ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 48 3 ΦΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER Το φαινόµενο Doppler αναφέρεται γενικά στη µεταβολή της συχνότητας των κυµάτων που αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής ως προς τη συχνότητα που εκπέµπει µια πηγή όταν ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται ο ένας ως προς τον άλλο.. ΦΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΓΙ Τ ΚΟΥΣΤΙΚ ΚΥΜΤ α Πηγή (S ακίνητη - Παρατηρητής (Ο κινούµενος S( o O x Σχήµα 7 Θεωρούµε το µέσο µέσα στο οποίο διαδίδεται ο ήχος ακίνητο. Στο σχήµα ο παρατηρητής κινείται προς την πηγή. ν ήταν ακίνητος, τότε σε χρόνο t θα δεχόταν t κύµατα όπου η ταχύτητα του ήχου στον αέρα και λ το µήκος του εκπεµπόµενου λ από την πηγή κύµατος. Η συχνότητα που θα αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής θα είναι t λ, δηλαδή η συχνότητα της πηγής ν. Επειδή όµως ο παρατηρητής κινείται µε t ταχύτητα, τα κύµατα που δέχεται είναι t t + και συνεπώς η συχνότητα ν που λ λ ακούει ( ο αριθµός κυµάτων που φθάνουν στη µονάδα του χρόνου θα είναι : t t + λ λ v + + t λ v άρα v v + ( Προφανώς αν ο παρατηρητής αποµακρύνεται από την πηγή, θα έχουµε : v v ( και γενικά : v v ± (3
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 49 β Πηγή (S κινούµενη - παρατηρητής ( ακίνητος S O( x Σχήµα 73 Έστω ότι η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή. Σε χρόνο µιας περιόδου Τ το κύµα ταξιδεύει απόσταση ενός µήκους κύµατος λ T. Στο χρόνο Τ όµως η ν κινούµενη πηγή µετατοπίζεται κατά T µε αποτέλεσµα το µήκος κύµατος να µικραίνει κατά το ποσό αυτό. Ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαµβάνεται µήκος κύµατος : λ λ T v v v Συνεπώς η αντίστοιχη συχνότητα ν θα είναι : v v (4 λ ( v Προφανώς, αν η πηγή αποµακρύνεται από τον παρατηρητή θα έχουµε : v v (5 + και γενικά : v v (6 ± Στη γενική περίπτωση που κινούνται και η πηγή και ο παρατηρητής, θα έχουµε : v v ± o (7 m o S θ φ O ιερεύνηση : Σχήµα 74.Για την περίπτωση που το µέσο µέσα στο οποίο διαδίδεται το κύµα κινείται ( π.χ. φυσάει αέρας ο τύπος (7 παίρνει την έκφραση : v v ± σχ m σχ
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 5.Όταν ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται σε διευθύνσεις διαφορετικές από την κοινή ευθεία που τους συνδέει, τότε στον τύπο (7 µπαίνουν οι προβολές των ταχυτήτων στην ευθεία αυτή. Π.χ. για την περίπτωση του Σχήµατος 74, η συχνότητα + που ακούει ο παρατηρητής δίνεται από τη σχέση : v v ϕ (8 o oθ 3.Κρουστικό κύµα : Όταν το ο ή το ή αµφότερα είναι µεγαλύτερα της, τότε πλέον δεν µιλάµε για φαινόµενο Doppler. Παρακάτω δίνεται µια σύντοµη αναφορά όπου ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή κινείται µε >. Είναι προφανές ότι η πηγή κινείται ταχύτερα από το µέτωπο του κύµατος. Στο χρόνο t που η πηγή κινείται από τη θέση S στην S το κύµα που εκπέµφθηκε από το S έχει διανύσει απόσταση t < S S. Η πηγή κατά τη διαδροµή της εκπέµπει κύµατα συνέχεια. θ 3 S Si 3 S S Σχήµα 75 Η ακτίνα κάθε σφαίρας στο σχήµα ισούται µε το γινόµενο της ταχύτητας του κύµατος επί το χρόνο t που πέρασε από τη στιγµή που η πηγή ήταν στο κέντρο του κύκλου, µέχρι που πήγε στο S. Είναι προφανές ότι η ακτίνα των διαδοχικών Περιφερειών µικραίνει συνεχώς. Η Περιβάλλουσα των µετώπων είναι ένας κώνος που η επιφάνειά του σχηµατίζει γωνία θ µε τη διεύθυνση πηγή - παρατηρητής. Η γωνία θ του κώνου βρίσκεται από τη σχέση : t inθ t Όταν τα κωνικά αυτά κύµατα δηµιουργούνται από αντικείµενα µεγάλων διαστάσεων, κατά τη διάδοσή τους έχουµε µεγάλες µεταβολές της πίεσης µε αποτέλεσµα να ακούγεται ένας απότοµος και ισχυρότατος ήχος ( π.χ. το ακουστικό κύµα από ένα αεροπλάνο.. ΦΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΓΙ Τ ΗΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΚ ΚΥΜΤ y y t A(x,y,z (x,y,z xx z z Σχήµα 76
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 5 Kατ αρχήν να θεωρήσουµε τα δυο συστήµατα συντεταγµένων του σχήµατος που είναι σε σχετική κίνηση µε ταχύτητα r κατά µήκος του άξονα χ. Σηµειώνουµε ότι οι µετασχηµατισµοί Lorentz µεταξύ των δυο συστηµάτων x t x t / y y z z t x/ / αφήνουν αναλλοίωτες τις εξισώσεις Maxwell. Τονίζουµε ότι ( χ, y, z, t είναι οι συντεταγµένες θέσης και χρόνου του σηµείου για τον κινούµενο παρατηρητή Ο. Οι τύποι ( δίνουν τα χ, y, z, t που µετρά ο Ο συναρτήσει των χ, y, z, t που µετρά ο ακίνητος παρατηρητής Ο. Οι αντίστροφοι µετασχηµατισµοί Lorentz x + t x / y y ( z z t x t + / / εκφράζουν τις συντεταγµένες χ, y, z, t που µετρά ο ακίνητος παρατηρητής Ο συναρτήσει των χ, y, z, t που µετρά ο Ο. Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι στην περίπτωση του ήχου είναι διαφορετικό το φαινόµενο να κινείται η πηγή και να είναι ακίνητος ο παρατηρητής από το φαινόµενο να κινείται ο παρατηρητής και να είναι ακίνητη η πηγή. Στην περίπτωση όµως του φωτός ( δηλαδή Η/Μ κυµάτων που δεν χρειάζονται ύλη για να διαδοθούν η ταχύτητα r του ήχου αντικαθίσταται από την ταχύτητα, τη µέγιστη επιτρεπόµενη ταχύτητα στη φύση. Η ταχύτητα αυτή είναι ίδια για όλους τους παρατηρητές ή τις πηγές ανεξάρτητα από τη σχετική τους κίνηση. υτό σηµαίνει ότι «πηγή κινούµενη - παρατηρητής ακίνητος» είναι φαινόµενο ταυτόσηµο µε «πηγή ακίνητη - παρατηρητής κινούµενος», δηλαδή ο τύπος του φαινοµένου Doppler για το φως, θα είναι ο ίδιος στις δυο αυτές περιπτώσεις. Έστω στο σύστηµα αναφοράς του παρατηρητή Ο ένα Η/Μ κύµα περιγραφόµενο από τη συνάρτηση o(kz - ωt. Για τον παρατηρητή Ο οι συντεταγµένες αλλάζουν σε x, y, Ζ, t. Η θεωρία της σχετικότητος απαιτεί ο τύπος του κύµατος να παραµείνει αµετάβλητος για το Ο, αλλά το Ζ και το t πρέπει να εκφρασθούν στο σύστηµα του Ο. Χρησιµοποιώντας τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Lorentz έχουµε : / / o( kz t z+ t t + z k ω o( k o( / / / z ω k ω ω / t Η τελευταία έκφραση του τύπου µας λέει ότι ο Ο αντιλαµβάνεται ένα κύµα συχνότητας : ω k ω (3 / k ω / και κυµαταριθµού : k (4 / (
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 5 λλά k ω οπότε ο τύπος (3 γράφεται : ω ω / και v v / / / Ο τύπος (5 δίνει τη ν όταν η πηγή και ο παρατηρητής αποµακρύνονται ( το εκφράζει τη σχετική ταχύτητα αποµάκρυνσής τους. Όταν η πηγή και ο παρατηρητής πλησιάζουν, τότε αλλάζοντας το πρόσηµο της ταχύτητας στους τύπους (, βρίσκουµε τελικά : ιερεύνηση : v v + (5. ιαπιστώνουµε ότι οι τύποι : Ήχος v v ηχου ηχου + v v ηχου ηχου ( ( Φως v v συµπίπτουν στην έκφραση όταν < < ηχ και <<. Πράγµατι είναι :. v v + ηχ (3 v ( + v ( + (... v(. v v( ηχ ηχ ηχ ηχ o ηχου ( 3. v v ( ( ( v ( ( + ( +... 3 ( + ( ( v ( (3 Άλλωστε εξ αρχής αφού ηχ << ή αλλιώς το / είναι αµελητέο, ο παρονοµαστής στη σχέση (3 εξαφανίζεται. ιαπιστώστε γενικότερα για τους τύπους ( και ( ότι στην περίπτωση που ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται µε µικρές ταχύτητες µε την ίδια φορά σε µια ευθεία : v v ( (
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 53 Πράγµατι είναι : v v v ( ( v( ( v( ( + σχ v( + v( v( που είναι τύπος αντίστοιχος του ( 3..Μετατόπιση των φασµατικών γραµµών Στην αστρονοµία το φάσµα διαφόρων αστέρων εµφανίζει φωτεινές γραµµές που αντιστοιχούν στα διάφορα στοιχεία που υπάρχουν. ν ο αστέρας κινείται ως προς τη γη, οι αντίστοιχες φασµατικές γραµµές εµφανίζονται µετατοπισµένες. πό τη µετατόπιση αυτή µπορούµε αµέσως να καταλάβουµε αν ο αστέρας κινείται και µε ποια ακτινική ταχύτητα. Θα δείξουµε παρακάτω ότι για µικρές ταχύτητες η µετατόπιση µπορεί να γραφεί λ λ. Πράγµατι, v v v( λ λ λ Άρα : λ λ λ λ λ ( λ λ λλά : λ λ ( λ ( + Συνεπώς : λ ( + + λ ή : λ λ 3. ιαπλάτυνση των φασµατικών γραµµών Συνήθως οι φασµατικές γραµµές που παρατηρούνται σε φάσµατα αστέρων είναι πιο πλατιές από τις αντίστοιχες επί της γης. υτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα εκπεµπόµενα άτοµα ή µόρια κινούνται προς όλες τις διευθύνσεις και συνεπώς υπάρχουν συνιστώσες πλησιάζουσες αλλά και αποµακρυνόµενες από τον γήινο παρατηρητή µε αποτέλεσµα άπλωµα των συχνοτήτων. πό το άπλωµα των γραµµών είναι δυνατόν να υπολογισθεί µια µέση ταχύτητα των εκπεµπόµενων σωµατιδίων και τελικά η θερµοκρασία των αστέρων κατά προσέγγιση.
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 54 ΣΚΗΣΕΙΣ. Περιπολικό µε την σειρήνα σε λειτουργία ( ν 9Hz, κυνηγά παραβάτη µοτοσικλετιστή. Και οι δυο έχουν αναπτύξει το µέγιστο της ταχύτητάς τους και εκτελούν πλέον κίνηση ευθύγραµµη οµαλή. Όταν το περιπολικό απέχει S m από το µοτοσυκλετιστή, αυτός αντιλαµβάνεται ήχο συχνότητας ν 3Hz. Το περιπολικό συλλαµβάνει το µοτοσυκλετιστή µετά e. Ζητούνται οι ταχύτητες περιπολικού και µοτοσυκλέτας ( ηχ 34 m / e. Υπόδειξη : Π περι m µοτο Έστω ότι το περιπολικό θα φθάσει το µοτοσυκλετιστή στο σηµείο της διαδροµής. Σχήµα 77 Τότε θα είναι : περι. t + µοτ. t ( Επίσης ισχύει : v v µοτ ( πό τις ( και ( προκύπτουν τα περι. και µοτ.. Περιπολικό αυτοκίνητο κινούµενο µε ταχύτητα U A διαθέτει σύστηµα ραντάρ που εκπέµπει ήχο συχνότητας ν. Ο Οδηγός του περιπολικού θέλοντας να υπολογίσει την ταχύτητα προπορευοµένου αυτοκινήτου, έστω U B, ενεργοποιεί το ραντάρ και συλλαµβάνει εξ αντανακλάσεως συχνότητα ν. είξτε ότι η ταχύτητα του αυτοκινήτου µπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση από τον τύπο : ν ν ( ( Η συχνότητα που αντιλαµβάνεται ο οδηγός του προπορευοµένου αυτοκινήτου είναι : v v ( Συνεπώς η ανακλώµενη συχνότητα θα είναι ν, η δε συχνότητα που θα αντιλαµβάνεται το ραντάρ του περιπολικού θα είναι : v v + ( + (,( v v + A (3 + λλά: : + + νάλογα βρίσκεται : περι
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 55 + + ( 3 v v v ( 3. Ηχητική πηγή συχνότητας ν κινείται οριζόντια µε ταχύτητα U σε ύψος h πάνω από το έδαφος. Στο έδαφος βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής. Τη χρονική στιγµή t η πηγή περνάει κατακόρυφα από πάνω του. είξτε ότι η συχνότητα του λαµβανοµένου σήµατος ν(t συναρτήσει το χρόνου εκποµπής t δίνεται από τη σχέση: t ν( t ν + ( t + h όπου η ταχύτητα του ήχου στον αέρα. ποδώστε γραφικά και κατά προσέγγιση την µεταβολή ν ν(t για pt p+. Υπόδειξη : vt ( v + oϑ x, t Σχήµα 78 ν θ ν (/(- t θ άρα : oϑ t ( t + h t ν( t ν + ( t + h ν (/(- ν t Σχήµα 79 Για t, θ 9, oθ, ν ν Για t +, θ, oθ, v v + Για t < η αντίστοιχη σχέση που ισχύει είναι : ν ν oθ ν ν ( Για t -, θ, oθ, ιαπιστώστε ότι για ενδιάµεσες τιµές του χρόνου όταν το t αυξάνει, η ν(t ελαττώνεται. Τέλος, η κατά προσέγγιση γραφική παράσταση ν ν (t φαίνεται στο σχήµα της προηγούµενης σελίδας.
ΚΥΜΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 56 4. Πηγή ( ν Hz κινούµενη προς τα δεξιά µε ταχύτητα 3 m / e πλησιάζει µεγάλη ανακλώσα επιφάνεια που κινείται προς τα αριστερά µε ταχύτητα m/ e. Ποιο το λ που αντιλαµβάνεται παρατηρητής που βρίσκεται ακίνητος µεταξύ πηγής και ανακλώσας επιφάνειας. Πόσα κύµατα προσπίπτουν πάνω στην ανακλώσα επιφάνεια σε χρόνο t, e ( ηχ 33 m / e. Ο ακίνητος παρατηρητής αντιλαµβάνεται δύο συχνότητες : µια απ ευθείας από την πηγή και µια από αντανάκλαση. Για την πρώτη έχουµε : v v, οπότε v λ 33 3 και λ ( m e 3 m v e Παρατηρητής επάνω σε ανακλώσα επιφάνεια θα αντιλαµβάνεται ήχο : v v + αν ( 33+ m e Hz 5Hz ( 333 m e Συνεπώς ο αριθµός των κυµάτων Ν που προσπίπτουν στην ανακλώσα επιφάνεια σε, e θα είναι : Ν ν t 5 l /, 3. Η επιφάνεια τώρα ανακλά ήχο συχνότητας ν και εποµένως η δεύτερη συχνότητα που αντιλαµβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής θα είναι : v3 v οπότε v λ αν αν 33 και λ ( m e 3 4, m. v 5e Σηµειώστε ότι ο παρατηρητής αυτός ακούει τελικά διακρότηµα συχνότητας : v v 3 v 5. Τα µήκη κύµατος των διαφόρων χρωµάτων που παρατηρούνται στο φάσµα ενός µακρινού άστρου φαίνονται αυξηµένα ως προς τα αντίστοιχα γήινων πηγών κατά,4%. Χρησιµοποιώντας τους τύπους του φαινοµένου Doppler για τον ήχο, διαπιστώστε αν το άστρο αποµακρύνεται ή πλησιάζει και µε ποια ακτινική ταχύτητα. Στη συνέχεια βρείτε το επί τοις εκατό σφάλµα που έγινε στην εύρεση της ταχύτητας λόγω µη λήψεως υπ όψη της θεωρίας της Σχετικότητας. 6. Οριζόντια κυκλική τράπεζα ακτίνας R περιστρέφεται περί τον κατακόρυφο άξονα. Ηχητική πηγή ευρίσκεται στο χείλος της τράπεζας. Έστω ν η συχνότητα της πηγής και η ταχύτητα περιστροφής της. Η συχνότητα που ακούει παρατηρητής του οποίου το αυτί βρίσκεται στο ύψος της τράπεζας, κυµαίνεται µεταξύ µιας µέγιστης και µιας ελάχιστης τιµής εύρους δ. Ζητείται η συχνότητα περιστροφής της τράπεζας. 7. Φοιτητής της Φυσικής οδηγεί αυτοκίνητο στην Εθνική Οδό. πό µακριά αντιλαµβάνεται φανάρι της τροχαίας αναµµένο κόκκινο ( λ κ 6. Ενθυµούµενος τα περί του φαινοµένου Doppler αποφασίζει να επιταχύνει ώστε να πετύχει τη µέγιστη δυνατή ταχύτητα µε την ελπίδα να δει το φανάρι πράσινο ( λ 54 και συνεπώς να περάσει. Θα επιτύχει; ίνεται 3. m / e. 3 αν πρ