Επιρροή Τοίχων Αντιστήριξης στις Συναρτήσεις υναμικής Εμπέδησης Επιφανειακών Θεμελίων εδραζόμενων στα Ανάντη

Επιρροή Τοίχων Αντιστήριξης στις Συναρτήσεις υναμικής Εμπέδησης Επιφανειακών Θεμελίων εδραζόμενων στα Ανάντη Effect of Retaining Walls on the Dynamic Impedance Functions of Shallow Foundations lying over the Retained Soil ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ, Γ. Ανθυποσμηναγός Π.Α., Υποψήφιος ιδάκτωρ, Πολυτεχνείο Κρήτης ΨΑΡΡΟΠΟΥΛΟΣ, Π. Ν. ρ. Πολ. Μηχανικός, Αναπλ. Καθηγητής (Π 47), Σχολή Ικάρων ΤΣΟΜΠΑΝΑΚΗΣ, Ι. ρ. Πολ. Μηχανικός, Αναπληρωτής Καθηγητής, Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρά τη συχνή «συνύπαρξη» αντιστηρίξεων, εδάφους και αντιστηριζόμενων κατασκευών, το πρόβλημα της δυναμικής αλληλεπίδρασής τους δεν απασχολεί ιδιαίτερα τους μηχανικούς. Επιπλέον, οι σχετικοί κανονισμοί θεωρούν ότι η αλληλεπίδραση αυτή είναι ασήμαντη, ή ακόμα και ευεργετική, για τις κατασκευές. Στην παρούσα εργασία υπολογίζονται οι συναρτήσεις εμπέδησης επιφανειακών θεμελιολωρίδων για τις περιπτώσεις οριζόντιας μετάθεσης και στροφής ως προς οριζόντιο άξονα με χρήση διδιάστατων δυναμικών αριθμητικών αναλύσεων. Επιπροσθέτως, με χρήση κατάλληλων εδαφικών ελατηρίων και αποσβεστήρων, γίνεται προσομοίωση του εδαφικού συνεχούς μέσου ως συστήματος διακριτών βαθμών ελευθερίας. ABSTRACT : Despite the frequent coexistence of retaining walls, soil and retained structures in urban environments, engineers ignore this dynamic interaction. Additionally, the related seismic norms consider in a simplistic way that this interaction is unimportant, or even beneficial, for the involved structures. In the present study, the impedance functions of surface strip foundations are calculated via two-dimensional dynamic finite element analyses for their degrees of freedom corresponding to horizontal translation and rocking motions. Furthermore, using efficient soil springs and dashpots, the soil continuum is modeled as an equivalent system having discrete degrees of freedom.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια από τις πολλές εφαρμογές των τοίχων αντιστήριξης είναι η υποστήριξη υπερκείμενων κατασκευών στα ανάντη, ιδιαίτερα σε πυκνοκατοικημένες αστικές περιοχές. Ένα από τα πιο σύνθετα προβλήματα στο πεδίο της γεωτεχνικής (σεισμικής) μηχανικής είναι η πρόβλεψη της αλληλεπίδρασης που ενδέχεται να αναπτυχθεί (τόσο υπό στατικές, όσο και υπό δυναμικές συνθήκες) μεταξύ της συνηθέστερης γεωτεχνικής κατασκευής που είναι ο τοίχος αντιστήριξης, του αντιστηριζόμενου εδάφους, και της υπερκείμενης σε αυτό ανωδομής. Το γενικότερο φαινόμενο είναι γνωστό ως αλληλεπίδραση τοίχου εδάφους κατασκευής. Είναι φανερό ότι η αλληλεπίδραση αυτή μπορεί να αναλυθεί σε δύο επιμέρους αλληλεπιδράσεις: (α) την αλληλεπίδραση τοίχου εδάφους, και (β) την αλληλεπίδραση εδάφους κατασκευής. Οι αντισεισμικοί κανονισμοί (EC 8, ΕΑΚ ) αντιμετωπίζουν εντελώς ανεξάρτητα τις δύο αλληλεπιδράσεις με απλουστευτικές παραδοχές. Συνήθως η δυναμική αλληλεπίδραση τοίχου και εδάφους δε λαμβάνεται υπόψη, ενώ η δυναμική αλληλεπίδραση εδάφους κατασκευής θεωρείται εκ προοιμίου ευεργετική για την κατασκευή, πράγμα που δεν ισχύει πάντοτε (Mylonakis & Gazetas, ).. ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ Ε ΑΦΟΥΣ- ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Η ταλάντωση των θεμελίων των κατασκευών που υπόκεινται σε δυναμική φόρτιση εξαρτάται από τη φύση και την ευκαμψία του εδάφους 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος

που τα υποστηρίζει, το σχήμα και την αδράνειά τους, καθώς και τα χαρακτηριστικά της επιβαλλόμενης φόρτισης. Γνωρίζοντας την εμπέδηση ενός θεμελίου και τη φόρτιση που επιβάλλεται σε αυτό από τις αδρανειακές δυνάμεις της ανωδομής, είναι εφικτός ο υπολογισμός της δυναμικής απόκρισής του. Επίσης, οι συναρτήσεις εμπέδησης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν αλληλεπιδράσεις εδάφους κατασκευής αδρανειακής φύσεως (Stewart et al., 998). περίπτωση εύκαμπτων θεμελίων, υπολογίζεται ένα μητρώο εμπέδησης, το οποίο είναι διαστάσεων N x N, όπου Ν > 6. (α) { u} = { u } + { u } kin iner. Θεώρημα της επαλληλίας (β) u&& g (γ) Η εφαρμογή των συναρτήσεων εμπέδησης στον υπολογισμό της απόκρισης του συστήματος εδάφους κατασκευής βασίζεται στο θεώρημα της επαλληλίας που διατυπώθηκε από τον Kausel και τους συνεργάτες του (Kausel & Roesset, 974, Kausel et al., 978). Το θεώρημα αυτό αναφέρει ότι η απόκριση του συστήματος που απεικονίζεται στο Σχήμα (α) όταν στη βάση του επιβάλλεται μια χρονοϊστορία επιτάχυνσης ϋ g μπορεί να υπολογιστεί: (α) είτε με απευθείας λύση της διαφορικής μητρωϊκής εξίσωσης κίνησης του συστήματος, (β) είτε σε δύο βήματα, ορίζοντας το διάνυσμα της σχετικής μετατόπισης ως το άθροισμα της μετακίνησης λόγω κινηματικής αλληλεπίδρασης {u kin } και της μετακίνησης λόγω αδρανειακής αλληλεπίδρασης {u iner }. Θεωρείται αρχικά το προσομοίωμα του Σχήματος (β) στο οποίο επιβάλλεται η διέγερση ϋ g και υπολογίζεται η {u kin } ως προς το περιβάλλον εδαφικό υλικό ΑΒΓ. Εν συνεχεία, αυτή επιβάλλεται ως διέγερση στο ΑΒΓ στο Σχήμα (γ) και υπολογίζεται η {u iner } ως προς το ΑΒΓ. Τα {u kin } και {u iner } προστίθενται για να δώσουν τη συνολική μετατόπιση. Οι συναρτήσεις εμπέδησης εκφράζουν τη δυσκαμψία και απόσβεση των ελατηρίων που παριστάνονται στο Σχήμα (γ). Σε περιπτώσεις μη γραμμικότητας το προαναφερθέν θεώρημα της επαλληλίας δεν ισχύει, και συνεπώς η απόκριση του συστήματος «έδαφος κατασκευή» δεν μπορεί να υπολογιστεί μέσω συναρτήσεων εμπέδησης. Επίσης, ο υπολογισμός των συναρτήσεων εμπέδησης με εφαρμογή του θεωρήματος επαλληλίας γίνεται συνήθως για άκαμπτα θεμέλια, τα οποία ως γνωστόν έχουν έξι βασικούς βαθμούς ελευθερίας, εκ των οποίων δύο έχουν πρωτεύοντα ρόλο στη δυναμική καταπόνηση κατά την οριζόντια διεύθυνση (την οριζόντια μετάθεση και τη στροφή ως προς τον οριζόντιο άξονα). Στην { u } w kin kin = θkin Α Β u&& g θ kin w kin Γ { u } w iner iner = θiner Α Β θ kin w kin Σχήμα. Το θεώρημα της επαλληλίας στην αλληλεπίδραση εδάφους κατασκευής. Figure. The superposition theorem for the soil structure interaction problem.. Ορισμός συνάρτησης εμπέδησης Σε γραμμικά συστήματα, η φόρτιση μπορεί να θεωρηθεί (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι είναι αρμονική, αφού οποιαδήποτε τυχαία φόρτιση δύναται να αναλυθεί σε άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων μέσω της ανάλυσης Fourier. Για μια αρμονική διέγερση συχνότητας ω, η δυναμική εμπέδηση θεμελίου ορίζεται ως ο λόγος της επιβαλλόμενης δύναμης ή ροπής σε μόνιμη κατάσταση ταλάντωσης προς τη μετατόπιση ή τη στροφή αντίστοιχα που προκύπτει στη βάση του, αν θεωρηθεί ότι αυτό είναι αβαρές. ίνεται από τη σχέση: K i θ iner w iner Fi () t = () U () t i Γενικά, η δύναμη και η μετατόπιση στην εξ. () είναι μεγέθη με διαφορετική φάση. Για τον λόγο αυτό περιγράφονται με μιγαδικούς αριθμούς, όπου το φανταστικό μέρος έχει διαφορά φάσης 9 ο από το πραγματικό. Συνεπώς, και η δυναμική εμπέδηση είναι εν γένει μιγαδικός αριθμός: Γ 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος

K = K ( ω) + ik ( ω) () dyn, j j, j, όπου j συμβολίζει το βαθμό ελευθερίας. Εξάλλου, είναι γνωστό από τη δυναμική των κατασκευών ότι για διέγερση P = P ο e iωt η δυναμική δυσκαμψία ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή δυσκαμψίας K, απόσβεσης C και μάζας m δίνεται από τη σχέση: dyn ( ω ) K = K m + icω (3) Συγκρίνοντας τις εξ.() και (3) προκύπτει ότι τόσο το πραγματικό όσο και το φανταστικό μέρος της εξ. () εξαρτώνται από τη συχνότητα και αντιπροσωπεύουν τα χαρακτηριστικά της δυσκαμψίας και της αδρανειακής απόκρισης του εδάφους και την απώλεια ενέργειας του συστήματος αντίστοιχα. Η εξ.(3) μπορεί να γραφτεί και ως εξής: ω ω Kdyn, j = Kst, j + i β j ω nj ωnj a a = Kst, j iβ + j a nj anj (4) όπου είναι προφανές ότι η δυναμική δυσκαμψία αποτελεί το γινόμενο της στατικής δυσκαμψίας K st που είναι ανεξάρτητη της συχνότητας, και ενός δυναμικού συντελεστή ο οποίος ισούται με την παράσταση μέσα στην αγκύλη και εξαρτάται από τη συχνότητα της διέγερσης. Ο συντελεστής β είναι το ποσοστό της κρίσιμης ιξωδοελαστικής απόσβεσης και ισούται με C/C cr. Στις αναλύσεις αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής εισάγεται συνήθως ο παρακάτω αδιάστατος συχνοτικός συντελεστής: a ωb = (5) V S όπου ω η διεγείρουσα κυκλική συχνότητα, B μια χαρακτηριστική διάσταση του θεμελίου, και V S η ταχύτητα διάδοσης διατμητικού κύματος στο έδαφος. Στην περίπτωση της θεμελιολωρίδας που εξετάστηκε στην παρούσα εργασία, το B ισούται με το μισό του πλάτους του θεμελίου. Συνδυάζοντας τις εξ. (4) και (5) η δυναμική δυσκαμψία γράφεται ως: Kdyn, j = K st, j kj + iac j (6) Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων των δυναμικών αναλύσεων προτιμάται η τελευταία από τις εξ. (3), (4) και (6), στην οποία η εξάρτηση της εμπέδησης από τη συχνότητα εκφράζεται αποκλειστικά από αδιάστατες παραμέτρους. Στα σχήματα που ακολουθούν ο δείκτης j της εξ. (6) ορίζεται ως x για τη μεταφορική και ως r για τη στροφική κίνηση του θεμελίου αντίστοιχα. 3. ΥΝΑΜΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ TOIXOY Ε ΑΦΟΥΣ ΘΕΜΕΛΙΟΥ Το πρόβλημα της δυναμικής αλληλεπίδρασης, και ειδικότερα του υπολογισμού των εμπεδήσεων θεμελίων που εδράζονται σε μονοδιάστατα εδαφικά στρώματα, έχει μελετηθεί από πολλούς ερευνητές, οι οποίοι έχουν προτείνει αναλυτικές, ημιαναλυτικές και αριθμητικές μεθόδους για την επίλυσή του (Kausel et al., 974, 978, Gazetas, 983, 99, Mylonakis & Gazetas, Novak & El Hifnawy 983, Stewart et al, 998). Εντούτοις, η περίπτωση της διδιάστατης αλληλεπίδρασης (όπου το εδαφικό στρώμα περιορίζεται από τοίχο που βρίσκεται σχετικά κοντά στο θεμέλιο) έχει εξεταστεί από ελάχιστο αριθμό ερευνητών, μεταξύ των οποίων και οι συγγραφείς της παρούσας εργασίας. Οι Papazafeiropoulos et al. (8, 9) μελέτησαν την επιρροή της ευκαμψίας του τοίχου και της σχετικής απόστασης της κατασκευής από αυτόν στο συντελεστή ενίσχυσης του θεμελίου και της ανωδομής, και έδειξαν ότι το μέγεθος της επιρροής της διδιάστατης γεωμετρίας και του κινηματικού περιορισμού που επιβάλλει ο τοίχος εξαρτάται άμεσα από την ευκαμψία της αντιστήριξης. Οι Psarropoulos et al. (9) παρουσίασαν αποτελέσματα εκτενών αριθμητικών αναλύσεων για τη στατική και δυναμική εμπέδηση επιφανειακής θεμελιολωρίδας εδραζόμενης επί εδαφικού στρώματος. Ένα σημαντικό εύρημα της εργασίας αυτής είναι το γεγονός ότι η στατική δυσκαμψία επηρεάζεται σημαντικά από την ευκαμψία του τοίχου και τη σχετική απόσταση του τελευταίου από το εξεταζόμενο θεμέλιο. Επίσης, αποδείχθηκε ότι η στροφική εμπέδηση του θεμελίου εξαρτάται μόνο από τη σχετική απόσταση του θεμελίου από τον τοίχο και το είδος της διεπιφάνειας τοίχου εδάφους, και είναι ανεξάρτητη της ευκαμψίας του τοίχου. Επιπροσθέτως, αποδείχθηκε ότι η μεταφορική εμπέδηση δεν εξαρτάται από το είδος της διεπιφάνειας τοίχου εδάφους και επηρεάζεται 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος 3

μόνο από τη σχετική απόσταση και την ευκαμψία του τοίχου. 4. ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑ Θεωρείται ημιάπειρο εδαφικό στρώμα σταθερού ύψους H=8m το οποίο αντιστηρίζεται από αβαρή τοίχο σχετικής ευκαμψίας d w και πάχους t w =.m. Η ενδοσιμότητα του τοίχου οφείλεται στη δομική του ευκαμψία, καθώς θεωρείται πακτωμένος σε βράχο που βρίσκεται κάτω από το εδαφικό στρώμα. Ο τοίχος περιορίζει το έδαφος έναντι οριζόντιας και κάθετης μετακίνησης κατά μήκος της διεπιφάνειάς του με το τελευταίο. Το έδαφος χαρακτηρίζεται από πυκνότητα ρ, μέτρο διάτμησης G, λόγο Poisson ν=.3, και λόγο κρίσιμης απόσβεσης ξ=5%, όπου η απόσβεση θεωρήθηκε σταθερού υστερητικού τύπου. (α) L m k d w H + V S V, S ρ,, γξ, + ξ d θ V S, ρ, ξ και άκαμπτη θεμελιολωρίδα πλάτους B (όπου B=.6 m) και πάχους t f =.6m, η οποία δεν αποκολλάται και δεν ολισθαίνει σε σχέση με το έδαφος. Η τελευταία παραδοχή ισχύει εν γένει για συνεκτικά εδάφη. Τέλος, επιβάλλεται δυναμική φόρτιση που εξαναγκάζει το θεμέλιο: (α) σε οριζόντια μετατόπιση, και (β) σε στροφή. Τα προσομοιώματα που μελετήθηκαν στην παρούσα διερεύνηση παρουσιάζονται στο Σχήμα. Για τον υπολογισμό της εμπέδησης της θεμελιολωρίδας πραγματοποιήθηκαν διδιάστατες δυναμικές αριθμητικές αναλύσεις επίπεδης παραμόρφωσης των προσομοιωμάτων του Σχήματος με χρήση του λογισμικού πεπερασμένων στοιχείων ABAQUS (8) και θεώρηση εδαφικής απόσβεσης τύπου Rayleigh. Οι παράμετροι που εξετάστηκαν είναι: (α) Η σχετική ευκαμψία του τοίχου d w ως προς το αντιστηριζόμενο έδαφος: d w 3 GH = (7) D w όπου D w είναι η καμπτική δυσκαμψία ανά μονάδα μήκους του τοίχου: (β) L m k d d w H V V S, ρ,,, S γξ ξ H d θ L δ δ V S, ρ, ξ Σχήμα. (α) Θεμελιολωρίδα επί μονοδιάστατης εδαφικής στρώσης, (β) ιδιάστατη περίπτωση όπου το εδαφικό στρώμα περιορίζεται από τοίχο αντιστήριξης. Figure. (a) One dimensional soil layer supporting a strip foundation, (b) Two dimensional case where the soil layer is retained by a wall. Η ταχύτητα διάδοσης διατμητικού κύματος εντός της στρώσης ισούται με V S =m/s. Αυτές οι ιδιότητες θεωρούνται σταθερές σε όλη την έκταση του εδαφικού στρώματος. Η γωνία τριβής τοίχου εδάφους είναι ίση με δ. Πάνω στην επιφάνεια του εδάφους βρίσκεται αβαρής D w Et = ( ) 3 w w vw (8) Στην παρούσα εργασία εξετάστηκαν δύο ακραίες τιμές του d w : d w = (άκαμπτος τοίχος) και d w =4 (εύκαμπτος τοίχος). (β) Η σχετική απόσταση του κέντρου του θεμελίου από την κορυφή του τοίχου L/H. (γ) Η γωνία τριβής τοίχου εδάφους δ. ύο περιπτώσεις εξετάστηκαν στην παρούσα εργασία: δ= και δ>> που αντιστοιχούν σε διεπιφάνεια με και χωρίς δυνατότητα ολίσθησης αντίστοιχα. (δ) Ο αδιάστατος συχνοτικός συντελεστής a ο οποίος ορίστηκε στην εξ. (5). 5. ΣΤΑΤΙΚΗ ΕΜΠΕ ΗΣΗ Οι στατικές εμπεδήσεις (μεταφορική και στροφική) στην περίπτωση που το θεμέλιο εδράζεται σε μονοδιάστατη εδαφική στρώση υπολογίστηκαν για οιονεί-στατικές φορτίσεις, και αποδείχθηκε ότι συμφωνούν ικανοποιητικά με τις προβλέψεις της βιβλιογραφίας (Gazetas 983, 99). Η παραπάνω κατάσταση ισχύει όταν ο 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος 4

λόγος L/H>, οπότε δεν υφίσταται πρακτικά αλληλεπίδραση μεταξύ θεμελίου και τοίχου. Στο Σχήμα 3 παριστάνεται η μεταβολή του λόγου της διδιάστατης στατικής μεταφορικής εμπέδησης K x,d προς την αντίστοιχη μονοδιάστατη K x, συναρτήσει του λόγου L/H. Αποδεικνύεται αφενός ότι η παρουσία του τοίχου μπορεί να αυξήσει ή να μειώσει τη στατική εμπέδηση (ανάλογα με την τιμή της ευκαμψίας d w ), και αφετέρου ότι όσο η σχετική απόσταση του θεμελίου L/H αυξάνεται, τόσο οι καμπύλες τείνουν στη μονάδα, δηλαδή το σύστημα αποκρίνεται ως μονοδιάστατο. K x,d /K x,.5.5.5.4.8..6 L/H dw= dw=4 Σχήμα 3. Αδιαστατοποιημένη διδιάστατη στατική μεταφορική εμπέδηση θεμελιολωρίδας συναρτήσει του λόγου L/H για δυο ακραίες τιμές της ευκαμψίας του τοίχου d w. Figure 3. Normalized two dimensional static translational impedance of a strip foundation as a function of L/H ratio for two extreme values of the wall flexibility d w. Αντίστοιχα, στο Σχήμα 4 παρουσιάζονται τα ίδια αποτελέσματα για τον λόγο στροφικών εμπεδήσεων K r,d /K r, για τις δυο περιπτώσεις της γωνίας τριβής τοίχου εδάφους δ. Όπως ήταν αναμενόμενο, όταν η διεπιφάνεια είναι λεία (δ=), η εμπέδηση μειώνεται καθώς το θεμέλιο πλησιάζει τον τοίχο, ενώ το αντίθετο συμβαίνει για δ>>. Η στροφική εμπέδηση είναι ανεξάρτητη του d w για οποιαδήποτε σχετική απόσταση του θεμελίου από τον τοίχο L/H. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι η στροφή του θεμελίου καταπονεί το υποκείμενο έδαφος κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, και συνεπώς δεν επηρεάζεται από οριζόντιους κινηματικούς περιορισμούς στο έδαφος. Η σύγκριση των Σχημάτων 3 και 4 δείχνει ότι η επιρροή των διδιάστατων συνθηκών στη μεταφορική εμπέδηση γίνεται σημαντική περίπου σε απόσταση L=H, ενώ στην περίπτωση της στροφικής εμπέδησης, η απόσταση αυτή είναι περίπου τρεις φορές μικρότερη (L=.7H). K r,d /K r,.5.5 δ>> δ=..4.6.8 L/H Σχήμα 4. Αδιαστατοποιημένη - στατική στροφική εμπέδηση θεμελιολωρίδας συναρτήσει του λόγου L/H για διεπιφάνεια τοίχουεδάφους με και χωρίς δυνατότητα ολίσθησης. Figure 4. Normalized -D static rotational impedance of a strip foundation as a function of L/H ratio for bonded and smooth soil-wall interface. 6. ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΜΠΕ ΗΣΗ Η μεταβολή των αδιάστατων παραμέτρων της εξ. (6) με τη συχνότητα είναι βασικό στοιχείο για την πρόβλεψη της δυναμικής εμπέδησης, όταν είναι γνωστή η αντίστοιχη στατική. Όπως προαναφέρθηκε, όσο μειώνεται ο λόγος L/H τόσο περισσότερο αυξάνεται η επιρροή της ευκαμψίας και της γωνίας τριβής του τοίχου. Για το λόγο αυτό στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται αποτελέσματα για L/H=.3, έτσι ώστε να είναι εμφανής η επιρροή των παραμέτρων αυτών. Οι μεταβλητές k j και c j που παρουσιάζονται στα επόμενα διαγράμματα αντιστοιχούν στην εξ. (6). k x.8.6.4..8.6.4. dw= dw=4.3.6.9..5 Σχήμα 5. Μεταβολή του πραγματικού μέρους του δυναμικού συντελεστή της εξ. (6), k x, της μεταφορικής εμπέδησης συναρτήσει του a για άκαμπτο και εύκαμπτο τοίχο και - συνθήκες. Figure 5. Variation of the real part of the dynamic coefficient of eq. (6), k x, of the a 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος 5

translational impedance as a function of a for rigid and flexible wall and -D conditions. Στα Σχήματα 5 και 6 παρουσιάζονται αντίστοιχα η μεταβολή του πραγματικού μέρους και του φανταστικού μέρους της δυναμικής δυσκαμψίας, συναρτήσει του συντελεστή a για τις δυο ακραίες τιμές του d w και τη μονοδιάστατη περίπτωση (-D). Το αποτέλεσμα των διαφόρων συντονισμών είναι εμφανές στα μέγιστα και ελάχιστα των καμπυλών: κύματα προερχόμενα από το θεμέλιο επιστρέφουν σε αυτό ανακλώμενα από το υποκείμενο άκαμπτο στρώμα ή τον τοίχο. Η τιμή a =.3 αντιστοιχεί στη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα της μονοδιάστατης εδαφικής στρώσης. rigid and flexible wall and one-dimensional conditions. Συγκρίνοντας τη μονοδιάστατη απόκριση με τον εύκαμπτο τοίχο στα Σχήματα 5 και 6, παρατηρείται ότι για a <.3, η απόσβεση ακτινοβολίας είναι μηδενική, και αυτό έχει σαν συνέπεια την ταύτιση των καμπυλών. Οι καμπύλες για d w = (όπου λόγω της αυξημένης δυσκαμψίας, η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα είναι μεγαλύτερη) αποδεικνύουν ότι το σύστημα δεν έχει φτάσει ακόμα στην πρώτη ιδιοσυχνότητά του, και συνεπώς δεν έχει απόσβεση ακτινοβολίας (που επιβεβαιώνεται από τη σχεδόν οριζόντια καμπύλη c x και τη σταθερά φθίνουσα δυσκαμψία k x ). 3.5 3..5 dw= dw=4.7.6.5 δ>> δ= c x..5 c r.4.3...5...3.6.9..5..3.6.9..5 Σχήμα 6. Μεταβολή του φανταστικού μέρους του δυναμικού συντελεστή της εξ. (6), c x, της μεταφορικής εμπέδησης συναρτήσει του a για άκαμπτο και εύκαμπτο τοίχο και - συνθήκες. Figure 6. Variation of the imaginary part of the dynamic coefficient of eq. (6), c x, of the translational impedance as a function of a for rigid and flexible wall and -D conditions. k r.9.8.7.6.5.4.3.. δ>> δ= a.3.6.9..5 Σχήμα 7. Μεταβολή του πραγματικού μέρους του δυναμικού συντελεστή της εξ. (6), k r, της στροφικής εμπέδησης συναρτήσει του a για άκαμπτο και εύκαμπτο τοίχο και - συνθήκες. Figure 7. Variation of the real part of the dynamic coefficient of eq. (6), k r, of the rotational impedance as a function of a for a Σχήμα 8. Μεταβολή του φανταστικού μέρους του δυναμικού συντελεστή της εξ. (6), c r, της στροφικής εμπέδησης συναρτήσει του a για άκαμπτο και εύκαμπτο τοίχο και - συνθήκες. Figure 8. Variation of the imaginary part of the dynamic coefficient of eq. (6), c r, of the rotational impedance as a function of a for rigid and flexible wall and -D conditions. Τα αντίστοιχα αποτελέσματα με τα παραπάνω για τη στροφική εμπέδηση παρουσιάζονται στα Σχήματα 7 και 8. ιαπιστώνεται ότι για a <.3, ένας τοίχος επηρεάζει τη στροφική δυσκαμψία k r μόνο όταν η διεπιφάνειά του με το έδαφος δεν επιτρέπει την ολίσθηση. Προφανώς, για λεία διεπιφάνεια (δ=), η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι εκεί που η καμπύλη της στροφικής εμπέδησης k r εμφανίζει ελάχιστο. Αυτό επαληθεύεται και από το Σχήμα 8, όπου για μεγαλύτερες συχνότητες η απόσβεση είναι αυξημένη λόγω της ύπαρξης απόσβεσης ακτινοβολίας. Αντιθέτως, για μικρότερες συχνότητες η μονοδιάστατη περίπτωση εμφανίζει τη μεγαλύτερη απόσβεση. a 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος 6

7. ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Το γεγονός ότι οι εξ. (6) και (4) είναι ισοδύναμες, υποδηλώνει τη δυνατότητα προσομοίωσης του δυναμικού συντελεστή του εδάφους που έχει χαρακτηριστικά k j (a ) και c j (a ) με μονοβάθμιο ταλαντωτή ιδιοσυχνότητας ω n (ή αντίστοιχου συντελεστή ιδιοσυχνότητας a n ) και λόγο απόσβεσης β. Μεταβολές των a n και β με τη συχνότητα αποδεικνύουν αδυναμία προσομοίωσης του προβλήματος με πραγματικό μονοβάθμιο ταλαντωτή. Στο Σχήμα 9 παρουσιάζεται ο συντελεστής ιδιοσυχνότητας a nx του ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή συναρτήσει του συντελεστή a της επιβαλλόμενης φόρτισης για την περίπτωση μεταφορικής κίνησης του θεμελίου. Από το Σχήμα 9 διακρίνεται ότι η προσομοίωση του υποκείμενου εδάφους με μονοβάθμιο ταλαντωτή είναι επαρκής, αρκεί να ισχύει a <.4 και a <.8 για και d w =4 αντίστοιχα, για οριζόντια μεταφορική φόρτιση του θεμελίου. Για d w = η περιοριστική συχνότητα είναι τουλάχιστον.5. a nx 8 6 4 8 6 4 dw= dw=4.3.6.9..5 3.5 3.5 a nr.5.5 δ>> δ=.3.6.9..5 a Σχήμα. Αδιάστατος συντελεστής ιδιοσυχνότητας a nr συναρτήσει του a για την περίπτωση στροφής του θεμελίου. Figure. Dimensionless eigenfrequency factor a nr as a function of a in the case of rotation of the foundation. Στα Σχήματα και παριστάνονται οι καμπύλες του λόγου κρίσιμης ιξωδοελαστικής απόσβεσης β συναρτήσει του συχνοτικού συντελεστή της φόρτισης a. Είναι προφανές ότι σε χαμηλές συχνότητες οι λόγοι κρίσιμης ιξωδοελαστικής απόσβεσης β είναι ανεξάρτητοι της επιβαλλόμενης συχνότητας, γεγονός κάπως αναμενόμενο αφού στο εδαφικό υλικό χρησιμοποιήθηκε σταθερός λόγος κρίσιμης υστερητικής απόσβεσης (Novak and El Hifnawy, 983). Γενικά, μελετώντας τα Σχήματα 9 έως διαπιστώνεται ότι για χαμηλόσυχνες διεγέρσεις η προσέγγιση της συμπεριφοράς του εδάφους με χρήση μονοβάθμιου ταλαντωτή είναι ικανοποιητική. Σχήμα 9. Αδιάστατος συντελεστής ιδιοσυχνότητας a nx συναρτήσει του a για την περίπτωση οριζόντιας μετακίνησης του θεμελίου. Figure 9. Dimensionless eigenfrequency coefficient a nx as a function of a in the case of horizontal translation of the foundation. a β x.3.5..5. dw= dw=4 Στο Σχήμα παριστάνονται οι αντίστοιχες καμπύλες για τη στροφική κίνηση του θεμελίου. Τα Σχήματα 9 και έχουν τελείως διαφορετική μορφή που οφείλεται στις πολύ μεγαλύτερες ιδιοσυχνότητες στην περίπτωση στροφικής κίνησης. Η περίπτωση δ>>, όντας η πιο δύσκαμπτη από τις εξεταζόμενες, εμφανίζει ψηλότερες ιδιοσυχνότητες a nr. Από το Σχήμα συμπεραίνεται ότι η στροφική εμπέδηση θεμελίου μπορεί να προσομοιωθεί πολύ πιο αποτελεσματικά με τη χρήση ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή από ότι η μεταφορική..5.3.6.9..5 Σχήμα. Λόγος κρίσιμης απόσβεσης β x συναρτήσει του a για την περίπτωση οριζόντιας μετακίνησης του θεμελίου. Figure. Critical damping ratio β x as a function of the a in the case of horizontal translation of the foundation. a 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος 7

β r...8.6.4. δ>> δ=.3.6.9..5 Σχήμα. Λόγος κρίσιμης απόσβεσης β r συναρτήσει του a για την περίπτωση στροφής του θεμελίου. Figure. Critical damping ratio β r as a function of the coefficient a in the case of rotation of the foundation. 8. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία πραγματοποιήθηκε μια παραμετρική ανάλυση ενός συστήματος τοίχου αντιστήριξης εδάφους θεμελιολωρίδας ούτως ώστε να διερευνηθούν οι παράμετροι που επηρεάζουν τη δυναμική εμπέδηση της τελευταίας για οριζόντια μετακίνηση και στροφή. Εξετάστηκαν η ευκαμψία του τοίχου, η γωνία τριβής τοίχου εδάφους, η σχετική απόσταση της θεμελιολωρίδας από τον τοίχο, καθώς και η (αδιαστατοποιημένη) συχνότητα της επιβαλλόμενης φόρτισης. Αποδείχθηκε ότι για χαμηλόσυχνες φορτίσεις της θεμελιολωρίδας, η ύπαρξη ενός παρακείμενου εύκαμπτου τοίχου αντιστήριξης σε αυτή ισοδυναμεί με ύπαρξη μονοδιάστατης εδαφικής στρώσης. Επίσης, αποδείχτηκε ότι το έδαφος για χαμηλόσυχνες διεγέρσεις μπορεί να προσομοιωθεί ικανοποιητικά με ένα μονοβάθμιο ταλαντωτή, η ιδιοσυχνότητα και ο λόγος κρίσιμης απόσβεσης του οποίου είναι ανεξάρτητα από τη συχνότητα της επιβαλλόμενης φόρτισης στο θεμέλιο. Για υψηλότερες συχνότητες, ο ισοδύναμος μονοβάθμιος ταλαντωτής έχει μεγαλύτερη αποτελεσματικότητα για τη στροφική εμπέδηση και λιγότερο για τη μεταφορική. Τέλος, διαπιστώθηκε ότι η μείωση της ευκαμψίας του τοίχου και η αύξηση της γωνίας τριβής τοίχου εδάφους αυξάνουν την ιδιοσυχνότητα του ισοδύναμου ταλαντωτή. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ABAQUS, (8), Analysis User s Manual, Version 6.8, ABAQUS Inc., USA. a EC8, Eurocode 8 (4): Design of structures for earthquake resistance, European standard CEN-ENV-998-, European Committee for Standardization, Brussels. EAK, Greek Seismic Code (), Ministry of Public Works, Athens, Greece. Gazetas, G. (983), Analysis of machine foundation vibrations: state of the art. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol., No., pp. -4. Gazetas, G. (99), Foundation vibrations, Foundation Engineering Handbook nd edition. Kausel, E. and Roesset, J.M. (974), Soilstructure interaction for nuclear containment structures, Proc. ASCE Power Division Specialty Conference, Boulder, Colorado. Kausel, E., Whitman, R.V., Morray, J.P. and Elsabee, F. (978), The spring method for embedded foundations, Nuclear Engineering and Design, 48, pp. 377-39. Mylonakis, G. and Gazetas, G. (), Seismic soil-structure interaction: beneficial or detrimental?. Journal of Earthquake Engineering, Vol. 4, No. 3, pp. 77-3. Novak, M., and El Hifnawy, L. (983), Effect of soil-structure interaction on damping of structures. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol., pp. 595-6. Papazafeiropoulos, G., Tsompanakis, Y. and Psarropoulos, P.N. (8), Open issues in retaining wall soil structure dynamic interaction, Proceedings of CST8: The 9 th International Conference on Computational Structures Technology, Greece. Papazafeiropoulos, G., Psarropoulos, P.N. and Tsompanakis, Y. (9), Retaining wall soil structure interaction effects due to seismic excitation, Proceedings of the TC4 Earthquake Geotechnical Engineering Satellite Conference, Egypt. Psarropoulos, P.N., Papazafeiropoulos, G. and Tsompanakis, Y. (9), Dynamic interaction of retaining walls with retained soil and structures, Proceedings of COMPDYN nd International conference on computational methods in structural dynamics and earthquake engineering, Greece. Stewart, J.P., Seed, R.B. and Fenves, G.L. (998), Empirical evaluation of inertial soilstructure interaction effects, Report No. PEER - 98/7, Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 9/9 /, Βόλος 8