ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΓΕΝΙΚΑ... 15 1.1 Ευρωκώδικες... 15 1.2 Μονάδες μέτρησης... 16 1.3 Συμβολισμοί... 17 2. ΟΡΙΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ 2.1 Γενικά... 21 2.2 Δράσεις... 21 2.2.1 Είδη δράσεων... 21 2.2.2 Ονομαστικές/ Χαρακτηριστικές τιμές Φορτίσεων... 22 2.2.2.1 Ίδια βάρη υλικών... 22 2.2.2.2 Ίδια βάρη επιστρώσεων δαπέδων... 22 2.2.2.3 Φορτία τοίχων από οπτοπλινθοδομή... 22 2.2.2.4 Ωφέλιμα φορτία... 24 2.2.2.5 Φορτία χιονιού και ανέμου... 24 2.2.3 Τιμές σχεδιασμού δράσεων... 24 2.2.3.1 Μη σεισμικές δράσεις... 24 2.2.3.2 Σεισμικές δράσεις... 25 2.2.4 Συνδυασμοί Δράσεων... 25 2.2.5 Επιρροή ανέμου... 26 2.2.6 Επιρροές εμμέσων δράσεων... 26 2.3 Αποτελέσματα δράσεων... 27 2.3.1 Προσδιορισμός εντάσεων-παραμορφώσεων σκελετού με συνδυασμούς χωρίς σεισμικές δράσεις (STR/GEO)... 27 2.3.2 Προσδιορισμός εντάσεων-παραμορφώσεων σκελετού με συνδυασμούς με σεισμικές (ή τυχηματικές) δράσεις... 28 2.3.3 Προσδιορισμός περιβάλλουσας εντάσεων - παραμορφώσεων... 28 2.4 Αντοχές δομικών στοιχείων σκελετού... 28 2.5 Άσκηση... 29 3. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΑ - ΕΠΙΛΥΣΕΙΣ... 35 3.1 Μηχανικό προσομοίωμα... 35 3.1.1 Θεωρητικό άνοιγμα πλακών και δοκών... 35 3.1.2 Συνεργαζόμενο πλάτος πλακοδοκού... 36 3.1.3 Στερεό σώμα... 38 3.1.4 Διαφραγματική λειτουργία... 40

3.2 Φορτιστικό προσομοίωμα σεισμού... 41 3.3 Παραμορφώσεις-Εντάσεις... 44 3.3.1 Προσομοίωση σκελετού... 44 3.3.2 Επίλυση πλάκας... 45 3.3.3 Επιλύσεις πλαισίων... 46 3.3.4 Η επιρροή της δυστρεψίας στις έμμεσες στηρίξεις δοκού επί δοκού... 56 3.3.5 Προσομοίωση διαφραγμάτων πλαισίων με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία... 62 3.3.6 Προσομοίωση πλακών με ραβδωτά και επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία... 64 3.3.6.1 Η πλαισιακή λειτουργία στις περιοχές των κολονών... 66 3.3.6.2 Η κατακόρυφη παραμόρφωση των δοκών... 68 3.3.6.3 Η δυστρεψία των δοκών... 70 3.3.6.4 Τελικό Συμπέρασμα... 71 4 ΟΛΟΣΩΜΕΣ ΠΛΑΚΕΣ... 75 4.1 Γενικά... 75 4.2 Επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία... 77 4.2.1 Παραδοχές... 77 4.2.2 Εντατικά μεγέθη και βέλη κάμψης... 84 4.2.3 Δυσμενείς φορτίσεις και περιβάλλουσες εντάσεων βελών... 116 4.2.4 Διευκρινίσεις... 129 4.3 Επιλύσεις με τη χρήση πινάκων... 134 4.3.1 Παραδοχές... 134 4.3.2 Πλάτος εφαρμογής σημειακού φορτίου επί πλάκας... 134 4.3.3 Πλάτος διανομής σημειακού φορτίου... 135 4.3.4 Ροπές στήριξης συνεχών πλακών... 140 4.3.5 Συμβολή ελεύθερα στρεπτών στηρίξεων πλακών... 141 4.4 Πρόβολοι... 142 4.4.1 Στατική επίλυση... 142 4.4.2 Βέλος κάμψης... 142 4.5 Αμφιέρειστες πλάκες... 146 4.5.1 Στατική επίλυση... 146 4.5.2 Βέλος κάμψης... 150 4.5.3 Επιρροή κινητού φορτίου στη στατική επίλυση αμφιέρειστων πλακών... 154 4.5.3.1 Ακριβής μέθοδος επίλυσης... 154 4.5.3.2 Απλοποιημένη μέθοδος εκτίμησης περιβάλλουσας... 162 4.6 Τετραέρειστες πλάκες... 163 4.6.1 Τέμνουσες δυνάμεις και αντιδράσεις στήριξης... 163 1

4.6.1.1 Απλοποιημένη μέθοδος... 163 4.6.1.2 Μέθοδος ελαστικότητας κατά Czerny... 166 4.6.2 Θεμελιώδεις ροπές στήριξης και ροπές ανοιγμάτων Βέλη κάμψης... 167 4.6.2.1 Μέθοδος MARCUS... 167 4.6.2.2 Μέθοδος ελαστικότητας κατά CZERNY... 171 4.6.3 Ροπές συνεχών τετραερείστων πλακών... 171 4.6.3.1 Μέθοδος συνεχών λωρίδων... 171 4.6.3.2 Ακριβής μέθοδος (με το χέρι )... 173 4.6.3.3 Πρακτικά ακριβής μέθοδος... 174 4.6.4 Επιρροή κινητού φορτίου... 174 4.7 Τριέρειστες Πλάκες... 179 4.8 Διέρειστες Πλάκες... 179 4.9 Ασκήσεις... 180 5. ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΠΛΑΙΣΙΩΝ... 209 5.1 Επίπεδα μονώροφα πλαίσια (ή συζευγμένες κολόνες)... 209 5.1.1 Επιρροή κάμψης και διάτμησης σε παραμορφώσεις και εντάσεις... 209 5.1.2 Η επιρροή του βαθμού πάκτωσης των κολονών... 212 5.1.3 Η επιρροή της ροπής αδράνειας των κολονών... 217 5.1.4 Η επιρροή του διαφορικού ύψους των κολονών... 220 5.1.5 Δυσκαμψία υποστυλώματος πλαισίου... 224 5.1.5.1 Μονώροφα πλαισιακά συστήματα... 225 5.1.5.2 Μικτά μονώροφα στατικά συστήματα... 229 5.2 Συζευγμένα μονώροφα επίπεδα πλαίσια... 233 5.3 Επίπεδα πολυώροφα πλαίσια... 237 5.3.1 Επίπεδα πολυώροφα πλαισιακά συστήματα... 237 5.3.2 Επίπεδα πολυώροφα μικτά συστήματα... 240 5.3.3 Σύγκριση πολυώροφων πλαισιακών και μικτών συστημάτων... 242 5.4 Χωρικά πλαίσια... 251 5.4.1 Διαφραγματική λειτουργία... 251 5.4.2 Κέντρο μάζας και ακτίνα αδράνειας... 252 5.4.3 Κέντρο ελαστικής στροφής και ελαστικές μετακινήσεις διαφράγματος... 254 5.4.3.1 Περιγραφή του θέματος... 254 5.4.3.2 Μετατόπιση του πόλου περιστροφής C T κατά τη διεύθυνση x... 255 5.4.3.3 Μετατόπιση του πόλου περιστροφής C T κατά τη διεύθυνση y... 256 5.4.3.4 Στροφή θ z του διαφράγματος γύρω από το τον πόλο περιστροφής C T... 257 5.4.3.5 Έλλειψη και ακτίνες δυστρεψίας, Ισοδύναμο Σύστημα... 259 5.4.3.6 Μέθοδος εργασίας:... 262 5.4.4 Αξιολόγηση στρεπτικής συμπεριφοράς κτιρίου.... 268 2

5.4.5 Μονώροφο χωρικό πλαισίο με ορθογωνικές κολόνες σε παράλληλη διάταξη.... 269 5.4.5.1 Επίλυση με το χέρι, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)... 270 5.4.5.2 Επίλυση με το excel, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)... 270 5.4.5.3 Επίλυση με το excel και θεώρηση κολονών με k=6... 270 5.4.5.4 Επίλυση με θεώρηση κανονικών ελαστικών δυσκαμψιών δοκών και κολονών... 270 5.4.6 Πολυώροφο χωρικό πλαίσιο με ορθογωνικές κολόνες σε παράλληλη διάταξη.... 274 5.4.6.1 Επίλυση με το χέρι, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)... 275 5.4.6.2 Επίλυση με το excel, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)... 275 5.4.6.3 Επίλυση με το excel και θεώρηση κολονών με k=6... 275 5.4.6.4 Επίλυση με θεώρηση κανονικών ελαστικών δυσκαμψιών δοκών κολονών... 275 5.4.7 Ασκήσεις... 276 6. ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΕΙΣ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΣΕΙΣ ΚΤΙΡΙΟΥ... 291 6.1 Σεισμική απόκριση κτιρίου... 291 6.1.1 Σεισμικές ζώνες... 291 6.1.2 Συντελεστής σπουδαιότητας κτιρίου... 292 6.1.3 Τύπος του εδάφους... 292 6.1.4 Ιξώδης απόσβεση... 294 6.1.5 Συντελεστής συμπεριφοράς q... 294 6.1.5.1 Τύποι στατικών συστημάτων... 294 6.1.5.2 Κανονικότητα σε κάτοψη... 296 6.1.5.3 Κανονικότητα σε όψη... 297 6.1.5.4 Κατηγορίες πλαστιμότητας... 301 6.1.5.5 Βασικός συντελεστής πλαστιμότητας q o... 302 6.1.5.6 Συντελεστής μορφής αστοχίας k w... 304 6.1.5.7 Συμπέρασμα... 304 6.1.6 Φάσμα σχεδιασμού οριζόντιων σεισμικών δράσεων... 305 6.1.7 Φάσμα σχεδιασμού κατακόρυφων σεισμικών δράσεων... 307 6.2 Δυναμική ανάλυση και ιδιοπερίοδοι φορέα... 308 6.3 Σεισμικές εντάσεις... 311 6.3.1 Σεισμικές επιταχύνσεις... 311 6.3.2 Σεισμικές δυνάμεις, τέμνουσες, ροπές... 312 6.3.3 Προσεγγιστική μέθοδος υπολογισμού σεισμικών επιταχύνσεων... 313 6.3.4 Η επιρροή της ρηγμάτωσης και της πλαστικότητας... 314 6.4 Εφαρμογές... 315 6.4.1 Καθαρά πλαισιακός φορέας... 315 6.4.2 Μικτός τοιχωματικός φορέας... 322 3

6.4.3 Προσεγγιστικός υπολογισμός πλαισιακού και τοιχωματικού φορέα... 328 6.5 Περιβάλλουσες φορτίσεις... 330 6.6 Ειδικές περιπτώσεις... 333 6.6.1 Κολόνες που δεν ανήκουν σε διάφραγμα... 333 6.6.2 Κατακόρυφη συνιστώσα σεισμού... 333 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΛΑΚΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Α.1 Προσομοίωση πλακών με πεπερασμένα στοιχεία σε σκελετό πλαισίων... 337 Α.1.1 Η πλαισιακή λειτουργία στις περιοχές των κολονών... 341 Α.1.1.1 Προσομοίωση με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία... 341 Α.1.1.2 Προσομοίωση με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία... 343 Α.1.1.3 Συμπέρασμα 1 ο... 344 Α.1.2 Η κατακόρυφη παραμόρφωση των δοκών... 344 Α.1.2.1 Προσομοίωση με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία... 355 Α.1.2.2 Προσομοίωση με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία... 348 Α.1.2.3 Συμπέρασμα 2 ο... 351 Α.1.3 Η δυστρεψία των δοκών... 351 Α.1.3.1 Προσομοίωση με ραβδωτά πεπερασμένα στοιχεία... 352 Α.1.3.2 Προσομοίωση με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία... 355 Α.1.3.3 Συμπέρασμα 3 ο... 358 Α.1.3.4 ΤΕΛΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ... 358 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B: ΔΥΣΚΑΜΨΙΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΠΟΛΥΩΡΟΦΩΝ ΠΛΑΙΣΙΩΝ Β.1 Δυσκαμψία ζυγώματος πλαισίου... 361 Β.2 Ισοδύναμο πολυώροφο πλαίσιο - σχετική δυσκαμψία ζυγώματος... 363 Β.3 Σχετική δυσκαμψία κολόνας ζυγώματος... 364 Β.4 Επιρροή πλακών στις δυσκαμψίες με χρήση πεπερασμένων στοιχείων... 365 Β.5 Επιρροή τοιχίων στις δυσκαμψίες με χρήση πεπερασμένων στοιχείων... 369 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΜΟΝΩΡΟΦΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Γ.1 Περιγραφή του θέματος... 375 Γ.2 Αλλαγή συστήματος αξόνων... 377 Γ.3. Μετατόπιση του πόλου περιστροφής C T κατά τη διεύθυνση x... 379 Γ.4 Μετατόπιση του πόλου περιστροφής C T κατά τη διεύθυνση y... 381 4

Γ.5 Στροφή θ z του διαφράγματος γύρω από το τον πόλο περιστροφής C T... 382 Γ.6 Έλλειψη και ακτίνες δυστρεψίας... 384 Γ.7 Επαλληλία των τριών παραμορφώσεων... 386 Γ.8 Μέθοδος εργασίας:... 389 Γ.9 Σχέσεις μεταξύ αρχικού συστήματος X0Y και κύριου συστήματος xc T y... 390 Γ.10 Μονώροφο χωρικό πλαίσιο με ορθογωνικές κολόνες σε τυχούσα διάταξη... 390 Γ.10.1 Επίλυση με το χέρι, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)... 391 Γ.10.2 Επίλυση με το excel, με θεώρηση αμφίπακτων κολονών (k=12)... 391 Γ.10.3 Επίλυση με το excel και θεώρηση κολονών με k=6... 392 Γ.10.4 Επίλυση με θεώρηση κανονικών ελαστικών δυσκαμψιών δοκών και κολονών... 392 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ: ΔΙΑΦΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΠΟΛΥΩΡΟΦΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Δ.1 Περιγραφή του θέματος... 395 Δ.2 Γενική μέθοδος υπολογισμού στοιχείων διαφράγματος i... 398 Δ.3 Δυσκαμψίες διαφράγματος... 406 Δ.4 Δυστρεψία διαφράγματος... 406 Δ.5 Κατανομή δυστρεψίας... 407 Δ.6 Ισοδύναμο Σύστημα Σχετική δυσκαμψία Σχετική δυστρεψία... 408 Δ.7 Παραδείγματα... 410 ΠΙΝΑΚΕΣ b1 Αμφίπακτο δίστυλο πλαίσιο... 424 b2 Ροπή αδρανείας πλακοδοκού... 425 b3 Ροπές πλήρους πάκτωσης αμφίπακτης και μονόπακτης ράβδου... 426 b4 Οριακά εντατικά μεγέθη συνεχούς πλάκας σε συνάρτηση με το λόγο g/p... 428 b5.1 Τετραέρειστη πλάκα με ελεύθερη έδραση των τεσσάρων παρυφών... 430 b5.2 Τετραέρειστη πλάκα με πλήρη πάκτωση μιας παρυφής και ελεύθερη έδραση των τριών άλλων.431 b5.3 Τετραέρειστη πλάκα με πλήρη πάκτωση δύο απέναντι παρυφών και ελεύθερη έδραση των άλλων δύο... 432 b5.4 Τετραέρειστη πλάκα με πλήρη πάκτωση δύο γειτονικών παρυφών και ελεύθερη έδραση των άλλων δύο... 433 b5.5 Τετραέρειστη πλάκα με πλήρη πάκτωση τριών παρυφών και ελεύθερη έδραση της άλλης... 434 b5.6 Τετραέρειστη πλάκα με πλήρη πάκτωση των τεσσάρων παρυφών... 435 5

6

Στατική και υναµική Ανάλυση 2.5 Άσκηση Το κτίριο κατοικιών του σκαριφήµατος περιλαµβάνει υπόγειο διαστάσεων κάτοψης 12 18 m 2 και ύψους 3 m, ισόγειο και τέσσερεις ορόφους µε τις ίδιες διαστάσεις και δώµα διαστάσεων κάτοψης 4 6 m 2 και ύψους 2.5 m. Οι µάζες των σταθµών 0, 1, 2, 3, 4 ισούνται µε M G =220 t και M Q =44 t, της στάθµης 5 µε M G =180 t και M Q =44 t, ενώ του δώµατος µε M G =20 t και M Q =4 t. Το κτίριο βρίσκεται στη σεισµική ζώνη Z 1 και η κατανοµή των σεισµικών επιταχύνσεων είναι τριγωνική µε σεισµική επιτάχυνση σχεδιασµού στο κέντρο µάζας του κτιρίου ίση µε 0.12g. Ζητείται η εκτίµηση των δυνάµεων σεισµού και ανέµου καθώς και η σύγκριση µεταξύ τους. Εικόνα 2.5-1: Το γεωµετρικό και φορτιστικό προσοµοίωµα του κτιρίου όσον αφορά τις δράσεις σεισµού και ανέµου M i [t]: µάζες, w [kn/m 2 ]: ανεµοπίεση, a i [m/sec 2 ]: σεισµικές επιταχύνσεις ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 29

Τόµος B Το κτίριο είναι κατοικιών οπότε ψ 2 =0.30 και εποµένως τη στιγµή του σεισµού οι µάζες εκτιµούνται ως M=M G +0.30 M Q. Εποµένως, οι σεισµικές µάζες των σταθµών 0, 1, 2, 3 και 4 ισούνται µε M G+0.30Q,i=0-4 =220+0.30 44=233 t, της στάθµης 5 µε M G+0.30Q,5 =180+0.30 44=193 t, ενώ του δώµατος µε M G+0.30Q,6 =20+0.30 4=21 t. Εικόνα 2.5-2: Οι δυνάµεις Fw του ανέµου είναι σηµαντικά µικρότερες των δυνάµεων Fs του σεισµού. Εκτίµηση δυνάµεων σεισµού W [kn]: φορτία βαρύτητας F w [kn]: δυνάµεις ανέµου F s [kn]: δυνάµεις σεισµού Η συνολική µάζα του κτιρίου κατά τη διάρκεια του σεισµού είναι M=4 233+193+21=1146 t, ενώ το ΚΜ (κέντρο µάζας) βρίσκεται σε απόσταση z ο από τη βάση του ισογείου: 233 3.0 + 233 6.0 + 233 9.0 + 233 12.0 +193 15.0 + 21 18.0 10263tm z 0 = = =9.0 m 1146 1146t 30 ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη

Τόµος B 3.1.4 ιαφραγµατική λειτουργία Γενικά, αν υπάρχει εκκεντρότητα της φόρτισης ενός ορόφου, π.χ. από την οριζόντια ώθηση σεισµού, λόγω της ύπαρξης της πλάκας που στο επίπεδό της είναι πρακτικά άκαµπτη, όλα τα ση- µεία (άρα και οι κεφαλές των κολονών 1 επί της πλάκας) θα κινηθούν µε τον ίδιο κανόνα. Οι 3 µετακινήσεις δ z, φ x, φ y κάθε κόµβου που ανήκουν στο διάφραγµα είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, ενώ οι άλλες 3 δ x, δ y, φ z είναι εξαρτηµένες από τις 3 µετακινήσεις του σηµείου C T που ονο- µάζεται Κέντρο Ελαστικής Στροφής του διαφράγµατος. Σε ένα σηµείο i του οριζόντιου διαφράγ- µατος οι δ xi, δ yi, φ zi δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις. φ zi =φ z δ xi =δ xct -y i φ z δ yi =δ yct +x i φ z Εικόνα 3.1.4-1: ιαφραγµατική λειτουργία ορόφου Εικόνα 3.1.4-2: Οι παραµορφώσεις τυχόντος σηµείου i του διαφράγµατος λόγω φz Σε ένα διαφραγµατικό όροφο µε 20 κύριους και 14 εξαρτώµενους κόµβους, ο αριθµός των α- γνώστων µετακινήσεων (βαθµών ελευθερίας) ισούται µε 20 3+3=63. 1 Ο όρος κολόνα περιλαµβάνει τους όρους υποστύλωµα και τοιχίο. 40 ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση προκειµένου ο µηχανικός να είναι σε θέση να ελέγξει την τάξη µεγέθους της κατανοµής των σεισµικών επιταχύνσεων. Επίσης, µε τη συγκεκριµένη µέθοδο δεν απαιτούνται επιπλέον δυναµικές φασµατικές επιλύσεις. Παρατηρήσεις Η κύρια σύγκριση πραγµατοποιείται µε τις σεισµικές επιταχύνσεις. Αυτό συµβαίνει διότι οι σεισµικές δυνάµεις παρέχουν το ίδιο ταχύ οπτικό αποτέλεσµα ως προς την καθ ύψος κατανοµή τους, µόνο στην περίπτωση που οι µάζες των ορόφων είναι ίδιες. Όταν το κύριο σύστηµα είναι υπό κλίση, για σεισµό µόνο κατά x, οι σεισµικές επιταχύνσεις αναπτύσσονται και προς τις δύο διευθύνσεις x, y. Το ίδιο ισχύει και για σεισµό µόνο κατά y. Ο σεισµός κατά x δίνει συνιστώσες µόνο κατά x όταν η κατασκευή είναι συµµετρική, διαφορετικά δίνει συνιστώσες και κατά την άλλη διεύθυνση, όπως στο επόµενο παράδειγµα, που υπάρχει απόκλιση κέντρου ελαστικής στροφής και κέντρου µάζας. Σεισµός κατά Y Μάζες a/g H[kN] V[kN] Εικόνα 3.2-4: εκαώροφο κτίριο ασύµµετρου µικτού συστήµατος (µελέτη <B_547-3b>) Εικόνα 3.2-5: Κατανοµή σεισµικών Επιταχύνσεων- υνάµεων-τεµνουσών ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 43

Στατική και υναµική Ανάλυση Εικόνα 3.3.3-1: Το στατικό προσοµοίωµα του πλαισίου µε τις φορτίσεις: g και q και τη σεισµική W Η γενική επίλυση του πλαισίου µε κατακόρυφο οµοιόµορφο φορτίο w, από τον πίνακα 1 είναι: I2 h 52.125 3.0 k = = = 1.47 I l 21.33 5.0 1 2 2 l ( 5.0m ) H = H A = H B = w = w = 0.60m w, 4h ( k + 2 ) 4 3.0m ( 1.47 + 2 ) V A M M = V A CA B = M = M l 5.0m = w = w = 2.50m w 2 2 B CD h 3.0m = H = 0.60m w = 0.60m 3 3 = M DC = M DB 2 w 2 2 = h H = 3.0m 0.60m w = 1.20m 3 3 Η γενική επίλυση του πλαισίου µε οριζόντιο φορτίο W, από τον πίνακα 39 είναι: H A = H B V = V A B W = = 0.50W 2 3 h k 3 3.0m 1.47 = W = W = 0.27 W l (6k + 1) 5.0m (6 1.47+ 1) 2 w ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 47

Στατική και υναµική Ανάλυση 1 ος συνδυασµός: w=1.35g+1.50q=1.35 33+1.50 10.0=59.55 kn/m M A =-M B =1.35M A,g +1.50M A,q =1.35 19.8+1.50 6.0=35.7 knm M CA =M CD =M DC =-M DB =1.35M CA,g +1.50M CA,q =-1.35 39.6-1.50 12.0=-71.5 knm, H A =-H B =1.35H A,g +1.50H A,q =1.35 19.8+1.50 6.0=35.7 kn, V A =V B =1.35H A,g +1.50H A,q =1.35 82.5+1.50 25.0=148.9 kn V CD =w l/2+(m DC -M CD )/l=59.55 5.0/2+(-71.5+71.5)/5.0=148.9 kn, V DC =V CD -w l=148.9-59.55 5.0=-148.9 kn 9 N Α =-V CD -1.35 (ίδιο βάρος κολόνας)=-148.9-1.35 12.0=-165.1 kn N B =V DC - 1.35 (ίδιο βάρος κολόνας)=-148.9-1.35 12.0=-165.1 kn x=v CD /w=148.9/59.55=2.50 m 10, M max = M CD + (V CD x)/2=-71.5+(148.9 2.50)/2=114.6 knm 11, w l 2 /8=59.55 5.0 2 /8=186.1 knm Εικόνα 3.3.3-2 Εικόνα 3.3.3-3 Εικόνα 3.3.3-4 Εικόνα 3.3.3-5 9 Το µέγεθος αυτό όπως και τα περισσότερα από τα επόµενα, µπορούσε να υπολογισθεί από την απλή παρατήρηση της συµµετρίας του φορέα και της φόρτισης, αλλά ακολουθείται αυτή η διαδικασία ως γενική περίπτωση, γιατί στη 2 η φόρτιση για παράδειγµα, που δεν είναι συµµετρική, έχει σηµασία. 10 x είναι το σηµείο µηδενισµού της τέµνουσας που αντιστοιχεί στη θέση της µέγιστης ροπής κάµψης. 11 Από τη στατική είναι γνωστό ότι η µέγιστη ροπή Mmax σε ένα άνοιγµα i,j βρίσκεται στο σηµείο m που απέχει απόσταση x από την αρχή i, εκεί, όπου µηδενίζονται οι τέµνουσες δυνάµεις. Η ροπή σ εκείνο το σηµείο δίνεται από τη σχέση Mmax=Mi,j + AV όπου AV είναι το εµβαδόν των τεµνουσών δυνάµεων από το σηµείο i έως το σηµείο m. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα που υπάρχει µόνο οµοιόµορφο φορτίο, είναι AV=(Vi,j x)/2. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 49

Τόµος B 2 ος συνδυασµός: w=g + 0.30 q + Ε x =33.0+0.30 10.0 + E x =36.0 kn/m + E x M A =M A,g +0.30M A,q + M A,W =19.8+0.30 6.0-100.8 =-79.2 knm, M B =-19.8-0.30 6.0-100.8 =-122.4 knm M CA = M CD =-39.6-0.30 12.0+82.2=39.0 knm, M DC =-39.6-0.30 12.0-82.2=-125.4 knm, M DB =39.6+0.30 12.0+82.2=125.4 knm, H A = H A,g +0.30H A,q + H A,W =19.8+0.30 6.0-61.0=-39.4 kn, H B =-19.8-0.30 6.0-61.0=-82.6 kn, V A = V A,g +0.30V A,q + V A,W =82.5+0.30 25.0-32.9=57.1 kn, V B =82.5+0.30 25.0+32.9=122.9 kn V CD =w l/2+(m DC -M CD )/l=36.0 5.0/2+(-125.4-39.4)/5.0=90.0-33.0=57.0 kn, V DC =V CD -w l=57.0-36.0 5.0=-123.0 kn N Α =-V CD -ίδιο βάρος κολόνας=-57.0-12.0=-69.0 kn N B =V DC - ίδιο βάρος κολόνας=-123.0-12.0=-135.0 kn x=v CD /w=57.0/36.0=1.58 m, M max = M CD + (V CD x)/2=39.0+(57.0 1.58)/2=84.0 knm, w l 2 /8=36.0 5.0 2 /8=112.5 knm Εικόνα 3.3.3-6 Εικόνα 3.3.3-7 Εικόνα 3.3.3-8 Εικόνα 3.3.3-9 50 ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη

Τόµος B Συνδυασµοί και Περιβάλλουσες εντατικών µεγεθών Εικόνα 3.3.3-14 Εικόνα 3.3.3-15 Εικόνα 3.3.3-16 52 ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση 3 ος συνδυασµός: g+0.30q-e X (πρόσθετος συνδυασµός U2) Εικόνα 3.3.3-22: ιάγραµµα ροπών και ελαστική γραµµή Εικόνα 3.3.3-23: ιάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων Συνδυασµοί και Περιβάλλουσες Ροπών Κάµψης Εικόνα 3.3.3-24: Οι τρεις συνδυασµοί των ροπών κάµψης Εικόνα 3.3.3-25: Η περιβάλλουσα των ροπών κάµψης µε τις τιµές ανά 0.20 m, τις οποίες χρειαζόµαστε για τη διαστασιολόγηση των διατοµών και τα αναπτύγµατα οπλισµών ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 55

Τόµος B 3.3.6 Προσοµοίωση πλακών µε µέλη και επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία Με τη βοήθεια των πεπερασµένων στοιχείων έχουµε τη δυνατότητα να προσδιορίσουµε µε ση- µαντική ακρίβεια τη λειτουργία των πλακών. Ωστόσο, για να αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσµατα την πραγµατικότητα, θα πρέπει να υιοθετηθούν οι κατάλληλες παραδοχές. Στο παράρτηµα Α εξετάζονται αναλυτικά οι επιρροές των ακόλουθων παραγόντων: 1) η πλαισιακή λειτουργία των πλακών στις περιοχές των κολονών 2) η κατακόρυφη παραµόρφωση των δοκών 3) η δυστρεψία των δοκών Τόσο η πλαισιακή λειτουργία στις περιοχές των κολονών (όπου δεν υπάρχουν δοκοί), όσο και η κατακόρυφη παραµόρφωση και η στρεπτική δυσκαµψία των δοκών, επιδρούν στη συµπεριφορά της πλάκας. Προκειµένου να διερευνήσουµε την επίδραση αυτή, προσοµοιώνουµε µία απλή κατασκευή µε δύο τρόπους: (i) µε µέλη, σύµφωνα µε τον οποίο η πλάκα προσοµοιώνεται ως εσχάρα κύριων και δευτερευουσών δοκίδων, χωρίς τη θεώρηση στερεών σωµάτων. (ii) µε επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία, σύµφωνα µε τον οποίο η πλάκα προσοµοιώνεται ως δισδιάστατος φορέας, µε τριγωνικά επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η περίληψη του παραρτήµατος A: Εικόνα 3.3.6-1: Ο φορέας της µελέτης <B_331> του συνοδευτικού λογισµικού (διατοµή κολονών 400/400, διατοµή δοκών 300/500, πάχος πλάκας 170 mm) 64 ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Εικόνα 3.3.6-2: Προσοµοίωµα πλάκας µε µέλη και παραµορφωµένος φορέας (µελέτη <B_336>) Εικόνα 3.3.6-3: Προσοµοίωµα πλάκας µε επιφανειακά τριγωνικά πεπερασµένα στοιχεία (µελέτη <B_331>, pi-fes) (a=κοινό βέλος κάµψης δοκού-πλάκας) ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 65

Τόµος B 3.3.6.1 Η πλαισιακή λειτουργία στις περιοχές των κολονών Η προσοµοίωση τόσο µε µέλη, όσο και µε τα ακριβέστερα επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία, λαµβάνει υπόψη την πλαισιακή λειτουργία της πλάκας στις περιοχές των κολονών, σε α- ντίθεση µε τη λιγότερο ακριβή θεώρηση αρθρωτής πλάκας σε όλο το µήκος της. Ωστόσο, για να λειτουργήσει πλαισιακά η πλάκα µε τα υποστυλώµατα στην πραγµατική κατασκευή, θα πρέπει να οπλιστεί η περιοχή σύνδεσης πλάκας-κολονών (στην οποία αναπτύσσονται ισχυρές αρνητικές ροπές κάµψης) µε ισχυρό, σωστά τοποθετηµένο και καλά αγκυρωµένο αρνητικό οπλισµό στις άνω ίνες των πλακών. Για το λόγο αυτό, η επίλυση µε πεπερασµένα στοιχεία των πλακών σε συνήθη εργοτάξια θα πρέπει να θεωρεί αρθρωτές στηρίξεις επί των υποστυλωµάτων. Εικόνα 3.3.6.1-1: ιάγραµµα ροπών κάµψης δοκίδων φορέα µε µέλη (µελέτη <B_336>) Στην περίπτωση των µελών, οι δύο ακραίες κύριες δοκίδες (πλάκας) λειτουργούν πλαισιακά µε τα υποστυλώµατα, έχουν µεγαλύτερη δυσκαµψία από τις σχεδόν αµφιαρθρωτές ενδιάµεσες κύριες δοκίδες και αναλαµβάνουν µεγαλύτερο φορτίο, µε αποτέλεσµα να αναπτυχθούν ισχυρές αρνητικές ροπές κάµψης στις στηρίξεις τους και σχετικά ασθενείς θετικές στo εσωτερικό τους. Οι ενδιάµεσες κύριες δοκίδες αναπτύσσουν ισχυρές θετικές καµπτικές ροπές στο άνοιγµά τους, ενώ στηρίζονται στις ακραίες, µέσω των δευτερευουσών δοκίδων, οι οποίες καταπονούνται από όχι αµελητέες θετικές καµπτικές ροπές ανοίγµατος. 66 ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Στην ακριβέστερη προσοµοίωση µε επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία, οι ακραίες κύριες ζώνες λειτουργούν έντονα πλαισιακά. Τα αποτελέσµατα είναι παρόµοια µε τα αντίστοιχα των µελών µε τις ακόλουθες διαφορές: (α) Στις ακραίες κύριες ζώνες (αντίστοιχες των ακραίων κυρίων δοκίδων) η πλαισιακή λειτουργία είναι πιο έντονη, διότι οι ροπές στηρίξεων είναι µεγαλύτερες και οι ροπές ανοιγµάτων µικρότερες. (β) Στις ενδιάµεσες κύριες ζώνες (αντίστοιχες των ενδιάµεσων κυρίων δοκίδων) οι ροπές ανοιγµάτων είναι µικρότερες. (γ) Οι ροπές ανοιγµάτων των δευτερευουσών ζωνών (αντίστοιχες των δευτερευουσών δοκίδων) προκύπτουν µεγαλύτερες. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η εσωτερική δυστρεψία των στοιχείων της πλάκας (η συστροφή) είναι ισχυρότερη από την αντίστοιχη των µελών. Εικόνα 3.3.6.1-2: ιάγραµµα ροπών κάµψης ζωνών φορέα µε επιφανειακά τριγωνικά πεπερασµένα στοιχεία (µελέτη <B_331>, pi-fes) ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 67

Τόµος B 1 ο παράδειγµα (µελέτη <Β_422-1>) Πρόκειται για ένα απλό µονώροφο παράδειγµα µε 9 υποστυλώµατα, 12 δοκούς και 4 πλάκες, όπως φαίνεται στην εικόνα. Εικόνα 4.2.1-1 Οι τέσσερις πλάκες είναι όµοιες µε διαστάσεις 4.0 m x 6.0 m, πάχος 150 mm, φορτίο επικάλυψης g e =1.0 kn/m 2 και ωφέλιµο φορτίο q=5.0 kn/m 2. Σκυρόδεµα: C30/37. 78 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Τόµος B Εικόνα 4.2.1-6: Η επιλογή Show All επανεµφανίζει όλο το προσοµοίωµα, ενώ η επιλογή Contours προσφέρει µε χρωµατική διαβάθµιση τις ισοϋψείς των παραµορφώσεων. Εικόνα 4.2.1-7 Κάθε χρώµα (στη 3D χρωµατική κλίµακα) αντιστοιχεί σε ένα εύρος παραµορφώσεων (mm). Για πολλά χρόνια, η µέθοδος της χρωµατικής απεικόνισης των ισοϋψών των παραµορφώσεων αποτελούσε έναν 2D τρόπο παρουσίασης 3D πληροφοριών. Σήµερα, µε τις 3D δυνατότητες που διαθέτουµε, προτιµούµε την άµεση 3D ή 4D απεικόνιση, ιδιαίτερα όταν έχουµε και στερεοσκοπική επισκόπηση. 82 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Εικόνα 4.2.1-8: Η παραµόρφωση ολόκληρου του φορέα σε 3D προκύπτει µε την ακόλουθη αλληλουχία: Details στα FEM results, Diagrams at Dx=Dy=0.1m, OK, κατόπιν Selection, Displacements Z & Diagrams. Για να έχουµε καλύτερη επισκόπηση ανάβουµε και το Light 2 Εικόνα 4.2.1-9: Αν στην προηγούµενη οθόνη επιλέξουµε Menu, έπειτα Full Screen Mode και ακολούθως 4D, απολαµβάνουµε στερεοσκοπική απεικόνιση µε τα µπλε-κόκκινα γυαλιά. Οι παραµορφώσεις είναι η αιτία των εντάσεων και βοηθούν το µηχανικό να αντιλαµβάνεται καλύτερα τη συµπεριφορά των φορέων (ανθρώπινη αίσθηση µηχανικού). Όταν τα κοίλα είναι στραµµένα προς τα άνω, οι ροπές κάµψης είναι θετικές, θεωρώντας ως ίνες αναφοράς τις ίνες της κάτω επιφάνειας των πλακών. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 83

Τόµος B 4.2.3 υσµενείς φορτίσεις και περιβάλλουσες εντάσεων βελών Το ελάχιστο φορτίο που εξασκείται σε µία πλάκα ισούται µε g, ενώ το µέγιστο µε p=(γ g -1) g i + γ q q i. Το γενικό ερώτηµα που τίθεται είναι µε ποιό τρόπο θα πρέπει να φορτιστούν οι πλάκες, έτσι ώστε να προκύψουν οι µέγιστες εντάσεις επί αυτών. Πρόκειται για ένα σύνθετο θέµα. Ακόµη και στην περίπτωση της απλής εφαρµογής του ακόλουθου σκαριφήµατος (6 πλάκες σε κάναβο), απαιτούνται 7 δυσµενείς φορτίσεις. Η επίλυση του παραδείγµατος αυτού µέσω πινάκων είναι δυνατή, µόνο στην περίπτωση που οι άξονες του κανάβου ισαπέχουν µεταξύ τους. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 max M1, max M4, max M5, min M2, min M3, min M6 max M2, max M3, max M6, min M1, min M4, min M5 max M1-2 max M5-6 min M3-4 max M1-3, min M2-4 max M2-4, min M1-3 max M3-5, min M4-6 max M4-6, min M3-5 Αν οι πλάκες δεν βρίσκονται σε κάναβο, το πρόβληµα γίνεται ακόµα πιο σύνθετο. Γενική και ακριβής λύση µπορεί να υπάρξει µόνο µε τη µέθοδο των επιφανειακών πεπερασµένων στοιχείων. Ωστόσο, στην περίπτωση αυτή, ο όγκος των επιλύσεων και η ανάγκη µνήµης απαιτούν εξελιγµένες µεθόδους λογισµικού και σύγχρονους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Το εκπαιδευτικό λογισµικό αξιοποιεί τέτοιες µεθόδους, καθώς επίσης και όλους τους διαθέσιµους πυρήνες ενός προσωπικού ηλεκτρονικού υπολογιστή, δίνοντας λύση σε τέτοια προβλήµατα µέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Παρακάτω θα εξετάσουµε τις δυσµενείς φορτίσεις στα 3 επιλυθέντα παραδείγµατα. Για να πραγµατοποιηθούν οι υ- πολογισµοί µε τις δυσµενείς φορτίσεις, αρκεί να έχουµε επιλέξει στην καρτέλα Loads ενεργή την επιλογή Slabs(=ON) στο πεδίο Adverse. Για να εµφανιστούν τα αποτελέσµατα, αρκεί να επιλέξουµε Adverse και τις εντάσεις που θέλουµε π.χ. Shears Εικόνα 4.2.3-1 Εικόνα 4.2.3-2 116 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Τόµος B Εικόνα 4.2.3-6: Η περιβάλλουσα των ροπών κάµψης Οι δυσµενέστερες ροπές κάµψης ισούνται µε: ιεύθυνση x: M x =12.3 (έναντι 10.8 της ενιαίας φόρτισης),m x,erm =-22.8 (έναντι -22.0) [knm] ιεύθυνση y: M y =4.9 (έναντι 4.1 της ενιαίας φόρτισης), M y,erm =-18.8 (έναντι -16.3) [knm] Εικόνα 4.2.3-7: Η όψη του 3D διαγράµµατος των ροπών, που αντιστοιχεί στην περιβάλλουσα των [Mx] Εικόνα 4.2.3-8: Η πλάγια όψη του 3D διαγράµµατος των ροπών, που αντιστοιχεί στην περιβάλλουσα των [My] Παρατηρούµε ότι, παρόλο που το ωφέλιµο φορτίο είναι σχετικά µεγάλο, οι διαφορές στις ροπές είναι µικρές και δεν υπερβαίνουν το 15%. 118 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Εικόνα 4.2.3-9: Η περιβάλλουσα των βελών κάµψης Το µεγαλύτερο βέλος των πλακών ισούται µε y=-2.00 mm (έναντι -1.53 mm της ενιαίας φόρτισης) και y=+0.24 mm. Συµπεραίνουµε δηλαδή ότι η πλάκα ανασηκώνεται, γεγονός το οποίο δεν συνέβαινε στην ενιαία φόρτιση, λόγω συµµετρίας βέβαια. Εικόνα 4.2.3-10: Η όψη του 3D διαγράµµατος των βελών Εικόνα 4.2.3-11: Η πλάγια όψη του 3D διαγράµµατος των βελών Παρατηρούµε ότι, τα βέλη κάµψης προκύπτουν αρκετά µεγαλύτερα έως και 30%, ενώ παράλληλα εµφανίζονται αρνητικές παραµορφώσεις (οι µπλε γραµµές). ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 119

Τόµος B Το πρόγραµµα τρέχει και σε building mode Εικόνα 4.2.4-7: Με το building mode, λαµβάνεται υπόψη η αλληλεπίδραση των πλακών µε το σκελετό και γι αυτό σε άλλα σηµεία των πλακών έχουµε ευµενέστερη ένταση και σε άλλα σηµεία δυσµενέστερη απ ότι στο Czerny mode. Όπως εξηγήθηκε αναλυτικά στο κεφάλαιο 3 και στο παράρτηµα Α, η επιρροή των δοκών και των υποστυλωµάτων είναι πολύ σηµαντική. Στο συγκεκριµένο παράδειγµα, η ροπή στήριξης των πλακών s1-s2 είναι σηµαντικά µικρότερη απ ότι στο Czerny mode. Η ροπή της στήριξης σ αυτό το mode δίνεται κατ ευθείαν στις παρειές της δοκού, όπου πραγµατοποιείται και η διαστασιολόγηση, αλλά η ροπή αιχµής στο µέσον της στήριξης (στο µέσον της δοκού) είναι αρκετά µεγαλύτερη. Η µελέτη <B_422-1> (adverse building mode), πυκνό mesh δίνει: 26.672 τρίγωνα, 16.417 κόµβοι, 3856 γραµµικά µέλη, σύστηµα 98.502 εξισώσεων, µνήµη 680 MB, χρόνος 12 sec, FPS=60. 132 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Πολυώροφα κτίρια και περιβάλλουσες Εικόνα 4.2.4-8: Ο πραγµατικός σκελετός σε 3D Εικόνα 4.2.4-9: Το προσοµοίωµα του σκελετού σε 3D Για την επίλυση των πλακών, οι δυσµενείς φορτίσεις θεωρούνται ανά όροφο, δηλαδή δεν λαµβάνεται υπόψη η επιρροή της φόρτισης µίας πλάκας ενός ορόφου στις πλάκες των άλλων ορόφων. Στο Czerny mode αυτό είναι αυτονόητο, ενώ στο πλήρες mode η επιρροή αυτή, κατά κανόνα, είναι αµελητέα. Στη συγκεκριµένη µελέτη <Japan5> που τρέχει µόνο στην επαγγελµατική έκδοση, µε 10 ορόφους εµβαδού 200 m 2 αν το meshing γίνει µε τιµές των παραµέτρων Overall element size = 0.20 m, Perimeter min. Value = 0.10 m, τότε έχουµε τις παρακάτω µετρήσεις: Adverse Czerny mode: 134.292 τρίγωνα, 77.131 κόµβοι, 6.507 γραµµικά µέλη, σύστηµα 462.786 εξισώσεων, µνήµη 3.8 GB, χρόνος 125 sec, FPS=37. Adverse πλήρες mode: 183.217 τρίγωνα, 120.239 κόµβοι, 34.727 γραµµικά µέλη, σύστηµα 721.434 εξισώσεων, µνή- µη 5.3 GB, χρόνος 209 sec, FPS=28. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 133

Τόµος B 4.5 Αµφιέρειστες πλάκες Οι αµφιέρειστες πλάκες στηρίζονται σε δύο απέναντι παρυφές, όπως η s1 στην εικόνα της 4.1. Αν µία αµφιέρειστη πλάκα στηρίζεται επιπρόσθετα σε µία ή δύο ακόµη παρυφές και ο λόγος του µεγαλύτερου προς το µικρότερο θεωρητικό άνοιγµα είναι µεγαλύτερος του 2.0 (πλάκα s3 στην ίδια εικόνα), υπολογίζεται ως αµφιέρειστη προς την κύρια διεύθυνση, ενώ λαµβάνονται υπ' όψη και οι δευτερεύουσες εντάσεις στις υπόλοιπες παρυφές. 4.5.1 Στατική επίλυση Οι συνεχείς αµφιέρειστες πλάκες επιλύονται µε τη θεώρηση συνεχούς ραβδωτού φορέα, του οποίου κάθε ράβδος έχει ορθογωνική διατοµή πλάτους 1.00 m και ύψους όσο το πάχος της πλάκας. Οι λωρίδες φορτίζονται µε τα ίδια βάρη, τα µόνιµα και τα κινητά φορτία που εξασκούνται σ' αυτές. Η επίλυση πραγµατοποιείται: α) προσεγγιστικά µε την εφαρµογή του συνόλου των φορτίων σχεδιασµού p=1.35g+1.50q (όταν το κινητό φορτίο είναι σχετικά µικρό) β) είτε µε ακρίβεια λαµβάνοντας δυσµενείς φορτίσεις. Εικόνα 4.5.1-1: Συνεχής πλάκα τριών ανοιγµάτων 146 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Παράδειγµα: Οι 3 πλάκες (προηγούµενο σχήµα) έχουν L 1 =4.50 m, h 1 =180 mm, g 1 =10.0 kn/m 2, q 1 =2.0 kn/m 2, L 2 =4.00 m, h 2 =140 mm, g 2 =5.0 kn/m 2, q 2 =2.0 kn/m 2, L 3 =4.00 m, h 3 =140 mm, g 3 =5.0 kn/m 2, q 3 =2.0 kn/m 2, όπου τα φορτία g περιλαµβάνουν και το ίδιο βάρος. Ζητείται η στατική επίλυση των πλακών θεωρώντας καθολική φόρτιση για κατάσταση αστοχίας. Το φορτίο σχεδιασµού σε κάθε πλάκα ισούται µε p i =γ g g i +γ q q i =1.35 g i +1.50 q i, οπότε σε ζώνη πλάτους 1.00 m ισχύει ότι: p 1 =1.35 10.0+1.50 2.0=16.5 kn/m p 2 =p 3 =1.35 5.0+1.50 2.0=9.75 kn/m Η συνεχής πλάκα 3 ανοιγµάτων θα υπολογισθεί µε τη µέθοδο Cross. Θεµελιώδεις ροπές ανοιγµάτων (πίνακας b3) M 10 =-p 1 L 1 2 /8=-16.5 4.50 2 /8=-41.8 knm M 12 =M 21 =-p 2 L 2 2 /12=-9.75 4.00 2 /12=-13.0 knm M 23 =-p 3 L 3 2 /8=-9.75 4.00 2 /8=-19.5 knm Ροπές αδράνειας I I 01 =I c =1.0 0.18 3 /12=4.86 10-4 m 4 I 12 =I 23 =1.0 0.14 3 /12=2.29 10-4 m 4 =0.47I c Συντελεστές δυσκαµψίας k, δείκτες κατανοµής υ k 10 = 3I 10 = 3 4I c L 01 4 4.5 01= 0.167 0.285 0.586 k 12 = 4I 12 = 4 0.47I c 4I c L 12 4I c 4.0 12= 0.118 0.285 0.414 0.285 1.000 k 21 =k 12 = 0.118 υ 21 = 0.118 0.206 0.573 k 23 = 3I 23 = 3 0.47I c 4I c L 23 4I c 4.0 01= 0.088 0.206 0.427 0.206 1.000 1 2 0.586 0.414 0.573 0.427 +41.8-13.0 +13.0-19.5 -[+41.8-13.0] 0.586-16.9-11.9 0.50-6.0 + 3.6 0.50 + 7.2 + 5.3 0.427 [-(+13.0-19.5-6.0)] -[+3.6] 0.586-2.1-1.5 0.50-0.8 + 0.3 0.50 + 0.5 + 0.3 0.427 [-(-0.8)] -[+0.3] 0.586-0.2-0.1 +22.6-22.6 +13.9-13.9 M 1 =-22.6 knm M 2 =-13.9 knm ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 147

Τόµος B V 01 =16.5 4.50/2-22.6/4.50=32.1 kn V 10 =-16.5 4.50/2-22.6/4.50=-42.1 kn V 12 =9.75 4.00/2+(-13.9+22.6)/4.00=21.7 kn V 21 =-9.75 4.00/2+(-13.9+22.6)/4.00=-17.3 kn V 23 =9.75 4.00/2+13.9/4.00=23.0 kn V 32 =-9.75 4.00/2+13.9/4.00=-16.0 kn maxm 01 =32.1 2 /(2 16.5)=31.2 knm maxm 12 =21.7 2 /(2 9.75)-22.6=1.5 knm maxm 23 =16.0 2 /(2 9.75)=13.1 knm Εικόνα 4.5.1-2: ιάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων Εικόνα 4.5.1-3: ιάγραµµα ροπών κάµψης 148 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Τόµος B 4.5.2 Βέλος κάµψης Έστω AB ράβδος πλάκας µε µήκος L, ροπή αδράνειας I, µέτρο ελαστικότητας E, στην οποία ασκείται οµοιόµορφο φορτίο p. Με γνωστή την τέµνουσα V A,R (αριστερή στήριξη) και τη ροπή M A, ζητείται η εξίσωση της ελαστικής γραµµής λόγω κάµψης και το µέγιστο βέλος κάµψης. Εικόνα 4.5.1-6: Γενική περίπτωση κάµψης ράβδου (πλάκας ή δοκού) Θεωρώντας ως αρχή των z το αριστερό άκρο της ράβδου έχουµε: V( z ) = V p z A, R M ( z ) = M A + V A,R z p z 2 2 2 d y( z ) Η βασική εξίσωση της ελαστικής γραµµής E I = M ( z ) επιλύεται σε δύο φάσεις: 2 dz 1 η φάση 2 dy( z ) 1 1 p z φ( z ) = = = + M ( z )dz ( M A VA,R z dz E I E I 2 2 3 1 VA,R z p z φ( z ) = ( M A z + + C1 ) E I 2 6 Η εξίσωση της εφαπτοµένης της ελαστικής γραµµής ισούται µε: 1 p 3 VA,R 2 φ( z ) = ( z z M A z + C1 ) ( 1 ) E I 6 2 ) dz 150 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση 2 η φάση 1 p 3 VA,R 2 y( z ) = φ( z )dz = + ( z z M A z C1 ) dz E I 6 2 1 p 4 VA,R 3 M A 2 y( z ) = ( z z z + C1 z + C2 ) E I 24 6 2 y(0)=0 C 2 =0 Η εξίσωση της ελαστικής γραµµής ισούται τότε µε: 1 p 4 VA,R 3 M A 2 y( z ) = ( z z z + C1 z ) ( 2 ) E I 24 6 2 y(l)=0 4 3 2 3 2 1 p L VA,R L M L p L V L A A,R M A L 0 = ( + C1 L ) C1 = + + (3) E I 24 6 2 24 6 2 Εποµένως, η εξίσωση της εφαπτοµένης της ελαστικής γραµµής (1) και η εξίσωση του βέλους κάµψης (2) είναι πλέον γνωστές. Η θέση στην οποία εµφανίζεται το µέγιστο βέλος κάµψης είναι το σηµείο στο οποίο µηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του, δηλαδή το σηµείο z στο οποίο φ(z)=0. 3 2 p z VA,R z (1) M A z + C1 = 0 (4) 6 2 Η συµβατή λύση της τριτοβάθµιας εξίσωσης (3) δίνει το ζητούµενο σηµείο z max, το οποίο αντικαθίσταται στην εξίσωση (2) και προκύπτει το µέγιστο βέλος κάµψης y max. Παράδειγµα: Βέλος κάµψης της πρώτης πλάκας (του παραδείγµατος της 4.3.1): Για L=4.5 m, p=16.5 kn/m, V A,R =32.1 kn και M A =0.0, από την (3) προκύπτει ότι: C 1 =- 16.5 4.53 24 + 32.1 4.52 kn m 2 =45.7 kn m 2 6 (4) (16.5/6) z 3 -(32.1/2) z 2-0+45.7=0 2.75z 3-16.05z 2 +45.7=0 z max =2.112 m (2) y(z)= 1 E I (0.6875 z4-5.35 z 3 +45.7 z) (1.2) y(2.112)= 1 E I (0.6875 2.1124-5.35 2.112 3 +45.7 2.112) 10 3 N m 3 = 59.8 E I 10 3 N m 3 Για πάχος πλάκας h=180 mm και µέτρο ελαστικότητας σκυροδέµατος E=32.80 GPa έχουµε ότι: I=(b h 3 )/12=(1.0 0.18 3 )/12=486 10-6 m 4 E I=32.8 10 9 N/m 2 486 10-6 m 4 =15.9408 10 6 N m 2, άρα, y 1,max =y(2.112)= 59.8 103 N m 3 15.9408 10 6 =0.00375 m=3.75 mm N m2 ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 151

Στατική και υναµική Ανάλυση Η ελαστική γραµµή της συνεχούς πλάκας που προκύπτει από τις εξισώσεις (1.2), (2.2), (3.2) είναι η ακόλουθη: Εικόνα 4.5.1-7: Η ελαστική γραµµή από τις εξισώσεις των 3 πλακών Η µελέτη <B_451> (pi-fes) εξάγει τις ταυτόσηµες παραµορφώσεις: Εικόνα 4.5.1-8: Η ελαστική γραµµή από το pi-fes (Ενεργό module\slabs) σε όψη ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 153

Στατική και υναµική Ανάλυση Μέγιστες ροπές στηρίξεων (κενή φόρτιση παρακείµενων ανοιγµάτων και εναλλάξ των υπολοίπων) Εικόνα 4.5.3.1-4 Παράδειγµα: Εικόνα 4.5.3.1-5 Η συνεχής πλάκα του σχήµατος έχει σε κάθε άνοιγµα µήκος L=5.00 m και πάχος h=160 mm, ενώ καταπονείται από φορτίο επικάλυψης g e =1.0 kn/m 2 και ωφέλιµο q=5.0 kn/m 2. Σκυρόδεµα C50/60. Ζητείται η περιβάλλουσα των ροπών και των τεµνουσών, σε οριακή κατάσταση αστοχίας, των τριών πλακών. Επίλυση: Ίδιο βάρος: g o =0.16m 25.0kN/m 3 = 4.00 kn/m 2 Επικάλυψη: g e = 1.00 kn/m 2 Σύνολο µόνιµων φορτίων: g= 5.00 kn/m 2 Σύνολο ωφέλιµων φορτίων: q= 5.00 kn/m 2 Το µόνιµο φορτίο σχεδιασµού κάθε πλάκας ισούται µε g d =1.00 5.0=5.0 kn/m και το συνολικό φορτίο σχεδιασµού µε p d =γ g g+γ q q=1.35 5.0+1.50 5.0=14.25 kn/m. Επίλυση µε το χέρι: I=(b h 3 )/12=(1.0 0.16 3 )/12=341 10-6 m 4 Το µέτρο ελαστικότητας για σκυρόδεµα C50/60 ισούται µε E=37.3 GPa. E I=37.3 10 9 N/m 2 341 10-6 m 4 =12.719 10 6 N m 2 Επειδή I 10 =I 12 =I 23 =I c, οι συντελεστές δυσκαµψίας k και οι δείκτες κατανοµής υ ισούνται µε: 3I10 3 0. 150 k10 = = = 0. 150 υ = = 4Ic L01 4 5.0 01 0. 350 0. 429 4I12 4 0. 200 k12 = = = 0. 200 υ 12 = = 4I c L12 4 5.0 0. 350 0. 571 0.350 1. 000 Λόγω συµµετρίας φορέα: υ 21 = 0. 571 και υ 23 = 0. 429 ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 155

Τόµος B Φόρτιση 1: w 1 =w 3 =p d =14.25 kn/m, w 2 =g d =5.0 kn/m (V 01,max, M 01,max, M 12,min, V 32,max, M 23,max ) Θεµελιώδεις ροπές πάκτωσης από τον πίνακα b3 Μ 10 =Μ 23 =-w 1 L 2 /8=-14.25 5.0 2 /8=-44.5 knm, Μ 12 =Μ 21 =-w 2 L 2 /12=-5.0 5.0 2 /12=-10.4 knm +44.5 -[+44.5-10.4] 0.429-14.6 -[+12.5 0.429] -5.3 -[+1.1 0.586] -0.6 0.429 0.571 0.571 0.429-10.4-19.5 +12.5-7.2 + 1.1-0.5 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 +10.4-9.8 + 25.1-3.6 + 2.1-0.3 +0.2-44.5 +24.1-24.1 +24.1-24.1 M 1 =-24.1 knm M 2 =-24.1 knm +18.8 0.429 [-(+10.4-44.5-9.8)] + 1.5 0.429 [-(-3.6)] + 0.1 0.429 [-(-0.3)] V 01 =14.25 5.0/2-24.1/5.0=35.63-4.82=30.8 kn V 10 =-35.63-4.82=-40.5 kn V 12 =5.0 5.0/2=12.5 kn M 01,max =V 01 2 /(2 w 1 )=30.8 2 /(2 14.25)=33.3 knm w 1 L 2 /8=14.25 5.0 2 /8=44.5 knm M 12,min =V 2 12 /(2 w 2 )+M 1 =12.5 2 /(2 5.0)-24.1=15.6-24.1= =-8.5 kn 12 w 2 L 2 /8=5.0 5.0 2 /8=15.6 knm 01: (3) C 1 =(-14.25 5.0 3 /24+30.8 5.0 2 /6)=54.1 kn m 2 (4) (14.25/6)z 3 -(30.8/2)z 2-0+54.1=0 2.375z 3-15.4z 2 +54.1=0 που δίνει λύση z max =2.347 m (2) y(z)=1/12.719 [(14.25/24) 2.347 4 - (30.8/6) 2.347 3 +0 2.347 2 +54.1 2.347)] y(2.335)=6.18 mm 12: Λόγω συµµετρίας φορέα και φόρτισης, είναι z max =2.5 0m C 1 =(-5.00 5.0 3 /24+12.5 5.0 2 /6-24.1 5.0/2)kN m 2 = =-34.2 kn m 2 (2) y(z)=1/12.719 [(5.00/24) 2.50 4 -(12.5/6) 2.50 3 +24.1 2.50 2 /2-34.2 2.50) y(2.50)=-2.72 mm Εικόνα 4.5.3.1-6 12 Ο άλλος τρόπος υπολογισµού είναι: Μ12=w1 L 2 /8+M1=5.0 5.0 2 /8-24.1=15.6-24.1=-8.5 knm 156 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Φόρτιση 2: w 1 =w 3 =g d =5.0 kn/m, w 2 =p d =14.25 kn/m (V 01,min, M 01,min, M 23,max, V 32,min, M 23,min ) Θεµελιώδεις ροπές πάκτωσης από τον πίνακα b3 Μ 10 =Μ 23 =-w 1 L 2 /8=-5 5.0 2 /8=-15.6 knm, Μ 12 =Μ 21 =-w 2 L 2 /12=-14.25 5.0 2 /12=-29.7 knm +15.6 -[+15.6-29.7] 0.429 +6.1 -[-5.2] 0.429 +2.2 -[+0.5] 0.586 + 0.2 0.429 0.571 0.571 0.429-29.7 + 8.0-5.2 + 3.0-0.5 + 0.3 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 +29.7 +4.0-10.3 +1.5-0.9 +0.2-0.1-15.6 +24.1-24.1 +24.1-24.1 M 1 =-24.1 knm M 2 =-24.1 knm -7.8 0.429 [-(+29.7-15.6+4.0)] -0.6 0.429 [-(+1.5)] - 0.1 0.429 [-(+0.2)] Εικόνα 4.5.3.1-7 V 01 =5.0 5.0/2-24.1/5.0=12.5-4.8=7.7 kn V 10 =-12.5-4.8=-17.3 kn V 12 =14.25 5.0/2=35.6 kn M 01,max =V 2 01 /(2 w 1 )=7.7 2 /(2 5.0)=5.9 knm w 1 L 2 /8=5 5.0 2 /8=15.6 knm M 12,max =V 2 12 /(2 w 2 )+M 1 =35.6 2 /(2 14.25)-24.1=44.5-24.1=20.4 knm w 2 L 2 /8=14.25 5.0 2 /8=44.5 knm 01: (3) C 1 =(-5.00 5.0 3 /24+7.7 5.0 2 /6)kN m 2 =6.0 kn m 2 (4) (5.00/6)z 3 -(7.7/2)z 2-0+6.0=0 0.833z 3-3.85z 2 +6.0=0 που δίνει λύσεις z max,1 =1.53 m και z max,2 =4.21 m (2) y(z1)=1/12.719 [(5.00/24) 1.53 4 -(7.7/6) 1.53 3 +0 1.53 2 +6.0 1.53) y(1.53)=0.45 mm (2) y(z2)=1/12.719 [(5.00/24) 4.21 4 -(7.7/6) 4.21 3 +0 4.21 2 +6.0 4.21) y(4.21)=-0.39 mm 12: Λόγω συµµετρίας φορέα και φόρτισης, είναι z max =2.50 m C 1 =(-14.25 5.0 3 /24+35.6 5.0 2 /6-24.1 5.0/2)kN m 2 = =13.9 kn m 2 (2) y(z)=1/12.719 [(14.25/24) 2.50 4 -(35.6/6) 2.50 3 +24.1 2.50 2 /2+13.9 2.50) y(2.50)=3.18 mm ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 157

Στατική και υναµική Ανάλυση Φόρτιση 4: w 1 =g d =5.0 kn/m w 2 =w 3 =p d =14.25 kn/m Η φόρτιση αυτή είναι η αντισυµµετρική ως προς το µέσο της φόρτισης 3. Περιβάλλουσες όλων των φορτίσεων: Εικόνα 4.5.3.1-9: Περιβάλλουσες τεµνουσών-ροπών-βελών κάµψης Επίλυση µε τον πίνακα b4 g d /p d =5.0/14.25=0.35 m 1 =10.695, m B =-9.025, m 2 =17.425, p 1A =2.315, p 1B =-1.635, p 2B =1.805 V 01,max =p d L/p 1A =14.25 5.0/2.315=30.8 kn V 10,min =p d L/p 1B =-14.25 5.0/1.635=-43.6 kn V 12,max =p d L/p 2B =14.25 5.0/1.805=39.5 kn M 01,max =p d L 2 /m 1 =14.25 5.0 2 /10.695=33.3 knm M 1,min =p d L 2 /m B =-14.25 5.0 2 /9.025=-39.5 knm M 12,max =p d L 2 /m 2 =14.25 5.0 2 /17.425=20.4 knm Η επίλυση µε τον πίνακα είναι πολύ εύκολη, το πρόβληµα όµως είναι ότι δεν δίνει την αρνητική τιµή της ροπής του µεσαίου ανοίγµατος. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 159

Τόµος B Εικόνα 5.3.1-1: Τετραώροφος πλαισιακός φορέας τριών υποστυλωµάτων Σε περίπτωση υπογείου, οι σεισµικές δυνάµεις στην οροφή του είναι µηδενικές. Ωστόσο, η κατάσταση πλήρους πάκτωσης στη βάση των κολονών ισχύει µόνο για τις κολόνες που συντρέχουν στα περιµετρικά τοιχία του υπογείου. Αν στο πλαίσιο υπάρχουν και τοιχία, όπως φαίνεται στην επόµενη παράγραφο, οι δυσκαµψίες και οι κατανοµές των ροπών των τοιχίων διαφέρουν µεταξύ τους. Η διαφορά αυτή είναι τόσο πιο έντονη, όσο αυξάνει ο αριθµός των ορόφων. Η επίλυση του πλαισίου δίνει τις συνολικές µετακινήσεις των κόµβων και τις εντάσεις των κολονών (τέµνουσες δυνάµεις και ροπές κάµψης). Τα µεγέθη K, k και a είναι παράγωγα των προηγούµενων αποτελεσµάτων. Η φαινόµενη δυσκαµψία K i του ορόφου i προκύπτει από τη σχέση K i =V i /δ i, ενώ η φαινόµενη δυσκαµψία της κολόνας j του ορόφου i από τη σχέση K i,j =V i,j /δ i. 238 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Σεισµικές δυνάµεις ιάγραµµα τεµνουσών ιάγραµµα ροπών Ελαστική γραµµή Εικόνα 5.3.1-2: Πλαισιακός φορέας υποστυλωµάτων µε τριγωνική κατανοµή σεισµικών φορτίων (όπως αποδίδεται γραφικά µε το χέρι ) Παράδειγµα 5.3.1 (3 ος όροφος): υσκαµψίες κολονών: K 3,1 =9.6/0.823=12, K 3,2 =15.8/0.823=19, K 3,3 =9.6/0.823=12. υσκαµψία ορόφου: Κ 3 =(20+15)/0.823=43. Η ίδια τιµή προκύπτει αν την υπολογίσουµε και ως το άθροισµα των δυσκαµψιών των κολονών του ορόφου, δηλαδή K 3 = K 3,1 +K 3,2 + K 3,3 =43. Αν ληφθεί υπόψη η επιρροή των τεµνουσών δυνάµεων (Shear effect=on), οι µετατοπίσεις προκύπτουν ίσες µε δ 1 =0.85, δ 2 =1.05, δ 3 =0.84, δ 4 =0.50 mm, δηλαδή αµελητέα διαφορά. Λαµβάνοντας όµως υπόψη και την επιρροή των στερεών σωµάτων (Rigid body=on), οι µετατοπίσεις ισούνται µε δ 1 =0.80, δ 2 =0.97, δ 3 =0.77, δ 4 =0.45 mm, µικρή µεν, αλλά µετρήσιµη διαφορά µικρότερων µετατοπίσεων και ισχυρότερων δυσκαµψιών. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 239

Τόµος B Πλαισιακός φορέας µε 8 ορόφους µε τριγωνική σεισµική φόρτιση Παρατηρήσεις: Εικόνα 5.3.3-7: ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΣ φορέας τριών υποστυλωµάτων διατοµής 400/400 Εικόνα 5.3.3-8: Ισοδύνα- µος φορέας µίας αµφίπακτης κολόνας ανά όροφο Σε όλους τους φορείς, πλαισιακούς ή µικτούς, το άθροισµα των σεισµικών τεµνουσών των κολονών µιας στάθµης, ισούται µε το άθροισµα των σεισµικών δυνάµεων όλων των υπερκειµένων ορόφων. Ενδεικτικά, για την πρώτη στάθµη ισχύει 54.3+71.4+54.3=180, ενώ για την τελευταία 10.7+18.6+10.7=40. Το µεσαίο υποστύλωµα της πρώτης στάθµης αναλαµβάνει το 71.4/180=40% της συνολικής τέµνουσας, ενώ τα δύο ακραία της ίδιας στάθµης το 30% το καθένα. Η µεσαία κολόνα στην τελευταία στάθµη, αναλαµβάνει το 18.6/40=46%, ενώ καθένα από τα ακραία υποστυλώµατα το 27% αντίστοιχα. Τόσο για πλαισιακό όσο και για µικτό σύστηµα, σε κάθε υποστύλωµα ισχύει M o -M u =V h, όπου M o είναι η ροπή στην κεφαλή της κολόνας, M u η ροπή στον πόδα, V η τέµνουσα της κολόνας και h το ύψος της. Για παράδειγµα, στο µεσαίο υποστύλωµα του προηγούµενου φορέα ισχύει 98.7-(-115.6)=71.4 3.0 (214.3 214.2). 246 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Μικτός φορέας µε 8 ορόφους µε τριγωνική σεισµική φόρτιση Εικόνα 5.3.3-9: ΜΙΚΤΟΣ φορέας ενός τοιχίου διατοµής 2000/300 και δύο υποστυλωµάτων διατοµής 400/400 Εικόνα 5.3.3-10: Ισοδύναµος φορέας µίας αµφίπακτης κολόνας ανά όροφο Παρατηρήσεις: Στην πρώτη στάθµη ισχύει 10.6+158.9+10.6=180. Το µεσαίο τοιχίο αναλαµβάνει το 158.9/180=88% της συνολικής τέµνουσας, ενώ τα δύο ακραία υποστυλώµατα το 11% το καθένα. Στην τελευταία στάθµη ισχύει 13.8+12.5+13.8=40. Το τοιχίο αναλαµβάνει το 12.5/40=32% της συνολικής τέµνουσας, ενώ κάθε υποστύλωµα το 34% αντίστοιχα. Συ- µπεραίνουµε ότι στο ισόγειο το τοιχίο ανακουφίζει τα υποστυλώµατα, ενώ στον τελευταίο όροφο τα επιβαρύνει. Η σχέση M o -M u =V h, ισχύει τόσο για τα υποστυλώµατα, όσο και για τα τοιχία. Ενδεικτικά, για το τοιχίο της πρώτης στάθµης ισχύει -309.9 (-786.4)=158.9 3.0 (476.5 476.7), ενώ για το τοιχίο της τελευταίας στάθµης ισχύει 89.8-52.3=12.5 3.0 (37.5=37.5). Η µέγιστη µετατόπιση του µικτού φορέα προκύπτει ίση µε 8.08 mm, δηλαδή σχεδόν 3 φορές µικρότερη από την αντίστοιχη του πλαισιακού φορέα (22.51 mm). ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 247

Τόµος B Πλαισιακός φορέας µε 15 ορόφους µε τριγωνική σεισµική φόρτιση Εικόνα 5.3.3-11: ΠΛΑΙΣΙΑΚΟΣ φορέας τριών υποστυλωµάτων διατοµής 400/400 Εικόνα 5.3.3-12: Ισοδύναµος φορέας µίας αµφίπακτης κολόνας ανά όροφο Παρατήρηση: Τονίζεται ότι, σε όλα τα ανωτέρω παραδείγµατα, ιδιαίτερη αξία έχει η σύγκριση µεταξύ των δύο στατικών συστηµάτων και όχι τα απόλυτα µεγέθη, τα οποία άλλωστε προκύπτουν από συγκεκριµένες τιµές σεισµικών δυνάµεων. Οι τιµές αυτές έχουν επιλεγεί αυθαίρετα, πληρούν όµως τον κανόνα της τριγωνικής κατανοµής. 248 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση Μικτός φορέας µε 15 ορόφους µε τριγωνική σεισµική φόρτιση Παρατήρηση: Εικόνα 5.3.3-13: ΜΙΚΤΟΣ φορέας ενός τοιχίου διατοµής 2000/300 και δύο υποστυλωµάτων διατοµής 400/400 Εικόνα 5.3.3-14: Ισοδύνα- µος φορέας µίας αµφίπακτης κολόνας ανά όροφο Η µέγιστη µετατόπιση του πλαισιακού φορέα προκύπτει ίση µε 160 mm, δηλαδή σχεδόν 2 φορές µεγαλύτερη από αυτή του µικτού φορέα (75 mm). ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 249

Τόµος B H µεγαλύτερη µετακίνηση γίνεται στη 10 η στάθµη, στο υποστύλωµα c13 και είναι 70/10=7.0 φορές µεγαλύτερη αυτής του ισογείου, δηλαδή δ xx,10,13 =7.0 5.60=39.2 mm και δ xy,10,13 =7.0 0.97=6.8 mm. Στη συνέχεια εξετάζεται η συµπεριφορά του πραγµατικού φορέα µε ορθογωνική και τριγωνική κατανοµή των σεισµικών δυνάµεων. Στο συνοδευτικό λογισµικό, στη <µελέτη B_547-1>, στις Παραµέτρους, Οριζόντιες δυνάµεις, Σεισµικές δυνάµεις, δίνονται πρώτα οι δυνάµεις H x =200 σε όλες τις στάθµες για να εξετασθεί η ορθογωνική κατανοµή και µετά οι δυνάµεις H x =364.0 έως 36.4, για να εξετασθεί η τριγωνική κατανοµή. Απαραίτητα ενεργοποιείται στον ίδιο διάλογο, η επιλογή Εφαρµογή σεισµικών δυνάµεων =ΟΝ, ώστε να χρησιµοποιήσει στην ανάλυση αυτές τις σεισµικές δυνάµεις και όχι τις σεισµικές δυνάµεις που προκύπτουν από τη δυναµική φασµατική ανάλυση. Μετά ζητείται Επίλυση κτιρίου και τέλος Αποτελέσµατα ανάλυσης. Εικόνα 5.4.7.2-3: Ο πραγµατικός σκελετός του κτιρίου µε το wireframe προσοµοίωµα Εικόνα 5.4.7.2-4: Σεισµός µε τέµνουσα βάσης 2000 kn και ορθογωνική κατανοµή των σεισµικών δυνάµεων Λόγω διπλής συµµετρικής γεωµετρίας, σε κάθε διάφραγµα, το κέντρο ελαστικής στροφής βρίσκεται περίπου στο κέντρο του ορόφου και εποµένως η µετακίνηση του είναι περίπου ο µέσος όρος των µετακινήσεων των υποστυλωµάτων c4, c13. Για να είναι εφικτή η σύγκριση όλων των περιπτώσεων µεταξύ τους διαιρούµε τις µετακινήσεις µε τη µονάδα a=0.4635 mm. Στον επόµενο πίνακα αναγράφονται οι µετατοπίσεις των υποστυλωµάτων c4 και c13 καθώς και του κέντρου ελαστικής στροφής C T : 280 Ι Απόστολου Κωνσταντινίδη

Στατική και υναµική Ανάλυση 6.3 Σεισµικές εντάσεις 6.3.1 Σεισµικές επιταχύνσεις Από τη δυναµική ανάλυση του φορέα, για σεισµική διέγερση κατά X µε κάποια µέθοδο (π.χ. µε τη CQC που εφαρµόζει και το συνοδευτικό λογισµικό), προκύπτουν οι σεισµικές επιταχύνσεις a XX, a XY, a XZ 10 κάθε διαφράγµατος, µε σηµείο εφαρµογής το κέντρο µάζας τους. Για τους κόµβους που δεν ανήκουν σε κάποιο διάφραγµα, όπως οι κόµβοι της γωνιακής κολόνας του κτιρίου του παραδείγµατος, υπολογίζονται οι σεισµικές επιταχύνσεις µε σηµείο εφαρµογής τον κόµβο. Σεισµός κατά X Μάζες a/g H[kN] V[kN] 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 334.8 t 340.7 t 340.7 t 340.7 t 340.7 t 340.7 t 340.7 t 340.7 t 340.7 t 340.7 t 0.022 0.017 0.014 0.014 0.015 0.015 0.015 0.015 0.011 0.004 0.010 0.015 0.013 0.014 0.008 0.006 0.104 0.079 0.066 0.067 0.070 0.121 0.071 0.074 0.071 0.053 0.021 3000 0.004 0.003 0.003 0.003 35 72 51 58 44 48 47 48 28 50 20 51 15 52 10 50 10 36 9 15 348 269 224 230 238 240 251 243 180 73 72 130 178 227 276 327 379 429 465 480 348 618 842 1072 1310 1550 1801 2044 2224 2298 Εικόνα 6.3.1-1: εκαώροφο κτίριο µικτού συστήµατος. ιαφραγµατικοί κόµβοι και µη Μελέτη <B_547-2> Εικόνα 6.3.1-2: Σελίδα από την εκτύπωση του λογισµικού Κατανοµή σεισµικών Επιταχύνσεων- υνάµεων-τεµνουσών Οι σεισµικές δυνάµεις H XX, H XY και H XZ ενός κόµβου προκύπτουν από τον πολλαπλασιασµό των σεισµικών επιταχύνσεων του κόµβου επί τη µάζα που αντιστοιχεί σ αυτόν. Για σεισµό κατά X, οι σεισµικές επιταχύνσεις και δυνάµεις, δεν είναι κατ ανάγκη µόνο κατά X, αλλά γενικά έχουν συνιστώσα και κατά Y και κατά Z. Τα αντίστοιχα ισχύουν και για την διεύθυνση Y. 10 Σεισµική επιτάχυνση axx σηµαίνει επιτάχυνση κατά X που έχει προκύψει από σεισµική διέγερση κατά X, axy σηµαίνει επιτάχυνση κατά Y που έχει προκύψει από σεισµική διέγερση κατά X και axζ επιτάχυνση κατά Ζ που έχει προκύψει από σεισµική διέγερση κατά X. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ 311 Ι

Στατική και υναµική Ανάλυση Αποτελέσµατα της δυναµικής ανάλυσης του πλαισιακού φορέα Πάκτωση στη στάθµη του εδάφους (µελέτη <Β_641-1>) Εικόνα 6.4.1-2: 1 η ιδιοµορφή κατά X: T=0.975 sec, συµµετοχή 84% Εικόνα 6.4.1-3: 2 η ιδιοµορφή κατά X: T=0.321 sec, συµµετοχή 10% Εικόνα 6.4.1-4: 3 η ιδιοµορφή κατά X: T=0.189 sec, συµµετοχή 3.5% Εικόνα 6.4.1-5: 4 η ιδιοµορφή κατά X: T=0.134 sec, συµµετοχή 1.6% Οι 4 πρώτες ιδιοµορφές καλύπτουν το 99% της συνολικής µάζας. Η πρώτη ιδιοµορφή είναι η κυρίαρχη καθώς καλύπτει το 84% της συνολικής µάζας. Και οι 4 ιδιοµορφές είναι µεταφορικές και όχι στρεπτικές, όπως αναµενόταν άλλωστε από τη διπλή συµµετρία του φορέα. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ 317 Ι

Στατική και υναµική Ανάλυση 2 η περίπτωση: Θεµελίωση µε πεδιλοδοκούς (µελέτη <Β_641-2>) Εικόνα 6.4.1-11: Φορέας και προσοµοίωµα Πλαισιακό στατικό σύστηµα µε q=3.60 Εικόνα 6.4.1-12: Σεισµ µικές επιταχύνσεις-δυνάµεις-τέµνουσες 1 η κυρίαρχη ιδιοπερίοδος:t1=1.0122 sec, συµµετοχή 85% Ροπές κάµ µψης κολονών ισογείου Εικόνα 6.4.1-13: Μετακινήσεις φορέα για σεισµό κατά Εικόνα 6.4.1-14: Εικόνα 6.4..1-15: x Υποστύλωµα ισογείου Υποστύλωµα ισογείου δmax=25.7 mm 0c2 (400/400) 0c6 (500/500) Επειδή οι διατοµές των πεδιλοδοκών είναι ισχυρές σε σχέση µε µ τις διατοµ µές των υποστυλωµά-- 24.5). των, η µετακίνηση του φορέα είναι λίγο µ εγαλύτερη της πλήρους πάκτωσης (25.7 έναντι Το στατικό σύστηµ µα παραµένει ίδιο και έχει ληφθεί συντελεστής ς συµπεριφοράς q=3.60. Οι ροπές κάµψης των υποστυλωµάτων στο λαιµό της θεµελίωσης είναι περίπου ίδιες µε αυτές της πλήρους πάκτωσης. ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ 319 Ι

Στατική και υναµική Ανάλυση.1 Περιγραφή του θέµατος ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΑΦΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΠΟΛΥΩΡΟΦΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η αξιολόγηση της λειτουργίας των µονώροφων επίπεδων πλαισίων σε οριζόντιες σεισµικές δυνάµεις, αναπτύχθηκε στην παράγραφο 5.1, όπου η στατική µονάδα που εξεταζόταν ήταν η κολόνα (υποστύλωµα ή τοιχίο). Στο παράρτηµα Β εξετάστηκε η λειτουργία του πολυώροφου επίπεδου πλαισίου µε στατική µονάδα το ζύγωµα. Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η σύνθεση των πλαισίων στο χώρο, η οποία γίνεται µέσω των δοκών και των πλακών. Η στατική µονάδα αξιολόγησης των συζευγµένων χωρικών πλαισίων είναι το διάφραγµα. Για να είναι εύκολη η παρακολούθηση αυτού του κεφαλαίου είναι χρήσιµο να έχει µελετηθεί πρώτα η παράγραφος 5.4, το Παράρτηµα Β και το Παράρτηµα Γ. Εικόνα.1-1: Ο σκελετός του κτιρίου µε τις 6 στάθµες, µελέτη <B_d1> ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΤΙΡΙΑ Ι 395