ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α"

Μνάσων Ὀλυμπιόδωρος Παπάζογλου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Έχουμε κατασκευάσει 4 δοκίμια. Να βρεθεί προσεγγιστικά ο αριθμός των δοκιμίων που περιέχονται μεταξύ των σημείων καμπής της συνάρτησης πιθανότητας της αντοχής τους (5%) Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή της αντοχής ενός ορισμένου τύπου σκυροδέματος. Όπως είναι γνωστό σαν συνάρτηση πιθανότητας θεωρούμε την κανονική. Έστω χ, χ, τα σημεία καμπής της συνάρτησης πιθανότητας. Έστω Χ Ν(μ,σ). τα σημεια καμπής της κατανομής αυτης είναι ως γνωστόν τα : χ μ-σ, χ μσ. άρα Ρ(χ <Χ<χ ) Ρ(μ-σ<Χμσ) μ σ μ μ σ μ Φ ( ) - Φ ( ) Φ() Φ(-) Φ()-.686 σ σ ) Έχουμε επιλέξει σκυρόδεμα C για μια κατασκευή. Να δοθεί ο πιθανοθεωρητικός ορισμός αυτού του τύπου σκυροδέματος. Η συνάρτηση πιθανότητας του τύπου αυτού του σκυροδέματος παίρνει αρνητικές τιμές; Αν ναι πως το εξηγείτε; (5%) θεωρούμε ότι η αντοχή είναι κανονική κατανομή με Α Ν(μ,σ) και ότι σχεδόν ποτέ δεν παίρνει αρνητικές τιμές. Πράγματι, Ρ(Α<) Φ(-μ/σ)Φ(-μ/σ)-Φ(μ/σ)> που ισχύει για μ/σ>.5 προσεγγιστικά. Το παραπάνω ισχύει και οπότε με ικανοποιητική προσέγγιση θεωρούμε ότι η αντοχή είναι κανονική κατανομή. Μελετάμε τον τύπο σκυροδέματος C: τότε μkp/cm και σ<. Άρα μ/σ>.5 ) Μια δοκός στηρίζεται σε δυο στηρίγματα Α και Β. Εξαιτίας της επενέργειας διαφόρων φορτίων σε διάφορες θέσεις μεταξύ των Α και Β η αντίδραση στο Α παίρνει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ και και η αντίδραση στο Β παίρνει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ και. Ποια είναι η πιθανότητα το γινόμενο των αντιδράσεων να είναι μεγαλύτερο του ;(%) --

2 Η αντίδραση στο Α είναι <Α< και η αντίδραση στο Β είναι <Β< Θέλω να βρώ την πιθανότητα το γινόμενο των αντιδράσεων να είναι μεγαλύτερο του. Επιλέγω τυχαία ένα αριθμό μεταξύ και, και ένα άλλο μεταξύ και. Α*Β> > ΧΥ>>Υ/Χ Θα πάρω τα σημεία πάνω από την υπερβολή Υ/Χ η περιοχή που ζητάμε η περιοχή αυτή είναι : d... ln / άρα η Ρ-LN/ 4) Κατασκευάστε ένα πιθανοθεωρητικό μοντέλο, το οποίο να περιγράφει τη λειψυδρία μιας περιοχής κατά τον μήνα Ιούλιο. Θεωρείστε ότι στην περιοχή αυτή υπάρχουν τρεις πηγές παροχής νερού Π, Π, Π.Να αναπτυχθεί διεξοδικά πως υπολογίζεται η πιθανότητα λειψυδρίας. (5%) Αρχικά θεωρούμε όλες τις τυχαίες κατανομές συνεχείς. Έστω ότι η υδροδότηση μιας πόλης γίνεται από τρεις πηγές Π,Π,Π. που ακολουθούν κανονικές κατανομές, ( Π, Π, Π οι ημερήσιες παροχές ). Έστω Π Ν (,4), Π Ν (5,), Π Ν (,). Θεωρούμε ότι η ζήτηση είναι επίσης συνεχής κατανομή, κανονική με Ζ Ν(5, ). Το ζητούμενο είναι έστω να βρεθεί η πιθανότητα έλλειψης μία ημέρα. Για να έχουμε έλλειψη πρέπει Ζ > Π Π-Ζ <. Θεωρούμε Φ Π-Ζ. Η Φ θα είναι επίσης κανονική κατανομή με μ σ 4 5,477 Θέλουμε την πιθανότητα 5 P ( Φ < ) Φ( ) Φ(,97) Φ(,97),886,84 5,477 Έστω ότι ζητούσαμε την έλλειψη τουλάχιστον ημέρες την εβδομάδα. Θα λυθεί με διωνυμική κατανομή ( δοκιμές Bernoulli). P ( X ) P( X ) P() P() P(X ),76 --

3 Β) Θεωρούμε την ζήτηση ίδια με το προηγούμενο παράδειγμα συνεχή κατανομή με Z Ν(5, ) και την παροχή διακριτή με Π 6 με πιθανότητα,7 ή Π 75 με πιθανότητα,. P(έλλειψη) P( Ε / Π 6) * P( Π 6) P( Ε / Π 75) * P( Π 75) P(έλλειψη) P( K > 6)*,7 P( K > 75)*, Φ,7,,8 Φ 5) Σε μια στροφή στρίβουν αριστερά 5 αυτοκίνητα το λεπτό. Ποια είναι η πιθανότητα να στρίψουν αριστερά πάνω από 6 αυτοκίνητα σε μια ώρα;(5%) θα το μελετήσω ως BERNOULLI. Υποθέτω ότι τα αυτοκίνητα μπορουν να στρίψουν ή δεξία ή αριστερά. Επιλέγω μικρά χρονικά διαστήματα: ανά 5 δεπτερολεπτα πείραμα, υποθέτουμε ότι στρίβει η αριστερά η δεξιά, έστω αριστερά. Σε ένα λεπτό θα έχουμε πειράματα BERNOULLI, άρα ευνοικά πειράματα. Άρα η πιθανότητα επιτυχίας έιναι σταθερή ν5/ Η ζητούμενη πιθανότητα των 6 αυτοκινήτων θα είναι 6 λεπτά 7 πειράματα BERNOULLI. 7 5 Ρ(χ 7 >6) ή Ρ(Χ 6 6) -Ρ(Χ 6 <6) -[Ρ(Χ 6 )Ρ(Χ 6 ) Ρ(Χ 6 ) Ρ(Χ 6 ) Ρ(Χ 6 4) Ρ(Χ 6 5) Ρ(Χ 6 6)] * * *... * l l ! 9 6) Σε μια αφετηρία αυτοκινήτων φτάνουν 8 αυτοκίνητα κάθε τρία λεπτά. Αν πέρασε ένα λεπτό και δεν έφτασε κανένα αυτοκίνητο στην αφετηρία, ποια είναι η πιθανότητα στο επόμενο λεπτό να φτάσει; (5%) Στην αφετηρία αυτοκινήτων φτάνουν 8 αυτοκίνητα κάθε τρία λεπτά. Στο πρώτο λεπτό δεν έφτασε κανένα αυτοκίνητο, θέλω να βρω την πιθανότητα να φτάσει στο επόμενο λεπτό. --

4 Μιλάμε για εκθετική κατανομή. Έστω Τα ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων. 6 P( < T < ) F() F() l l Ρ(Τ<,Τ>) 8 P( T > ) F() l ν F()- l με ν8/ αυτοκίνητο/λεπτό ή Έστω χ ο αριθμός των αφίξεων το δέυτερο λεπτό. Ρ(Χ Τ χ) ( ) v ν * l! Ρ(Χ ) -[Ρ(Χ)Ρ(Χ) Ρ(Χ8)] Έστω ν 8/8 Θεωρούμε Χ Ν(μ,σ) με μν8*8 και Και σ v 8 *. 8 Σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα η παραπάνω εκθετική προσεγγιστικά μπορεί να θεωρηθεί εκθετική κατανομή. 4 Έτσι : Ρ(Χ )-Ρ(Χ )-Φ Φ(.5) Φ(.5) ) Αν η ασφάλεια ενός κτιρίου σε ένα ισχυρό σεισμό είναι 99%, ποια είναι η ασφάλεια του κτιρίου σε μια εικοσαετία (δίνεται ότι στην περιοχή αυτή συμβαίνουν ισχυροί σεισμοί κάθε 5 χρόνια(5%) Εστω Α το ενδεχόμενο το κτίσμα να αντέχει χρόνια. Έστω επίσης το ενδεχόμενο Χ όπου είναι ο αριθμός των σεισμών σε μια εικοσαετία. Η ασφάλεια του κτιρίου είναι 99% άρα και η αντοχή του είναι 99%. Στην περιοχή αυτή συμβαίνουν ισχυροί σεισμοί ανά 5 χρόνια, άρα ν/5.4 Σύμφωνα με τον λόγο της ολικής πιθανότητας έχουμε: Ρ(Α)Ρ(Α/ Χ )*Ρ(Χ ) Ρ(Α/ Χ )*Ρ(Χ ) n Ρ(Α/ Χ n )*Ρ(Χ n ),99 l * n 7.9 n n! σεισμό.99 n σεισμόυς.99 n 7.9 Άρα l * l (σειρά του l ) ισχύει. 5.9 l n * (.4* ) n! n.4* * l -4-

5 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ (6%) ) Η κοινή συνάρτηση πιθανότητας των δύο διακριτών τυχαίων μεταβλητών Χ και Υ είναι f(,)c() για ακέραια, στα διαστήματα,, ενώ f(,) για όλα τα άλλα,. Να υπολογισθούν: (αφού πρώτα υπολογισθεί η c) α) Η πιθανότητα P(X, Y), και η πιθανότητα P(Χ, Y ), β) Οι περιθώριες συναρτήσεις των X και Y. Eίναι οι X, Y ανεξάρτητες; Να υπολογισθεί ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των τ.μ. Χ,Υ είναι: c c c c c 4c 5c 4c 5c 6c 7c Επομένως το άθροισμα όλων των τιμών πρέπει να είναι ίσο με, Δηλαδή : 4c> c/4 Α) Η πιθανότητα Ρ(Χ, Υ) 5/4 4 P ( X, Y ) 4c Β) Η περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της Χ είναι : X f() 6c 4c c Με αντικατάσταση της σταθεράς έχουμε: X f() /7 / / -5-

6 Όμοια η περιθώρια συνάρτηση του Υ βρίσκεται ως εξής : Y f() 6c 9c c 5c Με αντικατάσταση της σταθεράς : Y f() /7 9/4 /7 5/4 Ελέγχω εάν οι μεταβλητές Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, Πρέπει f(,)f()*f() Ελέγχω για Χ, Υ έχουμε : F(,)/4 F() / F() 9/4 H συνθήκη δεν ικανοποιείται και άρα οι Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες. Υπολογισμός συντελεστή γραμμικής συσχέτισης Έχουμε την διακριτή συνάρτηση πιθανότητας f(,)()/4 ( ) ( ) 4 4 ] [ d d d d dd τ τ τ άρα για τα, σ Ε(Χ Υ ) ), ( dd f ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης δίδεται από τον τύπο : -6-

7 ( ) E(, ) Cov, E( ) E( ) P σ σ σ σ χ για τ, έχουμε, Ε(,)6 για τ, έχουμε, Ε()9.5 για τ, έχουμε, Ε()7 Ε(χ )9.75 Ε( ).5 χ Και έχουμε : ρ ( 9.5).5 ( 7) ) Υποθέτουμε ότι Y και Υ είναι δυο στατιστικά ανεξάρτητοι αμερόληπτοι εκτιμητές της παραμέτρου θ και έστω VarY cvary, όπου c είναι γνωστή σταθερά. Να υπολογισθούν οι σταθερές, k, ώστε ο k γραμμικός συνδυασμός kyky να είναι αμερόληπτος εκτιμητής της παραμέτρου θ με τη μικρότερη δυνατή διασπορά ) Έστω Χ, Χ,.Χ n είναι n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, που παριστάνουν τις αντοχές n δοκιμίων με συνάρτηση πιθανότητας για την κάθε μια χωριστά f() και με συνάρτηση κατανομής για την κάθε μια χωριστά F(). α) Να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας της Ζmin{ Χ, Χ,.Χ n } (5%) β) Να βρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας της Ζma{ Χ, Χ,.Χ n } (5%) Έστω Χ, Χ,.Χ είναι n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Να βρεθεί η πιθανότητα γ) P(Χ Χ.Χ 5 >7), όπου Χ i ~Poion(5), i,, 5 (%) δ) Σε ένα εργαστήριο δομικών υλικών έχουν κατασκευασθεί 64 δοκίμια μπετόν των οποίων η αντοχή μπορεί να θεωρηθεί κανονική. 5 απ' τα δοκίμια αυτά έχουν αντοχή μικρότερη από 8 Kg.m και από αυτά έχουν αντοχή από 4 Kg.m. Πόσα δοκίμια έχουν αντοχή μεταξύ 7 Kg.m και 9 Kg.m ; Αν ένα δοκίμιο έχει αντοχή πάνω από Kg.m ποια είναι η πιθανότητα να έχει αντοχή κάτω από 5 Kg.m (8%) -7-

8 Έχουμε συνολικά 64 δοκίμια των οποίων η συνάρτηση της αντοχης τους μπορεί με καλή προσέγγιση να θεωρηθεί κανονική. Τα 5 δοκίμια έχουν αντοχή μικρότερη από 8 και έχουν αντοχή μεγαλύτερη από 4. ζητάμε τον αριθμό των δοκιμίων που έχουν αντοχη μεταξύ 7 και 9. 5 Για αντοχή μικρότερη από 8 : % 64 Για αντοχή μεγαλύτερη από 4 : % 64 8 μ Φ( < χ < 8),965 Φ,965 σ 8 μ Φ σ (,96975),76 8 μ,76σ Φ ( 4 < χ < ) 4 μ,78755 Φ,75875 σ 4 μ Φ,885 σ 4 μ,955 σ 4 μ,955σ 8.76σ 6,75σ από () και( ) σ, μ,889 4,955σ 8,76σ 6,75σ Η πιθανότητα να έχει ένα δοκίμιο αντοχή κάτω από 5 με δεδομένο ότι έχει πάνω από είναι : P P P ( < < 5) ( < < ) 5,884,889 Φ Φ,,,889 Φ,

Σχετικά έγγραφα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α (40%)

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 00 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α (0%) ) Η αντοχή ενός τύπου σκυροδέματος ως γνωστόν θεωρείται κανονική. Ελέγχω δοκίμια: από αυτά έχουν αντοχή