Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 1 Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης Τμήμα: Φυσικής
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις για το μάθημα "Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές" Κεφάλαιο 3ο Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 1ο Α. Δούβαλης - Α. Πολύμερος Ιωάννινα 2014
Ιστορική αναδρομή και εισαγωγή στα προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Τα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας είναι μια κλάση προγραμμάτων που συνέβαλλε ουσιαστικά στην διάδοση και επικράτηση του μοντέλου του προσωπικού υπολογιστή σε παγκόσμια κλίμακα. Από τις πρώτες εφαρμογές που υπήρξαν πρόδρομοι των σύγχρονων φύλλων εργασίας αξίζει μνείας το Lotus - 123 (Εικόνα 1). Ήταν από τα πρώτα προγράμματα υπολογισμών στο λειτουργικό σύστημα προσωπικών υπολογιστών MS-DOS και από πολλούς θεωρείται η αιτία επικράτησης της αρχιτεκτονικής x86 (intel architecture) στους προσωπικούς υπολογιστές (IBM compatibles) 1. Τα φύλλα υπολογισμών επιτρέπουν εφαρμογή υπολογιστικών συσχετισμών σε δεδομένα οργανωμένα σε μορφή πίνακα. Δεδομένα δηλαδή τα οποία δεικτοδοτούνται (indexed - referenced) με χρήση αναφορών σε γραμμές και στήλες. Η δομή πίνακα έχει επίσης παράλληλη χρήση και για την φιλοξενία δομημένης πληροφορίας ως τμήμα βάσης δεδομένων. Σε αυτή την περίπτωση οι στήλες ονομάζονται πεδία, ενώ οι γραμμές ονομάζονται εγγραφές. Στα προγράμματα υπολογιστικών φύλλων εργασίας γίνεται χρήση και των δύο πιο πάνω δυνατοτήτων. Δηλαδή χρησιμοποιούνται και για εφαρμογή μοντέλων υπολογισμών αλλά και αποθήκευσης και επεξεργασίας δεδομένων. Έως και σχετικά πρόσφατα το συνολικό εύρος δεικτοδότησης των σύγχρονων λογιστικών φύλλων δεν είχε αλλάξει από την εποχή του Lotus-123. Εικόνα 1. Άποψη της εμφάνισης υπολογιστικού φύλλου εργασίας του προγράμματος Lotus - 123. Το μέγιστο εύρος εκτεινόταν σε 2 16 = 65536 γραμμές και 2 8 = 256 στήλες, το σύνολο δηλαδή των κελιών ήταν 2 24 = 16.777.216. Από την έκδοση Excel 2007 και έπειτα αυτό το εύρος έχει διευρυνθεί και είναι 2 20 = 1.048.576 γραμμές και 2 14 = 16384 στήλες, συνολικά δηλαδή 2 34 = 17.179.869.184 κελιά ανά λογιστικό 1 http://en.wikipedia.org/wiki/killer_application http://en.wikipedia.org/wiki/lotus_1-2-3
φύλλο. Ένα λογιστικό φύλλο μπορεί λοιπόν να φιλοξενεί πολύ μεγάλο όγκο δεδομένων και για τον λόγο αυτό πρέπει ο χρήστης να είναι εξοικειωμένος με τις δυνατότητες που μας παρέχει το πρόγραμμα για γρήγορη μετακίνηση σε διάφορες περιοχές του. Εικόνα 2. Άποψη της εμφάνισης υπολογιστικού φύλλου εργασίας του προγράμματος Microsoft Excel 2007. Όπως φαίνεται από την πιο πάνω Εικόνα 2, το πρόγραμμα Excel 2007 ακολουθεί την τυπική δομή ενός προγράμματος γραφικού περιβάλλοντος. Διαθέτει δηλαδή τα βασικά χαρακτηριστικά (Μενού επιλογών, Γραμμές εργαλείων, Γραμμές κύλισης, γραμμή κατάστασης και τον κύριο χώρο εργασίας) μιας παραθυρικής εφαρμογής. Σε πολλές περιπτώσεις δεν χρειάζεται σε ένα φύλλο μόνο να μπορούμε να περιγράψουμε ένα υπολογιστικό μοντέλο, αλλά και να το εμφανίσουμε με παραστατικό και κατανοητό τρόπο. Για τον λόγο αυτό ένα μεγάλο τμήμα του μενού επιλογών του Excel είναι αφιερωμένο σε επιλογές εμφάνισης και παρουσίασης. Επιλογή κελιών παράμετροι εμφάνισης και παρουσίασης Πριν εφαρμόσουμε ιδιότητες εμφάνισης σε ένα σύνολο κελιών πρέπει να τα επιλέξουμε. Η επιλογή μια περιοχής (ομάδας) γίνεται είτε με κλικ και σύρσιμο του δείκτη του ποντικιού (click and drag), είτε από το πληκτρολόγιο με χρήση του πλήκτρου shift και ενός πλήκτρου κατεύθυνσης (Εικόνα 3). Προσέξτε ότι το εικονίδιο του ποντικιού στην διαδικασία επιλογής είναι ένας άσπρος σταυρός. Το πλήκτρο κατεύθυνσης μπορεί να είναι το αριστερό, δεξί, πάνω, κάτω βέλος για σταδιακή αύξηση της επιλογής κατά ένα κελί την φορά ή PgUp, Pgdown για μια σελίδα εμφάνισης την φορά. Επίσης μπορεί να γίνει επιλογή από το τρέχων κελί έως το τελευταίο συμπληρωμένο κελί εάν στους παραπάνω συνδυασμούς παρεμβάλουμε το πλήκτρο End. Στην κορυφή του φύλλου εργασίας υπάρχουν ειδικά κελιά που χρησιμοποιούνται για την διευθυνσιοδότηση (indexing - reference) των υπολοίπων κελιών και ονομάζονται κελιά επικεφαλίδες (headers). Μια ολόκληρη γραμμή ή στήλη μπορεί να επιλεχθεί εάν τοποθετήσουμε τον δείκτη του ποντικιού σε ένα κελί επικεφαλίδα και κάνουμε κλικ με το αριστερό πλήκτρο
του ποντικιού. Ο δείκτης του ποντικιού έχει τότε ένα από τα ακόλουθα σχήματα: για την γραμμή και για την στήλη (Εικόνα 4). Εικόνα 3. Επιλογή μια περιοχής (ομάδας) κελιών σε υπολογιστικό φύλλο εργασίας του προγράμματος Microsoft Excel 2007. Εικόνα 4. Επιλογή ολόκληρης στήλης (αριστερά) ή γραμμής (δεξιά) κελιών σε υπολογιστικό φύλλο εργασίας του προγράμματος Microsoft Excel 2007. Ολόκληρο το φύλλο εργασίας μπορεί να επιλεχθεί με κλικ στο σημείο που εμφανίζεται στην ακόλουθη Εικόνα 5, ή με την χρήση του συνδυασμού πληκτρολογίου Ctrl-A Εικόνα 5. Επιλογή ολόκληρου φύλλου εργασίας στο πρόγραμμα Microsoft Excel 2007.
Πλησιάζοντας ο δείκτης του ποντικιού σε διάφορα οριακά σημεία του φύλλου εργασίας το εικονίδιο του αλλάζει υποδεικνύοντάς μας την ενέργεια που πρόκειται να εκτελεσθεί. Τα ακόλουθα εικονίδια υποδηλώνουν την μεταβολή πλάτους μια στήλης ή τη μεταβολή ύψους μια γραμμής (Εικόνα 6). Εικόνα 6. Μεταβολή πλάτους μια στήλης (αριστερά) ή ύψους μια γραμμής (δεξιά) στο πρόγραμμα Microsoft Excel 2007. Σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί να εισάγουμε δεδομένα (στήλες ή γραμμές) εμβόλιμα ή ενδιάμεσα σε μια περιοχή. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε με χρήση δεξιού πλήκτρου του ποντικιού ενώ ο δείκτης είναι σε θέση ενός κελιού κεφαλίδας, όπως φαίνεται στην Εικόνα 7. Εικόνα 7. Εμβόλιμη εισαγωγή γραμμών (αριστερά) ή στηλών (δεξιά) στο πρόγραμμα Microsoft Excel 2007.
Μπορούμε να μεταφέρουμε ολόκληρα τα περιεχόμενα ενός κελιού ή μίας ομάδας κελιών από ένα μέρος του φύλλου εργασίας σε ένα άλλο. Για να το κάνουμε αυτό αφού επιλέξουμε το κελί ή τα κελιά που θέλουμε να μεταφέρουμε, πάμε με το ποντίκι στα όρια της επιλεγμένης περιοχής, οπότε εμφανίζεται το εικονίδιο. Το εικονίδιο αυτό υποδηλώνει ότι πρόκειται να γίνει μετακίνηση των περιεχομένων ενός κελιού σε μια άλλη θέση (Εικόνα 8). Πατάμε και κρατάμε πατημένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού και μεταφέρουμε την επιλογή μας στο μέρος του φύλλου εργασίας που επιθυμούμε. Εικόνα 8. Διαδικασία μεταφοράς κελιών μέσα στο φύλλο εργασίας. Από την άλλη πλευρά υπάρχει κει ένα άλλο πολύ σημαντικό εικονίδιο ποντικιού που εμφανίζεται μόνο όταν προσεγγίσουμε την κάτω δεξιά άκρη της επιλογής μας (στην οποία πάντα υπάρχει μία τελεία), είτε αυτή πρόκειται για ένα είτε για περισσότερα κελιά. Το εικονίδιο αυτό είναι το, το οποίο υποδηλώνει την εφαρμογή της διαδικασίας της λεγόμενης αυτόματης συμπλήρωσης. Η διαδικασία αυτή μπορεί να αφορά είτε στην απλή επανάληψη ενός περιεχομένου, είτε στην αναδρομική συμπλήρωση μίας σειράς αριθμών είτε στην εφαρμογή ενός μαθηματικού τύπου ή μίας λογικής πράξης ενός κελιού ή μίας ομάδας κελιών (το οποίο ή τα οποία έχουν αρχικά επιλεγεί από τον χρήστη) σε ένα σύνολο άλλων κελιών που καθορίζεται μέσω της επιλογή τους ενόσω διαρκεί η χρήση του εικονιδίου αυτόματης συμπλήρωσης ( ) (Εικόνα 9). Εικόνα 9. Διαδικασία αυτόματης συμπλήρωσης κελιών.
Από την στιγμή που έχει γίνει επιλογή ενός συνόλου κελιών οι μορφολογικές τους ιδιότητες μπορούν να καθορισθούν με χρήση των επιλογών των διαλόγων που εμφανίζονται όταν κάνουμε δεξί κλικ με το ποντίκι στην επιλογή των κελιών και διαλέξουμε την εντολή "Μορφοποίηση κελιών". Με τον τρόπο αυτό εμφανίζονται οι παρακάτω εικόνες ως "καρτέλες" της μορφοποίησης (Εικόνες 10 έως 14). Εικόνα 10. Μορφοποίηση του είδους των περιεχομένων των κελιών. Εικόνα 11. Μορφοποίηση της στοίχισης και του προσανατολισμού των περιεχομένων των κελιών.
Εικόνα 12. Μορφοποίηση της γραμματοσειράς των περιεχομένων των κελιών. Εικόνα 13. Μορφοποίηση των περιγραμμάτων των περιεχομένων των κελιών. Εικόνα 14. Μορφοποίηση του γεμίσματος και του μοτίβου των περιεχομένων των κελιών.
Πρόσβαση στους πιο πάνω διαλόγους αποκτούμε επίσης κάνοντας κλικ στο σημείο που υποδεικνύεται στην ακόλουθη Εικόνα 15. Εικόνα 15. Πρόσβαση στην μορφοποίηση των κελιών μέσω της εργαλειοθήκης "Στοίχιση" του μενού "Κεντρική" στο Microsoft Excel 2007. Είναι επίσης σημαντικό να αναφερθούν ορισμένα πολύ ουσιώδη στοιχεία του περιβάλλοντος του συγκεκριμένου λογισμικού. Αυτά βρίσκονται στην ενεργό γραμμή κάτω από τις εργαλειοθήκες (Εικόνα 16). Έτσι το αριστερό μέρος της γραμμής που ονομάζεται "Πλαίσιο ονόματος" (Εικόνα 17α) μας πληροφορεί για την θέση του τρέχοντος κελιού, τον αριθμό των γραμμών (R) και στηλών (C) που επιλέγουμε καθώς και, μετά την επιλογή περισσοτέρων του ενός κελιών, την θέση του ενεργού κελιού από το οποίο εξαρτώνται ο καθορισμός των περιεχομένων των υπόλοιπων κελιών της επιλογής μας (παραδείγματα θα δοθούν παρακάτω). Στο δεξί μέρος υπάρχει η "Γραμμή τύπων" (Εικόνα 17β), όπου εμφανίζονται τα περιεχόμενα του εκάστοτε επιλεγμένου κελιού (π.χ. αριθμός, μαθηματικές σχέσεις, συναρτήσεις κτλ) στην πλήρη τους αναλυτική μορφή (όχι κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα μίας πράξης αλλά η πράξη αυτή καθεαυτή). Ενδιάμεσά τους υπάρχει μία περιοχή με εντολές-κουμπιά (Εικόνα 17γ) τα οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να ακυρώσουμε, να εισάγουμε-εκτελέσουμε μία πράξη, ή να εισάγουμε μία συνάρτηση, σε ένα ή περισσότερα κελιά. Εικόνα 16. Η ενεργός γραμμή κάτω από τις εργαλειοθήκες στο Microsoft Excel 2007. (α) (β) (γ) Εικόνα 17. Τα μέρη του "Πλαισίου ονόματος" (α), της "Γραμμής τύπων" (β) και των εντολώνκουμπιών (γ) της ενεργού γραμμής στο Microsoft Excel 2007.
Εισαγωγή συναρτήσεων και τύπων υπολογισμών στα υπολογιστικά φύλλα εργασίας Συναρτήσεις Τα κελιά των υπολογιστικών φύλλων εργασίας έχουν την δυνατότητα να φιλοξενήσουν ένα εύρος στοιχείων, από απλό κείμενο, ημερομηνίες και ώρες μέχρι πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις και συναρτήσεις. Η έννοια της συνάρτησης στα υπολογιστικά φύλλα εργασίας δεν περιορίζεται στον αυστηρό ορισμό μίας μαθηματικής σχέσης ή έκφρασης, π.χ. e 2 =7.389056, αλλά αφορά και "λογικές συναρτήσεις" που επιστρέφουν για παράδειγμα τον αριθμό των μη κενών κελιών μίας επιλεγμένης περιοχής κελιών, το αν περιέχονται ή όχι ορισμένοι χαρακτήρες σε κάποια κελιά, το μέγιστο ή ελάχιστο αριθμό από ένα σύνολο αριθμών σε κελιά, το αν ισχύει ή όχι μία λογική πρόταση για τα περιεχόμενα ορισμένων κελιών και πολλά άλλα. Η συναρτήσεις διαθέτουν δύο μέρη: το όνομα και το όρισμα ή τα ορίσματά τους. Η εισαγωγή μιας συνάρτησης σε ένα κελί γίνεται είτε από το πληκτρολόγιο, εάν γνωρίζουμε εκ των προτέρων το όνομά της, είτε με την βοήθεια ενός οδηγού διαλόγου (helper dialog). Το όρισμα ή τα ορίσματα της συνάρτησης πάντα ακολουθεί/ούν (χωρίς κενό) το όνομα της συνάρτησης και αφορά/ούν το περιεχόμενο μεταξύ των παρενθέσεων (). Όταν έχουμε παραπάνω από ένα όρισμα στην συνάρτηση τα ορίσματα διαχωρίζονται με την χρήση του αλφαριθμητικού ελληνικού ερωτηματικού ";". Στην περίπτωση που η εισαγωγή γίνεται άμεσα από το πληκτρολόγιο η γενική μορφή είναι η ακόλουθη "=συνάρτηση(ορίσμα1;όρισμα2;.)". Προσέξτε ότι για να εμφανιστεί το αποτέλεσμα εφαρμογής της συνάρτησης αν έχουν δοθεί σωστά το όνομα και το όρισμα ή τα ορίσματά της, είναι απαραίτητη η χρήση του αλφαριθμητικού χαρακτήρα "=" ως πρώτου χαρακτήρα στο κελί εισαγωγής. Γενικά ο χαρακτήρας "=" τοποθετείται ως ο πρώτος χαρακτήρας σε ένα κελί για να πάρουμε το αποτέλεσμα είτε της εφαρμογής μίας μαθηματικής ή λογικής συνάρτησης, είτε μίας μαθηματικής πράξης, είτε μίας λογικής πράξης. Ουσιαστικά πρέπει να μπει για να υποδηλώσει στο λογισμικό ότι ο χρήστης θέλει από αυτό να του "δώσει ένα αποτέλεσμα" σύμφωνα με την σύνταξη των εντολών που ακολουθούν μετά το σύμβολο "=". Αν ο χρήστης δεν χρησιμοποιήσει τον χαρακτήρα αυτόν ως πρώτο χαρακτήρα στο κελί, όλη η υπόλοιπη σύνταξη θα ληφθεί από το λογισμικό ως απλή εισαγωγή κειμένου. Για παράδειγμα η εφαρμογή της σύνταξης "=exp(2)" (εφαρμογή της εκθετικής συνάρτηση με φυσικό-μαθηματικό νόημα την ύψωση της βάσης των νεπερίων λογαρίθμων "e" στον αριθμό-εκθέτη "2" με αποτέλεσμα το e 2 ) θα δώσει ως αποτέλεσμα τον αριθμό 7.389056, ενώ η εφαρμογή της σύνταξης "exp(2)" θα δώσει ως αποτέλεσμα το κείμενο exp(2) (Εικόνα 18). Εικόνα 18. Εφαρμογή των συντάξεων "=exp(2)" (αριστερά) και "exp(2)" (δεξιά) στο Microsoft Excel 2007.
Ήδη αναφέραμε ότι τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας έχουν δύο κυρίως χρήσεις: 1. Την εφαρμογή ενός υπολογιστικού μοντέλου σε ένα σύνολο δεδομένων. 2. Την αντιμετώπιση και χειρισμό των πληροφοριών του φύλλου, ως τμήμα βάσης δεδομένων. Για την υλοποίηση της πρώτης περίπτωσης μας παρέχεται ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών ή και λογικών συναρτήσεων από απλές, όπως για παράδειγμα εκθετικής, λογαριθμικής κλπ έως πιο προχωρημένες όπως π.χ μιγαδικές πράξεις, συναρτήσεις Bessel κλπ. Στην εικόνα που ακολουθεί το κελί Β1 περιέχει την συνάρτηση power(βάση;εκθέτης). Αυτή αποδίδει την δύναμη ενός αριθμού και έχει δύο ορίσματα, την βάση και τον εκθέτη. Το πρώτο είναι η βάση και το δεύτερο ο εκθέτης. Η σύνταξη λοιπόν power(a1;2) σημαίνει εφάρμοσε την συνάρτηση power με βάση την αριθμητική τιμή του κελιού Α1 (τιμή 2 στο παράδειγμα) και εκθέτη τον αριθμό 2. Εικόνα 19. Εφαρμογή της συνάρτησης power(). Η χρήση των συναρτήσεων μπορεί να γίνεται με πεπλεγμένο τρόπο (nested). Δηλαδή μία συνάρτηση να περιέχει στο όρισμά της μια άλλη, ή ακόμη και την ίδια, συνάρτηση, εάν το επιθυμούμε. Στην ακόλουθη εικόνα γίνεται πεπλεγμένη χρήση της power και το τελικό αποτέλεσμα είναι (2 2 ) 2 Εικόνα 20. Εφαρμογή της συνάρτησης power() με πεπλεγμένο τρόπο. Υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ως όρισμα δεν δέχονται τα περιεχόμενα ενός μόνο κελιού, αλλά ενός συνόλου κελιών. Το εύρος του συνόλου (εάν αυτά είναι σε συνεχόμενη περιοχή, με μορφή πίνακα) καθορίζεται από το πρώτο και τελευταίο στοιχείο του πίνακα διαχωριζόμενα με την αλφαριθμητική άνω-κάτω τελεία ":". Ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης είναι η συνεχής άθροιση (sum) και εμφανίζεται στην ακόλουθη Εικόνα 21.
Εικόνα 21. Εφαρμογή της συνάρτησης "sum(α1:β9)" για τα περιεχόμενα των κελιών της επιλογής Α1 έως Β9 που περιλαμβάνει την στήλη Α1 έως Α9 και Β1 έως Β9. Σε περίπτωση που το σύνολο των κελιών δεν είναι συνεχόμενο, η σύνταξη είναι παρόμοια αλλά απαιτεί και την χρήση του αλφαριθμητικού ελληνικού ερωτηματικού ";" όπως φαίνεται στην Εικόνα 22 που ακολουθεί. Εικόνα 22. Εφαρμογή της συνάρτησης "sum(α1:α9;c1:c9)" για τα περιεχόμενα των μη-συνεχόμενων κελιών της επιλογής Α1 έως Α9 και C1 έως C9. Κατά την διάρκεια εισαγωγής μιας συνάρτησης το πρόγραμμα μας διευκολύνει σε περίπτωση που δεν θυμόμαστε το πλήρες όνομά της παρουσιάζοντας μας μια λίστα με εκείνες τις συναρτήσεις, οι οποίες περιέχουν τα αλφαριθμητικά που έχουμε ήδη πληκτρολογήσει. Ένα τέτοιο παράδειγμα εμφανίζεται στην εικόνα που ακολουθεί.
Εικόνα 23. Βοήθεια επιλογής συνάρτησης κατά την διάρκεια πληκτρολόγησης των πρώτων χαρακτήρων της στο Microsoft Excel 2007. Εάν γνωρίσουμε το όνομα της συνάρτησης αλλά δεν θυμόμαστε τα ορίσματά της, μπορούμε να ανοίξουμε έναν βοηθητικό διάλογο πατώντας Ctrl-A. Πρόσβαση στις συναρτήσεις αποκτούμε επίσης πατώντας το εικονίδιο-κουμπί, οπότε εμφανίζεται ένα διάλογος οδηγός (helper dialog) όπως της ακόλουθης εικόνας, ο οποίος περιλαμβάνει όλες τις διαθέσιμες συναρτήσεις ανά κατηγορία. Εικόνα 24. Διάλογος οδηγός (helper dialog) με τις διαθέσιμες συναρτήσεις ανά κατηγορία στο Microsoft Excel 2007. Ακολουθώντας τις οδηγίες που μας παρέχονται από αυτόν τον οδηγό μπορούμε να τοποθετήσουμε την συνάρτηση και τα ορίσματά της με διαδραστικό τρόπο. Σε περίπτωση που ακολουθήσουμε αυτή την μέθοδο και η συνάρτηση δέχεται ορίσματα σε μορφή συνόλων, εάν αυτά δεν είναι συνεχόμενα η επιλογή των διακριτών υποσυνόλων γίνεται με χρήση του ποντικιού και του πλήκτρου ctrl του πληκτρολογίου.
Σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται να γεμίσουμε μεγάλες περιοχές με ίδιες συναρτήσεις. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε γρήγορα με την ακόλουθη μέθοδο: Καταρχήν επιλέγουμε τις περιοχές στις οποίες θέλουμε να επαναληφθεί η συνάρτηση όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα χρησιμοποιώντας το ποντίκι με αριστερό κλικ το πλήκτρο Ctrl. Εικόνα 25. Επιλογή κελιών μη-συνεχόμενων περιοχών με την χρήση του ποντικιού και του πλήκτρου Ctrl. Στην συνέχεια πληκτρολογούμε του τύπο της συνάρτησής μας στο ενεργό κελί της συνολικής επιλογής που δεν είναι σκιασμένο και τερματίζουμε την εισαγωγή με χρήση του συνδυασμού Ctrl-Enter. Το αποτέλεσμα φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί. Εικόνα 26. Εφαρμογή μίας συνάρτησης (exp(2)) σε επιλεγμένα κελιά μη-συνεχόμενων περιοχών με την χρήση του πλήκτρου Ctrl-Enter.
Μαθηματικοί τύποι Πολλές φορές εκτός από συναρτήσεις θέλουμε να εισάγουμε απλές ή πιο περίπλοκες μαθηματικές πράξεις με αριθμούς που πληκτρολογούμε, ή αριθμούς που υπάρχουν σε κελιά, ή και συναρτήσεις. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τους αλφαριθμητικούς χαρακτήρες-σύμβολα "+", "-", "*" και "/" για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και την διαίρεση αντίστοιχα. Για την ύψωση ενός αριθμού σε έναν εκθέτη χρησιμοποιούμε τον αλφαριθμητικό χαρακτήρασύμβολο "^". Στην επόμενη εικόνα δίνονται μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα. (α) (β) (γ) (δ) Εικόνα 27. Εφαρμογή μερικών απλών μαθηματικών πράξεων μεταξύ αριθμών, κελιών και συναρτήσεων. Προσέξτε ότι υπάρχει προτεραιότητα εφαρμογής των πράξεων σε κάθε εικόνα (α)-(δ). Όπως φαίνεται από την προηγούμενη εικόνα, οι πράξεις μεταξύ των αριθμών κελιών ή συναρτήσεων γίνονται με συγκεκριμένη σειρά προτεραιότητας. Η σειρά αυτή περιλαμβάνει ως πρώτο στάδιο την εκτέλεση των πράξεων μέσα σε παρενθέσεις, ως δεύτερο τον υπολογισμό των συναρτήσεων, ως τρίτο την ύψωση σε δύναμη, ως τέταρτο την διαίρεση ή τον πολλαπλασιασμό και κατόπιν την πρόσθεση ή την αφαίρεση. Για τα δύο τελευταία ζευγάρια (διαίρεσηπολλαπλασιασμός και πρόσθεση-αφαίρεση) προτεραιότητα μεταξύ των δύο πράξεων του ζεύγους έχει η πράξη που βρίσκεται αριστερά στον μαθηματικό τύπο. Για να είμαστε σίγουροι για την καλή εφαρμογή του τελικού επιθυμητού μαθηματικού τύπου βάζουμε όσες πράξεις θεωρούμε πως έχουν προτεραιότητα μέσα σε παρανθέσεις. Η επιλογή των κελιών για την χρήση τους σε μαθηματικούς τύπους ή ορίσματα συναρτήσεων μπορεί να γίνει είτε διαλέγοντας το κελί κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι μας όσο αυτό έχει την μορφή του άσπρου σταυρού ( ), είτε πληκτρολογώντας το όνομα του κελιού π.χ. C4. Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να βεβαιωθούμε ότι το πληκτρολόγιό μας εισάγει λατινικούς χαρακτήρες γιατί η χρήση ελληνικών χαρακτήρων π.χ. α1 ή β1, δεν γίνεται αποδεκτή από το λογισμικό. Παρατηρείστε επίσης ότι κάθε κελί του μαθηματικού μας τύπου παρουσιάζεται στην "Γραμμή τύπων" με διαφορετικό χρώμα και παίρνει όταν βρισκόμαστε μέσα σε αυτή το αντίστοιχο χρώμα περιγράμματος για να μπορούμε εύκολα να εντοπίζουμε την θέση του στο φύλλο εργασίας (Εικόνα 28). Εικόνα 28. Χρωματισμός των κελιών στην εφαρμογή μαθηματικών πράξεων για την καλύτερη εποπτεία της θέσης των κελιών στο φύλλο εργασίας.
Χρήση της διαδικασίας της αυτόματης συμπλήρωσης (AutoFill) Επανάληψη τιμών Έχουμε ήδη αναφέρει ότι όταν πλησιάζουμε τον δείκτη του ποντικιού στο κάτω δεξί άκρο ενός κελιού ή μίας επιλογής κελιών και στην συνέχεια το σύρουμε προς μια κατεύθυνση έχουμε σαν αποτέλεσμα την συμπλήρωση των περιεχομένων του αρχικού κελιού ή κελιών σε όλες τις επιλεγμένες θέσεις. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα στην περίπτωση της εκκίνησης αυτόματης συμπλήρωσης από ένα κελί που το οποίο περιέχει απλώς έναν αριθμό. Η διαδικασία αυτή έχει ως αποτέλεσμα την απλή συμπλήρωση όλων των επιλεγόμενων επομένων κελιών με τον ίδιο αριθμό εκκίνησης. Εικόνα 29. Εφαρμογή της αυτόματης συμπλήρωσης στην περίπτωση της απλής επανάληψης τιμών ενός κελιού. Πρόβλεψη τιμών Στην περίπτωση που η πιο πάνω διαδικασία ξεκινήσει με επιλογή περισσοτέρων του ενός επιλεγμένων κελιών, η επιλεγμένη περιοχή γεμίζει με τιμές οι οποίες προέρχονται μετά την εφαρμογή μίας διαδικασίας γραμμικής βελτιστοποίησης. Στην Εικόνα 30 εμφανίζεται μια απλή περίπτωση πρόβλεψης τιμών μίας σειράς αριθμών τα αποτελέσματα της οποίας προκύπτουν από τον υπολογισμό της διαφοράς των δύο αριθμών στην διεύθυνση μετακίνησης του ποντικιού, που αποτελεί και το αριθμητικό βήμα για την συμπλήρωση των επόμενων κελιών. Η γραμμική σχέση που διέπει τα κελιά Α6, Α7 είναι προφανής στην μετακίνηση από το κελί Α6 στο κελί Α7, δηλαδή Α7=A6+βήμα(=+1) και κατά συνέπεια η εφαρμογή της πρόβλεψης τιμών αποδίδει την αριθμητική αλληλουχία Α8 3, Α9 4, Α10 5, Α11 6, Α12 7 (Εικόνα 30β). Από την άλλη πλευρά αν η διεύθυνση μετακίνησης της επιλογής των αρχικών κελιών ήταν αντίθετη το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό. Α6=A7+βήμα(=-1) και κατά συνέπεια η εφαρμογή της πρόβλεψης τιμών αποδίδει την αριθμητική αλληλουχία Α5 0, Α4-1, Α3-2, Α2-3, Α1-4 (Εικόνα 30γ). Τα παραπάνω γίνονται πάντα στην περίπτωση που τα κελιά εκκίνησης είναι μόνο δύο. (α) (β) (γ) Εικόνα 30. Εφαρμογή της αυτόματης συμπλήρωσης στην περίπτωση της πρόβλεψης τιμών με την χρήση της διαφοράς ως το βήμα συμπλήρωσης τιμών.
Υπάρχει δυνατότητα ο χρήστης να επιλέξει μεταξύ της εφαρμογής αυτόματης συμπλήρωσης με πρόβλεψη τιμών (συμπλήρωση σειρών) ή της απλής αντιγραφής κελιών. Αυτό γίνεται με το να κάνει κλικ στο εικονίδιο που εμφανίζεται στο κάτω δεξί άκρο της περιοχής συμπλήρωσης ακριβώς μετά την εφαρμογή της διαδικασίας και έχει τίτλο "Επιλογές Αυτόματης Συμπλήρωσης" (Εικόνα 31). Εικόνα 31. Εφαρμογή των επιλογών αυτόματης συμπλήρωσης κατά την διάρκεια της διαδικασίας συμπλήρωσης κελιών στο φύλλο εργασίας του Microsoft Excel 2007. Συμπλήρωση με ονόματα κελιών Όταν η αυτόματη συμπλήρωση περιλαμβάνει όχι μόνο απλούς αριθμούς αλλά μαθηματικούς τύπους με ονόματα κελιών, τότε η αλληλουχία των κελιών που συμπληρώνονται εξαρτάται από την φορά μετακίνησης της συμπλήρωσης. Για παράδειγμα όταν θέλουμε να πάρουμε μία αλληλουχία αριθμών κατά το ύψος μίας στήλης προσθέτοντας ένα σταθερό αριθμό (βήμα) στον αμέσως προηγούμενό του αρχίζοντας από μία συγκεκριμένη τιμή (αριθμητική πρόοδος), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ονόματα των κελιών μίας στήλης στα οποία θα προσθέτουμε το βήμα (Εικόνα 32). Παρατηρήστε ότι καθώς συμπληρώνονται τα κελιά κατά το ύψος της ίδια στήλης (Α) στο όνομα του κελιού αλλάζει μόνο ο αριθμός της γραμμής των κελιών. Εικόνα 32. Εφαρμογή αυτόματης συμπλήρωσης με την χρήση ονομάτων κελιών κατά την συμπλήρωση κελιών σε στήλη στο φύλλο εργασίας του Microsoft Excel 2007. Εικόνα 33. Εφαρμογή αυτόματης συμπλήρωσης με την χρήση ονομάτων κελιών κατά την συμπλήρωση κελιών σε γραμμή στο φύλλο εργασίας του Microsoft Excel 2007.
Αντίστοιχα αν συμπληρώσουμε τα κελιά σε μία γραμμή χρησιμοποιώντας την ίδια σχέση στο όνομα των κελιών θα αλλάζει ο τίτλος των στηλών ενώ θα παραμένει σταθερός ο αριθμός της γραμμής στην οποία γίνεται η συμπλήρωση (Εικόνα 33). Δηλαδή όταν συμπληρώνουμε κατά το ύψος μίας στήλης περιμένουμε στα κελιά που συμπληρώνονται να αλλάζει ο αριθμός των γραμμών και όταν συμπληρώνουμε κατά το μήκος μίας γραμμής οι τίτλοι των στηλών αντίστοιχα. Συμπλήρωση κρατώντας σταθερό το όνομα ενός κελιού Υπάρχουν όμως πολλές περιπτώσεις στις οποίες κατά την αυτόματη συμπλήρωση και εφαρμογή των μαθηματικών τύπων, το όνομα ενός κελιού θέλουμε να παραμένει σταθερό, γιατί σε όλη την διαδικασία θέλουμε το περιεχόμενο αυτού του κελιού να αποτελεί μία σταθερά. Για παράδειγμα, θέλουμε να αφαιρέσουμε από μία στήλη αριθμών τον αριθμό που υπάρχει σε ένα άλλο κελί του φύλλου εργασίας και να πάρουμε τα αποτελέσματα σε μία άλλη νέα στήλη. Στην περίπτωση αυτή στο όνομα του κελιού που θέλουμε να κρατήσουμε σταθερό κατά την συμπλήρωση τοποθετούμε το αλφαριθμητικό σύμβολο του δολαρίου "$" πριν και μετά τον τίτλο της στήλης του κελιού. Έτσι στην Εικόνα 34 για να αφαιρέσουμε τα περιεχόμενα του κελιού C1 από όλους τους αριθμούς στα κελιά της στήλης Α, Α1 έως Α5 και να πάρουμε τα αποτελέσματα στα αντίστοιχα κελιά της στήλης Β, Β1 έως Β5, γράφουμε στο κελί Β1 την σχέση αφαίρεσης με τον τίτλο της στήλης του κελιού C1 ανάμεσα σε $, δηλαδή $C$1. Εικόνα 34. Εφαρμογή αυτόματης συμπλήρωσης με την χρήση ονομάτων κελιών κρατώντας σταθερό κατά την αυτόματη συμπλήρωση το όνομα ενός κελιού με την χρήση των αλφαριθμητικών "$" εκατέρωθεν του τίτλου της στήλης του συγκεκριμένου κελιού ($C$1). Το πλεονέκτημα της συμπλήρωσης των κελιών με αυτό τον τρόπο και όχι με την χρήση ενός συγκεκριμένου αριθμού είναι ότι στην περίπτωση της χρήσης ονομάτων κελιών μπορούμε ανά πάσα στιγμή να αλλάξουμε τα περιεχόμενα των κελιών και οι υπολογισμοί μας να γίνουν με βάση τα νέα περιεχόμενα. Στην περίπτωση της χρήσης σταθερών αριθμών το ίδιο αποτέλεσμα θα απαιτούσε την συμπλήρωση των θέσεων των αποτελεσμάτων στα αντίστοιχα κελιά τους ένα προς ένα.
Παράδειγμα υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης (σφάλμα μίας τιμής) καθώς και του σφάλματος της μέσης τιμής σε ένα σύνολο πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους Πολλές φορές μας παρουσιάζεται το πρόβλημα εύρεσης της μέσης τιμής από ένα σύνολο τιμών ενός φυσικού μεγέθους και ο στατιστικός υπολογισμός της τυπικής απόκλισης (standard deviation) καθώς και του σφάλματος της μέσης τιμής του μεγέθους αυτού. Η θεωρία σφαλμάτων * καθορίζει ότι η μέση τιμή <x> για Ν αριθμό μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους x θα δίνεται από την σχέση: < xx >= ii=1 xx ii NN η τυπική απόκλιση σ x θα δίνεται από την σχέση: NN σσ xx = NN ii=1 (xx ii < xx >) 2 (ΝΝ 1) ενώ το σφάλμα της μέσης τιμής σ <x> από την σχέση: 1/2 σσ <xx> = NN ii=1 (xx ii < xx >) 2 NN(ΝΝ 1) Με την χρήση των υπολογιστικών φύλλων εργασίας μπορούμε εύκολα και γρήγορα να υπολογίσουμε τις παραπάνω ποσότητες και να δημιουργήσουμε ένα πρότυπο υπολογισμού κάθε νέας μέσης τιμής που αφορά φυσικά μεγέθη. Κατ' αρχήν εισάγουμε τα δεδομένα μας σε μορφή στηλών (ή γραμμών) στο φύλλο εργασίας μας όπως φαίνεται στην Εικόνα 35α, μαζί με την καταμέτρηση του αριθμού των μετρήσεων (αύξων αριθμός μέτρησης ή α/α). Μην ξεχνάτε πάντα να υποδεικνύεται στην αρχή κάθε στήλης το φυσικό μέγεθος που παραθέτετε καθώς και την μονάδα μέτρησής του (όταν υπάρχει). Όταν ο αριθμός των δεδομένων του φυσικού μεγέθους είναι σχετικά μικρός, είναι εύκολο να υπολογίσουμε τον μέγιστο αριθμό μετρήσεων Ν κατά νου. Όταν όμως έχουμε μεγάλο αριθμό δεδομένων είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε μία συνάρτηση για τον σκοπό αυτό. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η συνάρτηση COUNT(). Η συνάρτηση αυτή μετρά τον αριθμό των κελιών μίας επιλογής κελιών που υποδεικνύεται στο όρισμά της, τα οποία περιέχουν αριθμούς. Είναι καλό να υποδεικνύουμε επίσης το κελί στο οποίο υπολογίζουμε μία παράμετρο ή μία σταθερά, γι' αυτό και δίπλα στο κελί για τον υπολογισμό του Ν πληκτρολογούμε το όνομά του και χρωματίζουμε τα δύο κελιά με το ίδιο χρώμα για να υποδείξουμε την σχέση τους (Εικόνα 35α). 1/2 (α) (β) (γ) (δ) (ε) Εικόνα 35. Στάδια του υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και του σφάλματος της μέσης τιμής με την βοήθεια υπολογιστικών φύλλων εργασίας. * Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα 2013.
Στην συνέχεια υπολογίζουμε το άθροισμα των επιμέρους τιμών του φυσικού μεγέθους NN ii=1 xx ii στο τέλος της στήλης των επιμέρους τιμών χρησιμοποιώντας την συνάρτηση sum() (Εικόνα 35β) και κατόπιν την μέση τιμή <x> σε διαφορετικό κελί (π.χ. κελί C2), χρησιμοποιώντας το κελί του αθροίσματος και τον αριθμό Ν (Εικόνα 35γ). (α) (β) (γ) (δ) Εικόνα 36. Στάδια του υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και του σφάλματος της μέσης τιμής με την βοήθεια υπολογιστικών φύλλων εργασίας. Στην συνέχεια πρέπει να προσδιορίσουμε τις τιμές x i -<x> για i=1 έως N. Για τον λόγο αυτό στο κελί D2 πληκτρολογούμε το πρώτο μέλος της σειράς αυτής (=Β2- C2). Αν προσπαθήσουμε να κάνουμε αυτόματη συμπλήρωση δεδομένων με αυτή την σχέση στα υπόλοιπα κελιά για να πάρουμε τα υπόλοιπα μέλη της σειράς, θα παρατηρήσουμε ότι μαζί με την επιθυμητή αλλαγή των γραμμών της στήλης Β (Β2, Β3, B4 ) θα αλλάζει και το αντίστοιχο κελί της στήλης C (C2, C3, C4 ), κάτι φυσικά που δεν είναι επιθυμητό γιατί η μέση τιμή του x θα πρέπει να είναι ένας σταθερός αριθμός που βρίσκεται πάντα στο κελί C2. Για να αποφύγουμε αυτή την μη επιθυμητή διαδικασία πρέπει να ορίσουμε στην διαδικασία αυτόματης συμπλήρωσης το κελί C2 να παραμένει σταθερό. Αυτό όπως έχουμε δει γίνεται με το να πληκτρολογήσουμε εκατέρωθεν του τίτλου της στήλης του εν λόγω κελιού τα αλφαριθμητικά σύμβολα "$". Έτσι αν πληκτρολογήσουμε π.χ. στο κελί D2 (=B2- $C$2) και δοκιμάσουμε αυτόματη συμπλήρωση μέχρι και την τελευταία γραμμή που περιέχει τιμή του φυσικού μεγέθους, θα πάρουμε σωστά τις διαφορές x i -<x> για i=1 έως N (Εικόνα 35δ). Στην συνέχεια επειδή θέλουμε τα τετράγωνα αυτών των διαφορών πάμε στην επόμενη στήλη Ε και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες ποσότητες, δηλαδή στο κελί Ε2 πληκτρολογούμε (=D2^2) (Εικόνα 35ε). Κατόπιν υπολογίζουμε το άθροισμα NN ii=1 (xx ii < xx >) 2 χρησιμοποιώντας την συνάρτηση sum() (Εικόνα 36α). Τώρα έχουμε όλα τα στοιχεία για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης. Έτσι σε ένα νέο κελί π.χ. το F2, κάνουμε τον υπολογισμό [=sqrt(ε16/(α16-1))] ή [=(Ε16/(Α16-1))^(1/2)]. Το ίδιο κάνουμε και για το σφάλμα της μέσης τιμής στο κελί G2, δηλαδή [=sqrt(ε16/(α16*(α16-1))] ή [=(Ε16/(Α16*(Α16-1)))^(1/2)] (Εικόνες 36β,γ). Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων είναι εξ' ίσου σημαντική με τον υπολογισμό τους. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι τα σφάλματα (ή αβεβαιότητες) γράφονται πάντα με ένα σημαντικό ψηφίο. Για τον λόγο αυτό πρέπει να στρογγυλοποιήσουμε το τελικό μας αποτέλεσμα σύμφωνα με τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων. Ξεκινάμε πάντα από την τυπική απόκλιση ή το σφάλμα της μέσης τιμής, τα οποία και στρογγυλοποιούμε σε ακρίβεια ενός σημαντικού ψηφίου. Μία καλή συνάρτηση
στρογγυλοποίησης είναι η fixed( ; ), η οποία έχει όπως φαίνεται δύο μέρη στο όρισμά της. Η συνάρτηση αυτή στρογγυλοποιεί έναν αριθμό, που δηλώνεται στο πρώτο μέρος του ορίσματος, σε συγκεκριμένη ακρίβεια η οποία καθορίζεται από τον αριθμό στρογγυλοποίησης των δεκαδικών ή και μη δεκαδικών ψηφίων και δηλώνεται στο δεύτερο μέρος του ορίσματος ως εξής: για 1 δεκαδικό ψηφίο ο αριθμός είναι 1, για 2 δεκαδικά ψηφία 2 για 3 δεκαδικά ψηφία 3 κ.ο.κ. Για ακρίβεια μονάδας ο αριθμός στρογγυλοποίησης είναι 0, για ακρίβεια δεκάδας -1 για ακρίβεια εκατοντάδας -2 κ.ο.κ. Έτσι, στην συγκεκριμένη περίπτωση όπου το σφάλμα της μέσης τιμής γραμμένο με 1 σημαντικό ψηφίο είναι 0.006 s, άρα η ακρίβεια είναι στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, για να παρουσιάσουμε το αποτέλεσμα της μέσης τιμής μαζί με το σφάλμα της πληκτρολογούμε στο κελί G2 [=FIXED(C2;3)&" ± "&FIXED(F4;3)] (Εικόνα 36δ). Παρουσιάζουμε έτσι σε ένα κελί δύο τιμές, ξεχωρίζοντάς τες με τα αλφαριθμητικά σύμβολα "&" και το σύμβολο της αβεβαιότητας " ± " γραμμένο με δύο κενά εκατέρωθεν και μέσα σε εισαγωγικά ("). Όπως γίνεται κατανοητό όταν θέλουμε να προσθέσουμε κάποιο κείμενο ανάμεσα σε δύο αριθμούς για να παρουσιάσουμε αποτέλεσμα πρέπει το βάλουμε το επιθυμητό κείμενο μεταξύ των εισαγωγικών. Γίνεται επίσης κατανοητό ότι το κελί στο οποίο παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα δεν μπορεί να θεωρηθεί πλέον ως ένα κελί που περιέχει αριθμούς, αλλά κείμενο. Εικόνα 37. Η συνολική εικόνα του υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και του σφάλματος της μέσης τιμής με την βοήθεια υπολογιστικών φύλλων εργασίας.
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης. «Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 1». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1115. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.