ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις
|
|
- Δάμαρις Δαγκλής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες. Ρίχνουμε ένα ζάρι και αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο του επιλέγουμε τυχαία χωρίς επανάθεση μπάλες από το Δ αλλιώς από το Δ. (Α) Ποια η πιθανότητα να πάρουμε άσπρη και μαύρη; (Α) Ποια η πιθανότητα να είχαμε επιλέξει τις μπάλες από το δοχείο Δ αν πήραμε άσπρη και μαύρη; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Α {επιλέγουμε άσπρη και μαύρη} και με Ζ την τυχαία μεταβλητή με τιμές το αποτέλεσμα του ζαριού (ακολουθεί την διακριτή ομοιόμορφη με p i, i,,, 6). Η επιλογή του δοχείου καθορίζεται από το αποτέλεσμα της ρίψης 6 του ζαριού επομένως Ρ(Δ) P(Z > ) 4. Αντίστοιχα Ρ(Δ) 6 P(Z > ) 4. Το γράφημα που περιγράφει το πείραμα δίνεται στην διπλανή 6 εικόνα. Α. P(A) P(Δ) P(A Δ) + P(Δ) P(A Δ) () Η επιλογή από κάθε δοχείο γίνεται χωρίς επανάθεση επομένως η πιθανότητα επιλογής τυχαίου δείγματος μεγέθους ν με κ άσπρες και μ μαύρες μπάλες (κ+μν) υπολογίζεται με χρήση της υπεργωμετρικής κατανομής, έτσι: () : P(A) Α. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Baes P(Δ A) P(ΑΔ) P(Α) P(Δ) P(A Δ) P(Δ) P(A Δ)+P(Δ) P(A Δ) ΘΕΜΑ 4: Για μια ερώτηση επιλογής με 5 απαντήσεις εκ των οποίων μόνο η μια είναι σωστή, υποθέτουμε ότι από το σύνολο των φοιτητών που εξετάζονται μόνο το 4% γνωρίζει την απάντηση. (Α) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα φοιτητή ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά; (Α) Η εξέταση αποτελείται από 5 ερωτήσεις αυτού του είδους ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ποια η πιθανότητα ο φοιτητής ν απαντήσει σωστά σε τουλάχιστον 7 αλλά λιγότερες από από τις ερωτήσεις; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Γ{ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση}, Σ{ο φοιτητής απαντά σωστά}. Επιλέγουμε τυχαία ένα φοιτητή, επομένως Ρ(Γ).4. Αν ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση, Ρ(Σ Γ), αν δε γνωρίζει απαντά στην τύχη (επιλέγει τυχαία μια στις πέντε), επομένως Ρ(Σ Γ ).. 5 Α. Επιλέγοντας τυχαία έναν φοιτητή ισχύουν αυτά που γράψαμε προηγούμενα επομένως P(Σ) P(Γ) Ρ(Σ Γ) + P(Γ ) Ρ(Σ Γ ) Α. Κάθε ερώτηση αποτελεί μια δοκιμή Bernoulli για τον τυχαία επιλεγμένο φοιτητή με πιθανότητα επιτυχίας ίση με.5 όπως υπολογίστηκε στο ερώτημα Α. Επομένως η τ.μ. Χ που μετρά το πλήθος των σωστών απαντήσεων ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Β(5,.5) και η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Ρ(7 Χ < ) Ρ(7 Χ ). Πρακτικά για πλήθος επαναλήψεων μεγαλύτερο ή ίσο του η παραπάνω πιθανότητα προσεγγίζεται σχετικά ικανοποιητικά με τη βοήθεια της κανονικής κατανομής Ν(5.5, 5.5 (.5)) ή Ν(8., 8.76). Χρησιμοποιώντας τη διόρθωση συνέχειας βρίσκουμε: Ρ(7 Χ ) Ρ Φ(.778) Φ(.577) Φ(.778) + Φ(.577) Ζ Ρ(.575 Ζ.778) ΘΕΜΑ 5: Η τ.μ. Χ έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο [,]. (Α) Να βρείτε τις συναρτήσεις πυκνότητας και κατανομής της τ.μ. Y X. (Α) Να βρείτε ένα κάτω φράγμα της πιθανότητας P( < Y < ) με χρήση της ανισότητας Chebshev ( P( X μ k σ) k ). A. Η τ.μ. ακολουθεί τη συνεχή ομοιόμορφη κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) όττν < x < και αλλού. Η συνάρτηση τ.μ. φ(x) x είναι γνησίως αύξουσα στο [,], έχει αντίστροφη την φ () και θετική πυκνότητα στο διάστημα (,). Με εφαρμογή του Θ.4.4, η συνάρτηση π.π. της Y δίνεται από τη σχέση f Y () d( ), έτσι : η σ.π.π. είναι dd
2 f Y () (,) ααααύ Για τη σ.κ. έχουμε: όταν <, F Y () dd, όταν <, F Y () dd + ttt, επομένως : < η σ.κ. είναι F Y () < και όταν, F Y () dd + + dd Α. Υπολογίζουμε τη μέση τιμή και την διασπορά της Y. EE και EY άρα VarXσ EY (EE) και σ 8 Το ζητούμενο κάτω φράγμα υπολογίζεται από την ανισότητα Chebshev: P( X μ k σ) k P( X μ < k σ) k P( X μ < k σ) k. Για τη δοσμένη πιθανότητα έχουμε P < Y < P < Y < P < Y < P Y < P Y < ΘΕΜΑ 6: Η τ.μ. Χ μετρά πόσες φορές ένας διακόπτης λειτουργεί πριν χρειαστεί αλλαγή και έχει συνάρτηση πιθανότητας f(x) c( )x, x,,,. (A) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c ώστε η f(x) να ικανοποιεί τις ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητας. (Α) Έστω τα γεγονότα Α: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον α φορές» και Β: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον α + β φορές». Υπολογίστε την πιθανότητα P(Β Α) και δώστε την ερμηνεία του αποτελέσματος. (Α) Βρείτε την πιθανογεννήτρια της τ.μ. Χ και χρησιμοποιείστε αυτή για να υπολογίσετε τις παραμέτρους ΕΕ και VVVV. A. Η τ.μ. Χ είναι διακριτή (απαριθμητή), επομένως πρέπει (ι) f(x), και (ιι) f(x). Από την (ιι) βασιζόμενοι στη σύγκλιση της γεωμετρικής σειράς έχουμε: c( )x c c Α. P(Β Α) P(AA) () Είναι a, β, έτσι για τον αριθμητή το σύστημα ανισώσεων: x a κκκ x α + β, συνεπάγεται x α + β, επομένως P(AA) P(X α + β). Αντιστοίχως P(A) P(X α). Μπορούμε να συνεχίσουμε P(A) με τρεις τρόπους: α τρόπος) με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x α, οπότε x t + α για τον αριθμητή έχουμε νέα όρια, β και, ενώ P(X α + β) ( )x tβ ( )t+α ( )α xα+β tβ t. Για τον παρονομαστή αντίστοιχα τα όρια είναι και ενώ P(X α) ( )x xα t t+α ( )α ( t )t ( )α ( )α. Τελικά, (): P(Β Α) ( )α tβ t ( )α tβ t P(X β). β τρόπος) P(X α + β) xα+β ( )x xα+β ( )x, με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x α β και νέα όρια, και, έχουμε P(X α + β) ( )t+α+β ( )α+β ( )t ( )α+β t t ( )α+β. Αναλόγως, με αλλαγή μεταβλητής στον δείκτη t x α και νέα όρια και, υπολογίζουμε ότι P(X α) t ( )t+α ( )α. Τελικά, (): P(Β Α) ( )α+β ( ( )α )β tβ t P(X β).
3 γ τρόπος) χρησιμοποιώντας τον τύπο για τα μερικά αθροίσματα της γεωμετρικής σειράς, P(X α + β) α+β x x ( a+β ( )α+β α. Ανάλογα P(X α) x x φτάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα, P(Β Α) ( )α+β ( ( )α )β tβ t P(X β). ( a ( )α. Οπότε Το αποτέλεσμα αυτό ερμηνεύεται ως «έλλειψη μνήμης», αφού το να λειτουργεί για τουλάχιστον α+β φορές δεν εξαρτάται από το πλήθος α των φορών που έχει ήδη λειτουργήσει αλλά αποκλειστικά από τις επιπλέον φορές β (αναμενόμενο αφού η τ.μ. που έχει δοθεί ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας την πιθανότητα να χρειαστεί αλλαγή, θ ). x z A. Π(z) E(z x ) z x x ( )x (z )x, (για < z < ), αποτέλεσμα που θα μπορούσαμε να z πάρουμε απευθείας με χρήση του τυπολογίου και της γεωμετρικής κατανομής. ΕΕ Π (z) z ( z) z, ΕΕ(X ) Π (z) z 4 ( z) z και τελικά VVVV Π () + Π () (Π ()), αποτελέσματα που 4 μπορούν επίσης να επαληθευτούν από το τυπολόγιο (χωρίς όμως να χρησιμοποιηθούν οι τύπο του τυπολογίου αφού στην εκφώνηση ήταν ξεκάθαρο ότι ο υπολογισμός τους πρέπει να γίνει με χρήση της πιθανογεννήτριας). ΘΕΜΑ 7: (Α) Να αποδείξετε ότι αν δυο ανεξάρτητες τ.μ. X, Y ακολουθούν κατανομές Poisson, P(λ) και P(μ) αντίστοιχα τότε η τ.μ. Z X + Y ακολουθεί την Poisson P(μ + λ). (Β) Σ ένα κατάστημα το πλήθος των πελατών που έρχονται για αλλαγή των προϊόντων ανά ώρες ακολουθεί κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό πελάτες. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα να έρθει τουλάχιστον ένας πελάτης στο διάστημα μιας ώρας. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα, το σύνολο των πελατών που θα έρθουν για αλλαγή σε διαφορετικά τρίωρα να είναι το πολύ. A. Γνωρίζουμε ότι η κατανομή του αθροίσματος δυο ανεξάρτητων μεταβλητών, μπορεί να αναγνωριστεί από την πιθανογεννήτρια του αθροίσματος η οποία στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται από το γινόμενο των πιθανογεννητριών. Από το τυπολόγιο έχουμε ότι M X (t) e λ( t) και M Y (t) e μ( t), επομένως M Ζ (t) M X (t) M Y (t)e (λ+μ)( t). Η τελευταία συνάρτηση αποτελεί την πιθανογεννήτρια μιας κατανομής Poisson με παράμετρο (λ + μ). (Β) Θεωρούμε το διάστημα (, ) και την τ.μ. X() του πλήθους των πελατών που φθάνουν στο διάστημα (, ), (ανέλιξη Poisson). Στο διάστημα αυτό ο αναμενόμενος αριθμός πελατών είναι ίσος με λ, έτσι P(Χ() ) P(X() ) e.6.! (Β) Αν Χ είναι το πλήθος των πελατών στο ένα από τα δυο τρίωρα και Υ στο άλλο, τότε η τ.μ. που εκφράζει το σύνολο δηλαδή το άθροισμα των πελατών στα δυο τρίωρα είναι η Z X + Y, η οποία όπως αποδείξαμε στο ερώτημα Α, λόγω της ανεξαρτησίας των τ.μ., ακολουθεί την Poisson κατανομή P( + ) δηλαδή την P(6). Επομένως ζητείται η πιθανότητα P(Ζ ) P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) e + e 6 + e 6 + e 6.5.!!! !
4 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Β Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει άσπρες και 5 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 4 άσπρες και 6 μαύρες μπάλες. Ρίχνουμε ένα ζάρι και αν το αποτέλεσμα είναι μικρότερο του 5 επιλέγουμε τυχαία χωρίς επανάθεση μπάλες από το Δ αλλιώς από το Δ. (Α) Ποια η πιθανότητα να πάρουμε άσπρη και μαύρη; (Α) Ποια η πιθανότητα να είχαμε επιλέξει τις μπάλες από το δοχείο Δ αν πήραμε άσπρη και μαύρη; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Δ{επιλέγουμε από το δοχείο Δ}, Α{επιλέγουμε άσπρη και μαύρη} και με Ζ την τυχαία μεταβλητή με τιμές το αποτέλεσμα του ζαριού (ακολουθεί την διακριτή ομοιόμορφη με p i, i 6,,, 6). Η επιλογή του δοχείου καθορίζεται από το αποτέλεσμα της ρίψης του ζαριού επομένως Ρ(Δ) P(Z < 5) 4. Αντίστοιχα Ρ(Δ) P(Z > 5) Το γράφημα που περιγράφει το πείραμα δίνεται στην διπλανή εικόνα. Α. P(A) P(Δ) P(A Δ) + P(Δ) P(A Δ) () Η επιλογή από κάθε δοχείο γίνεται χωρίς επανάθεση επομένως η πιθανότητα επιλογής τυχαίου δείγματος μεγέθους ν με κ άσπρες και μ μαύρες μπάλες (κ+μν) υπολογίζεται με χρήση της υπεργωμετρικής κατανομής, έτσι: Α. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Baes P(Δ A) P(ΑΔ) P(Α) () : P(A) P(Δ) P(A Δ) P(Δ) P(A Δ)+P(Δ) P(A Δ).668. ΘΕΜΑ 4: Για μια ερώτηση επιλογής με 5 απαντήσεις εκ των οποίων μόνο η μια είναι σωστή, υποθέτουμε ότι από το σύνολο των φοιτητών που εξετάζονται μόνο το % γνωρίζει την απάντηση. (Α) Αν επιλέξουμε τυχαία ένα φοιτητή ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά; (Α) Η εξέταση αποτελείται από 5 ερωτήσεις αυτού του είδους, ανεξάρτητες μεταξύ τους. Ποια η πιθανότητα ο φοιτητής ν απαντήσει σωστά σε τουλάχιστον 7 αλλά λιγότερες από από τις ερωτήσεις; Συμβολίζουμε τα γεγονότα: Γ{ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση}, Σ{ο φοιτητής απαντά σωστά}. Επιλέγουμε τυχαία ένα φοιτητή, επομένως Ρ(Γ).. Αν ο φοιτητής γνωρίζει την απάντηση, Ρ(Σ Γ), αν δε γνωρίζει απαντά στην τύχη (επιλέγει τυχαία μια στις πέντε), επομένως Ρ(Σ Γ ).. 5 Α. Επιλέγοντας τυχαία έναν φοιτητή ισχύουν αυτά που γράψαμε προηγούμενα, επομένως P(Σ) P(Γ) Ρ(Σ Γ) + P(Γ ) Ρ(Σ Γ ) Α. Κάθε ερώτηση αποτελεί μια δοκιμή Bernoulli για τον τυχαία επιλεγμένο φοιτητή με πιθανότητα επιτυχίας ίση με.44 όπως υπολογίστηκε στο ερώτημα Α. Επομένως η τ.μ. Χ που μετρά το πλήθος των σωστών απαντήσεων ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή Β(5,.44) και η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Ρ(7 Χ < ) Ρ(7 Χ ). Πρακτικά για πλήθος επαναλήψεων μεγαλύτερο ή ίσο του η παραπάνω πιθανότητα προσεγγίζεται σχετικά ικανοποιητικά με τη βοήθεια της κανονικής κατανομής Ν(5.44, 5.44 (.44)) ή Ν(5.4, 8.64). Χρησιμοποιώντας τη διόρθωση συνέχειας βρίσκουμε: Φ(.77) Φ(.75).6. Ρ(7 Χ ) Ρ Ζ Ρ(.75 Ζ.77).967 ΘΕΜΑ 5: Η τ.μ. Χ έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο [,]. (Α) Να βρείτε τις συναρτήσεις πυκνότητας και κατανομής της τ.μ. Y X. (Α) Να βρείτε ένα κάτω φράγμα της πιθανότητας P( < Y < ) με χρήση της ανισότητας Chebshev ( P( X μ k σ) k ). 6 4
5 A. Η τ.μ. ακολουθεί τη συνεχή ομοιόμορφη κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) ότττ < x < και αλλού. Η συνάρτηση τ.μ. φ(x) x είναι γνησίως αύξουσα στο [,], έχει αντίστροφη την φ () 4 και θετική πυκνότητα στο διάστημα (, ). Με εφαρμογή του Θ.4.4, η συνάρτηση π.π. της Y δίνεται από τη σχέση f Y () d(4 ) 8, έτσι : η σ.π.π. είναι dd f Y () 8 (, ) ααααύ Για τη σ.κ. έχουμε: όταν <, F Y () dd όταν <, F Y() dd + 8ttt 4, επομένως : < η σ.κ. είναι F Y () 4 <, και όταν, F Y() dd dd Α. Υπολογίζουμε τη μέση τιμή και την διασπορά της Y. EE 8 και EY άρα VarXσ EY (EE) και σ Το ζητούμενο κάτω φράγμα υπολογίζεται από την ανισότητα Chebshev: P( X μ k σ) k P( X μ < k σ) k P( X μ < k σ) k. Για τη δοσμένη πιθανότητα έχουμε P < Y < 6 P < Y < P < Y < P Y < P Y < ΘΕΜΑ 6: Η τ.μ. Χ μετρά πόσες φορές ένας διακόπτης λειτουργεί πριν χρειαστεί αλλαγή και έχει συνάρτηση πιθανότητας f(x) h ( )x, x,,,. (A) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς h ώστε η f(x) να ικανοποιεί τις ιδιότητες της συνάρτησης πιθανότητας. (Α) Έστω τα γεγονότα, Α: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον κ φορές» και Β: «ο διακόπτης λειτουργεί τουλάχιστον κ + λ φορές». Υπολογίστε την πιθανότητα P(Β Α) και δώστε την ερμηνεία του αποτελέσματος. (Α) Βρείτε την πιθανογεννήτρια της τ.μ. Χ και χρησιμοποιείστε αυτή για να υπολογίσετε τις παραμέτρους ΕΕ και VVVV. A. Η τ.μ. Χ είναι διακριτή (απαριθμητή), επομένως πρέπει (ι) f(x), και (ιι) f(x). Από την (ιι) βασιζόμενοι στη σύγκλιση της γεωμετρικής σειράς έχουμε: c( )x c c Α. P(Β Α) P(AA) () Είναι κ, λ, έτσι για τον αριθμητή το σύστημα ανισώσεων: x κ κκκ x κ + λ, συνεπάγεται x κ + λ, επομένως P(AA) P(X κ + λ). Αντιστοίχως P(A) P(X κ). Μπορούμε να συνεχίσουμε με P(A) τρεις τρόπους: α τρόπος) με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x κ, οπότε x t + κ για τον αριθμητή έχουμε νέα όρια, λ και, ενώ P(X κ + λ) ( )x tλ ( )t+κ ( )κ xκ+λ tλ t. Για τον παρονομαστή αντίστοιχα τα όρια είναι και ενώ P(X κ) ( )x xκ t t+κ ( )κ ( t )t ( )κ ( )κ. Τελικά, (): P(Β Α) ( )κ tλ t ( )κ tλ t P(X λ). β τρόπος) P(X κ + λ) xκ+λ ( )x xκ+λ ( )x, με αλλαγή μεταβλητής στο δείκτη, t x κ λ και νέα όρια, και, έχουμε P(X κ + λ) ( )t+κ+λ ( )κ+λ ( )t ( )κ+λ t t ( )κ+λ. Αναλόγως, με 5
6 αλλαγή μεταβλητής στον δείκτη t x κ και νέα όρια και, υπολογίζουμε (όπως και παραπάνω) ότι P(X κ) t ( )t+κ ( )κ. Τελικά, (): P(Β Α) ( )κ+λ ( ( )κ )λ tλ t P(X λ). γ τρόπος) χρησιμοποιώντας τον τύπο για τα μερικά αθροίσματα της γεωμετρικής σειράς, P(X κ + λ) κ+λ x x ( κ+λ ( )κ+λ κ. Ανάλογα P(X κ) x x φτάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα, P(Β Α) ( )κ+λ ( ( )κ )λ tλ t P(X λ). ( κ ( )κ. Οπότε Το αποτέλεσμα αυτό ερμηνεύεται ως «έλλειψη μνήμης», αφού το να λειτουργεί για τουλάχιστον κ+λ φορές δεν εξαρτάται από το πλήθος κ των φορών που έχει ήδη λειτουργήσει αλλά αποκλειστικά από τις επιπλέον φορές λ (αναμενόμενο αφού η τ.μ. που έχει δοθεί ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας την πιθανότητα να χρειαστεί αλλαγή, θ ). A. Π(z) E(z x ) z x x ( )x (z x )x z, (για < z < ), αποτέλεσμα που θα μπορούσαμε z να πάρουμε απευθείας με χρήση του τυπολογίου και της γεωμετρικής κατανομής. ΕΕ Π (z) z ( z) z, ΕΕ(X ) Π (z) z 8 ( z) z 8 και τελικά VVVV Π () + Π () (Π ()) 6, αποτελέσματα που μπορούν επίσης να επαληθευτούν από το τυπολόγιο (χωρίς όμως να χρησιμοποιηθούν οι τύπο του τυπολογίου αφού στην εκφώνηση ήταν ξεκάθαρο ότι ο υπολογισμός τους πρέπει να γίνει με χρήση της πιθανογεννήτριας). ΘΕΜΑ 7: (Α) Να αποδείξετε ότι αν δυο ανεξάρτητες τ.μ. Χ, Χ ακολουθούν κατανομές Poisson, P(λ) και P(μ) αντίστοιχα τότε η τ.μ. Z X + X ακολουθεί την Poisson P(μ + λ). (Β) Σ ένα κατάστημα το πλήθος των πελατών που έρχονται για αλλαγή των προϊόντων ανά ώρες ακολουθεί κατανομή Poisson με μέσο ρυθμό πελάτες. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα να έρθει τουλάχιστον ένας πελάτης στο διάστημα μιας ώρας. (Β) Υπολογίστε την πιθανότητα, το σύνολο των πελατών που θα έρθουν για αλλαγή σε διαφορετικά δίωρα να είναι το πολύ. A. Γνωρίζουμε ότι η κατανομή του αθροίσματος δυο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, μπορεί να αναγνωριστεί από την πιθανογεννήτρια του αθροίσματος η οποία στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται από το γινόμενο των πιθανογεννητριών. Από το τυπολόγιο έχουμε ότι M X (t) e λ( t) και M X (t) e μ( t), επομένως M Ζ (t) M X (t) M X (t) e (λ+μ)( t). Η τελευταία συνάρτηση αποτελεί τη πιθανογεννήτρια μιας κατανομής Poisson με παράμετρο (λ + μ). (Β) Θεωρούμε το διάστημα (, ) και την τ.μ. X() του πλήθους των πελατών που φθάνουν στο διάστημα (, ), (ανέλιξη Poisson). Στο διάστημα αυτό ο αναμενόμενος αριθμός πελατών είναι ίσος με λ, έτσι P(Χ() ) P(X() ) e.6.! (Β) Αν Χ είναι το πλήθος των πελατών στο ένα από τα δυο τρίωρα και X στο άλλο, τότε η τ.μ. που εκφράζει το σύνολο δηλαδή το άθροισμα των πελατών στα δυο ξένα μεταξύ τους τρίωρα είναι η Z X + X, η οποία όπως αποδείξαμε στο ερώτημα Α, λόγω της ανεξαρτησίας των τ.μ., ακολουθεί την Poisson κατανομή P( + ) δηλαδή την P(4). Επομένως 4 4 ζητείται η πιθανότητα P(Ζ ) P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) + P(Ζ ) e e 4 4!.4854.! e 4 + e 4 +!! 6
P(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
15/1/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 10 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος:
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 2010
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι (ΝΠΣ) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι (ΠΠΣ) Φεβρουάριος 1 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Θέμα 1 Θέμα Θέμα 3 Θέμα 4 Θέμα 5 Θέμα 5* Βαθμός ΝΠΣ ΠΠΣ / / / / / /1 / / / / / / /1 ΘΕΜΑ 1: Στο ράφι
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΟι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο
ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να
Διαβάστε περισσότεραE [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία
Διαβάστε περισσότεραII. Τυχαίες Μεταβλητές
II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Διαβάστε περισσότερα07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας
Διαβάστε περισσότερα= 14 = 34 = Συνδυαστική Ανάλυση
1. Συνδυαστική Ανάλυση 1.1 Ένα κουτί περιέχει 8 κόκκινες, 3 άσπρες και 9 μπλε σφαίρες. Εάν βγάλουμε 3 σφαίρες στην τύχη χωρίς επανατοποθέτηση, ποια είναι η πιθανότητα (α) να είναι και οι 3 κόκκινες, (β)
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει
Διαβάστε περισσότεραΚανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.
Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό
Διαβάστε περισσότεραΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ
ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις.
Διακριτές Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διακριτές Κατανομές τεχνικές 4 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την
Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. αλλού
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον πίνακα: x f(x) / / / / / Να βρεθεί η μέση τιμή και η διασπορά.. Η τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης
Διαβάστε περισσότεραΔειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:
Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Σειρά Θέμα Ι (ΟΛΑ) Θέμα ΙΙ (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα.
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 18 Νοεµβρίου 2009 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.16. Εστω ότι το ετήσιο εισόδηµα X ενός µισθωτού µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία συνεχής τυχαία µεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Διαβάστε περισσότεραpdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα
Διαβάστε περισσότεραΗ παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Η παρουσίαση που ακολουθεί, αφορά την κανονική κατανομή και σκοπό έχει τη διευκόλυνση των φοιτητών του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών να αντιληφθούν τη σημασία της εν λόγω κατανομής
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I
Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα
Διαβάστε περισσότεραΤ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080
Διαβάστε περισσότεραΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 2003 Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α
ΕΞEΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ Λ Υ Σ Ε Ι Σ Τ Ω Ν Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν ΜΕΡΟΣ Α ) Έχουμε κατασκευάσει 4 δοκίμια. Να βρεθεί προσεγγιστικά ο αριθμός των δοκιμίων που περιέχονται μεταξύ των σημείων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας
Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές. Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική 4 ο Μάθημα: Θεωρητικές και Εμπειρικές - Δειγματοληπτικές Κατανομές Γεώργιος Μενεξές Τμήμα Γεωπονίας Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠερίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν
Διαβάστε περισσότεραΗ Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.
Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-217: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-27: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 205- ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Τέταρτης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση. (αʹ) Σύµφωνα µε το αξίωµα της κανονικοποίησης,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη) Για διακριτή τυχαία μεταβλητή ισχύει μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) ( ) 0, για κάθε i,, i (β) ( i ) i S Παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
Κεφάλαιο 7 Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων Τυχαίες Μεταβλητές Τυχαία μεταβλητή είναι μια συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει έναν αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότερα4. Μεταβλητες. Probability Theory Ι. Θεωρια Πιθανοτητων Ι. ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) WINTER SEMESTER (3 st ) Iωαννης Αντωνιου
Θεωρια Πιθανοτητων Ι ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ (3 ο ) Τμημα Μαθηματικων Αριστοτελειο Πανεπιστημιο Θεσσαλονικης Probability Theory Ι WINTER SEMESTER (3 st ) School of Mathematics Aristotle University of Thessaloniki
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΕπισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφαλαίου 1
Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 1. Αν συμβολίζει τη συμμετρική διαφορά των γεγονότων Α και Β, δηλ. δείξτε ότι ισχύει 0 και επαληθεύστε με αριθμητικό παράδειγμα ότι δεν ισχύει το αντίστροφο. 2. Για τα γεγονότα Α και
Διαβάστε περισσότερα1 1 c c c c c c = 1 c = 1 28 P (Y < X) = P ((1, 2)) + P ((4, 1)) + P ((4, 3)) = 2 1/ / /28 = 18/28
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-17: Πιθανότητες -Χειµερινό Εξάµηνο 01 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις : Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 14/11/01 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 8/11/01
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.
Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στο Σετ αυτό περιλαμβάνονται θέματα Πιθανοτήτων που έχουν δοθεί σε εξετάσεις παρελθόντων ετών στα Τμήματα Γεωλογικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότερα( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή
ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα
Διαβάστε περισσότεραΗ διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την
Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.
Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
Διαβάστε περισσότερα200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
Διαβάστε περισσότεραP (A) + P (B), [Α,Β: ξένα µεταξύ τους] P (C A B) [P (A) + P (B)] P (C A) P (A) P (B) 3 4 ( ) 1 7 = 3 7 =
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-217 - Θεωρία Πιθανοτήτων ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Προόδου- 22 Νοεµβρίου 2014 Θέµα 1 - (15 µονάδες) Εχουµε ότι : P (C A B) P (C (A B)) P (CA CB)
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότερα