Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 2

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα: Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 2 Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης Τμήμα: Φυσικής

2 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις για το μάθημα "Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές" Κεφάλαιο 3ο Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 2ο Α. Δούβαλης - Α. Πολύμερος Ιωάννινα 2014

3 Γραφικές παραστάσεις αριθμητικών δεδομένων και φυσικών μεγεθών Δημιουργία γραφικής παράστασης (γραφήματος) διασποράς σημείων σε γραμμικούς καρτεσιανούς άξονες Η κατανόηση μία εικόνας ισοδυναμεί με την περιγραφή της με χίλιες λέξεις! Η έκφραση αυτή ταιριάζει απόλυτα στην έννοια των γραφικών παραστάσεων αριθμητικών μαθηματικών δεδομένων. Συγκεκριμένα, οι γραφικές παραστάσεις αριθμητικών μαθηματικών δεδομένων που αντιστοιχούν σε φυσικά μεγέθη από μόνες τους μπορούν να παρουσιάζουν με σαφήνεια τα αποτελέσματα πειραμάτων ή υπολογισμών, εκφράζοντας με πολύ απλό τρόπο την ουσία των φυσικών φαινομένων και των νόμων στους οποίους βασίζονται. Γίνεται λοιπόν κατανοητό ότι η δημιουργία και επεξεργασία γραφικών παραστάσεων είναι κάτι παραπάνω από απαραίτητη για την ανάλυση των δεδομένων που προκύπτουν από διεξαγωγή πειραμάτων φυσικής ή υπολογισμών φυσικών μεγεθών με βάση κάποιες φυσικές θεωρίες. Στο μέρος αυτό του κεφαλαίου θα παρουσιαστούν οι βασικοί τρόποι για την δημιουργία και επεξεργασία δισδιάστατων γραφικών παραστάσεων αριθμητικών δεδομένων και φυσικών μεγεθών με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας. Για την δημιουργία δισδιάστατων γραφικών παραστάσεων χρειάζεται, όπως είναι εύκολα κατανοητό, ένα σύνολο αριθμητικών δεδομένων σε μορφή ζευγών αριθμών. Τα δεδομένα μπορεί να είναι απλοί αριθμοί, ή, τις περισσότερες φορές, αφορούν αριθμητικές τιμές φυσικών μεγεθών που προκύπτουν από την διεξαγωγή ενός (ή και περισσοτέρων) πειραμάτων, ή θεωρητικούς υπολογισμούς φυσικών μεγεθών. Τα δεδομένα αυτά συνήθως παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα και είναι γραμμένα με βάση τα μεγέθη στα οποία αντιστοιχούν κατά στήλη ή σειρά του πίνακα. Τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας μπορούν να χειριστούν δεδομένα που θα χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία γραφικών παραστάσεων και στις δύο περιπτώσεις, δηλαδή και κατά στήλες αλλά και κατά σειρές. Μία σειρά τέτοιων δεδομένων παρουσιάζεται στον Πίνακα 1. Τα δεδομένα στον πίνακα αυτόν είναι απλοί αριθμοί οι οποίοι αντιστοιχούν σε κάποιες μαθηματικές μεταβλητές, εν προκειμένω, x, y, z, r και v και δίνονται σε μορφή στηλών. Αν κάποιος επιθεωρήσει απλά τις τιμές των παραμέτρων αυτών κατά ζεύγη, θα διαπιστώσει ότι καθώς αυξάνει η τιμή της μεταβλητής x κατά το ύψος της στήλης της, αυξάνουν αντίστοιχα τόσο οι τιμές της μεταβλητής y όσο και οι τιμές των μεταβλητών z και v, ενώ μειώνονται οι τιμές της μεταβλητής r. Ο τρόπος όμως με τον οποίο γίνεται η αύξηση ή μείωση των τιμών των παραμέτρων είναι δύσκολα κατανοητός με την απλή επιθεώρησή τους, ακόμη και αν κάποιος υπολογίσει αριθμητικά τις διαφορές μεταξύ των τιμών αυτών, ή με άλλα λόγια τον ρυθμό αύξησης ή μείωσής τους. Μόνο αν κάποιος παραστήσει γραφικά τις τιμές αυτές σε ένα δισδιάστατο διάγραμμα μπορεί να αποκαλυφθεί με πολύ απλό τρόπο η εξάρτηση μεταβολή της κάθε μεταβλητής y, z, r και v από την μεταβλητή x. Για να γίνει αυτό θα πρέπει λοιπόν να δημιουργήσουμε τις γραφικές παραστάσεις των 2

4 μεταβλητών y, z, r και v σαν συνάρτηση της μεταβλητής x σε δισδιάστατα διαγράμματα καρτεσιανών συντεταγμένων χρησιμοποιώντας γραμμικούς άξονες με την βοήθεια του προγράμματος υπολογιστικών φύλλων εργασίας Excel της Microsoft. Πίνακας 1 α/α x y z r v Ένας πρώτος πού απλός και γρήγορος τρόπος για την δημιουργία της πρώτης γραφικής παράστασης σε καρτεσιανούς-γραμμικούς άξονες των τιμών της μεταβλητής y σαν συνάρτηση των τιμών της μεταβλητής x αφορά την εισαγωγή ενός στοιχείου που αποκαλείται γράφημα. Στο γράφημα αυτό θέλουμε κάθε ζεύγος τιμών των μεταβλητών x και y να παρασταθεί ως σημείο με τις τιμές y να παριστάνονται στον κάθετο καρτεσιανό άξονα και τις τιμές x στον οριζόντιο καρτεσιανό άξονα, ενώ και οι δύο άξονες θέλουμε να έχουν γραμμική βαθμονόμηση. Γραμμική βαθμονόμηση υπάρχει σε έναν άξονα όταν κάθε ίδιο διάστημά του, οπουδήποτε και αν το επιλέξουμε κατά μήκος του άξονα, αντιστοιχεί στην ίδια διαφορά τιμών της μεταβλητής (ή του φυσικού μεγέθους όπως θα δούμε παρακάτω) που παριστάνεται στον άξονα αυτό (Εικόνα 1). Γραμμικούς καρτεσιανούς άξονες έχει το γνωστό μας χιλιοστομετρικό χαρτί. Εικόνα 1. Γραμμική βαθμονόμηση καρτεσιανών αξόνων γραφικής παράστασης. 3

5 Όταν έχουμε τα δεδομένα μας στην μορφή του Πίνακα 1 και θέλουμε να παραστήσουμε γραφικά τα ζεύγη τιμών (x,y) με τον τρόπο που περιγράψαμε πριν, κατ' αρχάς επιλέγουμε τα κελιά στα οποία βρίσκονται οι τιμές αυτές. Δηλαδή αν έχουμε εισάγει τα δεδομένα μας με τον τρόπο που φαίνεται στην Εικόνα 2α, επιλέγουμε συνεχόμενα τα κελιά από το B3 έως το C17. Στην συνέχεια επιλέγουμε από το μενού Εισαγωγή Γραφήματα Διασπορά μόνο με δείκτες (Εικόνα 2β) και ως συνέπεια εμφανίζεται το νέο μας γράφημα (Εικόνα 2γ). (α) (β) Εικόνα 2. Διαδικασία επιλογής δεδομένων (α) και εισαγωγής γραφήματος διασποράς με δείκτες (σημεία) (β), (γ). 4 (γ)

6 Όπως γίνεται κατανοητό, το Excel ακολουθεί κάποιες προκαθορισμένες ρυθμίσεις για την εμφάνιση του γραφήματος. Κατ' αρχάς, όπως φαίνεται από την Εικόνα 2γ, οι τιμές των μεταβλητών x και y έχουν αυτόματα τοποθετηθεί στον οριζόντιο και κατακόρυφο καρτεσιανό άξονα αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι όταν επιλέγουμε δεδομένα σε στήλες για μία γραφική παράσταση αυτού του είδους, τα δεδομένα της στήλης που βρίσκεται στο αριστερό μέρος της επιλογής μας θα τοποθετηθούν αυτόματα στον οριζόντιο άξονα και αυτά του δεξιού μέλους της επιλογής μας στον κατακόρυφο άξονα. 1 Το δεδομένο γράφημα δείχνει επίσης πολύ ικανοποιητικά την διακύμανση των τιμών της μεταβλητής y σαν συνάρτηση αυτών της μεταβλητής x σε μορφή σημείων σε καρτεσιανούς-γραμμικούς άξονες. Το εύρος διακύμανσης (ελάχιστη και μέγιστη τιμή) των μεταβλητών x και y στους αντίστοιχους άξονες έχει καθοριστεί αυτόματα από το πρόγραμμα, καθώς επίσης και το μέγεθος, το είδος και το χρώμα των συμβόλων που παριστάνουν τα ζεύγη τιμών στην γραφική παράσταση, τα οποία αντιπροσωπεύονται από ένα υπόμνημα στην άκρη του γραφήματος που παίρνει αυτόματα τον τίτλο "Σειρά 1". Είναι αυτονόητο ότι η βαθμονόμηση των αξόνων στο συγκεκριμένο παράδειγμα γραφήματος που ακολουθούμε έχει προκαθοριστεί από το πρόγραμμα να είναι γραμμική. Παρ' όλ' αυτά η γραφική παράσταση στο συγκεκριμένο γράφημα δεν είναι ολοκληρωμένη. Χρειάζεται να σημειώσουμε τις μεταβλητές που παριστάνονται στους τίτλους των αξόνων για να έχουμε την δυνατότητα να γνωρίζουμε ανά πάσα στιγμή και χωρίς αμφιβολία την θέση τους στην γραφική παράσταση. Επίσης θα ήταν καλό να εμφανίζονται και κάποιες βοηθητικές γραμμές βαθμονόμησης κατά μήκος των αξόνων, όπως αυτές που υπάρχουν στο χιλιοστομετρικό χαρτί. Καλό επίσης θα ήταν να υπάρχει και ένας γενικός τίτλος για την γραφική παράσταση. Για τους λόγους αυτούς πρέπει να αλλάξουμε την εμφάνιση του γραφήματός μας, εισάγοντας τα στοιχεία που λείπουν. Για να το κάνουμε αυτό κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι με την εισαγωγή του γραφήματος εμφανίστηκαν κάποια επιπλέον μενού που αφορούν ακριβώς στην επεξεργασία του (Εικόνα 3) 2. Εικόνα 3. Μενού που αφορούν της επεξεργασία της γραφικής παράστασης (γραφήματος) και είδη διατάξεων γραφήματος. 1 Αν είχαμε τα δεδομένα μας σε σειρές αντί σε στήλες και επιλέγαμε με αντίστοιχο τρόπο τις δύο πρώτες σειρές του πίνακα, σύμφωνα με τις προκαθορισμένες ρυθμίσεις στον οριζόντιο άξονα θα παριστάνονται οι τιμές που βρίσκονται στην σειρά που βρίσκεται στο πάνω μέρος της επιλογής μας και στον κατακόρυφο άξονα οι τιμές που βρίσκονται στην σειρά που βρίσκεται στο κάτω μέρος της επιλογής μας. 2 Παρατηρείστε ότι τα μενού αυτά εμφανίζονται μόνο όταν έχουμε επιλέξει το γράφημα κάνοντας κλικ πάνω του, ενώ φεύγουν πλήρως όταν επιλέξουμε άλλο αντικείμενο (π.χ. κάποιο από τα κελιά του φύλλου εργασίας). 5

7 Από αυτά επιλέγουμε από το μενού Σχεδίαση στην εργαλειοθήκη Διάταξη γραφήματος το κάτω δεξί άκρο της που μας παρουσιάζει περισσότερες επιλογές για την Αλλαγή της γενικής διάταξης του γραφήματος (Εικόνα 3β). Από τις διαθέσιμες διατάξεις αυτή που εμπίπτει καλύτερα στις απαιτήσεις που ζητήσαμε πιο πάνω είναι η Διάταξη 10 (Εικόνα 2γ), η επιλογή της οποίας έχει το αποτέλεσμα αλλαγής της εμφάνισης του γραφήματός μας που φαίνεται στην Εικόνα 4α. (α) (β) Εικόνα 4. Διαμόρφωση στοιχείων της γραφικής παράστασης. Για να καθορίσουμε τους τίτλους των αξόνων κάνουμε διπλό κλικ σε καθέναν από αυτούς και πληκτρολογούμε το όνομα της μεταβλητής στην προκειμένη περίπτωση (Εικόνα 3β), ή του φυσικού μεγέθους συνοδευόμενο από την μονάδα μέτρησής του αν υπάρχει, στην περίπτωση που παριστάνουμε τέτοια μεγέθη στην γραφική μας παράσταση. Ο πλήρης έλεγχος αυτού του είδους των στοιχείων της γραφικής παράστασης (τίτλος άξονα, τίτλος γραφήματος, υπόμνημα κτλ) μπορεί να προσεγγιστεί από την εργαλειοθήκη "Ετικέτες" στο μενού "Διάταξη" (Εικόνα 5). Εικόνα 5. Καθορισμός διαφόρων στοιχείων της γραφικής παράστασης (γραφήματος) από την εργαλειοθήκη "Ετικέτες" στο μενού "Διάταξη". Μπορούμε επίσης να αλλάξουμε το μέγεθος και το είδος των σημείων που απεικονίζουμε στην γραφική μας παράσταση επιλέγοντας κάποιο από αυτά πάνω στην γραφική παράσταση, οπότε επιλέγεται και το σύνολο των σημείων. Εναλλακτικά μπορούμε να επιλέξουμε από μία λίστα στοιχείων της γραφικής παράστασης το στοιχείο που μας ενδιαφέρει και θέλουμε να διαμορφώσουμε. Αυτό γίνεται αν πάμε στο μενού "Μορφή" και στην εργαλειοθήκη "Τρέχουσα επιλογή" και επιλέξουμε από την λίστα το στοιχείο του γραφήματος που θέλουμε να διαμορφώσουμε (Εικόνα 6). 6

8 (α) (β) Εικόνα 6. Επιλογή στοιχείων γραφήματος προς διαμόρφωση. Στην προκειμένη περίπτωση η διαμόρφωση των συμβόλων της γραφικής παράστασης γίνεται με την επιλογή του στοιχείου "Σειρά1" που είναι και ο προκαθορισμένος τίτλος που δίνει το λογισμικό στην σειρά των ζευγών δεδομένων που έχουμε παραστήσει ως σημεία (σύμβολα) στην γραφική παράσταση. Η επιλογή του δεδομένου στοιχείου μας δίνει την δυνατότητα διαμόρφωσης η οποία γίνεται από τα εργαλεία της εργαλειοθήκης "Στυλ σχήματος" (Εικόνα 7). Μπορούμε να επιλέξουμε κάποια από τις λίστες που υπάρχουν έτοιμες στο δεξί μέρος της εργαλειοθήκης αυτής. Είναι όμως καλύτερο να έχουμε τον πλήρη έλεγχο που αφορά το είδος και το χρώμα των συμβόλων (δείκτες) καθώς και της γραμμής (αν χρειάζεται να παρασταθεί) που τα συνδέει 3, ο οποίος προκύπτει με την εμφάνιση των πλήρων επιλογών αν κάνουμε κλικ στο κάτω δεξί άκρο του πλαισίου της εργαλειοθήκης. Σχήμα 7. Διαμόρφωση στυλ των συμβόλων και της γραμμής σύνδεσης των συμβόλων. 3 Προσέξτε ότι η γραμμή αυτή δεν αντιστοιχεί σε "προσαρμογή" με κάποια μαθηματική σχέση, όπως θα δούμε στην συνέχεια, αλλά αποτελεί έναν οπτικό οδηγό απλής διασύνδεσης των συμβόλων. 7

9 Όπως γίνεται κατανοητό με τον ίδιο τρόπο, επιλέγοντας το στοιχείο που θέλουμε (π.χ. άξονες, περιοχή σχεδίασης, γραμμές πλέγματος κτλ) από την εργαλειοθήκη "Τρέχουσα επιλογή" μπορούμε να το διαμορφώσουμε με την χρήση της εργαλειοθήκης "Στυλ σχήματος". Αλλαγή βαθμονόμησης αξόνων-γραφικές παραστάσεις σε λογαριθμικούς και ημιλογαριθμικούς άξονες-εύρεση γενικών αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων μεταξύ μεταβλητών ή φυσικών μεγεθών που παριστάνονται στην γραφική παράσταση Γραμμική σχέση Όπως αναφέρθηκε στην αρχή της προηγούμενης παραγράφου, είναι δύσκολο κάποιος να διαπιστώσει, στην περίπτωση που υπάρχει, ποια είναι η γενική αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει δύο μεταβλητές (ή φυσικά μεγέθη) y και x μόνο και μόνο από την εποπτεία της μεταβολής των τιμών τους. Όμως με την δημιουργία της γραφικής παράστασης των μεταβλητών αυτών, η παραπάνω διαδικασία απλοποιείται σε μεγάλο βαθμό. Έτσι γίνεται κατανοητό ότι η γραφική παράσταση y=f(x) σε γραμμικούς άξονες που εμφανίζεται στην Εικόνα 4β παριστάνει σημεία τα οποία έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Επομένως από την παραπάνω παρατήρηση είναι δυνατόν να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η γενική αναλυτική μορφή της συνάρτησης f(x) θα είναι αυτή της εξίσωσης ευθείας σε επίπεδο, η οποία αν το x παριστάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή και το y την εξαρτημένη θα δίνεται από την σχέση y=a+b x (1) όπου a και b, οι (σταθεροί) παράμετροι της συνάρτησης οι οποίοι μπορεί να είναι πραγματικοί αριθμοί. Τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας διαθέτουν μία σειρά από μεθόδους τις οποίες μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για την εύρεση των τιμών των παραμέτρων αυτών, στις οποίες θα αναφερθούμε παρακάτω. Σχέση δύναμης-λογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Η περίπτωση στην οποία η τάση των σημείων της γραφικής παράστασης να σχηματίσουν ευθεία γραμμή είναι μία ιδιαίτερη περίπτωση διακύμανσης τιμών μεταβλητών. Διαθέτει όμως την απλούστερη και πιο εύκολα κατανοητή μορφή ως σχήμα, αλλά και την πιο αξιοποιήσιμη διαδικασία εύρεσης τιμών των παραμέτρων a και b της αναλυτικής της σχέσης. Γίνεται λοιπόν κατανοητό ότι όταν τα σημεία μίας γραφικής παράστασης σε καρτεσιανούς γραμμικούς άξονες δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή, αλλά μία άλλη μορφή γραμμής (καμπύλη), τότε η αναλυτική σχέση των μεταβλητών ή μεγεθών που έχουν παρασταθεί στην γραφική παράσταση οπωσδήποτε δεν είναι αυτή της εξίσωσης (1). Οι αναλυτικές μαθηματικές εκφράσεις των μη-γραμμικών σχέσεων για τις οποίες οι αναπαραστάσεις τους σε μία γραφική παράσταση σε καρτεσιανούς γραμμικούς άξονες δεν ευθεία γραμμή, είναι αναρίθμητές. Για ορισμένες όμως από αυτές τις 8

10 μη-γραμμικές μαθηματικές σχέσεις, μπορούμε διαπιστώσουμε την γενική αναλυτική τους μορφή ακολουθώντας κάποιες απλές διαδικασίες που αφορούν αλλαγή στην βαθμονόμηση των αξόνων της γραφικής μας παράστασης. Συγκεκριμένα, ας δούμε ποια μορφή έχει η τάση των σημείων που προκύπτει κάνοντας την γραφική παράσταση z=f(x). Δημιουργία γραφικών παραστάσεων από δεδομένα σε μη-γειτονικά ζεύγη κελιών Για να κάνουμε την συγκεκριμένη γραφική παράσταση εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο δημιουργήσαμε την γραφική παράσταση y=f(x). Όμως εδώ βλέπουμε ότι τα πεδία των τιμών των μεταβλητών x και z βρίσκονται σε μησυνεχόμενες (διπλανές) στήλες. Για να επιλέξουμε λοιπόν ζεύγη δεδομένων προς γραφική παράσταση που δεν βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο χρησιμοποιούμε το πλήκτρο CTRL. Δηλαδή επιλέγουμε με κλικ κατ' αρχάς τα κελιά της μεταβλητής x και στην συνέχεια κρατώντας πατημένο το πλήκτρο CTRL επιλέγουμε τα κελιά της μεταβλητής z. Μετά την επιλογή των κελιών και αφού η μεταβλητή x θέλουμε να παριστάνεται στον οριζόντιο άξονα, συνεχίζουμε κατά τα άλλα με την ίδια διαδικασία δημιουργίας γραφήματος, όπως και στην περίπτωση της γραφικής παράστασης y=f(x). Ένας άλλος εναλλακτικός τρόπος δημιουργίας γραφικής παράστασης που είναι πολύ χρήσιμος στην περίπτωση όπου οι τιμές των κελιών που θέλουμε να τοποθετηθούν στον οριζόντιο άξονα δεν βρίσκονται στα αριστερά όταν είναι σε στήλες ή σε πιο πάνω γραμμή όταν είναι σε γραμμές από τα κελιά που θέλουμε να τοποθετηθούν στον κατακόρυφο άξονα, είναι να προσθέσουμε τα δεδομένα της γραφικής παράστασης μετά την δημιουργία του γραφήματος. Η διαδικασία έχει ως εξής: Κατ' αρχάς επιλέγουμε κάνοντας κλικ σε ένα οποιοδήποτε άδειο κελί του φύλλου εργασίας. Αυτό το κάνουμε για να μην εισάγουμε εκ των προτέρων δεδομένα στην γραφική μας παράσταση. Στην συνέχεια ακολουθούμε την γνωστή διαδικασία δημιουργίας γραφήματος Διασποράς μόνο με δείκτες (Εικόνα 2γ). Παρατηρούμε, όπως ίσως είναι αναμενόμενο, ότι το γράφημά μας είναι κενό, δεν περιέχει δηλαδή κανένα σημείο (Εικόνα 8α). Στην συνέχεια από το μενού "Σχεδίαση" επιλέγουμε στην εργαλειοθήκη "Δεδομένα" το κουμπί "Επιλογή δεδομένων" (Εικόνα 8β), οπότε μας εμφανίζεται το περιεχόμενο της Εικόνας 9. (α) (β) Εικόνα 8. Πρώτη άποψη γραφήματος διασποράς μόνο με δείκτες που δεν περιέχει δεδομένα (α) και η ακολουθούμενη έναρξη της διαδικασίας επιλογής δεδομένων (β). 9

11 Στο παράθυρο αυτό θα επιλέξουμε τα δεδομένα που θα εμφανιστούν σαν σημεία στην γραφική μας παράσταση, εισάγοντας τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών, ή "Σειρών" όπως τις αποκαλεί το λογισμικό των υπολογιστικών φύλλων εργασίας, μέσω της επιλογής του κουμπιού "Προσθήκη". Σημειώστε εδώ ότι με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εισάγουμε νέα σειρά δεδομένων σε μια είδη υπάρχουσα γραφική παράσταση. Η επιλογή του κουπιού αυτού μας οδηγεί σε ένα επόμενο παράθυρο που έχει την μορφή της Εικόνας 10. Σ' αυτό μπορούμε να δώσουμε δικό μας όνομα στα δεδομένα που θα εισάγουμε (π.χ. z=f(x)) στην αντίστοιχη γραμμή "Όνομα σειράς". Το όνομα αυτό αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο από το λογισμικό όνομα "Σειρά1" του υπομνήματος για την γραφική παράσταση της Εικόνας 2γ. Εναλλακτικά μπορούμε να δώσουμε ως όνομα τα περιεχόμενα ενός κελιού κάνοντας κλικ στο εικονίδιο που βρίσκεται δίπλα από την έκφραση "Επιλογή περιοχής" στην γραμμή "Όνομα σειράς" και να επιλέξουμε το επιθυμητό κελί με το ποντίκι μας. Εικόνα 9. Διαδικασία επιλογής σειρών δεδομένων από κελιά του φύλλου εργασίας για την δημιουργία γραφικής παράστασης. Εικόνα 10. Επιλογή ονόματος και δεδομένων για τοποθέτηση στον οριζόντιο (Χ) και κατακόρυφο (Υ) άξονα της γραφικής παράστασης. Στην συνέχεια πρέπει να επιλέξουμε τα δεδομένα που θα τοποθετηθούν στον οριζόντιο άξονα. Για τον λόγο αυτό κάνουμε κλικ στο εικονίδιο 10 που βρίσκεται

12 δίπλα από την έκφραση "Επιλογή περιοχής" στην γραμμή "Τιμές σειράς Χ" και επιλέγουμε τα επιθυμητά κελιά με το ποντίκι μας. Κατά την διαδικασία επιλογής εμφανίζεται το περιεχόμενο της Εικόνας 11, το οποίο μας ενημερώνει για την περιοχή των κελιών που επιλέγουμε. Όταν τελειώσουμε την επιλογή μας κάνουμε κλικ στο εικονίδιο της γραμμής επιλογής δεδομένων στην Εικόνα 11 και επιστρέφουμε στην Εικόνα 10, όπου παρατηρούμε ότι τώρα υπάρχουν δεδομένα στην γραμμή "Τιμές σειράς Χ". Εικόνα 11. Εμφάνιση της περιοχή επιλογής κελιών για τοποθέτηση στην γραφική παράσταση. Επαναλαμβάνουμε με τον ίδιο τρόπο την επιλογή των δεδομένων που θα τοποθετηθούν στον κατακόρυφο άξονα, κάνοντας κλικ στο εικονίδιο που βρίσκεται δίπλα από την έκφραση "Επιλογή περιοχής" στην γραμμή "Τιμές σειράς Υ". Πατώντας ΟΚ στο παράθυρο εισαγωγής δεδομένων των Εικόνων 10 και 9 εμφανίζεται η επιθυμητή γραφική παράσταση. Αν η γραφική μας παράσταση δεν περιλαμβάνει μόνο σημεία αλλά έχει και μία περιγραφόμενη γραμμή, επεξεργαζόμαστε την εμφάνισή της με τον τρόπο που έχουμε δει στην προηγούμενη παράγραφο (Εικόνα 12). Εικόνα 12. Επιλογή απαλοιφής γραμμής από μία γραφική παράσταση διασποράς με δείκτες. Ας επιστρέψουμε τώρα στην ανάλυση της μορφής της γραφικής παράστασης z=f(x). Έχοντας κάνει την γραφική παράσταση z=f(x) που εμφανίζεται στην Εικόνα 12, παρατηρούμε ότι τα σημεία της γραφικής παράστασης δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Επειδή η εν λόγο γραφική παράσταση έχει γίνει σε γραμμικούς άξονες, μπορούμε με ασφάλεια να οδηγηθούμε στο συμπέρασμα ότι οι μεταβλητές z και x δεν συνδέονται με μία γραμμική σχέση της γενικής μορφή της σχέσης (1). Μπορούμε όμως να προβούμε σε κάποιες διαδικασίες αλλαγής βαθμονόμησης των αξόνων της γραφικής παράστασης για να διαπιστώσουμε αν τυχών η αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει τα z και x εμπίπτει σε μία άλλη 11

13 κατηγορία σχέσεων. Θα ξεκινήσουμε δοκιμάζοντας να αλλάξουμε την βαθμονόμηση και των δύο αξόνων της γραφικής μας παράστασης. Αυτό μπορεί να γίνει επιλέγοντας από το μενού "Διάταξη" στην εργαλειοθήκη "Άξονες" πρώτα τον οριζόντιο άξονα. Για τον πλήρη έλεγχο των ιδιοτήτων και της διαμόρφωσης του άξονα επιλέγουμε στο τέλος της λίστας "Περισσότερες επιλογές " (Εικόνα 13). Εικόνα 13. Επιλογή διαμόρφωσης οριζόντιου άξονα. Με την παραπάνω επιλογή μας εμφανίζεται το παράθυρο της Εικόνας 14, από το οποίο κάνουμε κλικ στο κουτάκι της γραμμής "Λογαριθμική κλίμακα" αφήνοντας την διπλανή επιλογή της βάσης των λογαρίθμων τον αριθμό 10 (δεκαδικοί λογάριθμοι). Εικόνα 14. Αλλαγή της βαθμονόμησης του οριζόντιου άξονα από γραμμική σε λογαριθμική (με βάση το 10). Παρατηρείστε ότι η βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα έχει αλλάξει και έχει διαμορφωθεί αυτόματα από το λογισμικό έτσι ώστε να περιλαμβάνει το πεδίο τιμών που είχε και στην μορφή της γραμμικής διαμόρφωσης, έχοντας όμως μία ουσιαστική διαφορά. Εδώ υπάρχουν (ή μπορεί να οριστούν) σταθερές αποστάσεις κατά μήκος του άξονα, π.χ. οι αποστάσεις μεταξύ 0.1 και 1.0 και μεταξύ 1.0 και 10.0 έχουν το ίδιο μήκος, όμως σε αντίθεση με την γραμμική βαθμονόμηση (βλέπε την βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα στην Εικόνα 14), οι ίσες κατά μήκος αυτές αποστάσεις αντιστοιχούν σε διαφορετικές διαφορές τιμών της παραμέτρου x. Έτσι η διαφορά των τιμών x μεταξύ 1.0 και 0.1 είναι 0.9 ενώ η διαφορά των τιμών x μεταξύ 10.0 και 1.0 είναι 9.0. Όπως γίνεται κατανοητό, η σχέση που συνδέει αυτές 12

14 τις διαφορές μεταξύ τους είναι της μορφής Δx n+1 =10 Δx n, όπου Δx n+1 και Δx n είναι δύο τέτοιες διαδοχικές πάνω στον άξονα διαφορές με το n να παριστάνει ακέραιο αριθμό. Η βαθμονόμηση αυτή λέγεται λογαριθμική βαθμονόμηση και αντιστοιχεί στο γνωστό λογαριθμικό χαρτί. Ένας άλλος τρόπος να δει κανείς την λογαριθμική βαθμονόμηση είναι να παρατηρήσει ότι σε κάθε άκρο σταθερών διαστημάτων σε έναν τέτοιο άξονα, οι τιμές της μεταβλητής (ή του φυσικού μεγέθους) που παριστάνεται στον άξονα αυξάνουν (ή μειώνονται κατά την αντίθετη φορά) κατά μία δύναμη της βάσης των λογαρίθμων που έχει επιλεγεί, στην προκειμένη περίπτωση κατά μία δύναμη του 10 (Εικόνα 14). Προς το παρόν η αλλαγή στην βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα άλλαξε την μορφή της νοητής καμπύλης που περιγράφουν τα σημεία στην νέα γραφική παράσταση, η οποία όμως εξακολουθεί να μην έχει την τάση σχηματισμού ευθείας γραμμής. Ας προχωρήσουμε στην αλλαγή της βαθμονόμησης και του κατακόρυφου άξονα, όπως κάναμε κι στην περίπτωση του οριζόντιου (Εικόνα 15). Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που παρουσιάζεται στην Εικόνα 16. Εικόνα 15. Αλλαγή της βαθμονόμησης του οριζόντιου άξονα από γραμμική σε λογαριθμική (με βάση το 10). Εικόνα 16. Η γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και z του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε λογαριθμικούς άξονες (με βάση το 10). 13

15 Από την εικόνα αυτή παρατηρούμε ότι η απλή αλλαγή βαθμονόμησης και των δύο αξόνων άλλαξε την μορφή της τάσης σχηματισμού γραμμής των σημείων της γραφικής παράστασης, η οποία πλέον δείχνει να έχει αποκτήσει την μορφή ευθείας γραμμής και όχι καμπύλης που ήταν αρχικά. Σημειώστε εδώ ότι δεν έχουμε κάνει καμία αλλαγή στις τιμές των δεδομένων των μεταβλητών x και z. Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω αφορά της αναγνώριση με γραφικό τρόπο μίας αναλυτικής μαθηματικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών (ή φυσικών μεγεθών) που έχει την γενική ονομασία σχέση δύναμης (power law). Η γενική αναλυτική μαθηματική μορφή της σχέσης αυτής είναι: y=a x b (2) όπου x η ανεξάρτητη μεταβλητή, y η εξαρτημένη μεταβλητή και a, b οι (σταθεροί) παράμετρες της σχέσης οι οποίες μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί. Ο λόγος για τον οποίο η σχέση αυτή στους γραμμικούς άξονες δεν έχει την μορφή ευθείας, ενώ στους λογαριθμικούς άξονες αποκτά την μορφή ευθείας οφείλεται αποκλειστικά στην βαθμονόμηση των λογαριθμικών αξόνων. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν λογαριθμήσουμε τα μέλη της εξίσωσης (2), οπότε προκύπτει: 4 log(y)=log(a)+b log(x) (3) Από την σχέση (3) αν κάνουμε την αλλαγή μεταβλητών Y=log(y), X=log(x) και θέσουμε A=log(a) συμπεραίνεται ότι οι λογάριθμοι των y και x, δηλαδή τα Υ και Χ, διαθέτουν μία γραμμική σχέση μεταξύ τους, η οποία θα μπορούσε να παρασταθεί μάλιστα και ως ευθεία γραμμή σε μία γραφική παράσταση των log(y)=f[log(x)] σε γραμμικούς άξονες. Όμως στην γραφική μας παράσταση σε λογαριθμικούς άξονες έχουμε προβάλει τις τιμές των μεταβλητών αυτών μεγεθών και όχι τους λογαρίθμους τους. Η φαινόμενη μορφή ευθείας στους λογαριθμικούς άξονες λοιπόν προκύπτει λόγω της λογαριθμικής κλιμάκωσης (ή απεικόνισης) των τιμών σε κάθε λογαριθμικό άξονα. Η υφιστάμενη λογαριθμική κλιμάκωση των αξόνων ουσιαστικά αλλάζει μόνο τον τρόπο τοποθέτησης των τιμών x και y στους λογαριθμικούς άξονες σε σχέση με την αντίστοιχη τοποθέτησή τους στους γραμμικούς άξονες. Η διαδικασία αυτή μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μία διαδικασία αλλαγής μεταβλητών όπως αυτή που προκύπτει από την σχέση (3), της μετατροπής δηλαδή των τιμών μέσω του υπολογισμού των λογαρίθμων των x και y. Έτσι η μορφή της παριστάμενης γραμμής μίας σχέσης δύναμης της γενικής κατηγορίας της σχέσης (2), από μία γενική καμπύλη σε γραμμικούς άξονες, μετατρέπεται στην ιδιαίτερη μορφή της ευθείας γραμμής σε λογαριθμικούς άξονες. 4 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

16 Εκθετική και λογαριθμική σχέση-ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε με την δημιουργία της επόμενης γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των στηλών x και r του Πίνακα 1. Το αποτέλεσμα σύμφωνα με τις διαδικασίες που ακολουθήσαμε παραπάνω εμφανίζεται στην Εικόνα 17. Εικόνα 17. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και r του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε γραμμικούς άξονες. Είναι φανερό ότι τα σημεία τείνουν να σχηματίσουν μία γραμμή η οποία σαφώς δεν είναι ευθεία. Άρα μπορούμε ασφαλώς να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει τα r και x δεν είναι η γραμμική. Θα μπορούσε να είναι όμως κάποιας άλλης μορφής, όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα της σχέσης δύναμης. Για τον λόγο αυτό δοκιμάζουμε να αλλάξουμε την βαθμονόμηση των αξόνων από γραμμική σε λογαριθμική. Ξεκινούμε την διαδικασία αυτή από τον κατακόρυφο άξονα όπου παριστάνονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής r και το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα 18. Από την εικόνα αυτή παρατηρούμε ότι τώρα τα σημεία της γραφικής παράστασης έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι μόνο με την αλλαγή της βαθμονόμησης από γραμμική σε λογαριθμική του ενός άξονα και συγκεκριμένα του κατακόρυφου καταφέραμε να οδηγηθούμε σε μία γραμμική σχέση. Αυτή η μορφή βαθμονόμησης αξόνων, η οποία διαθέτει τον έναν από τους δύο άξονες σε λογαριθμική βαθμονόμηση και τον άλλο σε γραμμική λέγεται ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων και αντιστοιχεί στο γνωστό ημιλογαριθμικό χαρτί. Ποιες όμως μεταβλητές ακολουθούν εδώ αυτή την γραμμική σχέση; Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω αφορά της αναγνώριση με γραφικό τρόπο μίας αναλυτικής μαθηματικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών (ή 15

17 φυσικών μεγεθών) που έχει την γενική ονομασία εκθετική σχέση (exponential). Η γενική αναλυτική μαθηματική μορφή της σχέσης αυτής είναι: y=a e b x (4) όπου x η ανεξάρτητη μεταβλητή, y η εξαρτημένη μεταβλητή και a, b οι (σταθεροί) παράμετρες της σχέσης οι οποίες μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί και e η βάση των νεπερίων λογαρίθμων. Εικόνα 18. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και r του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον κατακόρυφο άξονα σε λογαριθμική βαθμονόμηση (με βάση το 10). Όπως και στην περίπτωση της σχέσης δύναμης, ο λόγος για τον οποίο η σχέση αυτή στους γραμμικούς άξονες δεν έχει την μορφή ευθείας, ενώ στους ημιλογαριθμικούς άξονες αποκτά την μορφή ευθείας οφείλεται αποκλειστικά στην βαθμονόμηση των ημιλογαριθμικών αξόνων. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν λογαριθμήσουμε τα μέλη της εξίσωσης (2) με νεπέριους λογαρίθμους, οπότε προκύπτει: 5 ln(y)=ln(a)+b x (5) Αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα της σχέσης δύναμης μπορούμε από την σχέση (5) να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής Y=ln(y), και να θέσουμε A=ln(a), οπότε συμπεραίνεται ότι ο νεπέριος λογάριθμος του y και η μεταβλητή x, δηλαδή τα Υ και x, διαθέτουν μία γραμμική σχέση μεταξύ τους, η οποία θα μπορούσε να παρασταθεί μάλιστα και ως ευθεία γραμμή σε μία γραφική παράσταση των ln(y)=f(x) σε γραμμικούς άξονες. Όμως στην γραφική μας παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες έχουμε προβάλει τις τιμές των μεταβλητών αυτών μεγεθών και όχι τους λογαρίθμους τους. Η φαινόμενη μορφή ευθείας στους 5 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικήςθερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

18 ημιλογαριθμικούς άξονες λοιπόν προκύπτει λόγω της λογαριθμικής κλιμάκωσης (ή απεικόνισης) των τιμών του κατακόρυφου άξονα. Η υφιστάμενη λογαριθμική κλιμάκωση του άξονα αυτού ουσιαστικά αλλάζει μόνο τον τρόπο τοποθέτησης των τιμών του y στον λογαριθμικό κατακόρυφο άξονα σε σχέση με την αντίστοιχη τοποθέτησή τους στον γραμμικό κατακόρυφο άξονα. Η διαδικασία αυτή μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μία διαδικασία αλλαγής μεταβλητής όπως αυτή που προκύπτει από την σχέση (5), της μετατροπής δηλαδή των τιμών μέσω του υπολογισμού των λογαρίθμων του y. Έτσι η μορφή της παριστάμενης γραμμής μίας εκθετικής σχέσης της γενικής κατηγορίας της σχέσης (4), από μία γενική καμπύλη σε γραμμικούς άξονες, μετατρέπεται στην ιδιαίτερη μορφή της ευθείας γραμμής σε ημιλογαριθμικούς άξονες. Ας δούμε τώρα ποια εικόνα προκύπτει από την γραφική παράσταση των μεταβλητών x και v σε γραμμικούς άξονες. Το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα 19. Εικόνα 19. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και v του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε γραμμικούς άξονες. Είναι φανερό από την τάση των σημείων για τον σχηματισμό μίας καμπύλης η οποία δεν αντιστοιχεί σε ευθεία γραμμή, ότι και σε αυτή την περίπτωση η σχέση που συνδέει τα v και x δεν είναι οπωσδήποτε γραμμική. Έτσι, κατά τα γνωστά από τις προηγούμενες διαδικασίες που ακολουθήσαμε, δοκιμάζουμε να αλλάξουμε την βαθμονόμηση κατ' αρχάς του ενός από τους δύο άξονες. Στην προκειμένη περίπτωση ξεκινάμε με την αλλαγή της βαθμονόμησης του οριζόντιου άξονα της Εικόνας 19, όπου παριστάνονται οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x και το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα

19 Εικόνα 20. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και v του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον οριζόντιο άξονα σε λογαριθμική βαθμονόμηση (με βάση το 10). Από την εικόνα αυτή παρατηρούμε ότι τώρα τα σημεία της γραφικής παράστασης έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι μόνο με την αλλαγή της βαθμονόμησης από γραμμική σε λογαριθμική του ενός άξονα και συγκεκριμένα του οριζόντιου καταφέραμε να οδηγηθούμε σε μία γραμμική σχέση. Αυτή η μορφή βαθμονόμησης αξόνων, η οποία διαθέτει τον έναν από τους δύο άξονες σε λογαριθμική βαθμονόμηση και τον άλλο σε γραμμική, όπως είδαμε και στο προηγούμενο παράδειγμα της εκθετικής σχέσης, λέγεται ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων και αντιστοιχεί στο γνωστό ημιλογαριθμικό χαρτί. Ποιες όμως μεταβλητές ακολουθούν εδώ αυτή την γραμμική σχέση; Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω αφορά της αναγνώριση με γραφικό τρόπο μίας αναλυτικής μαθηματικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών (ή φυσικών μεγεθών) που έχει την γενική ονομασία λογαριθμική σχέση (logarithmic) και είναι η αντίστροφή της εκθετικής σχέσης. Η γενική αναλυτική μαθηματική μορφή της σχέσης αυτής είναι: y=b ln(x)+a (6) όπου x η ανεξάρτητη μεταβλητή, y η εξαρτημένη μεταβλητή και a, b οι (σταθεροί) παράμετρες της σχέσης οι οποίες μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί. Όπως και στην περίπτωση της σχέσης δύναμης και της εκθετικής σχέσης, ο λόγος για τον οποίο η σχέση αυτή στους γραμμικούς άξονες δεν έχει την μορφή ευθείας, ενώ στους ημιλογαριθμικούς άξονες αποκτά την μορφή ευθείας οφείλεται αποκλειστικά στην βαθμονόμηση των ημιλογαριθμικών αξόνων. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν κάνουμε μία απλή αλλαγή μεταβλητής X=ln(x), οπότε συμπεραίνεται ότι το y και ο νεπέριος λογάριθμος του x, δηλαδή τα y και X, διαθέτουν μία γραμμική σχέση μεταξύ τους, η οποία θα μπορούσε να παρασταθεί μάλιστα και 18

20 ως ευθεία γραμμή σε μία γραφική παράσταση των y=f[ln(x)] σε γραμμικούς άξονες. Όμως στην γραφική μας παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες έχουμε προβάλει τις τιμές των μεταβλητών αυτών μεγεθών και όχι τους λογαρίθμους τους. Η φαινόμενη μορφή ευθείας στους ημιλογαριθμικούς άξονες λοιπόν προκύπτει λόγω της λογαριθμικής κλιμάκωσης (ή απεικόνισης) των τιμών του οριζόντιου άξονα. Η υφιστάμενη λογαριθμική κλιμάκωση του άξονα αυτού ουσιαστικά αλλάζει μόνο τον τρόπο τοποθέτησης των τιμών του x στον λογαριθμικό οριζόντιο άξονα σε σχέση με την αντίστοιχη τοποθέτησή τους στον γραμμικό οριζόντιο άξονα. Η διαδικασία αυτή μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μία διαδικασία αλλαγής μεταβλητής όπως αυτή που προκύπτει από την σχέση (6), της μετατροπής δηλαδή των τιμών μέσω του υπολογισμού των νεπέριων λογαρίθμων του x. Έτσι η μορφή της παριστάμενης γραμμής μίας εκθετικής σχέσης της γενικής κατηγορίας της σχέσης (6), από μία γενική καμπύλη σε γραμμικούς άξονες, μετατρέπεται στην ιδιαίτερη μορφή της ευθείας γραμμής σε ημιλογαριθμικούς άξονες. Οι σχέσεις (4) και (6) αντιστοιχούν, όπως γίνεται φανερό από τις παρόμοιες αλλά όχι ίδιες διαδικασίες αλλαγής βαθμονόμησης αξόνων από γραμμικούς σε ημιλογαριθμικούς άξονες, σε αντίστροφες μορφές αναλυτικών μαθηματικών συναρτήσεων. Για να το δούμε αυτό πιο καθαρά ας θέσουμε ως εκθέτες τα μέλη της εξίσωσης (6) στην βάση των νεπερίων λογαρίθμων e, οπότε προκύπτει 6 : x=e -a/b e y/b (7) Αν θέσουμε C=e -a/b και D=1/b η παραπάνω σχέση (7) γίνεται: x=c e D y (8) η μορφή της οποίας είναι παρόμοια με την μορφή της σχέσης (4). Όμως στην περίπτωση της σχέσης (8) την θέση του x έχει πάρει το y και αντίστροφα, οπότε η σχέση (8) αποτελεί ουσιαστικά την αντίστροφη της σχέσης (4) και κατά συνέπεια ευθεία γραμμή θα τείνει να σχηματιστεί αν βαθμονομήσουμε σε λογαριθμική κλίμακα τον άξονα που παριστάνεται το x, δηλαδή τον οριζόντιο άξονα της Εικόνας 19 στην προκειμένη περίπτωση. 6 y=b ln(x)+a y=ln(x b )+a e y =x b e a e y/b =x e a/b y/b x=e -a/b e 19

21 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

22 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης. «Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Εισαγωγή στα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας-Μέρος 2». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]