Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν μία τυχαία μεταβλητή Χ που λαμβάνει μόνο δύο τιμές, μία για κάθε δυνατή έκβαση του πειράματος. Αν για παράδειγμα ορίσουμε τη μεταβλητή Χ που εκφράζει μια δοκιμή Beroulli όπου, X 1,, ί ή Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την p X p, ( x) 1 p, x 1 x όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας. Η μέση τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι: Ε[Χ] = (1)p + ()(1-p) = p και Var[X] = (1-p) 2 p + (-p) 2 (1-p) =(1-p)p(1-p+p) =(1-p)p. Η συγκεκριμένη επιλογή τιμών για την Χ, οδηγεί σε μέση τιμή ίση με την πιθανότητα επιτυχίας έκβασης του πειράματος. Σε μία ακολουθία επαναλαμβανόμενων δοκιμών όπου: επαναλήψεις του πειράματος είναι στατιστικά ανεξάρτητες ανά δύο κάθε μία έχει διττή έκβαση (επιτυχή ή ανεπιτυχή) η πιθανότητα επιτυχίας παραμένει η ίδια για κάθε επανάληψη του πειράματος διακρίνουμε τα χαρακτηριστικά της κατανομής Beroulli. Η πιθανότητα ανεπιτυχούς έκβασης ενός πειράματος σε μια ακολουθία Beroulli, συμβολίζεται στο εξής με q. Προφανώς q=1-p. Παράδειγμα 2.6.1 Σε μια ακολουθία τριών δοκιμών Beroulli, η ύπαρξη μιας επιτυχίας και δύο αποτυχιών μπορεί να συμβεί με ένα από τους ακόλουθους τρόπους
πιθανότητα 1 η Δοκιμή 2 η Δοκιμή 3 η Δοκιμή Χ 1 Χ 2 Χ 3 1 1 1 Έτσι, η πιθανότητα να συμβεί την πρώτη φορά επιτυχία θα είναι Ρ(επιτυχία στην πρώτη δοκιμή) = Ρ((Χ 1 =1)(Χ 2 =)(Χ 3 =)) = Ρ((Χ 1 =1)Ρ(Χ 2 =)Ρ(Χ 3 =) = pqq = pq 2 Αντίστοιχα προκύπτει ότι Ρ(επιτυχία στην δεύτερη δοκιμή) = qpq = pq 2 Ρ(επιτυχία στην τρίτη δοκιμή) = qqp = pq 2 Αν στην ακολουθία των τριών δοκιμών οριστεί η τ.μ. Υ του πλήθους επιτυχιών, αυτή θα παίρνει τιμές,1,2 ή 3 Έτσι, η πιθανότητα Ρ μιας μόνο επιτυχίας σε τρεις δοκιμές είναι: Ρ(Υ=1) = Ρ((επιτυχία στην α δοκιμή)(επιτυχία στην β δοκιμή)(επιτυχία στην γ δοκιμή)) = Ρ(επιτυχία στην α δοκιμή)+ρ(επιτυχία στην β δοκιμή)+ρ(επιτυχία στην γ δοκιμή) = 3 pq 2 α.σ.κ. Δυωνυμικής Κατανομής, =8, p=,6 1,2 1,8,6,4,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 αριθμός επιτυχιών
πιθανότητα σ.π.π. Δυωνυμικής Κατανομής =8, p=,6,35,3,25,2,15,1,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 αριθμός επιτυχιών Κατανομή Beroulli ή Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους p, IR, p+q=1 και Ζ. Η σ.π.π. είναι f(k) = Ρ(Υ=k) = p k q -k k (k είναι η τιμή της διακριτής τ.μ. Υ). Προφανώς, η α.σ.κ. είναι F(k) = P(Υk)= j k p j j j q Σημείωση 2.6.1 Αν θεωρήσουμε ότι k=, τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται F() = P(Υ)= j p j j j q Που είναι το ανάπτυγμα του διωνύμου του Newto, δηλαδή: F() = (p+q) = 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σε μια διαδικασία Beroulli η πιθανότητα επιτυχίας είναι,2. Να βρεθεί ο αριθμός των ανεξαρτήτων δοκιμών που πρέπει να εκτελεσθούν ώστε η πιθανότητα μιας τουλάχιστον επιτυχίας να είναι μεγαλύτερη ή ίση του,5. Η Τ.Μ. Χ εκφράζει τον αριθμό των επιτυχιών. Ζητείται η τιμή του έτσι ώστε Ρ(Χ > 1) >,5 Η πιθανότητα του συμβάντος Χ > 1 προκύπτει αν αθροίσουμε τις τιμές της Σ.Π.Π., x που είναι f ( x / p) p q x x
Γιατί το συμβάν Χ > 1 πραγματοποιείται όταν συμβεί ένα από τα συμβάντα χ=1, χ=2,, χ=, x x ( 1).2.8 1.2.8 1 (.8) PX x1 x Άρα: 1 8 5 8 5 1 (.8) log log 2 1 1 1 1 [.939 1].69897 1 3.16 4. ΘΕΜΑ : Ένα σύστημα επιθεώρησης ποιοτικού ελέγχου απαιτεί ότι από την ημερήσια παραγωγή μίας γραμμής παραγωγής, ένα δείγμα 1 παραγόμενων προϊόντων επιλέγεται και ελέγχεται. Αν 2 ή περισσότερα στοιχεία του δείγματος είναι ελαττωματικά, ολόκληρη η ημερήσια παραγωγή καταστρέφεται. Αν η πιθανότητα ενός να παραχθεί ένα ελαττωματικό αντικείμενο είναι,5 ποια είναι η πιθανότητα απόρριψης ολόκληρης της ημερήσιας παραγωγής; Θέμα εξέτασης Σεπτεμβρίου 21 Αντιπαράδειγμα 1.5.8 Beroulli Μια μηχανή κατασκευάζει 12 πηνία ανά ώρα. Από αυτά 5% δεν ανταποκρίνονται στο πρότυπο της εταιρείας. Ποια η πιθανότητα να βρεθούν 3 ελαττωματικά πηνία σε έλεγχο τυχαία επιλεγμένου δείγματος 6 πηνίων; Αν χρησιμοποιηθεί η κατανομή Beroulli, η πιθανότητα στο δείγμα των 6 να υπάρχουν 3 μη αποδεκτά πηνία θα είναι: Ρ = 12,5 3,95 3 =,86 6 Το αποτέλεσμα δεν είναι σωστό διότι στο σύνολο των 12 πηνίων υπάρχουν μόλις 6 μη αποδεκτά. Δύσκολα κανείς περιμένει ότι σε τυχαία επιλογή 6 πηνίων θα είναι σχεδόν βέβαιο (Ρ=,86) ότι θα επιλέγονται τόσα πολλά μη αποδεκτά πηνία. Προφανώς το λάθος βρίσκεται στο ότι όταν επιλεγεί ένα πηνίο, η επόμενη επιλογή θα γίνει από πληθυσμό με 119 πηνία. Έτσι δεν ισχύει η στατιστική ανεξαρτησία των δοκιμών, που είναι μία από τις τρείς απαραίτητες προϋποθέσεις για την κατανομή Beroulli. Η ορθή απάντηση βρίσκεται ως εξής: Το σύνολο των δυνατών εξάδων που είναι δυνατό να επιλεγούν ως δείγμα σε διάρκεια 12 μίας ώρας είναι. Επειδή είναι γνωστό ότι το 5% αυτών είναι μη αποδεκτά, απομένουν 6 114 πηνία προς χρήση. Άρα οι τριάδες που έχουν τρία ακριβώς παραδεκτά πηνία είναι δυνατό
να επιλεγούν με 114 τρόπους. Οι τριάδες με τα τρία μη παραδεκτά είναι 3 3 των επιτυχών περιπτώσεων είναι το γινόμενο να είναι Ρ =,13. 2.3 Beroulli 6 3 3 6. Το σύνολο 114. Έτσι η πιθανότητα υπολογίζεται Μια τυχαία μεταβλητή θα λέγεται τ.μ. Beroulli (James Beroulli ελβετός μαθηματικός) αν για p (,1) η προσδοκώμενη τιμή E[X] = 1 P(X=1) + P(X=) = p (Η προσδοκώμενη τιμή μιάς τ.μ. Beroulli είναι η πιθανότητα ότι η τιμή της είναι 1). Κάθε δοκιμή έχει δύο μόνο δυνατά αποτελέσματα. Πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου είναι σταθερή (ίδια για όλες τις δοκιμές) Οι δοκιμές είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Παράδειγμα 1. 8. 2 Δυο ισοδύναμοι παίκτες παίζουν σκάκι.α) Ποιο είναι το πιο πιθανό να κερδίσει κάποιος από τα 4 τα 3 παιχνίδια ή από τα 8 τα 5; Β) Να κερδίσει τουλάχιστον τα 3 από τα 4 ή τουλάχιστον τα 5 από τα 8. Ξέρουμε πως οι δυο παίκτες είναι ισοδύναμοι άρα η πιθανότητα νίκης και η ήττας είναι ίδια. p = q = ½ Πιθανότητα νίκης στις 3 από τις 4 παρτίδες είναι : Ρ (3 ακριβώς στις 4 παρτίδες) = (4! / 3!) 1/16 = ¼ Πιθανότητα νίκης στις 5 από τις 8 παρτίδες είναι : Ρ (5 ακριβώς στις 8 παρτίδες) = (8! /(5!3!))(1/256) = 7/32 Άρα η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος τις 3 από τις 4 είναι μεγαλύτερη.
Πιθανότητα νίκης τουλάχιστον στις 3 από τις 4 παρτίδες είναι : P(τουλάχιστον 3 στις 4 παρτίδες) = Ρ(3 στις 4) + Ρ(4 στις 4) = 1/4+1/16=5/16 Πιθανότητα νίκης στις 5 από τις 8 παρτίδες είναι: P(τουλάχιστον 5 στις 8 παρτίδες) = Ρ (5 στις 8) + Ρ(6 στις 8) + Ρ(7 στις 8) + Ρ(8 στις 8) = 7/32 + (28 + 8 + 1) 1/256 = 93/256 παρτίδες είναι μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει κάποιος τουλάχιστον τις 5 από τις 8 Παράδειγμα 1. 8. 3 (Γραπτή εξέταση Ιουνίου 25) Σε επαναλαμβανόμενο τυχερό παιχνίδι παίζουμε το ποσό α κάθε φορά. Η πιθανότητα να κερδίσουμε το ίδιο ποσό είναι,46 και η πιθανότητα να χάσουμε είναι,54. Ποιά η πιθανότητα σε = 25 παιχνίδια να έχουμε χάσει τουλάχιστον 15α ; Που τείνει η παραπάνω πιθανότητα όταν ; Για να χάσει κανείς 15 α σημαίνει ότι στις 25 δοκιμές έχασε τις 2 και κέρδισε τις 5. Η κατανομή έχει τα χαρακτηριστικά της διωνυμικής και έτσι, 25 P (2 ώ / 25έ ) (,54 2 2 5 )(,46 ),486 Επειδή ζητούμε την πιθανότητα να χάσει τουλάχιστον 15 α, θα υπολογιστούν αντίστοιχα και οι περιπτώσεις να χάσει 21, 22, 23, 24 και 25 παιχνίδια. Τελικά η ζητούμενη πιθανότητα είναι P ( ά 2 ώ / 25έ ),6563 Σε δοκιμές θα πρέπει να χάσει x φορές και να κερδίσει y φορές, έτσι ώστε
x y x y 15 Από όπου x 15 2 Έτσι, 15 P( ά ώ / έ ) 2 15 i 2 i (,54 )(,46 i 1 Το όριο του αθροίσματος αυτού προσεγγίζεται με τη βοήθεια του Θεωρήματος DeMoivre Laplace (βλέπε Α.Papoulis σελ 61) και είναι,54.