Μεγιστοποίηση μέσα από το τριώνυμο Μια από τις πιο όμορφες εφαρμογές του τριωνύμου στη φυσική είναι η μεγιστοποίηση κάποιου μεγέθους μέσα από αυτό. Η ιδέα απλή και βασίζεται στη λογική επίλυσης του παρακάτω μαθηματικού προβλήματος που κάποτε υπήρχε σαν εφαρμογή στο βιβλίο άλγεβρας της λυκείου. ΠΡΟΒΛΗΜ 1 Η μεγιστοποίηση στην άλγεβρα της λυκείου πό όλα τα παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο, να βρείτε εκείνο με το μέγιστο εμβαδό. Έστω η περίμετρος ενός παραλληλόγραμμου διαστάσεων α β. Γνωρίζουμε ότι a (1). Η συνάρτηση του εμβαδού είναι: a (). Προσπαθούμε να γράψουμε το εμβαδό συναρτήσει μιας μόνο μεταβλητής του α ή του β. Έτσι λοιπόν έχουμε: a a (3) (3) a a a a a 0 (4) a a Παρατηρούμε ότι έχουμε ένα τριώνυμο το οποίο θέλουμε να έχει πραγματικές λύσεις ως προς α. Άρα: 4 0 0 4 0 () 16 πό τη σχέση (4) παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι a και την τιμή αυτή την 16 έχουμε για Δ=0 δηλαδή όταν το τριώνυμο (4) έχει μια διπλή ρίζα που θα είναι η: a 4 4a a 4a a Δηλαδή από όλα τα παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο, μέγιστο εμβαδό έχει το τετράγωνο.
ΠΡΟΒΛΗΜ Φυσική Στο σχήμα που ακο0λουθεί τη χρονική στιγμή t = 0 τα οχήματα (1) και () βρίσκονται στα, Β τα οποία απέχουν απόσταση d=100. To () κινείται ομαλά με ταχύτητα μέτρου υ = 10 /s ενώ το (1) έχει ταχύτητα αρχική ταχύτητα υ 0 = 0 /s και κινείται με επιβράδυνση μέτρου /s. Πόση είναι η ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν τα δύο οχήματα; 1 (1) () t=0 Β d 1 Τα σώματα εκτελούν κινήσεις που περιγράφονται από τις από τις παρακάτω εξισώσεις. t (1) () Μαθηματική λύση Σώμα (1) t 1 0 1 1 0t t (1) () Σώμα () ή t (3) (4) Η συνάρτηση που δίνει την μεταξύ τους απόσταση, προκύπτει από τη σχέση: d () 1 0 100 10 t t t t t 10 (100 ) 0 (6) Η σχέση (6) αποτελεί ένα τριώνυμο ως προς t το οποίο θέλουμε να έχει πραγματικές λύσεις. Άρα: 4 0 100 4 100 0 100 400 4 0 7
Φυσική λύση Όσο η ταχύτητα του σώματος -1 είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του σώματος -, τα σώματα πλησιάζουν, δηλαδή η μεταξύ τους απόσταση ελαττώνεται. Κάποια στιγμή οι ταχύτητές τους εξισώνονται και αμέσως μετά γίνεται υ 1 <υ, δηλαδή τα σώματα αρχίζουν να απομακρύνονται. Άρα την ελάχιστη απόσταση θα την έχουν τα δύο σώματα όταν οι ταχύτητές τους γίνουν ίσες. πό τις σχέσεις (1) και (3) θα έχουμε: 1 0 t 10 t 10 t sec 1 Στο χρόνο αυτό το κινητό -1 θα έχει διανύσει διάστημα: 1 7 Ενώ 10 0 Το κινητό - θα έχει διανύσει διάστημα: 1 0 Άρα η ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους θα δίνεται από τη σχέση () δηλαδή : d 1 7 100 0 7 πό ότι μπορείς εύκολα να καταλάβεις λοιπόν, ο κάθε τρόπος έχει τη δική του ομορφιά!! ΠΡΟΒΛΗΜ 3 Φυσική B - Ηλεκτρισμός Θεώρημα Μέγιστης Ισχύος Ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε,r και αντίσταση. Για ποια τιμή της αντίστασης, η ισχύς που καταναλώνεται σε αυτή είναι μέγιστη; Β Ι, r Ζ Γ Δ πό την επίλυση του κυκλώματος γνωρίζουμε ότι η ένταση του ρεύματος δίνεται από τη σχέση: Η ισχύς που καταναλώνει ο αντιστάτης δίνεται από τη σχέση: I (1) r ( r) P I ()
Στη σχέση () παρατηρούμε ότι αύξηση της αντίστασης, αυξάνει και τον αριθμητή και τον παρονομαστή άρα είναι δύσκολο να καταλάβουμε με μια ματιά τι παθαίνει το κλάσμα. 1 ος τρόπος Για καλή μας τύχη όμως διακρίνουμε ένα τριώνυμο ως προς. () πράξεις πράξεις πράξεις P ( rp ) P r 0 0... 4rP 0 P ά Pa ό 0 4r 4r ή ό... r rp 4 r P r 4 r ος τρόπος ενεργειακά Στο κύκλωμα, την ισχύ που δίνει η πηγή Ε, την καταναλώνουν οι αντιστάτες r και. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα έχουμε: P P P r I P I I I P 0 0... P a ό 0 4 ή I ό (1) I r r
ΠΡΟΒΛΗΜ 4 Φυσική B - Θερμοδυναμική Στο διπλανό διάγραμμα παριστάνεται η αντιστρεπτή μεταβολή στην οποία 4 υποβάλλονται n ol ιδανικού αερίου ( όπου η παγκόσμια σταθερά των J ιδανικών αερίων σε ). olκ P 410 10 α) Να αποδείξετε ότι η θερμοκρασία του αερίου στην αρχική και στην τελική κατάσταση είναι η ίδια ( Τ ΤΒ ). β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη θερμοκρασία που αποκτά το αέριο κατά τη μετάβαση του από την κατάσταση A στην 1 8 κατάσταση B. Δίνεται ότι η εξίσωση της μεταβολής είναι: P 10 V 6 10 (1). 4 0 8 10 3 1610 3 3 V( ) πό καταστατική γνωρίζουμε ότι: P V n T 4 P V T P V 4T 4T P () V πό (1) και () έχουμε: 4T 1 10 8 V 6 10... V 4 8 10 V 410 V 16T 0... a 8 Δ 0... 410 410 4Τ 0... Τ 900K
ΠΡΟΒΛΗΜ Φυσική Γ -Μηχανική στερεού Σύστημα αποτελείται από δύο ίδιες σημειακές μάζες που συνδέονται με αβαρή ράβδο μήκους όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ως προς ποιον άξονα περιστροφής κάθετο στη ράβδο, η ροπή αδράνειας-i του συστήματος γίνεται ελάχιστη; I... ά I 0 0... I... Ia ό 0 ή Κάπου εδώ βέβαια στην Γ λυκείου οι γνώσεις σου στα μαθηματικά έχουν εμπλουτιστεί και με την έννοια της παραγώγου άρα έχεις ήδη μάθει και άλλους τρόπους για την εύρεση των ακρότατων μιας συνάρτησης.