i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,

Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο φυσικό µήκος α και σταθερές, µε <. Eκτρέπουµε το σφαιρίδιο απο την θέση ισορροπίας του ώστε το ελατή ριο σταθεράς να λάβει το φυσικό του µήκος και το αφήνουµε ελεύ θερο. Mε την προϋπόθεση ότι οι παραµορφώσεις των δύο ελατηρίων είναι ελαστικές, να βρείτε: i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο, ii) τον χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο για να επανέλθει πρώτη φορά στην θέση ισορροπίας του και iii) τον ρυθµό µεταβολής της ορµής του σφαιριδίου, την χρονική στιγµή t=0 που αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. ΛΥΣΗ: i) Στην θέση ισορροπίας του Ο το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του, που εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόντιου δαπέδου και τις δυνάµεις F 1(0), F 1(0) από τα τεντωµένα ελατήρια µε σταθερές, αντί στοιχα, οι οποίες είναι αντίθετες (σχ. 1). Εάν x 1, x είναι οι επιµηκύνσεις των δύο ελατηρίων από την φυσική τους κατάσταση, θα έχουµε την σχέση: x 1 = x x = x 1 / Σχήµα 1 Όµως τα δεδοµένα του προβλήµατος µας επιτρέπουν να γράψουµε την σχέση: x 1 + x + = 3 x 1 + x =

x 1 + x 1 / = x 1 ( + ) = x 1 = + οπότε x = + () Πριν εκτραπεί το σφαιρίδιο από την θέση ισορροπίας του Ο η µηχανική ενέρ γεια W αρχ του συστήµατος είναι ίση µε την δυναµική ενέργεια ελαστικής παρα µόρφωσης των δύο ελατηρίων, δηλαδή ισχύει: W "# = 1x 1 + x () W "# = $ & ) + ( + $ & ) + ( W "# = ( 1 + ) = ( + ) + Όταν το σφαιρίδιο βρίσκεται στην θέση εκτροπής του Α, όπου το ελατήριο σταθεράς έχει το φυσικό του µήκος, η µηχανική ενέργεια W "# του συστήµα τος είναι: W "# = ( 3$ - $ ) = $ (4) H ένεργεια W που πρέπει να προσφερθεί στο σύστηµα για την εκτροπή του σφαιριδίου, είναι ίση µε την διαφορά W "# -W αρχ, δηλαδή ισχύει:,(4) W = W "# - W $& W = - + W = " 1-1 $ = # + & + (5) ii) Θα εξετάσουµε το σφαιρίδιο αφ ότου αφεθεί ελεύθερο (t=0). Θεωρώντας αυ τό σε µια τυχαία θέση M, όπου η αποµάκρυνσή του σε σχέση µε την θέση ισορ Σχήµα ροπίας του O είναι x παρατηρούµε ότι στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του που εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου

οριζόντιου δαπέδου και τις δυνάµεις F 1, F από τα τεντωµένα ελατήρια µε σταθερές, αντίστοιχα (σχ. ) H συνισταµένη F " των δύο αυτών δυνάµεων έχει αλγεβρική τιµή που δίνεται από την σχέση: F " = F 1 - F = ( x 1 - x) - ( x + x) F " = x 1 - x - x - x F " = -( + )x = -Dx (6) µε D= +. H (6) εγγυάται ότι, το σφαιρίδιο εκτελεί πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο απλή αρµονική ταλάντωση,, µε σταθερά ταλάντωσης D= +, οπότε η περίοδος T της ταλάντωσης αυτής θα είναι: T = m D = m + Ο χρόνος επανόδου t * του σφαιριδίου στην θέση ισορροπίας του είναι Τ/4, δηλαδή ισχύει: t * = T 4 = m + (7) iii) Tην στιγµή t=0 η συνισταµένη δύναµη επί του σφαιριδίου είναι η δύναµη F A που δέχεται από το τεντωµένο ελατήριο σταθεράς, διότι το άλλο ελατήριο βρίσκεται στην φυσική του κατάσταση (σχ. 1). Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του (νόµος µεταβολής της ορµής) ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σφαιριδίου θα είναι ίσος µε F A, δηλαδή θα ισχύει: d P $ # " dt & t= 0 = F A d P $ # " dt & t= 0 = - x 0 dp$ # & " dt t= 0 = - όπου ( dp/dt) t= 0 η αλγεβρική τιµή του ζητούµενου ρυθµού µεταβολής της ορµής του σφαιριδίου. P.M. fysios Ένα µικρό σώµα µάζας m, στερεώνεται στις άκρες δύο όµοιων κατακόρυφων ελατηρίων σταθεράς, όπως φαίνεται στο σχήµα. Aρχικά το σώµα κρατείται στην θέση εκείνη, όπου τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος και στην συνέχεια αφήνεται ελεύθερο. i) Nα δείξετε ότι, το σώµα θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε το πλάτος και την περίοδο.

ii) Αν καθώς το σώµα ταλαντεύεται σπάσει το κάτω ελατήριο, όταν το σώµα διέρχεται από την θέση ισορροπίας του κινούµενο προς τα πάνω, να βρεθεί το πλάτος της νέας ταλάντωσης του σώµατος και ο χρόνος που µεσολαβεί από την στιγµή που σπάει το ελατήριο, µέχρις ότου η ταχύτητά του µηδενιστεί για πρώτη φορά. Δίνεται η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Έστω O η θέση ισορροπίας του σώµατος. Στην θέση αυτή το σώµα δέχεται το βάρος του w, την δύναµη F 1(0) από το τεντωµένο ελατήριο (επάνω ελατήριο) και την δύναµη F (0) από το συµπιεσµένο ελατήριο (κάτω ελατήριο). Για τα µέτρα των δυνάµεων αυτών ισχύει η σχέση: F 1(0) + F (0) - w = 0 x 0 + x 0 = mg x 0 = mg/ όπου x 0 η απόσταση του O από την θέση, όπου το σφαιρίδιο αφέθηκε ελεύθερο και στην οποία θέση τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος. Στην συνέ Σχήµα 3 χεια εξετάζουµε το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση M, όπου η αποµάκρυνση του ως προς το O είναι x. Στην θέση αυτή το σφαιρίδιο δέχεται το βάρος του w και τις δυνάµεις F 1, F από τα παραµορφωµένα ελατήρια, οι οποίες είναι ίσες µεταξύ τους και αντίρροπες προς το βάρος w. H συνισταµένη F " όλων αυτών των δυνάµεων είναι αντίρροπη προς την αποµάκρυνσης x, δηλαδή αποτελεί δύναµη επαναφοράς του σώµατος στην θέση ισορροπίας του O, η δε αλγεβρική της τιµή είναι: F " = F 1 + F - w = (x 0 - x) + (x 0 - x) - w F " = x 0 - x - mg F " = -x = -Dx ()

µε D=. H σχέση () εγγυάται ότι, το σώµα εκτελεί κατακόρυφη αρµονική ταλάντωση µε πλάτος Α=x 0 =mg/ και σταθερά ταλάντωσης D=, η δε περίο δός της T υπολογίζεται από την σχέση: T = m D = m ii) Όταν σπάσει το κάτω ελατήριο την στιγµή που το σώµα διέρχεται από την θέση ισορροπίας του O, το σώµα θα εξακολουθήσει να εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση µε νέα σταθερά ταλάντωσης ίση προς, µε νέο πλάτος ταλάντωσης Α και µε νέο κέντρο ταλάντωσης O, που βρίσκεται κάτω από την θέση O σε απόσταση (mg/-mg/) από αυτήν. Έτσι αν αναφερθούµε στη νέα ταλάντωση που εκτελεί το σώµα, τότε αυτό αµέσως µετά το σπάσιµο του κάτω ελατηρίου έχει δυναµική ενέργεια ταλάντωσης: U = # " mg - mg $ & = mg$ # & " = m g 8 (4) και κινητική ενέργεια ταλάντωσης: Σχήµα 4 K = mv 0 = m A = A = m g 4 (5) Όµως, εάν E ολ είναι η ολική ενέργεια της νέας του ταλάντωσης θα ισχύει, σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της ολικής ενέργειας, η σχέση: (4),(5) E ολ = Κ + U A = m g 8 + m g 4 A = 3m g A = mg 3 4 (6) Aς λάβουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που σπάει το κάτω ελα τήριο και ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση ταλάντωσης του σώµα

τος την προς τα πάνω. Tότε την στιγµή t=0 η αποµάκρυνση του σώµατος, ως προς το κέντρο ταλάντωσής του O είναι x Ο =mg/ και η ταχύτητα του v O = v 0, δηλαδή η αλγεβρική της τιµή είναι v 0. Έτσι η ταλάντωση του σώµατος θα πα ρουσιάζει αρχική φάση φ 0 και οι εξισώσεις της αποµάκρυνσής του x και της ταχύτητάς του v θα είναι της µορφής: (# t + $ ) x = A "µ # t + $ v = A # & (* ) + * t= 0 mg/ = A "µ# v 0 = A $ &# ( ) * mg/ = ( mg 3/)µ" # v 0 = mg 3/ $ &" ( * ) + * µ" = 3/ 3 &( #$" > 0 )( δηλαδή η γωνία φ είναι γνωστή. H ταχύτητα του σώµατος θα µηδενιστεί για πρώτη φορά αφ ότου έσπασε το κάτω ελατήριο, την χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει: 0 = A "#$ " t * + & "#( $ t * + & ) = 0 " t * + # = $ t * = / - " $ # = & - " ( * ) m P.M. fysios Ένα σφαιρίδιο µάζας m, στερεώνεται ανάµεσα σε δύο ελατήρια που έχουν σταθερές και. Oι ελεύθερες άκρες των δύο ελατηρίων στερεώνονται σε δύο ακλόνητα σηµεία, ώστε τα ελατή ρια να είναι κατακόρυφα και το σφαιρίδιο κρατείται αρχικά στην θέση εκείνη, όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος. Στην συνέχεια το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο και αφού εκτελέσει φθίνου σα ταλάντωση τελικά ισορροπεί. i) Nα υπολογίσετε την θερµότητα που ελευθερώθηκε λόγω της τριβής του σφαιριδίου µε τον ατµοσφαιρικό αέρα. ii) Nα βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας του σφαιριδίου την στιγµή t=0, που αφήνεται ελέυθερο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύ τητας. ΛΥΣΗ: i) Στην τελική θέση ισορροπίας Ο του σφαιριδίου αυτό δέχεται το βάρος του w, την δύναµη F 1 από το πάνω ελατήριο, που είναι τεντωµένο και την δύναµη F από το κάτω ελατήριο, που είναι συµπιεσµένο. Λόγω της ισορροπίας του σφαιριδίου ισχύει η σχέση: F 1 + F - w = 0 x 0 + x 0 = mg x 0 = mg/ ( + )

όπου x 0 η επιµήκυνση του πάνω ελατηρίου ή η συσπείρωση του κάτω ελατη ρίου. Η αρχική µηχανική ενέργεια W αρχ του συστήµατος των δύο ελατηρίων και του σφαιριδίου είναι: W "# = U "# $ + K "# "# $ + U & W "# = mgx 0 + 0 + 0 W "# = m g /( + ) () Σχήµα 5 Η τελική µηχανική ενέργεια W τελ του συστήµατος είναι: W "# = U "# $ + K "# "# $ + U "# W "# = 0 + 0 + x 0 / + x 0 / ( W "# = + ) m g ( + ) W = m g "# + H θερµότητα Q που ελευθερώνεται λόγω τριβής του σφαιριδίου µε τον ατµοσ φαιρικό αέρα είναι ίση µε την ελάττωση της µηχανικής ενέργειας του συστήµα τος, δηλαδή ισχύει: (), Q = W "# - W $& Q = m g + - m g ( + ) = m g + (4) ii) O ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας του σφαιριδίου είναι κάθε στιγµή η επιτάχυνσή του. Όµως την στιγµή t=0 που το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο η µοναδική δύναµη που δέχεται είναι το βάρος του w, διότι τα ελατήρια την στιγ µή αυτή έχουν το φυσικό τους µήκος και δεν ασκούν δύναµη στο σφαιρίδιο, αλλά και η τριβή (αντίσταση) από τον αέρα είναι µηδενική, διότι η ταχύτητα του σφαιριδίου είναι µηδενική. Άρα η επιτάχυνση του σφαιριδίου την στιγµή t=0 είναι, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, ίση µε g. P.M. fysios

Ένας βάτραχος µάζας m, είναι ακίνητος στο κέν τρο ενός δίσκου µάζας M (M>m), o oποίος είναι στερεωµένος στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται στο έδαφος. Kάποια στιγµή ο βάτραχος εκτινάσσεται κατακόρυφα εγκαταλείποντας τον δίσκο, ο οποίος αρχί ζει να ταλαντεύεται. Eάν στην διάρκεια της ταλάντωσης του δίσκου το ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος, όταν ο δίσκος βρίσκεται στην ανώτατη θέση του, να βρεθούν: i) η ταχύτητα εκτόξευσης του βατράχου, ii) η µέγιστη κινητική ενέργεια του δίσκου και iii) η επιτάχυνση του δίσκου αµέσως µετά την εκτόξευση του βάτρα χου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Όταν ο βάτραχος εγκαταλείψει τον δίσκο, ο δίσκος θα εκτελεί κατα κόρυφη αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης Ο, που βρίσκεται υψηλό τερα της θέσεως ισορροπίας Ο του συστήµατος δίσκος-βάτραχος κατά απόσταση α, για την οποία ισχύει η σχέση: ( = m + M )g - Mg = mg H σταθερά ταλάντωσης του δίσκου είναι ίση µε, το δε πλάτος του Α είναι ίσο µε mg/, διότι σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος όταν ο δίσκος βρίσκε ται στην ανώτατη θέση του το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Εξάλλου κα Σχήµα 6 τά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα που διαρκεί η εκτόξευση του βάτραχου το σύστηµα βάτραχος-δίσκος είναι µηχανικά µονωµένο, που σηµαίνει ότι η ορµή του συστήµατος λίγο πριν την εκτόξευση του βάτραχου είναι ίση µε την ορµή του αµέσως µετά την εκτόξευση, δηλαδή ισχύει η σχέση:

0 = M v + m v B M v = -m v B Mv = mv B v = mv B / M () όπου v, v B οι ταχύτητες του δίσκου και του βάτραχου αντιστοίχως, αµέσως µετά την εκτόξευσή του. Όµως ο δίσκος παρουσιάζει την ταχύτητα v σε από σταση α από την θέση ισορροπίας του Ο και σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρη σης της ενέργειας ταλάντωσής του, θα έχουµε την σχέση: A = A + Mv ( A - ) ( M - m )g v B = g m = Mv " = m v B M M( M - m ) A = + Mv ",() M g - m g $ # " & = Mm v B M ( v B = Mg M - m ) m ii) O δίσκος παρουσιάζει την µέγιστη κινήτική του ενέργεια στην θέση ισορ ροπίας του Ο, όπου η ταχύτητά του παρουσιάζει το µέγιστο µέτρο της v max =Aω, οπότε θα έχουµε: E max = MA ( / M) = M Mg/ E max = M g (4) iii) Aµέσως µετά την εκτόξευση του βάτραχου ο δίσκος δέχεται το βάρος του M g και την δύναµη F O από το συµπιεσµένο ελατήριο. Εάν a O είναι η επιτά χυνση του δίσκου κατά την έναρξή της ταλάντωσής του, θα έχουµε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, την σχέση: F O - Mg = Ma O ( m + M)g - Mg = Ma O mg = Ma O a O = mg/m όπου a Ο η αλγεβρική τιµή της ζητούµενης επιτάχυνσης a O. P.M. fysios Ένα σφαιρίδιο µάζας m, στερεώνεται ανάµεσα σε δύο ελατήρια που έχουν σταθερές και. Oι ελεύθερες άκρες των δύο ελατηρίων, στερεώνονται σε δύο ακλόνητα σηµεία, ώστε τα ελατή ρια να είναι κατακόρυφα και το σφαιρίδιο κρατείται αρχικά στην

θέση εκείνη, όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος και στην συνέχεια αφήνεται ελεύθερο. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t την βαρυτική δυναµική ενέργεια του σφαιριδίου, ως προς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από την αρχική του θέση. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο t την δυναµική ενέργει α ελαστικής παραµόρφωσης των δύο ελατηρίων. Δίνεται η επιτάχυν ση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Στην θέση ισορροπίας Ο του σφαιριδίου το πάνω ελατήριο σταθεράς είναι τεντωµένο, ενώ το κάτω ελατήριο σταθεράς είναι συµπιεσµένο και µάλιστα οι παραµορφώσεις τους έχουν το ίδιο µήκος. Όµως το σφαιρίδιο στην θέση Ο ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του w και των δυνάµεων F 1(0), F (0) από τα παραµορφωµένα ελατήρια, οπότε θα ισχύει η σχέση: w = F 1(0) + F (0) mg = x 0 + x 0 x 0 = mg /( + ) Σχήµα 7 όπου x 0 το κοινό µήκος των παραµορφώσεων των δύο ελατηρίων. Όταν το σφαι ρίδιο αφεθεί ελευθερο στην θέση Α, όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους µή κος, θα εκτελέσει κατακόρυφη αρµονική ταλάντωση. πλάτους x 0, µε σταθερά ταλάντωσης + και κέντρο ταλάντωσης το Ο (βλέπε ασκηση ). Θεωρώντας ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα πάνω, η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου θα έχει την µορφή: x = x 0 µ ("t + #/) mg $ x = # & ()*t () " +

µε = + m Η βαρυτική δυναµική ενέργεια U B του σφαιριδίου ως προς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Α δίνεται κάθε στιγµή από την σχέση:,() U B = mg( x - x 0 ) + mg $ mg. U B = mg- # & ()*t - 0," + + / U B = m g ("#$t - 1) (4) + ii) H ολική µηχανική ενέργεια του συστήµατος των δύο ελατηρίων και του σφαιριδίου διατηρείται σταθερή στην διάρκεια της ταλάντωσης, είναι δε ίση µε την µηχανική του ενέργεια την στιγµή t=0, η οποία όµως είναι ίση µε µηδέν, διότι την στιγµή αυτή τα δύο ελατήρια έχουν µηδενική δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµορφώσεως, το δε σφαιρίδιο έχει µηδενική κινητική και µηδενι κή βαρυτική ενέργεια. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε την σχέση: U B + U "#$ + mv / = 0 U "#$ = -U B - mv / (5) Όµως για την ταχύτητα του σφαιριδίου (αλγεβρική τιµή) ισχύει η σχέση:, v = x 0 "#$(t + /) mg $ v = -# & " + + m µ(t v = -g m + µ"t (6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4), (5), και (6) παίρνουµε: U "#$ = - m g + &(t - 1 *, + - m -g m - )µ(t + /. U "#$ = - m g (&(t - 1) - + m g ( + ) )µ (t U "#$ = m g 1 - &(t - +)µ (t / + P.M. fysios Σφαιρίδιο Σ µάζας m είναι στερεωµένο στις άκρες δύο όµοιων ιδανικών ελατηρίων σταθεράς, των οποίων οι άλλες άκρες είναι ακλόνηες στα σηµεία Α και Β λείου οριζόντιου δαπέδου,

όπως φαίνεται στο σχήµα (8). Αρχικά το σφαιρίδιο ισορροπεί στο µέσον Ο της ευθείας ΑΒ εφαπτόµενο του δαπέδου, τα δε ελατήρια έχουν το φυσικό τους µήκος α. Eκτρέπουµε το σφαιρίδιο επί της µεσο κάθετης της ΑΒ σε απόσταση α από το Ο, φροντίζοντας να διατηρηθεί τη επαφή του µε το δάπεδο και το αφήνουµε ελεύθερο. i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του σφαιριδίου κατά την έναρξη της κινή σεώς του. ii) Την στιγµή που το σφαιρίδιο φθάνει στο Ο συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά µε δεύτερο σφαιρίδιο Σ µάζας m και τότε το όλο σύ στηµα µετά την κρούση ισορροπεί. Να βρεθεί η ταχύτητα του σφαι ριδίου Σ. ΛΥΣΗ: i) Tην στιγµή t=0 που το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο δέχεται το βά ρος του που εξουδετερώνεται από την κάθετη αντίδραση του λείου οριζόντιου δαπέδου και τις δυνάµεις F 1, F από τα τεντωµένα ελατήρια, των οποίων οι συνιστώσες F 1x, F x κατα την κάθετη προς την ΟΣ διεύθυνση αλληλοαναιρούν ται ως αντίθετες, ενώ οι συνιστώσες τους F 1y, F y κατά την διεύθυνση ΣΟ είναι Σχήµα 8 οµόρροπές και δίνουν συνισταµένη δύναµη, που κατευθύνει το σφαιρίδιο προς την θέση ισορροπίας του Ο. Εάν a 0 είναι η επιτάχυνση του σφαιριδίου την χρονική στιγµή t=0, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση: F 1y + F y = ma 0 F 1 "#$ + F "#$ = ma 0 F 1 "#( $ / 4) + F ( $ / 4) = ma 0 ( / ) ( F 1 + F ) = ma 0 Όµως για τα µέτρα των F 1, F έχουµε: F 1 = F = ( A - " ) = (" - " ) = " ( - 1)

οπότε η σχέση γράφεται: # " = ma 0 a 0 = ( - ) m $ & - 1 () ii) Eπειδή µετα την πλαστική κρούση των σφαιριδίων στην θέση Ο το όλο σύστηµα ισορροπεί, η ταχύτητα του δηµιουργούµενου συσσωµατώµατος είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι κατά την στιγµή της κρούσεως οι ταχύτητες v max, v 0 των σφαιριδίων Σ, Σ αντίστοιχα είναι αντίρροπες (σχ. 8), σύµφωνα δε µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει η σχέση: mv max - m v 0 = 0 v 0 = mv max / m Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα σφαιρίδιο-ελατήρια το θεώρηµα διατήρη σης της µηχανικής ενέργειας για την κίνησή του από την αρχική του θέση στην θέση ισορροπίας του, παίρνουµε: mv max / = U " mv max / = ( - ) / v max = ( m - ) v max = ( - 1) m (4) Συνδυάζοντας την µε την (4) έχουµε: v 0 = ( - 1) m m " m (5) P.M. fysios To σώµα του σχήµατος (9) έχει µάζα m και µπορεί να κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, στερεωµένο στην άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται επί του σώµατος σταθερή οριζόντια δύναµη F µε αποτέλεσµα το ελατήριο να επιµηκύνεται, η οποία δύναµη αποσύρεται όταν το σώµα αποκτήσει την µέγιστη ταχύ τητά του. i) Λάµβάνοντας ως αρχή του χρόνου την στιγµή που παύει να ενεργεί η F και ως θετική φορά την φορά της F, να βρείτε την εξίσωση κίνη σης του σώµατος. ii) Κατά ποια χρονική στιγµή το σώµα θα επανέλθει για πρώτη φορά στην θέση, όπου έπαψε να ενεργεί η F ; ΛΥΣΗ: i) Σε πρώτο στάδιο το σώµα δέχεται το βάρος του, που εξουδετερώνε ται από την κατακόρυφη δύναµη επαφής του λείου οριζόντιου δαπέδου, την

δύναµη F και την δύναµη F " από το τεντωµένο ελατήριο. Το σώµα αποκτά την µέγιστη ταχύτητά του v max την στιγµή που µηδενίζεται η επιτάχυνσή του, δηλαδή την στιγµή που η δύναµη από το ελατήριο γίνεται αντίθετη της F. Την στιγµή αυτή το έλατήριο θα είνει τεντωµένο κατά x * και θα ισχύει: F * = F x * = F x * = F/ Σχήµα 9 Eφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο που ενεργεί η F, παίρνουµε την σχέση: mv max / - 0 = W F + W F " mv max / - 0 = Fx * - x * / mv max = Fx * - x * mv max = F / - F / v max = F / m v max = F/ m () Aπό την στιγµή που παύει να ενεργεί η F (t=0) το σώµα εκτελεί απλή αρµονι κή ταλάντωση µε σταθερά ταλάντωσης και αρχική φάση φ 0, οπότε η εξίσω ση της αποµάκρυνσής του και της ταχύτητάς του θα είναι της µορφής: x = Aµ "t + # v = A"$& "t + # ) ( *) όπου Α το πλάτος ταλάντωσης και ω η γωνιακή της συχνότητα, ίση µε /m. Όµως την χρονική στιγµή t=0 είναι x=x * και v=v max, οπότε oι σχέσεις δί νουν:,() x * = Aµ" F/ = Aµ" & ( v max = A#$&" ) F/ m = A /m#$" ( F = Aµ" F = A#$" & ( µ" = #$" = "/4

Άρα θα είναι: F = Aµ ("/4) = A / A = F/ H ζητούµενη λοιπόν εξίσωση κινήσεως του σώµατος έχει την µορφή: x = F µ # m t + " & $ 4 ( (4) ii) Oι χρονικές στιγµές t * που το σώµα βρίσεται στην θέση x=x * όπου έπαψε να ενεργεί η δύναµη F είναι ρίζες της εξίσωσης: x * = F µ # m t * + " & $ 4 ( F = F µ # m t * + " & $ 4 ( # µ $ m t * + " & 4 ( = # µ $ m t * + " & 4 ( = µ # " & $ 4 ( /mt * + / 4 = " + / 4 # $ /mt * + / 4 = " + - / 4 & /mt * = " # $ /mt * = " + " / & (5) όπου ρ ακέραιος. Είναι προφανές ότι το σώµα θα επανέλθει στην θέση x=x * για πρώτη φορά αφότου έπαψε να ενεργεί F, όταν ο χρόνος t * γίνει ελάχιστος. Ο ελάχιστος αυτός ο χρόνος θα προκύψει από την δευτερη εκ των σχέσων (5) θέ τοντας ρ=0, οπότε θα έχουµε: m t min = t min = m P.M. fysios