Κατηγοριοποίηση των στρατηγικών σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις

Κατηγοριοποίηση των στρατηγικών σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις Στις ενότητες 4.1.3 και 4.1.4. παρουσιάσαμε την κατηγοριοποίηση των στρατηγικών της προπαίδειας και στην ενότητα 4.2.2. την κατηγοριοποίηση για τις απλές διαιρέσεις. Όπως είδαμε στις ενότητες αυτές, υπάρχουν αρκετές έρευνες που εξετάζουν τις στρατηγικές των μαθητών σε απλούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις, αντίθετα για τους διψήφιους ή πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις δεν υπάρχουν στη βιβλιογραφία αρκετές έρευνες σχετικά με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές (Baek Jae-Meen, 1998; Heirdsfield, A. et al. 1999; Murray, H., et al. 1994; Τράχηλου, Ε. et al. 2008). Ο Jae-Meen, Baek (1998, σελ. 151-160) πραγματοποίησε μια έρευνα σε μαθητές Γ έως Ε τάξης του Δημοτικού Σχολείου, για να εξετάσει ποιοι ήταν οι αλγόριθμοι του πολλαπλασιασμού που θα επινοούσαν (invented algorithms). Οι μαθητές που εξετάστηκαν δεν είχαν διδαχτεί ποτέ κανόνες ή τυπικούς αλγόριθμους για να τους ακολουθήσουν. Οι μαθητές έλυναν ατομικά ή σε ομάδες λεκτικά προβλήματα που τους προτείνονταν με πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς. Οι μαθητές συζητούσαν και σύγκριναν μεταξύ τους τους αλγόριθμους που χρησιμοποιούσαν. Στην έρευνα αυτή οι επινοούμενοι αλγόριθμοι από τους μαθητές σε προβλήματα πολυψήφιων πολλαπλασιασμών ταξινομήθηκαν στις παρακάτω τέσσερις κατηγορίες: άμεση μοντελοποίηση, στρατηγικές ολόκληρου αριθμού, στρατηγικές διάσπασης του αριθμού και στρατηγικές αντιστάθμισης. Οι Heirdsfield, A. et al. (1999) ερεύνησαν και κατηγοριοποίησαν τις στρατηγικές σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις που χρησιμοποιούν μαθητές Δ μέχρι Στ τάξης στην Αυστραλία. Στις στρατηγικές των πολυψήφιων πολλαπλασιασμών οι ερευνητές αυτοί δεν αναφέρουν τη στρατηγική της μοντελοποίησης, όπως παραπάνω ο Jae-Meen Baek, αλλά αναφέρουν ως πρώτη στρατηγική τη στρατηγική καταμέτρησης. Σε αυτήν την στρατηγική καταμέτρησης, όπως την ονομάζουν, συμπεριλαμβάνουν κάθε μορφή καταμέτρησης, την καταμέτρηση με υπερπήδηση, την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση και τον διπλασιασμό. Τη στρατηγική αντιστάθμισης οι συγγραφείς αυτοί την αποκαλούν ολιστική στρατηγική. Με βάση τις στρατηγικές και την κατηγοριοποίηση του Jae-Meen, Baek (1998), την κατηγοριοποίηση και τους όρους για τις στρατηγικές των Heirdsfield, A. et al. (1999), τους όρους που χρησιμοποιούνται διεθνώς για τις στρατηγικές και, τέλος, την ερευνητική μας εμπειρία στην εφαρμογή κατηγοριοποίησης των στρατηγικών, προτείνουμε τις παρακάτω κατηγοριοποιήσεις των στρατηγικών σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις. Στρατηγική Περιγραφή Παράδειγμα 1.Άμεση μοντελοποίηση Μοντελοποιούν το πρόβλημα και καταμετρούν τον συνολικό αριθμό των αντικειμένων, τον αριθμό των ομάδων ή τον αριθμό των αντικειμένων κάθε ομάδας. Καταμετρούν στο μοντέλο τον συνολικό αριθμό των αντικειμένων. Καταμετρούν στο μοντέλο τον αριθμό των ομάδων (μέτρησης) ή τον αριθμό των αντικειμένων κάθε ομάδας

2.Στρατηγικές αρίθμησης Κάθε μορφή στρατηγικής αρίθμησης, αρίθμηση με υπερπήδηση προς τα εμπρός ή προς τα πίσω, επαναλαμβανόμενη πρόσθεση και αφαίρεση, στρατηγικές διπλασιασμού και υποδιπλασιασμού. (μερισμού). 5x15: 15, 30, 45, 60, 75. ή 5x15: 2x15=30, 30+30=60, 60+15=75. 75 5: 15, 30, 45, 60, 75. ή 180 4: 180 2=90, 90 2=45. 3. Άμεση ανάκληση Χρησιμοποιούν ένα γνωστό αριθμητικό γεγονός πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης ή μια παραγωγή αριθμητικού γεγονότος 4. Στρατηγικές Διασπούν τον έναν ή και τους διάσπασης του δύο όρους της πράξης σε αριθμού μικρότερους αριθμούς, έτσι ώστε να μπορούν να τους πολλαπλασιάσουν ή να τους διαιρέσουν ευκολότερα. 4.1. Διάσπαση ενός Διασπάται ο ένας αριθμός με αριθμού με βάση τη βάση τη θεσιακή αξία του θεσιακή αξία συστήματος αρίθμησης. Διάσπαση ΔΑ Διάσπαση ΑΔ 4.2. Διάσπαση και των δύο αριθμών με βάση τη θεσιακή αξία 4.3. Διάσπαση σε αριθμούς μη δεκάδων 5. Ολιστικές στρατηγικές ή Αντιστάθμισης Διασπάται ο αριθμός και ενεργούν από δεξιά προς τα αριστερά Διασπάται ο αριθμός και ενεργούν από αριστερά προς τα δεξιά διασπάται ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστέος σε αριθμούς με βάση τη θεσιακή αξία. Διασπάται ο πολλαπλασιαστής ή ο πολλαπλασιαστέος, όχι με βάση τη θεσιακή αξία του συστήματος αρίθμησης. Ρυθμίζονται ο ένας ή και οι δύο όροι της πράξης, ώστε ο υπολογισμός να γίνει ευκολότερος. 8x11=88, 5x12=60 120 6=20, επειδή 6x20=120 7x15=(7x5)+(7x10)=35+70= 105 84 4: 4 4=1, 80 4=20, 20+1=21. 7x15=(7x10)+(7x5)=70+35= 105 84 4: 80 4=20, 4 4=1, 20+1=21. 14x26=(10+4)x(20+6)=(10x 20)+(10x6)+ (4x20)+(4x6). 15x136 = (5x3)x136 = 5x(3x136) Ή 7x15: (5+1+1)x15=75+15+15. 8x99 8x100-8 50x46=100x23 940 5: 940 10=94, 94x2=188 105 15: 4x15=60, 3x15=45, 60+45=105, άρα 3+4=7.

Πίνακας 4.5: Κατηγοριοποίηση στρατηγικών στους νοερούς πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις 1. Άμεση μοντελοποίηση: Στην κατηγορία αυτή συμπεριλαμβάνονται οι στρατηγικές κατά τις οποίες οι μαθητές, για να λύσουν το πρόβλημα του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης, έχουν ανάγκη να πραγματοποιήσουν τη μοντελοποίηση του προβλήματος. Ακόμη και με μεγάλους αριθμούς μερικά παιδιά χρειάζεται να μοντελοποιήσουν ολόκληρη την κατάσταση του προβλήματος και να καταμετρήσουν όλα τα αντικείμενα. Τα παιδιά μοντελοποιούν τους αριθμούς του προβλήματος χρησιμοποιώντας υλικά καταμέτρησης, ομάδες υλικών με βάση τη δεκάδα, σημάδια καταμέτρησης ή άλλα σχέδια, με τα οποία μετρούν τους αριθμούς του προβλήματος. Για τους πολλαπλασιασμούς υπάρχουν δύο τύποι άμεσης μοντελοποίησης: άμεση μοντελοποίηση με μονάδες και άμεση μοντελοποίηση με δεκάδες. Στην πρώτη περίπτωση ο μαθητής μοντελοποιεί και μετρά με μονάδες, για να βρει το όλο, και στη δεύτερη περίπτωση μετρά με δεκάδες ή μεγαλύτερους αριθμούς. Για παράδειγμα, στην παρακάτω εικόνα παρουσιάζουμε μια λύση με μοντελοποίηση του πολλαπλασιασμού 25x21. Εικόνα 4.2: Μοντελοποίηση του πολλαπλασιασμού 25x21. Για τις διαιρέσεις, η μοντελοποίηση επηρεάζεται από τη σημασιολογική δομή του προβλήματος. Για παράδειγμα, στις διαιρέσεις μερισμού (π.χ. μοιράζω δίκαια 450 ευρώ σε 3 παιδιά) οι μαθητές δημιουργούν ένα μοντέλο, όπου προσπαθούν να μοιράσουν τα ευρώ σε τρία μερίδια και να βρουν πόσα ευρώ θα περιέχει κάθε μερίδιο. Σε μια διαίρεση μέτρησης (π.χ. έχω 520 ευρώ σε χαρτονομίσματα των 5 ευρώ. Πόσα χαρτονομίσματα έχω;) δημιουργούν ένα μοντέλο και προσπαθούν να βρουν πόσες ομάδες των 5 περιέχει το 520. 2. Στρατηγικές αρίθμησης: Οι στρατηγικές αυτές ονομάζονται αρίθμησης γιατί οι μαθητές αριθμούν προς τα επάνω ή προς τα κάτω ή ανεβαίνουν με διπλασιασμό και κατεβαίνουν με υποδιπλασιασμό. Στις στρατηγικές αυτές τα παιδιά προσθέτουν τον πολλαπλασιαστέο ή αφαιρούν τον διαιρέτη ως ολόκληρο αριθμό και δεν διασπούν τους όρους της πράξης με οποιονδήποτε ιδιαίτερο τρόπο. Για να προσθέσουν τον πολλαπλασιαστέο, τα παιδιά χρησιμοποιούν διαφορετικές στρατηγικές, όπως η επαναλαμβανόμενη πρόσθεση ή ο διπλασιασμός. Για παράδειγμα, στον πολλαπλασιασμό 7x15 ένα παιδί προσθέτει το 15 επτά φορές, ένα άλλο παιδί διπλασιάζει το 15 και βρίσκει 30, προσθέτει 30 και 30 και βρίσκει 60, στο 60 προσθέτει και άλλα 30 και βρίσκει 90, στο 90 προσθέτει άλλα 15 και βρίσκει το αποτέλεσμα 105.

3. Άμεση ανάκληση: Η στρατηγική αυτή αναφέρεται σε κάποιους πολλαπλασιασμούς ή διαιρέσεις που μπορούν να λυθούν με τη βοήθεια της άμεσης ανάκλησης από τη μνήμη κάποιου αριθμητικού γεγονότος ή με μια μικρή τροποποίηση και παραγωγή πράξης με αυτό το αριθμητικό γεγονός. Για παράδειγμα, 660:11=60, διότι 6x11=66 και 66x10=660. 4. Στρατηγικές διάσπασης του αριθμού: Στις στρατηγικές αυτές τα παιδιά διασπούν τον έναν ή και τους δύο όρους της πράξης σε μικρότερους αριθμούς, έτσι ώστε να μπορούν να τους πολλαπλασιάσουν ή να τους διαιρέσουν ευκολότερα. Τα παιδιά διασπούν τον ένα όρο της πράξης του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης με δύο διαφορετικούς τρόπους: πολλά παιδιά διασπούν τους αριθμούς με βάση τη θεσιακή αξία των ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα, δηλαδή σε μονάδες, δεκάδες, κτλ και μερικά άλλα παιδιά διασπούν μεν τους αριθμούς, αλλά όχι με βάση τη θεσιακή αξία των ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα (αριθμοί μη δεκάδων). 4.1. Διάσπαση ενός αριθμού με βάση τη θεσιακή αξία: Στις στρατηγικές αυτές μπορούμε να διαχωρίσουμε δύο περιπτώσεις: διάσπαση από Δεξιά προς τα Αριστερά (ΔΑ) και διάσπαση από Αριστερά προς τα δεξιά (ΑΔ). Εδώ οι μαθητές χρησιμοποιούν τη γνώση τους από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης για να διασπάσουν τον έναν από τους δύο όρους του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης. Με αυτόν τον τρόπο τα παιδιά βρίσκουν τα γινόμενα ή τα πηλίκα πολύ πιο εύκολα και χρησιμοποιούν αυτήν την στρατηγική για πολλά προβλήματα πολυψήφιων πολλαπλασιασμών ή διαιρέσεων. Μετά τη διάσπαση, σε μερικές περιπτώσεις, τα παιδιά ενεργούν από δεξιά προς τα αριστερά, πράγμα που στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού ταιριάζει με την κατεύθυνση της λειτουργίας του γραπτού αλγόριθμου. Σε άλλες περιπτώσεις, μετά τη διάσπαση, τα παιδιά ενεργούν από αριστερά προς τα δεξιά, που στην περίπτωση της διαίρεσης μοιάζει με την κατεύθυνση του γραπτού αλγόριθμου. Για παράδειγμα, ένας μαθητής χρησιμοποιεί τη στρατηγική της διάσπασης ενός αριθμού σε δεκάδες για να λύσει τον πολλαπλασιασμό 25x21: Γράφει κάθετα 21 φορές το 25 και με οριζόντιες γραμμές τα χωρίζει ανά 10. Γνωρίζει ότι 10 φορές το 25 κάνει 250 και το γράφει σε κάθε ομάδα των 10. Προσθέτει τα δύο 250 και σε αυτά προσθέτει ακόμη μια φορά το 25. 4.2. Διάσπαση και των δύο αριθμών με βάση τη θεσιακή αξία: Η στρατηγική αυτή χρησιμοποιείται μόνο στον πολλαπλασιασμό, μοιάζει πολύ με τον συμβατικό αλγόριθμο και είναι στην ίδια λογική με τον Ελληνικό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού, που θα παρουσιάσουμε παρακάτω. Εδώ, δηλαδή, τα παιδιά διασπούν και τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστέο σε αριθμούς με βάση τη θεσιακή αξία, εκτελούν κάθε πολλαπλασιασμό και προσθέτουν τα μερικά γινόμενα. Για παράδειγμα, ένα παιδί για να υπολογίσει το 25x21 δημιούργησε τέσσερα μερικά γινόμενα: Είπε ότι 25 φορές το 21 είναι όπως 20x20, 20x1, 5x20, και 5x1, επειδή 20 φορές το 21 είναι 20x20 συν 20x1 και 5 φορές το 21 είναι 5x20 συν 5x1. Ένα κλασικό λάθος στη στρατηγική αυτή είναι ότι τα παιδιά, στην περίπτωση διψήφιου επί διψήφιο, δεν σχηματίζουν και τα τέσσερα επιμέρους γινόμενα, αλλά υπολογίζουν μόνο τα δύο. 4.3. Διάσπαση σε αριθμούς μη δεκάδων: Η στρατηγική αυτή χρησιμοποιείται μόνο στην πράξη του πολλαπλασιασμού. Τα παιδιά που χρησιμοποιούν τη στρατηγική αυτή διασπούν τον πολλαπλασιαστή ή τον πολλαπλασιαστέο, για να γίνει ο πολλαπλασιασμός ευκολότερος, ή χρησιμοποιούν γινόμενα που ήδη γνωρίζουν. Για παράδειγμα, στον πολλαπλασιασμό 15x136 ένα παιδί θεωρεί το 15 ως 3x5. Πρώτα

υπολογίζει το γινόμενο 3x136 και το αποτέλεσμα το πολλαπλασιάζει με το 5. Ο αλγόριθμος ισοδυναμεί με τη σχέση: 15x136 = (5x3)x136 = 5x(3x136). Μερικά παιδιά χρησιμοποιούν τη στρατηγική της διάσπασης σε αριθμούς μη δεκάδων χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα: «Κάθε ένας από τους 7 νάνους δίνει στη Χιονάτη, από 15 μήλα. Πόσα μήλα θα πάρει η Χιονάτη;» ένα παιδί διασπά τον πολλαπλασιαστή 7 σε 5+1+1, και υπολογίζει: 5x15 κάνει 75, έτσι 6x15 κάνει 90, και 7x15 κάνει 105. Άρα είναι 105. 5. Ολιστικές στρατηγικές ή Αντιστάθμισης: Στις στρατηγικές αυτές τα παιδιά χειρίζονται τους αριθμούς της πράξης μ έναν ολιστικό τρόπο. Ρυθμίζουν τον έναν ή και τους δύο όρους του πολλαπλασιασμού ή της διαίρεσης, ώστε οι αριθμοί να διπλασιαστούν ή να διχοτομηθούν, για να καταστήσουν τον υπολογισμό ευκολότερο ή για να χρησιμοποιήσουν μερικά γινόμενα πολλαπλασιασμού ή πηλίκα που ήδη γνωρίζουν. Η στρατηγική αυτή χρησιμοποιείται σε πράξεις πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης όπου οι αριθμοί έχουν ειδικά χαρακτηριστικά. Οι στρατηγικές που ρυθμίζουν και τους δύο αριθμούς χρησιμοποιούνται συχνά στα προβλήματα που περιλαμβάνουν το 5. Για παράδειγμα, ένα παιδί, για να κάνει τον πολλαπλασιασμό 50x46, χωρίζει το 46 στο μισό, βρίσκει το 23, το πολλαπλασιάζει με το 100 και βρίσκει το 2.300. Συνήθως τα παιδιά, όταν προσαρμόζουν τον ένα από τους δύο αριθμούς του πολλαπλασιασμού, τον προσαρμόζουν προς τα πάνω ή προς τα κάτω στην πλησιέστερη δεκάδα και μετά κάνουν τη διόρθωση στο αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, ένα παιδί στον πολλαπλασιασμό 15x48 υπολογίζει ως εξής:15x50=750, 2x15=30, 750-30=720.