ΠΡΟΣΧΕ ΙΟ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π..Π..Ε. Αττικής Ι..Ε. ΠΕΙΡΑΙΑ ΓΡΑΦΕΙΟ Ε. Ε. ΠΕΙΡΑΙΑ o 1 EΠΑ.Λ. ΠΕΡΑΜΑΤΟΣ 7 o Σ.Ε.Κ. ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΣΧΕ ΙΟ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΚΟΤΣΙΦΑΚΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ

ΣΧΕ ΙΟ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Απόσπασµα από την εγκύκλιο: Πρόταση και Έγκριση Ερευνητικών Θεµάτων Κατά την έναρξη του σχολικού έτους, εντός του πρώτου δεκαπενθήµερου του Σεπτεµβρίου συνέρχεται ο Σύλλογος ιδασκόντων σε ειδική συνεδρία για να εγκρίνει τα θέµατα των Ερευνητικών Εργασιών, τα οποία στη συνέχεια θα προταθούν στους µαθητές της Α Λυκείου για να επιλέξουν εκείνο που τους ενδιαφέρει. Τα προτεινόµενα θέµατα θα πρέπει να ανταποκρίνονται κατά το δυνατόν περισσότερο στα ενδιαφέροντα των µαθητών και να τους εµπλέκουν σε διαδικασίες διερεύνησης, αξιοποιώντας το περιεχόµενο, τα εννοιολογικά σχήµατα και τις µεθοδολογικές προσεγγίσεις των διδασκόµενων µαθηµάτων. Εποµένως, η συσχέτιση πραγµατικών καταστάσεων που βιώνουν οι µαθητές µε ενότητες των µαθηµάτων που διδάσκονται είναι βασικό κριτήριο για την επιλογή θεµάτων. Οι προτάσεις των θεµάτων πρέπει να γίνονται από έναν ή το πολύ δύο καθηγητές διαφορετικών µαθηµάτων (σε περίπτωση θέµατος που απαιτεί διεπιστηµονική διερεύνηση) οι οποίοι ταυτόχρονα µε την πρότασή τους αναλαµβάνουν την υποχρέωση της επίβλεψής του εφόσον τελικά εγκριθεί η πρότασή τους από το Σύλλογο ιδασκόντων και συγκεντρώσει τον οριζόµενο παρακάτω ελάχιστο αριθµό προτιµήσεων από τους µαθητές. Τουλάχιστον µια από τις προτεινόµενες εργασίες θα πρέπει να ανατίθεται (συµπεριλαµβάνεται η περίπτωση της συν-επίβλεψης) σε εκπαιδευτικούς από τους κλάδους ΠΕ02, ή ΠΕ03, ή ΠΕ04. Επιπλέον θα πρέπει απαραιτήτως τα θέµατα που θα προταθούν να εµπίπτουν τουλάχιστον σε τρεις από τους επόµενους κύκλους: α) «Ανθρωπιστικές και Κοινωνικές Επιστήµες», β) «Τέχνη και Πολιτισµός», γ) «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» και δ) «Περιβάλλον και Αειφόρος Ανάπτυξη» ή να συνδυάζουν κάποιους από αυτούς. Αυτό διασφαλίζει τη διασπορά της θεµατολογίας και τον αποκλεισµό της θεµατικής µονοµέρειας των προτεινόµενων θεµάτων.

Σχ. Έτος: 2011-2012 ΣΧΟΛΙΚΗ ΜΟΝΑ Α :1 o ΕΠΑΛ ΠΕΡΑΜΑΤΟΣ / 7 o ΣΕΚ ΠΕΙΡΑΙΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΤΙΤΛΟΙ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Θεµατικός Κύκλος: «Τέχνη και Πολιτισµός» Από το ηχητικό σήµα στην µουσική. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΧΕΤΙΚΗ ΙΑΤΙΘΕΜΕΝΕΣ ΩΡΕΣ ΓΙΑ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ (ΠΕ) ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ (ΦΟΡΕΑΣ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΕΤΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ) ΚΟΤΣΙΦΑΚΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΕ 17.Ο8 2 ΝΑΙ ΝΑΙ

ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΣΚΟΠΟΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ: Μαθαίνεται η υψηλή σκέψη; ιδάσκεται; Υπάρχει παιδαγωγικό κλειδί για τη δηµιουργικότητα; Η καινοτόµος, η µεταµορφωτική σκέψη τόσο στις τέχνες όσο και στις επιστήµες µοιάζει να γεννιέται από «προσκρούσεις», από κβαντικά άλµατα στη γωνία επαφής µεταξύ υποσυνειδήτου και του συνειδητού, µεταξύ του τυπικού και του οργανικού σ ένα παιχνίδι και µια «ηλεκτρική» τέχνη ψυχικών και σωµατικών φορέων, που ως επί το πλείστον είναι απρόσιτοι τόσο για τη βούλησή µας όσο και για την κατανόησή µας. Τα βοηθητικά µέσα µπορούν να διδαχτούν. Η µεταµορφωτική όµως χρήση αυτών των µέσων µε στόχο νέες διαµορφώσεις του νοήµατος και νέες εκδηλώσεις των ανθρώπινων δυνατοτήτων δεν µπορεί ούτε να προβλεφθεί ούτε να διδαχθεί. Οι «πρώτοι» αριθµοί στους οποίους απευθύνεται η σκέψη είναι σταθερές που καθορίζουν τα όρια της ανθρωπότητάς µας. Η ανθρώπινη σκέψη σε συνεχή κίνηση και δραστηριότητα η ίδια µοιάζει να απεχθάνεται το κενό. Το µηδέν, η εν κενώ ύπαρξή µας, είναι για τους περισσότερους ανθρώπους κάτι «αδιανόητο» τόσο µε τη συναισθηµατική όσο και µε τη λογική έννοια της λέξης. Υπάρχουµε (ergo sum) όσο προσπαθούµε να «σκεφτόµαστε το είναι», το «µη είναι» και τη σχέση αυτών των δύο αντίθετων πόλων µε την παρουσία ή απουσία, µε τον ανθρωποµορφικά ζώντα Θεό ή το θάνατο του Θεού. Το γεγονός παραµένει και είναι συντριπτικό: η σκέψη δεν έρχεται πιο κοντά στην κατανόηση των πρωταρχικών αντικειµένων. Το βίο που δε θέλει να µείνει ανεξέταστος τον ενεργοποιεί ο ίλιγγος της διερώτησης. Σε τελική ανάλυση δεν καταλήγουµε πουθενά. Καµία διάψευση δεν είναι αξιωµατικά εφικτή. Η επιστήµη δεν µπορεί να δώσει απάντηση στα ουσιώδη ερωτήµατα που απασχολούν ή θα έπρεπε να απασχολούν το ανθρώπινο πνεύµα. Η κυριαρχία της σκέψης, της απόκοσµης ταχύτητας της σκέψης εξυψώνει τον άνθρωπο πάνω από κάθε ζωντανό πλάσµα. Κι όµως τον αφήνει ξένο για τον ίδιο του τον εαυτό και για τα µεγέθη του κόσµου. Ο άριστος αλλά διαρκής στόχος της σκέψης είναι η κατοχή των µυστικών της γνώσης το µυστικό της αλήθειας, το µυστικό της οµορφιάς που σχεδόν το διαισθάνεται κανείς, αλλά δεν το κατανοεί. Η κατεύθυνση που θα διανύσουµε είναι µία εντελώς εφήµερη προσπάθεια να συλληφθεί, να γίνει κατανοητή και να παρουσιαστεί, µε κάθε επιφύλαξη, η φύση της σκέψης ως βάση κάθε αντίληψης ή οργανωµένων βιωµάτων και συναισθηµάτων κάθε πνευµατικής διαδικασίας και ειδικά της καλλιτεχνικής. Η αποτύπωση των βιωµάτων, το «κλείδωµα» των συναισθηµάτων σε µια καλλιτεχνική δηµιουργία και η σηµερινή κοσµολογία προσφέρουν µια αναλογία σε µια πεποίθηση του Schelling, ο οποίος αποδίδει στην ανθρώπινη ύπαρξη µια θεµελιώδη, αναπόδραστη θλίψη. Πρόκειται για το «θόρυβο υποβάθρου» (background noise), για τα απροσδιόριστα αλλά αναπότρεπτα κοσµικά µήκη κύµατος, τα οποία είναι υπολείµµατα της «Μεγάλης έκρηξης», της γέννησης του είναι. Σε κάθε σκέψη σύµφωνα µε τον Schelling αυτή η αρχέγονη ακτινοβολία, αυτή η «σκοτεινή ύλη» είναι η θλίψη, που συν τοις άλλοις είναι και δηµιουργική. Η ζωή της διάνοιας ισοδυναµεί µε βίωση αυτής της µελαγχολίας και περιλαµβάνει µια ζωτική ικανότητα να την ξεπερνούµε. Στην έννοια αυτή υπάρχει ο «θόρυβος υποβάθρου» των βιβλικών, των αιτιωδών σχέσεων ανάµεσα στην απαγορευµένη απόκτηση της γνώσης, την αναλυτική διάκριση και τέλος την εξορία του ανθρώπινου είδους από την αθώα µακαριότητα. Όλες οι ζωικές µορφές µετά από το σηµείο αυτό τελούν υπό καθεστώς περιορισµών. Από την άλλη µεριά ένα κλειδί µπορεί και να κλειδώνει και να ξεκλειδώνει µια πόρτα. Όταν κλειδώνει, κάτι κρατιέται µέσα, κάτι µπαίνει και µένει µέσα στον κλειδωµένο χώρο. Όταν ξεκλειδώνει όµως, κάτι βγαίνει προς τα έξω.

Β. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Οι καθηγητές Κεΐσογλου Στέφανος και Σπύρου Παναγιώτης, στην ιστοσελίδα τους [Μαθηµατικά - Μουσική : Πορείες παράλληλες] σε µια προσπάθεια τους για µια ολοκληρωµένη θεώρηση στο θέµα της σχέσης µεταξύ της µουσικής και των µαθηµατικών σηµειώνουν µε έµφαση ότι η εποπτεία που διαθέτουµε για τον χρόνο αποτελεί τη βάση, την απαρχή τόσο της µουσικής όσο και της µαθηµατικής εµπειρίας µας. Η µουσική αποτελεί το πρώτο παράδειγµα, ποσοτικοποίησης ενός ποιοτικού φαινοµένου µέσω των µαθηµατικών. Ο ρυθµός και η αρµονία είναι οι δύο βασικές συνιστώσες κάθε µουσικής έκφρασης. Ο ρυθµός είναι η πρώτη µουσική κατάκτηση για τον άνθρωπο, όπως ακριβώς ο αριθµός είναι η πρώτη, η θεµελιώδης µαθηµατική κατασκευή. Ο ρυθµός και ο αριθµός έχουν κοινή καταγωγή, την οποία έλκουν από την κατάτµηση του χρόνου και την ένα προς ένα αντιστοιχία των χρονικών στιγµών µε γεγονότα. Το µουσικό µέτρο, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ενός µουσικού θέµατος, δηλώνεται µέσω ενός κλάσµατος, ενός αριθµού δηλαδή ο οποίος καθοδηγεί το ρυθµό. Η σύγχρονη αντίληψη για την αρµονία προκύπτει µέσα από τη χρήση ενός ισχυρότατου Μαθηµατικού "εργαλείου", της ανάλυσης Fourier. Κάθε περιοδικό φαινόµενο, εποµένως και ο µουσικός τόνος, µπορεί να εκφραστεί από ένα αλγεβρικό άθροισµα αρµονικών συνιστωσών. Η αρµονία πλέον δύο µουσικών τόνων καθορίζεται από το πλήθος των αρµονικών συνιστωσών οι οποίες συµπίπτουν. Θα αναζητήσουµε τη σύνδεση των µαθηµατικών µε τη µουσική στις δύο βασικές συνιστώσες της µουσικής που είναι ο Ρυθµός και η Αρµονία.

Γ. ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΕΘΟ ΟΥ ΠΟΥ ΘΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΘΕΙ ΟΜΑ ΟΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ Οµαδοσυνεργατική ονοµάζεται η διδασκαλία κατά την οποία οι µαθητές χωρίζονται σε οµάδες, όπου εργάζονται συνεργαζόµενοι µεταξύ τους, χωρίς την άµεση καθοδήγηση του διδάσκοντος. Οι γνώσεις αποκτώνται: µε τη συνεργασία, την ανταλλαγή απόψεων, την παρατήρηση εξέλιξης φαινοµένων, περιγραφή εµπειριών, παρέµβαση διδάσκοντος. Στα πλαίσια της οµάδας οι διερευνητικές ερωτήσεις προέρχονται από τους συµµαθητές και απευθύνονται στους συµµαθητές. Οι µαθητές εκφράζουν απορίες και ζητούν εξηγήσεις από τους συµµαθητές τους, πιο εύκολα από ότι θα τις ζητούσαν από τον δάσκαλό τους. Με τον τρόπο αυτό, ωφελούνται τόσο οι µαθητές που δέχονται τις εξηγήσεις όσο και εκείνοι που δίνουν τις απαντήσεις. ίνοντας διευκρινιστικές απαντήσεις, οι µαθητές υψηλών επιδόσεων καλλιεργούν ακόµα περισσότερο τις ικανότητές τους. Αντίστοιχα, οι µαθητές χαµηλών επιδόσεων αποκτούν υψηλότερο βαθµό επίδοσης από την αλληλεπίδραση µε τους συµµαθητές τους. Συµπερασµατικά, η οµάδα: α) Είναι ανώτερη από το άτοµο, όσον αφορά στην εκτίµηση διαφόρων καταστάσεων. β) Μπορεί να είναι αποδοτικότερη, αν και πιο αργή, στη λύση σύνθετων προβληµάτων. Αντιθέτως, η απόδοση του µεµονωµένου ατόµου είναι ανώτερη, όταν το έργο είναι απλό. γ) Όσο πιο πολύπλοκο και σύνθετο είναι το έργο τόσο αποδοτικότερη και αποτελεσµατικότερη είναι η οµάδα. Στη µικρή οµάδα οι µαθητές επικοινωνούν λεκτικά µε φυσικό και απλό τρόπο. Εκείνο που τους ενδιαφέρει κυρίως είναι το περιεχόµενο του µηνύµατος που θέλουν να µεταφέρουν, παρά η τυπική διατύπωσή του. Αυτή η µορφή επικοινωνίας τους διευκολύνει να εκφράσουν και να διατυπώσουν τις σκέψεις τους µε άνεση, ιδιαίτερα εκείνα τα παιδιά που δυσκολεύονται στη χρήση του τυπικού γλωσσικού κώδικα. Η έρευνα έδειξε ότι η ανάπτυξη συµπάθειας, σεβασµού και αλληλοεκτίµησης µεταξύ των µαθητών, οι οποίοι διαφοροποιούνται ως προς τα ποικίλα χαρακτηριστικά τους, είναι ένα από τα πιο θετικά αποτελέσµατα της οµαδικής διδασκαλίας. Υπάρχουν όµως και αυτοί που διατείνονται ότι η συµµετοχή όλων των µελών της οµάδας στο διδακτικό έργο είναι µια αυταπάτη, µια ψευδαίσθηση. Στην πραγµατικότητα, λένε, λίγοι εργάζονται, (οι καλύτεροι συνήθως µαθητές), ενώ οι υπόλοιποι, µη µπορώντας να παρακολουθήσουν τους γρήγορους ρυθµούς της οµάδας, απογοητεύονται και απλώς παρακολουθούν. Έτσι, καταντούν παθητικοί ακροατές ή απλώς αντιγράφουν και συµφωνούν άκριτα µε τις απαντήσεις των άλλων. Για την εφαρµογή αυτής της µορφής διδασκαλίας, πρέπει προηγουµένως να καθορισθούν: α) η σύνθεση των οµάδων, ο ρόλος κάθε µέλους της οµάδας και ο αριθµός µελών. Ο ιδανικός αριθµός µελών είναι 3-4. β) ο τρόπος αξιολόγησης κάθε µέλους και της οµάδας συνολικά. Ο δάσκαλος αξιολογεί: τις γνώσεις, τη συµµετοχή, τη συνεργασία, την ικανότητα διατύπωσης και τεκµηρίωσης απόψεων κ.ά.

Κριτήρια σχηµατισµού των οµάδων: 1. Τύχη. Σε κάποιες περιπτώσεις δεν είναι µεµπτό η δηµιουργία τυχαίας συγκρότησης οµάδας µε κλήρωση. Γενικώς όµως αυτό δεν είναι αποδεκτό από τους παιδαγωγούς. 2. Απόδοση: σχηµατίζονται οµάδες µε κριτήριο την απόδοση των µελών. Για τους µαθητές προτείνεται η ανοµοιογενής σύνθεση. 3. Ενδιαφέροντα: Σχηµατισµός οµάδων µε βάση τα µουσικά ενδιαφέροντά τους. 4. Κοινωνικές σχέσεις. Οι διαπροσωπικές σχέσεις εξακριβώνονται µε κατάλληλο ερωτηµατολόγιο, το οποίο ονοµάζεται «κοινωνιοµετρικό τεστ». Ο ρόλος του διδάσκοντος: 1. Μεσολαβητικός στην αυτόνοµη µάθηση. 2. Συνεργατικός. 3. Συµβουλευτικός. 4. Καθοδηγητικός. Αρνείται να δίνει γρήγορες απαντήσεις. Παρεµβαίνει µόνο όπου είναι απαραίτητο. Επαινεί, ενθαρρύνει και αναγνωρίζει την πρέπουσα συµπεριφορά. Προωθεί τεχνικές για έρευνα και έξω από την τάξη. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Ο εκπαιδευτικός βαθµολογεί την ατοµική επίδοση κάθε µέλους, καθώς και την οµάδα ως σύνολο. Ο βαθµός της οµάδας µετέχει στη βαθµολογία κάθε µέλους. Οι ερευνητικές εργασίες ειδικά για φέτος δεν βαθµολογούνται για το πρώτο τετράµηνο. Πλεονεκτήµατα για τους µαθητές: Ανάπτυξη διαπροσωπικών σχέσεων. Καλλιέργεια αλληλεγγύης. Καλλιέργεια κοινωνικών δεξιοτήτων Απόκτηση γνώσεων από τις εµπειρίες των άλλων. Αλληλοκάλυψη σε γνώσεις και δεξιότητες. Απόκτηση εµπειρίας σε διαχείριση διαφωνιών και αντιπαραθέσεων. Απόκτηση ικανότητας καθορισµού κριτηρίων αξιολόγησης. Απόκτηση κριτικής ικανότητας και λήψης αποφάσεων. Μειονεκτήµατα: Αυξηµένη δυσκολία στην αξιολόγηση των µαθητών. Υπάρχει ενδεχόµενο κάποια µέλη της οµάδας να µην συνεργάζονται. Ίσως κάποιοι να µην µπορούν να παρακολουθήσουν το ρυθµό εργασίας των υπολοίπων. Ίσως να παρεµποδίζεται η αυτονοµία και η αυτενέργεια κάποιων µελών. Η οµαδοσυνεργατική µορφή διδασκαλίας είναι ιδανική για την εκπόνηση εργασιών διαθεµατικού χαρακτήρα.

. ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ. Μια συναυλία στο χώρο του σχολείου όπου θα παρουσιαστεί υλικό από τους µαθητές. Ηχογράφηση υλικού. Ε. ΠΟΡΟΙ ΥΛΙΚΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΣ Το Μεγάλο Αµφιθέατρο του σχολείου. Εργαστήρια πληροφορικής. Μουσικός και εργαστηριακός εξοπλισµός του υπεύθυνου καθηγητή, καθώς και µουσικά όργανα των µαθητών. Οι φωνές και η δηµιουργική διάθεση των µαθητών.

Στ. ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ιστότοποι http://www.telemath.gr/mathematical_articles/mathematical_articles_music/ http://www.ionio.gr/~floros/lessons/avarts_acoustics_lesson03.pdf http://pelopas.uop.gr/~tstk08/comms-ch1.pdf http://www.eng.ucy.ac.cy/cpitris/courses/ece623/presentations/lecture6.pdf http://nemertes.lis.upatras.gr/dspace/bitstream/123456789/435/1/206.pdf http://music.analogion.net/klimakes/diatonikh_sugkrash1881.html http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html http://g-pribas.pblogs.gr/32-glwssario-moysikwn-arhaioellhnikwn-orwn.html http://maths-art.blogspot.com/2009/02/blog-post_26.html Βιβλιογραφία (Bibliography) 1] Dave Benson: Music: A Mathematical Offering, Published by Cambridge University Press, Nov 2006. 2] Oppenheim, A.V., and R.W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Prentice- Hall, 1989 3] Divenyi, P. (2004). The Times of Ira Hirsh: Multiple Ranges of Auditory Temporal Perception. Seminars in Hearing, 25(3), 229 239. 4] Dowling, J. & Harwood, D. (1986). Music Cognition. London: Academic Press. 5] Fraisse, P. (1978). Time and rhythm perception. Στο: Handbook of Perception, Vol. VIII (σελ.203-254). London: Academic Press. 6] Greenberg, S. (1997). Auditory function. Στο: Crocker, M. (Ed.), Encyclopedia of Acoustics. John Wiley & Sons, Inc. 7] Harnad, S. (1987). Psychophysical and cognitive aspects of categorical perception: A critical overview. Στο: Categorical Perception: The Groundwork of Cognition (σελ. 1-25).Cambridge: Cambridge University Press. 8] Hirsh, I. (1959). Auditory Perception of Temporal Order. Journal of the Acoustical Society of America, 31(6), 759-767. 9] Houle, G. (1987). Meter in Music, 1600-1800. Bloomington & Indianapolis: Indiana University Press. 10]Kanabus, M., Szelag, E., Rojek, E. & Pöppel, Ε. (2002). Temporal order judgement for auditory and visual stimuli. Acta Neurobiol. Exp., 62, 263-270. 11]Koelsch, S. & Siebel, W. (2005). Towards a neural basis of music perception. Trends in Cognitive Sciences, 9(12), 578-584. 12] London, J. (2008). Rhythm. Στο: Macy, L. (Ed.), Grove Music Online. Oxford University Press. 13] Parncutt, R. (1994). A Perceptual Model of Pulse Salience and Metrical Accent in Musical Rhythms. Music Perception, 11 (4), 409-464. 14] Pöppel, Ε. & Wittman, Μ. (2001). Time in the Mind. Στο: Wilson, R. & Keil, F. (Eds),

15] Encyclopedia of the Cognitive Sciences (σελ. 841-843). Cambridge, Massachusetts: MIT Press. 16] Sachs, Curt. (1953). Rhythm and Tempo. A Study in Music History. New York: W. W. Norton & Company. 17] Scott, S. (1998). The point of P-centres. Psychological Research, 61, 4-11. 18] Math and Music By TH Garland & C.Y Kahn D.Seymour Publications 1995. 19] "The Child's Understanding of Number" Harvard University Press 1982. 20] D. Tall: "Advanced Mathematical Thinking" Kluwer1991. 21] James Jeans: "Science and Music".Dover1968. 22] "Fourier Series": Georgi P. Tolstov Dover 1962. 23]P. D. Welch, ``The use of fast Fourier transforms for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short modified periodograms,'' IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, vol. 15, pp. 70-73, 1967, 24]E. Zwicker and H. Fastl, Psychoacoustics: Facts and Models, Berlin: Springer Verlag, 1999, second updated edition, 80pp., CD-ROM/softcover. 25]Divenyi, P. (2004). The Times of Ira Hirsh: Multiple Ranges of Auditory Temporal Perception. Seminars in Hearing, 25(3), 229 239. 26]Dowling, J. & Harwood, D. (1986). Music Cognition. London: Academic Press. 27]Fraisse, P. (1978). Time and rhythm perception. Στο: Handbook of Perception, Vol. VIII (σελ.203-254). London: Academic Press. 28]Harnad, S. (1987). Psychophysical and cognitive aspects of categorical perception: A critical overview. Στο: Categorical Perception: The Groundwork of Cognition (σελ. 1-25). Cambridge: Cambridge University Press. 29]Παπαδέλης Γ.(2009) Χαρακτηριστικά της αντίληψης του χρόνου στη µουσική. 30]Μ. Παπαθανασίου: "Κοσµολογικαί και κοσµογονικαί αντιλήψεις εις την Ελλάδα κατά την Β' χιλιετηρίδα π.χ." ιδακτορική διατριβή. Αθήνα 1978. 31]Πέτρου Γράβιγγερ: "Πυθαγόρας και η µυστική διδασκαλία του Πυθαγορισµού" (Ιδεοθέατρο)1998. 32]Μιχαηλίδης, Σ. (1989). Εγκυκλοπαίδεια της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής. Αθήνα: Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τραπέζης. 33]Παπαδέλης, Γ. (2007). Ζητήµατα αντίληψης του µουσικού ρυθµού. Θεσσαλονίκη: University Studio Press. 34]Κανελλόπουλος, Παπαϊωάννου, Παπαδηµητρίου, Χελιώτης: Ειδικά Θέµατα Ηλεκτρονικών. Αθήνα ΟΕ Β 35]Ματθαίος Λαζαρίδης : Αιτιολόγηση των µουσικών διαστηµάτων στα πλαίσια της φυσικής και των µαθηµατικών, ηµοσίευση Οκτώβριος 2003 36] Μάριος Μαυροειδής : Οι µουσικοί τρόποι στην ανατολική Μεσόγειο, Fagotto 1999 37] Ευγένιος Βούλγαρης - Βασίλης Βανταράκης: Το αστικό λαϊκό τραγούδι στην Ελλάδα του Μεσοπολέµου, Εκδόσεις Τµήµατος Λαϊκής και Παραδοσιακής Μουσικής ΤΕΙ Ηπείρου - Fagotto (2007) 38]Τσιχριντζής Γ. - ουληγέρης Χ.: «Αρχές και εφαρµογές σηµάτων και συστηµάτων» Έκδοση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΑ