ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι : 1 θ 1 1 + θ + θ +... + θ = θ 1, με θ 0 για κάθε θετικό ακέραιο. 4. Να αποδείξετε ότι : 1 + + 5 + + ( 1) = ( 1) για κάθε θετικό ακέραιο. 5. Να αποδείξετε ότι : ( ) ( + ) 1 1+ + +... + = 1 + + +... + = για κάθε θετικό ακέραιο. 4 6. Να αποδειχθεί ότι 5 8 1 1 + + +... + = 1 1 4 1 ( ) για κάθε Ν με. 7. Να αποδειχθεί ότι 1 + 5 + 8 + + ( 1) = ( + 1) για κάθε Ν*. 8. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό ισχύει : ημ (α) ημα, α R 9. Με τη βοήθεια της αισότητας του Bernoulli α αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό ισχύει : + 1 1 1 1+ > 1+ ( + ) + 1 10. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : ( ) ( ) 1 5... 1 1 4 6... < + 1 11. Α α 1, α, α,, α είαι ομόσημοι αριθμοί διαφορετικοί του μηδεός, α αποδείξετε ότι 1 1 1 1 ( α1+ α + α +... + α ) + + +... + για κάθε θετικό ακέραιο. α1 α α α 7
1. 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει! < ( + 1). α) Να αποδείξετε ότι : για α 1 και Ν* ισχύει : (1 α) 1 α. β) Α α, β > 0 και α + β =, α αποδείξετε ότι : α 1999 + β 1999. 14. Δίεται η ακολουθία α1 = * α : 1, Ν. α+ 1 = ( α + 4) 5 i) Να δειχθεί ότι όλοι οι όροι της είαι θετικοί αριθμοί. ii) Να δειχθεί ότι κάθε όρος της είαι μικρότερος του επόμεου. 15. Να αποδείξετε ότι το πολυώυμο P(x) = x 6v- + x v-1 + 1 διαιρείται με το πολυώυμο Q(x) = x + x + 1, Ν*. 16. Η ευκλείδεια διαίρεση του φυσικού αριθμού α με το φυσικό αριθμό β (β 0) δίει πηλίκο π και υπόλοιπο υ, εώ η ευκλείδεια διαίρεση του π με το φυσικό γ (γ 0) δίει πηλίκο π 1 και υπόλοιπο υ 1. α) Να γράψετε τις ισότητες που περιγράφου τις παραπάω διαιρέσεις. β) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το βγ είαι ίσο με υ + υ 1 β. 17. Δίοται οι αριθμοί α = λ + και β = 5λ + 4, όπου λ ακέραιος. Να αποδειχθεί ότι :το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το είαι 1. 18. Δίοται οι ακέραιοι αριθμοί x = λ + και y = 5λ + 7 όπου λ θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι : η ευκλείδεια διαίρεση του x + y με το 7 δίει υπόλοιπο, εώ η ευκλίδεια διαίρεση του x y με το δίει υπόλοιπο 1. 19. Α η διαίρεση του ακεραίου α με το β 0 δίει υπόλοιπο υ, α αποδειχθεί ότι ο λα διαιρούμεος με λβ δίει υπόλοιπο λυ, όπου λ. 0. Να βρεθού οι διψήφιοι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι διαιρούμεοι με το 6 δίου πηλίκο ίσο με το τετράγωο του υπολοίπου. 1. Έας ακέραιος α 0 διαιρούμεος με το 4 δίει πηλίκο x και υπόλοιπο οι δυατές τιμές του α. 6x, x. Να βρεθού. Α η διαίρεση του ακεραίου α με το δε είαι τέλεια, α αποδειχθεί ότι ο α το δίει υπόλοιπο 1. διαιρούμεος με 74
. Να βρείτε τους ακέραιους αριθμούς οι οποίοι έχου τη ιδιότητα : η ευκλείδεια διαίρεσή τους με το 49 δίει πηλίκο κ και υπόλοιπο κ, κ. 4. Έστω α, β ακέραιοι αριθμοί με α > β και α = βκ + υ, όπου 0 υ < β. Α α + β = 970, κ = 68 και υ = 4, α βρείτε τους α και β. 5. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του α με το β σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις. i) α = 78 και β = 9 ii) α = -78 και β = 9 iii) α = 78 και β = -9 iv) α = -78 και β = -9 6. Ο θετικός ακέραιος α ότα διαιρεθεί με το 6 δίει υπόλοιπο, εώ ότα διαιρεθεί με το 7 δίει υπόλοιπο 1.Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 4. 7. Στη διαίρεση του 80 με το θετικό ακέραιο k το πηλίκο είαι ίσο με 11. Να βρείτε τις τιμές του ακεραίου k καθώς και το υπόλοιπο της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. 8. i) Α α άρτιος και β περιττός, α αποδείξετε ότι ο αριθμός αβ είαι άρτιος. ii) Α α και β ακέραιοι αριθμοί, α αποδείξετε ότι ο αριθμός αβ(α β) είαι άρτιος. 9. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α = (x + ) (x + 5) είαι άρτιος για κάθε x. 0. Α α, α αποδειχθεί ότι ο αριθμός Α = α + 5α είαι ακέραιος. 6 ( )( ) α α + 1 α + 1. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Α = 6 είαι ακέραιος για κάθε α... 4. Να βρεθού οι τιμές του κ, ώστε ο αριθμός α = 6 κ + 5 α είαι ακέραιος. α β 1 Α α, β είαι περιττοί αριθμοί, α αποδείξετε ότι. 8 α + β + γ + 1 Α α, β, γ είαι διαδοχικοί περιττοί, α αποδείξετε ότι. 1 5. Α α, β είαι δύο περιττοί ακέραιοι, α αποδείξετε ότι : α + β α + β i) ακέραιος και ii) δε είαι ακέραιος. 4 75
+ 1 6. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α = δε είαι ακέραιος για καμία τιμή του. 7. Να αποδείξετε ότι το τετράγωο εός ακεραίου α παίρει τη μορφή, κ. α = 5κ, κ ή α = 5κ ± 1 8. Α α ακέραιος αριθμός, α αποδείξετε ότι η παράσταση ( 1) τριώ τετραγώω ακέραιω αριθμώ. α + α + γράφεται ως άθροισμα 9. Α α είαι περιττός ακέραιος α αποδείξετε ότι : α) ο α + α είαι άρτιος αριθμός. β) ο α - α είαι της μορφής 4λ, λ. 40. ( α + + α + ) Α για κάποιο θετικό ακέραιο α ο αριθμός k = 9 1 4 1 ότι ο k είαι τέλειο τετράγωο ακέραιου αριθμού. είαι ακέραιος, α αποδείξετε 41. Να αποδείξετε ότι δε υπάρχου περιττοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε το άθροισμα τω τετραγώω τους α είαι ίσο με το άθροισμα τω τετραγώω δύο άρτιω αριθμώ. 4. Να αποδείξετε ότι το τετράγωο οποιουδήποτε περιττού αριθμού διαιρούμεο με 4 ή 8 δίει το ίδιο υπόλοιπο. 4. Να αποδείξετε ότι το τετράγωο οποιουδήποτε περιττού αριθμού διαιρούμεο με 4 ή 8 δίει το ίδιο υπόλοιπο. 44. Να εξηγήσετε γιατί για κάθε x οι τιμές του τριωύμου αριθμοί, εώ του τριωύμου ( ) ( ) g x = x + 7x+ 1 είαι περιττοί αριθμοί. 001 007 45. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x 1999 x+ 001 = 0 δε έχει ακέραιες ρίζες. f x = x + x+ είαι άρτιοι 46. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώυμο βαθμού με ακέραιους συτελεστές και Ρ(0) Ρ(1) περιττός αριθμός δε έχει ακέραια λύση. 47. Α οι α, β είαι περιττοί ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι ο αριθμός γ = α + β είαι άρρητος. 48. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α = + είαι άρρητος για κάθε. 76
49. Θεωρούμε τους ακέραιους αριθμούς: Α = αβγδ και Β = αβ + γδ α) Να γράψετε τους αριθμούς Α και Β στη δεκαδική τους μορφή. β) Να αποδείξετε ότι α 99 Α, τότε 99 Β. γ) Να εξετάσετε α ισχύει το ατίστροφο. 50. Α α, β, γ είαι διαδοχικοί ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι 9 ( α + β + γ ). 51. Α α, β, (α + β) και (5α + β), α αποδειχθεί ότι 9 αβ. 5. Α α, β, γ με α 10β γ = 0 και 11 (β γ), α αποδιχθεί ότι 11 α. 5. Α α, α αποδειχθεί ότι i) ii) 6 α + 5 α α( α + ) ( ) 54. ( α + ) ( α + 4) Να βρεθού οι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους. 55. Να βρείτε τις τιμές του ακεραίου α για τις οποίες ισχύει ( α + 1) ( α + 1) /. 56. i) Να αποδείξετε ότι για τους α, β, γ ισχύου : α) α α β, τότε α βγ, β) α α (β + γ) και α β, τότε α γ. 10 x + ii) Να βρείτε τις τιμές του ακεραίου x για τις οποίες ο αριθμός είαι ακέραιος. x 57. Α θετικός ακέραιος, α αποδείξετε ότι : / ( 100 10 1) + +. 58. Να αποδείξετε ότι, α α, τότε (α + 1) ή (α 1). 59. Α α θετικός ακέραιος, α αποδείξετε ότι 6 [(α 1)! + 1]. 60. Να αποδείξετε ότι : α) + 1 = πολ α περιττός. β) 1 = πολ α άρτιος,. 61. Α α, α αποδειχθεί ότι ο αριθμός Α = α α 1 4α 1 διαιρείται με το 5. ( )( ) 6. Α α, β είαι περιττοί ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι ο αριθμός (α β) (α + β) είαι πολλαπλάσιο του 8. 77
6. Να αποδείξετε ότι έας ακέραιος διαιρείται με το 4 ή το 5 α και μόο α ο αριθμός που σχηματίζου τα δυο τελευταία ψηφία του διαιρείται με το 4 ή το 5 ατίστοιχα. 64. Να αποδείξετε ότι : i) το άθροισμα διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το, ii) το άθροισμα 5 διαδοχικώ ακέραιω διαιρείται με το 5, iii) το άθροισμα 4 διαδοχικώ ακεραίω δε διαιρείται μ το 4. 65. Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α + δε διαιρείται με το 5 για καμία τιμή του ακέραιου α. 66. Να βρεθού οι ακέραιοι α, έτσι ώστε α + α + 7= πολ1. 67. Να αποδείξετε ότι : α) Το γιόμεο πέτε διαδοχικώ ακεραίω είαι πολλαπλάσιο του πέτε. β) Από διαδοχικούς ακεραίους έας είαι πολλαπλάσιο του. κ 68. Να βρείτε τις τιμές του φυσικού k και του ακέραιου α, με α -1 ότα α 1 είαι πολλαπλάσιο του α + 1. 69. Έστω α, β, k με k 0. Να αποδείξετε ότι : οι διαιρέσεις τω α και β με το k δίου το ίδιο υπόλοιπο, α και μόο α η διαφορά α β είαι πολλαπλάσιο του k δηλαδή υπολ(α : k) = υπολ(β : k) α β = πολk. 78