Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.

Transcript

1 Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε την στιγµή που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη να αποκτήσει την µέγιστή δυνατή γωνιακή επιτάχυνση και να βρεθεί η επιτάχυνση αυτή. ii) Nα βρεθεί η δύναµη που δέχεται η ράβδος από την ακίδα την στιγ µή t= που αφήνεται ελεύθερη. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και η ροπή αδράνειας I C =ml /1 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος σ αυτή. ΛΥΣΗ: i) Εάν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου την στιγµή t= που αφήνεται ελευθερη, τότε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνη σης θα ισχύει η σχέση: " (A) = I A ' Q. + mgx = I A ' mgx = I A ' (1) όπου Q η δύναµη που δέχεται η ράβδος από την ακίδα και m g το βάρος της. Η ροπή αδράνειας Ι Α της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από την ακίδα και είναι κάθετος στην ράβδο δίνεται από την σχέση (θεώρηµα Steiner): I A = I C + mx = ml /1 + mx οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: Σχήµα 1 mgx = (ml /1 + mx )' 1gx = (L + 1x )' '= 1gx L + 1x = 1g L /x + 1x ()

2 Aπό την () προκύπτει ότι το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης γίνεται µέγιστο όταν η ποσότητα L /x+1x γίνει ελάχιστη. Όµως το γινόµενο (L /x)(1x) είναι σταθερό και ίσο µε 1L, οπότε το άθροισµα γίνεται ελάχιστο όταν συµβαίνει: L /x = 1x L /1 = x x = L/ 1 = 3L/6 < L/ (3) Άρα η µέγιστη τιµή του µέτρου της ' είναι: ' max = 1g 4 3L/6 = 3g 3L ' max = 3g L (4) ii) Tην στιγµή t= που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη το κέντρο µάζας της C έχει µηδενική ταχύτητα και εποµένως µηδενική κεντροµόλο επιτάχυνση, που σηµαίνει ότι η δύναµη Q από την ακίδα είναι κάθετη στην ράβδο και µαζί µε το βάρος της m g προσδίνει στο κέντρο µάζας επιτρόχιο επιτάχυνση a, για την οποία ο δεύτερος νοµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει την σχέση: mg - Q = ma Q = mg - ma = m(g - a) (3),(4) Q = mg - ma = m(g - ' max x) Q = m g - " 3g L 3L 6 Q = m g - g " = mg P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () η τροχαλία εφάπτεται κατακόρυφου τοίχου, µε τον οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n=1/. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα, µέσω του οποίου µπορούµε να ασκήσου µε στην τροχαλία δύναµη F, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ=π/3. Να εξετάσετε αν µε κατάλληλη επιλογή του µέτρου της δύναµης F, είναι δυνατή η κύλιση χωρίς ολίσ θηση της τροχαλίας επί του τοίχου, στην διάρκεια της οποίας το κέντρο µάζας της να έχει επιτάχυνση - g /. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr / της τροχαλίας, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην επιφάνειά της, όπου m η µάζα της και R η ακτίνα της. ΛΥΣΗ: Ας δεχθούµε ότι η τροχαλία κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του κατακόρυφου τοίχου και ότι το κέντρο µάζας της C ανέρχεται µε επιτάχυνση - g /. Η τροχαλία δέχεται το βάρος της m g, την δύναµη F που αναλύεται στην κατακόρυφη συνιστώσα F y και στην οριζόντια συνιστώσα F x και τέλος την δύναµη επαφής από τον τοίχο, που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και την στατική τριβή T. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

3 F y + T - mg = mg/ F" + T = 3mg/ (1) Εξάλλου, εάν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας θα ισχύει σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης η σχέση: FR - TR = I C ' (F - T)R = mr '/ F - T = mr'/ T = F - mr'/ () Σχήµα Όµως επειδή η τροχαλία κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύει ω R=g/, οπότε η σχέση () γράφεται: T = F - mg/4 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: F" + F - mg/4 = 3mg/ F(1 + ") = 7mg/4 F = 7mg/4(1 + ") (4) Mε βάση την (4) η (3) γράφεται: T = 7mg 4(1 + ") - mg 7mg - mg(1 + ") = 4 4(1 + ") T = mg(6 - ") 4(1 + ") (5) Επειδή η τριβή είναι στατική πρέπει να ισχύει: (5) T nn T nf x T nf"µ

4 mg(6 - ") 4(1 + ") nfµ (4) mg(6 - ") 4(1 + ") 7nmgµ 4(1 + ") 6 - " 7nµ n 6 - " 7µ n 6-1/ 7 3 / n n Όµως δίνεται n=1/, που σηµαίνει ότι δεν υπάρχει τιµή για το µέτρο της δύνα µης F, ώστε να προκαλείται κύλιση χωρίς ολίσθηση της τροχαλίας µε επιτά χυνση - g / του κέντρου µάζας της. P.M. fysikos Στην οροφή ενός κιβωτίου µάζας M, έχει στερεω θεί αβαρές νήµα µήκους L, στο άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σφαι ρίδιο µάζας m. Tο κιβώτιο βρίσκεται ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, το δε σφαιρίδιο είναι επίσης ακίνητο µε το νήµα κατακόρυ φο. Kάποια στιγµή ασκείται στο σφαιρίδιο ορίζοντια δύναµη βραχείας διάρκειας, που του προσδίνει οριζόντια ταχύτητα v στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Να βρεθούν: i) H µέγιστη απόκλιση του νήµατος από την κατακόρυφη διεύθυνση, ii) η µέγιστη επιτρεπόµενη τιµή του µέτρου της ταχύτητας v και iii) η ταχύτητα του σφαιρίδιου όταν το νήµα ξαναγίνει κατακόρυ φο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Την στιγµή t * που η εκτροπή του νήµατος από την κατακόρυφη διεύ θυνση έχει λάβει την µεγαλύτερη τιµή της φ max το σφαιρίδιο έχει µηδενική σχετική ταχύτητα ως προς το κιβώτιο, που σηµαίνει ότι η ταχύτητά του στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι ίδια µε την αντίστοιχη ταχύτητα του κιβωτίου. Εξάλλου το σύστηµα κιβώτιο-σφαιρίδιο είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόντια διεύθυνση, διότι δεν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις κατά την διεύθυνση αυτή (το βάρος του κιβωτίου και του σφαιριδίου, καθώς και η αντίδραση του δαπέδου αποτελούν κατακόρυφες εξωτερικές δυνάµεις για το σύστηµα). Άρα η ορµή του συστήµατος διατηρείται σταθερή κατά την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv = mv * + MV * V * = mv m + M όπου V * η κοινή ταχύτητα του σφαιριδίου και του κιβωτίου την χρονική στιγµή t *. Eφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα σφαιρίδιο-κιβώτιο τo θεώ ρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας παίρνουµε την σχέση: (1)

5 Mgh K + + mv = mv * + MV * + Mgh K + mg(l - L" max ) όπου h K η απόσταση του κέντρου µάζας του κιβωτίου από το επίπεδο αναφο ράς της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας. Η παραπάνω σχέση µε βάση την (1) γράφεται: Σχήµα 3 mv mv = ( m + M) " m + M + mgl(1 - '()* max ) v = mv m + M + 4gLµ Mv m + M = 4gLµ " max " max ( v - mv ' m + M = 4gLµ " max " ( µ max ( = v m + M ( ' ' 4gL M ' ( ' µ " max ( = v ' m + M gml () ii) H γωνία φ max είναι αποδεκτή εφ όσον ισχύει: µ " () max ( ) 1 ' v m + M gml 1 v gml m + M (3) Από την (3) προκύπτει ότι η µεγαλύτερη τιµή που επιτρέπεται να λάβει το µέτρο της ταχύτητας v είναι: v (max) = gml m + M iii) Ας δεχθούµε ότι την στιγµή που το νήµα ξαναγίνεται κατακόρυφο το µεν σφαιρίδιο έχει ως προς το ακίνητο έδαφος ταχύτητα v και το κιβώτιο ταχύτητα V. Τα διανύσµατα των ταχυτήτων αυτών είναι οριζόντια και οι αλγεβρικές τους τιµές, συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ικανοποιούν την σχέση:

6 mv = mv + MV m(v - v) = MV (4) Tην ίδια στιγµή το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µας επιτ ρέπει να γράψουµε την σχέση: mv = mv + MV mv - mv = MV m(v + v)(v - v) = MV (5) Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: v + v = V η οποία συνδυαζόµενη µε (4) δίνει: m(v - v) = M(v + v) (m - M)v = (M + m)v v = m - M v " M + m (6) Aπό την (6) προκύπτει ότι η ταχύτητα v είναι οµόροπη της v, όταν m>m και αντίρροπή της v, όταν m<m. Eάν m=m, τότε v = δηλαδη το σφαιρίδιο στιγ µιαία ακινητοποιείται στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Παρατήρηση: Tα έργα των αντίθετων δυνάµεων T και T ', που εξασκεί το νήµα στο κιβώτιο και στο σφαιρίδιο αντιστοίχως, έχουν άθροισµα ίσο µε µηδέν. Πράγµατι, εάν θεωρήσουµε µια στοιχειώδη µετατόπιση του συστήµατος, κατά την εξέλιξη της οποίας το σφαιρίδιο µετατοπίζεται κατά ds και το κιβώτιο κατά ds ', τότε τα αντίστοιχα έργα των T και T ' θα είναι ( T d S ) και ( T 'd S '), οπότε το συνολικό τους έργο θα είναι: dw = ( T d S ) + ( T 'd S ') = ( T d S ) + (- T d S ') = T (d S - d S ') Oµως το διάνυσµα d S - d S ' αποτελεί την στοιχειώδη σχετική µετατόπιση του σφαιριδίου ως προς το κιβώτιο, η οποία όµως είναι κάθετη στην T, οπό τε το εσωτερικό γινόµενο T (d S - d S ') είναι µηδενικό, δηλαδή ισχύει dw=. P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα µάζας m, έχει δεθεί στο ένα άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται στο οριζόντιο έδαφος. Θέτουµε το σώµα σε κατακό ρυφη ταλάντωση πλάτους x =mg/k κάποια δε στιγµή που αυτό βρίσ

7 κεται στην ανώτατη θέση του Α, διασπάται λόγω εσωτερικής έκρηξης σε δύο θραύσµατα Θ 1 και Θ της ίδιας µάζας, εκ των οποίων το Θ 1 κινείται κατακόρυφα προς το πάνω, ενώ το άλλο διατηρεί την σύν δεσή του µε το ελατήριο και εκτελεί ταλάντωση πλάτους x. i) Nα βρεθεί η ενέργεια που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη. ii) Nα βρεθεί η απόσταση των δύο θραυσµάτων την στιγµή που το Θ 1 βρίσκεται στην ανώτατη θέση του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύ τητας και η προσεγγιστική σχέση 3"/. ΛΥΣΗ: Εάν v 1, v είναι οι ταχύτητες των µαζών m 1 =m/ και m = m/ που προκύπτουν αµέσως µετά την εσωτερική έκρηξη του σώµατος µάζας m θα ισχύει, συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής κατά τον πολύ µικρό χρόνο που διαρκεί η έκρηξη, η σχέση: = m v 1 + m v v 1 = - v (1) Σχήµα 4 δηλαδή οι ταχύτητες v 1, v είναι αντίθετες. To σώµα που παραµένει συν δεδεµένο µε το ελατήριο εκτελεί κατακόρυφη απλή αρµονική τα λάν τωση µε σταθερά επαναφοράς k και κέντρο ταλάντωσης Ο που βρίσκεται υψηλότερα από το κέντρο ταλάντωσης Ο της µάζας m κατά x * και µάλι στα ισχύει: kx * = mg/ x * = mg/k= x / () Εφαρµόζοντας για την ταλάντωση αυτή το θεώρηµα διατήρησης της µηχα νικής ενέργειας, παίρνουµε την σχέση: K + k(x /) = kx K + kx 8 = kx

8 K = 3kx 8 = 3k 8 mg = 3m g " k 8k (3) όπου Κ η κινητική ενέργεια του θραύσµατος Θ αµέσως µετά την έκρη ξη. Η αντίστοιχη κινητική ενέργεια Κ 1 του θραύσµατος Θ 1 είναι: K 1 = 1 m v 1 (1) K 1 = 1 (3) m v = K K 1 = 3m g 8k (4) H ενέργεια Ε εκρ. που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη εµφανίζεται ως κινητική ενέργεια των δηµιουργούµενων θραυσµάτων, δηλαδή ισχύει: (3),(4) E ". = K 1 + K E ". = 6m g 8k = 3m g 4k (5) ii) Λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή της έκρηξης µπορούµε να γράψουµε ως εξίσωση κίνησης για την ταλάντωση του θραύσµατος Θ την σχέση: x = x µ ("t + ) (6) όπου ω η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης ίση µε k/m και φ η αρ χική φάση της αποµάκρυνσης του Θ. Εξάλλου η εξίσωση της ταχύτητας του Θ είναι: V =x "(t + ) (7) Oι σχέσεις (6) και (7) για t= και µε θετική φορά πάνω στην κατακόρυ φη διεύθυνση την προς τα πάνω, δίνουν: x / = x µ" v = x " ' ( ) µ" = 1/ " < ' ( = 5" 6 (8) Άρα η εξίσωση της αποµάκρυνσης του θραύσµατος Θ θα έχει την µορ φή: x = x µ k m t + 5" 6 ( (5) ' Εξάλλου, εάν t α είναι ο χρόνος ανόδου του θραύσµατος Θ 1 και h η αντί στοιχη κατακόρυφη µετατόπισή του θα έχουµε: t = v 1 g = gh g = h g (6)

9 To θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για το θραύσµα Θ 1 δί νει την σχέση: (4) m gh = K 1 h = 3mg 4k οπότε η σχέση (6) γράφεται: t = v 1 g = gh g = 6mg 4kg = 3m k (7) H αποµάκρυνση του Θ την χρονική στιγµή t α, σύµφωνα µε την σχέση (5), είναι: x = x µ k m t " ' (7) ) ( x = x µ k m 3m k + 5" 6 ( ' x = x µ 3 + 5" 6 ' ( x x "µ + 5 ' 6 ) ( x x " 5 ) ( + - 3x ' 6 * - 3mg k (8) όπου δεχθήκαµε την προσέγγιση 3"/. Η απόσταση x(t α ) των δύο θραυσµάτων την χρονική στιγµή t α είναι: (8) x(t ) = h + x / + x x(t ) = 3mg 4k + mg k + 3mg k x(t ) = 3mg 4k + mg k + 3mg k = mg ( 4k ) P.M. fysikos Η τροχαλία του σχήµατος (5) έχει µάζα m και ακτί να R, το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της είναι αβαρές και µη εκτατό. Εκτρέπουµε την τροχαλία από την θέση ισορροπίας της, ώστε το κέντρο µάζας της C να µετατοπιστεί κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και την αφήνουµε ελευθερη. i) Nα δείξετε ότι το κέντρο µάζας της τροχαλίας θα εκτελέσει αρµο νική ταλάντωση, της οποίας να βρείτε την περίοδο. ii) Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης του ελατηρίου.

10 Το ελατήριο θεωρείται ιδανικό µε σταθερά k, το δε νήµα δεν γλυστ ράει στο αυλάκι της τροχαλίας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr / της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην επιφάνειά της. ΛΥΣΗ: i) Στην θέση ισορροπίας του συστήµατος το ελατήριο είναι τεντωµένο κατά x * από την φυσική του κατάστση, οι δε τάσεις του νήµατος που περιβάλ λει το αυλάκι της τροχαλίας είναι ίσες, µε µέτρο kx *. Λόγω της ισορροπίας ισχύ ει η σχέση: mg = kx * x * = mg / k (1) Στην συνέχεια εξετάζουµε το σύστηµα την χρονική στιγµή t που η αποµάκρυν ση του κέντρου µάζας C της τροχαλίας είναι x και δεχόµαστε ότι την στιγµή αυτή η επιτάχυνση a C του κέντρου µάζας κατευθύνεται προς την θέση ισορρο πίας του Ο. Τη ίδια στιγµή η γωνιακή επιτάχυνση ' της τροχαλίας πρέπει να ικανοποιεί την σχέση: a C + (CB " ') = () Σχήµα 5 η οποία απορρέει από το γεγονός ότι η επιτάχυνση του σηµείου επαφής Β της τροχαλίας µε το νήµα είναι κάθε στιγµή µηδενική. Η σχέση () γράφεται: a C - (CA " ') = a C = (CA " ') (3) Eξάλλου η επιτάχυνση του σηµείου Α της τροχαλίας είναι: a A = a C + (CA " (3) ') a A = a C + a C = a C a A = a C = 'R (4) H (4) εγγυάται ότι κάθε στιγµή η ταχύτητα του Β είναι διπλάσια της ταχύτητας του C που σηµαίνει ότι την χρονική στιγµή t το ελατήριο είναι κατά x περισ σότερο τεντωµένο σε σχέση µε την κατάσταση ισορροπίας του σύστήµατος, δηλαδή είναι τεντωµένο κατα x * +x σε σχέση µε την φυσική του κατάσταση. Θεωρώντας θετική φορά πάνω στην κατακόρυφη διεύθυνση την φορά της απο µάκρυνσης x, θα έχουµε για την αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης επί του κέντρου µάζας C της τροχαλίας, την σχέση:

11 F(x) = mg - P - Q (5) όπου Q, P οι τάσεις στους δύο κλάδους του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας. Εφαρµόζοντας την χρονική στιγµή t για την τροχαλία τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: QR - PR = mr '/ Q - P = mr'/ Q - P = ma C / Q = P + ma C / (6) Η (5) λόγω της (6) παίρνει την µορφή: F(x) = mg - P - P - ma C / F(x) = mg - P - ma C / (7) Όµως ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση του κέντρου µάζας C της τροχαλίας δίνει: F(x) = ma C οπότε η (7) γράφεται: F(x) = mg - P - F(x)/ 3F(x)/ = mg - P (8) Eξάλλου το µέτρο της P δίνεται από την σχέση: (1) P = k(x + x * ) P = k(x + mg / k) = kx + mg/ και η (8) γράφεται: 3F(x)/ = mg - (kx + mg/) 3F(x)/ = -4kx F(x) = -(8k/3)x (9) Η σχέση (9) εγγυάται ότι το κέντρο µάζας C της τροχαλίας εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε σταθερά ταλαντωσης 8k/3, οπότε η περίοδος Τ της ταλάντωσης αυτής θα δίνεται από την σχέση: T = m 8k / 3 = 3m 8k T = 3m k (1) ii) H δυναµική ενέργεια U ελαστικής παραµόρφωσης του ελατηρίου δίνεται κάθε στιγµή t από την σχέση: U = k (1) (x + x * ) U = k mg x + " k (11) όπου x η αποµάκρυνση (αλγεβρική τιµή) του κέντρου µάζας της τροχαλίας κατά την στιγµή t, Επειδή την στιγµή της έναρξης της ταλάντωσης (t=) είναι

12 x=xoη αρχική φάση ταλάντωσης του κεντρου µάζας C είναι π/, οπότε η εξίσωση κίνησης του C έχει την µορφή: x = x µ "t T + " ( = x )*+ "t (1) ( ' T ' t ( x = x "' * = x "' t 8k 3m/k ) 3m t ( * ) oπότε η (11) γράφεται: U = k * x ", +, 8k 3m t ' ) + mg - / ( k./ P.M. fysikos