τώρα, όπου την ποσότητα 46 = και χρησιµοποιώντας την τιµή του π, που µας 8 o δίνει η άσκηση βρίσκουµε: si 46 = 794 Η ακριβής τιµή, που δίνει ένας υπολογιστής τσέπης είναι: o si 46 = 794, συνεπώς η δεύτερη µέθοδος είναι ακριβέστερη και γρηγορότερη

13 4 Χρησιµοποιώντας τα αναπτύγµατα των εµπλεκόµενων συναρτήσεων σε σειρές Maclauri, υπολογίστε το e e όριο lim si Το ανάπτυγµα Maclauri του αριθµητή και του παρονοµαστή είναι: 5 e e = si = και το όριο γίνεται lim = lim = = Αναλύστε την συνάρτηση y ( ) = e σε σειρά Taylor µε κέντρο =, µέχρι και τον ( ) όρο και e υπολογίστε προσεγγιστικά το ορισµένο ολοκλήρωµα d Πόσο διαφορετικό θα ήταν το αποτέλεσµα αν είχατε κρατήσει και όρους 4ου βαθµού; Θεωρείτε επιτυχή τη προσέγγιση µέχρι τον όρο ( ) ; Το ζητούµενο ανάπτυγµα γράφεται: 4 e = e e ( ) + e ( ) e ( ) + e ( )!! 4! Αντικαθιστώντας στο ολοκλήρωµα και κάνοντας τις πράξεις έχουµε: 4 e e ( ) ( ) ( ) I = d = ( ( ) ) d + +!! 4! = d e + + +, όπου σε τετράγωνες παρενθέσεις έχουµε συµπεριλάβει τους όρους 4 ης τάξης του αναπτύγµατος Υπολογίζοντας τα επί µέρους ολοκληρώµατα µέχρι όρους ης τάξης βρίσκουµε το αποτέλεσµα: Ι = e + l + = 4595 e Αν συµπεριλαµβάναµε και τους όρους 4 ης τάξης θα βρίσκαµε: Ι 4 = e + l + + = 464 e Από το γεγονός ότι τα αυτά αποτελέσµατα έχουν µικρή διαφορά, µπορούµε να συµπεράνουµε ότι βρίσκονται κοντά στη σωστή απάντηση 6 Έστω ότι για µία συνάρτηση y = f( ) δίνεται ότι:

14 ! f = f = f = f = f = 4 ( ) (), '(), ''(), '''(),, () Να γραφεί η σειρά Taylor της συνάρτησης αυτής γύρω από το = Για ποιές τιµές του συγκλίνει αυτή η σειρά; Ποιά είναι η τιµή της f στο µηδέν; Χρησιµοποιώντας τον γενικό τύπο ( ) f ( a) f ( ) = ( a) στην θέση a=, έχουµε:! = ( ) f() f () f () f () f () f( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + =!!!!!! 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + =!!!!! = ( ) = ( )! = = Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της ρίζας µπορούµε να προσδιορίσουµε το διάστηµα σύγκλισης της σειράς αυτής Συγκεκριµένα, για να συγκλίνει η σειρά αρκεί να ισχύει ότι: lim( ( ) ) < lim( ) < < < < < < < Εκτός του διαστήµατος (-,) η σειρά δεν συγκλίνει, αφού τότε lim( ( ) ) >, όπως δεν συγκλίνει και στα άκρα του διαστήµατος αφού : Για = η σειρά γίνεται ( ) = = = = = = ενώ για =- ( ) ( ) = = ( ) η οποία κυµαίνεται = = = Τέλος, δεδοµένου ότι το σηµείο = περιλαµβάνεται στο διάστηµα σύγκλισης της σειράς, η ζητούµενη τιµή f() υπολογίζεται ως εξής: ( ) f () = ( ) = ( ) = = = = = = ( ) Ασκήσεις Αναπτύξτε σε σειρά Taylor µε κέντρο µηδέν την συνάρτηση f()=( +)e και αποδείξτε ότι = e! = 4

15 Υπολογίστε προσεγγιστικά τις τιµές: i /e µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 6788) ii si6 o µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 8895) iii l(97) µε ακρίβεια 7 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: -459) iv ta o µε ακρίβεια 4 δεκαδικών ψηφίων (Απάντηση: 69) Πόσους όρους από το ανάπτυγµα Taylor, κέντρου, του l(+) πρέπει να κρατήσουµε ώστε να υπολογίσουµε το l() µε σφάλµα µικρότερο του 5; 4 Χρησιµοποιώντας δυναµοσειρές δείξτε ότι: (i) e lim e si = (ii) 6 cosh cos = si lim sih 5 είξτε ότι: i ii iii cos( d ) 7655 / + 4 d 494 si d