Ιατρικά Ηλεκτρονικά Δρ. Π. Ασβεστάς Εργαστήριο Επεξεργασίας Ιατρικού Σήματος & Εικόνας Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/courses/tio127/ E mail: pasv@teiath.gr 2 1
Ένας μετατροπέας αναλογικού σε ψηφιακό (Α/Ψ μετατροπέας ή ADC) είναι ένα κύκλωμα που δέχεται ως είσοδο ένα αναλογικό σήμα και παράγει στην έξοδο ένα αντίστοιχο ψηφιακό σήμα. Το σήμα που προκύπτει μπορεί να τροφοδοτηθεί σε ένα ψηφιακό σύστημα για περαιτέρω επεξεργασία. Ένας μετατροπέας ψηφιακού σε αναλογικό (Ψ/Α μετατροπέας ή DAC) μετατρέπει ένα ψηφιακό σήμα (που προκύπτει π.χ. από ένα μικροεπεξεργαστή ή άλλο ψηφιακό κύκλωμα) σε ένα ισοδύναμο αναλογικό σήμα. Το αναλογικό σήμα που προκύπτει μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο μίας φυσικής ποσότητας (π.χ. θερμοκρασία) 3 ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC O ADC είναι ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα ή μία συστοιχία ΤΕ. Δέχεται ως είσοδο ένα αναλογικό σήμα και παράγει ένα ψηφιακό σήμα στην έξοδο. Η ψηφιακή έξοδος αποτελείται από έναν αριθμό γραμμών (bits), το πλήθος των οποίων καθορίζει τη διακριτική ανάλυση (resolution) του ADC. Αν η έξοδος είναι bits μπορούν υπάρξουν 2 διαφορετικές ψηφιακές τιμές, από 0 έως 2 1ή όπως διατυπώνεται εναλλακτικά το αναλογικό σήμα κβαντίζεται σε 2 διαφορετικές στάθμες. 4 2
ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Ένα κύκλωμα ADC μπορεί να μετατρέψει σε ψηφιακές τιμές, αναλογικές τιμές που είναι μεταξύ δύο σταθμών αναφοράς και. Αν η διακριτική ανάλυση είναι bits, τότε για μία αναλογική τάση, ισχύει ότι: εάν το ADC θα παράγει την ψηφιακή τιμή 0 εάν το ADC θα παράγει την ψηφιακή τιμή 2 1 εάν < το ADC θα παράγει την ακόλουθη ψηφιακή τιμή: όπου συμβολίζει στρογγυλοποίηση στον πλησιέστερο ακέραιο και L 2 1 5 είναι η διακριτική ανάλυση σε Volts του ADC. ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Παράδειγμα Έστω ένα κύκλωμα ADC 3 bits, το οποίο δέχεται τάσεις μεταξύ 0V και 5V. Να βρεθούν οι αντίστοιχες ψηφιακές τιμές για τις τάσεις εισόδου 1V, 2,5V και 4,5V. Λύση Είναι 0,714. Για είσοδο 1V η ψηφιακή τιμή είναι, 1,4 1. Για είσοδο 2,5V η ψηφιακή τιμή είναι,, 3,501 4. Για είσοδο 4.5V η ψηφιακή τιμή είναι, 6,3 6., 6 3
ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Σε συνέχεια του προηγούμενου παραδείγματος, το παρακάτω διάγραμμα παρουσιάζει την αντιστοίχηση μεταξύ αναλογικών και ψηφιακών τιμών. 7 6 5 4 n 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 V(Volts) 7 ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Είναι προφανές ότι για κάθε αναλογική τιμή υπάρχει μία και μόνο μία ψηφιακή τιμή. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει, καθώς μία ψηφιακή τιμή μπορεί να αντιστοιχεί σε πολλές αναλογικές τιμές. Αυτό που κάνει ένα κύκλωμα ADC bits είναι ότι διαμερίζει το διάστημα μεταβολής, ενός αναλογικού σήματος σε 2 υποδιαστήματα: 1 2, 1 2, 0,1,, 21 Κάθε υποδιάστημα χαρακτηρίζεται από τη κεντρική τιμή του: Επομένως, όταν λέμε ότι μια αναλογική τιμή V μετατρέπεται στην ψηφιακή τιμή n, στην ουσία προσδιορίζουμε το υποδιάστημα στο οποίο ανήκει η V. 8 4
ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Επομένως, όταν λέμε ότι μια αναλογική τιμή μετατρέπεται στην ψηφιακή τιμή n στην ουσία εννοούμε τα ακόλουθα: Η ανήκει στο υποδιάστημα. Η προσεγγίζεται από την κεντρική τιμή του υποδιαστήματος Στο προηγούμενο παράδειγμα, ισχύει Υποδιάστημα Ψηφιακή τιμή Κεντρική τιμή υποδιαστήματος (Υποδιάστημα) 0 0,357 0 0 0,357 1,071 1 0,714 1,071 1,786 2 1,429 1,786 2,4999 3 2,143 2,4999 3,214 4 2,857 3,2,14 3,928 5 3,5714 3,928 4,643 6 4,286 4,643 5 7 5 9 ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Μετά τη μετατροπή μίας αναλογικής τάσης σε ψηφιακή (ακέραια) τιμή, δεν είναι δυνατό να ανακτήσουμε την αρχική τιμή της τάσης. Δηλαδή εάν γνωρίζουμε το, μπορούμε να προσεγγίσουμε την αρχική τάση από την κεντρική τιμή του αντίστοιχου υποδιαστήματος: όπου είναι η προσεγγιστική τιμή. Σε αυτή την περίπτωση το μέγιστο σφάλμα ανάμεσα στην πραγματικήκαιστηνπροσεγγιστικήτιμήτηςτάσης είναι /2: 2 10 5
Εάν επιθυμείται να μειωθεί το μέγιστο σφάλμα, θα πρέπει να μειωθεί το LSB. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί είτε χρησιμοποιώντας άλλο ADC με περισσότερα bits ή ελαττώνοντας τη διαφορά. Γιαπαράδειγμα,εάνέχουμεέναADCμεδιακριτικήανάλυση 10bits, 0 και 5Vτότε 4,89mV και το μέγιστο σφάλμα είναι 2,44mV. Εάν θέλαμε να μειώσουμε το μέγιστο σφάλμα στο μισό, θα αρκούσε να μειώναμε το στα 2,5V. Στην περίπτωση αυτή, δηλ. μείωση του στα 2,5V, θα άλλαζαν και το τιμές που θα παρήγαγε το ADC. Συγκεκριμένα, για την ίδια τάση εισόδου το ADC θα παρήγαγε τη διπλάσια τιμή σε σχέση με πριν. 11 ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Παράδειγμα Έστω ένας μικροελεγκτής (microcontroller) ο οποίος περιλαμβάνει ένα κύκλωμα ADC 10 bits, με επιτρεπτό εύρος μεταβολής της αναλογικής τάσης εισόδου μεταξύ 0V και 5V. Στην είσοδο του ADC συνδέεται ο αισθητήρας θερμοκρασίας AD22100, ο οποίος παράγει μια τάση,,ανάλογη της θερμοκρασίας,, σύμφωνα με τον τύπο: 5 όπου είναι η τάση τροφοδοσίας του αισθητήρα. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα θεωρείται ότι 5. Η τάση μεταβάλλεται μεταξύ 0,25V (-25 ) έως 4,75V (+150 ). Ο μικροελεγκτής περιλαμβάνει δύο ψηφιακές εξόδους (0V για το λογικό 0 και 5V για το λογικό 1), με τα μνημονικές ονομασίες D0 και D1, στις οποίες έχουν συνδεθεί ένα πράσινο και ένα κόκκινο led, αντίστοιχα. Το πράσινο led να ανάβει εφόσον η θερμοκρασία είναι κάτω από 30, διαφορετικά ανάβει το κόκκινο led. Να γραφτεί o ψευδοκώδικας για τον μικροελεγκτή για το χειρισμό των δύο leds. 1,375 22,5 13 6
ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Παράδειγμα Για το συγκεκριμένο ADC είναι 10, 0, 5, οπότε: 2 5 4,89 1 1023 Η θερμοκρασία 30 αντιστοιχεί σε τάση: 1,375 22,5 5 5 1,375 22,5 5 30 2,05 H αντιστοιχη ψηφιακή τιμή που θα παράγει το κύκλωμα ADC είναι: 2,05 0 419,2 419 4,89 Συνεπώς, όταν η ψηφιακή τιμή που παράγει το ADC είναι μεγαλύτερη από 419, σημαίνει ότι η θερμοκρασία έχει υπερβεί τους 30. 14 ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Παράδειγμα Ο ψευδοκώδικας είναι ως εξής: Επανάλαβε συνεχώς Διάβασε μια τιμή από το ADC και τοποθέτησέ την στη μεταβλητή n Εάν n > 419 Σβήσε πράσινο led Άναψε κόκκινο led Διαφορετικά Άναψε πράσινο led Σβήσε κόκκινο led 15 7
Βασικό θεώρημα δειγματοληψίας Συχνότητα δειγματοληψίας fs 2 f max Μέγιστη συχνότητα σήματος εισόδου Αρκετά συχνά το σήμα εισόδου φιλτράρεται βαθυπερατά, ώστε να αποκοπούν συχνότητες μεγαλύτερες από για να ικανοποιηθεί το θεώρημα δειγματοληψίας. 16 Κυκλώματα δειγματοληψίας και συγκράτησης (Sample and Hold Circuits) Για τη μετατροπή μίας αναλογικής τιμής σε ψηφιακή χρειάζεται κάποιος χρόνος (χρόνος μετατροπής). Επειδή στη διάρκεια της μετατροπής το αναλογικό σήμα μπορεί να έχει αλλάξει τιμή, υπάρχει το ενδεχόμενο να παρατηρηθούν σφάλματα μετατροπής. Για την εξάλειψη τέτοιου είδους σφαλμάτων, χρησιμοποιείται ένα κύκλωμα δειγματοληψίας και συγκράτησης (S/H κύκλωμα) πριν οδηγηθεί το σήμα εισόδου στο ADC. 17 8
Κυκλώματα δειγματοληψίας και συγκράτησης (Sample and Hold Circuits) Αρχικά, το κύκλωμα S/H δειγματοληπτεί το αναλογικό σήμα εισόδου. Στη συνέχεια, σταματάει τη δειγματοληψία και συγκρατεί την πιο πρόσφατη τιμή στην έξοδό του. Αυτή η τιμή διατηρείται σταθερή κατά την περίοδο μετατροπής σε ψηφιακή τιμή. Μόλις ολοκληρωθεί η μετατροπή, το κύκλωμα S/H δειγματοληπτεί μία νέα τιμή από το σήμα εισόδου και επαναλαμβάνεται η προηγούμενη διαδικασία. Ένα τυπικό κύκλωμα S/H, αποθηκεύει το ηλεκτρικό φορτίο σε έναν πυκνωτή και περιλαμβάνει ένα γρήγορο διακόπτη (υλοποιημένο με FET) και ΤΕ σε συνδεσμολογία buffer. 18 Κυκλώματα δειγματοληψίας και συγκράτησης (Sample and Hold Circuits) 19 9
Πολυπλέκτες (Multiplexers) Πολλές φορές χρειάζεται να μετατραπούν πολλές αναλογικές είσοδοι και επειδή το κύκλωμα ADC μπορεί να είναι σχετικά ακριβό, χρησιμοποιείται ένας πολυπλέκτης σε συνδυασμό με έναν ADC. Ο πολυπλέκτης λειτουργεί όπως ένας περιστροφικός διακόπτης που συνδέει κάθε μία από τις αναλογικές εισόδους στο κύκλωμα S/H (μία είσοδος κάθε φορά). Η θέση και ο χρονισμός του πολυπλέκτη ελέγχονται από έναν υπολογιστή ή ένα ψηφιακό κύκλωμα 20 ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Δομή αναλογικού πολυπλέκτη με χρήση διακοπτών FET. 21 10
Παράδειγμα συστήματος ADC με χρήση πολυπλέκτη. Το ψηφιακό σύστημα είναι συνήθως ένας μικροελεγκτής. 22 Παράλληλη (flash) μετατροπή Είναι ο ταχύτερος τρόπος Α/Ψ μετατροπής Περιορίζεται σε μετατροπές σε λίγα bits, γιατί απαιτεί 2 1 συγκριτές (comparators) και 2 αντιστάσεις για να παράγει έναν ψηφιακό αριθμό bits. Για παράδειγμα, για την παραγωγή μίας ψηφιακής εξόδου 10 bits, απαιτούνται 1023 συγκριτές. 23 11
Παράδειγμα παράλληλης (flash) μετατροπής 2 bits 3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΤΗ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ 2,5 ΕΙΣΟΔΟΙ ΕΞΟΔΟΙ 1,5 3 Ι 2 Ι 1 Ι 0 Ι b 1 b 0 H H H L L L H H L X L H 0,5 H L X X H L L X X X H H L: ΛΟΓΙΚΟ 0 H: ΛΟΓΙΚΟ 1 X: ΑΔΙΑΦΟΡΟ 24 Παράδειγμα παράλληλης (flash) μετατροπής 2 bits 3 2,5 1,5 0,5 Όταν 0,5 και οι 3 συγκριτές παράγουν υψηλή έξοδο (Η), οπότε οι είσοδοι του κωδικοποιητή προτεραιότητας είναι ΗΗΗL και επομένως οι έξοδοι θα είναι LL, δηλ. 00, που αντιστοιχεί στον ακέραιο 0. 25 12
Παράδειγμα παράλληλης (flash) μετατροπής 2 bits 3 2,5 1,5 0,5 Όταν 0,5 1,5το C1 παράγει χαμηλή έξοδο (L) ενώ οι άλλοι δύο συγκριτές παράγουν υψηλή έξοδο (Η), οπότε οι είσοδοι του κωδικοποιητή προτεραιότητας είναι ΗΗLL και επομένως οι έξοδοι θα είναι LH, δηλ. 01, που αντιστοιχεί στον ακέραιο 1. 26 Παράδειγμα παράλληλης (flash) μετατροπής 2 bits 3 2,5 1,5 0,5 Όταν 1,5 2,5το C1 και το C2 παράγουν χαμηλή έξοδο (L) ενώ το C1 παράγει υψηλή έξοδο (Η), οπότε οι είσοδοι του κωδικοποιητή προτεραιότητας είναι ΗLLL και επομένως οι έξοδοι θα είναι HL, δηλ. 10, που αντιστοιχεί στον ακέραιο 2. 27 13
Παράδειγμα παράλληλης (flash) μετατροπής 2 bits 3 2,5 1,5 0,5 Όταν 2,5όλοι οι συγκριτές παράγουν χαμηλή έξοδο (L), οπότε οι είσοδοι του κωδικοποιητή προτεραιότητας είναι LLLL και επομένως οι έξοδοι θα είναι HH, δηλ. 11, που αντιστοιχεί στον ακέραιο 3. 28 Υβριδική παράλληλη (flash) μετατροπή Λόγω της απαίτησης μεγάλου πλήθος συγκριτών συνήθως χρησιμοποιούνται τροποποιημένοι flash μετατροπείς: Το αναλογικό σήμα εφαρμόζεται σε έναν μικρό παράλληλο ADC (4 7 bits), ο οποίος παράγει τα πιο σημαντικά bits H προκύπτουσα έξοδος μετατρέπεται σε αναλογικό σήμα με χρήση ενός DAC, το οποίο αφαιρείται από το αρχικό σήμα Το σήμα διαφοράς μετατρέπεται με ένα δεύτερο παράλληλο ADC για να προκύψουν τα λιγότερα σημαντικά bits Ο υβριδικός παράλληλος ADC έχει μικρότερη πολυπλοκότητα από τον πλήρως παράλληλο ADC, αλλά έχει μικρότερη ταχύτητα μετατροπής. 29 14
Παράδειγμα υβριδικής παράλληλης (flash) μετατροπής 8 bits 30 ADC διαδοχικών προσεγγίσεων Χαρακτηριστικά Είναι ένας από τα πιο διαδεδομένους τύπους ADC, επειδή σχετικά απλός και παρέχει υψηλή ταχύτητα λειτουργίας. Περιλαμβάνει: έναν καταχωρητή (SAR) bits, ο οποίος κρατάει το τελικό αποτέλεσμα της μετατροπής έναν συγκριτή ένα κύκλωμα μετατροπής ψηφιακής τιμής σε αναλογική τάση (DAC) 46 15
ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ADC Ένα άλλο κύκλωμα ADC είναι το ADC διαδοχικών προσεγγίσεων (Successive Approximation). Είναι ένας από τα πιο διαδεδομένους τύπους ADC, επειδή σχετικά απλός και παρέχει υψηλή ταχύτητα λειτουργίας. Περιλαμβάνει: έναν καταχωρητή (Successive Approximation Register SAR) bits, ο οποίος κρατάει το τελικό αποτέλεσμα της μετατροπής μία μονάδα ελέγχου του καταχωρητή (SAR control unit) έναν συγκριτή ένα κύκλωμα μετατροπής ψηφιακής τιμής σε αναλογική τάση (DAC) 47 ADC διαδοχικών προσεγγίσεων Αρχιτεκτονική Συγκριτής 48 16
Αρχικά το πιο σημαντικό bit (MSB) του καταχωρητή SAR γίνεται1,ενώόλαταυπόλοιπαbitsγίνονται0,δηλ.υπάρχειη τιμή 10 00 Η τιμή αυτή μετατρέπεται από το DAC σε αναλογική, σύμφωνα με τη σχέση,όπου ητιμή(στο δεκαδικό σύστημα) που περιέχει ο SAR. H συγκρίνεται με την αναλογικά τάση εισόδου,. Εάν η είναι μικρότερη από τη το MSB παραμένει 1, διαφορετικά γίνεται 0. 49 Στη συνέχεια, το επόμενο bit γίνεται 1 και ακολουθείται η προηγούμενη διαδικασία. ΔηλαδήητιμήτουSARμετατρέπεταισεαναλογικήτάσηαπό το DAC. EάνητάσηαπότοDACείναιμικρότερηαπότη, τότε το bit θα παραμείνει 1, διαφορετικά θα γίνει 0. Η διαδικασία αυτή συνεχίζει μέχρι να εξεταστούν όλα τα bits του SAR. 50 17
Για παράδειγμα, έστω 4, 0 5 Έστω 3,4 η τιμή που πρόκειται να μετατραπεί σε ψηφιακή. Είναι 0,33 Η αναμενόμενη έξοδος του ADC είναι σύστημα.,, 10,2 10, δηλ. 1010 στο δυαδικό 51 Αρχικά, στο SAR θα υπάρχει η τιμή 1000 (8 στο δεκαδικό σύστημα). ΗέξοδοςτουDACθαείναι8LSB80,33V 2,7V. Επειδή,τοbitθαπαραμείνει1. Στη συνέχεια, γίνεται 1 το επόμενο bit, δηλ. στο SAR θα υπάρχει η τιμή 1100 (12 στο δεκαδικό σύστημα). ΗέξοδοςτουDACθαείναι12LSB4V. Επειδή, το bit θα γίνει 0, δηλ. στο SAR θα υπάρχει η τιμή 1000. 52 18
Στη συνέχεια, γίνεται 1 το επόμενο bit, δηλ. στο SAR θα υπάρχει η τιμή 1010 (10 στο δεκαδικό σύστημα). ΗέξοδοςτουDACθαείναι10LSB3,3V. Επειδή,τοbitθαπαραμείνει1. Τέλος, γίνεται 1 το επόμενο bit, δηλ. στο SAR θα υπάρχει η τιμή 1011 (11 στο δεκαδικό σύστημα). ΗέξοδοςτουDACθαείναι11LSB3,7V. Επειδή, το bit θα γίνει 0, δηλ. στο SAR θα υπάρχει τελικά η τιμή 1010. 53 Ένα DAC μετατρέπει μία ψηφιακή τιμή στην αντίστοιχη αναλογική τάση. Επειδή υπάρχει ένα πεπερασμένο πλήθος ψηφιακών συνδυασμών, η προκύπτουσα αναλογική έξοδος λαμβάνει και αυτή πεπερασμένες τιμές. Το πλήθος των πιθανών σταθμών της τάσης εξόδου εξαρτάται από το πλήθος των bits από τα οποία αποτελείται η ψηφιακή τιμή Για ένα DAC με Ν bits υπάρχουν 2 Ν τιμές της εξόδου. ΨΗΦΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ A Q 1 D/A Converter B 1 V out H Q 8 B 8 ENB V ref GND 54 ENB 19
Για ένα DAC με Ν bits εισόδου,,, ητάσηεξόδου θα είναι της μορφής: 2 2 όπου είναι μία σταθερά. Κάθε bit εισόδου ( 0,1,, 1) αναπαρίσταται από μία τάση 0, 0, 1 όπου είναι μία σταθερή τάση (π.χ. 5V). 55 Ένα από τα πιο δημοφιλή DAC είναι το R2R Ladder DAC. Χρησιμοποιεί αντιστάσεις με λόγο 2:1, ανεξάρτητα από το πλήθος των bits. 2 2 2 2 2 62 20
Έστω για παράδειγμα, ένας R2R ladder ADC 3 bits, όπως δείχνει το σχήμα. Η ανάλυση του κυκλώματος μπορεί να γίνει με χρήση της αρχής της επαλληλίας. Δηλαδή, κάθε φορά μηδενίζονται όλες οι είσοδοι, εκτός από μία, και υπολογίζεται η αντίστοιχη έξοδος. Η συνολική έξοδος θα είναι το άθροισμα όλων των επιμέρους εξόδων. 2 2 2 2 63 Έστω 0 0, 1 0,και 0, όπως δείχνει το σχήμα. 2 2 2 2 64 21
Συνδυάζοντας τις αντιστάσεις, προκύπτει το ισοδύναμο κύκλωμα, το οποίο είναι ένας μη αναστρέφων ενισχυτής με κέρδος 1.Επομένως: 1 1 2 2 2 65 Έστω 0 0, 2 0,και 1 0 όπως δείχνει το σχήμα. 2 2 2 2 66 22
Συνδυάζοντας τις αντιστάσεις, προκύπτει το ισοδύναμο κύκλωμα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Thevenin μεταξύ B και γης. 2 B 2 2 67 Από την εφαρμογή του θεωρήματος Thevenin, προκύπτει το εξής ισοδύναμο κύκλωμα. 2 2 68 23
Όπως και πριν, το κύκλωμα είναι ένας μη αναστρέφων ενισχυτής με κέρδος 1.Επομένως: 1 1 4 2 2 69 Έστω 1 0, 2 0και 0 0όπως δείχνει το σχήμα. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Thevenin μεταξύ Γ και γης. 2 2 Γ 2 2 70 24
Μετά την εφαρμογή του θεωρήματος Thevenin, προκύπτει το παρακάτω κύκλωμα. Στο κύκλωμα αυτό, εφαρμόζουμε για δεύτερη φορά το θεώρημα Thevenin μεταξύ Β και γης. /2 Β 2 2 71 Μετά την εφαρμογή του θεωρήματος Thevenin, προκύπτει το εξής ισοδύναμο κύκλωμα. /4 2 72 25
Όπως και πριν, το κύκλωμα είναι ένας μη αναστρέφων ενισχυτής με κέρδος 1.Επομένως: 1 1 8 /4 2 73 Η συνολική έξοδος θα είναι: 1 2 1 4 1 1 1 8 4 2 1 8 4 2 η οποία είναι της μορφής της μορφής: 2 2 με A 1. 74 8 26